9 非线性模型

ˆ ln( Q ) 3 .63 1 .05 ln( X ) 0 .08 ln( P1 ) 0 .92 ln( P0 )
(9.03) (25.35) (-2.28) (-7.34)
16
按零阶齐次性表达式回归:
ˆ ln( Q ) 3 .83 1 .07 ln( X / P0 ) 0 .09 ln( P1 / P0 )
（5）应用： X Y（ Y变化弱）
8
4、指数函数（Y单ln)
(1) 模型： Y Ae 2 X 2 3 X 3 u ( 2 )线性化： Y ln A 2 X 2 3 X 3 u ln 变量替换为 : Y * 1 2 X 2 3 X 3 u (3)应用： X Y变化强 ( 4 )平均增长率 dY d ln Y Y Y ln Y 1 t t , ( t 1) dt dt Y Yt Yt 1 注： ) (a 只用两点数据；b )Yt Y0 (1 ) t ( Yt
（75.86）(52.66)
(-3.62)
为了比较，改写该式为：
ˆ ln Q 3 .83 1 .07 (ln X ln P0 ) 0 .09 (ln P1 ln P0 ) 3 .83 1 .07 ln X 0 .09 ln P1 0 .98 ln P0
发现与
ˆ ln( Q ) 3 .63 1 .05 ln( X ) 0 .08 ln( P1 ) 0 .92 ln( P0 )
根据恩格尔定律，居民对食品的消费支出与居 民的总支出间呈幂函数的变化关系:
Q AX
1
对数变换: 考虑到零阶齐次性时
P1 2 P0 3
ln( Q ) 0 1 ln X 2 ln P1 3 ln P0
(***) (****)
ln( Q ) 0 1 ln( X / P0 ) 2 ln( P1 / P0 )
中 国 城 镇 居 民 人 均 食 品 消 费
1800 1600 1400 1200 1000 800 600 400 200 82 84 86 88 90 92 94 96 98 00 Q
特征：
消费行为在 1981~1995年间表 现出较强的一致性 1995年之后呈现出 另外一种变动特征。
建立1981~1994年中国城镇居民对食品的消费需求模型:
非线性回归模型
一、模型的类型与变换 二、非线性回归实例
1
在实际经济活动中，经济变量的关系是复杂 的，直接表现为线性关系的情况并不多见。
如著名的恩格尔曲线(Engle curves)表现为 幂函数曲线形式、宏观经济学中的菲利普斯曲线 （Pillips cuves）表现为双曲线形式等。 但是，大部分非线性关系又可以通过一些简 单的数学处理，使之化为数学上的线性关系，从 而可以运用线性回归的方法进行计量经济学方面 的处理。
2
一、模型的类型与变换
倒数模型、多项式模型与变量的直接置换法 幂函数模型、指数函数模型的对数变换法 例如，描述税收与税率关系的拉弗曲线：抛物线 s = a + b r + c r2 c<0 s：税收； r：税率 设X1 = r，X2 = r2， 则原方程变换为 s = a + b X 1 + c X2 c<0
(****)式也可看成是对（***）式施加如下约束而得
1 2 3 0
因此，对（****）式进行回归，就意味着原需 求函数满足零阶齐次性条件。
14
表 3.5.1
X X1 GP
中国城镇居民消费支出（元）及价格指数
FP XC (1990年 价 ) 646.1 659.1 672.2 690.4 772.6 826.6 899.4 1085.5 1262.5 1278.9 1344.1 1459.7 1694.7 2118.4 2474.3 2692.0 2775.5 2758.9 2723.0 2744.8 2764.0 Q (1990年 价 ) 318.3 325.0 337.0 350.5 408.4 437.8 490.3 613.8 702.2 693.8 731.3 809.5 943.1 1265.6 1564.3 1687.9 1689.6 1637.2 1566.8 1529.2 1539.9 P0 (1990=100) 70.7 71.5 75.3 81.0 87.1 96.7 98.3 101.7 95.9 100.0 108.2 114.5 124.6 134.6 143.0 145.6 150.8 157.0 169.5 182.1 192.1 P1 (1990=100) 132.1 132.9 137.7 146.7 86.1 95.7 96.5 92.4 94.0 100.0 107.0 109.3 112.2 112.4 112.9 112.8 115.0 117.7 123.3 128.1 130.8
6
(5)图形：如 Y AX
0
( 6 ) 应用 弹性分析，如： Y 1 2 ln X ln EYX d ln Y d ln X 2 dY dX 2
0
对照边际分析： Y 1 2 X ,
7
3、对数函数（X单ln)
(1) 模型： Y 1 2 ln X ( 2)线性化： Y 1 2 X * (3)估计： ( 4)图形：
无法线性化模型的一般形式为:
Y f ( X 1 , X 2 , , X k )
其中，f(x1,x2,…,Xk)为非线性函数。如：
Q AK L
12
二、非线性回归实例
例 建立中国城镇居民食品消费需求函数模型。
根据需求理论，居民对食品的消费需求函数大致为
Q f ( X , P1 , P0 )
接近。
意味着：所建立的食品需求函数满足零阶齐次性特征
17
(*)
Q:居民对食品的需求量，X：消费者的消费支出总额 P1：食品价格指数，P0：居民消费价格总指数。 零阶齐次性，当所有商品和消费者货币支出总额按同 一比例变动时，需求量保持不变
Q f ( X / P0 , P1 / P0 )
(**)
为了进行比较，将同时估计（*）式与（**）式。
13
首先,确定具体的函数形式
9
5、倒数函数
(1) X 倒数形式，如： Y 1 2 1 X
2 0
1
Leabharlann Baidu
1
2 0
10
( 2 )Y以倒数形式出现： 1 Y 1 2 X
1
1
1
1
1 0


1 2
1 0 2 0
2 0
1 2
11
并非所有的函数形式都可以线性化
X：人均消费 X1：人均食 品消费 GP：居民消 费价格指数 FP：居民食品 消费价格指数 XC：人均消 费（90年价） Q：人均食品 消费（90年价） P0：居民消费 价格缩减指数 （1990=100） P：居民食品 消费价格缩减 指数 （1990=100
15
(当 年 价 ) (当 年 价 ) (上 年 =100) (上 年 =100) 1981 1982 1983 1984 1985 1986 1987 1988 1989 1990 1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001 456.8 471.0 505.9 559.4 673.2 799.0 884.4 1104.0 1211.0 1278.9 1453.8 1671.7 2110.8 2851.3 3537.6 3919.5 4185.6 4331.6 4615.9 4998.0 5309.0 420.4 432.1 464.0 514.3 351.4 418.9 472.9 567.0 660.0 693.8 782.5 884.8 1058.2 1422.5 1766.0 1904.7 1942.6 1926.9 1932.1 1958.3 2014.0 102.5 102.0 102.0 102.7 111.9 107.0 108.8 120.7 116.3 101.3 105.1 108.6 116.1 125.0 116.8 108.8 103.1 99.4 98.7 100.8 100.7 102.7 102.1 103.7 104.0 116.5 107.2 112.0 125.2 114.4 98.8 105.4 110.7 116.5 134.2 123.6 107.9 100.1 96.9 95.7 97.6 100.7
5




2、双ln模型
(1) 模型： Y AX 2 2 X k k e u ( 2)线性化：ln Y ln A 2 ln X 2 k ln X k u 变量替换为： Y * 1 2 X 2 k X k* u
*


ˆ (3)估计： i i ˆ ˆ ˆ ˆ ( 4)回代：ln Y 1 2 ln X 2 k ln X k u
3
例如，Cobb-Dauglas生产函数：幂函数 Q = AKL Q：产出量，K：投入的资本；L：投入的劳动 方程两边取对数： ln Q = ln A + ln K + ln L
4
具体讨论： 1、多项式模型 (1) 模型： Y 1 2 X 3 X 2 ... k X k 1 (2)线性化： Y 1 2 X 2 ... k X k 令 X i X i 1 , i 2...k (3)估计：给定 Y,X, 可知 X 1 , X 2 ... X k , 估计 i (4)回代： Y 1 2 X ... k X k 1 (5)用途： a.成本函数 三次函数 b.时间趋势 Y 1 2 t ... k t k 1 u t