图论复习题

一、选择题
1设图G= <V, E >, v V,则下列结论成立的是(C ). A . deg(v )=2 E B . deg(v )二 E
C.
deg(v) 2 E [PPT 23]
D.
deg(v) E
v V
v V
定理1 图G=(V, E )中，所有点的次之和为边数的两倍 2. 设无向图G 的邻接矩阵为
0 10 0 1 0 10 10
则G 的边数为(B ). A . 6
B. 5
3、设完全图K n 有n 个结点(n 2) , m 条边，当(C )时，K n
中存在 欧拉回
路.
解释：K n 每个结点的度都为n — 1所以若存在欧拉回路则n —1必为偶数。

n 必 为奇数。

4. 欧拉回路是(B )
A.路径
B.简单回路[PPT 40]
C.既是基本回路也是简单回路
D.既非基本回路也非简单回路 5 .哈密尔顿回路是(C ) A.路径 B.简单回路 C.既是基本回路也是简单回路 D.既非
基本回路也非简单回路
A. m 为奇数 B . n 为偶数 C. n 为奇数 D . m 为偶数
0 1 1 0
1 0 1 0
[PPT 40] ：哈密尔顿回路要求走遍所有的点，即是基本回路的点不重复，也可以是简单回路的边不重复。

6. 设G是简单有向图，可达矩阵P（G）刻划下列关系中的是（C ）
A、点与边
B、边与点
C、点与点
D、边与边
7. 下列哪一种图不一定是树（C）。

A.无简单回路的连通图
B. 有n个顶点n-1条边的连通图
C. 每对顶点间都有通路的图
D. 连通但删去一条边便不连通的图
8. 在有n 个结点的连通图中，其边数（B）
A. 最多有n-1 条
B. 至少有n-1 条
C. 最多有n 条
D. 至少有n
9. 下列图为树的是
（
C）。

A
、G
1
{a,b,c,d},{a,a ,a,b ,c,d B
、G
2
{a,b,c,d},{a,b ,b,d, c,d C
、
G3
{a,b,c,d}, {a,b ,a,d, c,a D
、G4{a,b,c,d},{a,b ,a,c ,d,d } } } }
10、面的图7-22 是（C）。

A.完全图；
B.平面图；
C.哈密顿图；
D.欧拉图。

二、填空题
1无向完全图K6有15 条边。

[6 X( 6-1 ) ]/2=15
2. 设连通无向图G有k个奇顶点，要使G变成欧拉图，在G中至少要加k/2条边。

解：•••任何图中的奇点的个数为偶数
在每对奇点处多加一条边形成了多重边，G图就成了欧拉图。

T连通无向图G有k个奇顶点
•••有k/2对奇顶点
.有多少对奇点就加多少条边
n(n-1)
3、n阶无向完全图K n的边数是( 2 —),每个结点的度数是(n-1)证明：•/ 1个顶点的图有o条边
2个顶点的图有1条边
•满足1 2
( 2°
2
当3个顶点以上时假如n=k-1 k>=3时
•/ k-1个顶点的图有(k 1)(k 2)
- 3k1条边
2 2 2
k个顶点的图有坐9 匚兰条边
2 2 2
(2n- 2 )
解：
仿用握手定理 假设把每个顶点看成一个人 A 点到B 点相当于A 主动向B 伸手 每个点要与n-1个点握手。

因为是有向的，所以A 向B 伸手和B 向A 伸手有区别
总共握手次数是n(n-1) 所以总共边数是n(n-1)
0 1 0 1 5、设有向图
G= < V , E >, V {V 1，V 2，V 3，V 4}的邻接矩阵
A
1 0 1 1 1 1 0 0
1 0 0 0
则V 1的入度deg (v 1)= 3 ,V 4 的出度 deg (V 4) = 1
3
6、 一棵无向树的顶点数为n ,则其边数为 n-1 ，其结点度数之和
是2(n-1)。

所有的次之和为边数的两倍
7、 一个无向图有生成树的充分必要条件是(此图为连通图)。

8设T= < V,E 〉是一棵树，若|V|>1，则T 中至少存在(2 )片树叶. 9、 任何连通无向图G 至少有（1 ）棵生成树，当且仅当G 是（树）， G 的生成树只有一棵。

2 2
* 3k “、 * k 、 | 彳 ( 1) ( ) k 1
••• k -1个顶点的图与k 个顶点的图产生的边数为
而又••• k-1
个顶点的图的边数加上这条边 k-1恰好为
k 2 2
k(k 1)
二一个具有N 个顶点的无向完全图的边数为
n(n -1) 2
4、n 个结点的有向完全图边数是
(n(n-1))，每个结点的度数是
3k
乙
1
) (k 1)
2
•••当n=k 时满足
条件
10、设T是一棵树，则T是一个连通且（无圈）的图。

11、设无向图G有18条边且每个顶点的度数都是3,则图G有（12）个顶点。

解：T 18条边的次之和为d（v） 2E 36,
v V
且每个顶点的度数都是3
•••顶点数为36/3=12。

如图：
12、任一有向图中，度数为奇数的结点有（偶数）个。

[PPT 23]
13、一棵树有2个2度顶点，1个3度顶点，3个4度顶点，则其1度顶点为（9 ）。

如图：
14、设G是由5个顶点组成的完全图，则从G中删去（6 ）条边可以得到树。

解：v 5个顶点组成的完全图边数为
5 (5-1)
10 2
又V 树有5个顶点
二树的边数应为4
• ••完全图应删除10-4=6条边可以得到树
1 0 0
0 1 1 0 0 0 0 0 1 0 1 0
二、计算题
1 .设 G=<V, E >, V ={ V 1, V 2, V 3, V 4, V 5} , E ={(V 1, V 3),(V 2,
V 3), (V 2, V 4), ( V 3, V 4),(V 3, V 5),(V 4,V 5)}，试
(1) 给出G 的图形表示； (2) 写出
其邻接矩阵；
(3)求出每个结点的度数；
VI
Y2
7
0 0 1 0 0
叫
0 0 1 1 0
G (g j )5 5
1 1 0 1 1
解: (1)
V4
(2) j
c
0 1 1 0 1
0 0 1 1 0
(3)、每个结点的度数分别为
15、已知图G 是相邻矩阵为 则G 的边数为(B )。

0 0 0 0 1 0 0 1
V1—1、VP2、VI4、V4—3、VN2
2•图G=<V, E>,其中V={ a, b, c, d, e}, E={ (a, b), (a, c).
(a, e), ( b, d), ( b, e), ( c, e), ( c, d), ( d, e) },对应边的权
值依次为2、1、2、3、6、1、4及5,试
四、问答题
1、设无向图G=<V,E> |E|=12。

已知有6个3度顶点，其他顶点的度数均小于3。

问G中至少有多少个顶点？
解：•••有6个3度顶点
二它们的度数之和为6X 3=18.
(1)画出G的图形; (2)写出G的邻接矩阵;
01101
10011
G(g j)55 10011
01101
11110
G图最小生成树的权值为2+1+1+3=8
(3)求出G权最小的生成树及其权值.
又T所有点的度数之和为d(v) 2E 24 ,
v V
二度数均小于3的其余顶点的度数之和为24-18=6.
•••其余顶点的度数均为2时，G的顶点最少
二其余顶点有6/2=3个
二G中至少有6+3=9个顶点
2、判断下列图是否为欧拉图？说明理由，存在是否哈密尔顿回路
解：
(1)、是欧拉图。

理由：欧拉图判断条件：图中所有节度点均为偶数
(2)、不存在哈密尔顿回路。

理由：哈密顿图是基本回路(点不能重复)。

哈密顿图遍历顶点
3、下列各组数中，哪些能构成无向图①的度数列？哪些能构成无向简单图②的度数列?
(1) 1,1,1, 2, 3
(2) 2,2,2, 2, 2
(3) 3,3,3, 3
(4) 1,2,3, 4, 5
①"②"
①"②"
①②
(5) 1, 3, 3, 3
解：1、构成图的度数列的条件: 度数(次)之和d(v) 2E为偶数，并且奇点有偶数个。

v V
T⑴、(2)、(3)、⑷、(5)的度数(次)之和分别为8、10、12、15、10
又T奇点的个数分别为4、0、4、3、4
(4)不符合。

也不满足无向简单图。

• •• (1),⑵,(3),⑸ 都能构成无向图的度数列
2、(5)虽然能构成无向图的度数列，但不能构成无向简单图的度数列。

若G是无向简单图，设G中顶点为a、b、c、d且d(a)=1、d(b)=d(c)=d(d)=3 显然，a只能与b、c、d其中一个顶点相邻，若设a与b相邻，则除b可以是3 度顶点，c、d都不能是3度顶点，这是矛盾的。

所以(5)中的度数列不能构成不是无向简单图。

4、[1] 哥尼斯堡的居民能否通过建一座新桥来找一条可接受的路
线？如果可以，该怎么作?
[2] 哥尼斯堡的居民能否通过建两座新桥来找一条可接受的路线？如果可以，该怎么作?
[3] 哥尼斯堡的居民能否通过拆一座桥来找一条可接受的路线？如果可以，该怎么作?
[4] 哥尼斯堡的居民能否通过拆两座桥来找一条可接受的路线?
如果可以，该怎么作?
解：•七桥示意图的每个节点度为奇数
.它不是欧拉图，不能遍历边
•••连通无向图G有n个奇点成为欧拉图的充要条件:
在G中至少要添加或删掉n/2条边
假设桥为图中的边，解答如下：
(1)、(2)
(2)
(3)
奇数个顶点,
偶数个顶点,
(4)奇数个顶点，偶数条边
?画出一个有向欧拉图，要求:
按数字顺序走遍所有的边，点可以重复。

蓝点是起点。

(1)偶数个顶点，偶数条边；
(2)奇数个顶点，奇数条边；
(3)偶数个顶点，奇数条边；
(4)奇数个顶点，偶数条边。

默为起点
•.•图中有4个奇点
•••要使其变为欧拉回路，即可以在G中添加4/2=2条边
•••( 1)不满足条件，路线不被接受，(2)的建议则被接受
(3)、(4)
(1)偶数个顶点，偶数条边;
奇数条边；⑴⑺⑷
3.根据如下的相邻矩阵，画出它所对应的图G
顶点的个数分别是1、3、2、1,求G 的边数，试画 出满足条件的图形?
解：由题可知,
0 A （G ） !
4、已知无向图 G 有12条边, 6个3度顶点，其余顶点的 度数均小于3,问图G 至少有几个顶点？并画出符合 条件的图形?
解：T 无向图G 的|E|=12
•••图G 的度数之和为 d(v) 2E 24
v V
又T 6个3度顶点
如
•••这6个3度顶点的度数之和为6X 3=18 •度数均小于3的其余顶点的度数之和为
24-18=6
当其余顶点的度数均为2时，图G 的顶点最少 二其余顶点数为6/2=3
•••图G 至少有6+3=9个顶点。

5、在有7个结点的无向图 叶，2度、3度、 4度、5度
2 红色为边数 7 黑色为度数
3 3
7个顶点的度数之和为1 x 2+3X 3+2X 4+1X 5=24 • ••所有次之和为边数的两倍
红色为边
二G图的边数为24/2=12。