微积分二课后题答案,复旦大学出版社第五章

第五章

习题5-1

1.求下列不定积分：

(1)

2

5)x -d x ; (2) 2

x ; (3)

3e x x

⎰d x ； (4) 2cos

2

x

⎰d x ； (5) 23523x x

x

⋅-⋅⎰d x ； (6)

22cos 2d cos sin x

x x x ⎰.

解 5

15173

2

2222

22210

(1)

5)(5)573d d d d x x x x x x x x x x C -=-=-=-+⎰⎰⎰

2. 解答下列各题：

(1) 一平面曲线经过点(1，0)，且曲线上任一点(x ,y )处的切线斜率为2x -2,求该曲线方程； (2) 设sin x 为f (x )的一个原函数，求

()f x '⎰d x ；

(3) 已知f (x )的导数是sin x ，求f (x )的一个原函数；

(4) 某商品的需求量Q 是价格P 的函数，该商品的最大需求量为1000(即P=0时，Q =1000),已知需求量的变化率(边际需求)为Q ′(P )=-10001(

)3

P

ln3,求需求量与价格的函数关系. 解 (1)设所求曲线方程为y =f (x ),由题设有f′(x )=2x -2,

又曲线过点(1,0),故f (1)=0代入上式有1-2+C =0得C =1,所以,所求曲线方程为

2()21f x x x =-+.

(2)由题意有(sin )()x f x '=,即()cos f x x =, 故 ()sin f x x '=-, 所以

()sin sin cos d d d f x x x x x x x C '=-=-=+⎰⎰⎰.

(3)由题意有()sin f x x '=,则1()sin cos d f x x x x C ==-+⎰

于是

1

2

()(cos )sin d d f x x x C x x C x C

=-+=-++⎰⎰.

其中12,C C 为任意常数,取120C C ==,得()f x 的一个原函数为sin x -.

注意 此题答案不唯一.如若取121,0C C ==得()f x 的一个原函数为sin x x --. (4)由1()1000(

)ln 33

P

Q P '=-得 将P =0时,Q =1000代入上式得C =0

所以需求量与价格的函数关系是1()1000(

)3

P Q P =. 习题5-2

1.在下列各式等号右端的空白处填入适当的系数，使等式成立： (1) d x = d(ax +b )(a ≠0)； (2) d x = d(7x -3)； (3) x d x = d(52

x )； (4) x d x = d(1-2

x )； (5)

3x d x = d(3x 4-2); (6) 2e x d x = d(2e x )；

(7)

2

e x -

d x = d(1+2

e x -

); (8) d x

x

= d(5ln ｜x ｜);

(9)

= d(1-arcsin x ); (10)

= d

(11)

2d 19x x += d(arctan3x ); (12) 2

d 12x

x += d(arctan x );

(13) (32x -2)d x = d(2x -3

x )； (14) cos(23x -1)d x = dsin(23x -1).

解 1

(1)()(0)()d d d d ax b a x a x ax b a

+=≠∴=+Q

2.求下列不定积分： (1)

5e

d t

t ⎰; (2) 3(32)x -⎰d x ;

(3)

d

12x

x -⎰; (4)

⎰

(5)

t

; (6)

d ln ln ln x

x x x ⎰;

(7)

10

2

tan

sec d x x x ⎰; (8) 2

e

d x x x -⎰;

(9)

d

sin cos x x x ⎰; (10) ⎰(11)

d

e e x x x

-+⎰; (12)

x ⎰

;

(13) 3

4

3d 1x x x -⎰; (14) 3sin d cos x

x x ⎰;

(15)

x ⎰

; (16) 3

2d 9x x x +⎰;

(17)

2d 21x

x -⎰; (18) d (1)(2)x

x x +-⎰;

(19 2cos ()d t t ωϕ+⎰); (20) 2

cos ()sin()d t t t ωϕωϕ++⎰;

(21) sin2cos3d x x x ⎰; (22) cos cos d 2

x x x ⎰; (23)

sin5sin 7d x x x ⎰; (24) 3

tan

sec d x x x ⎰;

(25)

x ; (26)

;

(27)

ln tan d cos sin x

x x x ⎰; (28)

21ln d (ln )x

x x x +⎰;

(29)

2

,0x a >; (30)

⎰

(31)

x

⎰

; (32)

(33)

; (34)

,0x a >⎰;

(35)

x ⎰

; (36) x ; (37)

2sec ()d 1tan x x x +⎰; (38) (1)d (1e )x x x x x ++⎰(提示：令x

t e =).

解

5555111(1)5(5)555

e d e d e d e t t t t

t t t C =

⋅==+⎰⎰⎰ 利用教材§例16及公式(20)可得:

原式=222

11arcsin arcsin arcsin 2222

x a x a x a C C a a a --=-. (30)令tan ,(,)22

ππ

x t t =∈-,则2sec d d x t t =. 所以

2

sec cos sin sec d d d d t

t t t t t C t

====+⎰

⎰

tan ,sin 原式x t t C =∴=

∴=Q .

(31)令3sec ,(0,

)π

x t t =∈,可求得被积函数在x >3上的不定积分,此时