线段的相等与和差倍
线段的相等与和、差、倍
第16讲线段的相等与和、差、倍知识框架线段的相等与和、差、倍是初中数学六年级下学期第3章第1节的内容．重点是学会用数学符号表示两条线段的大小关系，能用等式表示两条线段的和、差、倍的关系，掌握两点之间距离的概念，理解“两点之间，线段最短”的意义及线段的中点的意义．另外，需学会用直尺、圆规等工具画线段，及其和、差、倍，并学会用作图语言描述画法．16.1 线段的大小的比较1.线段的表示（1）可以用两个大写英文字母表示一条线段的两个端点．如图所示：线段可以用表示端点的两个字母A、B表示，记作线段AB．（2）也可以用一个小写英文字母，如图所示：线段可以用小写英文字母a表示，记作线段a．2.线段的大小比较通常，把比较两条线段的长短称作两条“线段的大小的比较”．线段的大小比较有两种方法：度量法和叠合法．叠合法如下：将线段AB移到线段CD的位置，使端点A与端点C重合，线段AB与线段CD叠合．这时端点B可能的位置情况如下表：图形点B的位置符号表示情况一点B在线段CD上（C、D之间）记作：AB < CD（或CD > AB）A BC D(B)(A)知识精讲情况二点B与点D重合记作：AB = CD 情况三点B在线段CD的延长线上记作：AB > CD（或CD < AB）3.如图，已知线段a，用圆规、直尺画出线段AB，使AB = a．（1）画射线AC；（2）在射线AC上截取线段AB = a．（以点A为圆心，a为半径画弧，交射线AC于点B）线段AB就是所要画的线段．4.两点之间的距离：联结两点的线段的长度叫做两点之间的距离．两点之间，线段最短．【例1】判断题：（1）在“线段AB”中，A、B分别表示这条线段的两个端点．（）（2）“线段AB”与“线段BA”指的是同一条线段．（）（3）“射线AB”与“射线BA”也指同一条射线．（）（4）射线AB的端点是点A和点B．（）（5）线段AB和线段CD，如果点A和点B落在线段CD内，则AB < CD．（）【例2】过一点可做______条直线，过两点可作_____条直线．【例3】线段有______个端点，射线有______个端点，直线有______个端点．【例4】如图所示，图中共有______条线段，共有______条射线．A BC D(B)(A)A BC D(B)(A)例题分析如图所示，图中最短的线段是______，最长的线段是______，点B 与线段CD 的位置关系是__________．【例6】下列画图画法的语句正确的是（ ） （A ）画直线AB 、CD 相交于点M ； （B ）直线AB 、CD 相交于点M ；（C ）在射线OC 上截取线段PC = 3厘米； （D ）延长线段AB 到点C ，使BC = AB . 【例7】如图，已知AB < CD ，则AC 与BD 的大小关系是（ ） （A ）AC > BD ； （B ）AC = BD ； （C ）AC < BD ；（D ）不能确定.【例8】如图，已知ABC 中，边AB 的长大于边AC 的长，试用圆规、直尺在线段AB 上画出线段AD ，使AD = AC ．【例9】图中共有几条线段？几条射线？【例10】如图，已知线段AB 、线段CD ．利用圆规和无刻度的直尺比较这两条线段的大小．ABCD ABCD ABCAB C DAB CD已知平面上有4个点，无三点共线，请问，这4个点可以构成多少条线段？若有5个点呢（其他条件不变）？若有6个点呢（其他条件不变）？若有n个点呢（其他条件不变）？【例12】已知一条直线上有4个点，则以这4个点为端点的线段有多少条？若有5个点呢（其他条件不变）？若有6个点呢（其他条件不变）？若有n个点呢（其他条件不变）？【例13】图中共有多少条线段？16.2 画线段的和、差、倍1.线段的和（或差）两条线段可以相加（或相减），它们的和（或差）也是一条线段，其长度等于这两条线段的长度的和（或差）． 2. 线段的中点 将一条线段分成两条相等的线段的点叫做这条线段的中点．【例1】如图，已知线段a 、b ．（1）画出一条线段，使它等于a b +； （2）画出一条线段，使它等于b a -．【例2】如图，已知线段a 、b ．（1）画出一条线段，使它等于2a ； （2）画出一条线段，使它等于2a b -．【例3】根据图形填空：（1）AD =______+ BC +______= AC + ______= AB + ______； （2）AB = AD -______；（3）AC = AD -______= BC +______．知识精讲例题分析a ba bAB C D如图，已知点C 是线段AB 的中点，则AC =______AB ，AB = 2________= 2_______，12AB =______=______．【例5】如图，已知点C 是线段AB 的中点，AC = 20，BD = 29，则AB =______，DC = ______．【例6】线段AB = 2厘米，延长线段AB 至点C ，使得BC = 2AB ，则AC =_____厘米． 【例7】线段AB = 2厘米，反向延长线段AB 至点C ，使得BC = 3AB ，则AC =_____厘米． 【例8】线段AB = 2005厘米，P 、Q 是线段AB 上的两个点，线段AQ = 1200厘米，线段BP = 1050厘米，那么线段PQ =______厘米． 【例9】如图，线段AD = 90厘米，B 、C 是这条线段上的两点，AC = 70 厘米，且13CD BC =，则AB 的长为______．【例10】如图，已知D 为线段AB 的中点，E 为线段BC 的中点，若AC = 12，EC = 4，求线段AD 的长度．【例11】如图点A 、B 、C 、D 、E 在同一条直线上，已知AB = a ，AD = b ，CD = c ，CE = d ，用含a 、b 、c 、d 的式子表示BC 、DE 的长．A BC AB CD A B C DABC DEABCDE两条长度不等的线段，它们的长度和为a，一条线段的2倍等于另一条线段的3倍，求这两条线段的长度差．（结果用a表示）【例13】已知线段AB，用直尺、圆规作出它的中点C．【例14】两条线段的长度分别为6和8，使这两条线段在同一直线上，并有一个端点重合，求这两条线段的中点所确定的线段的长度．【例15】如图，点A、B、C、D 在同一条直线上，已知12ACCD=，35ABBD=，求AB : BC : CD．【例16】在直线上顺次排列的四个点A、B、C、D满足AB : BC : CD = 2 : 3 : 4，AB的中点M点与CD的中点N点的距离是3厘米，求BC的长．A B如图，线段AB = BC = CD = DE = 1厘米，那么图中所有线段的长度之和等于多少？16.3 随堂检测1.用叠合法比较线段AB与线段CD的大小，把点A与点C重合，当点B在线段CD上，则AB______CD；若点B在线段CD的延长线上，则AB______CD；如点B与点D重合，则AB______CD．2.把一段弯曲的公路改为直路，可以缩短路程，其理由是_________________．3.判断下列语句是否正确：（1）点A与点B的距离就是线段AB；（）（2）若线段AM与线段BM相等，则M是线段AB的中点．（）4.下列各式中不能表达M为线段AB中点的语句是（）（A）12AM AB=；（B）2AB BM=；（C）AM BM=；（D）AM MB AB+=．5.找出图中的所有线段，并将它们表示出来．6.已知M是线段AB上的一点，点C是线段AM的中点，点D是线段MB的中点，AM =8厘米，MD = 2厘米，则BC =______厘米．7.已知线段AB = 6 cm，延长AB到C，使12BC AB=，反向延长AB到D，使14AD BD=，则线段CD = ______cm．8.已知线段a、b、c，画出线段AB使122AB a b c=+-．A B C D EA B C D E Facb9. 已知在平面上有10个点，无三点共线，请问这10个点可以构成多少条线段？10. 在直线上有两点A 、B ，它们的距离等于10，在该直线上另有一点P ，P 到A 、B 的距离之和为12，请判断点P 与点A 的位置关系．16.4 课后作业1.下列语句错误的是（ ）（A ）线段AB 和线段BA 是同一条线段； （B ）射线AB 和射线BA 不是同一条射线；（C ）“延长线段AB 到点C ”与“延长线段BA 到点C ”意义相同； （D ）直线不能比较大小.2. 比较下列各图中线段AB 与CD 的大小．3. 如图，直线上有A 、B 、C 三点，图中共有______条射线，______条线段．4. 线段AB =182厘米，点C 是线段AB 的中点，则线段BC =______厘米． 5.延长线段AB 至点C ，使13BC AB ，D 是AC 的中点，若DC = 2厘米，则AB =___厘米．6.已知线段AB ，点D 为线段AB 的中点，延长线段AB 到C ，使点B 为线段AC 的中点，反向延长线段AB 到E ，使得点A 为线段DE 的中点，则BC =______AE ．ABCDABCD7.延长线段AB到C，使AC = 3AB，在AB反向延长线上取一点D，使AD = AB，若E是AB的中点，DE = 7.2 cm，求CD的长．8.如图，已知AE = 14 cm，B为AE上一点，且AB : BE = 3 : 4，C为AE中点，D为BE中点，求线段CD的长．9.已知A、B、C为一直线上三点，且AB = 10 cm，BC = 20 cm，则AC的长度为多少？10.在直线l上有100个点，以这100个点为端点的线段有多少条？。
线段的和差倍分问题的证明
ABE DC线段的和差倍分问题的证明证明线段的倍分问题： 一、运用定理法即直接或间接运用某些涉及线段和差倍分关系的定理或推论进行证明。
此类定理和推论有：三角形中位线定理；梯形中位线定理；直角三角形30°的锐角所对的直角边等于斜边的一半；直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。
例1 如图，在△ABC 中，∠B =2∠C ，AD ⊥BC 于D ，M 为BC 中点. 求证：DM =21AB 二、比例线段法即找出与所证明有关的比例式，通过对比例式进行变形或重新组合，从而得出线段之间的和差倍分关系。
例2 如图，在△ABC 中，BD 是∠B 的平分线，△ABD 的外接园交BC 于E ，若AB =21AC ， 求证：CE =2AD 。
对应练习1、已知：如图所示，点D 、E 分别是等边ABC ∆的边AC 、BC 上的点，AD=CE ，BD 、AE 交于点P ，AE BQ ⊥于Q ．求证：PB PQ 21=．2、如图所示，在ABC ∆中，AB=AC ，︒=∠90BAC ，BE 平分ABC ∠，交AC 于D ，BE CE ⊥于E 点，求证：BD CE 21=． Q A DP C B E AEADF3、已知：如图所示，锐角ABC ∆中，C B ∠=∠2，BE 是角平分线，BE AD ⊥，垂足是D ．求证：AC=2BD ．4、如图，在ABC ∆中，延长BC 到D ，使CD=2BC ，E 在AC 上，且ＡＥ＝2EC ，D 的延长线交AB 于F ，求证：EF DE 27=二、割补法证明线段的和差问题：这是证明线段的和差倍分问题的一种重要方法。
即通过“分割”或“添补”的形式，在相关线段或其延长线上构造一线段，使之能够表示几条线段的和差倍分关系，从而将多线段问题转化为两线段问题。
在证明线段的和差倍分关系时，往往通过添辅助线，构造出能表示线段的和差倍分关系的线段，促使问题的转化。
但在添加辅助线之前一定要结合题意和图形深入分析，想一想，图形中是否已经存在能表示有关线段和差倍分关系的线段，否则乱添加辅助线只能把图形复杂化，使思路步人歧途。
和倍问题差倍问题和差问题
和倍问题学法指导已知两个数的和及它们之间的倍数关系,求这两个数各是多少的应用题叫做和倍应用题,简称和倍问题。
首先我们要并清几个问题：两个数相比,以被比的数为标准，这个被比的数称为一倍数，比的数里有几个这样的一倍数，就是几倍数，我们就说一个数是另一个数的几倍。
它们之间的数量关系式是: 一倍数×倍数=几倍数t几倍数÷一倍数=倍数几倍数÷倍数=一倍数在解决和倍问题时，先要确定一个数为标准(通常以较小的数为标准)，即一倍数，再根据较大的数与较小的数之间的倍数关系,确定总和相当于一倍数(较小的数）的多少倍,然后求出一倍数（较小的数)，再算出其他各数量。
和倍问题的数量关系式是：和÷（倍数+1）=一倍数即较小的数和一较小的数=较大的数，或较小的数×倍数=较大的数甲、乙两车间共有工人664人，甲车间的人数是乙的3倍,甲、乙两车间各有工人多少人？【分析与解答】我们可以用线段图表示题中的已知条件与问题:乙车间:甲车间：从上图看出,甲车间的人数是乙的3倍，那么把乙车间的人数看作1份,甲就有这样的3份，总人数664人占了1+3 =4份，把664人平均分成4份,l份就是乙车间的人数,3份就是甲车间的人数。
664÷（1+3) =166（人）166 x3 =498（人)或664 —166= 498（人）答：甲车间有工人498人，乙车间有166人.试一试1华强和建军共有图书84本，华强的图书本数是建军的3倍。
华强和建军各有图书多少本？果园里有梨树、苹果树、桃树共207棵，其中梨树的棵数是苹果树的3倍,苹果树的棵数是桃树的2倍。
三种果树各多少棵?【分析与解答】我们把桃树的棵数看作1份，苹果树的棵数就是这样的2份，梨树的棵数就是桃树的2 x3 =6倍，三种果树的总棵数就是桃树的6 +2 +1 =9倍。
可以先求出桃树有207÷9=23（棵)，苹果树有23×2 =46（棵),梨树就是46 x3 =138（棵）。
和差倍分问题
和差倍分问题基础知识：一、掌握利用线段图解和差倍分应用题的方法；二、掌握好设单位1，设份数的方法：可以直接将题目中的某些量设成为“1”份或者是多份；三、解题时需要注意认真审题，多注意观察题目中的隐含条件，特别是对于题目中的不变量，要十分注意。
根据倍数关系将不变量设为多份往往可以大大简化解题的过程；四、对于涉及到3个以上的对象并且给出了部分对象之和的题目，通常利用将条件累加或者对条件进行比较的方法来解题。
基本类型：1. 和倍问题是已知大小两个数的和与它们的倍数关系，常采用画线段图的方法来表示两种量间的这种关系，以便于找到解题的途径。
和÷（倍数＋1）＝小数（1倍数）小数×倍数＝大数和－小数＝大数2.“差倍问题”就是已知两个数的差和它们的倍数关系，求这两个数。
差倍问题的解题思路与和倍问题一样，先要在题目中找到1倍量，再画图确定解题方法。
被除数的数量和除数的倍数关系要相对应，相除后得到的结果是一倍量，然后求出另一个数，最后再写出验算和答题。
差÷（倍数－1）＝小数（1倍数）小数×倍数＝大数小数＋差＝大数例1.爸爸和小明一起搬砖，爸爸所搬的砖头是小明的6倍。
后来父子二人每个人又搬了18块砖头，于是爸爸所搬的砖头变成了小明的4倍。
那么最终爸爸和小明共搬了多少块砖？[答疑编号0518430101]【答案】225【解答】分析：“图解法”是解决这类问题最经典的方法。
注意到原来和后来父子二人所搬砖头数的差是一个“不变量”，可以利用这个特点来解题。
原来爸爸所搬的砖头是小明的6倍，因此两个人的差应为5的倍数；后来爸爸所搬的砖头变成了小明的4倍，因此两个人的差又应该是3的倍数。
综合起来看这两个条件，差既是5的倍数又是3的倍数，因此这个差应该是15的倍数，它可能是15、30、45、60……。
所以可以假设爸爸和小明的差为“15”份。
解法1：如图，画出线段图表示题目条件的含义。
小明原来搬了“1”，后来又搬了18块。
第三讲--线段的和差倍分问题
如图，在四边形ABCD中，∠B+∠D=180°，CB=CD，∠BCD=140°，以C为顶点作一个70°角，角的两边分别交AB，AD于E、F两点，连接EF，探索线段BE，DF，EF之间的数量关系，并加以证明．（3）解：BE+DF=EF；理由如下：延长AB至点N，使BN=DF，连接CN，如图3所示：∵∠ABC+∠D=180°，∠NBC+∠ABC=180°，∴∠NBC=∠D，在△NBC和△FDC中，，∴△NBC≌△FDC（SAS），∴CN=CF，∠NCB=∠FCD，∵∠BCD=140°，∠ECF=70°，∴∠BCE+∠FCD=70°，∴∠ECN=70°=∠ECF，在△NCE和△FCE中，，∴△NCE≌△FCE（SAS），∴EN=EF，∵BE+BN=EN，∴BE+DF=EF．26．已知：点P是平行四边形ABCD对角线AC所在直线上的一个动点（点P不与点A、C重合），分别过点A、C 向直线BP作垂线，垂足分别为点E、F，点O为AC的中点．（1）当点P与点O重合时如图1，易证OE=OF（不需证明）（2）直线BP绕点B逆时针方向旋转，当∠OFE=30°时，如图2、图3的位置，猜想线段CF、AE、OE之间有怎样的数量关系？请写出你对图2、图3的猜想，并选择一种情况给予证明．【考点】四边形综合题．【分析】（1）由△AOE≌△COF即可得出结论．（2）图2中的结论为：CF=OE+AE，延长EO交CF于点G，只要证明△EOA≌△GOC，△OFG是等边三角形，即可解决问题．图3中的结论为：CF=OE﹣AE，延长EO交FC的延长线于点G，证明方法类似．【解答】解：（1）∵AE⊥PB，CF⊥BP，∴∠AEO=∠CFO=90°，在△AEO和△CFO中，，∴△AOE≌△COF，∴OE=OF．（2）图2中的结论为：CF=OE+AE．图3中的结论为：CF=OE﹣AE．选图2中的结论证明如下：延长EO交CF于点G，∵AE⊥BP，CF⊥BP，∴AE∥CF，∴∠EAO=∠GCO，在△EOA和△GOC中，，∴△EOA≌△GOC，∴EO=GO，AE=CG，在RT△EFG中，∵EO=OG，∴OE=OF=GO，∵∠OFE=30°，∴∠OFG=90°﹣30°=60°，∴△OFG是等边三角形，∴OF=GF，∵OE=OF，∴OE=FG，∵CF=FG+CG，∴CF=OE+AE．选图3的结论证明如下：延长EO交FC的延长线于点G，∵AE⊥BP，CF⊥BP，∴AE∥CF，∴∠AEO=∠G，在△AOE和△COG中，，∴△AOE≌△COG，∴OE=OG，AE=CG，在RT△EFG中，∵OE=OG，∴OE=OF=OG，∵∠OFE=30°，∴∠OFG=90°﹣30°=60°，∴△OFG是等边三角形，∴OF=FG，∵OE=OF，∴OE=FG，∵CF=FG﹣CG，∴CF=OE﹣AE．26．如图，在正方形ABCD内作∠EAF=45°，AE交BC于点E，AF交CD于点F，连接EF，过点A作AH⊥EF，垂足为H．连接BD交AE于点M，交AF于点N．请探究并猜想：线段BM，MN，ND之间有什么数量关系？并说明理由．【解答】解：（1）①由旋转的性质可知：AF=AG，∠DAF=∠BAG．∵四边形ABCD为正方形，∴∠BAD=90°．又∵∠EAF=45°，∴∠BAE+∠DAF=45°．∴∠BAG+∠BAE=45°．∴∠GAE=∠FAE．在△GAE和△FAE中，∴△GAE≌△FAE．②∵△GAE≌△FAE，AB⊥GE，AH⊥EF，∴AB=AH，GE=EF=5．设正方形的边长为x，则EC=x﹣2，FC=x﹣3．在Rt△EFC中，由勾股定理得：EF2=FC2+EC2，即（x﹣2）2+（x﹣3）2=25．解得：x=6．∴AB=6．∴AH=6．（3）如图所示：将△ABM逆时针旋转90°得△ADM′．∵四边形ABCD为正方形，∴∠ABD=∠ADB=45°．由旋转的性质可知：∠ABM=∠ADM′=45°，BE=DM′．∴∠NDM′=90°．∴NM′2=ND2+DM′2．∵∠EAM′=90°，∠EAF=45°，∴∠EAF=∠FAM′=45°．在△AMN和△ANM′中，，∴△AMN≌△ANM′．∴MN=NM′．又∵BM=DM′，∴MN2=ND2+BM2．25．已知在矩形ABCD中，∠ADC的平分线DE与BC边所在的直线交于点E，点P是线段DE上一定点（其中EP＜PD）（1）如图1，若点F在CD边上（不与D重合），将∠DPF绕点P逆时针旋转90°后，角的两边PD、PF分别交射线DA于点H、G．①求证：PG=PF；②探究：DF、DG、DP之间有怎样的数量关系，并证明你的结论．（2）拓展：如图2，若点F在CD的延长线上（不与D重合），过点P作PG⊥PF，交射线DA于点G，你认为（1）中DE、DG、DP之间的数量关系是否仍然成立？若成立，给出证明；若不成立，请写出它们所满足的数量关系式，并说明理由．【考点】四边形综合题．【分析】（1）①若证PG=PF，可证△HPG≌△DPF，已知∠DPH=∠HPG，由旋转可知∠GPF=∠HPD=90°及DE平分∠ADC 得△HPD为等腰直角三角形，即∠DHP=∠PDF=45°、PD=PH，即可得证；②由△HPD为等腰直角三角形，△HPG≌△DPF知HD=DP，HG=DF，根据DG+DF=DG+GH=DH即可得；（2）过点P作PH⊥PD交射线DA于点H，先证△HPD为等腰直角三角形可得PH=PD，HD=DP，再证△HPG≌△DPF 可得HG=DF，根据DH=DG﹣HG=DG﹣DF可得DG﹣DF=DP．【解答】解：（1）①∵∠GPF=∠HPD=90°，∠ADC=90°，∴∠GPH=∠FPD，∵DE平分∠ADC，∴∠PDF=∠ADP=45°，∴△HPD为等腰直角三角形，∴∠DHP=∠PDF=45°，在△HPG和△DPF中，∵，∴△HPG≌△DPF（ASA），∴PG=PF；②结论：DG+DF=DP，由①知，△HPD为等腰直角三角形，△HPG≌△DPF，∴HD=DP，HG=DF，∴HD=HG+DG=DF+DG，∴DG+DF=DP；（2）不成立，数量关系式应为：DG﹣DF=DP，如图，过点P作PH⊥PD交射线DA于点H，∵PF⊥PG，∴∠GPF=∠HPD=90°，∴∠GPH=∠FPD，∵DE平分∠ADC，且在矩形ABCD中，∠ADC=90°，∴∠HDP=∠EDC=45°，得到△HPD为等腰直角三角形，∴∠DHP=∠EDC=45°，且PH=PD，HD=DP，∴∠GHP=∠FDP=180°﹣45°=135°，在△HPG和△DPF中，∵∴△HPG≌△DPF，∴HG=DF，∴DH=DG﹣HG=DG﹣DF，∴DG﹣DF=DP．【点评】本题主要考查等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质、矩形的性质的综合运用，灵活运用全等三角形的判定与性质将待求证线段关系转移至其他两线段间关系是解题的关键．例4 （2013•黑龙江）正方形ABCD的顶点A在直线MN上，点O是对角线AC、BD的交点，过点O作OE⊥MN于点E，过点B作BF⊥MN于点F．（1）如图1，当O、B两点均在直线MN上方时，易证：AF+BF=2OE（不需证明）（2）当正方形ABCD绕点A顺时针旋转至图2、图3的位置时，线段AF、BF、OE之间又有怎样的关系？请直接写出你的猜想，并选择一种情况给予证明．思路分析：（1）过点B 作BG ⊥OE 于G ，可得四边形BGEF 是矩形，根据矩形的对边相等可得EF=BG ，BF=GE ，根据正方形的对角线相等且互相垂直平分可得OA=OB ，∠AOB=90°，再根据同角的余角相等求出∠AOE=∠OBG ，然后利用“角角边”证明△AOE 和△OBG 全等，根据全等三角形对应边相等可得OG=AE ，OE=BG ，再根据AF-EF=AE ，整理即可得证；（2）选择图2，过点B 作BG ⊥OE 交OE 的延长线于G ，可得四边形BGEF 是矩形，根据矩形的对边相等可得EF=BG ，BF=GE ，根据正方形的对角线相等且互相垂直平分可得OA=OB ，∠AOB=90°，再根据同角的余角相等求出∠AOE=∠OBG ，然后利用“角角边”证明△AOE 和△OBG 全等，根据全等三角形对应边相等可得OG=AE ，OE=BG ，再根据AF-EF=AE ，整理即可得证；选择图3同理可证．解：（1）证明：如图，过点B 作BG ⊥OE 于G ，则四边形BGEF 是矩形，∴EF=BG ，BF=GE ，在正方形ABCD 中，OA=OB ，∠AOB=90°，∵BG ⊥OE ，∴∠OBG+∠BOE=90°，又∵∠AOE+∠BOE=90°，∴∠AOE=∠OBG ，∵在△AOE 和△OBG 中，90AOE OBG AEO OGB OA OB ∠=∠⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩，∴△AOE ≌△OBG （AAS ），∴OG=AE ，OE=BG ，∵AF-EF=AE ，EF=BG=OE ，AE=OG=OE-GE=OE-BF ，∴AF-OE=OE-BF ，∴AF+BF=2OE ；（2）图2结论：AF-BF=2OE ，图3结论：AF-BF=2OE ．对图2证明：过点B 作BG ⊥OE 交OE 的延长线于G ，则四边形BGEF 是矩形，∴EF=BG ，BF=GE ，在正方形ABCD 中，OA=OB ，∠AOB=90°，∵BG ⊥OE ，∴∠OBG+∠BOE=90°，又∵∠AOE+∠BOE=90°，∴∠AOE=∠OBG ，∵在△AOE 和△OBG 中，90AOE OBG AEO OGB OA OB ∠=∠⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩，∴△AOE ≌△OBG （AAS ），∴OG=AE ，OE=BG ，∵AF-EF=AE ，EF=BG=OE ，AE=OG=OE+GE=OE+BF ，∴AF-OE=OE+BF ，∴AF-BF=2OE ；若选图3，其证明方法同上．点评：本题考查了正方形的性质，矩形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，同角的余角相等的性质，作辅助线构造出全等三角形与矩形是解题的关键，也是本题的难点．2.（2015•随州）问题：如图（1），点E 、F 分别在正方形ABCD 的边BC 、CD 上，∠EAF=45°，试判断BE 、EF 、FD 之间的数量关系．【类比引申】如图（2），四边形ABCD 中，∠BAD ≠90°，AB=AD ，∠B+∠D=180°，点E 、F 分别在边BC 、CD 上，则当∠EAF 与∠BAD 满足 关系时，仍有EF=BE+FD ．26．已知二次函数y=x 2﹣（2k +1）x +k 2+k （k ＞0），若该二次函数与x 轴交于A 、B 两点（A 点在B 点的左侧），与y 轴交于C 点，P 是y 轴负半轴上一点，且OP=1，直线AP 交BC 于点Q ，求证：．（3）由题意可得：点P的坐标为（0，1），则0=x2﹣（2k+1）x+k2+k0=（x﹣k﹣1）（x﹣k），故A（k，0），B（k+1，0），当x=0，则y=k2+k，故C（0，k2+k）则AB=k+1﹣k=1，OA=k，可得，y BC=﹣kx+k2+k，当x﹣1=﹣kx+k2+k，解得：x=k+，则代入原式可得：y=，则点Q坐标为运用距离公式得：AQ2=（）2+（）2=，则OA2=k2，AB2=1，故+=+1==，则．。
教案和倍、差倍问题
人教版三年级A册第六讲和倍、差倍问题教学内容：和倍、差倍问题教学目的：1、在倍的基础上理解和倍和差倍的意思。
2、熟练运用和倍和差倍的公式解决问题。
3、能画线段图解决实际问题。
教学重点：1、根据题目意思画出线段图。
2、解决实际问题。
教学难点：1、根据题意画出线段图，分析清楚数量关系。
2、能找出两个数的和或者差以及倍数关系，正确列式计算。
教学准备：PPT教学建议：本讲知识是新授课，在教学时要注意利用生活中的情景帮助学生理解和倍差倍的意思，教会学会画线段图，能准确的分析清楚数量之间的关系，通过线段图列出算式。
教学方法：学生自主探索为主，教师点拨为辅。
举事例，画线段图，帮助学生理解。
课时建议：复习，例1-例4为第一次课；例5-例8为第二次课。
第一次课四基导入同学们，大家好，又见面了，上节课我们一起探讨了倍的认识的相关知识，今天我们继续来探讨跟倍有关的知识——和倍、差倍问题。
先来复习一下我们上节课的知识，看大家有没有忘记。
（放PPT,四基导入，并请同学回答问题）看来大家对倍的知识还很熟练，接下来我们看到今天的新内容，首先看第一题。
精例分析例1、小精灵和妈妈的年龄加在一起是40岁，妈妈的年龄是小精灵的4倍，小精灵有几岁？妈妈有几岁？师：请一位同学来读一读这个题目，并且说一说，你从中能够得到哪些信息？生：小精灵和妈妈的年龄和是40岁，妈妈的年龄是小精灵的4倍。
师：非常好，还记得之前我们怎么做的吗？生：小精灵是1倍量，妈妈是4倍量，加起来是5倍量。
和是40岁，可以求出1倍量。
师：真不错，能列出算式吗？生：40+ （1+4） =8 （岁），8W=32 （岁）。
生：还可以是40-8=32 （岁）。
师：大家说的都是正确的，习惯用哪一种方式就用哪一种，这类题型，大家学会了吗？生：学会了。
领悟思想构建数模师小结：像这样，已知两个数的和与他们之间的倍数关系，我们统称为和倍问题，数量关系可以这样表示：两数和+ （倍数+1） =1倍量师：你们学会了吗？请同学们动手试一试下面的练习，看看哪位同学算的最快最准。
线段的相等与和、差、倍
线段的相等与和、差、倍1. 线段的相等在线段的基本几何概念中，相等是一个重要的概念之一。
相等的意思是指两条线段长度相等，当两条线段的长度相等时，我们可以说这两条线段是相等的。
在数学中，我们使用符号“=”来表示线段的相等关系。
如果线段AB与线段CD相等，可以写作AB = CD。
线段的相等有以下几个基本性质：•自反性：对于任意线段AB，都有AB = AB，即一条线段与自身相等。
•对称性：如果线段AB = CD，则有CD = AB，即如果两条线段相等，它们可以互相替换位置。
•传递性：如果线段AB = CD，且线段CD = EF，则有AB = EF，即如果两条线段分别与一条线段相等，那么它们之间也相等。
线段的相等可以通过测量线段长度来确定。
我们可以使用直尺或其他测量工具来测量线段的长度，然后将它们进行比较以确定线段是否相等。
2. 线段的和线段的和是指将两条线段放在一起，形成一条新的线段。
线段的和可以通过将两条线段的端点连接起来来确定。
如果有一条线段AB和一条线段CD，线段的和可以表示为AB + CD。
线段的和的长度等于两条线段长度之和。
线段的和具有以下性质：•结合律：对于任意线段AB、CD和EF，有(AB + CD) + EF = AB + (CD + EF)。
即线段的和满足结合律。
•交换律：对于任意线段AB和CD，有AB + CD = CD + AB。
即线段的和满足交换律。
当我们计算线段的和时，可以使用测量工具测量出各个线段的长度，然后将它们相加得到线段的和的长度。
3. 线段的差线段的差是指从一条线段中减去另一条线段所得到的新线段。
线段的差可以表示为AB - CD。
要计算线段的差，我们需要先测量出两条线段的长度，然后将被减去的线段的长度从原线段的长度中减去。
差的长度可能是正数、零或负数，取决于被减去的线段的长度与原线段的长度的大小关系。
线段的差没有交换律，即AB - CD 不等于 CD - AB。
4. 线段的倍数线段的倍数是指将一条线段的长度扩大或缩小n倍所得到的新线段。
三角形全等的应用3 证多条线段之间的和差倍分及不等关系(含详细解答)
四、利用全等三角形证线段之间的和差倍分问题证一条线段等于其它两条线段的和或差，常将其转化成证明线段的相等问题，常用的方法如下：(1)利用图形中已有的线段和差关系进行证明。
(2)延长一条线段，作出两条线段的和，然后证明这条线段等于第三条线段。
(3)在第三条线段上截取一段等于第一条线段，然后证余下的线段等于第二条线段。
后两种方法，就是通常所说的截长补短。
例1.已知：如图在△ABC中，∠ABC的平分线与∠ACB相邻外角∠ACG的平分线相交于D，DE∥BC交AB于E，交AC于F，求证：EF=BE-CF分析：要证EF=BE-CF，而图中EF=ED-FD，若证出BE=ED，CF=FD，则此题可证出。
（证明略）例2.已知：如图，四边形ABCD中，AC平分∠BAD，CE⊥AB 于E，且∠B+∠D=180°，求证：AE=AD+BE分析：要证AE=AD+BE，则可转化为证AE-BE=AD，则需找到一条线段使它等于AE-BE，再证其与AD相等，在EA上截取EF=BE，连结CF，问题转化为证AF=AD，即要证出△AFC≌△ADC证明：在EA上截取EF=BE，连结CF∵CE⊥AB于E（已知）∴CF=CB（在线段垂直平分线上的点，到线段两个端点的距离相等）∴∠1=∠B（等边对等角）∵∠1+∠2=180°（平角定义）∠B+∠D=180°（已知）∴∠2=∠D（等角的补角相等）（再往下证明略）3.如图，△ABC是等边三角形，∠BDC=120°，且BD=CD,∠MDN=60°，AB=12cm. (1)证明MN=BM＋NC.（2）求△AMN的周长。
（3）若点M、N分别是AB、CA延长线上的点，，请说明BM、MN、NC之间的关系。
分析：（1）证明MN=BM＋NC.是典型的三条线段之间的关系的题型，这种题型一般是采用“截长补短法”来证明。
“截长法”是在最长的线段MN上找一点F，将MN截为两部分(如图4)，比如截为MN=MF＋NF,且使MF=BM（或NF=NC）.再求证剩余的线段NF=NC，从而得到MN=BM＋NC。
线段的和差(53张PPT)数学
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CD
CB
解析 由题图可知：BD＝BC＋CD，AD＝AC＋BD－CB.
(2)如果CD＝4 cm，BD＝7 cm，B是AC的中点，那么AB的长为_____cm.
答案
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3
解析 如果CD＝4 cm，BD＝7 cm，B是AC的中点，则BC＝BD－CD＝7－4＝3 cm，∴AB＝BC＝3 cm.
∴点O是线段AB的中点；∵AB＝2OB，∴点O是线段AB的中点.故选C.
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4.如图，C是线段AB上的一点，点D是线段BC的中点，若AB＝10，AC＝6，则AD等于( )A.4 B.6 C.7.5 D.8
D
解析 ∵BC＝AB－AC＝4，点D是线段BC的中点，∴CD＝DB＝ BC＝2，∴AD＝AC＋CD＝6＋2＝8.故选D.
中点
知识点2 与中点有关的计算
答案
自我检测2.点C是线段AB的中点，则下列结论不成立的是( )A.AC＝BC B.AC＝ ABC.AB＝2AC D.BC＝ AB
B
答案
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2022-2023学年上海六年级数学下学期同步知识点讲练 第11讲线段的相等与和、差、倍带讲解
第11讲线段的相等与和、差、倍（核心考点讲与练）一．线段的性质：两点之间线段最短线段公理两点的所有连线中，可以有无数种连法，如折线、曲线、线段等，这些所有的线中，线段最短．简单说成：两点之间，线段最短．二．两点间的距离（1）两点间的距离连接两点间的线段的长度叫两点间的距离．（2）平面上任意两点间都有一定距离，它指的是连接这两点的线段的长度，学习此概念时，注意强调最后的两个字“长度”，也就是说，它是一个量，有大小，区别于线段，线段是图形．线段的长度才是两点的距离．可以说画线段，但不能说画距离．三．比较线段的长短（1）比较两条线段长短的方法有两种：度量比较法、重合比较法．就结果而言有三种结果：AB＞CD、AB＝CD、AB＜CD．（2）线段的中点：把一条线段分成两条相等的线段的点．（3）线段的和、差、倍、分及计算做一条线段等于已知线段，可以通过度量的方法，先量出已知线段的长度，再利用刻度尺画条等于这个长度的线段，也可以利用圆规在射线上截取一条线段等于已知线段．如图，AC＝BC，C为AB中点，AC＝AB，AB＝2AC，D为CB中点，则CD＝DB＝CB＝AB，AB＝4CD，这就是线段的和、差、倍、分．一．线段的性质：两点之间线段最短（共3小题）1．（2022•石家庄模拟）星期日，小丽从家到书店购买复习资料，已知从家到书店有四条路线，由上到下依次记为路线l1、l2、l3、l4，如图所示，则从家到书店的最短路线是（）A．l1B．l2C．l3D．l4【分析】根据两点之间线段最短即可得出答案．【解答】解：∵两点之间线段最短，∴从家到书店的最短路线是l2，故选：B．【点评】本题考查了线段的性质：两点之间线段最短，掌握两点之间线段最短是解题的关键．2．（2021秋•霸州市期末）如图，下列说法不正确的是（）A．直线m，n相交于点P B．直线m不经过点QC．PA+PB＜QA+QB D．直线m上共有三个点【分析】根据三角形的三边关系、结合图形判断即可．【解答】解：A、直线m与直线n相交于点P，本选项说法正确，不符合题意；B、直线m不经过点Q，本选项说法正确，不符合题意；C、在△ABQ中，AB＜QA+QB，∴PA+PB＜QA+QB，本选项说法正确，不符合题意；D、直线m上有无数个点，本选项说法错误，符合题意；故选：D．【点评】本题考查的是点与直线的位置关系、三角形的三边关系，掌握三角形两边之和大于第三边是解题的关键．3．（2021秋•两江新区期末）下列说法中正确的个数有（）①两点之间的所有连线中，线段最短；②倒数等于它本身的数是﹣1、0、1；③不能作射线OA的延长线；④若|a|＝|b|，则a＝b；⑤方程（m﹣3）x|m|﹣2+4＝0是关于x的一元一次方程，则m＝±3．A．2个B．3个C．4个D．5个【分析】根据线段公理、倒数的定义、绝对值的定义，一元一次方程的定义进行判断即可．【解答】解：①两点之间的所有连线中，线段最短，符合题意；②倒数等于它本身的数是﹣1、1，不符合题意；③不能做射线OA的延长线，只能做射线OA的反向延长线，符合题意；④若|a|＝|b|，则a＝±b，不符合题意；⑤方程（m﹣3）x|m|﹣2+4＝0是关于x的一元一次方程，则m＝﹣3，不符合题意，正确的个数有2个．故选：A．【点评】本题考查了线段公理、倒数的定义、绝对值的定义，一元一次方程的定义，熟练掌握各定义是解题的关键．二．两点间的距离（共6小题）4．（2021秋•沂水县期末）已知射线OP，在射线OP上截取OC＝10cm，在射线CO上截取CD＝6cm，如果点A、点B分别是线段OC、CD的中点，那么线段AB的长等于2cm．【分析】根据OC、CD和中点A、B求出AC和BC，利用AB＝AC﹣BC即可．【解答】解：如图所示，∵OC＝10cm，CD＝6cm，点A、点B分别是线段OC、CD的中点，∴AC＝5，BC＝3，∴AB＝AC﹣BC＝2．故答案为：2．【点评】本题考查线段的和差计算，能准确画出对应的图形是解题的关键．5．（2021秋•和平县期末）在直线MN上取A、B两点，使AB＝10cm，再在线段AB上取一点C，使AC＝2cm，P、Q分别是AB、AC的中点，则PQ＝4cm．【分析】画出大致示意图进行解题即可【解答】解：如图，∵AB＝10cm，P为AB的中点∴AP＝PB＝5cm∵AC＝2cm，∴CP＝3cm∵Q为AC的中点∴QC＝AQ＝1cm∴PQ＝QC+CP＝1+3＝4cm故答案为：4【点评】此题主要考查两点间的距离（线段长度）计算，此类题目，通常利用图形结合进行解题．6．（2019秋•阳谷县期中）已知在数轴上的点A、B、C分别代表﹣2、﹣1.5、2.1这三个数，原点为O．（1）分别求线段OA、BC的长度；（2）求BC的中点D对应的数；（3）求点B关于点C的对称点E对应的数．【分析】（1）根据两点间的距离即可得到结论；（2）根据线段中点的定义即可得到结论；（3）根据中心对称的性质即可得到结论．【解答】解：（1）OA＝|﹣2﹣0|＝2；BC＝|2.1﹣（﹣1.5）|＝3.6；（2）BC中点D对应的数为＝0.3；（3）点B关于点C的对称点E对应的数2.1+[2.1﹣（﹣1.5）]＝5.7．【点评】本题考查了两点间的距离，数轴，正确的理解题意是解题的关键．7．（2021春•浦东新区期末）如图，已知点C在线段AB上，AC＝6，点D是线段AB的中点，点E是线段BC的中点．求DE的长．请把下面的解题过程补充完整：解：因为点D是线段AB的中点，所以DB＝AB；因为点E是线段BC的中点，所以BE＝BC；因为DE＝DB﹣BE，所以DE＝AB﹣BC＝AC；因为AC＝6，所以DE＝3．【分析】根据线段中点的定义和线段的和差即可得到结论．【解答】解：因为点D是线段AB的中点，所以DB＝AB；因为点E是线段BC的中点，所以BE＝BC；因为DE＝DB﹣BE，所以DE＝AB﹣BC＝AC；因为AC＝6，所以DE＝3．故答案为：AB，BC，AB，BC，AC，3．【点评】本题主要考查两点间的距离，中点的定义，线段的计算，熟练掌握线段中点的定义是解本题的关键．8．（2021春•杨浦区期末）已知点C是线段AB的中点，点D是线段AB上一点，且CD＝，若AD＝4，求AB长度．【分析】设CD＝x，则BD＝3x，根据线段中点的性质表示AD的长（分两种情况），列方程进行计算可得结论．【解答】解：∵点C是线段AB的中点，∴AC＝BC，∵点D是线段AB上一点，且CD＝，∴设CD＝x，则BD＝3x，∴AD＝4x+x＝5x或AD＝3x﹣x﹣x＝x，∵AD＝4，∴5x＝4或x＝4，∴x＝或4，∴AB＝或16．【点评】本题考查的是两点间的距离的计算，正确理解线段中点的概念和性质是解题的关键．9．（2021秋•南丹县期末）如图，点C是线段AB的中点，点D是线段CB上一点，DB＝BC，若线段AC＝6，则CD＝4．【分析】根据中点的定义可求线段BC＝AC＝6，再根据DB＝BC可求DB，再根据线段的和差关系即可求解．【解答】解：∵点C是线段AB的中点，∴BC＝AC＝6，∵DB＝BC，∴DB＝2，∴CD＝BC﹣DB＝6﹣2＝4．故答案为：4．【点评】本题考查了两点间的距离，解答本题的关键是掌握线段中点的定义，注意数形结合思想的运用．三．比较线段的长短（共4小题）10．（2019春•松江区期末）如图，已知点C是线段AB的中点，点D是CB的中点，那么下列结论中错误的是（）A．AC＝CB B．BC＝2CD C．AD＝2CD D．CD＝AB【分析】根据线段的中点定义可得到线段之间的关系，对各选项分析后即选出答案．【解答】解；∵点C是线段AB的中点，∴AC＝CB＝AB，故A正确；∵点D是CB的中点，∴BC＝2CD＝2DB，故B正确；∵CB＝AB，BC＝2CD∴CD＝AB，故D正确；∴只有C错误；故选：C．【点评】此题主要考查了线段的中点，关键是正确理解中点的定义．11．（2020秋•丹阳市期末）点A、B、C在直线l上，AB＝4cm，BC＝6cm，点E是AB中点，点F是BC的中点，EF＝5cm或1cm．【分析】因为A、B、C三点位置不明确，分点B在A、C之间和点A在B、C之间两种情况讨论，①根据中点定义先求出BE、BF的长，BE+BF＝EF；②根据中点定义先求出BE、BF的长，BF﹣BE＝EF．【解答】解：如图，∵AB＝4cm，BC＝6cm，点E是AB中点，点F是BC的中点，∴BE＝AB＝2cm，BF＝BC＝3cm，①点B在A、C之间时，EF＝BE+BF＝2+3＝5cm；②点A在B、C之间时，EF＝BF﹣BE＝3﹣2＝1cm．∴EF的长等于5cm或1cm．故答案为：5cm或1cm．【点评】本题利用线段中点定义，需要分两种情况讨论．12．（2021春•浦东新区月考）如图，已知B、C在线段AD上．（1）图中共有6条线段；（2）若AB＝CD．①比较线段的大小：AC＝BD（填：“＞”、“＝”或“＜”）；②若BD＝4AB，BC＝12cm，求AD的长．【分析】（1）根据图形依次数出线段的条数即可；（2）①根据等式的性质即可得到答案；②依据线段的和差关系进行计算，即可得出AD的长；【解答】解：（1）图中有线段：AB、BC、CD、AC、BD、AD，共6条，故答案为：6．（2）①∵AB＝CD，∴AB+BC＝CD+BC，即AC＝BD，故答案为：＝．②∵BD＝4AB，AB＝CD，∴BC＝3AB，∵BC＝12，∴AB＝4，∴AD＝AB+BD＝4+4×4＝20（cm），【点评】本题主要考查了线段的长度计算和线段中点的性质，关键是掌握线段的和、差、倍、分及计算方法．13．（2010秋•瑞金市期末）如图，P是定长线段AB上一点，C、D两点分别从P、B出发以1cm/s、2cm/s的速度沿直线AB向左运动（C在线段AP上，D在线段BP上）（1）若C、D运动到任一时刻时，总有PD＝2AC，请说明P点在线段AB上的位置；（2）在（1）的条件下，Q是直线AB上一点，且AQ﹣BQ＝PQ，求的值．（3）在（1）的条件下，若C、D运动5秒后，恰好有，此时C点停止运动，D点继续运动（D点在线段PB上），M、N分别是CD、PD的中点，下列结论：①PM﹣PN的值不变；②的值不变，可以说明，只有一个结论是正确的，请你找出正确的结论并求值．【分析】（1）根据C、D的运动速度知BD＝2PC，再由已知条件PD＝2AC求得PB＝2AP，所以点P在线段AB上距离A的处；（2）由题设画出图示，根据AQ﹣BQ＝PQ求得AQ＝PQ+BQ；然后求得AP＝BQ，从而求得PQ 与AB的关系；（3）当点C停止运动时，有，从而求得CM与AB的数量关系；然后求得以AB表示的PM与PN的值，所以．【解答】解：（1）根据C、D的运动速度知：BD＝2PC∵PD＝2AC，∴BD+PD＝2（PC+AC），即PB＝2AP，∴点P在线段AB上的处；（2）如图：∵AQ﹣BQ＝PQ，∴AQ＝PQ+BQ；又AQ＝AP+PQ，∴AP＝BQ，∴，∴．当点Q'在AB的延长线上时AQ'﹣AP＝PQ'所以AQ'﹣BQ'＝PQ＝AB所以＝1；（3）②．理由：当CD＝AB时，点C停止运动，此时CP＝5，AB＝30①如图，当M，N在点P的同侧时MN＝PN﹣PM＝PD﹣（PD﹣MD）＝MD﹣PD＝CD ﹣PD＝（CD﹣PD）＝CP＝②如图，当M，N在点P的异侧时MN＝PM+PN＝MD﹣PD+PD＝MD﹣PD＝CD﹣PD＝（CD﹣PD）＝CP＝∴＝＝当点C停止运动，D点继续运动时，MN的值不变，所以，＝．【点评】本题考查了比较线段的长短．利用中点性质转化线段之间的倍分关系是解题的关键，在不同的情况下灵活选用它的不同表示方法，有利于解题的简洁性．同时，灵活运用线段的和、差、倍、分转化线段之间的数量关系也是十分关键的一点．四．线段的和差（共4小题）14．（2020秋•柳南区校级期末）如图，已知线段AC＝7cm，AD＝2cm，C为线段DB的中点，则线段AB＝12cm．【分析】根据线段的和差和，线段中点的定义，即可得到结论．【解答】解：∵AC＝7cm，AD＝2cm，∴CD＝AC﹣AD＝5cm，∵C为线段DB的中点，∴BC＝CD＝5cm，∴AB＝AC+BC＝7+5＝12（cm），答：线段AB＝12cm，故答案为：12．【点评】本题主要考查了线段的和差，线段的中点的定义，掌握中点的定义是解本题的关键．15．（2020秋•虎林市期末）如图，C是线段AB上的一点，M是AB的中点，N是CB的中点，若AB ＝16，CB＝6．线段MN的长．【分析】根据已知条件M是AB的中点，N是CB 的中点，可得MB和BN的长度，根据MN＝MB﹣BN，代入计算即可得出答案．【解答】解：因为M是AB的中点，N是CB的中点，若AB＝16，CB＝6，所以MB＝＝，BN＝，所以MN＝MB﹣BN＝8﹣3＝5．【点评】本题主要考查了两点的距离，熟练应用两点间的距离的计算方法进行求解是解决本题的关键．16．（2020秋•九龙坡区校级期末）如图，点D是线段AC的中点，点E是线段BC的中点，且AB＝BC．（1）若BC＝8，求DC的长；（2）若DE＝6，求AC的长．【分析】（1）根据线段之间的和差关系及线段中点的性质求解即可；（2）结合图形易得AC＝AB+BC＝BC+BC＝BC，再根据线段中点的性质推出DC＝DA＝AC＝×BC＝BC，EC＝BE＝BC，进而根据线段之间的和差关系求解即可．【解答】解：（1）∵BC＝8，∴AB＝BC＝×8＝6，∴AC＝AB+BC＝6+8＝14，∵点D是线段AC的中点，∴DC＝DA＝AC＝×14＝7；（2）∵AB＝BC，∴AC＝AB+BC＝BC+BC＝BC，∵点D是线段AC的中点，点E是线段BC的中点，∴DC＝DA＝AC＝×BC＝BC，EC＝BE＝BC，∴DE＝DC﹣EC＝BC﹣BC＝BC＝6，解得BC＝16，∴AC＝×16＝28．【点评】本题考查两点间的距离及线段的和差，解题的关键是根据线段中点的性质得出DC＝DA＝AC＝×BC＝BC，EC＝BE＝BC，并且应充分运用数形结合的思想方法，寻找各线段之间的和差关系．17．（2021秋•汝阳县期末）已知在数轴上，点O为原点，点A对应的数为9，点B对应的数为b，点C在点B右侧．线段BC的长度为2个单位，线段BC在数轴上移动．（1）如图在（1）中图BC位置情况下，当线段BC在O、A两点之间移动到某一位置时，恰好满足线段AC＝OB，求此时b的值；（2）当线段BC在数轴上沿射线AO方向移动的过程中，若存在AC﹣OB＝AB，求此时满足条件的b的值．【分析】（1）由题意可知B点表示的数比点C对应的数少2，进一步用b表示出AC、OB之间的距离，联立方程求得b的数值即可；（2）分别用b表示出AC、OB、AB，进一步利用AC﹣OB＝AB建立方程求得答案即可．【解答】解：（1）由题意得：9﹣（b+2）＝b，解得：b＝3.5．答：线段AC＝OB，此时b的值是3.5．（2）由题意得：①9﹣（b+2）﹣b＝（9﹣b），解得：b＝．②9﹣（b+2）+b＝（9﹣b），解得：b＝﹣5，答：若AC﹣OB＝AB，满足条件的b值是或﹣5．【点评】本题考查了线段的和差，考查了数轴与两点间的距离的计算，根据数轴确定出线段的长度是解题的关键．分层提分题组A 基础过关练一．选择题（共7小题）1．（2019春•虹口区期末）已知线段AB，反向延长AB到C，使AC＝AB，AC＝2cm，则BC等于（）A．4cm B．6cm C．8cm D．10cm【分析】根据线段中点的定义和线段的和差即可得到结论．【解答】解：如图，∵AC＝AB，AC＝2cm，∴AB＝6cm，∴BC＝AC+AB＝2+6＝8（cm），故选：C．【点评】本题考查了两点之间的距离，解决本题的关键是画出图形．2．（2019春•松江区期末）如图，已知点C是线段AB的中点，点D是CB的中点，那么下列结论中错误的是（）A．AC＝CB B．BC＝2CD C．AD＝2CD D．CD＝AB【分析】根据线段的中点定义可得到线段之间的关系，对各选项分析后即选出答案．【解答】解；∵点C是线段AB的中点，∴AC＝CB＝AB，故A正确；∵点D是CB的中点，∴BC＝2CD＝2DB，故B正确；∵CB＝AB，BC＝2CD∴CD＝AB，故D正确；∴只有C错误；故选：C．【点评】此题主要考查了线段的中点，关键是正确理解中点的定义．3．（2020秋•罗湖区校级期末）已知点A、B、C都是直线l上的点，且AB＝5cm，BC＝3cm，那么点A与点C之间的距离是（）A．8cm B．2cm C．8cm或2cm D．4cm【分析】由于点A、B、C都是直线l上的点，所以有两种情况：①当B在AC之间时，AC＝AB+BC，代入数值即可计算出结果；②当C在AB之间时，此时AC＝AB﹣BC，再代入已知数据即可求出结果．【解答】解：∵点A、B、C都是直线l上的点，∴有两种情况：①如图，当B在AC之间时，AC＝AB+BC，而AB＝5cm，BC＝3cm，∴AC＝AB+BC＝8cm；②如图，当C在AB之间时，此时AC＝AB﹣BC，而AB＝5cm，BC＝3cm，∴AC＝AB﹣BC＝2cm．点A与点C之间的距离是8或2cm．故选：C．【点评】在未画图类问题中，正确理解题意很重要，本题渗透了分类讨论的思想，体现了思维的严密性，在今后解决类似的问题时，要防止漏解．4．（2017秋•洪山区期末）已知线段AB，在AB的延长线上取一点C，使AC＝2BC，在AB的反向延长线上取一点D，使DA＝2AB，那么线段AC是线段DB的（）倍．A．B．C．D．【分析】熟悉线段的概念和定义，灵活运用线段的和、差、倍、分转化线段之间的数量关系．【解答】解：根据题意：AC＝2BC，得：AB＝BC，又DA＝2AB，则DB＝DA+AB＝3AB，又AC ＝2BC＝2AB．则AC是线段DB的倍．故选：A．【点评】能用同一条线段表示两条线段，从而找到它们的关系．5．（2015春•浦东新区校级月考）下列说法错误的有（）（1）两点之间，直线最短；（2）延长线段AB到C，使得BC＝2AC；（3）画射线AB＝2厘米；（4）在射线AC上截取线段BC＝2厘米．A．1个B．2个C．3个D．4个【分析】根据两点间的距离，即可解答．【解答】解：（1）应为两点之间，线段最短，故错误；（2）应为延长线段AB到C，使得AC＝2BC，故错误；（3）应为画线段AB＝2厘米，故错误；（4）在射线AC上截取线段BC＝2厘米，正确；错误的有3个，故选：C．【点评】本题考查了两点间的距离，解决本题的关键是熟记两点间的距离．6．（2021秋•江油市期末）把弯曲的河道改直，能够缩短航程，这样做的道理是（）A．两点之间，射线最短B．两点确定一条直线C．两点之间，直线最短D．两点之间，线段最短【分析】根据两点之间线段最短即可得出答案．【解答】解：由两点之间线段最短可知，把弯曲的河道改直，能够缩短航程，这样做根据的道理是两点之间线段最短，故选：D．【点评】本题考查了线段的性质，关键是掌握两点之间线段最短．7．（2021秋•八公山区期末）已知线段AB＝60，点C为线段AB的中点，点D为射线CB上的一点，点E为线段BD的中点，且线段EB＝5，则线段CD的长为（）A．20B．30C．40D．20或40【分析】根据中点的定义求出BC，BD，再由CD＝BC﹣BD或CD＝BC+BD，可得出答案．【解答】解：∵AB＝60，C是AB的中点，∴BC＝AB＝30，又∵E为BD的中点，EB＝5，∴BD＝2EB＝10，∴CD＝CB﹣BD＝30﹣10＝20，或CD＝CB+BD＝30+10＝40．故选：D．【点评】本题考查了两点间的距离，解答本题的关键是掌握线段中点的定义，注意数形结合思想的运用．二．填空题（共13小题）8．（2021秋•太康县期末）如图，AC＝12cm，AB＝5cm，点D是BC的中点，那么CD＝cm．【分析】首先根据线段的和差求出BC的长，再利用线段的中点可得CD．【解答】解：∵AC＝12cm，AB＝5cm，∴BC＝AC﹣AB＝7cm，∵点D是BC的中点，∴CD＝BC＝cm．故答案为：．【点评】本题考查线段的和差，掌握线段中点的定义是解题关键．9．（2021春•杨浦区期末）若线段AB＝6cm，反向延长AB到C，使BC＝4AC．则AC＝2cm．【分析】先设出AC的长度，然后列出关于AC长度的方程，求出AC即可．【解答】解：设AC的长为x，则：x+6＝4x，解得x＝2，∴AC的长度为2cm，故答案为2．【点评】本题主要考查线段的知识，我们清楚的知道什么是延长，什么是反向延长，还有理解线段的和与差的含义．10．（2019春•黄浦区期末）延长线段AB到C，使BC＝AB＝2cm，则AC＝6cm．【分析】根据BC与AB的关系，可得BC的长，根据线段的和差，可得答案．【解答】解：由BC＝AB，若AB＝4cm，由线段的和差，得AC＝AB+BC＝2+4＝6cm；故答案为：6．【点评】本题考查了两点间的距离，利用线段BC与AB的关系得出BC的长是解题关键，又利用了线段的和差．11．（2021春•宝山区期末）如图，点C、点D是线段AB上的两个点，且AD＝CB，如果AB＝5cm，CD＝1cm，那么BD的长等于2cm．【分析】根据AD＝CB，得出AC＝BD，再根据AB＝5cm，CD＝1cm求出BD．【解答】解：∵AD＝CB，∴AD﹣CD＝CB﹣CD，即AC＝BD，∵AB＝5cm，CD＝1cm，∴BD＝2cm．故答案为：2．【点评】本题考查了两点间的距离，准确利用线段的和差是解题的关键．12．（2020春•浦东新区期末）如图，C、D两点是线段AB的三等分点，点M、N分别是线段AC、BD的中点，则MN＝AB．【分析】由已知可求得MC+DN的长度，再根据MN＝MC+CD+DN不难求解．【解答】解：∵点C、D是线段AB的三等分点，∴AC＝CD＝BD＝AB，M和N分别是AC和BD的中点，∴MC＝AC＝AB，DN＝BD＝AB，∴MN＝MC+DN+CD＝AB+AB+AB＝AB，故答案为：．【点评】本题考查了两点间的距离，中点的定义，结合图形找准线段之间的关系是解题的关键．13．（2019秋•崇明区期末）已知线段AB＝8cm，点C在线段AB上，且AC2＝BC•AB，那么线段AC 的长4﹣4cm．【分析】根据黄金分割的定义得到点C是线段AB的黄金分割点，根据黄金比值计算得到答案．【解答】解：∵AC2＝BC•AB，∴点C是线段AB的黄金分割点，AC＞BC，∴AC＝AB＝×8＝（4﹣4）cm，故答案为：4﹣4．【点评】本题考查的是黄金分割的概念和性质，掌握黄金比值为是解题的关键．14．（2020春•嘉定区期末）如图，点C、D是线段AB的三等分点，如果点M、N分别是线段AC、BD的中点，那么MN：AB的值等于．【分析】由已知可求得MC+DN的长度，再根据MN＝MC+CD+DN不难求解．【解答】解：∵点C、D是线段AB的三等分点，∴AC＝CD＝BD＝AB，M和N分别是AC和BD的中点，∴MC＝AC＝AB，DN＝BD＝AB，∴MN＝MC+DN+CD＝AB+AB+AB＝AB，∴MN：AB＝，故答案为：．【点评】本题考查了两点间的距离，中点的定义，结合图形找准线段之间的关系是解题的关键．15．（2019秋•东阳市期末）如图，点C在线段AB的延长线上，BC＝2AB，点D是线段AC的中点，AB＝4，则BD长度是2．【分析】先根据AB＝4，BC＝2AB求出BC的长，故可得出AC的长，再根据D是AC的中点求出AD的长度，由BD＝AD﹣AB即可得出结论．【解答】解：∵AB＝4，BC＝2AB，∴BC＝8．∴AC＝AB+BC＝12．∵D是AC的中点，∴AD＝AC＝6．∴BD＝AD﹣AB＝6﹣4＝2．故答案为：2．【点评】本题考查的是两点间的距离，熟知各线段之间的和、差及倍数关系是解答此题的关键．16．（2010秋•闵行区期末）已知点P在线段AB上，AP＝4PB，那么PB：AB＝1：5．【分析】本题没有给出图形，在画图时，应考虑到A、B、P三点之间的位置关系，再根据正确画出的图形解题．【解答】解：如图，∵AP＝4PB，那么PB：AB＝PB：（AP+PB）＝PB：5PB，∴那么PB：AB＝1：5．故答案为1：5．【点评】在未画图类问题中，正确画图很重要，本题渗透了分类讨论的思想，体现了思维的严密性，在今后解决类似的问题时，要防止漏解．17．（2010春•黄浦区校级期末）如图，M是AC的中点，N是BC的中点，则＝2．【分析】根据M是AC的中点，求MC，N是BC的中点，求CN，由MN＝MC+CN求MN与AB的关系，再求比值．【解答】解：∵M是AC的中点，N是BC的中点，∴MC＝AC，CN＝CB，∴MN＝MC+CN＝AC+CB＝AB，∴＝2，故答案为：2．【点评】本题考查了比较线段的长短．关键是由中点求MC与AC，CN与CB的大小关系．18．（2021秋•大同期末）如图，点C，D在线段AB上，且AC＝CD＝DB，点E是线段AB的中点．若AD＝8，则CE的长为2．【分析】根据线段中点的定义，可得AC＝CD＝DB＝4，代入数据进行计算即可得解求出AB的长；再求出AE的长，最后CE＝AE﹣AC．【解答】解：∵AC＝CD＝DB，点E是线段AB的中点，∴AD＝AC+CD＝8．AC＝CD＝DB＝4，∴AB＝12，AE＝AB＝6，则CE＝AE﹣AC＝6﹣4＝2．故答案为：2．【点评】本题考查了线段的和差，两点间的距离，主要利用线段中点的定义，比较简单，准确识图是解题的关键．19．（2021秋•滨城区期末）如图，点A、B在直线l上，点C是直线l外一点，可知CA+CB＞AB，其依据是两点之间，线段最短．【分析】依据线段的性质，即可得出结论．【解答】解：点A、B在直线l上，点C是直线l外一点，可知CA+CB＞AB，其依据是：两点之间，线段最短．故答案为：两点之间，线段最短．【点评】本题主要考查了线段的性质，两点的所有连线中，可以有无数种连法，如折线、曲线、线段等，这些所有的线中，线段最短．20．（2021春•虹口区校级期末）已知直线AB上有一点C，AC＝2AB，如果AB＝3cm，则BC＝3cm 或9cm．【分析】已知直线AB上有一点C，AC＝2AB，有两种可能，一种是C在与B在A的两侧，此时BC ＝AB+AC，由于AC＝2AB，因此，BC＝3AB，AB＝3cm，据此可求出BC；一种是C在与B在A的同侧，此时BC＝AC﹣AB，由于AC＝2AB，因此，BC＝AB，AB＝3cm，据此可求出BC．【解答】解：如图，有两种情况：C在与B在A的两侧时，BC＝AB+AC，由于A＝2AB，因此，BC＝3AB，AB＝3cm，因此BC＝3AB＝3×3＝9（cm）．C在与B在A的同侧，此时BC＝AC﹣AB，由于A＝2AB，因此，BC＝AB，AB＝3cm，因此BC＝AB＝3（cm）．故答案为：9cm或3cm．【点评】本题考查了线段的计算，注意，分类讨论是解题的关键．三．解答题（共3小题）21．（2020秋•丘北县期末）如图，已知点C在线段AB上，且AC：CB＝2：5，AB＝28，若点D是线段AC的中点，求线段BD的长．【分析】根据按比例分配，可得BC的长，根据线段中点的性质，可得CD的长，最后BD＝CD+BC解答即可．【解答】解：设AC＝2x，BC＝5x，则2x+5x＝28，解得：x＝4，∴AC＝8，BC＝20，∵点D是AC的中点，∴CD＝4，∴BD＝CD+BC＝4+20＝24．【点评】本题考查了线段的和差，两点间的距离，一元一次方程的应用，利用按比例分配得出BC和CD的长是解题关键．22．（2021春•杨浦区期末）已知点C是线段AB的中点，点D是线段AB上一点，且CD＝，若AD＝4，求AB长度．【分析】设CD＝x，则BD＝3x，根据线段中点的性质表示AD的长（分两种情况），列方程进行计算可得结论．【解答】解：∵点C是线段AB的中点，∴AC＝BC，∵点D是线段AB上一点，且CD＝，∴设CD＝x，则BD＝3x，∴AD＝4x+x＝5x或AD＝3x﹣x﹣x＝x，∵AD＝4，∴5x＝4或x＝4，∴x＝或4，∴AB＝或16．【点评】本题考查的是两点间的距离的计算，正确理解线段中点的概念和性质是解题的关键．23．（2021春•浦东新区月考）如图，已知B、C在线段AD上．（1）图中共有6条线段；（2）若AB＝CD．①比较线段的大小：AC＝BD（填：“＞”、“＝”或“＜”）；②若BD＝4AB，BC＝12cm，求AD的长．【分析】（1）根据图形依次数出线段的条数即可；（2）①根据等式的性质即可得到答案；②依据线段的和差关系进行计算，即可得出AD的长；【解答】解：（1）图中有线段：AB、BC、CD、AC、BD、AD，共6条，故答案为：6．（2）①∵AB＝CD，∴AB+BC＝CD+BC，即AC＝BD，故答案为：＝．②∵BD＝4AB，AB＝CD，∴BC＝3AB，∵BC＝12，∴AB＝4，∴AD＝AB+BD＝4+4×4＝20（cm），【点评】本题主要考查了线段的长度计算和线段中点的性质，关键是掌握线段的和、差、倍、分及计算方法．题组B 能力提升练一．填空题（共8小题）1．（2021春•虹口区校级期末）线段AB被点M分成了1：2两段，同时又被点N分成了3：2两段，MN＝4cm，则线段AB的长为15或60cm．【分析】根据题意M的位置是有两种可能性的，N的位置也有两种可能性，因此需要分4种情况每种情况具体分析才能得出最后的结果．【解答】解：①AM：BM＝1：2，AN：BN＝3：2时（图1），设AM＝x，则BM＝2x，∴AB＝3x，∵AN：BN＝3：2，∴，∴，∴x＝5cm，∴AB＝15cm．②AM：BM＝1：2，AN：BN＝2：3时（图2），设AM＝x，则BM＝2x，∴AB＝3x，∵AN：BN＝2：3，∴，∴，x＝20cm，∴AB＝3x＝60cm．③AM：BM＝2：1，AN：BN＝2：3时（图3），设AM＝2x，则BM＝x，则AB＝3x，∵AN：BN＝2：3，∴，∴，∴x＝5cm，∴AB＝15cm．④AM：BM＝2：1，AN：BN＝3：2时（图4），设AM＝2x，则BM＝x，∴AB＝3x，∵AN：BN＝3：2，∴，∴，∴x＝20cm，∴AB＝60cm，综上，AB＝15或60cm．故答案为：15或60．【点评】本题难点是分类讨论，对于此类题目在进行分类讨论时要做到不重不漏，才能得出正确结果．2．（2021春•奉贤区期末）如图，已知BD＝16cm，BD＝AB，点C是线段BD的中点，那么AC＝32cm．【分析】先由BD＝16cm，BD＝AB知AB＝BD＝40cm，再由点C是线段BD的中点知BC＝BD＝8cm，根据AC＝AB﹣BC求解可得答案．【解答】解：∵BD＝16cm，BD＝AB，∴AB＝BD＝×16＝40（cm），又∵点C是线段BD的中点，∴BC＝BD＝8cm，则AC＝AB﹣BC＝40﹣8＝32（cm），故答案为：32．【点评】本题主要考查两点间的距离，解题的关键是掌握线段的和差计算及线段的中点的性质．3．（2021春•浦东新区期末）如图，点B是线段AC上一点，且AB＝15cm，，点O是线段AC的中点，则线段OB＝5cm．【分析】由B在线段AC上可知AC＝AB+BC，把AB＝15cm，BC＝AB 代入即可得AB的值，根据O是线段AC的中点及AC的长可求出CO的长，由OB＝CO﹣BC即可得出答案．【解答】解：∵AB＝15cm，BC＝AB＝5cm，∴AC＝AB+BC＝15+5＝20（cm）；∵点O是线段AC的中点，∴CO＝AC＝×20＝10（cm），∴OB＝CO﹣BC＝10﹣5＝5（cm）．故答案为：5cm．【点评】本题主要考查两点间的距离，掌握线段的中点的性质、线段的和差运算是解题的关键．4．（2020秋•工业园区期末）已知点A、B、C在同一直线上，AB＝12cm，BC＝AC．若点P为AB 的中点，点Q为BC的中点，则PQ＝ 4.5或9cm．【分析】分类讨论点C在AB上，点C在AB的延长线上，根据线段的中点的性质，可得BP、BQ 的长，根据线段的和差，可得答案．【解答】解：（1）点C在线段AB上，如图1：∵AB＝AC+BC，BC＝AC，∴AB＝3BC+BC＝4BC又∵AB＝12cm，∴BC＝3cm，∵点P是线段AB的中点，点Q是线段BC的中点，∴PB＝AB＝6cm，QB＝CB＝1.5cm，∴PQ＝BP﹣BQ＝6﹣1.5＝4.5cm；（2）点C在线段AB的延长线上，如：∵AB＝AC﹣BC，BC＝AC，。
证题技巧之三——证明线段或角的和差倍分
证题技巧之三——证明线段或角的和差倍分一、证明线段或角的倍分1、方法：①长（或大）折半②短（或小）加倍2、判断：两种方法有时对同一个题都能使用，但存在易繁的问题，因此，究竟是折半还是加倍要以有利于利用已知条件为准。
3、添线：①为折半或加倍而添；②为折半或加倍后创造条件或利于利用已知条件而添。
4、传递：在加倍或折半后，还不易或不能证明结论，则要找与被证二量有等量关系的量来传递，或者添加这个量来传递。
此时，添线从两方面考虑：①造等量②为证等量与被证二量相等而添。
参考例4、例5、例6。
例1 AD是△ABC的中线，ABEF和ACGH是分别以AB和AC为边向形外作的正方形。
求证：FH=2AD证明：延长AD至N使AD=DN则ABNC是平行四边形∴CN=AB=FA AC=AH又∠FAH+∠BAC=180°∠BAC+∠ACN=180°∴△FAH≌△NCA ∴FH=AN ∴FH=2AD例2、△ABC中，∠B=2∠C，AD是高，M是BC边上的中点。
求证：DM=12 AB证明：取AB 的中点N ，连接MN 、DN 则 MN ∥AC ∠1=∠C ∠2=∠B ∴∠2=2∠1 ∴∠1=∠DNM ∴DM=DN又 AN=DN=ND ∴DM=12 AB例3 △ABC 中，AB=AC ，E 是AB 的中点，D 在AB 的延长线上，且DB=AC 。
求证：CD=2CE证明：过B 作CD 的中线BF则 BF ∥12 AC ∠A=∠DBF∵AB=AC ，E 是AB 的中点∴BF=AE又DB=AC ∴△AEC ≌△BFD ∴DF=CE ∴CD=2CE作业：1、在△ABC 中，D 为BC 的中点，E 为AD 的中点，BE 的延长线交AC 于F ，求证：AF=12 FC2、AB 和AC 分别切⊙O 于B 和C ，BD 是直径。
求证∠BAC=2∠CBD3、圆内接△ABC 的AB=AC ，过C 作切线交AB 的延长线于D ，DE 垂直于AC 的延长线于E 。
和倍差倍和差问题
和倍、差倍、和差问题一、熟练掌握线段图画法二、熟练掌握解答倍数问题※线段图画法画线段图非常非常非常重要，是解决中常用的一种思考策略，它能将题中抽象关系以形象的方式表达出，更清楚地反映数量关系。
画线段图不会浪费时间，越复杂的题目越需要画图，可以说,会不会画图决定着你的解题能力,决定分数!※和倍、差倍、和差问题公式和倍问题：两数之和÷（倍数+ 1）=小数差倍问题：两数之差÷（倍数—1）=小数和差问题:（和+ 差）÷ 2 =大数（和—差）÷ 2 =小数稍复杂的倍数问题可能包含两个状态，我们一般抓住倍数的那个状态。
●和倍问题线段图1.甲班和乙班共有图书160本。
甲班的图书本数是乙班的3倍，甲班和乙班各有图书多少本？（和倍)2.甲班和乙班共有图书210本.甲班的图书本数是乙班的3倍多10本,甲班和乙班各有图书多少本？（和倍)3.甲班和乙班共有图书150本.甲班的图书本数是乙班的3倍少10本，甲班和乙班各有图书多少本?（和倍) 4.甲班和乙班共有图书150本。
甲班的图书给乙班20本后，两班就一样多，甲班和乙班原来各有图书多少本？（和倍)●差倍问题线段图1.甲班的图书比乙班多160本。
甲班的图书本数是乙班的3倍,甲班和乙班各有图书多少本?(差倍)2.甲班的图书比乙班多160本。
甲班的图书本数是乙班的3倍多10本,甲班和乙班各有图书多少本？(差倍）3.甲班的图书比乙班多160本。
甲班的图书本数是乙班的3倍少10本，甲班和乙班各有图书多少本?(差倍)●和差问题线段图甲班和乙班共有图书160本.甲班的图书本数比乙班的多20本，甲班和乙班各有图书多少本？（和差）和倍问题习题（一)1．小红和妈妈的年龄加在一起是40岁，妈妈年龄是小红年龄的4倍，小红和妈妈各几岁？2．小红和妈妈的年龄加在一起是49岁，妈妈年龄是小红年龄的4倍多4岁，小红和妈妈各几岁？3．小红和妈妈的年龄加在一起是49岁,妈妈年龄是小红年龄的4倍少1岁，小红和妈妈各几岁？4．小明买大书和小书共25本,其中大书的本数比小书的本数的2倍多4本，大书的本数有几本，小单线的书有几本?5．小明买大书和小书共25本，其中大书的本数比小书的本数的2倍少5本,大书的本数有几本，小单线的书有几本?6．师傅和徒弟共生产零件190个，师傅生产的个数比徒弟的3倍少10个；师、徒各生产几个？7．一块长方形木板，长是宽的2倍，周长是54厘米。
线段之间关系
利用全等三角形证线段之间的和差倍分问题证一条线段等于其它两条线段的和或差，常将其转化成证明线段的相等问题，常用的方法如下：(1)利用图形中已有的线段和差关系进行证明。
(2)延长一条线段，作出两条线段的和，然后证明这条线段等于第三条线段。
(3)在第三条线段上截取一段等于第一条线段，然后证余下的线段等于第二条线段。
后两种方法，就是通常所说的截长补短。
例1、已知：如图在△ABC中，∠ABC的平分线与∠ACB相邻外角∠ACG的平分线相交于D，DE∥BC交AB 于E，交AC于F，求证：EF=BE-CF例2、已知：如图，四边形ABCD中，AC平分∠BAD，CE⊥AB于E，且∠B+∠D=180°，求证：AE=AD+BE例3、如图，△ABC是等边三角形，∠BDC=120°，且BD=CD,∠MDN=60°，AB=12cm.证明：（1）MN=BM＋NC.（2）求△AMN的周长证明三条线段之间的不等关系判断几条（三条或四条）线段之间的大小关系，通常是将这几条线段通过等量关系放在同一个三角形中，运用三角形三边关系判断它们之间的大小关系。
这种等量关系通常是通过证明三角形全等来实现的。
这个过程了是转化思想的运用。
例1、如图，已知△ABC是等腰三角形，且AB=AC,若点M、N分别是AB、CA延长线上的点，，请说明BM、MN、NC之间的关系。
例2、如图3，点P是△ABC的外角∠DAC平分线上一点，你能比较PB＋PC与AB＋AC的大小关系吗？说明你的理由。
例3、如图3-1，在△ABC中，AB＞AC,∠1=∠2,P为AD上任意一点，求证：AB－AC＞PB－PC.例4、如图3-2，AD是△ABC的外角∠FAC的平分线，D是这平分线上的一个动点，你能想出AB＋AC与BD＋DC的大小关系吗？并证明你的猜想。
例5、已知，如图，在△ABC，延长AC边上的中线BE至M,使EM=BE,延长AB边上的中线CD至N,使DN=CD,求证：（1）N,A,M三点在同一直线上。
线段的相等与和差倍
4、应用题1 延长线段AB 到C, 使BC=AB,D 为AC 中点,且CD=5cm,求AB 的长.2 A 、B 、C 、D 四个点在同一直线上,且AB=8cm,BC=3cm,AD=2cm,求CD 的长.3、如图,点C 在线段AB 上,AC = 8厘米,CB = 6厘米,点M 、N 分别是AC 、BC 的中点; 1 求线段MN 的长；2 若C 为线段AB 上任一点,满足AC + CB = a 厘米,其它条件不变,你能猜想MN 的长度吗并说明理由;3) 若C 在线段AB 的延长线上,且满足AC BC = b 厘米,M 、N 分别为AC 、BC 的中点,你 能猜想MN 的长度吗请画出图形,写出你的结论,并说明理由;4 AD ＝12BD,E 是BC 的中点,BE ＝2cm,AC ＝10cm,求线段DE 的长． 5 如图,量出以下图形中各条线段的长度,比较它们的大小．并比较一个三角形中任意两边的和与第三边的关系．可以得出什么结论6思考小老鼠该怎么爬才能最快吃到汉堡包呢7 A 、B 、C 、D 四个小区在同一条路上,为了给小区的居民出行带来方便准备在这条路上增设一个车站,车站应建在哪里使车站与各个小区的距离和最短,请同学们设计出方案． 四．课后作业：1、如图,A 、B 、C 、D 、四点在一条直线上,图中有 条线段.2、根据所示图形填空,理解截取、顺次截取的意义,熟练掌握基本画图语句.已知线段a 、b,画出一条线段,使它等于a+b.解：1画射线OP ；2在射线OP 上顺次截取 =a, =b.线段 就是所要画的线段.3、根据所示图形填空,理解截取、顺次截取的意义,熟练掌握基本画图语句.已知线段a 、b,画出一条线段,使它等于a-b.解法一：1画射线OP ；2在射线OP 上截取 =a,在线段 上截取 =b.线段 就是所要画的线段.解法二：1画射线OP ；A A D CB E。
线段和差倍分
课堂检测
1．如果线段AB＝13厘米，MA+MB＝17厘米，那么下面说法正确的是（ D ）
A．M点在线段AB上 B．M点在直线AB上 C．M点在直线AB外 D．M点可能在直线AB上，也可能在直线AB外
2．如图，点C是线段AB上一点，点M是AC的中点，点N是BC的中点，
如果MC比NC长2cm，AC比BC长（B ）
思路1：算数法
思路2：设未知数
∵AB：BC：CD=2：3：4
4 ∴CD= 9 AD=8，
∴AD=18
由AB：BC：CD=2：3：4，设 AB=2x，BC=3x，CD=4x，则 AD=9x
∵CD=8，即4x=8，解得：x=2
又∵M是AD的中点 1
∴MD= 2AD=9 ∴MC=MD-CD=1
∴AD=9x=18 又∵M是AD的中点 ∴MD= 12AD=9
1 2
AB
类似的可以这样处理三等分点、四等分点等。
3、线段比例关系的处理
若AB：BC：CD=1：2：3，有以下两种处理方式：
【方式1】算数法
AD被分成了1+2+3=6份，所以AB=
1 6
AD，BC= 13
AD，
1
CD= 2AD 【方式2】设未知数
由AB：BC：CD=1：2：3，设AB=x，BC=2x，CD=3x
专题学习
线段的和差倍分计算
学习目标
• 理解线段的和、差，以及线段中点的 意义，并能解决相关的问题。
1、线段的和差
AC=AB+BC AB=AC-BC BC=AC-AB
2、线段的倍分
知识梳理
若点C为线段AB的中点，则：
相等关系：AC=BC
圆中线段两倍关系
结构联想——巧解圆中线段的两倍关系在三角形、四边形这两章的学习中，我们经常会碰到线段的相等关系、和差关系、倍数关系的推理问题，但圆中涉及到线段倍数关系的题目并不多．本文通过对一道例题的分析，给出几种解题的策略，供同学们参考．例题如图1，点A、B、C、D在⊙O上，AC⊥BD于点E，过点O作OF⊥BC于点F．求证：(1)△AEB～△OFC；(2)AD=2FO．分析(1)要证△AEB～△OFC就得围绕相似三角形的几种判别方法．AC⊥BD与OF⊥BC为我们提供了一组直角相等，下面就是寻求另一组角相等，如∠BAC与∠COF是否相等，这时我们可以根据“同弧所对的圆周角是圆心角的一半”求得解决．证明如图2，连结BO．∵OB=OC，OF⊥BC，∴∠COF=∠BOF=12∠BOC．∴∠C=12∠BOC，∴∠BA C=∠COF．又∵AC⊥BD，OF⊥BC，∴∠AEB=∠OFC=90︒．∴△AEB～△OFC．(2)要证AD=2FO，对学生来说困难还是有一点，关键是我们从什么渠道人手寻找两倍关系，下面为大家提供四种解题的途径．一、截二等分法分析因为要证出AD=2FO，所以只要把AD“截”成二等分，然后说明其中一份等于FO就行了，接下来可以考虑两三角形全等．证法一如图3，连结AD、DO，且过点O作OM⊥AD，垂足为D．由(1)可知∠AOM=∠ABD，又∵△AEB～△OFC，∴∠ABE=∠OCF ．∴∠AOM=∠OCF ．又∵OM ⊥AD ，DF ⊥BC ，∴∠OFC=∠OMA=90︒．在△AOM 和△OCF 中，AOM OCF OCF OMA OC OA ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩Q∴△AO M ≌△OCF, ∴AM=OF根据垂径定理，可得AM=12AD, ∴AD=2OF二、补两倍法分析 由于要证AD=2FO ，所以我们可以“补”出两倍的OF ，当然直接“补”不太现实，但是我们可以间接“补”，如构造中位线，利用中位线的性质解题．证法二 如图4，延长CO 交⊙O 于点G ，连结BG ．由题(1)△AEB ～△OFC ，可得∠ABE=∠OCF ，∴BG=AD ．又∵0F ⊥BC ，∴BF=FC ．∴点F 为BC 的中点．又∵点O 为CG 的中点，∴OF 是△CBG 的中位线，∴OF=12BG ． ∵BG=AD ． ∴OF=12AD ， 即AD=2OF三、构造相似三角形法分析 因为要证AD=2FO ，我们也可以围绕这两条线段构造出一对相似三角形，若它们是对应边，只要相似比为l ：2就行了．证法三 如图5，连结DO 并延长交⊙O 于点N ，连结AN∵DN 是⊙O 的直径，∴∠NAD =90°又∵∠O FC=90°，∴∠N AD=∠0FC ．由题(1)△AEB ～△DFC ，可得∠ABE=∠OCF ．又∵∠ABE=∠N ，∴∠N =∠OCF ．∴△DCF ≌△DNA ，∴ 12OF OC DA DN == ∴DA=2OF ．四、相似比的变换法分析 要证AD=2FO ，我们也可以考虑不添加任何辅助线，只要在图中再找出含有 AE 、BE 两边的另一对相似三角形，利用两对相似比的变换就可以了．证明 如图6，∵△AEB ～△OFC ，∴,AE EB AE OF OF FC EB FC=∴= 又易证△AED ～△BEC ，∴AE AD BE BC= ∴,OF AD FC BC =∴OF FC AD BC= 又BC=2FC,∴AD=2OF。
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③2c－3b.
4、应用题
(1) 延长线段AB到C，使BC=AB，D为AC中点，且CD=5cm，求AB的长.
(2) A、B、C、D四个点在同一直线上，且AB=8cm,BC=3cm,AD=2cm，求CD的长.
(3)、如图，点C在线段AB上，AC = 8厘米，CB = 6厘米，点M、N分别是AC、BC的中点。
1) 求线段MN的长；
2) 若C为线段AB上任一点，满足AC + CB = a厘米，其它条件不变，你能猜想MN的长度吗并说明理由。
3)若C在线段AB的延长线上，且满足AC BC = b厘米，M、N分别为AC、BC的中点，你能猜想MN的长度吗请画出图形，写出你的结论，并说明理由。
(4) AD＝
1
2
BD，E是BC的中点，BE＝2cm，AC＝10cm，求线段DE的长．
(5) 如图，量出以下图形中各条线段的长度，比较它们的大小．并比较一个三角形中任意两边的和与第三边的关系．可以得出什么结论
(6)思考小老鼠该怎么爬才能最快吃到汉堡包呢?
(7) A、B、C、D四个小区在同一条路上，为了给小区的居民出行带来方便准备在这条路上增设一个车站，车站应建在哪里使车站与各个小区的距离和最短，请同学们设计出方案．
四．课后作业：
1、如图，A、B、C、D、四点在一条直线上，图中有（）条线段.
2、根据所示图形填空，理解截取、顺次截取的意义，熟练掌握基本画图语句.
已知线段a、b，画出一条线段，使它等于a+b.
解：（1）画射线OP；
（2）在射线OP上顺次截取（）=a，（）=b.
线段（）就是所要画的线段.
3、根据所示图形填空，理解截取、顺次截取的意义，熟练掌握基本画图语句.
已知线段a、b，画出一条线段，使它等于a-b.
解法一：（1）画射线OP；
（2）在射线OP上截取（）=a，在线段（）上截取（）=b.
A
A
D
C
B E。