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数学建模实战实践实操技巧分享

数学建模实战实践实操技巧分享数学建模是一个将实际问题转化为数学问题，并通过数学方法和工具求解的过程。

它不仅是数学知识的应用，更是培养创新思维和解决实际问题能力的有效途径。

在实战实践实操中，掌握一些关键技巧能够让我们更加高效地完成数学建模任务。

一、明确问题首先，要仔细阅读题目，理解问题的背景、条件和要求。

确定问题的类型，是优化问题、预测问题还是评价问题等。

同时，要挖掘问题中的关键因素和变量，明确哪些是已知信息，哪些是需要求解的未知量。

例如，在一个交通流量优化的问题中，我们需要明确道路的布局、车流量的分布、信号灯的设置等已知条件，以及需要优化的目标，如减少拥堵时间、提高通行效率等。

二、合理假设由于实际问题往往十分复杂，为了便于建立数学模型，需要进行合理的假设。

假设要基于对问题的理解和实际情况，既要简化问题，又要保证假设的合理性和有效性。

比如，在研究物体自由落体运动时，我们可以假设空气阻力忽略不计，以简化模型。

但在某些情况下，如果空气阻力对结果有较大影响，就不能忽略这一因素。

三、选择模型根据问题的特点和假设，选择合适的数学模型。

常见的模型有线性规划、非线性规划、微分方程、概率统计模型等。

如果问题涉及资源分配的最优方案，线性规划可能是一个好的选择；如果研究对象的变化规律随时间连续变化，微分方程模型可能更适用；对于具有不确定性和随机性的问题，概率统计模型则能发挥作用。

四、数据收集与处理数据是数学建模的重要基础。

要通过各种渠道收集相关的数据，如实验、调查、文献查阅等。

同时，对收集到的数据进行清洗、整理和分析，去除异常值，处理缺失值，使数据能够有效地支持模型的建立和求解。

例如，在研究某地区的房价走势时，需要收集该地区的房屋面积、位置、房龄、周边设施等数据，并对这些数据进行标准化处理，以便进行后续的建模分析。

五、模型求解运用适当的数学方法和软件工具对模型进行求解。

在求解过程中，可能会遇到计算复杂、方程难解等问题，这时候需要灵活运用数学技巧和算法，或者借助专业的数学软件，如 Matlab、Lingo 等。

数学建模中的数值方法

准备工作
第一天晚前的活
查到相关资料是好事吗？
在此情况下,企业需要在销售季节到来之前确定制造渠道产品的供应数量,即在需求和返回都是随机变量的情况下进行决策,以使得收入达到最大.进而,分析再制造渠道对制造渠道的影响。
在此情况下,企业需要做的事情如下：（A）在销售季节开始之前，用户需求还没有到来时，对部件1和部件2库存的采购数量进行决策并采购部件；（B）在销售季节开始后，所有的用户向制造商提交产品订单，然后企业根据已实现的总需求装配成品满足用户，假设每个成品需要部件1和部件2各1一个.请问：企业应该如何进行部件1和部件2的采购决策. 进而，分析再制造渠道对制造渠道的影响。
微分方程数值解法
dx rf ( x) dt x(0) x0
常微分方程
2 2 2 u 2 u 2 u 2 u a b c ku F ( x, y , z , t ) 2 2 2 t x y z u ( x, y , z , 0) 1 ( x, y , z )
论文正文 1、结构安排清晰（要从读者角度看）一部分开始的简短引言、每部分的名称，包括每个小问题的名称 2、主要结论突出
可用图、表、定理、命题表达。同时这也使论文增色
3、不必像摘要那么苛刻，没有语法错误、表达清楚即可
学校数据库中文：CNKI、VIP、万方、超星外文：EBSCO、Elseriver、ProQuest、Springer、EI、 ISI Web of Knowledge
3）大多数制造企业不单制造一种产品，现假设企业生产两种产品,产品2是产品1的升级换代产品，类似电脑的更新。每个产品由三个部件组装而成，如下图。部件可以进行分类,包括：通用部件（属产品1和产品2共用，且可经制造和再制造两种渠道供应，相应条件类似（1）（2））；特殊部件（属产品1和产品2所特有）；升级部件（属产品1和产品2所特有，但当产品1该部件短缺且产品2该部件剩余的情况，可以用产品2部件替代产品1部件满足需求，用户可接收该替换，也可不接受，假设是否接受部件产品服从0-1分布；接受替换的用户需要支付一定的升级费用，不接受的用户放弃购买该产品）.在此环境下,企业的运作流程类似（2），“当需求还没有到来时,采购所有部件进行存储,等待订单到来之后,根据具体的需求信息再进行组装”.请研究该情况下企业对各个部件的采购决策。进而，分析再制造渠道和替代行为lar(/)

数学建模实战实践实操技巧讲解

数学建模实战实践实操技巧讲解数学建模，这个听起来颇具专业性和挑战性的领域，实际上与我们的生活息息相关。

无论是解决实际问题、优化决策，还是推动科学研究的进展，数学建模都发挥着至关重要的作用。

接下来，我将为大家详细讲解数学建模实战中的一些关键技巧。

首先，我们要明确什么是数学建模。

简单来说，数学建模就是将实际问题转化为数学语言和公式，通过建立数学模型来求解问题，并对结果进行解释和验证。

在实战中，第一步至关重要，那就是清晰地理解问题。

这需要我们仔细阅读问题描述，提取关键信息，明确问题的目标和约束条件。

例如，如果是一个关于生产优化的问题，我们要搞清楚生产的流程、成本构成、产量限制等因素。

有了清晰的问题理解，接下来就是选择合适的模型。

这就像是选择合适的工具来完成一项任务。

常见的模型有线性规划、非线性规划、微分方程模型、概率统计模型等等。

比如说，当我们面对资源分配问题时，线性规划模型可能是一个不错的选择；而对于描述生物种群增长或者疾病传播，微分方程模型可能更为适用。

模型选好后，数据的收集和处理也是关键的一环。

数据是模型的“燃料”，没有准确和充分的数据，再好的模型也难以发挥作用。

在收集数据时，要确保数据的可靠性和代表性。

同时，对于收集到的数据，可能需要进行预处理，比如去除异常值、填补缺失值、数据标准化等操作，以提高数据的质量。

建立模型的过程中，数学公式的推导和计算是必不可少的。

这需要我们扎实的数学基础，包括微积分、线性代数、概率论等知识。

但不要被复杂的公式吓到，只要一步一步来，理清思路，很多难题都能迎刃而解。

比如在建立微分方程模型时，要根据问题的实际背景，确定方程的形式和参数。

模型建立完成后，就是使用计算机软件进行求解。

现在有很多强大的数学软件，如MATLAB、Python 中的相关库等。

熟练掌握这些工具，可以大大提高我们的工作效率。

在使用软件求解时，要注意参数的设置和算法的选择，以获得准确和高效的结果。

得到结果后，可别以为工作就结束了。

数学建模与应用技巧

数学建模与应用技巧教案：数学建模与应用技巧一、引言（介绍数学建模的重要性和应用范围）数学建模是数学与其他学科结合的一门学科，通过数学模型来描述和解决实际问题。

它在社会、经济、自然科学等领域都具有广泛的应用。

本节将介绍数学建模的定义和重要性，以及它在现实生活中的应用。

二、数学建模的基本思路（探讨数学建模的方法和步骤）数学建模的基本思路包括以下几个步骤：问题分析、建立模型、模型求解、模型验证和结果分析。

在问题分析阶段，需要对实际问题进行深入的思考和理解，并提出明确的研究目标。

在建立模型阶段，需要选择合适的数学方法和工具来描述实际问题，并进行合理的假设。

在模型求解阶段，需要运用数学方法来求解模型，得到数值或符号解。

在模型验证阶段，需要对模型进行检验和评估，看是否符合实际情况。

最后，在结果分析阶段，需要对模型的结果进行解释和分析，发现模型中存在的问题，并提出改进的方法。

三、常见的数学建模方法（介绍常用的数学建模方法）1. 积分微分方程模型：通过描述问题的动态变化来建立数学模型，常用于描述物理、生物、经济等领域的问题。

2. 线性规划模型：通过建立约束条件和目标函数来求解最优解，常用于生产调度、资源分配等问题。

3. 图论模型：通过图的遍历、最短路径、最小生成树等算法来解决问题，常用于交通路线优化、通信网络规划等领域。

4. 统计模型：通过收集和分析样本数据来进行概率推断和预测，常用于市场调查、风险评估等问题。

四、数学建模实例分析（以实际问题为例进行深入讨论）本节将选择一个实际问题，并结合前面介绍的数学建模方法来进行分析和解决。

通过具体的例子来展示数学建模的过程和应用。

五、数学建模的应用技巧（总结数学建模中的一些重要技巧）1. 约化模型：当问题过于复杂时，可以通过合理的假设和简化来减少模型的复杂性，从而更容易求解。

2. 参数估计：当模型中含有一些未知参数时，可以通过收集实验数据或参考相关文献来估计参数的值，以便模型的准确性。

数学建模中的数值方法

G
考虑过程中自然降解，单位时间的衰减率为 k ，则衰减的质量为：
Q4
t t
t
ku( x, y, z, t )dxdydzdt
G
于是 Q1 Q2 Q3 Q4 ，则有
2 2 2 u u u u 2 2 2 a b c ku F ( x, y, z, t ) 2 2 2 t x y z
计算参数的方法：最小二乘法情况1：如果模型中待求解函数可由所提的数学模型通过精确理论推导求解（含有未知参数），则可利用此理论解和给定观测数值，再借助最小二乘法进行参数计算；情况2：如果模型中待求解函数无法通过所提的数学模型精确求解，那就需通过数值方法获得模型的近似解（含有未知参数），然后再用最小二乘法进行参数计算。
则有
2 2 2 u u u u a 2 2 b2 2 c 2 2 t x y z
如果 G 内存在污染源，则有单位时间内、单位体积内所产生的污染物质为 F ( x, y, z, t ) ，新增的质量为：
Q3
t t
t
F ( x, y, z, t )dxdydzdt
区域g内浓度升高增加的污染物质量为1gtttgtttgquxyzttuxyztdvuxyztdtdxdydztuxyztdxdydzdtt????????????????????????????扩散是随着时间的一个变化过程因此微元分析可以取ttt则在该时间微元内流过封闭曲面为的污染物质质量为2222222222222coscoscosttttttguuuqabcdsdtxyzuuuabcdxdydzdtxyz???????????????????????????????由21qq222222222ttttttgguuuuxyztdxdydzdtabcdxdydzdttxyz????????????????????????????则有222222222uuuuabctxyz????????如果g内存在污染源则有单位时间内单位体积内所产生的污染物质为tzyxf新增的质量为

数模第三版习题答案解读

《数学模型》作业解答第一章（2008年9月9日）4．在“椅子摆放问题”的假设条件中，将四脚的连线呈正方形改为呈长方形，其余条件不变.试构造模型并求解.解：设椅子四脚连线呈长方形ABCD. AB 与CD 的对称轴为x 轴，用中心点的转角θ表示椅子的位置.将相邻两脚A 、B 与地面距离之和记为)(θf ;C 、D 与地面距离之和记为)(θg .并旋转0180.于是，设,0)0(,0)0(=g f 就得到()()0,0=ππf g .数学模型：设()()θθg f 、是[]π2,0上θ的非负连续函数.若[]πθ2,0∈∀,有()()0=θθg f ,且()()()()0,0,00,00==ππf g f g ,则[]πθ2,00∈∃,使()()000==θθg f .模型求解:令)()()(θθθg f h -= .就有,0)0( h 0)(0)()()( ππππg g f h -=-=.再由()()θθg f ,的连续性,得到()θh 是一个连续函数. 从而()θh 是[]π,0上的连续函数.由连续函数的介值定理：()πθ,00∈∃,使()00=θh .即()πθ,00∈∃,使()()000=-θθg f .又因为[]πθ2,0∈∀,有()()0=θθg f .故()()000==θθg f .8. 假定人口的增长服从这样的规律：时刻t 的人口为)(t x ,单位时间内人口的增量与)(t x x m -成正比（其中m x 为最大容量）.试建立模型并求解.作出解的图形并与指数增长模型、阻滞增长模型的结果比较.解：现考察某地区的人口数，记时刻t 的人口数为()t x （一般()t x 是很大的整数）,且设()t x 为连续可微函数.又设()00|x t x t ==.任给时刻t 及时间增量t ∆,因为单位时间内人口增长量与)(t x x m -成正比, 假设其比例系数为常数r .则t 到t t ∆+内人口的增量为：()()()t t x x r t x t t x m ∆-=-∆+)(. 两边除以t ∆,并令0→∆t ,得到⎪⎩⎪⎨⎧=-=0)0()(x x x x r dtdxm 解为rtm m e x x x t x ---=)()(0如图实线所示，当t 充分大时 m x 它与Logistic 模型相近.0x t9．为了培养想象力、洞察力和判断力，考察对象时除了从正面分析外，还常常需要从侧面或反面思考.试尽可能迅速回答下面问题：（1）某甲早8：00从山下旅店出发，沿一条路径上山，下午5：00到达山顶并留宿. 次日早8：00沿同一路径下山，下午5：00回到旅店.某乙说，甲必在两天中的同一时刻经过路径中的同一地点.为什么？（2） 37支球队进行冠军争夺赛，每轮比赛中出场的每两支球队中的胜者及轮空者进入下一轮，直至比赛结束.问共需进行多少场比赛，共需进行多少轮比赛.如果是n 支球队比赛呢？（3）甲乙两站之间有电车相通，每隔10分钟甲乙两站相互发一趟车，但发车时刻不一定相同.甲乙之间有一中间站丙，某人每天在随机的时刻到达丙站，并搭乘最先经过丙站的那趟车，结果发现100天中约有90天到达甲站，仅约10天到达乙站.问开往甲乙两站的电车经过丙站的时刻表是如何安排的？（4）某人家住T 市在他乡工作，每天下班后乘火车于6：00抵达T 市车站，他的妻子驾车准时到车站接他回家，一日他提前下班搭早一班火车于5：30抵T 市车站，随即步行回家，他的妻子象往常一样驾车前来，在半路上遇到他，即接他回家，此时发现比往常提前了10分钟.问他步行了多长时间？（5）一男孩和一女孩分别在离家2 km 和1 km 且方向相反的两所学校上学，每天同时放学后分别以4 km/h 和2 km/h 的速度步行回家.一小狗以6 km/h 的速度由男孩处奔向女孩，又从女孩处奔向男孩，如此往返直至回到家中，问小狗奔波了多少路程？如果男孩和女孩上学时小狗也往返奔波在他们之间，问当他们到达学校时小狗在何处？解：（1）方法一：以时间t 为横坐标，以沿上山路径从山下旅店到山顶的行程x 为纵坐标，第一天的行程)(t x 可用曲线（I ）表示，第二天的行程)(t x 可用曲线（I I ）表示，（I ）（I I ）是连续曲线必有交点),(000d t p ,两天都在0t 时刻经过0d 地点.方法二：设想有两个人，一人上山，一人下山，同一天同时出发，沿同一路径,必定相遇. 0d t早8 0t 晚5方法三：我们以山下旅店为始点记路程,设从山下旅店到山顶的路程函数为)(t f (即t 时刻走的路程为)(t f ),同样设从山顶到山下旅店的路函数为)(t g ,并设山下旅店到山顶的距离为a (a >0).由题意知：,0)8(=f a f =)17(,a g =)8(,0)17(=g .令)()()(t g t f t h -=,则有0)8()8()8(<-=-=a g f h ，0)17()17()17(>=-=a g f h ，由于)(t f ,)(t g 都是时间t 的连续函数,因此)(t h 也是时间t 的连续函数,由连续函数的介值定理,]17,8[0∈∃t ,使0)(0=t h ,即)()(00t g t f =.（2）36场比赛，因为除冠军队外，每队都负一场；6轮比赛，因为2队赛1轮，4队赛2轮，32队赛5轮. n 队需赛1-n 场，若k k n 221≤- ，则需赛k 轮.（3）不妨设从甲到乙经过丙站的时刻表是8：00，8：10，8：20，…… 那么从乙到甲经过丙站的时刻表应该是8：09，8：19，8：29……（4）步行了25分钟.设想他的妻子驾车遇到他后，先带他前往车站，再回家，汽车多行驶了10分钟，于是带他去车站这段路程汽车多跑了5分钟，而到车站的时间是6：00，所以妻子驾车遇到他的时刻应该是5：55.（5）放学时小狗奔跑了3 km .孩子上学到学校时小狗的位置不定（可在任何位置），因为设想放学时小狗在任何位置开始跑，都会与孩子同时到家.之所以出现位置不定的结果，是由于上学时小狗初始跑动的那一瞬间，方向无法确定.10*. 某人第一天上午9：00从甲地出发，于下午6：00到达乙地.第二天上午9：00他又从乙地出发按原路返回，下午6：00回到甲地.试说明途中存在一点，此人在两天中同一时间到达该处.若第二天此人是下午4：00回到甲地，结论将如何？答：（方法一）我们以甲地为始点记路程,设从甲地到乙地的路程函数为)(t f (即t 时刻走的路程为)(t f ),同样设从乙地到甲地的路函数为)(t g ,并设甲地到乙地的距离为a (a >0).由题意知：,0)9(=f a f =)18(,a g =)9(,0)18(=g . 令)()()(t g t f t h -=,则有0)9()9()9(<-=-=a g f h ，0)18()18()18(>=-=a g f h 由于)(t f ,)(t g 都是时间t 的连续函数,因此)(t h 也是时间t 的连续函数,由连续函数的介值定理,]18,9[0∈∃t ,使0)(0=t h ,即)()(00t g t f =. 若第二天此人是下午4：00回到甲地,则结论仍然正确,这是因为0)9()9()9(<-=-=a g f h ，0)16()16()16()16(>=-=f g f h .（方法二）此题可以不用建模的方法,而变换角度考虑：设想有两个人，一人从甲地到乙地,另一人从乙地到甲地,同一天同时出发,沿同一路径,必定相遇.若第二天此人是下午4：00回到甲地,则结论仍然正确.《数学模型》作业解答第二章(1)（2008年9月16日）1．学校共1000名学生，235人住在A 宿舍，333人住在B 宿舍，432人住在C 宿舍.学生们要组织一个10人的委员会，试用下列办法分配各宿舍的委员数：（1）. 按比例分配取整数的名额后,剩下的名额按惯例分给小数部分较大者; （2）. §1中的Q 值方法；（3）.d ’Hondt 方法：将A 、B 、C 各宿舍的人数用正整数n=1,2,3,……相除，其商数如下表：将所得商数从大到小取前10个（10为席位数），在数字下标以横线，表中A 、B 、C 行有横线的数分别为2，3，5，这就是3个宿舍分配的席位.你能解释这种方法的道理吗？如果委员会从10个人增至15人，用以上3种方法再分配名额，将3种方法两次分配的结果列表比较.解：先考虑N=10的分配方案，,432 ,333 ,235321===p p p ∑==31.1000i ip方法一（按比例分配） ,35.23111==∑=i ipNp q ,33.33122==∑=i ipNp q 32.43133==∑=i ipNp q分配结果为： 4 ,3 ,3321===n n n 方法二（Q 值方法）9个席位的分配结果（可用按比例分配）为：4 ,3 ,2321===n n n第10个席位：计算Q 值为,17.92043223521=⨯=Q ,75.92404333322=⨯=Q 2.93315443223=⨯=Q3Q 最大，第10个席位应给C.分配结果为 5 ,3 ,2321===n n n方法三（d ’Hondt 方法）此方法的分配结果为：5 ,3 ,2321===n n n此方法的道理是：记i p 和i n 为各宿舍的人数和席位（i=1,2,3代表A 、B 、C 宿舍）.iin p 是每席位代表的人数，取,,2,1 =i n 从而得到的i i n p 中选较大者，可使对所有的,i ii n p尽量接近.再考虑15=N 的分配方案，类似地可得名额分配结果.现将3种方法两次分配的结果列表如下：2．试用微积分方法，建立录像带记数器读数n 与转过时间的数学模型. 解：设录像带记数器读数为n 时，录像带转过时间为t.其模型的假设见课本.考虑t 到t t ∆+时间内录像带缠绕在右轮盘上的长度，可得,2)(kdn wkn r vdt π+=两边积分，得⎰⎰+=ntdn wkn r k vdt 0)(2π)22 2n wk k(r n πvt +=∴ .2 22n vk w n v rk t ππ+=∴第二章(2)（2008年10月9日）15．速度为v 的风吹在迎风面积为s 的风车上，空气密度是ρ ，用量纲分析方法确定风车获得的功率P 与v 、S 、ρ的关系.解: 设P 、v 、S 、ρ的关系为0),,,(=ρs v P f ，其量纲表达式为: [P]=32-TML , [v ]=1-LT,[s ]=2L ,[ρ]=3-ML ,这里T M L ,,是基本量纲.量纲矩阵为：A=)⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---ρ()()()()()()(001310013212s v P T M L齐次线性方程组为：⎪⎩⎪⎨⎧=--=+=-++030032221414321y y y y y y y y 它的基本解为)1,1,3,1(-=y由量纲i P 定理得 1131ρπs v P -=， 113ρλs v P =∴ ，其中λ是无量纲常数. 16．雨滴的速度v 与空气密度ρ、粘滞系数μ和重力加速度g 有关，其中粘滞系数的定义是：运动物体在流体中受的摩擦力与速度梯度和接触面积的乘积成正比，比例系数为粘滞系数，用量纲分析方法给出速度v 的表达式.解：设v ,ρ,μ,g 的关系为(f v ,ρ,μ,g )=0.其量纲表达式为[v ]=LM 0T -1，[ρ]=L -3MT 0，[μ]=MLT -2（LT -1L -1）-1L -2=MLL -2T -2T=L -1MT -1，[g ]=LM 0T -2,其中L ，M ，T 是基本量纲.量纲矩阵为A=)()()()()()()(210101101131g v T M L μρ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----- 齐次线性方程组Ay=0 ，即⎪⎩⎪⎨⎧==+=+02y -y - y -0y y 0y y -3y -y 431324321 的基本解为y=(-3 ,-1 ,1 ,1)由量纲i P 定理得 g v μρπ13--=. 3ρμλgv =∴，其中λ是无量纲常数. 16*．雨滴的速度v 与空气密度ρ、粘滞系数μ、特征尺寸γ和重力加速度g 有关，其中粘滞系数的定义是：运动物体在流体中受的摩擦力与速度梯度和接触面积的乘积成正比，比例系数为粘滞系数，用量纲分析方法给出速度v 的表达式.解：设v ,ρ,μ,γ，g 的关系为0),,,,(=g v f μργ.其量纲表达式为[v ]=LM 0T -1，[ρ]=L -3MT 0，[μ]=MLT -2（LT -1L -1）-1L -2=MLL -2T -2T=L -1MT -1，[γ]=LM 0T 0 ，[g ]=LM 0T -2其中L ，M ，T 是基本量纲. 量纲矩阵为A=)()()()()()()()(21010110011311g v T M L μργ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----齐次线性方程组Ay=0 即⎪⎩⎪⎨⎧=---=+=+--+020035414354321y y y y y y y y y y 的基本解为⎪⎩⎪⎨⎧---=--=)21,1,1,23,0()21,0,0,21,1(21y y得到两个相互独立的无量纲量⎩⎨⎧==-----2/112/322/12/11g g v μργπγπ 即 1212/12/31,--==πμργπγg g v . 由0),(21=Φππ , 得 )(121-=πϕπ∴ )(12/12/3-=μργϕγυg g , 其中ϕ是未定函数.20.考察阻尼摆的周期，即在单摆运动中考虑阻力，并设阻力与摆的速度成正比.给出周期的表达式，然后讨论物理模拟的比例模型，即怎样由模型摆的周期计算原型摆的周期. 解：设阻尼摆周期t ,摆长l , 质量m ,重力加速度g ，阻力系数k 的关系为0),,,,(=k g m l t f其量纲表达式为：112120000000)(]][[][,][,][,][,][-----======LT MLT v f k T LM g MT L m T LM l T M L t 10-=MT L ，其中L ，M ，T 是基本量纲.量纲矩阵为A=)()()()()()()()(120011010001010k g m l t T M L ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-- 齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=--=+=+02005415342y y y y y y y 的基本解为⎪⎩⎪⎨⎧--=-=)1,21,1,21,0()0,21,0,21,1(21Y Y 得到两个相互独立的无量纲量∴g l t =1π, )(21πϕπ=, 2/12/12mg kl =π ∴)(2/12/1mg kl g l t ϕ=，其中ϕ是未定函数 . 考虑物理模拟的比例模型，设g 和k 不变，记模型和原型摆的周期、摆长、质量分别为t ,'t ；l ,'l ;m ,'m . 又)(2/12/1g m l k g l t '''='ϕ 当无量纲量l l mm '='时，就有 ll l g g l tt '=⋅'='. 《数学模型》作业解答第三章1（2008年10月14日）1. 在3.1节存贮模型的总费用中增加购买货物本身的费用,重新确定最优订货周期和订货批量．证明在不允许缺货模型中结果与原来的一样，而在允许缺货模型中最优订货周期和订货批量都比原来结果减少．解：设购买单位重量货物的费用为k ,其它假设及符号约定同课本．01 对于不允许缺货模型，每天平均费用为：kr rTc T c T C ++=2)(212221r c Tc dT dC+-= 令0=dTdC，解得 rc c T 21*2= ⎩⎨⎧==---22/112/112/12/1ππk g m l g tl由rT Q = ，得212c rc rT Q ==** 与不考虑购货费的结果比较，Ｔ、Ｑ的最优结果没有变．02 对于允许缺货模型，每天平均费用为：⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-++=kQ Q rT r c r Q c c T Q T C 23221)(221),(2223322221222T kQ rT Q c r c rT Q c T c T C--+--=∂∂Tk rT Q c c rT Qc Q C ++-=∂∂332 令⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=∂∂=∂∂00Q CTC，得到驻点：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-+-+=-+=**323222233232132233221)(22c c krc c c r k c c c c c r c Q c c k c c c rc c T与不考虑购货费的结果比较，Ｔ、Ｑ的最优结果减少．2．建立不允许缺货的生产销售存贮模型．设生产速率为常数k ，销售速率为常数r ，r k >．在每个生产周期Ｔ内，开始的一段时间()00T t <<一边生产一边销售，后来的一段时间)(0T t T <<只销售不生产，画出贮存量)(t g 的图形.设每次生产准备费为1c ，单位时间每件产品贮存费为2c ，以总费用最小为目标确定最优生产周期，讨论r k >>和r k ≈的情况.解：由题意可得贮存量)(t g 的图形如下：贮存费为 ∑⎰=→∆⋅-==∆ni Ti i t TT r k c dt t g c t g c 1022022)()()(limξ又 )()(00T T r T r k -=- ∴ T k r T =0 , ∴ 贮存费变为 kTT r k r c 2)(2⋅-=于是不允许缺货的情况下，生产销售的总费用（单位时间内）为kTr k r c T c kT T r k r c T c T C 2)(2)()(21221-+=-+=k r k r c Tc dT dC 2)(221-+-=. 0=dT dC令, 得)(221r k r c k c T -=* 易得函数处在*T T C )(取得最小值，即最优周期为： )(221r k r c kc T -=*rc c ，Tr k 212≈>>*时当 . 相当于不考虑生产的情况. ∞→≈*，Tr k 时当 . 此时产量与销量相抵消，无法形成贮存量.第三章2（2008年10月16日）3．在3.3节森林救火模型中，如果考虑消防队员的灭火速度λ与开始救火时的火势b 有关，试假设一个合理的函数关系，重新求解模型.解：考虑灭火速度λ与火势b 有关，可知火势b 越大，灭火速度λ将减小，我们作如下假设: 1)(+=b kb λ，分母∞→→+λ时是防止中的011b b 而加的. 总费用函数()xc b kx b x t c b kx b t c t c x C 3122121211)1()(2)1(2+--++--++=βββββββ最优解为 []k b k c b b b c kbc x ββ)1(2)1()1(223221+++++=5．在考虑最优价格问题时设销售期为T ，由于商品的损耗，成本q 随时间增长，设t q t q β+=0)(，为增长率β.又设单位时间的销售量为)(为价格p bp a x -=.今将销售期分为T t TT t <<<<220和两段，每段的价格固定，记作21,p p .求21,p p 的最优值，使销售期内的总利润最大.如果要求销售期T 内的总售量为0Q ，再求21,p p 的最优值. 解：按分段价格，单位时间内的销售量为⎪⎩⎪⎨⎧<<-<<-=T t T bp a T t bp a x 2,20,21又 t q t q β+=0)(.于是总利润为[][]⎰⎰--+--=22221121)()()()(),(TTT dt bp a t q p dt bp a t q p p p=22)(022)(20222011T Tt t q t p bp a T t t q t p bp a ⎥⎦⎤⎢⎣⎡---+⎥⎦⎤⎢⎣⎡---ββ=)8322)(()822)((20222011T t q T p bp a T T q T p bp a ββ---+--- )(2)822(12011bp a T T T q T p b p -+---=∂∂β )(2)8322(22022bp a TT t q T p b p -+---=∂∂β 0,021=∂∂=∂∂p p 令, 得到最优价格为: ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎥⎦⎤⎢⎣⎡++=⎥⎦⎤⎢⎣⎡++=)43(21)4(210201T q b a b p T q b a b p ββ 在销售期T 内的总销量为⎰⎰+-=-+-=20221210)(2)()(T TT p p bTaT dt bp a dt bp a Q 于是得到如下极值问题：)8322)(()822)((),(m ax 2022201121T t q T p bp a T T q T p bp a p p ββ---+---=t s . 021)(2Q p p bTaT =+-利用拉格朗日乘数法，解得：⎪⎩⎪⎨⎧+-=--=880201TbT Q b a p T bT Q b a p ββ 即为21,p p 的最优值.第三章3（2008年10月21日）6. 某厂每天需要角钢100吨，不允许缺货.目前每30天定购一次，每次定购的费用为2500元.每天每吨角钢的贮存费为0.18元.假设当贮存量降到零时订货立即到达.问是否应改变订货策略？改变后能节约多少费用？解：已知：每天角钢的需要量r=100(吨);每次订货费1c ＝2500（元）; 每天每吨角钢的贮存费2c ＝0.18（元）.又现在的订货周期T 0＝30（天）根据不允许缺货的贮存模型：kr rT c T c T C ++=2121)( 得：k T TT C 10092500)(++=令0=dTdC，解得：35092500*==T 由实际意义知：当350*=T （即订货周期为350）时，总费用将最小. 925002+-=TdT dC又k T C 10035095025003)(*+⨯+⨯=＝300＋100k k T C 100309302500)(0+⨯+==353．33＋100k)(0T C －)(*T C ＝（353.33＋100k ）－（300＋100k ）32＝53．33.故应改变订货策略.改变后的订货策略（周期）为T *=350，能节约费用约53．33元.《数学模型》作业解答第四章（2008年10月28日）1. 某厂生产甲、乙两种产品,一件甲产品用A 原料1千克, B 原料5千克；一件乙产品用A 原料2千克,B 原料4千克.现有A 原料20千克, B 原料70千克.甲、乙产品每件售价分别为20元和30元.问如何安排生产使收入最大？解：设安排生产甲产品x 件,乙产品y 件，相应的利润为S 则此问题的数学模型为：max S=20x+30ys.t. ⎪⎩⎪⎨⎧∈≥≤+≤+Z y x y x y x y x ,,0,7045202这是一个整线性规划问题，现用图解法进行求解可行域为：由直线1l ：x+2y=20, 2l :5x+4y ＝702l以及x=0,y=0组成的凸四边形区域. 直线l ：20x+30y=c 在可行域内平行移动.易知：当l 过1l 与2l 的交点时， x S 取最大值. 由⎩⎨⎧=+=+7045202y x y x 解得⎩⎨⎧==510y x此时 m ax S ＝2053010⨯+⨯＝350（元）2. 某厂拟用集装箱托运甲乙两种货物，每箱的体积、重量以及可获利润如下表：货物体积（立方米/箱）重量（百斤/箱）利润（百元/箱）甲 5 2 20 乙4510已知这两种货物托运所受限制是体积不超过24立方米，重量不超过13百斤.试问这两种货物各托运多少箱，使得所获利润最大，并求出最大利润.解:设甲货物、乙货物的托运箱数分别为1x ,2x ,所获利润为z .则问题的数学模型可表示为211020 m ax x x z +=⎪⎩⎪⎨⎧∈≥≤+≤+Z y x x x x x x x st ,,0,13522445212121这是一个整线性规划问题. 用图解法求解. 可行域为：由直线2445:211=+x x l1352:212=+x x l 及0,021==x x 组成直线 c x x l =+211020:在此凸四边形区域内平行移动.易知：当l 过l 1与l 2的交点时，z 取最大值由⎩⎨⎧=+=+135224452121x x x x 解得 ⎩⎨⎧==1421x x90110420max =⨯+⨯=z .3．某微波炉生产企业计划在下季度生产甲、乙两种型号的微波炉.已知每台甲型、乙型微波炉的销售利润分别为3和2个单位.而生产一台甲型、乙型微波炉所耗原料分别为2和32ll1x1l2x个单位,所需工时分别为4和2个单位.若允许使用原料为100个单位,工时为120个单位,且甲型、乙型微波炉产量分别不低于6台和12台.试建立一个数学模型,确定生产甲型、乙型微波炉的台数,使获利润最大．并求出最大利润.解：设安排生产甲型微波炉x 件,乙型微波炉y 件,相应的利润为S. 则此问题的数学模型为：max S=3x +2ys.t. ⎪⎩⎪⎨⎧∈≥≥≤+≤+Z y x y x y x y x ,,12,61202410032这是一个整线性规划问题用图解法进行求解可行域为：由直线1l ：2x+3y=100, 2l :4x+2y ＝120 及x=6,y=12组成的凸四边形区域.直线l ：3x+2y=c 在此凸四边形区域内平行移动. 易知：当l 过1l 与2l 的交点时, S 取最大值.由⎩⎨⎧=+=+1202410032y x y x 解得⎩⎨⎧==2020y x .m ax S ＝320220⨯+⨯＝100.《数学模型》作业解答第五章1（2008年11月12日）1.对于5.1节传染病的SIR 模型，证明：（1）若处最大先增加，在则σσ1)(,10=s t i s ，然后减少并趋于零；)(t s 单调减少至.∞s（2）.)()(,10∞s t s t i s 单调减少至单调减少并趋于零，则若σ解：传染病的SIR 模型（14）可写成⎪⎩⎪⎨⎧-=-=i s dtds s i dt diλσμ)1(.)(lim 0.(t) .)( .0,t 存在而单调减少知由∞∞→=∴≥-=s t s s t s dtdsi s dt ds λ.)(∞s t s 单调减少至故（1）.s s(t) .s(t) .100≤∴单调减少由若σs;)(,0 .01,10单调增加时当t i dtdis s s ∴-σσ.)(,0 .01,1单调减少时当t i dtdis s ∴-σσ.0)(lim .0)18(t ==∞→∞t i i 即式知又由书上.)( .0,1m i t i dtdis 达到最大值时当∴==σ（2）().0 0.1-s ,1,10 dtdit s s σσσ从而则若()().0.0lim ==∴∞∞→i t i t i t 即单调减少且4．在5.3节正规战争模型（3）中，设乙方与甲方战斗有效系数之比为.4=ba初始兵力00y x 与相同.(1) 问乙方取胜时的剩余兵力是多少,乙方取胜的时间如何确定.(2) 若甲方在战斗开始后有后备部队以不变的速率r 增援,重新建立模型,讨论如何判断双方的胜负.解:用()()t y t x ,表示甲、乙交战双方时刻t 的士兵人数,则正规战争模型可近似表示为:()()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==-=-=000,01 ,yy x x bx dtdyay dt dx现求(1)的解: (1)的系数矩阵为⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=00b a Aab ab b aA E ±=∴=-==-1,22 .0λλλλλ⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫⎝⎛-1212,21，对应的特征向量分别为λλ ()()()tab t ab eC e C t y t x -⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∴1212121的通解为.再由初始条件，得()()2 220000 tab tab e y x ey x t x -⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛-=又由().1aybx dx dy =可得其解为 ()3 ,202022 bx ay k k bx ay -==-而(1) ()().231000202011y a b y a bx ay ak t y t x =-=-===时，当即乙方取胜时的剩余兵力数为.230y又令().0222,01100001=-⎪⎭⎫⎝⎛++⎪⎭⎫⎝⎛-=t ab t ab e y x e y x t x ）得由（注意到000020022,1x y y x ey x t ab -+==得. .43ln ,3121bt et ab =∴=∴ (2) 若甲方在战斗开始后有后备部队以不变的速率r 增援.则()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==-=+-=000,)0(4 yy x x bx dtdyr ay dt dx().,4rdy aydy bxdx bxray dy dx -=-+-=即得由相轨线为,222k bx ry ay =-- .222220.020k a r bx a r y a bx ry ay k =--⎪⎭⎫ ⎝⎛---=或此相轨线比书图11中的轨线上移了.a r 乙方取胜的条件为.,0222020a r x a b a r y k +⎪⎭⎫ ⎝⎛- 亦即第五章2（2008年11月14日）6. 模仿5.4节建立的二室模型来建立一室模型（只有中心室），在快速静脉注射、恒速静脉滴注（持续时间为τ）和口服或肌肉注射3种给药方式下求解血药浓度，并画出血药浓度曲线的图形.解: 设给药速率为(),0t f()()()()().,,0/t VC t x t f t kx t x k ==+则排除速率为常数(1)快速静脉注射: 设给药量为,0D 则()()().,0,0000t k e VDt C V D C t f -===解得 (2)恒速静脉滴注(持续时间为τ): 设滴注速率为()(),00,000==C k t f k ，则解得()()()()⎪⎩⎪⎨⎧-≤≤-=----τττ t e e Vkk t e Vkk t C t k kt kt,10 ,10(3) 口服或肌肉注射: ()()，解得）式节（见134.5010010tk eD k t f -=()()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=≠--=---010101001 ,,01k k te VkD k k e e k k V D k t C kt t k kt3种情况下的血药浓度曲线如下：第五章3（2008年11月18日）8. 在5.5节香烟过滤嘴模型中,(1) 设3.0,/50,08.0,02.0,20,80,80021=======a s mm b mm l mm l mg M νβ求./21Q Q Q 和(2) 若有一支不带过滤嘴的香烟,参数同上,比较全部吸完和只吸到1l 处的情况下，进入人体毒物量的区别.解)(857563.229102.07.050103.01508002.07.0502008.0/01/2毫克≈⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯⨯⨯=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⨯⨯-⨯---e e e eba v aw Q v bl a vl β ()10/10==l M w 其中，()()97628571.0502002.008.0212===⨯----ee Q Q vl b β(2) 对于一支不带过滤嘴的香烟,全部吸完的毒物量为⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=-vbl a e b a v aw Q '103‘ 只吸到1l 处就扔掉的情况下的毒物量为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=--vbl a v ble e b a v aw Q 1'21'04 .256531719.1110096.0032.0012.004.0508002.03.0508002.05010002.03.05010002.043111'1'≈--=--=--=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⨯⨯⨯⨯⨯⨯--e e e e e e e e e e e e e e e e Q Q v abl v bl v abl v bl v bl a v bl v bl a vbl 44.235,84.29543≈≈　ＱQ4．在5.3节正规战争模型（3）中，设乙方与甲方战斗有效系数之比为.4=ba初始兵力00y x 与相同.(1) 问乙方取胜时的剩余兵力是多少,乙方取胜的时间如何确定.(2) 若甲方在战斗开始后有后备部队以不变的速率r 增援,重新建立模型,讨论如何判断双方的胜负.解:用()()t y t x ,表示甲、乙交战双方时刻t 的士兵人数,则正规战争模型可近似表示为:()()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==-=-=000,01 ,yy x x bx dtdyay dt dx现求(1)的解: (1)的系数矩阵为⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=00b a Aab ab b aA E ±=∴=-==-1,22 .0λλλλλ⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫⎝⎛-1212,21，对应的特征向量分别为λλ ()()()tab t ab eC e C t y t x -⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∴1212121的通解为.再由初始条件，得()()2 220000 tab tab e y x ey x t x -⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛-=又由().1aybx dx dy =可得其解为 ()3 ,202022 bx ay k k bx ay -==-而(1) ()().231000202011y a b y a bx ay ak t y t x =-=-===时，当即乙方取胜时的剩余兵力数为.230y 又令().0222,01100001=-⎪⎭⎫⎝⎛++⎪⎭⎫⎝⎛-=t ab t ab e y x e y x t x ）得由（注意到000020022,1x y y x ey x t ab -+==得. .43ln ,3121bt et ab =∴=∴ (2) 若甲方在战斗开始后有后备部队以不变的速率r 增援.则()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==-=+-=000,)0(4 yy x x bx dtdyr ay dt dx().,4rdy aydy bxdx bxray dy dx -=-+-=即得由相轨线为,222k bx ry ay =-- .222220.02k a r bx a r y a bx ry ay k =--⎪⎭⎫ ⎝⎛---=或此相轨线比书图11中的轨线上移了.a r 乙方取胜的条件为.,0222020a r x a b a r y k +⎪⎭⎫ ⎝⎛- 亦即《数学模型》作业解答第六章（2008年11月20日）1.在6.1节捕鱼模型中，如果渔场鱼量的自然增长仍服从Logistic 规律，而单位时间捕捞量为常数h ．(1)分别就4/rN h >，4/rN h <，4/rN h =这3种情况讨论渔场鱼量方程的平衡点及其稳定状况．(2)如何获得最大持续产量，其结果与6.1节的产量模型有何不同．解：设时刻t 的渔场中鱼的数量为()t x ，则由题设条件知：()t x 变化规律的数学模型为h Nxrx dt t dx --=)1()( 记h Nxrx x F --=)1()( (1).讨论渔场鱼量的平衡点及其稳定性：由()0=x F ，得0)1(=--h Nxrx ．即()102=+-h rx x Nr )4(42Nhr r N rh r -=-=∆ ， (1)的解为：2412,1N rNhN x -±=①当4/rN h >，0<∆，(1)无实根，此时无平衡点； ②当4/rN h =，0=∆，(1)有两个相等的实根，平衡点为20N x =. Nrxr N rx N x r x F 2)1()('-=--=，0)(0'=x F 不能断定其稳定性. 但0x x ∀ 及0x x 均有04)1()( rNN x rx x F --= ，即0 dtdx ．∴0x 不稳定；③当4/rN h <，0>∆时，得到两个平衡点：2411N rNhN x --=， 2412N rNh N x -+=易知：21N x <， 22N x > ，0)(1'>x F ，0)(2'<x F ∴平衡点1x 不稳定，平衡点2x 稳定.(2)最大持续产量的数学模型为⎩⎨⎧=0)(..max x F t s h即 )1(max Nxrx h -=，易得 2*0N x = 此时 4rN h =，但2*0N x =这个平衡点不稳定．这是与6.1节的产量模型不同之处．要获得最大持续产量，应使渔场鱼量2N x >，且尽量接近2N ，但不能等于2N ． 2.与Logistic 模型不同的另一种描述种群增长规律的是Gompertz 模型：()xNrx t x ln '=．其中r 和N 的意义与Logistic 模型相同．设渔场鱼量的自然增长服从这个模型，且单位时间捕捞量为Ex h =．讨论渔场鱼量的平衡点及其稳定性，求最大持续产量m h 及获得最大产量的捕捞强度m E 和渔场鱼量水平*0x ．解：()t x 变化规律的数学模型为()Ex xNrx dt t dx -=ln 记 Ex xNrx x F -=ln)( ① 令()0=x F ，得0ln =-Ex xNrx ∴r ENe x -=0，01=x ．∴平衡点为1,0x x . 又 ()E r xNr x F --=ln'，()()∞=<-=1'0',0x F r x F ． ∴ 平衡点o x 是稳定的，而平衡点1x 不稳定.②最大持续产量的数学模型为：⎪⎩⎪⎨⎧≠=-=.0,0ln ..max x Ex x N rx t s Ex h Ex()x f由前面的结果可得 rE ENeh -=r Er Ee r EN Ne dE dh ---=，令.0=dEdh 得最大产量的捕捞强度r E m =．从而得到最大持续产量e rN h m /=，此时渔场鱼量水平eNx =*0． 3．设某渔场鱼量)(t x (时刻t 渔场中鱼的数量)的自然增长规律为：)1()(Nxrx dt t dx -= 其中r 为固有增长率,`N 为环境容许的最大鱼量. 而单位时间捕捞量为常数h .10．求渔场鱼量的平衡点,并讨论其稳定性;20．试确定捕捞强度m E ,使渔场单位时间内具有最大持续产量m Q ,求此时渔场鱼量水平*0x . 解：10．)(t x 变化规律的数学模型为h Nxrx dt t dx --=)1()( 记h N x rx x f --=)1()(,令 0)1(=--h N x rx ，即 02=+-h rx x Nr ----（1）)4(42Nhr r N rh r -=-=∆ ，（1）的解为：2412,1N rNhN x -±=① 当0 ∆时，（1）无实根，此时无平衡点； ② 当0=∆时，（1）有两个相等的实根，平衡点为20Nx =. Nrx r N rx N x r x f 2)1()('-=--= ，0)(0'=x f 不能断定其稳定性. 但0x x ∀ 及0x x 均有04)1()( rN N x rx x f --= ，即0 dt dx∴0x 不稳定； ③ 当0 ∆时，得到两个平衡点：2411rNhN N x --=， 2412rNh N N x -+=易知 21N x， 22N x ∴0)('1 x f ， 0)('2 x f ∴平衡点1x 不稳定，平衡点2x 稳定.20．最大持续产量的数学模型为： ⎩⎨⎧=0)(..max x f t s h即 )1(max Nx rx h -=，易得 2*0N x = 此时 4rN h =，但2*0N x =这个平衡点不稳定. 要获得最大持续产量，应使渔场鱼量2N x ,且尽量接近2N ,但不能等于2N.《数学模型》第七章作业（2008年12月4日）1．对于7.1节蛛网模型讨论下列问题：（1）因为一个时段上市的商品不能立即售完，其数量也会影响到下一时段的价格，所以第1+k 时段的价格1+k y 由第1+k 和第k 时段的数量1+k x 和k x 决定，如果仍设1+k x 仍只取决于k y ，给出稳定平衡的条件，并与7.1节的结果进行比较.2．已知某商品在k 时段的数量和价格分别为k x 和k y ，其中1个时段相当于商品的一个生产周期.设该商品的需求函数和供应函数分别为)(k k x f y =和)2(11-++=k k k y y g x .试建立关于商品数量的差分方程模型，并讨论稳定平衡条件.3．已知某商品在k 时段的数量和价格分别为k x 和k y ，其中1个时段相当于商品的一个生产周期.设该商品的需求函数和供应函数分别为)2(11kk k x x f y +=++和)(1k k y g x =+.试建立关于商品数量的差分方程模型，并讨论稳定平衡条件.《数学模型》作业解答第七章（2008年12月4日）2．对于7.1节蛛网模型讨论下列问题：（1）因为一个时段上市的商品不能立即售完，其数量也会影响到下一时段的价格，所以第1+k 时段的价格1+k y 由第1+k 和第k 时段的数量1+k x 和k x 决定，如果仍设1+k x 仍只取决于k y ，给出稳定平衡的条件，并与7.1节的结果进行比较.（2）若除了1+k y 由1+k x 和k x 决定之外，1+k x 也由前两个时段的价格k y 和1-k y 确定.试分析稳定平衡的条件是否还会放宽.解：（1）由题设条件可得需求函数、供应函数分别为：⎪⎩⎪⎨⎧=+=+++)()2(111k k k k k y h x x x f y 在),(000y x P 点附近用直线来近似曲线h f ,，得到⎪⎩⎪⎨⎧>-=->-+-=-+++)2( 0, )()1( 0),2(0010101 ββααy y x x x x x y y k k k k k 由（2）得 )3( )(0102 y y x x k k -=-++β （1）代入（3）得 )2(0102x x x x x kk k -+-=-++αβ0012222 x x x x x k k k αβαβαβ+=++∴++对应齐次方程的特征方程为 02 2=++αβαβλλ特征根为48)(22,1αβαβαβλ-±-=当8≥αβ时，则有特征根在单位圆外，设8<αβ，则248)()4(2222,1αβαβαβαβλ=+-+= 2 12,1<⇔<∴αβλ即平衡稳定的条件为2<αβ与207P 的结果一致. （2）此时需求函数、供应函数在),(000y x P 处附近的直线近似表达式分别为：⎪⎩⎪⎨⎧>-+=->-+-=--+++)5( 0 , )2()4( 0),2(01010101ββααy y y x x x x x y y k k k k k k 由（5）得，)( ) y y y β(y )x (x k k k 62010203 -+-=-+++ 将（4）代入（6），得 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+--+-=-++++)2()2()(20101203x x x x x x x x k k k k k ααβ 001234424 x x x x x x k k k k αβαβαβαβ+=+++∴+++对应齐次方程的特征方程为(7) 024 23=+++αβαβλαβλλ 代数方程（7）无正实根，且42 ,αβαβ---, αβ不是（7）的根.设（7）的三个非零根分别为321,,λλλ，则⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-==++-=++424321133221321αβλλλαβλλλλλλαβλλλ 对（7）作变换：,12αβμλ-=则,03=++q p μμ其中 )6128(41 ),122(412233322αββαβαβααβ+-=-=q p 用卡丹公式：⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧+--+++-=+--+++-=+--+++-=33233223332233223323321)3()2(2)3()2(2)3()2(2)3()2(2)3()2(2)3()2(2p q q w p q q w p q q w p q q w pq q p q q μμμ 其中,231i w +-=求出321,,μμμ，从而得到321,,λλλ，于是得到所有特征根1<λ的条件.2．已知某商品在k 时段的数量和价格分别为k x 和k y ，其中1个时段相当于商品的一个生产周期.设该商品的需求函数和供应函数分别为)(k k x f y =和)2(11-++=k k k y y g x .试建立关于商品数量的差分方程模型，并讨论稳定平衡条件.解：已知商品的需求函数和供应函数分别为)(k k x f y =和)2(11-++=k k k y y g x . 设曲线f 和g 相交于点),(000y x P ，在点0P 附近可以用直线来近似表示曲线f 和g ：0,)(00 ααx x y y k k --=- ----------------------（1）0,)2(0101 ββy y y x x k k k -+=--+ --------------------（2）从上述两式中消去k y 可得,2,1,)1(22012=+=++++k x x x x k k k αβαβαβ， -----------（3）上述（3）式是我们所建立的差分方程模型，且为二阶常系数线性非齐次差分方程. 为了寻求0P 点稳定平衡条件，我们考虑（3）对应的齐次差分方程的特征方程：022=++αβαβλλ容易算出其特征根为48)(22,1αβαβαβλ-±-=---------------（4）当αβ 8时，显然有448)(22αβαβαβαβλ----= -----------（5）从而2λ 2，2λ在单位圆外．下面设8 αβ，由(5)式可以算出 22,1αβλ=要使特征根均在单位圆内，即2,1λ1 ，必须 2 αβ．故0P 点稳定平衡条件为 2 αβ．3．已知某商品在k 时段的数量和价格分别为k x 和k y ，其中1个时段相当于商品的一个生产周期.设该商品的需求函数和供应函数分别为)2(11k k k x x f y +=++和)(1k k y g x =+.试建立关于商品数量的差分方程模型，并讨论稳定平衡条件.解：已知商品的需求函数和供应函数分别为)2(11k k k x x f y +=++和)(1k k y g x =+. 设曲线f 和g 相交于点),(000y x P ，在点0P 附近可以用直线来近似表示曲线f 和g ：0,)2(0101 ααx x x y y k k k -+-=-++ --------------------（1） 0,)(001 ββy y x x k k -=-+ --- ----------------（2）由（2）得 )(0102y y x x k k -=-++β --------------------（3）（1）代入（3），可得)2(0102x x x x x k k k -+-=-++αβ ∴ ,2,1,2220012=+=++++k x x x x x k k k αβαβαβ， --------------（4）上述（4）式是我们所建立的差分方程模型，且为二阶常系数线性非齐次差分方程.为了寻求0P 点稳定平衡条件，我们考虑（4）对应的齐次差分方程的特征方程：022=++αβαβλλ容易算出其特征根为 48)(22,1αβαβαβλ-±-= ---------------（4）当αβ≥8时，显然有448)(22αβαβαβαβλ-≤---= -----------（5）从而2λ 2，2λ在单位圆外．下面设8 αβ，由(5)式可以算出 22,1αβλ=要使特征根均在单位圆内，即 2,1λ1 ，必须 2 αβ．故0P 点稳定平衡条件为 2 αβ．。

《数学模型》课件数学建模中的数值方法20180907

u t
b2
2u x2
2u y2
2u z 2
f
(x,
y,
z,t)
其中， f F 。 a
Q1
t t t
S
k
u n
dS
dt
如果考虑的是线或是面的扩散问题，则方程变为
u t
b2
2u x2
一维热传导方程
u t
b2
2u x2
2u y2
二维热传导方程
如果考虑的是稳恒场，即 u 与时间 t 无关，分布达到某种动态平
t
V
a
u t
dxdydz
dt
Q2
由于对与任意的区域上式都要成立，因此
a
u t
k
(
2u x2
2u y 2
2u z 2
)
u
边界条件：（i） u
f1 ；
（ii）
u n
f2 ；
（iii）
u n
u
f3
那现在的问题是：这样模型好求解吗？
微分方程的解析解
求微分方程（组）解析解的命令（matlab）:
1870 38.6
1880 1890 1900 1910 1920 50.2 62.9 76.0 92.0 106.5
8.2
7.4
11.6 12.7 13.1 16
14.5
年（公元） 1930 人口（百万） 123.2
1940 1950 1960 1970 1980 1990 131.7 150.7 179.3 204.0 226.5 251.4
为
0，即 r xm =0，于是
s
r xm
，代入 rx
r

数学建模作业指导书

数学建模作业指导书
一、前言
数学建模是一门综合性较强的学科，它通过运用数学方法和工具，解决现实世界中的问题。

为了帮助同学们更好地完成数学建模作业，本指导书将为大家提供详细的步骤和方法。

二、问题分析
在进行数学建模之前，首先需要对问题进行全面的分析，包括理解问题的背景、明确问题的目标、确定问题的限定条件等。

三、建模框架设计
在完成问题分析后，需要将问题抽象为数学模型。

通过建立适当的假设，定义变量和参数，并确定问题的约束条件，最终形成一个数学模型。

四、模型求解
在完成数学模型的建立后，需要选择合适的方法和工具对模型进行求解。

可以通过数值计算、符号计算、优化算法等方式，得到问题的解决方案。

五、模型评价
在模型求解完成后，需要对模型的可行性和有效性进行评价。

可以通过灵敏度分析、误差分析等方法，对模型的结果进行验证和调整。

六、结果展示
在完成模型评价后，需要将问题的解决方案进行清晰、简洁的展示。

可以使用图表、表格等方式，直观地向读者展示结果。

七、讨论与总结
最后，对整个数学建模过程进行讨论与总结。

可以分析问题的解决
效果、提出改进的方法以及对数学建模过程中的感悟和体会。

八、参考文献
在最后，需要列举所参考的文献和资料，保证研究过程的准确性和
可靠性。

以上是数学建模作业的基本步骤和要求，希望同学们能够按照这个
指导书进行作业的完成。

只有通过不断的实践和积累，才能不断提高
数学建模的能力。

祝大家在数学建模作业中取得好成绩！。

数学建模数值算法

注意：(x, y)当然应该是在插值节点所形成的矩形区域内。显然，分片线性插值函数是连续的；
双线性插值
y•
(x1•, y2) (x2,•y2)
•
•
•
•
•
••
(x1, y1) (x2, y1)
•
•
•
••
O
x
双线性插值是一片一片的空间二次曲面构成。双线性插值函数的形式如下：
f(x ,y ) (a x b )c ( y d )
其中有四个待定系数，利用该函数在矩形的四个顶点（插值节点）的函数值，得到四个代数方程，正好确定四个系数。
拟合与插值的关系问题：给定一批数据点，需确定满足特定要求的曲线或曲面解决方案：
•若要求所求曲线（面）通过所给所有数据点，就是插值问题；
•若不要求曲线（面）通过所有数据点，而是要求它反映对象整体的变化趋势，这就是数据拟合，又称曲线拟合或曲面拟合。
平面的一般方程 ax + by + cz =d 把螺旋线方程代入平面方程整理，用t/代替原来的 t，cost、sint、t的系数分别为A、B、C常数项为D ,得：
Acos t + Bsin t +Ct +D=0
令：f(t)=Acos t + Bsin t +Ct +D问题归为解非线性方程 f(t)=0。
称为拉格朗日插值基函数。
例：选取n+1个不同插值节点，其中n为插值多项式的次数，当n分别取2,4,6,8,10时，绘出下列函数拉格朗日插值插值多项式图形.
1 g(x)1x2 5x5
分段线性插值
y
••• •
• •
o x0
xj-1

数学建模线性方程组的数值解法

或 AX=b
直接法经过有限次算术运算求出精确解（实际上由于有舍入误差只能得到近似解） ---- 高斯（Gauss）消元法及与它密切相关的矩阵LU分解迭代法从初始解出发，根据设计好的步骤用逐次求出的近似解逼近精确解 ---- 雅可比（Jacobi）迭代法和高斯—塞德尔（Gauss—Seidel）迭代法
(k )
0.1x1
( k 1)
0.3x2
( k 1)
1.4
Gauss-Seideil迭代公式 Dx ( k 1) Lx ( k 1) Ux ( k ) b
用它作除数会导致舍入误差的很大增加解决办法选
(k ) aik
(i k , n) 最大的一个(列主元)
将列主元所在行与第k行交换后, 再按上面的高斯消元法进行下去，称为列主元消元法。
直接法 - 高斯消元法的矩阵表示
高斯消元法的第一次消元
a11 x1 a12 x2 a1n xn b1 a21 x1 a22 x2 a2 n xn b2 an1 x1 an 2 x2 ann xn bn
数值解法(迭代解法)的收敛性
实验5的主要内容
1. 两类数值解法: 直接方法；迭代方法
2. 超定线性方程组的最小二乘解 3. 线性方程组数值解法的MATLAB实现 4. 实际问题中方程组的数值解
线性方程组的一般形式、两类解法
a11 x1 a12 x 2 a1n x n b1 a 21 x1 a 22 x 2 a 2 n x n b2 a n1 x1 a n 2 x 2 a nn x n bn
大学数学实验
Mathematical Experiments 实验5 线性代数方程组的数值解法

2021数学建模国赛各题解法

2021数学建模国赛各题解法一、概述2021年的数学建模国赛是一个极具挑战性的比赛，各题目涉及的知识面广泛，解题方法也多种多样。

本文将从数学建模国赛的各题解法入手，为大家详细介绍每个题目的解题思路和方法，帮助大家更好地理解这些题目并提升解题能力。

二、A题解法A题是一个典型的优化问题，要求考生根据给定的条件，设计一个合理的数学模型，以达到最优化的目标。

在解答A题时，首先要清晰地理解题目中的需求和限制条件，然后建立相应的数学模型，最后使用最优化算法进行求解。

常见的解题方法包括整数规划、线性规划、动态规划等。

三、B题解法B题常常涉及概率统计和数据分析的知识，要求考生根据给定的数据和情境，进行合理的推理和分析。

解答B题时，首先要对给定的数据进行充分的理解和分析，然后选取合适的概率统计方法进行分析，最后给出合理的结论。

常见的解题方法包括贝叶斯方法、蒙特卡洛模拟、假设检验等。

四、C题解法C题通常涉及到图论和网络流的知识，要求考生设计一个合理的网络模型，解决最大流、最短路等相关问题。

解答C题时，首先要将给定的问题抽象成图论模型，并根据实际情况建立相应的网络模型，然后使用相关算法进行求解。

常见的解题方法包括Ford-Fulkerson算法、Dijkstra算法、最小生成树算法等。

五、D题解法D题常涉及到数值计算和微分方程的知识，要求考生设计一个合理的数学模型，进行数值求解。

解答D题时，首先要建立问题的数学模型，然后选择合适的数值计算方法进行求解，最后对结果进行分析和验证。

常见的解题方法包括龙格-库塔方法、有限元法、迭代法等。

六、总结与展望2021数学建模国赛的各题解法涉及到不同的数学领域和解题方法，要求考生有广泛的数学知识和灵活的解题能力。

通过对每个题目的深入分析和总结，相信大家对这些题目的理解和掌握会更加深入和灵活，也会在以后的学习和工作中受益匪浅。

七、个人观点个人认为，数学建模国赛是一个很好的锻炼和提升数学能力的评台，通过参与解答各题目，不仅可以加深对数学知识的理解，还可以培养分析和解决实际问题的能力。

2020华东杯数学建模解答

2020华东杯数学建模解答2020年的华东杯数学建模竞赛在上海举行，旨在促进学生深入研究、开拓创新，利用科学的智慧解决实际问题。

本次比赛有十一个题目，引起了全国参赛者的热烈响应。

本文将以一、二、三题分别为例，详细讲解参赛者在数学建模中所使用的有效策略，以及解决这些问题的技术。

一题：拼图游戏在拼图游戏中，玩家需要将一副拼图拼出正确的图案，从而获得胜利。

参赛者首先要建立一个数学模型，用以描述拼图游戏的运行过程，以及计算拼图游戏中的每步移动和判断概率。

参赛者可以采用基于Markov链的概率模型来分析拼图游戏的运行机制，从而计算胜利的概率和最优的移动策略。

二题：机器学习技术参赛者需要使用机器学习技术解决朋友圈中的消息传播问题。

参赛者可以使用无向图模型来描述朋友圈中朋友间的关系，以及消息在朋友圈间的传播机制。

参赛者可以使用深度学习技术，如深度神经网络、卷积神经网络等，来预测消息的传播范围，以及网络中的朋友之间的可信度。

三题：模糊处理模糊处理是数学建模中的一种重要技术，可以用来解决模糊的实际问题。

参赛者需要使用模糊控制原理，运用交易系统和模糊算法，在模糊不确定性场景下对系统运行进行有效控制。

参赛者可以使用模糊隶属函数，用以描述在模糊不确定性条件下的系统变量，并将模糊隶属函数嵌入模糊控制算法中，从而解决模糊控制问题。

以上只是参赛者在解决数学建模中常用的技术，其他题目的解决方案也可以采用这些技术，例如旅行商问题可以用模糊算法来分析，极值优化可以用机器学习算法来解决等等。

本文以2020年华东杯数学建模参赛题为例，介绍了参赛者在解决这些问题的方法和技术，为数学建模竞赛的参赛者提供了一定的参考和借鉴，以便更好地把握未来的竞赛。

数学建模实际问题的数学表达与求解

数学建模实际问题的数学表达与求解数学建模作为一种重要的研究方法和技术手段，广泛应用于自然科学、工程技术、社会经济等领域。

它的核心目标是将实际问题抽象为数学模型，并通过求解模型来获得对问题的理解和解决方案。

在数学建模的过程中，如何准确地表达实际问题并进行有效的数学求解是至关重要的。

一、数学建模实例的数学表达数学建模的第一步是将实际问题转化为数学模型，而数学模型的关键在于建立准确的数学表达。

以某企业的产能规划问题为例，假设该企业生产两种产品，分别是X和Y，并且受到原材料供应、设备维修、人员调配等因素的影响。

为了建立对该问题的数学模型，我们需要对问题进行逐步分析和抽象，然后通过合适的数学公式进行表达。

1. 确定变量和参数：在这个例子中，我们需要确定一些关键的变量和参数，比如产品的产量、原材料的价格、设备的维修时间等等。

这些变量和参数将影响到问题的解决方案。

2. 建立约束条件：针对实际问题的约束条件，我们需要通过数学公式来表达。

例如，我们可以使用线性不等式来表示原材料的供应限制，使用方程来表示设备维修时间等等。

这些约束条件将对问题的求解产生影响。

3. 构建目标函数：目标函数是数学模型的核心，它代表了我们希望达到的最优化目标。

在这个例子中，我们可以以最大化产品产量、最小化成本等为目标来构建目标函数。

通过以上步骤，我们可以将实际问题转化为数学模型的数学表达。

在这个过程中，我们需要深刻理解实际问题的特征，准确把握数学工具的使用，以及灵活运用模型思维进行问题转化。

二、数学建模实例的数学求解数学表达只是建模的第一步，更重要的是通过数学求解方法得到问题的解决方案。

在数学建模实践中，常用的数学求解方法包括解析求解、数值求解和优化求解等。

1. 解析求解：对于某些简单的数学模型，我们可以使用解析求解的方法来获得问题的解析解。

例如，对于线性规划问题，我们可以使用单纯形法等方法来直接求解最优解。

2. 数值求解：对于某些复杂的数学模型，其求解过程可能无法得到解析解，这时我们可以利用数值求解的方法进行近似求解。

数学建模与算术的基本运算(下)——数的用法及运算的使用意义

!"#问题解决的国际视野专辑8!"#"$%&'（）*!+,-./0*123&,456789-":*;<=>@AB"-"$%CD-*E F"-GHI;<*EF#J-$KLMN*O P$QLRSTRU的结果$表示刻度上的位置$标示和编码$名词性用法°在孩子上小学之前，我们就希望他们知道第一种用法：计数,如!把椅子°在他们上小学后,我们希望他们知道0只独角兽或13.86亿人°附加于每一个数的是计量单位:把$只$人°或知道13.86亿&{在（）1*的一个计,计数是数,个计值却以小数形式呈现"数的第二种用法是表示测量的结果,如12厘米$6+3光年、*0千克、80千米/时或f杯°在这些例子中,附加于数的是度量单位：厘米、光$$米/$°度量知道度量的性，如米和光年度量距离或长度，千度量量,米/度量,度量°数的第三种用法是表示比例型比较的结果，如60!$$（概率）、5倍等"在比例型比较中G位°比例型比较;;于法/0°我们后比例,+,于法/0°:数的第四种用法是表示刻度上的位置,如:温度中的/10!0、时间中的12：00、日期中的1130日$的*0分贝或一个国家在国际:研究（如12344）中的平均得分"要使用这些数,知道刻度的数学性质,如水结冰和沸謄:的温度、含有每个月天数的、国际研究中的"每个刻度都有其自身的数学性质°在上的建模（详见本刊第4期）中，我们:能够从12：00开始做减法，是因为时钟上的时是基于0时这一时刻的量度°如果在上向前测量，我们可以使用负数"用于赋税:的百分比在某人以视为负数，在代理:机构收税时为正数°只要某个情境具有两种可:能的方向，就数":数的第五种用法是标示和编码，如身份证、密码,以及你在产品上可以看的数°不同:于他用法，编码和标示可以使用字母和数°:数的第六种用法是名词性用法，如幸运:数或最大质数"这一用法来自于日常话°如:在美国,有些人将*视为一个幸运数,而在中,*有被视为不幸运的数°当我们问哪个数:是最大的质数时，通常不考虑数学以外的其他1用途°:每种用法可以用来回答不同的现实问题°:计数告诉我们多少,测量告诉我们多远$多快$:多重、多贵等，比例型比较告诉我们部分如何联!8!"#$%&'()*+,!!-./012 345678"9:";."<=>.?!@AB C$DEFGHIJ'0KLDMNOPQ 秘密传递!某些数对一些人而言是幸运的或不幸运的#使用意义是一类广义的真实情境，其中的运算就是某种数学模型。

#建模中常用的数值计算[吉林大学]

xi xi1
li
(x)

x xi
xi1 xi1
0

ln(x)xxnxxnn11 0
x0 xx1 x在其它点
xi-1 x xi
xi x xi1 i 1,2,,n -1 x在其它点
xn-1 xxn x在其它点
1.3三次样条插值多项式
1.1 Lagrange多项式插值
Lagrange插值多项式的构造思想：对给定的n+1节点，先构造一组Lagrange基函数：
l
j
(x)

(x x0)(x (xj x0)(xj
x1)...(x x1)...(xj
xn ) xn
)
是n次多项kn式j ((，xxj满xx足kk)) k0

当 n 时，在 [ a ， b ] 内并不能保证 Pn(x) 处处收敛于 f (x) ，出现所谓的 R u n g e 振荡现象．
结论：作高次插值多项式时，有振荡现象且不能保证收敛性，因此实际意义不大，而这也就促使人们去寻求简单的低次多项式插值．通常适用二、三次多项时就足够了，最好不要超过 5次，除非你知道问题的实际意义.
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