江苏省南通高中高三数学小题校本作业双曲线
高中数学双曲线练习题及答案
高中数学双曲线练习题及答案双曲线相关知识双曲线的焦半径公式：A。
$\frac{x^2}{12}-\frac{y^2}{24}=1$B。
$\frac{y^2}{12}-\frac{x^2}{24}=1$C。
$\frac{y^2}{24}-\frac{x^2}{12}=1$D。
$\frac{x^2}{24}-\frac{y^2}{12}=1$3.设 $e_1,e_2$ 分别是双曲线 $-\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ 和 $-\frac{y^2}{a^2}+\frac{x^2}{b^2}=1$ 的离心率，则$e_1^2+e_2^2$ 与 $e_1e_2$ 的大小关系是 $1:$定义：双曲线上任意一点 $P$ 与双曲线焦点的连线段，叫做双曲线的焦半径。
2.已知双曲线标准方程 $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$点 $P(x,y)$ 在左支上PF_1│=-(e x+a)$；$│PF_2│=-(e x-a)$点 $P(x,y)$ 在右支上PF_1│=ex+a$；$│PF_2│=ex-a$运用双曲线的定义例1.若方程 $x^2\sin\alpha+y^2\cos\alpha=1$ 表示焦点在$y$ 轴上的双曲线，则角 $\alpha$ 所在象限是（）A。
第一象限 B。
第二象限 C。
第三象限 D。
第四象限练1.设双曲线 $\frac{x^2}{16}-\frac{y^2}{9}=1$ 上的点$P$ 到点 $(5,0)$ 的距离为 $15$，则 $P$ 点到 $(-5,0)$ 的距离是（）A。
7 B。
23 C。
5 或 23 D。
7 或 232.已知双曲线的两个焦点是椭圆$\frac{x^2}{10}+\frac{5y^2}{32}=1$ 的两个顶点，双曲线的两条准线分别通过椭圆的两个焦点，则此双曲线的方程是（）。
A。
$\frac{x^2}{6}-\frac{y^2}{4}=1$ B。
高中数学-双曲线例题
高中数学-双曲线典型例题一、根据方程的特点判断圆锥曲线的类型。
例1 讨论192522=-+-ky k x 表示何种圆锥曲线，它们有何共同特征． 解：（1）当9<k 时，025>-k ，09>-k ，所给方程表示椭圆，此时k a -=252，k b -=92，16222=-=b a c ，这些椭圆有共同的焦点（－4，0），（4，0）． （2）当259<<k 时，025>-k ，09<-k ，所给方程表示双曲线，此时，k a -=252，k b -=92，16222=+=b a c ，这些双曲线也有共同的焦点（－4，0），）（4，0）．（3）25<k ，9=k ，25=k 时，所给方程没有轨迹．二、根据已知条件，求双曲线的标准方程。
例2 根据下列条件，求双曲线的标准方程．（1）过点⎪⎭⎫ ⎝⎛4153，P ，⎪⎭⎫ ⎝⎛-5316，Q 且焦点在坐标轴上．（2）6=c ，经过点（－5，2），焦点在x 轴上．（3）与双曲线141622=-y x 有相同焦点，且经过点()223，解：（1）设双曲线方程为122=+n y m x∵ P 、Q 两点在双曲线上， ∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+12592561162259n m n m 解得⎩⎨⎧=-=916n m ∴所求双曲线方程为191622=+-y x说明：采取以上“巧设”可以避免分两种情况讨论，得“巧求”的目的．（2）∵焦点在x 轴上，6=c ， ∴设所求双曲线方程为：1622=--λλy x （其中60<<λ）∵双曲线经过点（－5，2），∴16425=--λλ∴5=λ或30=λ（舍去） ∴所求双曲线方程是1522=-y x 说明：以上简单易行的方法给我们以明快、简捷的感觉．（3）设所求双曲线方程为：()160141622<<=+--λλλy x ∵双曲线过点()223，，∴1441618=++-λλ ∴4=λ或14-=λ（舍） ∴所求双曲线方程为181222=-y x 三、求与双曲线有关的角度问题。
高考数学一轮复习 第9章 解析几何9.6双曲线练习(含解析)苏教版
课时作业46 双曲线一、填空题1．(2012江苏南通高三调研)在平面直角坐标系xOy 中，双曲线y 2－x 2＝1的离心率为______．2．(2012江苏南通高三期末考试)设F 是双曲线x 2a 2－y 2b2＝1的右焦点，双曲线的两条渐近线分别为l 1，l 2，过F 作直线l 1的垂线，分别交l 1，l 2于A ，B 两点．若OA ，AB ，OB 成等差数列，且向量BF →与FA →同向，则双曲线的离心率e 的大小为__________．3．过双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的右焦点F 作圆x 2＋y 2＝a 2的切线FM (切点为M )，交y 轴于点P .若M 为线段FP 的中点，则双曲线的离心率等于__________．4．已知双曲线的两个焦点为F 1(－10，0)，F 2(10，0)，M 是此双曲线上的一点，且满足MF 1→·MF 2→＝0，|MF 1→||MF 2→|＝2，则该双曲线的方程是__________．5．过双曲线M ：x 2－y 2b2＝1的左顶点A 作斜率为1的直线l ，若l 与双曲线M 的两条渐近线分别相交于B 与C ，且AB ＝BC ，则双曲线M 的离心率是__________．6．(2012江苏高考名校名师押题卷)双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的离心率为2，则b 2＋13a的最小值为______．7．在直角坐标系中，过双曲线x 2－y 29＝1的左焦点F 作圆x 2＋y 2＝1的一条切线(切点为T )交双曲线右支于P ，若M 为线段FP 的中点，则OM －MT ＝__________.8．已知点P 是双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)右支上一点，F 1，F 2分别为双曲线的左、右焦点，点I 为△PF 1F 2的内心，若1212IPF IPF IF F S S S V V V ＝＋成立，则λ的值为__________．9．A ，B 是双曲线C 的两个顶点，直线l 与双曲线C 交于不同的两点P ，Q ，且与实轴所在直线垂直．若 PB →·AQ →＝0，则双曲线C 的离心率e ＝__________.二、解答题 10．已知双曲线的中心在原点，焦点F 1，F 2在坐标轴上，离心率为2，且过点(4，－10)． (1)求双曲线方程；(2)若点M (3，m )在双曲线上，求证：MF 1→·MF 2→＝0； (3)求△F 1MF 2的面积．11.(2013届江苏南京月考)在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线C ：2x 2－y 2＝1. (1)设F 是C 的左焦点，M 是C 右支上一点．若MF ＝22，求点M 的坐标；(2)过C 的左顶点作C 的两条渐近线的平行线，求这两组平行线围成的平行四边形的面积．12．已知点M (－2,0)，N (2,0)，动点P 满足条件 PM －PN ＝22，记动点P 的轨迹为W . (1)求W 的方程；(2)若A 和B 是W 上的不同两点，O 是坐标原点，求OA →·OB →的最小值．参考答案一、填空题1. 2 解析：因为a ＝1，b ＝1，所以c ＝2.从而e ＝ 2.2.523. 2 解析：如图所示，在R t △OPF 中，OM ⊥PF 且M 为PF 的中点，所以△OMF 也是等腰直角三角形． 所以有OF ＝2OM ，即c ＝2a . 所以e ＝c a＝ 2.4.x 29－y 2＝1 解析：由MF 1→·MF 2→＝0，可知MF 1→⊥MF 2→.可设|MF 1→|＝t 1，|MF 2→|＝t 2，则t 1t 2＝2.在△MF 1F 2中，t 21＋t 22＝40，∴|t 1－t 2|＝t 21＋t 22－2t 1t 2＝40－4＝6＝2a . ∴a ＝3.∴所求双曲线方程为x 29－y 2＝1.5.10 解析：因为A (－1,0)，所以l 方程为y ＝x ＋1.与两条渐近线方程y ＝±bx 联立，解得B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1b ＋1，b b ＋1，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫1b －1，b b －1. 又因为AB ＝BC ，所以B 是线段AC 的中点，所以2b b ＋1＝b b －1，解得b ＝3.所以c 2＝a 2＋b 2＝12＋32＝10，e ＝ca＝10.6.233 解析：由于已知双曲线的离心率是2，即2＝c a＝a 2＋b 2a 2＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a2，解得b a ＝ 3.所以b 2＋13a 的最小值是233，当a ＝33时，取等号． 7．2 解析：设双曲线右焦点为F ′，连结PF ′，则OM 是△PFF ′的中位线，所以OM＝12PF ′＝12(PF －2)．又OT ⊥PF ，OF ＝10，OT ＝1，所以FT ＝3，从而OM ＝12(2FM －2)＝FM －1＝3＋MT －1＝2＋MT ，所以OM －MT ＝2.8.a a 2＋b 2 解析：设△PF 1F 2内切圆半径为r ，根据已知可得12×PF 1×r ＝12×PF 2×r ＋λ2×2c ×r ，整理可得PF 1＝PF 2＋2λc ，由双曲线的定义可得PF 1－PF 2＝2a ，故2λc ＝2a ⇒λ＝ac＝a a 2＋b 2.9. 2 解析：如图所示，设双曲线方程为x 2a 2－y 2b2＝1，取其上一点P (m ，n )，则Q (m ，－n )，由PB →·AQ →＝0可得(a －m ，－n )·(m ＋a ，－n )＝0，化简得m 2a 2－n 2a 2＝1，又m 2a 2－n 2b2＝1可得b ＝a ，即此双曲线的离心率为e ＝ 2.二、解答题10．解：(1)因为e ＝2，所以可设双曲线方程为x 2－y 2＝λ. 因为双曲线过点(4，－10)， 所以16－10＝λ，即λ＝6.所以双曲线方程为x 2－y 2＝6.(2)证明：由(1)可知，双曲线中a ＝b ＝6， 所以c ＝2 3.所以F 1(－23，0)，F 2(23，0)． 所以1MF k ＝m 3＋23，2MF k ＝m3－23，1MF k ·2MF k ＝m 29－12＝－m 23. 因为点(3，m )在双曲线上，所以9－m 2＝6，即m 2＝3.故1MF k 1·2MF k ＝－1，所以MF 1⊥MF 2. 所以MF 1→·MF 2→＝0.(3)△F 1MF 2的底边F 1F 2＝43，△F 1MF 2的高h ＝|m |＝3，所以S △F 1MF 2＝6.11．解：(1)双曲线C ：x 212－y 2＝1，左焦点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫－62，0，设M (x ，y )，则MF 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋622＋y 2＝⎝⎛⎭⎪⎫3x ＋222. 由点M 是双曲线右支上一点，得x ≥22，所以MF ＝3x ＋22＝22，得x ＝62. 所以M ⎝⎛⎭⎪⎫62，±2. (2)左顶点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－22，0，渐近线方程为y ＝±2x .过点A 与渐近线y ＝2x 平行的直线方程为y ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋22，即y ＝2x ＋1.解方程组⎩⎨⎧y ＝－2x ，y ＝2x ＋1，得⎝ ⎛x ＝－24，y ＝12.所以所求平行四边形的面积为S ＝OA ·|y |＝24.12．解：(1)由PM －PN ＝22＜MN 知动点P 的轨迹是以M ，N 为焦点的双曲线的右支，实半轴长a ＝ 2.又半焦距c ＝2，故虚半轴长 b ＝c 2－a 2＝ 2. 所以W 的方程为x 22－y 22＝1(x ≥2)．(2)设A ，B 的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)． 当AB ⊥x 轴时，x 1＝x 2，y 1＝－y 2，从而OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2＝x 21－y 21＝2.当AB 与x 轴不垂直时，设直线AB 的方程为y ＝kx ＋m ，与W 的方程联立，消去y 得(1－k 2)x 2－2kmx －m 2－2＝0，故x 1＋x 2＝2km 1－k 2，x 1x 2＝m 2＋2k 2－1， 所以OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2＝x 1x 2＋(kx 1＋m )(kx 2＋m )＝(1＋k 2)x 1x 2＋km (x 1＋x 2)＋m 2＝1＋k 2m 2＋2k 2－1＋2k 2m 21－k 2＋m 2＝2k 2＋2k 2－1＝2＋4k 2－1. 又因为x 1x 2＞0，所以k 2－1＞0.从而OA →·OB →＞2.综上所述，当AB ⊥x 轴时，OA →·OB →取得最小值2.。
高三数学双曲线试题答案及解析
高三数学双曲线试题答案及解析1.已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的两条渐近线均和圆C：x2＋y2－6x＋5＝0相切，且双曲线的右焦点为圆C的圆心，则该双曲线的方程为( )A．－＝1B．－＝1C．－＝1D．－＝1【答案】A【解析】由x2＋y2－6x＋5＝0知圆心C(3,0)，半径r＝2．又－＝1的渐近线为bx±ay＝0，且与圆C相切．由直线与圆相切，得＝2，即5b2＝4a2，①因为双曲线右焦点为圆C的圆心，所以c＝3，从而9＝a2＋b2，②由①②联立，得a2＝5，b2＝4，故所求双曲线方程为－＝1，选A．2.若实数满足，则曲线与曲线的（）A．离心率相等B．虚半轴长相等C．实半轴长相等D．焦距相等【答案】D【解析】，则，，双曲线的实半轴长为，虚半轴长为，焦距为，离心率为，双曲线的实半轴长为，虚半轴长为，焦距为，离心率为，因此，两双曲线的焦距相等，故选D.【考点】本题考查双曲线的方程与基本几何性质，属于中等题.3.（本小题满分13分）已知双曲线的两条渐近线分别为.（1）求双曲线的离心率；（2）如图，为坐标原点，动直线分别交直线于两点（分别在第一，四象限），且的面积恒为8，试探究：是否存在总与直线有且只有一个公共点的双曲线？若存在，求出双曲线的方程；若不存在，说明理由.【答案】(1) ;(2)存在【解析】(1) 已知双曲线的两条渐近线分别为,所以根据即可求得结论.(2)首先分类讨论直线的位置.由直线垂直于x轴可得到一个结论.再讨论直线不垂直于x轴,由的面积恒为8,则转化为.由直线与双曲线方程联立以及韦达定理,即可得到直线有且只有一个公共点.试题解析：(1)因为双曲线E的渐近线分别为和.所以,从而双曲线E的离心率.(2)由(1)知,双曲线E的方程为.设直线与x轴相交于点C.当轴时,若直线与双曲线E有且只有一个公共点,则,又因为的面积为8,所以.此时双曲线E的方程为.若存在满足条件的双曲线E,则E的方程只能为.以下证明:当直线不与x轴垂直时，双曲线E：也满足条件.设直线的方程为,依题意,得k>2或k<-2.则，记.由,得,同理得.由得, 即. 由得, .因为,所以,又因为.所以,即与双曲线E有且只有一个公共点.因此,存在总与有且只有一个公共点的双曲线E,且E的方程为.【考点】1.双曲线的性质.2.直线与双曲线的位置关系.3. 三角形的面积的表示.4.设分别为双曲线的左、右焦点，双曲线上存在一点使得则该双曲线的离心率为A．B．C．D．3【答案】B【解析】因为是双曲线上一点，所以，又所以，，所以又因为，所以有，，即解得：（舍去），或；所以，所以故选B.【考点】1、双曲线的定义和标准方程；2、双曲线的简单几何性质.5.已知A1，A2双曲线的顶点，B为双曲线C的虚轴一个端点.若△A1BA2是等边三角形，则双曲线的离心率e等于．【答案】2【解析】由题意可知，解得，即，所以.则.【考点】双曲线的简单几何性质.6.已知双曲线的右焦点与抛物线的焦点重合,则该双曲线的焦点到其渐近线的距离为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】抛物线的焦点坐标为，因此双曲线的右焦点的坐标也为，所以，解得，故双曲线的渐近线的方程为，即，因此双曲线的焦点到其渐近线的距离为，故选A.【考点】1.双曲线的几何性质；2.点到直线的距离7.已知双曲线="1" 的两个焦点为、，P是双曲线上的一点，且满足，（1）求的值；（2）抛物线的焦点F与该双曲线的右顶点重合，斜率为1的直线经过点F与该抛物线交于A、B两点，求弦长|AB|.【答案】(1) (2)16【解析】（1）根据题意，又，，，又|P F|•|PF|="|" F F|=， |P F|<4，得在区间（0,4）上有解，所以因此，又，所以（2）双曲线方程为=1，右顶点坐标为（2,0），即所以抛物线方程为直线方程为由（1）（2）两式联立，解得和所以弦长|AB|==168.设F是抛物线的焦点，点A是抛物线与双曲线的一条渐近线的一个公共点，且轴，则双曲线的离心率为_______.【答案】【解析】由抛物线方程，可得焦点为，不妨设点在第一象限，则有，代入双曲线渐近线方程，得，则，所以双曲线离率为.故正确答案为.【考点】1.抛物线；2.双曲线.9.已知抛物线y2＝2px(p>0)上一点M(1，m)(m>0)到其焦点的距离为5，双曲线－y2＝1的左顶点为A，若双曲线的一条渐近线与直线AM平行，则实数a的值为()A．B．C．D．【答案】A【解析】由于M(1，m)在抛物线上，∴m2＝2p，而M到抛物线的焦点的距离为5，根据抛物线的定义知点M到抛物线的准线x＝－的距离也为5，∴1＋＝5，∴p＝8，由此可以求得m＝4，＝，而双曲线的渐近线方程为y＝±，根据题意得，双曲线的左顶点为A(－，0)，∴kAM＝，∴a＝．10.设双曲线的渐近线方程为，则的值为（）A．4B．3C．2D．1【答案】C【解析】由双曲线方程可知渐近线方程为，故可知。
(精校)《双曲线》练习题经典(含答案)(可编辑修改)
∴Error!＝－Error!，解得 λ＝－14。∴曲线 C 的方程是 x2－Error!＝1。
31．(本题满分 12 分) 已知中心在原点的双曲线 C 的右焦点为 2, 0 ，右顶点为 3, 0 。
y2 D. － ＝1
3
11．设 F1，F2 是双曲线 x2－ ＝1 的两个焦点，P 是双曲线上的一点,且 3｜PF1|＝4｜PF2｜，则△
PF1F2 的面积等于( C ） A．4Error!
B．8
C．24
D．48
12．过双曲线 x2－y2＝8 的左焦点 F1 有一条弦 PQ 在左支上，若｜PQ|＝7，F2 是双曲线的右焦点，
9λ
（2）由题设知直线 l 的方程为 y＝Error!x－2，设 A（x1，y1）,B(x2，y2），
联立方程组
y y2
2x x2
2, 1.
消去
y
得：（λ＋2)x2－4
x＋4－λ＝0.
∵方程组有两解,∴λ＋2≠0 且 Δ>0,
∴λ>2 或 λ〈0 且 λ≠－2,x1·x2＝Error!,
A． ﹣ =1 B． ﹣ =1 C． ﹣ =1 D． ﹣ =1
17．如图，F1、F2 是双曲线
=1(a＞0，b＞0)的左、右焦点，过 F1 的直
线 l 与双曲线的左右两支分别交于点 A、B．若△ABF2为等边三角形，则双曲线的离心率为（ B ）
A．4 B． C．
D．
18．如图，已知双曲线 ﹣ =1（a＞0，b＞0）的左右焦点分别为 F1，F2，｜F1F2|=4，P 是
30。已知 曲线 C： ＋x2＝1.
高中数学 2.3.2双曲线的几何性质课时作业 苏教版选修2
2.3.2 双曲线的几何性质课时目标1.掌握双曲线的简单几何性质.2.了解双曲线的渐近性及渐近线的概念.3.掌握直线与双曲线的位置关系．(2)双曲线x 2a 2－y2b2＝1的两个顶点为A 1(－a,0)、A 2(a,0)．设B 1(0，－b)、B 2(0，b)，线段A 1A 2叫做双曲线的________，它的长等于2a ，a 叫做双曲线的实半轴长，线段B 1B 2叫做双曲线的________，它的长等于2b ，b 叫做双曲线的虚半轴长．实轴和虚轴等长的双曲线叫做________双曲线，等轴双曲线的渐近线方程为________．(3)当双曲线的离心率e 由小变大时，双曲线的形状就从扁狭逐渐变得________，原因是b a ＝e 2－1，当e 增大时，b a也增大，渐近线的斜率的绝对值________．一、填空题1．设双曲线x 2a 2－y2b2＝1(a>0，b>0)的虚轴长为2，焦距为23，则双曲线的渐近线方程为________________________________________________________________________．2．以双曲线x 29－y216＝1的右焦点为圆心，且与其渐近线相切的圆的方程是____________________．3．双曲线与椭圆4x 2＋y 2＝1有相同的焦点，它的一条渐近线方程为y ＝2x ，则双曲线的方程为________．4．已知双曲线x 2a 2－y2b2＝1 (a>0，b>0)的左、右焦点分别为F 1、F 2，P 是双曲线上一点，且PF 1⊥PF 2，PF 1·PF 2＝4ab ，则双曲线的离心率是______.5．已知双曲线x 2a 2－y2b2＝1 (a>0，b>0)的左、右焦点分别为F 1、F 2，点P 在双曲线的右支上，且PF 1＝4PF 2，则此双曲线的离心率e 的最大值为________．6．两个正数a 、b 的等差中项是52，一个等比中项是6，且a>b ，则双曲线x 2a 2－y2b2＝1的离心率e ＝______.7．在△ABC 中，a ，b ，c 分别是∠A，∠B，∠C 的对边，且a ＝10，c －b ＝6，则顶点A 运动的轨迹方程是______________________．8．与双曲线x 29－y216＝1有共同的渐近线，并且经过点(－3，23)的双曲线方程为________________． 二、解答题9．根据下列条件，求双曲线的标准方程．(1)经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫154，3，且一条渐近线为4x ＋3y ＝0； (2)P(0,6)与两个焦点连线互相垂直，与两个顶点连线的夹角为π3.10．已知双曲线的渐近线方程为3x±4y＝0，求此双曲线的离心率．能力提升11．设双曲线的一个焦点为F ，虚轴的一个端点为B ，如果直线FB 与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为____________．12．过双曲线x 2a 2－y2b2＝1 (a>0，b>0)的右焦点F 作双曲线斜率大于零的渐近线的垂线l ，垂足为P ，设l 与双曲线的左、右两支相交于点A 、B.(1)求证：点P 在直线x ＝a2c上；(2)求双曲线的离心率e 的范围；知识梳理(3)开阔 增大 作业设计1．y ＝±22x解析 由题意知，2b ＝2,2c ＝23，则b ＝1，c ＝3，a ＝2；双曲线的渐近线方程为y ＝±22x .2．x 2＋y 2－10x ＋9＝0解析 双曲线x 29－y 216＝1的右焦点为(5,0)，渐近线为y ＝±43x ，即4x ±3y ＝0.∴r ＝|4×5|42＋32＝4.∴所求圆方程为(x －5)2＋y 2＝16，即x 2＋y 2－10x ＋9＝0.3．2y 2－4x 2＝1解析 由于椭圆4x 2＋y 2＝1的焦点坐标为⎝⎛⎭⎪⎫0，±32，则双曲线的焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，±32，又由渐近线方程为y ＝2x ，得a b ＝2，即a 2＝2b 2，又由⎝ ⎛⎭⎪⎫322＝a 2＋b 2，得a 2＝12，b 2＝14，又由于焦点在y 轴上，因此双曲线的方程为2y 2－4x 2＝1.4. 5解析 由题意，|PF 1－PF 2|＝2a ，①PF 21＋PF 22＝4c 2.①平方得PF 21＋PF 22－2PF 1·PF 2＝4a 2，即4c 2－8ab ＝4a 2，因此b ＝2a .由于c 2－a 2＝4a 2，因此c 2＝5a 2，即e ＝ 5. 5.53解析 |PF 1－PF 2|＝2a ，即3PF 2＝2a ，所以PF 2＝2a3≥c －a ，即2a ≥3c －3a ，即5a ≥3c ，则c a ≤53. 6.133解析 a ＋b ＝5，ab ＝6，解得a ，b 的值为2或3.又a >b ，∴a ＝3，b ＝2.∴c ＝13，从而e ＝c a ＝133.7.x 29－y 216＝1(x >3)解析 以BC 所在直线为x 轴，BC 的中点为原点建立直角坐标系，则B (－5,0)，C (5,0)，而AB －AC ＝6<10.故A 点的轨迹是双曲线的右支，其方程为x 29－y 216＝1(x >3)．8.x 294－y 24＝1 解析 ∵所求双曲线与双曲线x 29－y 216＝1有相同的渐近线，∴可设所求双曲线的方程为x 29－y 216＝λ (λ≠0)．∵点(－3,23)在双曲线上，∴λ＝－329－23216＝14.∴所求双曲线的方程为x 294－y 24＝1.9．解 (1)因直线x ＝154与渐近线4x ＋3y ＝0的交点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫154，－5，而3<|－5|，故双曲线的焦点在x 轴上，设其方程为x 2a 2－y 2b2＝1，由⎩⎨⎧⎝ ⎛⎭⎪⎫1542a2－32b 2＝1，b 2a 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－432，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝9，b 2＝16.故所求的双曲线方程为x 29－y 216＝1.(2)设F 1、F 2为双曲线的两个焦点．依题意，它的焦点在x 轴上． 因为PF 1⊥PF 2，且OP ＝6，所以2c ＝F 1F 2＝2OP ＝12，所以c ＝6.又P 与两顶点连线夹角为π3，所以a ＝OP ·tan π6＝23，所以b 2＝c 2－a 2＝24.故所求的双曲线方程为x 212－y 224＝1.10．解 由渐近线方程3x ±4y ＝0，即x 4±y3＝0，可设双曲线方程为x 216－y 29＝λ (λ∈R 且λ≠0)，即x 216λ－y 29λ＝1. 当λ>0时，焦点在x 轴上，c 2＝16λ＋9λ＝25λ，所以e ＝c a ＝5λ4λ＝54.当λ<0时，焦点在y 轴上，方程化为y 2－9λ－x 2－16λ＝1，所以c 2＝－25λ，a 2＝－9λ，所以e ＝c a ＝5－λ3－λ＝53.故所求双曲线的离心率为54或53.11.5＋12解析 设双曲线方程为x 2a2－y 2b2＝1(a >0，b >0)，如图所示，双曲线的一条渐近线方程为y ＝b ax ，而k BF ＝－b c ，∴b a ·(－b c )＝－1，整理得b 2＝ac . ∴c 2－a 2－ac ＝0，两边同除以a 2，得e 2－e －1＝0，解得e ＝1＋52或e ＝1－52(舍去)．12．(1)证明 设双曲线的右焦点为F (c,0)，斜率大于零的渐近线方程为y ＝bax .则l 的方程为y ＝－a b (x －c )，从而点P 坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2c ，ab c .因此点P 在直线x ＝a 2c 上．(2)解 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－abx －c ，x 2a 2－y2b 2＝1，消去y 得(b 4－a 4)x 2＋2a 4cx －a 2(a 2c 2＋b 4)＝0.∵A 、B 两点分别在双曲线左、右两支上，设A 、B 两点横坐标分别为x A 、x B .由b 4－a 4≠0且x A x B <0.即－a 2a 2c 2＋b 4b 4－a 4<0，得b 2>a 2.即b 2a 2>1，∴e ＝ 1＋b 2a2> 2.故e 的取值范围为(2，＋∞)．。
高中数学《双曲线》典型例题12例(含标准答案)
《双曲线》典型例题12例典型例题一例1 讨论192522=-+-ky k x 表示何种圆锥曲线，它们有何共同特征． 分析：由于9≠k ，25≠k ，则k 的取值范围为9<k ，259<<k ，25<k ，分别进行讨论．解：（1）当9<k 时，025>-k ，09>-k ，所给方程表示椭圆，此时k a -=252，k b -=92，16222=-=b a c ，这些椭圆有共同的焦点（－4，0），（4，0）．（2）当259<<k 时，025>-k ，09<-k ，所给方程表示双曲线，此时，k a -=252，k b -=92，16222=+=b a c ，这些双曲线也有共同的焦点（－4，0），）（4，0）．（3）25<k ，9=k ，25=k 时，所给方程没有轨迹．说明：将具有共同焦点的一系列圆锥曲线，称为同焦点圆锥曲线系，不妨取一些k 值，画出其图形，体会一下几何图形所带给人们的美感．典型例题二例2 根据下列条件，求双曲线的标准方程．（1）过点⎪⎭⎫ ⎝⎛4153，P ，⎪⎭⎫⎝⎛-5316，Q 且焦点在坐标轴上． （2）6=c ，经过点（－5，2），焦点在x 轴上．（3）与双曲线141622=-y x 有相同焦点，且经过点()223， 解：（1）设双曲线方程为122=+ny m x ∵ P 、Q 两点在双曲线上，∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+12592561162259nm n m 解得⎩⎨⎧=-=916n m∴所求双曲线方程为191622=+-y x 说明：采取以上“巧设”可以避免分两种情况讨论，得“巧求”的目的． （2）∵焦点在x 轴上，6=c ，∴设所求双曲线方程为：1622=--λλy x （其中60<<λ） ∵双曲线经过点（－5，2），∴16425=--λλ∴5=λ或30=λ（舍去）∴所求双曲线方程是1522=-y x说明：以上简单易行的方法给我们以明快、简捷的感觉．（3）设所求双曲线方程为：()160141622<<=+--λλλy x ∵双曲线过点()223，，∴1441618=++-λλ ∴4=λ或14-=λ（舍）∴所求双曲线方程为181222=-y x 说明：（1）注意到了与双曲线141622=-y x 有公共焦点的双曲线系方程为141622=+--λλy x 后，便有了以上巧妙的设法． （2）寻找一种简捷的方法，须有牢固的基础和一定的变通能力，这也是在我们教学中应该注重的一个重要方面．典型例题三例3 已知双曲线116922=-y x 的右焦点分别为1F 、2F ，点P 在双曲线上的左支上且3221=PF PF ，求21PF F∠的大小．分析：一般地，求一个角的大小，通常要解这个角所在的三角形． 解：∵点P 在双曲线的左支上 ∴621=-PF PF∴362212221=-+PF PF PF PF ∴1002221=+PF PF ∵()100441222221=+==b a c F F ∴ 9021=∠PF F说明：（1）巧妙地将双曲线的定义应用于解题当中，使问题得以简单化． （2）题目的“点P 在双曲线的左支上”这个条件非常关键，应引起我们的重视，若将这一条件改为“点P 在双曲线上”结论如何改变呢？请读者试探索．典型例题四例 4 已知1F 、2F 是双曲线1422=-y x 的两个焦点，点P 在双曲线上且满足9021=∠PF F ，求21PF F ∆的面积．分析：利用双曲线的定义及21PF F ∆中的勾股定理可求21PF F ∆的面积．解：∵P 为双曲线1422=-y x 上的一个点且1F 、2F 为焦点．∴4221==-a PF PF ,52221==c F F ∵ 9021=∠PF F∴在21F PF Rt ∆中，202212221==+F F PF PF ∵()162212221221=-+=-PF PF PF PF PF PF∴1622021=-PF PF ∴221=⋅PF PF ∴1212121=⋅=∆PF PF S PF F说明：双曲线定义的应用在解题中起了关键性的作用．典型例题五例5 已知两点()051，-F 、()052，F ，求与它们的距离差的绝对值是6的点的轨迹．分析：问题的条件符合双曲线的定义，可利用双曲线定义直接求出动点轨迹． 解：根据双曲线定义，可知所求点的轨迹是双曲线． ∵5=c ，3=a∴16435222222==-=-=a c b∴所求方程116922=-y x 为动点的轨迹方程，且轨迹是双曲线． 说明：（1）若清楚了轨迹类型，则用定义直接求出其轨迹方程可避免用坐标法所带来的繁琐运算．（2）如遇到动点到两个定点距离之差的问题，一般可采用定义去解．典型例题六例6 在ABC ∆中，2=BC ，且A B C sin 21sin sin =-，求点A 的轨迹．分析：要求点A 的轨迹，需借助其轨迹方程，这就要涉及建立坐标系问题，如何建系呢？解：以BC 所在直线为x 轴，线段BC 的中垂线为y 轴建立平面直角坐标系，则()01，-B ，()01，C ．设()y x A ，，由A B C sin 21sin sin =-及正弦定理可得：121==-BC AC AB ∵2=BC∴点A 在以B 、C 为焦点的双曲线右支上设双曲线方程为：()0012222>>=-b a b y a x ， ∴12=a ，22=c ∴21=a ，1=c ∴43222=-=a c b ∴所求双曲线方程为134422=-y x ∵01>=-AC AB ∴21>x ∴点A 的轨迹是双曲线的一支上挖去了顶点的部分典型例题七例7 求下列动圆圆心M 的轨迹方程：（1）与⊙()2222=++y x C ：内切，且过点()02，A （2）与⊙()11221=-+y x C ：和⊙()41222=++y x C ：都外切．（3）与⊙()93221=++y x C ：外切，且与⊙()13222=+-y x C ：内切． 分析：这是圆与圆相切的问题，解题时要抓住关键点，即圆心与切点和关键线段，即半径与圆心距离．如果相切的⊙1C 、⊙2C 的半径为1r 、2r 且21r r >，则当它们外切时，2121r r O O +=；当它们内切时，2121r r O O -=．解题中要注意灵活运用双曲线的定义求出轨迹方程．解：设动圆M 的半径为r（1）∵⊙1C 与⊙M 内切，点A 在⊙C 外 ∴2-=r MC ，r MA =，2=-MC MA∴点M 的轨迹是以C 、A 为焦点的双曲线的左支，且有：22=a ，2=c ，27222=-=a c b ∴双曲线方程为()2172222-≤=-x y x （2）∵⊙M 与⊙1C 、⊙2C 都外切 ∴11+=r MC ，22+=r MC ，112=-MC MC∴点M 的轨迹是以2C 、1C 为焦点的双曲线的上支，且有：21=a ，1=c ，43222=-=a c b ∴所求的双曲线的方程为：⎪⎭⎫⎝⎛≥=-43134422y x y （3）∵⊙M 与⊙1C 外切，且与⊙2C 内切 ∴31+=r MC ，12-=r MC ，421=-MC MC∴点M 的轨迹是以1C 、2C 为焦点的双曲线的右支，且有：2=a ，3=c ，5222=-=a c b∴所求双曲线方程为：()215422≥=-x y x 说明：（1）“定义法”求动点轨迹是解析几何中解决点轨迹问题常用而重要的方法．（2）巧妙地应用“定义法”可使运算量大大减小，提高了解题的速度与质量． （3）通过以上题目的分析，我们体会到了，灵活准确地选择适当的方法解决问题是我们无休止的追求目标．典型例题八例8 在周长为48的直角三角形MPN 中，︒=∠90MPN ，43tan =∠PMN ，求以M 、N 为焦点，且过点P 的双曲线方程．分析：首先应建立适当的坐标系．由于M 、N 为焦点，所以如图建立直角坐标系，可知双曲线方程为标准方程．由双曲线定义可知a PN PM 2=-，c MN 2=，所以利用条件确定MPN ∆的边长是关键．解：∵MPN ∆的周长为48，且43tan =∠PMN ， ∴设k PN 3=，k PM 4=，则k MN 5=． 由48543=++k k k ，得4=k ． ∴12=PN ，16=PM ，20=MN ．以MN 所在直线为x 轴，以∴MN 的中点为原点建立直角坐标系，设所求双曲线方程为12222=+by a x )0,0(>>b a ．由4=-PN PM ，得42=a ，2=a ，42=a ． 由20=MN ，得202=c ，10=c ．由96222=-=a c b ，得所求双曲线方程为196422=-y x ． 说明：坐标系的选取不同，则又曲线的方程不同，但双曲线的形状不会变．解题中，注意合理选取坐标系，这样能使求曲线的方程更简捷．典型例题九例9 P 是双曲线1366422=-y x 上一点，1F 、2F 是双曲线的两个焦点，且171=PF ，求2PF 的值．分析：利用双曲线的定义求解．解：在双曲线1366422=-y x 中，8=a ，6=b ，故10=c ． 由P 是双曲线上一点，得1621=-PF PF ． ∴12=PF 或332=PF ． 又22=-≥a c PF ，得332=PF ．说明：本题容易忽视a c PF -≥2这一条件，而得出错误的结论12=PF 或332=PF ．典型例题十例10 若椭圆122=+n y m x )0(>>n m 和双曲线122=-ty s x )0,(>t s 有相同的焦点1F 和2F ，而P 是这两条曲线的一个交点，则21PF PF ⋅的值是( ) ．A ．s m -B ．)(21s m - C ．22s m - D ．s m -分析：椭圆和双曲线有共同焦点，P 在椭圆上又在双曲线上，可根据定义得到1PF 和2PF的关系式，再变形得结果． 解：因为P 在椭圆上，所以m PF PF 221=+． 又P 在双曲线上，所以s PF PF 221=-．两式平方相减，得)(4421s m PF PF -=⋅，故s m PF PF -=⋅21．选(A)． 说明：(1)本题的方法是根据定义找1PF 与2PF的关系．(2)注意方程的形式，m ，s 是2a ，n ，t 是2b ．典型例题十一例11 若一个动点),(y x P 到两个定点)0,1(-A 、)0,1(1A 的距离之差的绝对值为定值a )0(≥a ，讨论点P 的轨迹．分析：本题的关键在于讨论a ．因21=AA ，讨论的依据是以0和2为分界点，应讨论以下四种情况：0=a ，)2,0(∈a ，2=a ，2>a ．解：21=AA ．(1)当0=a 时，轨迹是线段1AA 的垂直平分线，即y 轴，方程为0=x ．(2)当20<<a 时，轨迹是以A 、1A 为焦点的双曲线，其方程为14142222=--a y a x ．(3)当2=a 时，轨迹是两条射线)1(0≥=x y 或)1(0-≤=x y ． (4)当2>a 时无轨迹． 说明：(1)本题容易出现的失误是对参变量a 的取值范围划分不准确，而造成讨论不全面．(2)轨迹和轨迹方程是不同的，轨迹是图形，因此应指出所求轨迹是何种曲线．典型例题十二例12 如图，圆422=+y x 与y 轴的两个交点分别为A 、B ，以A 、B 为焦点，坐标轴为对称轴的双曲线与圆在y 轴左方的交点分别为C 、D ，当梯形ABCD 的周长最大时，求此双曲线的方程．分析：求双曲线的方程，即需确定a 、b 的值，而42=c ，又222b a c +=，所以只需确定其中的一个量．由双曲线定义a BC AC 2=-，又BCA ∆为直角三角形，故只需在梯形ABCD 的周长最大时，确定BC 的值即可．解：设双曲线的方程为12222=-bx a y (0,0>>b a )，),(00y x C (00<x ，00>y )，t BC =(220<<t )．连结AC ，则︒=∠90ACB ．作AB CE ⊥于E ，则有AB BE BC ⋅=2．∴4)2(02⨯-=y t ，即4220t y -=．∴梯形ABCD 的周长0224y t l ++=即10)2(21822122+--=++-=t t t l ．当2=t 时，l 最大．此时，2=BC ，32=AC ．又C 在双曲线的上支上，且B 、A 分别为上、下两焦点， ∴a BC AC 2=-，即2322-=a ． ∴13-=a ，即3242-=a ． ∴32222=-=a c b ．∴所求双曲线方程为13232422=--x y ． 说明：解答本题易忽视BC 的取值范围，应引起注意．仰望天空时，什么都比你高，你会自卑; 俯视大地时，什么都比你低，你会自负; 只有放宽视野，把天空和大地尽收眼底， 才能在苍穹泛土之间找准你真正的位置。
高考数学专题《双曲线》习题含答案解析
专题9.4 双曲线1．（2021·江苏高考真题）已知双曲线()222210,0x ya ba b-=>>的一条渐近线与直线230x y-+=平行，则该双曲线的离心率是（）A B C．2D【答案】D【分析】写出渐近线，再利用斜率相等，进而得到离心率【详解】双曲线的渐近线为by xa=±，易知by xa=与直线230x y-+=平行，所以=2bea⇒=故选：D.2．（2021·北京高考真题）若双曲线2222:1x yCa b-=离心率为2，过点，则该双曲线的程为（）A．2221x y-=B．2213yx-=C．22531x y-=D．22126x y-=【答案】B【分析】分析可得b，再将点代入双曲线的方程，求出a的值，即可得出双曲线的标准方程.【详解】2cea==，则2c a=，b=，则双曲线的方程为222213x ya a-=，将点的坐标代入双曲线的方程可得22223113a a a-==，解得1a=，故b=因此，双曲线的方程为2213yx-=.故选：B3．（2021·山东高考真题）已知1F是双曲线22221x ya b-=（0a>，0b>）的左焦点，点P在双曲线上，直线1PF与x轴垂直，且1PF a=，那么双曲线的离心率是（）练基础AB C ．2 D ．3【答案】A 【分析】易得1F 的坐标为(),0c -，设P 点坐标为()0,c y -，求得20b y a =，由1PF a =可得a b =，然后由a ，b ，c 的关系求得222c a =，最后求得离心率即可. 【详解】1F 的坐标为(),0c -，设P 点坐标为()0,c y -，易得()22221c y a b--=，解得20b y a =， 因为直线1PF 与x 轴垂直，且1PF a =， 所以可得2b a a=，则22a b =，即a b =，所以22222c a b a =+=，离心率为e = 故选：A .4．（2021·天津高考真题）已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点与抛物线22(0)y px p =>的焦点重合，抛物线的准线交双曲线于A ，B 两点，交双曲线的渐近线于C 、D 两点，若|CD AB ．则双曲线的离心率为（ ）A B C ．2 D ．3【答案】A 【分析】设公共焦点为(),0c ，进而可得准线为x c =-，代入双曲线及渐近线方程，结合线段长度比值可得2212a c =，再由双曲线离心率公式即可得解. 【详解】设双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>与抛物线22(0)y px p =>的公共焦点为(),0c ，则抛物线22(0)y px p =>的准线为x c =-，令x c =-，则22221c ya b-=，解得2b y a =±，所以22b AB a =, 又因为双曲线的渐近线方程为b y x a =±，所以2bcCD a=，所以2bc a c ，所以222212a cbc =-=，所以双曲线的离心率ce a== 故选：A.5．（2019·北京高考真题（文））已知双曲线2221x y a-=（a ＞0） 则a =（ ）A B ．4C ．2D ．12【答案】D 【解析】∵双曲线的离心率ce a==，c =，=，解得12a = ， 故选D.6．（全国高考真题（文））双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的离心率为2，焦点到渐近线的C 的焦距等于（ ）．A.2B.C.4D.【答案】C 【解析】设双曲线的焦距为2c ，双曲线的渐进线方程为，由条件可知，，又，解得，故答案选C ．7.（2017·天津高考真题（文））已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左焦点为F ，点A 在双曲线的渐近线上，OAF △是边长为2的等边三角形（O 为原点），则双曲线的方程为（ ） A.221412x y -=B.221124x y -=C.2213x y -=D.2213y x -=【答案】D 【解析】由题意结合双曲线的渐近线方程可得：2222tan 603c c a bba⎧⎪=⎪=+⎨⎪⎪==⎩，解得：221,3a b ==， 双曲线方程为：2213y x -=.本题选择D 选项.8．（2021·全国高考真题（理））已知双曲线22:1(0)x C y m m -=>0my +=，则C 的焦距为_________． 【答案】4 【分析】将渐近线方程化成斜截式，得出,a b 的关系，再结合双曲线中22,a b 对应关系，联立求解m ，再由关系式求得c ，即可求解.【详解】0my +=化简得y =，即b a ，同时平方得2223b a m =，又双曲线中22,1a m b ==，故231m m=，解得3,0m m ==（舍去），2223142c a b c =+=+=⇒=，故焦距24c =. 故答案为：4.9．（2019·江苏高考真题）在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线2221(0)y x b b-=>经过点（3，4)，则该双曲线的渐近线方程是_____. 【答案】y =.【解析】由已知得222431b-=，解得b =b =因为0b >，所以b =因为1a =，所以双曲线的渐近线方程为y =.10.（2020·全国高考真题（文））设双曲线C ：22221x y a b -= (a >0，b >0)的一条渐近线为y =x ，则C 的离心率为_________．【解析】由双曲线方程22221x y a b-=可得其焦点在x 轴上，因为其一条渐近线为y =，所以b a =c e a ===1.（2018·全国高考真题（理））设1F ,2F 是双曲线2222:1x y C a b-=（）的左、右焦点，O 是坐标原点．过2F 作C 的一条渐近线的垂线，垂足为P ．若16PF OP =，则C 的离心率为( ) A B C ．2D【答案】B 【解析】由题可知22,PF b OF c ==PO a ∴=在2Rt PO F 中，222cos P O PF bF OF c∠==在12PF F △中,22221212212cos P O 2PF F F PF b F PF F F c+-∠==)222224322b c bc a b cc+-∴=⇒=⋅ e ∴=故选B.2．（2020·云南文山·高三其他（理））已知双曲线2221(0)x y a a-=>上关于原点对称的两个点P ，Q ，右顶点为A ，线段AP 的中点为E ，直线QE 交x 轴于(1,0)M ，则双曲线的离心率为（ ）练提升A B ．3CD ．3【答案】D 【解析】由已知得M 为APQ 的重心，∴3||3a OM ==，又1b =，∴c ==，即c e a ==. 故选:D.3．（2020·广东天河·华南师大附中高三月考（文））已知平行于x 轴的直线l 与双曲线C ：()222210,0x y a b a b-=>>的两条渐近线分别交于P 、Q 两点，O 为坐标原点，若OPQ △为等边三角形，则双曲线C 的离心率为（ ）A ．2BCD 【答案】A 【解析】因为OPQ △为等边三角形， 所以渐近线的倾斜角为3π，所以22,3,bb b a a=∴=∴= 所以2222223,4,4,2c a a c a e e -=∴=∴=∴=. 故选：A4．（2021·广东广州市·高三月考）已知1F ，2F 分别是双曲线C ：2213x y -=的左、右焦点，点P 是其一条渐近线上一点，且以线段12F F 为直径的圆经过点P ，则点P 的横坐标为（ ）A ．±1B ．C ．D ．2±【答案】C 【分析】由题意可设00(,)P x ，根据圆的性质有120F P F P ⋅=，利用向量垂直的坐标表示，列方程求0x 即可. 【详解】由题设，渐近线为y =，可令00(,)P x x ，而1(2,0)F -，2(2,0)F ，∴100(2,)F P x x =+，200(2,)F P x =-，又220120403x F P F P x ⋅=-+=，∴0x = 故选：C5.（2020·广西南宁三中其他（理））圆22:10160+-+=C x y y 上有且仅有两点到双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的一条渐近线的距离为1，则该双曲线离心率的取值范围是（ ）A ．B ．55(,)32C ．55(,)42D ．1)【答案】C 【解析】双曲线22221x y a b-=的一条渐近线为0bx ay -=，圆22:10160C x y y +-+=，圆心()0,5，半径3因为圆C 上有且仅有两点到0bx ay -=的距离为1， 所以圆心()0,5到0bx ay -=的距离d 的范围为24d << 即24<<，而222+=a b c 所以524a c <<，即5542e << 故选C 项.6．【多选题】（2021·湖南高三）已知双曲线2222:1x y C a b-=（0a >，0b >）的左，右焦点为1F ，2F ，右顶点为A ，则下列结论中，正确的有（ ）A ．若a b =，则CB ．若以1F 为圆心，b 为半径作圆1F ，则圆1F 与C 的渐近线相切C ．若P 为C 上不与顶点重合的一点，则12PF F △的内切圆圆心的横坐标x a =D ．若M 为直线2a x c =（c 上纵坐标不为0的一点，则当M 的纵坐标为时，2MAF 外接圆的面积最小 【答案】ABD 【分析】由a b =，得到222a c =，利用离心率的定义，可判定A 正确；由双曲线的几何性质和点到直线的距离公式，可判定B 正确；由双曲线的定义和内心的性质，可判定C 不正确； 由正弦定理得到2MAF 外接圆的半径为222sin AF R AMF =∠，得出2sin AMF ∠最大时，R 最小，只需2tan AMF ∠最大，设2,a M t c ⎛⎫⎪⎝⎭，得到22tan tan()AMF NMF NMA ∠=∠-∠，结合基本不等式，可判定D 正确． 【详解】对于A 中，因为a b =，所以222a c =，故C 的离心率ce a==A 正确； 对于B 中，因为()1,0F c -到渐近线0bx ay -=的距离为d b ==，所以B 正确；对于C 中，设内切圆与12PF F △的边1221,,F F F P F P 分别切于点1,,A B C ，设切点1A (,0)x ， 当点P 在双曲线的右支上时，可得121212PF PF PC CF PB BF CF BF -=+--=-1112A F A F =-()()22c x c x x a =+--==，解得x a =，当点P 在双曲线的左支上时，可得x a =-，所以12PF F △的内切圆圆心的横坐标x a =±，所以C 不正确； 对于D 中，由正弦定理，可知2MAF 外接圆的半径为222sin AF R AMF =∠，所以当2sin AMF ∠最大时，R 最小，因为2a a c<，所以2AMF ∠为锐角，故2sin AMF ∠最大，只需2tan AMF ∠最大．由对称性，不妨设2,a M t c ⎛⎫ ⎪⎝⎭（0t >），设直线2a x c =与x 轴的交点为N ，在直角2NMF △中，可得222=tan a c NF c NM t NMF -∠=， 在直角NMA △中，可得2=tan a a NA c NM tMA N -∠=， 又由22222222tan tan tan tan()1tan tan 1NMF NMA AMF NMF NMA NMF NMAa a c a c ct t a a c a c c t t--∠-∠∠=∠-∠==+∠∠--⨯+-⋅22()c a ab c a t c t-=≤-+当且仅当()22ab c a t c t -=，即t =2tan AMF ∠取最大值，由双曲线的对称性可知，当t =2tan AMF ∠也取得最大值，所以D 正确．故选：ABD ．7．【多选题】（2021·重庆巴蜀中学高三月考）已知点Q 是圆M ：()2224x y ++=上一动点，点()2,0N ，若线段NQ 的垂直平分线交直线MQ 于点P ，则下列结论正确的是（ ） A ．点P 的轨迹是椭圆 B ．点P 的轨迹是双曲线C ．当点P 满足PM PN ⊥时，PMN 的面积3PMN S =△D ．当点P 满足PM MN ⊥时，PMN 的面积6PMNS =【答案】BCD 【分析】根据PM PN -的结果先判断出点P 的轨迹是双曲线，由此判断AB 选项；然后根据双曲线的定义以及垂直对应的勾股定理分别求解出PM PN ⋅的值，即可求解出PMN S △，据此可判断CD 选项. 【详解】依题意，2MQ =，4MN =，因线段NQ 的垂直平分线交直线MQ 于点P ，于是得PQ PN =， 当点P 在线段MQ 的延长线上时，2PM PN PM PQ MQ -=-==，当点P 在线段QM 的延长线上时，2PN PM PQ PM MQ -=-==，从而得24PM PN MN -=<=，由双曲线的定义知，点M 的轨迹是双曲线，故A 错，B 对；选项C ，点P 的轨迹方程为2213y x -=，当PM PN ⊥时，2222616PM PN PM PN PM PN MN ⎧-=⎪⇒⋅=⎨+==⎪⎩， 所以132PMN S PM PN ==△，故C 对； 选项D ，当PM MN ⊥时，2222316PM PN PM PN PM MN ⎧-=-⎪⇒=⎨-==⎪⎩， 所以162PMN S PM MN ==△，故D 对， 故选：BCD.8．（2021·全国高二课时练习）双曲线()22122:10,0x y C a b a b -=>>的焦距为4，且其渐近线与圆()222:21C x y -+=相切，则双曲线1C 的标准方程为______．【答案】2213x y -=【分析】根据焦距，可求得c 值，根据渐近线与圆2C 相切，可得圆心到直线的距离等于半径1，根据a ，b ，c 的关系，即可求得a ，b 值，即可得答案. 【详解】因为双曲线()22122:10,0x y C a b a b -=>>的焦距为4，所以2c =．由双曲线1C 的两条渐近线b y x a=±与圆()222:21C x y -+=相切，可得1=又224a b +=，所以1b =，a =所以双曲线1C 的标准方程为2213x y -=．故答案为：2213x y -=9．（2021·全国高二单元测试）已知双曲线2213y x -=的左、右焦点分别为1F ，2F ，离心率为e ，若双曲线上一点P 使2160PF F ∠=︒，则221F P F F ⋅的值为______．【答案】3 【分析】在12PF F △中，设2PF x =，则12PF x =+或12PF x =-．分别运用余弦定理可求得答案. 【详解】解：由已知得2124F F c ==．在12PF F △中，设2PF x =，则12PF x =+或12PF x =-． 当12PF x =+时，由余弦定理，得()222124242x x x +=+-⨯⨯，解得32x =，所以221314322F P F F ⋅=⨯⨯=． 当12PF x =-时，由余弦定理，得()222124242x x x -=+-⨯⨯，无解．故2213F P F F ⋅=． 故答案为：3.10．（2021·全国高二课时练习）如图，以AB 为直径的圆有一内接梯形ABCD ，且//AB CD ．若双曲线1C 以A ，B 为焦点，且过C ，D 两点，则当梯形的周长最大时，双曲线1C 的离心率为______．1 【分析】连接AC ，设BAC θ∠=，将梯形的周长表示成关于θ的函数，求出当30θ=︒时，l 有最大值，即可得到答案； 【详解】连接AC ，设BAC θ∠=，2AB R c R ==，，作CE AB ⊥于点E ，则||2sin BC R θ=，()2||||cos 902sin EB BC R θθ=︒-=，所以2||24sin CD R R θ=-，梯形的周长221||2||||24sin 24sin 4sin 52l AB BC CD R R R R R R θθθ⎛⎫=++=++-=--+ ⎪⎝⎭．当1sin 2θ=，即30θ=︒时，l 有最大值5R ，这时，||BC R =，||AC =，1(||||)2a AC BC =-=1==c e a ．11. （2021·全国高考真题（理））已知12,F F 是双曲线C 的两个焦点，P 为C 上一点，且121260,3F PF PF PF ∠=︒=，则C 的离心率为（ ）A B C D 【答案】A 【分析】根据双曲线的定义及条件，表示出12,PF PF ，结合余弦定理可得答案. 【详解】因为213PF PF =，由双曲线的定义可得12222PF PF PF a -==， 所以2PF a =，13PF a =；因为1260F PF ∠=︒,由余弦定理可得2224923cos60c a a a a =+-⨯⋅⋅︒，整理可得2247c a =，所以22274a c e ==，即e =故选：A2．（2020·浙江省高考真题）已知点O （0，0），A （–2，0），B （2，0）．设点P 满足|PA |–|PB |=2，且P 为函数y =|OP |=（ ） A B C D【答案】D 【解析】因为||||24PA PB -=<，所以点P 在以,A B 为焦点，实轴长为2，焦距为4的双曲线的右支上，由2,1c a ==可得，222413b c a =-=-=，即双曲线的右支方程为()22103y x x -=>，而点P 还在函数y =练真题由()22103y x x y ⎧⎪⎨->==⎪⎩，解得22x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即OP == 故选：D.3.（2019·全国高考真题（理））设F 为双曲线C ：22221x y a b-=（a >0，b >0）的右焦点，O为坐标原点，以OF 为直径的圆与圆x 2+y 2=a 2交于P 、Q 两点．若|PQ |=|OF |，则C 的离心率为（ ） ABC ．2 D【答案】A 【解析】设PQ 与x 轴交于点A ，由对称性可知PQ x ⊥轴， 又||PQ OF c ==，||,2c PA PA ∴=∴为以OF 为直径的圆的半径，A ∴为圆心||2c OA =． ,22c c P ⎛⎫∴ ⎪⎝⎭，又P 点在圆222x y a +=上，22244c c a ∴+=，即22222,22c c a e a =∴==．e ∴=A ．4.（2019·全国高考真题（理））双曲线C ：2242x y -=1的右焦点为F ，点P 在C 的一条渐近线上，O 为坐标原点，若=PO PF ，则△PFO 的面积为（ ）A B C ．D ．【答案】A 【解析】由2,,,a b c ====．,2P PO PF x =∴=，又P 在C 的一条渐近线上，不妨设为在y x =上，11224PFO P S OF y ∴=⋅==△，故选A ． 5. （2021·全国高考真题（文））双曲线22145x y -=的右焦点到直线280x y +-=的距离为________．【分析】先求出右焦点坐标，再利用点到直线的距离公式求解. 【详解】由已知，3c ，所以双曲线的右焦点为(3,0)，所以右焦点(3,0)到直线280x y +-===6．（2019·全国高考真题（理））已知双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1的直线与C 的两条渐近线分别交于A ，B 两点．若1F A AB =，120F B F B ⋅=，则C 的离心率为____________． 【答案】2. 【解析】 如图，由1,F A AB =得1.F A AB =又12,OF OF =得OA 是三角形12F F B 的中位线，即22//,2.BF OA BF OA =由120F B F B =，得121,,F B F B OA F A ⊥⊥则1OB OF =有1AOB AOF ∠=∠，又OA 与OB 都是渐近线，得21,BOF AOF ∠=∠又21BOF AOB AOF π∠+∠+∠=，得02160,BOF AOF BOA ∠=∠=∠=．又渐近线OB 的斜率为0tan 60ba==所以该双曲线的离心率为2c e a ====．。
江苏省南通中学苏教高中数学选修1-1学案：2.3.1 双曲线的标准方程
课题： §2.3.1 双曲线的标准方程【学习目标】1． 理解双曲线的定义、标准方程，可根据已知条件求双曲线的标准方程；2． 能用双曲线的标准方程解决简单的问题. 【学习重点】熟练掌握双曲线的标准方程，能由双曲线定义求方程【学习难点】用双曲线的标准方程解决简单的问题. 【学习过程】 一、问题情境1.回顾椭圆的定义：在 内与 的距离的 等于 （ 12F F ）的点的轨迹叫椭圆。
思考：在椭圆定义中将＂距离之和＂改为＂距离之差＂,那么点的轨迹如何?2.双曲线的定义：平面内到两个定点21,F F 的距离的差的绝对值等于常数（小于21F F 的正数）的点的轨迹叫双曲线，两个定点21,F F 叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距. a PF PF 2||21=-(c F F a 22021=<<)注意：(1)c a 22<表示双曲线； (2)c a 22=表示两条射线；(3)c a 22>没有轨迹； (4) 0=a 表示线段21F F 的中垂线.二、建构数学1.请模仿椭圆探索.建系-----设点------列示------代入------化简 （动动手）根据双曲线定义完成双曲线标准方程的推导过程。
建系：设点：列出方程化简方程：2. 焦点在x 轴上的双曲线的标准方程是12222=-by a x (0,0>>b a ).其中 222c b a =+ 焦点在y 轴上的双曲线的标准方程是12222=-bx a y (0,0>>b a ).其中 222c b a =+. 三、数学运用例1.求下列双曲线的c b a ,,的值和焦点坐标.(1)116922=-y x ; (2)12514422=-x y例2.已知双曲线的两个焦点分别为)0,5(),0,5(21F F -，双曲线上一点P 到21,F F 的距离的差的绝对值等于8，求双曲线的标准方程.例3 求满足下列条件的双曲线的标准方程：(1),4,3==b a 焦点在x 轴上 (2)c=6，经过点在（–５，２）,焦点在在x 轴上(3)焦点在y 轴上，3,9==+b c a (4)经过两点（–2，3），（315，2） (5)以椭圆162x ＋92y ＝１短轴的两个端点为焦点，且过点Ａ（４，–５）.例4．已知双曲线064422=+-y x 上一点到它的一个焦点的距离等于1，求点M 到另一个焦点的距离.例5 （1）若方程232+k x +242-k y =1表示双曲线，则实数k 的范围是 __________. （2）双曲线8kx 2-ky 2=8的一个焦点为（0,2），则k=__________ (3)已知双曲线1366422=-y x 的焦点为21,F F ,点P 在双曲线上， 且,21PF PF ⊥ 求三角形21PF F 的面积.四、回顾小结五、课后作业1．双曲线22114425x y -=上一点P 到点(13,0)A -的距离等于15，则点P 到点(13,0)B 的距离是 .2．双曲线2x 2－3y 2＝1焦点坐标为 .3.焦距为(3,5)M -的双曲线的标准方程为 。
高中数学 双曲线课后习题(带答案)
双曲线课后习题一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）1．到两定点()0,31-F 、()0,32F 的距离之差的绝对值等于6的点M 的轨迹 （ ）A ．椭圆B ．线段C ．双曲线D ．两条射线2．方程11122=-++kyk x 表示双曲线，则k 的取值范围是（ ） A ．11<<-k B ．0>k C ．0≥k D ．1>k 或1-<k3． 双曲线14122222=--+m y m x 的焦距是（ ） A ．4 B ．22 C ．8 D ．与m 有关4．已知m,n 为两个不相等的非零实数，则方程m x －y+n=0与n x 2+my 2=mn 所表示的曲线可（）A B C D 5． 双曲线的两条准线将实轴三等分，则它的离心率为 （ ） A ．23B ．3C ．34 D ． 36．焦点为()6,0，且与双曲线1222=-y x 有相同的渐近线的双曲线方程是（ ）A ．1241222=-y xB ．1241222=-x yC ．1122422=-x yD ．1122422=-y x7．若a k <<0，双曲线12222=+--k b y k a x 与双曲线12222=-by a x 有（ ）A ．相同的虚轴B ．相同的实轴C ．相同的渐近线D ． 相同的焦点8．过双曲线191622=-y x 左焦点F 1的弦AB 长为6，则2ABF ∆（F 2为右焦点）的周长是（ ）A ．28B ．22C ．14D ．129．已知双曲线方程为1422=-y x ，过P （1，0）的直线L 与双曲线只有一个公共点，则L条数共有 （ ） A ．4条 B ．3条 C ．2条 D ．1条10．给出下列曲线：①4x +2y －1=0; ②x 2+y 2=3; ③1222=+y x ④1222=-y x ，其中与直线y=－2x －3有交点的所有曲线是 （ ） A ．①③ B ．②④ C ．①②③ D ．②③④ 二、填空题（本题共4小题，每小题6分，共24分）11．双曲线17922=-y x 的右焦点到右准线的距离为__________________________．12．与椭圆1251622=+y x 有相同的焦点，且两准线间的距离为310的双曲线方程为____________．13．直线1+=x y 与双曲线13222=-y x 相交于B A ,两点，则AB =__________________．4．过点)1,3(-M 且被点M 平分的双曲线1422=-y x 的弦所在直线方程为 ．三、解答题（本大题共6题，共76分）15．求一条渐近线方程是043=+y x ，一个焦点是()0,4的双曲线标准方程，并求此双曲线的离心率．（12分）16．双曲线()0222>=-a a y x 的两个焦点分别为21,F F ，P 为双曲线上任意一点，求证：21PF PO PF 、、成等比数列（O 为坐标原点）．（12分）17．已知动点P 与双曲线x 2－y 2＝1的两个焦点F 1，F 2的距离之和为定值，且cos ∠F 1PF 2的最小值为－13.（1）求动点P 的轨迹方程；（2）设M (0，－1)，若斜率为k (k ≠0)的直线l 与P 点的轨迹交于不同的两点A 、B ，若要使|MA |＝|MB |，试求k 的取值范围．（12分）18．已知不论b 取何实数，直线y=k x +b 与双曲线1222=-y x 总有公共点，试求实数k的取值范围.（12分）19．设双曲线C 1的方程为)0,0(12222>>=-b a by a x ，A 、B 为其左、右两个顶点，P 是双曲线C 1上的任意一点，引QB ⊥PB ，QA ⊥PA ，AQ 与BQ 交于点Q.（1）求Q 点的轨迹方程;（2）设（1）中所求轨迹为C 2，C 1、C 2的离心率分别为e 1、e 2，当21≥e 时，e 2的取值范围（14分）参考答案一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）① ②11．4712．14522=-x y 13．64 14．0543=-+y x三、解答题（本大题共6题，共76分）15．（12分）[解析]：设双曲线方程为：λ=-22169y x ，∵双曲线有一个焦点为（4，0），0>∴λ双曲线方程化为：2548161691169222=⇒=+⇒=-λλλλλy x ，∴双曲线方程为：1251442525622=-y x ∴455164==e ．16．（12分）[解析]：易知2,2,===e a c a b ，准线方程：2a x ±=，设()y x P ,，则)2(21a x PF +=，)2(22a x PF -=，22y x PO +=，2222212)2(2a x a x PF PF -=-=⋅∴ 222222)(PO y x a x x =+=-+= 21PF PO PF 、、∴成等比数列.17．（12分）[解析]：(1)∵x 2－y 2＝1，∴c ＝ 2.设|PF 1|＋|PF 2|＝2a (常数a ＞0)，2a ＞2c ＝22，∴a ＞ 2由余弦定理有cos ∠F 1PF 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 2|22|PF 1||PF 2|＝(|PF 1|＋|PF 2|)2－2|PF 1||PF 2|－|F 1F 2|22|PF 1||PF 2|＝2a 2－4|PF 1||PF 2|－1∵|PF 1||PF 2|≤(|PF 1|＋|PF 2|2)2＝a 2，∴当且仅当|PF 1|＝|PF 2|时，|PF 1||PF 2|取得最大值a 2.此时cos ∠F 1PF 2取得最小值2a 2－4a 2－1，由题意2a 2－4a 2－1＝－13，解得a 2＝3，123222=-=-=∴c a b∴P 点的轨迹方程为x 23＋y 2＝1.(2)设l ：y ＝kx ＋m (k ≠0)，则由，⎪⎩⎪⎨⎧+==+m kx y y x 1322 将②代入①得：(1＋3k 2)x 2＋6kmx ＋3(m 2－1)＝0 (*) 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则AB 中点Q (x 0，y 0)的坐标满足：x 0＝x 1＋x 22＝－3km 1＋3k 2，y 0＝kx 0＋m ＝m1＋3k 2即Q (－3km 1＋3k 2，m1＋3k 2) ∵|MA |＝|MB |，∴M 在AB 的中垂线上， ∴k l k AB ＝k ·m1＋3k 2＋1－3km 1＋3k 2＝－1 ，解得m ＝1＋3k 22 …③ 又由于(*)式有两个实数根，知△＞0，即 (6km )2－4(1＋3k 2)[3(m 2－1)]＝12(1＋3k 2－m 2)＞0 ④ ，将③代入④得12[1＋3k 2－(1＋3k 22)2]＞0，解得－1＜k ＜1，由k ≠0，∴k 的取值范围是k ∈(－1，0)∪(0，1).18．（12分）[解析]：联立方程组⎩⎨⎧=-+=1222y x b kx y 消去y 得(2k 2－1)x 2+4kb x +（2b 2+1）=0, 当时，即22k ,0212±==-k 若b=0，则k φ∈；若bb x 22120b 2+±=⇒≠，不合题意. 当时，即22k ,0212±≠≠-k 依题意有△=(4kb)2－4(2k 2－1)(2b 2+1)＞0，12222+<⇒b k 对所有实数b 恒成立，min 22)12(2+<∴b k ∴2k 2<1，得2222<<-k . 19．（14分）[解析]：（1）解法一：设P(x 0,y 0), Q(x ,y )⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-⋅--=+⋅+∴⊥⊥-)2(1)1(1,),0,(),0,(0000ax y a x y a x y a x y PA QA PB QB a B a A)3(1:)2()1(22222200 =-⋅-⨯ax y ax y 得由 2222222220000,1a b a x y b y a x =-∴=-4222242222,)3(a y b x a a a x y b =--=即得代入经检验点)0,(),0,(a a -不合,因此Q 点的轨迹方程为:a 2x 2－b 2y 2=a 4（除点（－a ,0）,(a ,0)外）. 解法二：设P(x 0,y 0), Q(x ,y), ∵PA ⊥QA ∴100-=-⋅-ax ya x y ……（1）连接PQ ，取PQ 中点R,))0,(),0,((,:0,,.1)(,1)3)(2()3(,1:)1()2(),2(,02|,||||,|21|||,|21||,,4222242222222222222220220220022000外除去点点轨迹方程为整理得不合题意时得代入把得代入把即轴上点在a a a y b x a Q a y b x a a x a x b y a x a x b y a x y a x y x a y y x x x x y R RB RA PQ RB PQ RA PB QB QA PA -=-∴=-≠-∴±==--=--=∴-=--==+∴∴=∴==∴⊥⊥11111 ,1)1(:)2(22222222422242222-+=-+=+=+==-e a c a b a a b a a e b a y a x C 的方程为得由解 21 ,21)2(11 ,22221≤<∴=-+≤∴≥e e eQ。
江苏省南通高中高三数学小题校本作业(49)直线与圆锥曲线 苏教版
直线与圆锥曲线一、填空题（共12题，每题5分）1． 已知双曲线22122x y -=的准线过椭圆22214x y b+=的焦点，则直线y ＝kx ＋2与椭圆至多有一个交点的充要条件是 ．2． （12渝文）设P 为直线3by x a=与双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>左支的交点，1F 是左焦点，1PF 垂直于x 轴，则双曲线的离心率e = ．3． 已知F 是抛物线y 2=x 的焦点，A ，B 是该抛物线上的两点，|AF |＋|BF |＝3，则线段AB 的中点到y 轴的距离为 ．4． 设已知抛物线C 的顶点在坐标原点，焦点为F (1，0)，直线l 与抛物线C 相交于A ，B 两点．若AB 的中点为（2，2），则直线l 的方程为 ．5． 设双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的一条渐近线与抛物线y =x 2＋1只有一个公共点，则双曲线的离心率为 ．6． 直线l 是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右准线，以原点为圆心且过双曲线的顶点的圆，被直线l 分成弧长为2：1的两段圆弧，则该双曲线的离心率是 ． 7． 过(0,1)M 且与抛物线C :24y x =仅有一个公共点的直线方程是 ．8． 已知点F 1，F 2分别是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点，过F 1且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A ，B 两点，若△ABF 2是锐角三角形，则该双曲线 离心率的取值范围是 ．9． 直线1y kx =+，当k 变化时，直线被椭圆2214x y +=截得的最大弦长是 ．10．（12川文）椭圆2221(5x y a a +=为定值，且a >的的左焦点为F ，直线x ＝m 与椭圆相交于点A 、B ，△FAB 的周长的最大值是12，则该椭圆的离心率是 ．11．（12渝理）过抛物线y 2＝2x 的焦点F 作直线交抛物线于A ,B 两点，若25,12AB AF BF =<，则AF = ．12．已知121(0,0)m n m n +=>>，当mn 取得最小值时，直线2y =+与曲线1x x y ym n+=的交点个数为 ．二、解答题（共20分,要求写出主要的证明、解答过程）13．如图，在平面直角坐标系xOy中，M，N分别是椭圆221 42x y+=的顶点，过坐标原点的直线交椭圆于P，A两点，其中点P在第一象限，过P作x轴的垂线，垂足为C，连接AC，并延长交椭圆于点B．设直线PA的斜率为k．（1）当直线PA平分线段MN时，求k的值；（2）当k＝2时，求点P到直线AB的距离d；（3）对任意k＞0，求证：PA⊥PB．。
苏教版高中数学选修1-12.3《双曲线》试题.docx
高中数学学习材料唐玲出品高中苏教选修（1-1）2.3双曲线水平测试题一、选择题1．方程22111x y k k+=+-表示双曲线，则k 的取值范围是（ ） A ．11k -<<B ．0k >C ．0k ≥D ．1k >或1k <-答案：Ｄ 2．焦点为(06)，，且与双曲线2212x y -=有相同的渐近线的双曲线方程是（ ） A ．2211224x y -= B ．2211224y x -= C ．2212412y x -= D ．2212412x y -= 答案：Ｂ 3．过双曲线221169x y -=左焦点1F 的弦AB 长为6，则2ABF △（2F 为右焦点）的周长是（ ）A ．28B ．22C ．14D ．12答案：Ａ 4．已知m n ，为两个不相等的非零实数，则方程0mx y n -+=与22nx my mn +=所表示的曲线可能是（ ）答案：Ｃ5．已知双曲线方程为2214y x -=，过点(10)P ，的直线L 与双曲线只有一个公共点，则L 的条数共有（ ）A ．4条B ．3条C ．2条D ．1条答案：Ｂ 6．已知双曲线22221x y a b-=(00)a b >>，的左、右焦点分别为12F F ，，点P 在双曲线的右支上，且124PF PF =，则此双曲线的离心率e 的最大值为（ ）A ．43B ．53C ．2D ．73答案：Ｂ二、填空题7．与椭圆2214924x y +=有相同的焦点且以43y x =±为渐近线的双曲线方程为 ． 答案：221916x y -= 8．已知定点A B ，，且6AB =，动点P 满足4PA PB -=，则PA 的最小值是 ． 答案：59．若双曲线22221(00)x y a b a b -=>>，的一条渐近线的倾斜角为π(0)2αα<<，其离心率为 ．答案：sec α10．双曲线2224mx my -=的一条准线是1y =，则实数m 为 ． 答案：23- 11．若一直线l 平行于双曲线C 的一条渐近线，则l 与C 的公共点个数为 ． 答案：112．双曲线221169x y -=上有点12P F F ，，是双曲线的焦点，且12π3F PF ∠=，则12F PF △的面积是 ． 答案：93三、解答题13．已知动点P 与双曲线221x y -=的两个焦点12F F ，的距离之和为定值，且12cos F PF ∠的最小值为13-，求动点P 的轨迹方程．解：221x y -=，2c ∴=． 设1PF m =，2PF n =，则2m n a +=（常数0a >），所以点P 是以12F F ，为焦点，2a 为长轴的椭圆，2222a c >=，2a ∴>． 由余弦定理，有2221212cos 2m n F F F PF mn +-∠=2212()22m n mn F F mn +--=2241a mn-=-． 222m n mn a +⎛⎫= ⎪⎝⎭≤， ∴当且仅当m n =时，mn 取得最大值2a ． 此时12cos F PF ∠取得最小值22241a a --， 由题意2224113a a --=-，解得23a =， 222321b ac ∴=-=-=．P ∴点的轨迹方程为2213x y +=．14．已知12F F ，是双曲线22221(00)x y a b a b-=>>，的左、右两焦点，过2F 作垂直于x 轴的直线交双曲线于点P ，若1245PF F ∠=时，求双曲线的渐近线方程．解：由2(0)F c ，，设0()P c y ，，则220221y c a b -=， 那么222021c b y b a a ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，因为1245PF F ∠=，所以120F F y =，即22b c a=． 也就是22244()a a b b +=，得22(222)b a =+． 故渐近线方程为222y x =±+．15．某中心接到其正东、正西、正北方向三个观测点的报告：正西、正北两个观测点同时听到一声巨响，正东观测点所到的时间比其他两个观测点晚期4s ．已知各观测点到该中心的距离都是1020m ．试确定该巨响发生的位置．（假定当时声音传播的速度为340m/s ，相关各点均在同一平面上）．解：以接报中心为原点O ，正东、正北方向分别为x 轴、y 轴的正向建立平面直角坐标系． 设A B C ，，分别是西、东、北观测点，则(10200)(10200)(01020)A B C -，，，，，．设()P x y ，为巨响发生点，由A C ，同时听到巨响，得PA PC =，故P 在AC 的垂直平分线PO 上，PO 的方程为y x =-．因B 点比A 点晚4s 听到爆炸声，故34041360PB PA -=⨯=．由双曲线定义知P 点在以A B ，为焦点的双曲线22221x y a b-=上，依题意得680a =，1020c =，22222210206805340b c a =-=-=⨯， 故双曲线方程为222216805340x y -=⨯． 用y x =-代入上式，得6805x =±， 由PB PA >，得6805x =-，6805y =， 即(68056805)P -，，所以68010PO =． 故巨响发生在接报中心的西偏北45，距中心68010m 处．。
最新江苏省南通中学高考小题专题复习数学练习：直线-综合应用资料
南通中学数学高考小题专题复习练习综合应用一、填空题（共12题，每题5分）1、双曲线24x -212y =1的焦点到渐近线的距离为 ．2、设1e ,2e 分别为具有公共焦点1F 与2F 的椭圆和双曲线的离心率，P 为两曲线的一个公共点，且满足021=⋅PF ，则2212221)(e e e e +的值为 ． 3、以椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的右焦点F 为圆心，a 为半径的圆与椭圆的右准线交于不同的两点，则该椭圆的离心率的取值范围是 ．4、抛物线2ax y =的焦点恰好为双曲线222=-x y 的一个焦点，则=a ．5、若实数m ,∈n {1-，1，2，3}，n m ≠，则曲线122=+ny m x 表示焦点在y 轴上的双曲线的概率是 ．6、M 为椭圆2213x y +=上任意一点，P 为线段OM 的中点，则12PF PF ⋅的最小值 ． 7、如右图，从双曲线22135x y -=的左焦点F 引圆223x y +=的切线FP 交双曲线右支于点P ，T为切点，M 为线段FP 的中点，O 为坐标原点， 则MO —MT 等于 ． 8、ABC ∆中，H 为边BC 上一点，1tan,022C AH BC =⋅=，则过点C 且以,A H 为两焦点的双曲线的离心率等于 ．9、在平面直角坐标系中，1212,,,A A B B 为椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的四个顶点，F 为其右焦点，直线12A B 与直线1B F 相交于点T ，线段OT 与椭圆的交点M 恰为线段OT 的中点，则该椭圆的离心率为 ．10、已知直线()()20y k x k =+>与抛物线2:8C y x =相交于A B 、两点，F 为C 的焦点，若||2||FA FB =，则k = ．11、已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为12(,0),(,0)F c F c -，若双曲线上存在一点P 使1221sin sin PF F aPF F c=，则该双曲线的离心率的取值范围是 ．12、已知双曲线()222210,0x y C a b a b-=>>：的右焦点为F ，过FC 于A B 、两点，若4AF FB =，则C 的离心率为 ．南通中学数学高考小题专题复习练习答题纸班级 姓名 分数一、填空题（共12题，每题5分）1、 2、 3、 4、 5、 6、 7、 8、 9、 10、 11、 12、二、解答题（共20分,要求写出主要的证明、解答过程）13、已知椭圆G 的中心在坐标原点,长轴在x 轴上,离心率为23,两个焦点分别为1F 和2F ,椭圆G 上一点到1F 和2F 的距离之和为12．圆k C :0214222=--++y kx y x )(R k ∈的圆心为点k A ．（1）求椭圆G 的方程； （2）求21F F A k ∆的面积；（3）问是否存在圆k C 包围椭圆G ？请说明理由．F 2综合应用1、24x -212y =1的焦点(4,0)到渐近线y =的距离为d ==2、2；3、⎫⎪⎪⎝⎭；4、81；5、41；6、74-，提示：()()1212PF PF PO OF PO OF ⋅=+⋅+ ()22121PO OF OF PO OF OF =++⋅+⋅22PO =-当M 在上下顶点时，PO最小为12，所以12PF PF ⋅的最小值为74-；（另解：可以设),sin ,.M θθ⋅⋅⋅）7、35-，提示：如图，连接PF 2、OT （F 2为右焦点），由题知2223,5,8a b c ===，FT 2= FO 2— OT 2=8—3=5，即OM 为中位线，则MO —MT21()2PF MF FT =--2111()22PF PF FT =--211()2PF PF FT =-+=8、2，提示：建立如图所示的直角坐标系，设双曲线的方程为12222=-b y a x ，由于1t a n ,022C AH BC =⋅=，则2b CH a=，4tan 3C =， 所以224tan 3AH ac C CH b ===，即222322()ac b c a ==-，从而2c a =；9、直线12A B 的方程为：1x ya b+=-，直线1B F 的方程为：1x y c b+=-，二者联立解得：2()(,)ac b a c T a c a c +--，则()(,2()ac b a c M a c a c +--在椭圆22221(0)x y a b a b +=>>上，2222222()1,1030,1030()4()c a c c ac a e e a c a c ++=+-=+-=--，解得5e =；10、3，设抛物线2:8C y x =的准线为:2l x =-直线 ()()20y k x k =+>恒过定点P ()2,0- .如图过A B 、分 别作AM l ⊥于M ,BN l ⊥于N , 由||2||FA FB =,则||2||AM BN =,点B为AP 的中点.连结OB ,则1||||2OB AF =, ||||OB BF ∴= 点B 的横坐标为1, 故点B的坐标为k ∴11、因为在12PF F ∆中，由正弦定理得211221sin sin PF PF PF F PF F =，则由已知，得1211a c PF PF =，即12cPF PF a=，由双曲线的定义知212222222c a PF PF a PF PF a PF a c a -=-==-则即，由双曲线的几何性质知22222,,20,a PF c a c a c ac a c a>->---<-则既所以2210,e e --<解得11(1,)e e <<∈+∞，又，故双曲线的离心率(21)e ∈；12、65，设双曲线22221x y C a b-=：的右准线为l,过A B 、分别作AM l ⊥于M ,BN l ⊥于N , BD AM D ⊥于,由直线AB 的斜率知直线AB 的倾斜角为16060,||||2BAD AD AB ︒∴∠=︒=,由双曲线的第二定义有1||||||(||||)AM BN AD AF FB e-==-11||(||||)22AB AF FB ==+，又15643||||25AF FB FB FB e e =∴⋅=∴=；13、（1）设椭圆G 的方程为：22221x y a b +=（0a b >>）半焦距为c，则212a c a=⎧⎪⎨=⎪⎩6a c =⎧⎪⎨=⎪⎩22236279b a c ∴=-=-=，所求椭圆G 的方程为：221369x y +=；（2）点K A 的坐标为(),2K -，1212112222K A F F S F F =⨯⨯=⨯=V（3）若0k ≥，由2260120215120k k ++--=+f ＞0可知点（6，0）在圆k C 外， 若0k<，由22(6)0120215120k k -+---=-f ＞0可知点（-6，0）在圆k C 外； ∴不论K 为何值圆k C 都不能包围椭圆G .。
最新江苏省南通中学高考小题专题复习数学练习：双曲线资料
南通中学数学高考小题专题复习练习双曲线一、填空题（共12题，每题5分）1、设双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的虚轴长为2，焦距为32，则双曲线的渐近线方程为 ．2、双曲线13622=-y x 的渐近线与圆)0()3(222>=+-r r y x 相切，则r = ． 3、若k R ∈，试写出方程13322=+--k y k x 表示双曲线的一个充分不必要条件 ．4、已知F 1，F 2是双曲线221169x y -=的左、右两个焦点，PQ 是过点F 1的左支上的弦，且PQ 的倾斜角为α，则PF 2+QF 2－PQ 的值是 ．5、与双曲线221169y x -=有共同的渐近线，且经过点A (3,-的双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离是 ．6、设1F 和2F 为双曲线22221x y a b-=(0,0a b >>)的两个焦点, 若12F F ，，(0,2)P b 是正三角形的三个顶点，则双曲线的离心率为 ．7、已知双曲线)0(12222>=-b b y x 的左、右焦点分别是1F 、2F ，其一条渐近线方程为x y =，点),3(0y P 在双曲线上.则1PF ·2PF ＝ ． 8、已知双曲线12222=-by a x 的离心率2[∈e ，]2．双曲线的两条渐近线构成的角中，以实轴为角平分线的角记为θ，则θ的取值范围是 ．9、已知以双曲线C 的两个焦点及虚轴的两个端点为顶点的四边形中，有一个内角为60，则双曲线C 的离心率为 ．10、双曲线221(x y n n-=＞1)的两焦点为12,F F ，P 在双曲线上且满足12PF PF +=12PF F ∆的面积为 ．11、设双曲线的中心O 关于其右焦点的对称点为G ，以G 为圆心作一个与双曲线的渐近线相切的圆，则双曲线的右准线与圆G 的位置关系是 .（填相交、相切、相离）12、已知双曲线22221(00)x y a b a b-=>>，的左、右焦点分别为1F 、2F ，P 是准线上一点，且12PF PF ⊥，124PF PF ab ⋅=，则双曲线的离心率是 ．南通中学数学高考小题专题复习练习答题纸班级 姓名 分数一、填空题（共12题，每题5分）1、 2、 3、 4、 5、 6、 7、 8、 9、 10、 11、 12 、二、解答题（共20分,要求写出主要的证明、解答过程）13、已知双曲线的中心在原点O ，右焦点为F (,0)c ，P 是双曲线右支上一点，且OFP ∆的．（1）若点P 的坐标为，求此双曲线的离心率； （2）若26(1)OF FP c ⋅=，当||OP 取得最小值时，求此双曲线的方程．双曲线1、x y 22±=；2、3；3．答案不惟一，如3k >，或3k <-等；4．16；5、2；6、由tan623c b π==有2222344()c b c a ==-,则2c e a==； 7、由渐近线方程为x y =知双曲线是等轴双曲线，∴双曲线方程是222=-y x ，于是两焦点坐标分别是（－2，0）和（2，0），且)1,3(P 或)1,3(-P .不妨取)1,3(P ，则)1,32(1---=PF ，)1,32(2--=PF ，∴1PF ·2PF ＝01)32)(32()1,32)(1,32(=+-+-=-----；8、2π[，]32π，提示：由2[∈e ，]2知1≤b a 4π≤2θ≤3π，2π≤θ≤23π；9、连虚轴一个端点、一个焦点及原点的三角形，由条件知，这个三角形的两边直角分别是,(b c b 是虚半轴长，c 是焦半距)，且一个内角是30︒，即得tan 30bc︒=，所以c =，所以a =，离心率c e a=10、1，提示：由题知焦距为，根据双曲线的定义得12||PF PF -=①，且12PF PF +=由①2+②2得22212PF PF +=，由①2-②2得122PF PF ⋅=，从而12PF F ∆为直角三角形，故1212112PF FS PF PF ∆=⋅=； 11、相离，提示：设双曲线为22221(00)x y a b a b-=>>，，右焦点为(,0)F c ，则(2,0)G c ，设一条渐近线为0bx ay -=．可求圆G 的半径（即圆心G 到渐近线的距离）2bcr c==，而圆心G 到右准线的距离为2222a b c d c c c+=-=，由基本不等式得d ＞r ；12、，提示：设右准线与实轴的交点为H ，由直角三角形的性质得1212PF PF PH F F ⋅=⋅，即2abPH c =，由2PH =12HF HF ⋅得2222()()()ab a a c c c c c=+-，即223a c =，所以c a =13、（1）设所求的双曲线的方程为22221(0,0)x y a b a b-=>>，由12OF c =∴= 22222.b c a a ∴=-=-由点P 在双曲线上，22431,2aa∴-=-解得21a =， ∴离心率ce a== （2）设所求的双曲线的方程为2211221(0,0),(,)x y a b P x y a b-=>>，则11(,).FP x c y =-∵△OFP111||||2OF y y ∴∴2216(1),()1).OF FP c OF FP x c c c ⋅=-∴⋅=-=解得1.x =2||4OP x==≥，当且仅当3=c 时等号成立.此时2222222222116,233a a P a bb b a b ⎧⎧⎧-===⎪⎪⎪⎨⎨⎨==-⎪⎪⎪⎩⎩+=⎩由此得解得或（舍）则所求双曲线的方程为2212y x -=．。
江苏省南通高中高三数学小题校本作业(11)二次函数 苏
2013届南通高中数学小题校本作业（11）二次函数一、填空题（共12题，每题5分）1． （12渝文）函数()()(4)f x x a x =+-为偶函数，则实数a = ．2． 函数y =的定义域是 ，值域是 ．3． 已知函数()y f x =为奇函数，且当0x >时2()23f x x x =-+，则当0x <时，()f x 的解析式为 ．4． 按以下法则建立函数 f (x )：对于任何实数x ，函数 f (x )的值都是3－x 与x 2－4x ＋3中的最大者，则函数f (x )的最小值等于 ． 5． 设函数()f x x x bx c =++，给出四个命题：①0c =时，有()()f x f x -=-成立；②0,b c =＞0时，方程()0f x =只有一个实数根； ③()y f x =的图象关于点（0,c ）对称； ④方程()0f x =，至多有两个实数根．上述四个命题中所有正确的命题序号是 ．6． 已知函数224,0;()4,0.x x x f x x x x ⎧+⎪=⎨-<⎪⎩≥若2(2)()f a f a ->，则实数a 的取值范围 是 ．7． （12鲁理）设函数21(),()(,,0)f x g x ax bx a b a x==+∈≠R ,若()y f x =的图象与()y g x =图象有且仅有两个不同的公共点1122(,),(,)A x y B x y ,则下列判断正确 的序号是 ．A ．当0a <时,12120,0x x y y +<+>；B ．当0a <时,12120,0x x y y +>+<；C ．当0a >时,12120,0x x y y +<+<；D ．当0a >时,12120,0x x y y +>+>． 8． 已知函数221(1)x x y a a a =+->在区间[－1,1]上的最大值是14，则a = ．9． 已知函数22x x y b a +=+(a 、b 是常数且a ＞0，a ≠1)在区间[－32,0]上有y max =3，y min =52，则a ＋b ＝ ．10．某商品在近30天内每件的销售价格p （元）与时间t （天）的函数关系是20,025,,2530,.100,t t t p t t t +<<∈⎧=⎨∈-+⎩N N ≤≤该商品的日销售量Q （件）与时间t （天）的函数关系是40Q t =-+(030,)t t <∈N ≤，这种商品的日销售金额的最大值为 ． 11．若函数()21f x ax x =++在区间[)2,-+∞上为单调增函数，则实数a 的取值范围是 ．12．集合A =2{(,)20}x y x mx y +-+=，集合B ={(,)10x y x y -+=，且02x ≤≤}，又A B ≠∅I ，则实数m 的取值范围 ．二、解答题(共20分,要求写出主要的证明、解答过程) 13．如图，A ，B ，C 为函数13log y x 的图象上的三点，它们的横坐标分别是t ，t ＋2，t ＋4(t ≥1)． (1)设△ABC 的面积为S ，求S ＝f (t )； (2)判断函数S ＝f (t )的单调性； (3)求S ＝f (t )的最大值．。
江苏省南通高中高三数学小题校本作业(47)双曲线 苏教版
双曲线一、填空题（共12题，每题5分）1． 双曲线2228x y -=的实轴长是 ．2． 设双曲线2221(0)9x y a a -=>的渐近线方程为320x y ±=，则a 的值为 ．3． 设双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的虚轴长为2，焦距为则双曲线的渐近线方程为 ．4． 双曲线22163x y -=的渐近线与圆222(3)(0)x y r r -+=>相切，则r ＝ ．5． 若k ∈R ，试写出方程22133x y k k -=-+表示双曲线的一个充分不必要条件 ．6． 已知F 1，F 2是双曲线221169x y -=的左、右两个焦点，PQ 是过点F 1的左支上的弦，且PQ 的倾斜角为α，则PF 2+QF 2－PQ 的值是 ．7． 与双曲线221169y x -=有共同的渐近线，且经过点A (3,-的双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离是 ．8． （12苏）在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线22214x y m m -=+，则m 的值 ．9． 已知双曲线2221(0)2x y b b-=>的左、右焦点分别是F 1、F 2，其一条渐近线方程为y ＝x ，点P (3,y 0)在双曲线上，则12PF PF •= ．10． 已知以双曲线C 的两个焦点及虚轴的两个端点为顶点的四边形中，有一个内角为60，则双曲线C 的离心率为 ．11．双曲线221(1)x y n n-=>的两焦点为12,F F ，P 在双曲线上且满足12PF PF +=则△PF 1F 2的面积为 ．12．已知双曲线22221(00)x y a b a b-=>>，的左、右焦点分别为F 1、F 2，P 是准线上一点，且12PF PF ⊥，124PF PF ab ⋅=，则双曲线的离心率是 ．二、解答题（共20分，要求写出主要的证明、解答过程） 13．已知双曲线的中心在原点O ，右焦点为F (,0)c ，P 是双曲线右支上一点，且OFP ∆． （1）若点P的坐标为，求此双曲线的离心率； （2）若26(1)OF FP c ⋅=-，当||OP 取得最小值时， 求此双曲线的方程．。
高中数学 2.3.1双曲线的标准方程课时作业 苏教版选修21
高中数学 2.3.1双曲线的标准方程课时作业 苏教版选修21课时目标 1.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程的推导过程.2.掌握双曲线的标准方程.3.会利用双曲线的定义和标准方程解决简单的应用问题．1．焦点在x 轴上的双曲线的标准方程是__________________，焦点F 1________，F 2________.2．焦点在y 轴上的双曲线的标准方程是________________，焦点F 1__________，F 2__________.3．双曲线中a 、b 、c 的关系是____________．4．已知两点求双曲线的标准方程，当焦点位置不确定时可设为Ax 2＋By 2＝1(A≠0，B≠0，AB______0)5．双曲线的标准方程中，若x 2项的系数为正，则焦点在______轴上，若y 2项的系数为正，则焦点在______轴上．一、填空题1．已知平面上定点F 1、F 2及动点M ，命题甲：|MF 1－MF 2|＝2a(a 为常数)，命题乙：M 点轨迹是以F 1、F 2为焦点的双曲线，则甲是乙的____________条件．2．已知双曲线x 29－y216＝1上的一点P 到双曲线的一个焦点的距离为3，则点P 到另一个焦点的距离为________．3．双曲线8kx 2－ky 2＝8的一个焦点坐标是(0,3)，则k 的值为________．4．设a>1，则双曲线x 2a 2－y2a ＋12＝1的离心率e 的取值范围为______________．5．已知双曲线中心在坐标原点且一个焦点为F 1(－5，0)，点P 位于该双曲线上，线段PF 1的中点坐标为(0,2)，则该双曲线的方程是______________．6.设F1、F2是双曲线2214x y -=的两个焦点，点P 在双曲线上，且PF 1→·PF 2→＝0，则PF 1·PF 2＝________.7．已知方程x 21＋k －y21－k＝1表示双曲线，则k 的取值范围是________．8．F 1、F 2是双曲线x 29－y216＝1的两个焦点，P 在双曲线上且满足PF 1·PF 2＝32，则∠F 1PF 2＝________. 二、解答题9．已知双曲线过P 1⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，325和P 2⎝ ⎛⎭⎪⎫437，4两点，求双曲线的标准方程．10.如图所示，在△ABC 中，已知AB ＝42，且三内角A 、B 、C 满足2sin A ＋sin C ＝2sin B ，建立适当的坐标系，求顶点C 的轨迹方程，并指明表示什么曲线．能力提升11.若点O 和点F （-2,0）分别为双曲线2221x y a-=(a>0)的中心和做焦点，点P 为双曲线右支上的任意一点，则OP →·FP →的取值范围为______________．12．设双曲线与椭圆x 227＋y236＝1有相同的焦点，且与椭圆相交，一个交点A 的纵坐标为4，求此双曲线的标准方程．1．方程x 2m ＋y2n＝1既可以表示椭圆又可以表示双曲线．当方程表示椭圆时，m 、n 应满足m>n>0或n>m>0，当m>n>0时，方程表示焦点在x 轴上的椭圆；当n>m>0时，方程表示焦点在y 轴上的椭圆．当方程表示双曲线时，m 、n 应满足mn<0，当m>0，n<0时，方程表示焦点在x 轴上的双曲线；当m<0，n>0时，方程表示焦点在y 轴上的双曲线．2．知道双曲线的中心在原点，焦点在坐标轴上，但不知道焦点在哪一个坐标轴上，这时双曲线的方程可设为x 2m ＋y 2n＝1 (mn<0)(或mx 2＋ny 2＝1，mn<0)．§2.3 双曲线2．3.1 双曲线的标准方程知识梳理 1.x 2a 2－y2b 2＝1(a>0，b>0) (－c,0) (c,0) 2.y 2a 2－x2b 2＝1(a>0，b>0) (0，－c) (0，c) 3．c 2＝a 2＋b 24．< 5．x y 作业设计1．必要不充分解析 根据双曲线的定义，乙⇒甲，但甲D ⇒/乙， 只有当2a<F 1F 2且a≠0时，其轨迹才是双曲线． 2．9 3．－1解析 原方程可化为x 21k －y28k＝1，由一个焦点坐标是(0,3)可知c ＝3，且焦点在y 轴上，由于c 2＝(－1k )＋(－8k )＝－9k ＝9，所以k ＝－1.4．(2，5)解析 ∵双曲线方程为x2a2－y 2a ＋12＝1，∴c＝ 2a 2＋2a ＋1.∴e＝c a＝2＋1a 2＋2a ＝ ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋12＋1. 又∵a>1，∴0<1a <1.∴1<1a＋1<2.∴1<⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1a 2<4.∴2<e< 5.5．x 2－y 24＝1解析 设双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝1，因为c ＝5，c 2＝a 2＋b 2，所以b 2＝5－a 2，所以x 2a 2－y 25－a2＝1.由于线段PF 1的中点坐标为(0,2)，则P 点的坐标为(5，4)．代入双曲线方程得5a2－165－a 2＝1，解得a 2＝1或a 2＝25(舍去)，所以双曲线方程为x 2－y 24＝1. 6．2解析 ∵|PF 1－PF 2|＝4，又PF 1⊥PF 2，F 1F 2＝25，∴PF 21＋PF 22＝20，∴(PF 1－PF 2)2＝20－2PF 1·PF 2＝16，∴PF 1·PF 2＝2. 7．(－1,1)解析 因为方程x 21＋k －y21－k＝1表示双曲线，所以(1＋k)(1－k)>0.所以(k ＋1)(k －1)<0. 所以－1<k<1. 8．90°解析 设∠F 1PF 2＝α，PF 1＝r 1，PF 2＝r 2. 在△F 1PF 2中，由余弦定理，得(2c)2＝r 21＋r 22－2r 1r 2cos α，∴cos α＝r 1－r 22＋2r 1r 2－4c22r 1r 2＝36＋64－10064＝0.∴α＝90°.9．解 因为双曲线的焦点位置不确定，所以设双曲线方程为mx 2＋ny 2＝1 (mn<0)，因为P 1、P 2在双曲线上，所以有⎩⎪⎨⎪⎧4m ＋454n ＝1169×7m＋16n ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－116n ＝19.∴所求双曲线方程为－x 216＋y 29＝1，即y 29－x216＝1.10．解如图，以AB 边所在的直线为x 轴，AB 的垂直平分线为y 轴，建立直角坐标系， 则A(－22，0)，B(22，0)．由正弦定理得sin A ＝a2R，sin B ＝b 2R ，sin C ＝c 2R，∵2sin A ＋sin C ＝2sin B ，∴2a＋c ＝2b ，即b －a ＝c2，从而有CA －CB ＝12AB ＝22<AB.由双曲线的定义知，点C 的轨迹为双曲线的右支．∵a＝2，c ＝22，∴b 2＝c 2－a 2＝6.所以顶点C 的轨迹方程为x 22－y26＝1 (x>2)．故C 点的轨迹为双曲线的右支且除去点(2，0)． 11．[3＋23，＋∞)解析 由c ＝2得a 2＋1＝4， ∴a 2＝3，∴双曲线方程为x 23－y 2＝1.设P(x ，y)(x≥3)，OP →·FP →＝(x ，y)·(x＋2，y)＝x 2＋2x ＋y 2＝x 2＋2x ＋x 23－1＝43x 2＋2x －1(x≥3)． 令g(x)＝43x 2＋2x －1(x≥3)，则g(x)在[3，＋∞)上单调递增，所以g(x)min ＝g(3)＝3＋2 3. ∴OP →·FP →的取值范围为[3＋23，＋∞)．12．解 方法一 设双曲线的标准方程为y 2a 2－x 2b2＝1 (a>0，b>0)，由题意知c 2＝36－27＝9，c ＝3.又点A 的纵坐标为4，则横坐标为±15，于是有⎩⎪⎨⎪⎧42a2－±152b 2＝1，a 2＋b 2＝9，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4，b 2＝5.所以双曲线的标准方程为y 24－x25＝1.方法二 将点A 的纵坐标代入椭圆方程得 A(±15，4)，又两焦点分别为F 1(0,3)，F 2(0，－3)． 所以2a ＝|±15－02＋4＋32－±15－02＋4－32|＝4，即a ＝2，b 2＝c 2－a 2＝9－4＝5，y2 4－x25＝1.所以双曲线的标准方程为。
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2013届南通高中数学小题校本作业（47）
双曲线
一、填空题（共12题，每题5分）
1． 双曲线2228x y -=的实轴长是 ．
2． 设双曲线22
21(0)9x y a a -=>的渐近线方程为320x y ±=，则a 的值为 ．
3． 设双曲线22
221(0,0)x y a b a b
-=>>的虚轴长为2，焦距为
则双曲线的渐近线方程为 ．
4． 双曲线22
163
x y -=的渐近线与圆222(3)(0)x y r r -+=>相切，则r ＝ ．
5． 若k ∈R ，试写出方程
22
133
x y k k -=-+表示双曲线的一个充分不必要条件 ．
6． 已知F 1，F 2是双曲线22
1169
x y -=的左、右两个焦点，PQ 是过点F 1的左支上的弦，
且PQ 的倾斜角为α，则PF 2+QF 2－PQ 的值是 ．
7． 与双曲线22
1169
y x -=有共同的渐近线，且经过点A (3,-的双曲线的一个焦点到
一条渐近线的距离是 ．
8． （12苏）在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线22
214
x y m m -=+，
则m 的值 ．
9． 已知双曲线22
21(0)2x y b b
-=>的左、右焦点分别是F 1、F 2，其一条渐近线方程为
y ＝x ，点P (3,y 0)在双曲线上，则12PF PF •= ．
10． 已知以双曲线C 的两个焦点及虚轴的两个端点为顶点的四边形中，有一个内角
为60，则双曲线C 的离心率为 ．
11．双曲线2
21(1)x y n n
-=>的两焦点为12,F F ，P 在双曲线上且满足12PF PF +=则△PF 1F 2的面积为 ．
12．已知双曲线22
221(00)x y a b a b
-=>>，的左、右焦点分别为F 1、F 2，P 是准线上一点，
且12PF PF ⊥，124PF PF ab ⋅=，则双曲线的离心率是 ．
二、解答题（共20分，要求写出主要的证明、解答过程） 13．已知双曲线的中心在原点O ，右焦点为F (,0)c ，P 是双曲线
右支上一点，且OFP ∆
． （1）若点P
的坐标为，求此双曲线的离心率； （2）若26
(
1)OF FP c ⋅=-，当||OP 取得最小值时， 求此双曲线的方程．。