运筹学运输问题.

❖ 位势法求检验数时，第一步需要将运输方案 表（初始可行解）中的运输量（数字格）换 上单位运价表中对应格的运价：
销地 产地
A1 A2 A3 销量
Table11 运输方案表
B1
B2
B3
4
3
1
6
3
6
5
销地 产地
A1 A2 A3
Table12 调运价格表
B1
B2
B3
容易证明，秩A=m+n-1。事实上，由于A的前 m行之和等于后n行之和，因此，秩A≤m+n-1;又，
取对A应的的前列m所+构n-1成行的，A变的量子式x 1 为, 1,x 1 n ,x 2 n ,x 3 n , ,x mn
由此易知，这个m+n-1阶子式的值为1或-1，所 以，A的秩恰为m+n-1。可见运输问题的基可行解 中，基变量的个数应为m+n-1个。
根据运输问题数学模型结构上具有的上 述特征，在前面所讲的单纯形方法的基础上， 逐渐创造出一种专门用来求解运输问题线性 规划模型的运输单纯形方法，一般称其为表 上作业法。
第二节 表上作业法
表上作业法是一类比较特殊的单纯 形法。它必须首先确定一个初始方案， 也就是找出一个基可行解，然后根据判 别准则来检查这个初始方案是不是最优 的，如果不是最优的，那么对初始方案 加以改进，直到找出最优方案。
返回中间转运问题
产销平衡表
销地
B1
产地
A1
A2
3
A3
销量
3
B2
B3
4
1 6
6
5
B4 产 量
37
4
39
6
单位运价表
销地
B1
B2
B3
B4
产地
A1
3
11
3
10
A2
1
9
2
8
A3
7
4
10
5
注意：
有时选定最小元素后，发现该行的产地 剩余产量恰好等于销地剩余销量。此时在产 销平衡表上就必须划去一行和一列。此时为 了保持数字个数仍然为m+n-1个。则必须在 产销平衡表上划去的该行和该列的任意空格 处填上数字“0”，如下表所示：
确定初始方案 (初始
基本可行解)
判定是否 最 优？
否
是 结束
改进调整 （换基迭代）
运输问题求解思路图
❖下面通过例子介绍它的计算步骤。
最优方案
一、初始方案的给定
1、最小元素法★ 2、Vogel法★
1、最小元素法
基本思路是：就近供应，即从运价表中 最小运价开始确定调运量，然后次小，一直 到给出初始调运方案为止。
写出上式的系数矩阵A，形式如下：
x 1 , x 1 , 1 , 2 x 1 n ; x 2 , x 2 , 1 , 2 x 2 n ; , , , ; x m 1 , x m 2 , , x m
m行 n行
1 1 1
111
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
❖矩阵的元素均为1或0；
一、运输问题案例 地地B运1往，例各B：2销，某地B公3的，司每各从件产两物地个品的产的产地运量A费、1，如各A表销2将所地物示的品，销运问量往应和三如各个何产销调 运，使得总运输费最小？
销地
运费单价
B1
B2
B3
产量（件）
产地
A1
6
4
6
200
A2
6
5
5
300
销量
150
150
200
解：因为此问题中产量和销量都是500，所以 这是一个产销平衡问题。
B2
B3
B4
产地
A1
1
2
A2
1
-1
A3
10
12
方案的调整
为负若，最说优明性这检个验非时基某变非量基变（为空基格变A量i，时B运j）费xi会j的更检小验，数因 而这个解不是最优解，还可以进一步调整改进。 改进的具体步骤： （1）以xij为换入变量，找出它在运输表中的闭回路。 （2（）或以逆空）格时（针A方i，向B前j ）进为，第对一闭个回奇路数上，的沿顶闭点回依路次的编顺号。 （3）在闭回路上的所有偶数顶点中，找出运输量最小的 顶点，以该变量为换出变量。 （4）以该变量为调整量，将该闭回路上所有奇数顶点处 的运输量都增加这一数值，所有偶数顶点处的运输量都 减去这一数值，从而得出以新的运输方案。 然后，再对得到的新解进行最优性检验，如不是最优解， 就重复以上的步骤继续进行调整，一直到得出最优解为 止。
销地 产地 A1 A2 A3 销量
销地 产地 A1 A2 A3
Table1 产销平衡表
B1
B2
B3
3
6
3
6
5
Table2 单位运价表
B1
B2
B3
3
11
4
7
7
3
1
2
10
B4 产 量
7 4 9 6
B4
5 8 6
2、Vogel法
❖ 基本思路是：从全局考虑。其方法是从运价 表上分别找出每行与每列最小的两个元素之 差，再从差值最大的行或列中找出最小运价 确定供需关系和供需数量。 当产地或销地中 有一方数量上供应完毕或得到满足时，划去 运价表中的行或列，再重复上述步骤。直到 找出最佳调运方案。
产销平衡表
销地 B1
B2
...
Bn
产量
产地
A1
a1
A2
a2
.
.
.
.
.
.
Am
am
销量
b1
b2
...
bn
单位运价表
销地
B1
B2
...
Bn
产地
A1
c11
c12
...
c1n
A2
c21
c22
...
c2n
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Am
cm1
cm2
...
cmn
❖ 若总产量等于总销量（产销平衡），试确定总运费最省 的调运方案。
0
2
A2
2
A3
9
B3
B4
1 12
注意:有时在闭回路调整中，在需要减少运量的地 方有两个以上相等的最小数。这样调整时在原先空格
处填上这个最小数，而有两个最小数的地方成了空格。 此时只需把其中之一变为空格，其余均补添“0”，使 方案中由数字格仍为m+n-1。（将为“0”的格当数字格 看待）
2、位势法
❖ 闭回路法需要求每一个空格的检验数，这对 于大型的运输问题来说显得非常复杂。
设xij表示从产地Ai调运到销地Bj的运输量 （i=1，2；j=1，2，3），例如，x12表示由A1调运 到B2的物品数量，现将安排的运输量列表如下：
销地
运费单价
B1
B2
B3
产量（件）
产地
A1
x11
x12
x13
200
A2
x21
x22
x23
300
销量
150
150
200
500
此运输问题的线性规划模型如下：
第六章 运输问题
前面几章中，我们讨论了线性规划的一般 形式及求解方法，对偶线性规划问题与灵敏 度分析等问题。但在实际工作中，常常遇到 很多线性规划问题，由于它们约束条件变量 的系数矩阵具有特殊的结构，有可能找到比 单纯形法更为简便的方法求解，从而可以大 量节约计算的时间和费用。本章讨论的运输 问题就是这一类特殊的线性规划问题。
-（闭回路上偶数次顶点运距或运价之和）
销地 产地 A1 A2 A3
销量
Table6 运输方案闭回路表
B1
B2
B3
+1 -1 3
-4 1
+1 1
6
3
6
5
Table2 单位运价表
B4 产 量
37 4
39 6
销地
B1
B2
B3
B4
产地
A1
3
11
A2
1
9
A3
7
4
3
10
2
8
10
5
Table7 检验数表
销地
B1
B1
B2
B3
5
3 6
3
6
5
B4 产 量
2
7
1
4
3
9
6Hale Waihona Puke Baidu
练习： 下面的折线构成的封闭曲线连接的顶 点变量哪些不可能是闭回路？为什麽？
（a）
（b） （c）
（d）
（e）
表中的折线构成一条封闭曲线，且所有的
边都是水平或垂直的；
表中的每一行和每一列由折线相连的闭回 路的顶点只有两个；
闭回路法计算非基变量xij检验数的公式： ij =（闭回路上奇数次顶点运距或运价之和）
❖ 建 模 ： 设 xij 为 从 产 地 Ai 运 往 销 地 Bj 的 物 资 数 量 （i=1，…m；j=1，…n。
销地 B1
B2
...
Bn
产量
产地
A1
X11 X12
...
X1n
a1
A2
X21 X22
...
X2n
a2
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Am
Xm1 Xm2
...
Xmn
am
销量
b1
二、运输问题的一般情形
假设某物资有m个产地 A1，A2，...， Am ， n个销地 B1，B2，...，Bn，已知这 m个产地的产量为 a1，a2，...，am；n个 销地的销量分别为 b1，b2，...，bn，从 第i个产地到第j个销地的单位物资运价为 cij,这些数据可用产销平衡表和单位运价 表表示如下。
结构安排
第一节 运输问题的数学模型 第二节 表上作业法★ 第三节 产销不平衡的运输问题及应用
举例
第一节 运输问题的数学模型
在社会经济生活中，经常会碰到大宗物 资的调运问题。如煤、钢铁、木材、粮食等 物资，在全国有若干生产基地，根据已有的 交通网络，制定调运方案，将这些物资运到 各消费地点，这样调运的目的，不仅是要把 这些物资供给各地消费，而且我们也希望调 运的费用最省，这类问题就是所谓的运输问 题。
（1）找出运价表中最小元素 C LK，确
定 x L K m a L ,b i K ，n 若 xLKaL，则令
b'KbKaL，划掉运价表的第L行；反之，
若 xLKbK，则令a'LaLbK，划掉运价表
的第k列。
（2）在运价表剩余元素中重复（1），直 至运价表元素全部被划掉。
例：某糖果公司下设三个工厂，每日产量分别为：A1 — 7吨、A2 —4吨、A3 —9吨。该公司将这些产品运往四个 门市部，各门市部每日销量为：B1 —3吨、B2 —6吨、 B3 —5吨、B4 —6吨。各工厂到各门市部的单位运价如 下表，试确定最优的运输方案。
x 2 n x mn 0(i 1,2, m
;j
bn 1,2,
n)
显然，模型是具有m×n 个变量， m+n个约束的线 性规划，可以用一般的单纯 形法求解，但是当m与n较 大时，模型的规模比较大， 计算比较困难。为了进一步 研究针对运输问题的特殊解 法，下面考察它的约束系数 矩阵。
约束方程组的系数矩阵具有特殊的结构
b2
...
bn
则运输问题的数学模型如下：
mn
min Z
cij xij
i1 j1
x11 x12 x1n a1
x21
x22 x2n
a2
xm1 xm2 xmn am
x11 x21 xm1 b1
x12 x22 xm2 b2
x1n xij
x2n 0(i
xmn 1,2,m; j
❖ 所谓的闭回路，就是从一个空格出发，沿水 平方向或垂直方向前进，遇到合适的数字格 后转90度，继续前进，如果能够回到出发点， 则称这个封闭折线为闭回路。
❖ 可以证明，如果对闭回路的方向不加区别， 对于每一个非基变量而言，以其为起点的闭 回路存在且唯一。
销地 产地
A1 A2 A3
销量
Table5 产销平衡表
销地 产地 A1 A2 A3 销量
销地 产地 A1 A2 A3 销量
Table8 运输方案调整表
B1
B2
B3
B4 产 量
+1 4
3
-1 1
6
3
6
5
Table9 运输方案调整表
B1
B2
B3
-31 7 +1 4
39 6
B4 产 量
5
27
3
14
6
39
3
6
5
6
Table10 新检验数表
销地
B1
B2
产地
A1
❖ 每一列只有两个元素为1，其余元素均为0；
❖ 列向量Pij =(0,…，0，1，，…,0,1,0,…0)T，其 中两个元素1分别处于第i行和第m+j行，ei+em+j。
❖ 将该矩阵分块，特点是：前m行构成m个m×n 阶矩阵，而且第k个矩阵只有第k行元素全为1， 其余元素全为0（k=1，…，m）；后n行构成m个 n阶单位阵。
bn 1,2,n)
mn
min Z
cij xij
i1 j1
x 11 x 12 x 1 n a 1
x 21 x 22 x 2 n a 2
x
m
1
xm2 x 11
x mn x 21
am xm1
b1
x 12 x 22 x m 2 b 2
x1n x ij
二、最优性检验与方案的调整
❖ 最小元素法和Vogel法给出的是一个基可行解， 要确定该基可行解是否是最优解，还必须进 行最优性检验。并进一步对方案进行调整。
❖ 进行最优性检验的方法主要有闭回路法和位 势法。
1、闭回路法
❖ 闭回路是指调运方案中由一个空格和若干个 数字格的水平或垂直连线包围成的封闭回路。
min f 6x11 4x12 6x13 6x21 5x22 5x23 x11 x12 x13 200 , x21 x22 x23 300 ,
s.t x11 x21 150 , x12 x22 150 , x13 x23 200 , xij 0(i 1,2; j 1,2,3)
销地 产地
A1 A2 A3
销量
销地 产地
A1 A2 A3 两最小 ① 元素 ② 之差 ③
④ ⑤
Table3 产销平衡表
B1
B2
B3
5
3 6
3
6
5
Table4 单位运价表
B1
B2
B3
B4
3
11
3
10
1
9
2
8
7
4
10
5
2
5
1
3
2
1
3
2
1
2
1
2
2
B4 产 量
2
7
1
4
3
9
6
两最小元素之差 ①②③④⑤ 0 0 070 1 1 1 60 12