图论复习题

一、选择题

1设图G= , v V,则下列结论成立的是(C ). A . deg(v )=2 E B . deg(v )二 E

C.

deg(v) 2 E [PPT 23]

D.

deg(v) E

v V

v V

定理1 图G=(V, E )中，所有点的次之和为边数的两倍 2. 设无向图G 的邻接矩阵为

0 10 0 1 0 10 10

则G 的边数为(B ). A . 6

B. 5

3、设完全图K n 有n 个结点(n 2) , m 条边，当(C )时，K n

中存在 欧拉回

路.

解释：K n 每个结点的度都为n — 1所以若存在欧拉回路则n —1必为偶数。n 必 为奇数。

4. 欧拉回路是(B )

A.路径

B.简单回路[PPT 40]

C.既是基本回路也是简单回路

D.既非基本回路也非简单回路 5 .哈密尔顿回路是(C ) A.路径 B.简单回路 C.既是基本回路也是简单回路 D.既非

基本回路也非简单回路

A. m 为奇数 B . n 为偶数 C. n 为奇数 D . m 为偶数

0 1 1 0

1 0 1 0

[PPT 40] ：哈密尔顿回路要求走遍所有的点，即是基本回路的点不重复，也可以是简单回路的边不重复。

6. 设G是简单有向图，可达矩阵P（G）刻划下列关系中的是（C ）

A、点与边

B、边与点

C、点与点

D、边与边

7. 下列哪一种图不一定是树（C）。

A.无简单回路的连通图

B. 有n个顶点n-1条边的连通图

C. 每对顶点间都有通路的图

D. 连通但删去一条边便不连通的图

8. 在有n 个结点的连通图中，其边数（B）

A. 最多有n-1 条

B. 至少有n-1 条

C. 最多有n 条

D. 至少有n

9. 下列图为树的是

（

C）。

A

、G

1

{a,b,c,d},{a,a ,a,b ,c,d B

、G

2

{a,b,c,d},{a,b ,b,d, c,d C

、

G3

{a,b,c,d}, {a,b ,a,d, c,a D

、G4{a,b,c,d},{a,b ,a,c ,d,d } } } }

10、面的图7-22 是（C）。

A.完全图；

B.平面图；

C.哈密顿图；

D.欧拉图。

二、填空题

1无向完全图K6有15 条边。[6 X( 6-1 ) ]/2=15

2. 设连通无向图G有k个奇顶点，要使G变成欧拉图，在G中至少要加k/2条边。

解：•••任何图中的奇点的个数为偶数

在每对奇点处多加一条边形成了多重边，G图就成了欧拉图。

T连通无向图G有k个奇顶点

•••有k/2对奇顶点

.有多少对奇点就加多少条边

n(n-1)

3、n阶无向完全图K n的边数是( 2 —),每个结点的度数是(n-1)证明：•/ 1个顶点的图有o条边

2个顶点的图有1条边

•满足1 2

( 2°

2

当3个顶点以上时假如n=k-1 k>=3时

•/ k-1个顶点的图有(k 1)(k 2)

- 3k1条边

2 2 2

k个顶点的图有坐9 匚兰条边

2 2 2

(2n- 2 )

解：

仿用握手定理 假设把每个顶点看成一个人 A 点到B 点相当于A 主动向B 伸手 每个点要与n-1个点握手。

因为是有向的，所以A 向B 伸手和B 向A 伸手有区别

总共握手次数是n(n-1) 所以总共边数是n(n-1)

0 1 0 1 5、设有向图

G= < V , E >, V {V 1，V 2，V 3，V 4}的邻接矩阵

A

1 0 1 1 1 1 0 0

1 0 0 0

则V 1的入度deg (v 1)= 3 ,V 4 的出度 deg (V 4) = 1

3

6、 一棵无向树的顶点数为n ,则其边数为 n-1 ，其结点度数之和

是2(n-1)。所有的次之和为边数的两倍

7、 一个无向图有生成树的充分必要条件是(此图为连通图)。

8设T= < V,E 〉是一棵树，若|V|>1，则T 中至少存在(2 )片树叶. 9、 任何连通无向图G 至少有（1 ）棵生成树，当且仅当G 是（树）， G 的生成树只有一棵。

2 2

* 3k “、 * k 、 | 彳 ( 1) ( ) k 1

••• k -1个顶点的图与k 个顶点的图产生的边数为

而又••• k-1

个顶点的图的边数加上这条边 k-1恰好为

k 2 2

k(k 1)

二一个具有N 个顶点的无向完全图的边数为

n(n -1) 2

4、n 个结点的有向完全图边数是

(n(n-1))，每个结点的度数是

3k

乙

1

) (k 1)

2

•••当n=k 时满足

条件

10、设T是一棵树，则T是一个连通且（无圈）的图。

11、设无向图G有18条边且每个顶点的度数都是3,则图G有（12）个顶点。

解：T 18条边的次之和为d（v） 2E 36,

v V

且每个顶点的度数都是3

•••顶点数为36/3=12。

如图：

12、任一有向图中，度数为奇数的结点有（偶数）个。[PPT 23]

13、一棵树有2个2度顶点，1个3度顶点，3个4度顶点，则其1度顶点为（9 ）。如图：

14、设G是由5个顶点组成的完全图，则从G中删去（6 ）条边可以得到树。