第二章 线性规划问题的对偶理论与灵敏度分析总结

第二章 线性规划问题的对偶理论与灵敏度分析总结
一．对偶问题统一归纳表
注意：对偶问题允许i b 小于0，也正是对于原问题i b 小于0，才引入了后面的对偶单纯形法解决问题。

二．对偶问题的基本性质
⎩⎨
⎧≥≤=0
X ..max 设原问题为b AX t s CX
z
⎩⎨
⎧≥≥=是列向量
,0A .. min 对偶问题为
T
Y Y C Y t s Yb T
T
ω
1.对称定理：对偶问题的对偶是原问题
2.弱对偶性定理：若Y X 和分别是原问题和对偶问题的可行解，则有b T
Y X C ≤
推论（1）max 问题的任一可行解的目标是对偶问题最优目标值的一个下界。

min 问题的任一可行
解的目标函数 值是原问题最优目标值的一个上界。

（2）若原问题可行且其目标函数值无界，则对偶问题无可行解。

反之对偶问题可行且其目标函数值无界，则原问题无可行解。

（3）若原问题有可行解而对偶问题无可行解，则原问题目标函数值无界；反之对偶问题有可行解而原问题无可行解，则对偶问题目标函数值无界。

3. 最优性定理：若Y X 和分别是原问题和对偶问题的可行解，并且b T
Y X C =，则X 是原问题最优解，Y 是其对偶问题的最优解
4. 强对偶性：若原问题及其对偶问题均具有可行解，则两者均具有最优解，且它们最优解的目标函数值相等。

5.互不松弛性：若Y X 和分别是原问题和对偶问题的可行解，则它们分别是最优解的充要条件是：
0ˆ,ˆˆ0ˆ1
j 1
=<=>∑∑==i i n
j ij i n
j j ij i y b x
a b x a y
则如果，则如果
练习：判断下列说法是否正确：
(1) 任何线性规划问题存在并具有惟一的对偶问题；(✓)
(2) 根据对偶问题的性质，当原问题为无界解时，其对偶问题无可行解，反之，当对偶问题无可行解时，其原问题具有无界解；(✗)
(3) 设j ˆ
x ，i ˆy 分别为标准形式的原问题与对偶问题的可行解，*j x ，*i y 分别为其最优解，则恒有n n m m
**j j j j i i i i j 1
j 1
i 1
i 1
ˆ
ˆc x c x b y b y ====≤=≤∑∑∑∑；(✓) (5) 已知*
i y 为线性规划的对偶问题的最优解，若*i y 0>，说明在最优生产计划中第i 种资源已完全耗尽；(✓) (6) 已知*
i y 为线性规划的对偶问题的最优解，若*i y 0=，说明在最优生产计划中第i 种资源一定有剩余；(✗)
简析：对(5)、(6)，由互补松弛性质判断，具体详见课本P59
三．对偶单纯形法
(1). 对偶单纯形法应用前提： 1.检验数行全部非正
2.变量取值有负数
(2). 对偶单纯形法计算步骤：
1.确定换出基变量 取{}
i r
b min b =，其对应变量r x 为换出基的变量。

2.确定换入基的变量
rs a 为主元素，s x 为进基变量，若所有0≥rj a ，则原问题无可行解
3.用换入变量替换换出变量，得到一个新的基。

对新的基再检查是否所有0b ≥i ，如是，找到
两者的最优解，如为否，回到第1步继续迭代。

练习：用对偶单纯形法解下列线性规划问题
解：
进基2y ∴
rs s s rj rj j j j a z c a a z c -=⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧<-=0m in θ0
,,,y 1
25-26..5215321432⎪⎩⎪⎨⎧≥-=+---=+--y y y y y y y y y t s 32152415m ax y
y y w ---=32152415m in y y y w ++= 0,,y 12526..3
2132132⎪⎩⎪
⎨⎧≥≥++≥+y y y y y y y t s 4/14
/10
14/54/12404
1015
13/13/2053/103/1252----------y y 46-24-m in 0m in =⎭⎫⎩⎨⎧=⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧<-=rj rj j j j a a z c θ011602045
4
321---y y
y y y y b Y C B B
四．灵敏度分析
2.分析j c 的变化
当N c （非基变量的目标函数系数）中某个j c 发生变化时，只影响到非基变量j x 的检验数 带入变化后的j
c 到单纯形表中，求解检验数，j σ
⎩⎨
⎧≥≤形法继续迭代，不是最优解，用单纯
值可能发生变化，仍为最优解，但最优
，
00j σ
3.分析i b 的变化
带入变化量b ∆求出)(b
1b b B ∆+=-，
⎩
⎨⎧≤≥单纯形法继续迭代是对偶可行解，用对偶、最优值可能改变仍为最优解，但最优解
，
0 0b
4.增加一个变量j x 的分析
（1）计算j B
j P B c c 1
-j -=，σ （2）计算j 1,
j
P P B -=
（3）若⎩
⎨⎧≥≤代找出最优，则按单纯形法继续迭，原最优解不变
，00j
σ
5.分析参数ij a 变化
（1）若ij a 的变化发生在非基变量，按4中办法求解
（2）若ij a 的变化发生在基变量，将使B 和-1
B 发生改变，需引入人工变量求解，将原问题转为
可行解再用单纯形表发求解
6.增加一个约束条件的分析
（1）将当前的最优解带入新增的约束，若满足约束条件，可暂不考虑新增约束的影响，否则转下
一步；
（2）把新增约束添加到原问题的最终表中，并做初等行变换，构成对偶可行的单纯形表，并用对偶单纯形表迭代，求出新的最优解。