非线性专题-本构模型
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材料非线性
大多数金属 大多数 金属在低应变值时 金属 在低应变值时 都具有良好的线性应力/ 都具有良好的线性应力/应变关 系 ； 但是在高应变时材料发生 屈服， 屈服 ， 此时材料的响应成为了 非线性和不可恢复的。 非线性和不可恢复的。 橡胶材料是一种非线性 橡胶 材料是一种非线性、 材料是一种非线性 、 可恢复（ 可恢复（弹性） 弹性）响应的材料。 响应的材料。 材料的非线性也可能与应 变以外的其它因素有关。 变以外的其它因素有关 。 应变 率相关材料数据和材料失效都 是材料非线性的形式。 是材料非线性的形式 。 材料性 质也可以是温度和其它预先定 义的场变量的函数。 义的场变量的函数。
4 非线性有限元的分类 非线性有限元的分类
几何非线性
TSINGHUA UNIVERSITY 平衡条件
FL cosθ = M M = Kθ
约束刚度K 线性关系
θ → 0, cosθ → 1
K F= θ L
非线性关系
FL θ = K cosθ
刚性悬臂梁 值域
θ <π 2
4 非线性有限元的分类 非线性有限元的分类
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4 非线性有限元的分类
4 非线性有限元的分类 非线性有限元的分类
• 线性分析： 线性分析：外加载荷与系统的响应之间为线性关系。 外加载荷与系统的响应之间为线性关系。
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例如线性弹簧， 例如线性弹簧， 结构的柔度阵（ 结构的柔度阵 （ 将刚度阵集成并求 逆 ） 只需计算一次。 只需计算一次 。 通过将新的载荷向量乘以刚度 阵的逆， 阵的逆 ， 可得到结构对其它载荷情况的线性响应。 可得到结构对其它载荷情况的线性响应 。 此外， 此外 ， 结构对各种载荷情况的响应， 结构对各种载荷情况的响应 ， 可以用常数放 大和/ 大和/或相互叠加， 或相互叠加，以确定它对一种全新载荷情况的 响应， 响应 ， 所提供的新载荷情况是前面各种载荷的叠加 （ 或相乘）。 或相乘 ）。这种载荷的叠加原理假定所有的载荷 ）。 这种载荷的叠加原理假定所有的载荷 情况采用了相同的边界条件。 情况采用了相同的边界条件。
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板的刚度在变形时会产生剧烈的变化。 板的刚度在变形时会产生剧烈的变化。 当板突然翻 转时， 转时 ，刚度变负； 刚度变负；尽管位移量值相对于板的尺寸很小， 尽管位移量值相对于板的尺寸很小， 但是有明显的几何非线性， 但是有明显的几何非线性，必须在模拟中加以考虑。 必须在模拟中加以考虑。
CAE的发展概况与前景 CAE的发展概况与前景
2005年 2005年，LLNL装备的蓝色基因计算机的并行计算 LLNL装备的蓝色基因计算机的并行计算 峰值速度达到136.8 峰值速度达到136.8万亿次 136.8万亿次。 万亿次。美国完成了武器系统在 敌方辐射与爆炸冲击波环境下的仿真， 敌方辐射与爆炸冲击波环境下的仿真，以及武器系统 从库存到靶目标的多物理场动力学数值仿真， 从库存到靶目标的多物理场动力学数值仿真，计算规 模达数千万乃至上亿自由度。 模达数千万乃至上亿自由度。 1992年法国在进行了 1992年法国在进行了210 年法国在进行了210次核试验之后 210次核试验之后， 次核试验之后，宣布其 核武器更新将依靠数值仿真计划来实现， 核武器更新将依靠数值仿真计划来实现，该项目15 该项目15年 15年 总投资210 总投资210亿欧元 210亿欧元， 亿欧元，这标志着发达国家在复杂武器工 程分析方面已经进入了大规模并行计算时代。 程分析方面已经进入了大规模并行计算时代。
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4 非线性有限元的分类 非线性有限元的分类
• 由于刚度依赖于位移， 由于刚度依赖于位移，所以不能再用初始柔度乘 以外加载荷的方法来计算任意载荷时弹簧的位移。 以外加载荷的方法来计算任意载荷时弹簧的位移。 在非线性隐式分析中， 在非线性ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ式分析中，结构的刚度阵在整个分析 过程中必须进行许多次的生成和求逆， 过程中必须进行许多次的生成和求逆，分析求解 的成本比线性隐式分析昂贵得多。 的成本比线性隐式分析昂贵得多 。 在显式分析 中，非线性分析增加的成本是由于稳定时间增量 减小而造成的。 减小而造成的。 • 非线性系统的响应不是所施加载荷的线性函数， 非线性系统的响应不是所施加载荷的线性函数， 因此不能通过叠加来获得不同载荷情况的解答。 因此不能通过叠加来获得不同载荷情况的解答。 每种载荷情况都必须作为独立的分析进行定义和 求解。 求解。
参考文献 [1] ASC program plan FY05, NNSA, USA, 2002-2003 [2] 法国原子能委员会《挑战》，2003年6～8月刊
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CAE的发展概况与前景 CAE的发展概况与前景
美国战略武器储存和管理的 挑战是确保突发事件时的攻击力 量。随着美国千枚核弹头的预期 寿命将至， 寿命将至，其可靠性和安全性问 其可靠性和安全性问 题也随之暴露。 题也随之暴露 。 由 IBM公司和洛 IBM 公司和洛 斯 . 阿拉莫斯国家实验室研制出 阿拉莫斯国家实验室 研制出 每秒 1000 万亿次的超级计算机 “走鹃”，价值1.33亿美元， 亿美元，它能 精确模拟核弹头爆炸的情况。 精确模拟核弹头爆炸的情况。 “ 走鹃 ” 一天的工作量＝ 一天的工作量 ＝ 60 亿台笔记本电脑每天24小时连续 工作 46 年 。 包括 1.296 万个微处 理器， 理器，11.664万个芯片。 万个芯片。目标直 逼每秒百亿亿次速度。 逼每秒百亿亿次速度。 －－《 －－《纽约时报》 纽约时报》2008.06.09
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4 非线性有限元的分类 非线性有限元的分类
几何非线性
几何非线性发生在位移大小 影响到结构响应的情况。 影响到结构响应的情况。由于： 由于： 大挠度或大转动； 大挠度或大转动； “突然翻转”（Snap through）； through）； 初应力或载荷刚性化。 初应力或载荷刚性化。 如果端部的挠度较小， 如果端部的挠度较小，可以认为是近似的线性分析。 可以认为是近似的线性分析。 然而， 然而，如果端部的挠度较大， 如果端部的挠度较大，结构的形状乃至其刚度都 会发生改变。 会发生改变。另外， 另外，如果载荷不能保持与梁轴垂直， 如果载荷不能保持与梁轴垂直，载 荷对结构的作用也将发生明显的改变。 荷对结构的作用也将发生明显的改变 。 当悬臂梁挠曲 时，载荷的作用可以分解为一个垂直于梁的分量和一个 沿梁长度方向的分量。 沿梁长度方向的分量。这两种效应都会对悬臂梁的非线 性响应产生贡献（ 性响应产生贡献（即，随着梁承受载荷的增加， 随着梁承受载荷的增加，梁的刚 度发生变化）。 度发生变化）。
4 非线性有限元的分类 非线性有限元的分类
• 非线性分析： 非线性分析 ： 非线性结构问题是指结构的刚度
随其变形而改变。 随其变形而改变 。 所有的物理结果均是非线性的。 所有的物理结果均是非线性的 。 线性分析只是一种近似， 线性分析只是一种近似 ， 它对设计来说通常已经 足够了。 足够了 。 但是， 但是 ， 对于许多结构包括加工过程的模 拟 （ 诸如锻造或者冲压）、 诸如锻造或者冲压 ）、碰撞分析以及橡胶部 ）、 碰撞分析以及橡胶部 件的分析（ 件的分析 （ 诸如轮胎或者发动机支座）， 诸如轮胎或者发动机支座 ），线性分 ）， 线性分 析是不够的。 析是不够的 。 一个简单例子就是具有非线性刚度 响应的弹簧。 响应的弹簧。
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CAE的发展概况与前景 CAE的发展概况与前景
国内外高性能计算对比分析
目前我国与美国研究领域先进的数值仿真相 比，在计算机硬件设备和软件开发能力， 在计算机硬件设备和软件开发能力，以及基础 研究等方面存在的主要差距有以下几点： 研究等方面存在的主要差距有以下几点：
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4 非线性有限元的分类 非线性有限元的分类
不难理解大挠度和大转动对结构承载的方式会产生 显著的影响。 显著的影响 。 然而， 然而 ， 并不一定位移相对于结构尺寸很大 时 ， 几何非线性才显得重要。 几何非线性才显得重要 。 考虑一块很大的具有小曲 率的板在所受压力下的“突然翻转”。
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4 非线性有限元的分类 非线性有限元的分类
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非线性的来源： 非线性的来源： 在结构的力学模拟中有三种： 在结构的力学模拟中有三种： 材料非线性 边界非线性（ 边界非线性（接触） 接触） 几何非线性
4 非线性有限元的分类 非线性有限元的分类
非线性关系
4 非线性有限元的分类 非线性有限元的分类
非线性分析包含下列步骤： 非线性分析包含下列步骤： • 建立模型－ 建立模型－Pre-process • 基本方程的公式 • 离散方程 • 求解方法 • 表述结果－ 表述结果－Post-process
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（1）硬件与软件环境
在硬件方面， 在硬件方面， 美国国家实验室装备了峰值速度 为136.8万亿次计算机 136.8万亿次计算机， 万亿次计算机，用于结构分析的计算机浮点 运算速度， 运算速度，我国与美国相差2 我国与美国相差2～3个数量级。 个数量级。在软件 方面， 方面，美国可以同时利用数千个CPU 美国可以同时利用数千个CPU开展并行计算 CPU开展并行计算， 开展并行计算， 而我国在结构分析方面有效使用的CPU 而我国在结构分析方面有效使用的CPU并行应用数量 CPU并行应用数量 比美国低1 比美国低1～2个数量级， 个数量级，在并行计算效率方面严重 依赖于国外商用软件。 依赖于国外商用软件。
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边界非线性
如果边界条件在分析过程中发生变化， 如果边界条件在分析过程中发生变化 ， 就会产生 边界非线性问题。 边界非线性问题。悬臂梁随着施加的载荷产生挠曲。 悬臂梁随着施加的载荷产生挠曲。 梁端点在接触到障碍物以前， 梁端点在接触到障碍物以前 ， 其竖向挠度与载荷 成线性关系（ 成线性关系 （ 如果挠度是小量）。 如果挠度是小量 ）。当碰到障碍物时梁 ）。 当碰到障碍物时梁 端点的边界条件发生了突然的变化， 端点的边界条件发生了突然的变化 ， 阻止了任何进一 步的竖向挠度， 步的竖向挠度 ， 因此梁的响应将不再是线性的。 因此梁的响应将不再是线性的 。 边界 非线性是极度的不连续； 接触 时 ， 结 非线性是极度的不连续 ； 当在模拟中发生接触 当在模拟中发生 接触时 构中的响应在瞬时会发生很大的变化。 构中的响应在瞬时会发生很大的变化。 另一个边界非线性的例子是将板材材料冲压入模 具的过程。 具的过程 。 在与模具接触前， 在与模具接触前 ， 板材在压力下比较容易 发生伸展变形。 发生伸展变形 。 在与模具接触后， 在与模具接触后 ， 由于边界条件的改 变，必须增加压力才能使板材继续成型。 必须增加压力才能使板材继续成型。
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4 非线性有限元的分类 非线性有限元的分类
非线性分析包含几个重要主题： 非线性分析包含几个重要主题： • 选择近似的方法 选择近似的方法（ （如Newton-Raphson） • 选择合适的网格描述， 选择合适的网格描述，动力学和运动学的描述 • 检验结果和求解过程的稳定性（ 检验结果和求解过程的稳定性（物理和数值） 物理和数值） • 认识模型的平滑响应和隐含的求解质量和困难 • 判断假设的作用和误差的来源
几何非线性
TSINGHUA UNIVERSITY 平衡条件
PL sinθ = M
约束刚度K
M = Kθ
线性关系
θ → 小, sinθ → θ ( K − PL)θ = 0
PL θ = K sinθ PL > 1 3个解答 K
刚性悬臂柱 θ = 0, sin θ = 0, M = 0, 平凡解
有限元分析： 有限元分析：Buckling 特征值(eigenvalues)－弹性临界(屈曲)载荷 特征向量(eigenvectors)－屈曲模态
非线性有限元基本解决方案： 非线性有限元基本解决方案： 材料非线性－ 材料非线性－ Newton-Raphson迭代(隐式)， 中心差分， 中心差分，R-K（显式） 显式） 边界非线性－ 边界非线性－接触 (约束， 约束，连接， 连接，摩擦， 摩擦，滑移） 滑移） Lagrange乘子， 乘子，罚函数 几何非线性－ 几何非线性－考虑Jaumann率的大变形算法， 率的大变形算法， 弧长法（ 弧长法（Riks）
大多数金属 大多数 金属在低应变值时 金属 在低应变值时 都具有良好的线性应力/ 都具有良好的线性应力/应变关 系 ； 但是在高应变时材料发生 屈服， 屈服 ， 此时材料的响应成为了 非线性和不可恢复的。 非线性和不可恢复的。 橡胶材料是一种非线性 橡胶 材料是一种非线性、 材料是一种非线性 、 可恢复（ 可恢复（弹性） 弹性）响应的材料。 响应的材料。 材料的非线性也可能与应 变以外的其它因素有关。 变以外的其它因素有关 。 应变 率相关材料数据和材料失效都 是材料非线性的形式。 是材料非线性的形式 。 材料性 质也可以是温度和其它预先定 义的场变量的函数。 义的场变量的函数。
4 非线性有限元的分类 非线性有限元的分类
几何非线性
TSINGHUA UNIVERSITY 平衡条件
FL cosθ = M M = Kθ
约束刚度K 线性关系
θ → 0, cosθ → 1
K F= θ L
非线性关系
FL θ = K cosθ
刚性悬臂梁 值域
θ <π 2
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4 非线性有限元的分类
4 非线性有限元的分类 非线性有限元的分类
• 线性分析： 线性分析：外加载荷与系统的响应之间为线性关系。 外加载荷与系统的响应之间为线性关系。
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例如线性弹簧， 例如线性弹簧， 结构的柔度阵（ 结构的柔度阵 （ 将刚度阵集成并求 逆 ） 只需计算一次。 只需计算一次 。 通过将新的载荷向量乘以刚度 阵的逆， 阵的逆 ， 可得到结构对其它载荷情况的线性响应。 可得到结构对其它载荷情况的线性响应 。 此外， 此外 ， 结构对各种载荷情况的响应， 结构对各种载荷情况的响应 ， 可以用常数放 大和/ 大和/或相互叠加， 或相互叠加，以确定它对一种全新载荷情况的 响应， 响应 ， 所提供的新载荷情况是前面各种载荷的叠加 （ 或相乘）。 或相乘 ）。这种载荷的叠加原理假定所有的载荷 ）。 这种载荷的叠加原理假定所有的载荷 情况采用了相同的边界条件。 情况采用了相同的边界条件。
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板的刚度在变形时会产生剧烈的变化。 板的刚度在变形时会产生剧烈的变化。 当板突然翻 转时， 转时 ，刚度变负； 刚度变负；尽管位移量值相对于板的尺寸很小， 尽管位移量值相对于板的尺寸很小， 但是有明显的几何非线性， 但是有明显的几何非线性，必须在模拟中加以考虑。 必须在模拟中加以考虑。
CAE的发展概况与前景 CAE的发展概况与前景
2005年 2005年，LLNL装备的蓝色基因计算机的并行计算 LLNL装备的蓝色基因计算机的并行计算 峰值速度达到136.8 峰值速度达到136.8万亿次 136.8万亿次。 万亿次。美国完成了武器系统在 敌方辐射与爆炸冲击波环境下的仿真， 敌方辐射与爆炸冲击波环境下的仿真，以及武器系统 从库存到靶目标的多物理场动力学数值仿真， 从库存到靶目标的多物理场动力学数值仿真，计算规 模达数千万乃至上亿自由度。 模达数千万乃至上亿自由度。 1992年法国在进行了 1992年法国在进行了210 年法国在进行了210次核试验之后 210次核试验之后， 次核试验之后，宣布其 核武器更新将依靠数值仿真计划来实现， 核武器更新将依靠数值仿真计划来实现，该项目15 该项目15年 15年 总投资210 总投资210亿欧元 210亿欧元， 亿欧元，这标志着发达国家在复杂武器工 程分析方面已经进入了大规模并行计算时代。 程分析方面已经进入了大规模并行计算时代。
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4 非线性有限元的分类 非线性有限元的分类
• 由于刚度依赖于位移， 由于刚度依赖于位移，所以不能再用初始柔度乘 以外加载荷的方法来计算任意载荷时弹簧的位移。 以外加载荷的方法来计算任意载荷时弹簧的位移。 在非线性隐式分析中， 在非线性ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ式分析中，结构的刚度阵在整个分析 过程中必须进行许多次的生成和求逆， 过程中必须进行许多次的生成和求逆，分析求解 的成本比线性隐式分析昂贵得多。 的成本比线性隐式分析昂贵得多 。 在显式分析 中，非线性分析增加的成本是由于稳定时间增量 减小而造成的。 减小而造成的。 • 非线性系统的响应不是所施加载荷的线性函数， 非线性系统的响应不是所施加载荷的线性函数， 因此不能通过叠加来获得不同载荷情况的解答。 因此不能通过叠加来获得不同载荷情况的解答。 每种载荷情况都必须作为独立的分析进行定义和 求解。 求解。
参考文献 [1] ASC program plan FY05, NNSA, USA, 2002-2003 [2] 法国原子能委员会《挑战》，2003年6～8月刊
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CAE的发展概况与前景 CAE的发展概况与前景
美国战略武器储存和管理的 挑战是确保突发事件时的攻击力 量。随着美国千枚核弹头的预期 寿命将至， 寿命将至，其可靠性和安全性问 其可靠性和安全性问 题也随之暴露。 题也随之暴露 。 由 IBM公司和洛 IBM 公司和洛 斯 . 阿拉莫斯国家实验室研制出 阿拉莫斯国家实验室 研制出 每秒 1000 万亿次的超级计算机 “走鹃”，价值1.33亿美元， 亿美元，它能 精确模拟核弹头爆炸的情况。 精确模拟核弹头爆炸的情况。 “ 走鹃 ” 一天的工作量＝ 一天的工作量 ＝ 60 亿台笔记本电脑每天24小时连续 工作 46 年 。 包括 1.296 万个微处 理器， 理器，11.664万个芯片。 万个芯片。目标直 逼每秒百亿亿次速度。 逼每秒百亿亿次速度。 －－《 －－《纽约时报》 纽约时报》2008.06.09
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4 非线性有限元的分类 非线性有限元的分类
几何非线性
几何非线性发生在位移大小 影响到结构响应的情况。 影响到结构响应的情况。由于： 由于： 大挠度或大转动； 大挠度或大转动； “突然翻转”（Snap through）； through）； 初应力或载荷刚性化。 初应力或载荷刚性化。 如果端部的挠度较小， 如果端部的挠度较小，可以认为是近似的线性分析。 可以认为是近似的线性分析。 然而， 然而，如果端部的挠度较大， 如果端部的挠度较大，结构的形状乃至其刚度都 会发生改变。 会发生改变。另外， 另外，如果载荷不能保持与梁轴垂直， 如果载荷不能保持与梁轴垂直，载 荷对结构的作用也将发生明显的改变。 荷对结构的作用也将发生明显的改变 。 当悬臂梁挠曲 时，载荷的作用可以分解为一个垂直于梁的分量和一个 沿梁长度方向的分量。 沿梁长度方向的分量。这两种效应都会对悬臂梁的非线 性响应产生贡献（ 性响应产生贡献（即，随着梁承受载荷的增加， 随着梁承受载荷的增加，梁的刚 度发生变化）。 度发生变化）。
4 非线性有限元的分类 非线性有限元的分类
• 非线性分析： 非线性分析 ： 非线性结构问题是指结构的刚度
随其变形而改变。 随其变形而改变 。 所有的物理结果均是非线性的。 所有的物理结果均是非线性的 。 线性分析只是一种近似， 线性分析只是一种近似 ， 它对设计来说通常已经 足够了。 足够了 。 但是， 但是 ， 对于许多结构包括加工过程的模 拟 （ 诸如锻造或者冲压）、 诸如锻造或者冲压 ）、碰撞分析以及橡胶部 ）、 碰撞分析以及橡胶部 件的分析（ 件的分析 （ 诸如轮胎或者发动机支座）， 诸如轮胎或者发动机支座 ），线性分 ）， 线性分 析是不够的。 析是不够的 。 一个简单例子就是具有非线性刚度 响应的弹簧。 响应的弹簧。
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CAE的发展概况与前景 CAE的发展概况与前景
国内外高性能计算对比分析
目前我国与美国研究领域先进的数值仿真相 比，在计算机硬件设备和软件开发能力， 在计算机硬件设备和软件开发能力，以及基础 研究等方面存在的主要差距有以下几点： 研究等方面存在的主要差距有以下几点：
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4 非线性有限元的分类 非线性有限元的分类
不难理解大挠度和大转动对结构承载的方式会产生 显著的影响。 显著的影响 。 然而， 然而 ， 并不一定位移相对于结构尺寸很大 时 ， 几何非线性才显得重要。 几何非线性才显得重要 。 考虑一块很大的具有小曲 率的板在所受压力下的“突然翻转”。
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4 非线性有限元的分类 非线性有限元的分类
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非线性的来源： 非线性的来源： 在结构的力学模拟中有三种： 在结构的力学模拟中有三种： 材料非线性 边界非线性（ 边界非线性（接触） 接触） 几何非线性
4 非线性有限元的分类 非线性有限元的分类
非线性关系
4 非线性有限元的分类 非线性有限元的分类
非线性分析包含下列步骤： 非线性分析包含下列步骤： • 建立模型－ 建立模型－Pre-process • 基本方程的公式 • 离散方程 • 求解方法 • 表述结果－ 表述结果－Post-process
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4 非线性有限元的分类 非线性有限元的分类
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（1）硬件与软件环境
在硬件方面， 在硬件方面， 美国国家实验室装备了峰值速度 为136.8万亿次计算机 136.8万亿次计算机， 万亿次计算机，用于结构分析的计算机浮点 运算速度， 运算速度，我国与美国相差2 我国与美国相差2～3个数量级。 个数量级。在软件 方面， 方面，美国可以同时利用数千个CPU 美国可以同时利用数千个CPU开展并行计算 CPU开展并行计算， 开展并行计算， 而我国在结构分析方面有效使用的CPU 而我国在结构分析方面有效使用的CPU并行应用数量 CPU并行应用数量 比美国低1 比美国低1～2个数量级， 个数量级，在并行计算效率方面严重 依赖于国外商用软件。 依赖于国外商用软件。
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4 非线性有限元的分类 非线性有限元的分类
边界非线性
如果边界条件在分析过程中发生变化， 如果边界条件在分析过程中发生变化 ， 就会产生 边界非线性问题。 边界非线性问题。悬臂梁随着施加的载荷产生挠曲。 悬臂梁随着施加的载荷产生挠曲。 梁端点在接触到障碍物以前， 梁端点在接触到障碍物以前 ， 其竖向挠度与载荷 成线性关系（ 成线性关系 （ 如果挠度是小量）。 如果挠度是小量 ）。当碰到障碍物时梁 ）。 当碰到障碍物时梁 端点的边界条件发生了突然的变化， 端点的边界条件发生了突然的变化 ， 阻止了任何进一 步的竖向挠度， 步的竖向挠度 ， 因此梁的响应将不再是线性的。 因此梁的响应将不再是线性的 。 边界 非线性是极度的不连续； 接触 时 ， 结 非线性是极度的不连续 ； 当在模拟中发生接触 当在模拟中发生 接触时 构中的响应在瞬时会发生很大的变化。 构中的响应在瞬时会发生很大的变化。 另一个边界非线性的例子是将板材材料冲压入模 具的过程。 具的过程 。 在与模具接触前， 在与模具接触前 ， 板材在压力下比较容易 发生伸展变形。 发生伸展变形 。 在与模具接触后， 在与模具接触后 ， 由于边界条件的改 变，必须增加压力才能使板材继续成型。 必须增加压力才能使板材继续成型。
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4 非线性有限元的分类 非线性有限元的分类
非线性分析包含几个重要主题： 非线性分析包含几个重要主题： • 选择近似的方法 选择近似的方法（ （如Newton-Raphson） • 选择合适的网格描述， 选择合适的网格描述，动力学和运动学的描述 • 检验结果和求解过程的稳定性（ 检验结果和求解过程的稳定性（物理和数值） 物理和数值） • 认识模型的平滑响应和隐含的求解质量和困难 • 判断假设的作用和误差的来源
几何非线性
TSINGHUA UNIVERSITY 平衡条件
PL sinθ = M
约束刚度K
M = Kθ
线性关系
θ → 小, sinθ → θ ( K − PL)θ = 0
PL θ = K sinθ PL > 1 3个解答 K
刚性悬臂柱 θ = 0, sin θ = 0, M = 0, 平凡解
有限元分析： 有限元分析：Buckling 特征值(eigenvalues)－弹性临界(屈曲)载荷 特征向量(eigenvectors)－屈曲模态
非线性有限元基本解决方案： 非线性有限元基本解决方案： 材料非线性－ 材料非线性－ Newton-Raphson迭代(隐式)， 中心差分， 中心差分，R-K（显式） 显式） 边界非线性－ 边界非线性－接触 (约束， 约束，连接， 连接，摩擦， 摩擦，滑移） 滑移） Lagrange乘子， 乘子，罚函数 几何非线性－ 几何非线性－考虑Jaumann率的大变形算法， 率的大变形算法， 弧长法（ 弧长法（Riks）