第11章 第3节

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主题四 第十一章 离散型随机变量及其分布
[方法技巧] 求离散型随机变量X的均值与方差的步骤 (1)理解X的意义，写出X可能取的全部值． (2)求X取每个值时的概率． (3)写出X的分布列． (4)由均值的定义求E(X)． (5)由方差的定义求D(X)．
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主题四 第十一章 离散型随机变量及其分布
E(ξ)＝0×214＋40×14＋80×152＋120×14＋160×214＝80.
D(ξ)
＝
(0
－
80)2×
1 24
＋
(40
－
80)2×
1 4
＋
(80
－
80)2×
5 12
＋
(120
－
80)2×
1 4
＋
(160
－
80)2×214＝4
000 3.
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主题四 第十一章 离散型随机变量及其分布
考点二 均值与方差及在决策中的应用 (2018·全国卷Ⅰ)某工厂的某种产品成箱包装，每箱 200 件，每一箱产品在交
付用户之前要对产品作检验，如检验出不合格品，则更换为合格品．检验时，先从这 箱产品中任取 20 件作检验，再根据检验结果决定是否对余下的所有产品作检验．设 每件产品为不合格品的概率都为 p(0<p<1)，且各件产品是否为不合格品相互独立．
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主题四 第十一章 离散型随机变量及其分布
2．已知 X 的分布列为：
X
－1
0
1
P
1 2
1
1
3
6
设 Y＝2X＋3，则 E(Y)的值为( A ) A．73
B．4
C．－1
D．1
解析 ∵E(X)＝－12＋16＝－13，∴E(Y)＝E(2X＋3)＝2E(X)＋3＝－23＋3＝73．
准差．
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主题四 第十一章 离散型随机变量及其分布
3．两个特殊分布的期望与方差
分布
期望
两点分布
E(X)＝p
二项分布
E(X)＝np
方差 D(X)＝p(1－p) D(X)＝np(1－p)
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主题四 第十一章 离散型随机变量及其分布
4．正态分布
(1)正态曲线的特点
(1)记 20 件产品中恰有 2 件不合格品的概率为 f(p)，求 f(p)的最大值点 p0. (2)现对一箱产品检验了 20 件，结果恰有 2 件不合格品，以(1)中确定的 p0 作为 p 的值．已知每件产品的检验费用为 2 元，若有不合格品进入用户手中，则工厂要对每 件不合格品支付 25 元的赔偿费用．
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主题四 第十一章 离散型随机变量及其分布
(2)由(1)知，p＝0.1. ①令 Y 表示余下的 180 件产品中的不合格品件数，依题意知 Y～B(180,0.1)，X＝ 20×2＋25Y，即 X＝40＋25Y. 所以 E(X)＝E(40＋25Y)＝40＋25E(Y)＝490. ②若对余下的产品作检验，则这一箱产品所需要的检验费用为 400 元． 由于 E(X)>400，故应该对余下的产品作检验．
所以 ξ 的所有可能取值为 0,1,2. P(ξ＝0)＝CC2224＝16，P(ξ＝1)＝CC12C24 12＝23，P(ξ＝2)＝CC2224＝16. 所以 ξ 的分布列为：
ξ
0
1
2
P
1 6
2 3
1 6
故 ξ 的数学期望 E(ξ)＝0×16＋1×23＋2×16＝1.
(3)在这 100 名患者中，服药者指标 y 数据的方差大于未服药者指标 y 数据的方差．
两组，每组各 50 名，一组服药，另一组不服药．一段时间后，记录了两组患者的生 理指标 x 和 y 的数据，并制成如图，其中“*”表示服药者，“＋”表示未服药者．
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主题四 第十一章 离散型随机变量及其分布
(1)从服药的50名患者中随机选出一人，求此人指标y的值小于60的概率； (2)从图中A，B，C，D四人中随机选出两人，记ξ为选出的两人中指标x的值大 于1.7的人数，求ξ的分布列和数学期望E(ξ)； (3)试判断这100名患者中服药者指标y数据的方差与未服药者指标y数据的方差 的大小．(只需写出结论)
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主题四 第十一章 离散型随机变量及其分布
4．(2020·山东菏泽月考)设随机变量 X 服从正态分布 N(0,1)，若 P(X＞1)＝p，则
P(－1＜X＜0)＝( D )
A．12＋p
B．1－p
C．1－2p
D．12－p
解析 因为随机来自百度文库量 X 服从正态分布 N(0,1)，所以正态分布曲线关于直线 x＝0
解 (1)由图知，在服药的 50 名患者中，指标 y 的值小于 60 的有 15 人，所以从 服药的 50 名患者中随机选出一人，此人指标 y 的值小于 60 的概率 P＝1550＝0.3.
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主题四 第十一章 离散型随机变量及其分布
(2)由图知，A，B，C，D 四人中，指标 x 的值大于 1.7 的有 2 人：A 和 C．
①曲线位于 x 轴上方，与 x 轴不相交；
②曲线是单峰的，它关于直线 x＝μ 对称；
③曲线在
x＝μ
处达到峰值 σ
1； 2π
④曲线与 x 轴之间的面积为 1；
⑤当 σ 一定时，曲线的位置由 μ 确定，曲线随着 μ 的变化而沿 x 轴平移；
⑥当 μ 一定时，曲线的形状由 σ 确定，σ 越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分
对称，所以 P(X＞0)＝P(X＜0)＝12，P(X＞1)＝P(X＜－1)＝p，所以 P(－1＜X＜0)＝
P(X＜0)－P(X＜－1)＝12－p．
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主题四 第十一章 离散型随机变量及其分布
5．一个正四面体ABCD的四个顶点上分别标有1分，2分，3分和4分，往地面抛 5
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主题四 第十一章 离散型随机变量及其分布
[微点拨①] (1)期望是算术平均值概念的推广，是概率意义下的平均； (2)E(X)是一个实数，由X的分布列唯一确定，即作为随机变量，X是可变的，可 取不同值，而E(X)是不变的，它描述X取值的平均状态；(3)E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋ xnpn直接给出了E(X)的求法，即随机变量取值与相应概率分别相乘后相加． [微点拨②] (1)随机变量的方差与标准差都反映了随机变量取值的稳定与波动、集中与离散 的程度. D(X)越大，表明平均偏离程度越大，X的取值越分散．反之，D(X)越小，X 的取值越集中在E(X)附近． (2)方差也是一个常数，它不具有随机性，方差的值一定是非负．
p2
…
pi
…
pn
则称 E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn 为随机变量 X 的均值或数学期望❶.
它反映了离散型随机变量取值的平均水平．
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主题四 第十一章 离散型随机变量及其分布
2．方差
设离散型随机变量 X 的分布列为：
X
x1
x2
…
xi
…
xn
P
p1
p2
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主题四 第十一章 离散型随机变量及其分布
①若不对该箱余下的产品作检验，这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为 X，求E(X)；
②以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据，是否该对这箱余下的所有产 品作检验？
解 (1)20 件产品中恰有 2 件不合格品的概率为 f(p)＝C220p2·(1－p)18. 因此 f′(p)＝C220[2p(1－p)18－18p2(1－p)17]＝2C220p(1－p)17(1－10p)． 令 f′(p)＝0，得 p＝0.1. 当 p∈(0,0.1)时，f′(p)>0； 当 p∈(0.1,1)时，f′(p)<0. 所以 f(p)的最大值点为 p0＝0.1.
…
pi
…
pn
n
则(xi－E(X))2 描述了 xi(i＝1,2，…，n)相对于均值 E(X)的偏离程度．而 D(X)＝
i＝1 (xi－E(X))2pi 为这些偏离程度的加权平均，刻画了随机变量 X 与其均值 E(X)的平均偏
离程度. 称 D(X)为随机变量 X 的方差❷，并称其算术平方根 DX为随机变量 X 的标
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主题四 第十一章 离散型随机变量及其分布
[训练] 为迎接 2022 年北京冬奥会，推广滑雪运动，某滑雪场开展滑雪促销活 动．该滑雪场的收费标准是：滑雪时间不超过 1 小时免费，超过 1 小时的部分每小时 收费标准为 40 元(不足 1 小时的部分按 1 小时计算)．有甲、乙两人相互独立地来该 滑雪场运动，设甲、乙不超过 1 小时离开的概率分别为14，16；1 小时以上且不超过 2 小时离开的概率分别为12，23；两人滑雪时间都不会超过 3 小时．
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主题四 第十一章 离散型随机变量及其分布
[热身启动] 1．判断正误 (1)随机变量的均值是常数，样本的均值是随机变量．( √ ) (2)随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值偏离均值的平均程度，方差 或标准差越小，则偏离均值的平均程度越小．(√ ) (3) 均 值 与 方 差 都 是 从 整 体 上 刻 画 离 散 型 随 机 变 量 的 情 况 ， 因 此 它 们 是 一 回 事．( × )
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主题四 第十一章 离散型随机变量及其分布
3．已知 ξ～B4，13，并且 η＝2ξ＋3，则方差 D(η)＝( A )
A．392
B．89
C．493
D．599
解析 由题意知，D(ξ)＝4×13×1－13＝89，∵η＝2ξ＋3，
∴D(η)＝4D(ξ)＝4×89＝392．
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布越集中；σ 越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散．
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主题四 第十一章 离散型随机变量及其分布
(2)正态分布的三个常用数据 ①P(μ－σ＜X≤μ＋σ)≈0.682 7； ②P(μ－2σ＜X≤μ＋2σ)≈0.954 5； ③P(μ－3σ＜X≤μ＋3σ)≈0.997 3.
(1)求甲、乙两人所付滑雪费用相同的概率； (2)设甲、乙两人所付的滑雪费用之和为随机变量 ξ(单位：元)，求 ξ 的分布列与 数学期望 E(ξ)，方差 D(ξ)．
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主题四 第十一章 离散型随机变量及其分布
解 (1)两人所付费用相同，相同的费用可能为 0,40,80 元，两人都付 0 元的概率 为 P1＝14×16＝214，
两人都付 40 元的概率为 P2＝12×23＝13， 两人都付 80 元的概率为 P3＝1－14－12×1－16－23＝14×16＝214， 故两人所付费用相同的概率为 P＝P1＋P2＋P3＝214＋13＋214＝152.
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主题四 第十一章 离散型随机变量及其分布
(2)由题设甲、乙所付费用之和为 ξ，ξ 可能取值为 0,40,80,120,160，则：
掷一次记不在地面上的顶点的分数为X，则X的均值为___2_____．
解析 X 的分布列为：
X
1
2
3
4
P
1 4
1 4
1 4
1 4
∴E(X)＝1×14＋2×14＋3×14＋4×14＝52．
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主题四 第十一章 离散型随机变量及其分布
02 课堂研读考点提素养
考点一 离散型随机变量的均值与方差 为了研究一种治疗新型冠状病毒肺炎的新药的疗效，选 100 名患者随机分成
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主题四 第十一章 离散型随机变量及其分布
[学霸笔记] 若Y＝aX＋b，其中a，b是常数，X是随机变量，则 (1)E(k)＝k，D(k)＝0，其中k为常数； (2)E(aX＋b)＝aE(X)＋b， D(aX＋b)＝a2D(X)； (3)E(X1＋X2)＝E(X1)＋E(X2)； (4)D(X)＝E(X2)－(E(X))2； (5)若X1，X2相互独立，则E(X1·X2)＝E(X1)·E(X2)． (6)若X～N(μ，σ2)，则X的均值与方差分别为：E(X)＝μ，D(X)＝σ2.
P(ξ＝0)＝14×16＝214，P(ξ＝40)＝14×23＋12×16＝14，
P(ξ＝80)＝14×16＋12×23＋16×14＝152，
P(ξ＝120)＝12×16＋14×23＝14，P(ξ＝160)＝14×16＝214.
ξ 的分布列为：
ξ
0
40
80
120
160
P
1 24
1 4
5 12
1 4
1 24
主题四 概率与统计
第十一章 离散型随机变量及其分布
第三节 离散型随机变量的均值与方差、正态分布
栏 目 导
航
01 课前回归教材强四基 02 课堂研读考点提素养
主题四 第十一章 离散型随机变量及其分布
01 课前回归教材强四基
1．均值
一般地，若离散型随机变量 X 的分布列为：
X
x1
x2
…
xi
…
xn
P
p1