步步高高中数学 步步高选修2-3 第二章 2.2.3

2.2.3独立重复试验与二项分布

学习目标 1.理解n次独立重复试验的模型.2.理解二项分布.3.能利用独立重复试验的模型及二项分布解决一些简单的实际问题.

知识点一独立重复试验

思考1要研究抛掷硬币的规律，需做大量的掷硬币试验.

答案条件相同.

思考2试验结果有哪些？

答案正面向上或反面向上，即事件发生或者不发生.

思考3各次试验的结果有无影响？

答案无，即各次试验相互独立.

(1)定义：在相同条件下重复做的n次试验称为n次独立重复试验.

(2)基本特征：

①每次试验是在同样条件下进行.

②每次试验都只有两种结果：发生与不发生.

③各次试验之间相互独立.

④每次试验，某事件发生的概率都是一样的.

知识点二二项分布

在体育课上，某同学做投篮训练，他连续投篮3次，每次投篮的命中率都是0.8，用A i(i＝1,2,3)表示第i次投篮命中这件事，用B k表示仅投中k次这件事.

思考1用A i如何表示B1，并求P(B1)，

答案B1＝(A1A2A3)∪(A1A2A3)∪(A1A2A3)，

因为P(A1)＝P(A2)＝P(A3)＝0.8，

且A1A2A3、A1A2A3、A1A2A3两两互斥，

故P(B1)＝0.8×0.22＋0.8×0.22＋0.8×0.22＝3×0.8×0.22＝0.096.

思考2试求P(B2)和P(B3)

答案P(B2)＝3×0.2×0.82＝0.384，

P(B3)＝0.83＝0.512.

思考3由以上问题的结果你能得出什么结论？

答案P(B k)＝C k30.8k0.23－k(k＝0.1,2,3)

在n 次独立重复试验中，用X 表示事件A 发生的次数， 设每次试验中事件A 发生的概率为p ，

则P (X ＝k )＝C k n p k (1－p )

n －

k

，k ＝0,1,2，…，n . 此时称随机变量X 服从二项分布，记作X ～B (n ，p )，并称p 为成功概率.

类型一 独立重复试验的概率问题

例1 某气象站天气预报的准确率为80%，计算(结果保留到小数点后面第2位)： (1)5次预报中恰有2次准确的概率； (2)5次预报中至少有2次准确的概率；

(3)5次预报中恰有2次准确，且其中第3次预报准确的概率. 解 (1)记预报一次准确为事件A ， 则P (A )＝0.8，

5次预报恰有2次准确的概率为

P ＝C 250.82×0.23＝0.051 2≈0.05，

因此5次预报中恰有2次准确的概率约为0.05.

(2)“5次预报中至少有2次准确”的对立事件为“5次预报全部不准确或只有1次准确”.

其概率为P ＝C 05×(0.2)5＋C 15×0.8×(0.2)4＝0.006 72≈0.01，

所以所求概率为1－p ＝1－0.01＝0.99， 所以5次预报中至少有2次准确的概率约为0.99. (3)说明第1,2,4,5次中恰有1次准确， 所以概率为P ＝C 14·0.8×(0.2)3×0.8 ＝0.020 48≈0.02，

所以恰有2次准确，且其中第3次预报准确的概率约为0.02. 反思与感悟 独立重复试验概率求法的三个步骤

(1)判断：依据n 次独立重复试验的特征，判断所给试验是否为独立重复试验. (2)分拆：判断所求事件是否需要分拆.

(3)计算：就每个事件依据n 次独立重复试验的概率公式求解，最后利用互斥事件概率加法公式计算.

跟踪训练1 9粒种子分别种在甲、乙、丙3个坑内，每坑3粒，每粒种子发芽的概率为12.

若一个坑内至少有1粒种子发芽，则这个坑不需要补种，否则这个坑需要补种种子. (1)求甲坑不需要补种的概率；

(2)记3个坑中恰好有1个坑不需要补种的概率为P 1，另记有坑需要补种的概率为P 2，求P 1

＋P 2的值.

解 (1)∵甲坑内3粒种子都不发芽的概率为

⎝⎛⎭⎫1－123＝18

. ∴甲坑不需要补种的概率为1－18＝7

8.

(2)3个坑恰有1个坑不需要补种的概率为 P 1＝C 1

3×78×⎝⎛⎭⎫182＝21512

.

由于3个坑都不需补种的概率为⎝⎛⎭⎫783

， 则有坑需要补种的概率为P 2＝1－⎝⎛⎭⎫783＝169512， 所以P 1＋P 2＝21512＋169512＝95256.

类型二 二项分布

例2 某大厦的一部电梯从底层出发后只能在第18,19,20层停靠.若该电梯在底层载有5位乘客，且每位乘客在这三层的每一层下电梯的概率均为1

3，用X 表示这5位乘客在第20层下电

梯的人数，求随机变量X 的分布列.

解 可视一位乘客是否在第20层下电梯为一次试验，相当于做了5次独立重复试验，故X ～B ⎝⎛⎭

⎫5，13， P (X ＝0)＝C 05⎝⎛⎭⎫130⎝⎛⎭⎫235＝32243. P (X ＝1)＝C 15⎝⎛⎭⎫131⎝⎛⎭⎫234＝80243

. P (X ＝2)＝C 25⎝⎛⎭⎫132⎝⎛⎭⎫233＝80243. P (X ＝3)＝C 35⎝⎛⎭⎫133⎝⎛⎭⎫232＝40243. P (X ＝4)＝C 45⎝⎛⎭⎫134⎝⎛⎭⎫231＝10243.

P (X ＝5)＝C 55⎝⎛⎭⎫135＝1243

. 所以分布列为

反思与感悟 1.本例属于二项分布，当X 服从二项分布时，应弄清X ～B (n ，p )中的试验次数n 与成功概率p .

2.解决二项分布问题的两个关注点

(1)对于公式P (X ＝k )＝C k n p k (1－p )

n －

k

(k ＝0,1,2…n )必须在满足“独立重复试验”时才能运用，否则不能应用该公式.

(2)判断一个随机变量是否服从二项分布，关键有两点：一是对立性，即一次试验中，事件发生与否两者必有其一；二是重复性，即试验是独立重复地进行了n 次.

跟踪训练2 袋子中有8个白球，2个黑球，从中随机地连续抽取三次，求有放回时，取到黑球个数的分布列.

解 取到黑球数X 的可能取值为0,1,2,3.又由于每次取到黑球的概率均为15

，

那么P (X ＝0)＝C 03⎝⎛⎭⎫150·⎝⎛⎭⎫453＝64125

， P (X ＝1)＝C 13⎝⎛⎭⎫15·⎝⎛⎭⎫452＝48125， P (X ＝2)＝C 23⎝⎛⎭⎫152·⎝⎛⎭⎫45＝12125， P (X ＝3)＝C 33⎝⎛⎭⎫153·⎝⎛⎭⎫450＝1125. 故X 的分布列为：

类型三 二项分布的综合应用

例3 一名学生每天骑自行车上学，从家到学校的途中有5个交通岗，假设他在各交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，并且概率都是1

3.

(1)求这名学生在途中遇到红灯的次数ξ的分布列；

(2)求这名学生在首次遇到红灯或到达目的地停车前经过的路口数η的分布列； (3)这名学生在途中至少遇到一次红灯的概率. 解 (1)ξ～B ⎝⎛⎭⎫5，1

3，ξ分布列为 P (ξ＝k )＝C k 5⎝⎛⎭⎫13k ⎝⎛⎭⎫235－k ，k ＝0,1,2,3,4,5.

(2)η的分布列为P (η＝k )＝P (前k 个是绿灯，第k ＋1个是红灯)＝⎝⎛⎭⎫23k ·1

3，k ＝0,1,2,3,4； P (η＝5)＝P (5个均为绿灯)＝⎝⎛⎭⎫235