3。4 群的同构定理

§3.4 群的同构定理

同态基本定理：设ϕ是群G 到群G 的一个同态满射，则

ker G

G

ϕ

≅ 。

用图表示：

将同态基本定理推广就得到下面的第一同构定理。

定理1 (第一同构定理) 设ϕ是群G 到群G 的一个满同态，且 ker N G ϕ⊆ ，记()N N

ϕ=，则

G G

N N

≅，或

()

()G G

N

N ϕϕ≅

。

当ker N ϕ=时，{}()N e ϕ=，{}

G G

G

e N =≅，第一同构定理退化

成同态基本定理

第一同构定理也可以用图表示： 证明 首先，由N G 有()N N G

ϕ= 。作映射：

:G G

N

N

τ→， ()()xN x N τϕ=，G xN N

∀∈。

以下验证τ是G N 到G

N

的一个同构映射。

（1）是映射：设(,)aN bN a b G =∈，则1a b N -∈，于是

11

()()()()a b a b N N

ϕϕϕϕ--=∈=，从而()()a N

b N

ϕϕ=，

即G N 中的每个赔集在τ下的像唯一，因此τ确为G N 到G

N

的一个映射。 （2）是满射：()G

aN

a G N

∀∈∈，因为ϕ

是满射，所以存在

a G

∈，使得()a a ϕ=，从而存在G aN N ∈，使得()aN a N τ=，

即是满射。

（3）是单射：设()()aN bN ττ=，即()()a N

b N

ϕϕ=，从而

1

1

()()()a b a b N

ϕϕϕ--=∈。但ϕ是满同态且()N N

ϕ=

，所以

c N

∃∈，使得1

1

1

1

1

()()()K er a

b c a b c e a bc ϕϕϕϕ

-----=⇒⋅=⇒∈。 于是由已知条件ker N ϕ⊆得111

1

1

a bc N a

b a bc

c N

-----∈⇒=⋅∈，

从而aN

bN

=，即是单射。

（4）又由于

()(())()()()()()()()aN bN ab N ab N a b N a N b N aN bN ττϕϕϕϕϕττ⋅====⋅=，

所以τ是G N 到G

N

的一个同态映射。

综上所述，σ是G N 到G N 的一个同构。所以G G

N

N

≅ 。

推论1. 设,H

G N G

且N

H

⊆，则

G G N

H H

N

≅

。

证明 取自然同态:G G N ϕ→，()a aN ϕ=，其核K er N

ϕ

=。

在第一同构定理中取G G N =，取N 为这里的H ，并注意

()H

H N

ϕ=，由第一同构定理得

G G N

H H

N

≅

。

例1 设,H

G K G

，证明

G G H H K H K

H

≅

。

证明 由,H

G K G H K G

⇒ 。又显然H

H K

，直接由推论得

G G H

H K H K

H

≅

。

注意：交换,H K 的位置也可以得 G G K H K H K

K

≅

。

定理2 (第二同构定理) 设G 是群，H

G

≤，N G ，则

H N H

，且 ()HN

H

N

H N ≅ 。

第二同构定理也可以用图表示： 证明：由H G

≤，N G 有HN

G

≤，且N

HN

。作映射

:HN

H

N

ϕ→，()x xN ϕ=，x H ∀∈，

则ϕ显然是H 到H N N

的满同态。且

{}{}{},(),,K er x

x H x N x x H xN N x x H x N H N

ϕϕ=∈==∈==∈∈= ，

于是由同态基本定理得 ()HN

H H N N

≅ 。

例2 34,S S 设分别为3次、4次对称群，4

K 是Klein 四元群，

证明：

4

34

S S K ≅。

证明 首先44K S （见前面）。以下验证：4

34S S K = 且

34{}S K e = ，再用第二同构定理即可得证。事实上，把3

S 中

的每个置换看成保持4不动，则显然34{}S K e = 成立。于是

343434||||||6424||

S K S K S K ⋅==⨯= 。

又34

4S K S ⊆且4||24S =，所以4

34S S K =。于是由第二同构定理 34

3

3

4

34

4

34()

{}

S K S S S S K K S K e ≅≅≅≅ 。

定理3(第三同构定理) 设G 是群，且N G

，G

H

N

≤，则 （1）存在G 的唯一子群,H G H N

≤⊇，使得H

H

N

=；

（2）当G

H

N

时，存在G 的唯一正规子群,H

G H N

⊇ ，

使得H

H N

=，且

G G N H H

N

≅

。

第三同构定理表明：商群G N 的子群仍为商群，且呈H N

的

形式，其中,H

G H N

≤⊇；而且是的正规子群当且仅当

H N

是G

N

的正规子群。

证明 （1）取自然同态:G G N ϕ→，()a aN ϕ=，其核K er N

ϕ=。

由上一节定理4知，在G 的包含N 的子群与G N 的所有子群

之间可以建立一个保持包含关系的双射，因此当G

H

N

≤时，