n81[1]3全微分
全微分的定义及计算
Ax o ( x )
z xz lim A x x 0 x z B , 因此有 同样可证 y
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注意: 定理1 的逆定理不成立 . 即:
偏导数存在函数 不一定可微 ! xy 2 2 , x y 0 2 2 x y 反例: 函数 f ( x, y ) 2 2 0, x y 0
z A x B y o( ) ,
其中 A , B 不依赖于 x , y , 仅与 x , y 有关， 则称函数
f ( x, y ) 在点( x, y) 可微， A Δ x B Δ y 称为函数 f ( x, y ) 在点 (x, y) 的全微分, 记作
d z Ax B y
z f x ( x, y ) x f y ( x, y ) y o( )
所以函数 在点 可微.
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推广: 类似可讨论三元及三元以上函数的可微性问题 .
例如, 三元函数 u f ( x, y, z ) 的全微分为 u u u d u x y z x y z 习惯上把自变量的增量用微分表示, 于是
P69 :1(2),(4),(8); 5；6（3）；7.
第四节 目录
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若函数在域 D 内各点都可微, 则称此函数在D 内可微.
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当函数可微时 : lim z lim ( A x B y ) o ( ) 0
x 0 y 0
0
得
x 0 y 0
lim f ( x x, y y ) f ( x, y )
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常微分方程 第五讲：全微分方程
x y
cos(t)
.
/ cot(t)
d y cos(t)d t,
从而 y sin t C .
故得原方程参数形式的解
x
y
cos(t) sin (t)d t C
.
(t为参数)
西 南
上式消去参数得通积分 x 2 (y C )2 1.
科
技
大
学
理
学
院
32
例2： 求方程x3 y '3 3xy ' 0的通解.
若方程（1）不含 x，即 F( y, y/ ) 0, 则完全类似求解。
例3：解方程y - ( y ')5 - ( y ')3 y ' 5 0.
u M 2x(1 x2 - y ), (*) x
u N x2 - y. (**) y 先就（*）两端对x积分（视y为常数）有
西
u(x, y) 2x(1 x2 - y )dx ( y)
南
科 技 大
x2
2
(x2
3
y)2
(
y).
学
3
理
学
院
7
再利用（**）（视x为常数）有
1
(x2 y)2 '( y) x2 y , 即 '( y) 0， 于是 ( y) C.
则称（1）为全微分方程或恰当方程，u (x ,y )
称为（1）的一个原函数。
例如
xdx ydy 0,
u (x ,y )
1 (x 2
2
y 2 ),
西
南 科
使得d u (x ,y ) xd x yd y , 是全微分方程，
技
大 学 理
u (x ,y ) 是方程的一个原函数。
全微分
有些同学以为：由于 d z f x( x, y ) dx f y( x, y ) dy ,
所以当 f ( x, y ) 可偏导时，f ( x, y ) 一定可微。
这是错误的！
2013-8-21
定理2(可微的充分必要条件) 如果函数 z f ( x, y )
在点 ( x, y ) 处可偏导，则 f ( x, y ) 在点 ( x, y ) 处可微的 充分必要条件为
x y 0,
2
2
, x y 0
2 2
x y 0
2 2
解： f ( x, 0) f ( 0, y ) 0, 故 f x(0, 0) f y(0, 0) 0 ,
x 0 y 0
lim
z f x(0, 0)x f y(0, 0)y (x) (y )
由全微分定义
z f x( x, y ) x f y( x, y ) y o( )
dz
可知当
即
及
较小时, 有近似等式:
z d z f x( x, y ) x f y( x, y ) y
f ( x x, y y ) f ( x, y ) f x( x, y ) x f y( x, y ) y
2013-8-21
二、函数可微的必要条件和充分条件
定理1(可微的必要条件) 如果函数 z f ( x, y ) 在点
( x, y ) 处可微，则
⑴ f ( x, y )在点 ( x, y ) 处连续； ⑵ f ( x, y )在点 ( x, y ) 处可偏导；且
A f x( x, y ), B f y( x, y ),
规定： dx x, dy y , 则
全微分基本公式
全微分基本公式全微分基本公式是微积分中的重要概念，它用于描述函数的局部变化。
全微分基本公式基于一阶偏导数的概念，通过对函数的每个自变量求偏导数，得到该函数的全微分。
在本文中，我们将介绍全微分的基本公式以及它的应用。
全微分基本公式的表达式是dF = ∂F/∂x dx + ∂F/∂y dy + ∂F/∂z dz，其中dF表示函数F的全微分，∂F/∂x、∂F/∂y、∂F/∂z分别是函数F 对自变量x、y、z的偏导数，dx、dy、dz则分别表示自变量x、y、z的微小增量。
全微分基本公式的含义是，一个函数在某一点上的微小增量可以由所有自变量的偏导数和微小增量的乘积的和来表示。
在函数的全微分中，各个自变量的微小增量dx、dy、dz可以表示函数在相应自变量上的局部变化。
这意味着，通过将函数的局部变化分解为各个自变量的局部变化，并乘以相应的偏导数，我们可以对函数的整体变化有一个更详细的了解。
全微分基本公式的一个重要应用是估计函数的近似变化。
通过将函数的全微分与各个自变量的微小增量相乘，我们可以得到函数变化的近似量。
这在实际问题中经常被使用，特别是在工程和自然科学领域。
另一个重要的应用是在多元函数的最值问题中。
通过研究函数的全微分，我们可以找到函数取得最大值或最小值的条件。
这是因为，在最值点上，函数的微小增量应该接近于零，即dF ≈ 0。
通过求解这个方程组，我们可以得到最值点的坐标。
全微分基本公式还有其他一些重要的性质。
例如，全微分具有可加性，即如果函数F可以表示为多个函数的和，那么它的全微分也可以表示为这些函数的全微分的和。
这个性质可以简化函数的微分计算，并使得我们能够更方便地研究函数的性质。
总结起来，全微分基本公式是微积分中的重要概念，用于描述函数的局部变化。
它通过求函数对每个自变量的偏导数，并将其与自变量的微小增量相乘，得到函数的全微分。
全微分基本公式具有估计函数近似变化和求解函数最值问题的应用，并具有可加性等重要性质。
高等数学：第六讲 全微分
若函数在区域 D 内yy0各点都可微，则称此函数在D 内可微.
01 全微分的定义
由可微定义可知
因此
lim Δz lim[(AΔx BΔy) o(ρ)] 0
Δx0
Δx0
Δy0
Δy0
lim
Δx0
f
( x0
Δx, y0
A fx(x0 , y0 ) B f y(x0 , y0 )
02 全微分的性质
性质2 （全微分存在的充分条件）
如果函数 z f (x, y) 在点P(x, y)处的两个偏导数 fx(x, y)、f y(x, y) 为连续函数，那么 z f (x, y) 在点 P(x, y) 处可微，且
dz
量与全微分. 解 由定义知全增量为
Δz f (x0 Δx, y0 Δy) f (x0, y0 )
z z
dz
x x0 y y0
Δx Δy. x y
Δz (2 0.02)2 (1 0.01)2 22 (1)2 0.1624
z 2xy2 z 2x2 y
x
y
z x
x2 4
y 1
Δy)
f (x0,
y0 )
Δy0
即 函数 z f (x, y) 在点(x0, y0 )可微
函数在该点连续.
连续是可微的必要条件， 或者说不连续必不可微.
02 全微分的性质
性质1 （全微分存在的必要条件）
设函数 z f (x, y) 在点 (x0, y0 ) 可微，则该函数在此点
的两个偏导数 fx(x0, y0 )、f y(x0, y0 ) 必存在，且有
内容小结
全微分与链式法则
xy
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例5. 设
f 具有二阶连续偏导数,
求
w. x
w , f1 , f2
解: 令 u x y z , v xyz , 则
uv
w f (u, v)
w x
f2 yz
x y zx y z
y z f2 (x y z, xyz)
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8.3.3 一个方程所确定的隐函数及其导数
定理1. 设函数
在点
的某一邻域内满足
① 具有连续的偏导数;
则方程
② F(x0 , y0 ) 0; ③Fy (x0 , y0 ) 0,
的某邻域内可唯一确定一个
单值连续函数 y = f (x) , 满足条件
并有连续
导数
dy Fx (隐函数求导公式) dx Fy
由微分定义 :
lim z lim (Ax By ) o ( ) 0
x0
0
y0
得 lim f (x x, y y) f (x, y)
x0 y0
即 函数zz = ff(x(,xy) 在点x, y(x, y)y可) 微f (函x,数y)在该点连续
下面两个定理给出了可微与偏导数的关系:
(1) 函数可微
第八章
8.3.1、全微分 8.3.2、链式法则
8.3.1、全微分
一元函数 y = f (x) 的微分
y f (x x) f (x) Ax o(x) 常数A与△x 无关,仅与x 有关
f (x)x dy 对 z f (x, y)
关于△x 的高阶无穷小
f (x x, y) f (x, y) fx (x, y)x
§8.3全微分
有关, 则称函数z=f(x, y)在点(x, y)可微分(简称可微),
称Ax+By为函数z=f(x, y)在点(x, y)的全微分, 记为dz,
即
dz = Ax + By
函数z=f(x, y)若在某区域D内各点处处可微分, 则 称函数z=f(x, y)在D内可微分.
22
dx (1 cos y ze yz )dy ye yzdz. 22
例3: 试证函数
f
(
x,
y)
xysin
1 x2 y2
( x, y) (0,0)
0
( x, y) (0,0)
在点(0, 0)处连续且偏导数存在, 但偏导数在点(0, 0)处
不连续, 而函数 f(x, y)在点(0, 0)处可微.
=[ f(x+x, y+y) – f(x, y+y)]
+[ f(x, y+y) – f(x, y)]
对第一个方括号内的表达式在以 x 和 x+x 为端
点构成的区间内应用拉格朗日中值定理(此时将y+y
视为常量), 得
f(x+x, y+y) – f(x, y+y)
= fx(x+1x, y+y)x ( 0<1<1 ) = fx(x, y)x + 1x (依偏导数的连续性) 其中, 1为x→0, y→0时的无穷小量. 同理, f(x, y+y) – f(x, y)
所求全微分为: dz e2dx 2e2dy.
例2: 计算函数 u x sin y e yz 的全微分.
全微分定义公式范文
全微分定义公式范文全微分是微分学中的一个概念，它可以理解为函数在其中一点处的微小变化与自变量的微小变化之间的关系。
全微分的定义公式如下：设函数f(x,y)在点(x0,y0)处可导，则函数f(x,y)在点(x0,y0)处的全微分df(x0,y0)定义为：df(x0,y0) = fx(x0,y0)dx + fy(x0,y0)dy其中，fx(x0,y0)表示函数f(x,y)对自变量x的偏导数，fy(x0,y0)表示函数f(x,y)对自变量y的偏导数，dx和dy分别表示自变量x和y的微小变化量。
在全微分中，dx和dy被称为自变量的微分量，它们是独立的，即dx 和dy之间没有直接的关系。
全微分df(x0,y0)表示函数f(x,y)在点(x0,y0)处对自变量x和y的微小变化的累加效果。
全微分的定义公式可以用几何语言来解释。
在二维平面上，我们可以将自变量x和y看作是平面上的两个坐标轴，函数f(x,y)则表示平面上的一个曲面。
在点(x0,y0)处的切平面上，存在与切平面相切的线性逼近面，这个线性逼近面的方程可以用全微分来计算。
具体地，对于切平面上的任意一点(x0+dx, y0+dy)，函数f(x,y)的值可以近似地表示为：f(x0+dx, y0+dy) ≈ f(x0,y0) + df(x0,y0)而当dx和dy足够小时，df(x0,y0)可以近似地表示为全微分df(x0,y0)。
因此，函数f(x,y)在点(x0,y0)处的切平面方程可以近似地表示为：z = f(x0,y0) + df(x0,y0)这个线性逼近面可以用全微分来描述函数在该点处的局部变化情况。
总结起来，全微分的定义公式是df(x0,y0) = fx(x0,y0)dx + fy(x0,y0)dy，它表示了函数f(x,y)在点(x0,y0)处对自变量x和y的微小变化的累加效果。
全微分的几何解释是函数在该点处的切平面的线性逼近面方程。
全微分在微积分和物理学等学科中有着广泛的应用，可以用于描述函数的局部变化、函数的一阶线性逼近、多元函数的导数等问题。
简述全微分的定义
简述全微分的定义全微分是微积分中一个重要的概念，它用于描述函数在某一点的局部变化情况。
全微分的定义可以简述为：在数学中，函数的全微分是指函数在某一点附近的微小变化量与自变量的微小变化量之间的线性关系。
全微分的定义可以通过以下方式进行描述：设函数f(x,y)在点(x₀,y₀)处可微分，那么函数在该点处的全微分df可以表示为：df = ∂f/∂x * dx + ∂f/∂y * dy其中，∂f/∂x和∂f/∂y分别为函数f(x,y)对自变量x和y的偏导数，dx和dy分别为自变量x和y的微小变化量。
全微分的定义可以理解为，当自变量x和y发生微小变化dx和dy 时，函数f(x,y)的取值也会发生微小变化df。
全微分df可以看作是函数f(x,y)对自变量x和y的微小变化量的线性近似。
全微分的概念在实际应用中具有重要意义。
它可以用于描述函数在某一点的局部变化情况，从而帮助我们理解函数的性质和特点。
通过计算全微分，我们可以得到函数在某一点处的斜率，进而判断函数在该点的增减性和凹凸性。
全微分在物理学、经济学等领域中也有广泛的应用。
例如在物理学中，全微分可用于描述物体在某一点处的位移和力的关系，从而帮助我们理解物体的运动规律。
在经济学中，全微分可用于描述经济变量之间的相互关系，从而帮助我们分析经济现象和制定经济政策。
全微分是微积分中一个重要的概念，它用于描述函数在某一点的局部变化情况。
全微分的定义可以简述为函数在某一点附近的微小变化量与自变量的微小变化量之间的线性关系。
全微分的概念在理论和应用中都具有重要意义，它帮助我们理解函数的性质和特点，以及分析和解决实际问题。
通过深入理解和应用全微分的概念，我们可以更好地掌握微积分的基本原理和方法，为相关学科的研究和应用提供有力支持。
全微分方程的解法
中连续且有连续的一阶偏导数，则 是全微分方程
证明：（1）证明必要性 因为
是全微分方程，
则存在原函数 (x,，y)使得
d(x, y) P(x, y)dx Q(x, y)dy
所以 P(x, y), Q(x, y)
x
y
将以上二式分别对 x, y 求偏导数，得到
2 P , 2 Q xy y yx x
x
y
x
由第一个等式，应有 (x, y) P(x, y)dx (y) x0
代入第二个等式，应有
x P(x, y) dx (y)
y x0 y
x Q(x, y) dx (y)
x0 x
x Q(x, y) dx (y)
x0 x
这里由于 P Q ，故曲线积分与路径无关。因此 y x
(x,y)
(x, y) P(x, y)dx Q(x, y)dy ( x0 , y0 )
二、全微分方程的解法
(1) 线积分法:
x
y
(x, y)
P(x, y)dx
x0
y0 Q(x0, y)dy
(x,y)
或 (x, y) P(x, y)dx Q(x, y)dy ( x0 , y0 )
11 1 1 x2 , y2 , x2 y2 , xy
xdx ydy 可选用的积分因子有
1 1, x2 y2
一般可选用的积分因子有
1, x y
1, x2
1, x2 y2
1, x2 y2
x, y2
y x2
等。
例2 求微分方程 (3x3 y)dx (2x2 y x)dy 0的通解.
全微分定义公式
全微分定义公式如果函数 z = f ( x , y ) z=f(x, y) z=f(x,y)在 ( x , y ) (x, y) (x,y)处的全增量Δ z = f ( x + Δ x , y + Δ y ) − f ( x , y ) \Deltaz=f(x+\Delta x,y+\Delta y)-f(x,y) Δz=f(x+Δx,y+Δy)−f(x,y)可以表示为Δ z = A Δ x + B Δ y + o ( ρ ) \Delta z=A\Deltax+B\Delta y+o(ρ) Δz=AΔx+BΔy+o(ρ)其中A、B不依赖于Δ x Δx Δx，Δ y Δy Δy，仅与 x x x，y y y有关，ρ ρ ρ趋近于0( ρ = ( Δ x ) 2 + ( Δ y ) 2ρ=\sqrt{(\Delta x)^2+(\Delta y)^2} ρ=(Δx)2+(Δy)2 )，此时称函数 z = f ( x , y ) z=f(x, y) z=f(x,y)在点 ( x , y ) (x,y) (x,y)处可微分，A Δ x + B Δ y AΔx+BΔy AΔx+BΔy称为函数 z = f ( x , y ) z=f(x, y) z=f(x,y)在点 ( x , y ) (x, y) (x,y)处的全微分，记为 d z dz dz即d z = A Δ x + B Δ y dz=A\Delta x +B\Delta y dz=AΔx+BΔy该表达式称为函数 z = f ( x , y ) z=f(x, y) z=f(x,y)在 ( x , y ) (x, y) (x,y)处(关于Δ x Δx Δx, Δ y Δy Δy)的全微分。
定理定理1若函数 z = f ( x , y ) z=f(x,y) z=f(x,y)在点 p 0 ( x 0 , y 0 ) p_0(x_0,y_0) p0(x0,y0)处可微，则 z = f ( x , y ) z=f(x,y)z=f(x,y)在 p 0 ( x 0 , y 0 ) p_0(x_0,y_0) p0(x0,y0)处连续，且各个偏导数存在，并且有 f x ′ ( x 0 , y 0 ) = A f'_x(x_0,y_0)=A fx′(x0,y0)=A，f y ′ ( x 0 , y 0 ) = B f'_y(x_0,y_0)=B fy′(x0,y0)=B。
高中数学(人教版)全微分课件
z f x ( x , y ) x f y ( x, y ) y
z
注 (1) 当 (2) 当 时 时
f y ( x, y ) f x ( x, y ) x z f ( x, y ) f ( x, y )
z f x ( x , y ) x f y ( x , y ) y f x ( x, y) x f y ( x, y) y f x ( x, y) x f y ( x, y ) y
δ z f x ( x , y ) δx f y ( x , y ) δ y
z A x B y o( ) , 其中A,B不依赖于x, y 而仅与x, y
而 Ax By称为函数z=f (x,y)在点(x,y)的全微分，记作 dz
注
dz的特性
Δx与Δy的线性函数 dz Ax By 与Δz相差一个比ρ高阶的无穷小量
A、B的特性
与Δx和Δy无关
定理2 如果函数z = f (x, y) 在点(x, y) 可微 分, 那么函数
z
= f (x, y) 在点(x, y) 的偏导数
z z x y x y z x B z y
函数z = f (x, y) 在点(x, y)的全微分为
dz
z 与 x
z 必定存在，且 y
小 结
几个重要概念间的关系
连续
偏导数连续
判断可微的方法 用定义 用定理3
可微
偏导数存在
判断不可微的方法 用定义 用定理1 用定理2
全微分
一、全微分的概念 二、全微分的存在条件
全微分
回顾：
如果函数y = f (x)的增量∆y可表示为
∆y = A∆x + o(∆x),
则称函数y = f (x)可微， 称A∆x为y = f (x)的微分，记作dy。
这时，∆y ≈ dy = A∆x。
f (x + ∆x, y) − f (∆y )→( 0, 0 )
( ∆x ,∆y )→( 0, 0 )
从而，
lim f (x + ∆x, y + ∆y) = lim [ f (x, y) + ∆z] = f (x, y).
( ∆x ,∆y )→( 0, 0 )
( ∆x ,∆y )→( 0, 0 )
故，z = f (x, y)在点P(x, y)处连续。
（其中A、B、C与∆x、∆y、∆z无关，ρ = ∆x2 + ∆y2 + ∆z2）
则称函数u = f (x, y, z)在点P(x, y, z)处可微分， 称A∆x + B∆y + C∆z为全微分，记作du.
可微与连续的关系
若z = f (x, y)在点P(x, y)可微分，那么
lim ∆z = lim [ A∆x + B∆y + o(ρ)] = 0
问题：
一般来讲，计算全增量∆z比较复杂，与一元函数 相类似，我们希望能用自变量的增量∆x、∆y线性 函数来近似表示∆z，会不会有与一元函数微分相应
的概念来近似表示它呢？
受一元函数微分定义的启发，
如果全增量∆z = f (x + ∆x, y + ∆y) − f (x, y)
可表示成 = A∆x + B∆y + o(ρ)
反之，连续的函数未必可微。
全微分
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定理2 (充分条件) 若函数 z = f ( x, y) 的偏导数 ∂ z , ∂ z ∂x ∂ y 在点 ( x, y ) 连续, 则函数在该点可微分. 证：Δ z = f ( x + Δ x, y + Δ y ) − f ( x, y )
= [ f ( x + Δ x, y + Δ y ) − f ( x, y + Δ y )]
当点 P ( x, y ) 沿射线 y = x 趋于 (0,0) 时,
1 x 1 ⋅ sin − ⋅ cos ) = lim ( x 3 2 |1x | 2 2 | x | x →0 2| x| xy sin , ( x, y ) ≠ (0,0) 2 2 x + y 极限不存在 , ∴ f x ( x, y ) 在点(0,0)不连续 ; f ( x, y ) = 0,(0,0)也不连续 ( x,. y ) = (0,0) 同理 , f y ( x, y ) 在点f ( x, y ) 在 ( x0 , y0 ) 可微的充分条件是( D )
( A) f ( x, y ) 在 ( x0 , y0 ) 连续 ;
′ ( x, y ) 在 ( x0 , y0 ) 的某邻域内存在 ; ( B ) f x′ ( x, y ) , f y
课本 定理1
得
Δx →0 Δy →0
lim f ( x + Δ x, y + Δ y ) = f ( x, y )
即 函数 z = f (x, y) 在点 (x, y) 可微
Δz = f ( x + Δ x, y + Δ y ) − f (函数在该点连续 x, y )
全微分方程基本公式
全微分方程基本公式全微分方程是分析科学问题的重要工具，它可以帮助我们精确地解决复杂的数学问题。
本文介绍了全微分方程的基本概念及其相关的基础公式，为科学家更好地理解和应用它提供了依据。
全微分方程（FDE）是一种广泛应用于数学模型分析和实际问题求解的非常有效的方法，它可以提供一种有效的解决方案。
本文介绍了全微分方程的基本公式，帮助读者更好地理解全微分方程的基本原理和应用。
一、全微分方程的基本定义全微分方程（FDE）是一阶和多阶微分方程，它们次数比一般微分方程更高，其解决方法也较复杂。
全微分方程式用于表达复杂的物理问题，也常用于模拟动态系统的运动状态。
一般来说，全微分方程的形式可以表示为：$$ F(x,y,y',....,y^{(n)})=0 $$其中，$ n $ 为方程的次数，也称为FDE的阶数。
$ x $ 是变量，用于表示未知函数，此外，$ y'=\frac {dy}{dx} $ 、 $ y''=\frac {d ^ 2y}{dx ^ 2} $ 和 $ y^{(n)}=\frac {d^ny}{dx^n} $ 也分别称为导数和高阶导数，用于描述未知函数 $ y $ 的变化状态。
二、全微分方程的基本公式1. 一阶全微分方程一阶全微分方程是最简单的全微分方程，其公式可以用如下形式表示：$$ P(x)y'+Q(x)y=g(x) $$其中，$ P(x) $ 和 $ Q(x) $ 为常数或未知函数，$ y $ 为未知函数，而$ g(x) $ 是一个定义在区间上的函数。
2. 二阶全微分方程二阶全微分方程的公式为：$$ P(x)y''+Q(x)y'+R(x)y=g(x) $$其中，$ P(x) $、$ Q(x) $ 和 $ R(x) $ 为不同函数，$ y $ 为未知函数，$ g(x) $ 是一个定义在区间上的函数。
3.三阶全微分方程三阶全微分方程可以表示为：$$ P(x)y'''+Q(x)y''+R(x)y'+S(x)y=g(x) $$其中，$ P(x) $、$ Q(x) $、$ R (x) $ 和$ S(x) $ 为不同函数，$ y $ 为未知函数， $ g(x) $ 是一个定义在区间上的函数。
如何求解全微分方程
如何求解全微分方程摘要：1.全微分方程的定义2.求解全微分方程的步骤3.举例说明求解过程正文：全微分方程是一种描述物理量变化的数学方程，它包含多个变量，并且这些变量之间的关系是微分的。
求解全微分方程是许多科学研究和工程应用中的关键环节，掌握求解方法对于理解现象和解决问题具有重要意义。
下面我们将介绍求解全微分方程的步骤，并通过一个例子来说明求解过程。
step 1: 确定全微分方程的形式全微分方程的形式多种多样，但最常见的是从一阶到四阶的微分方程。
在解决实际问题时，需要根据问题的具体背景来确定所需的微分方程形式。
step 2: 确定初始条件初始条件是微分方程的解在特定时间或空间点的取值。
求解全微分方程时，必须给出恰当的初始条件，以便准确地描述物理量的变化过程。
step 3: 利用适当方法求解求解全微分方程有多种方法，如分离变量法、常数变易法、矩方法等。
选择适当的方法可以简化求解过程。
下面我们通过一个例子来说明求解全微分方程的过程。
例子：求解如下一阶全微分方程dx/dt + 3x = 0step 3.1: 确定方程形式这是一个一阶全微分方程。
step 3.2: 确定初始条件设x(0) = 1，表示在t = 0 时刻，x 的取值为1。
step 3.3: 利用分离变量法求解将方程改写为：∫(dt/3 + x) = ∫0^t 1 dt∫(dt/3 + x) dt = t dt/3 + ∫x dtt^2/3 + ∫x dt = t^2/3 + x*t + C其中C 为积分常数。
step 3.4: 求解得到x由初始条件x(0) = 1，可得C = 1。
将C 代入上式，得到：x(t) = (t^2 - 3t + 3)/3通过以上步骤，我们求解了这个一阶全微分方程，得到了它的解x(t)。
全微分及其应用(14)
二、可微的条件
定理 2（可微的必要条件） 如果函数z f ( x, y) 在点( x, y) 可微分，则该函数在点( x, y) 的偏导数 z 、 z 必存在，且函数 z f ( x, y)在点( x, y) 的全 x y
微分为
dz z x z y ． x y
习惯上，记全微分为 dzzdxzdy. x y
河海大学理学院《高等数学》
证 如 果 函 数 z f(x ,y )在 点 P (x ,y )可 微 分 ,
则 z A x B y o ()总成立,
当 y 0 时 ， 上 式 仍 成 立 ， 此时|x|,
f ( x x ,y ) f ( x ,y ) A x o ( |x|)
微分存在．
例如
xy
f(x,y) x2y2
x2y2 0.在(0,0)不可微
0
x2y2 0
但 在 点 (0,0)处 有fx(0,0)fy(0,0)0
在点(0,0)处连续。
河海大学理学院《高等数学》
若 f 在 (0,0) 可微，则 (zd)z|(0,0)o(),
即 z [ f x ( 0 ,0 ) x f y ( 0 ,0 ) y ] o()
某邻域存在；
（ 3） z
f
x
(
x,
y )
x
f
y
(
x
,
y
)
y
，
当 (x)2 (y)2 0时是无穷小量；
z
（ 4）
f
x
(
x, (
y ) x )2
x
f y( (y)2
x
,
y
)
y
,
当 (x)2 (y)2 0时是无穷小量.
全微分的推导资料
z x x
称为函数关于
x 的偏微分.
dy
z
z y y
称为函数关于
y 的偏微分.
d z dx z dy z
这与物理中的叠加原理相符.
推广: 类似可讨论三元及三元以上函数的可微性问题.
例如, 三元函数 u f (x, y, z) 的全微分为
d u u dx u d y u d z
x y z
V πr 2h. 记 r,h 和V 得增量依次为Δr,Δh和Δv,则有
ΔV dV VrΔr VhΔh 2πrhΔr πr2Δh. 把 r 20,h 100,Δr 0.05,Δh 1 代入,得
ΔV 2π 20 100 0.05 π 202 (1) 200π(cm3 ). 即此圆柱体在受压后体 积减少了200πcm3 .
定理1(必要条件) 若函数 z = f (x, y) 在点(x, y) 可微 ,
则该函数在该点偏导数
必存在,且有
d z z x z y x y
证: 由全增量公式
令y 0,
得到对 x 的偏增量
f ( x x, y) f ( x, y) Ax o ( x )
z lim x z A x x0 x
x
y
z x
( 2,1)
e2 , z y
( 2,1)
2e2 .
所以 dz e2dx 2e2dy.
例3 计算函数 u x sin y e yz 的全微分. 2
解
u 1,
u
1 cos
y
ze yz ,
u
ye yz ,
x
y 2 2
z
所以 du dx (1 cos y ze yz )dy ye yzdz. 22
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f ( x x, y y) f ( x, y) 为函数在点 P 对应于自变量增量x, y 的全增 量，记为z ， 即 z = f ( x x, y y) f ( x, y)
2
8.3 全 微 分
回忆
一元函数的全微分 y f ( x)
y f ( x x) f ( x) A x o(x)
Ax By o()
lim z 0, x0
lim f ( x, y) x x x0
x x0
y y y0
y0
lim
x0
f
( x0
x,
y0
y)
y y0
y0
lim[z
x0
f
( x0 ,
y0 )]
f ( x0 , y0 )
y0
f ( x, y) 在点 ( x0 , y0 ) 处连续.
6
8.3 全 微 分
A f ( x x, y) f ( x, y)
lim
x0
x
z , x
同理可得 B z . y
8
8.3 全 微 分
z z
dz x y x y
f x ( x, y)x
f y ( x, y)y
三元函数全微分
u f ( x, y, z),
记为
du u dx u dy u dz. x y z
成立(其中A是与x无关的常数),
则称函数 y f ( x)在点x 可微,
dy A x f ( x)dx
3
8.3 全 微 分
全微分的定义
如果函数z f ( x, y)在点( x, y) 的全增量 z f ( x x, y y) f ( x, y)可以表示为
z Ax By o( )，其中A, B 不依赖于 x, y 而仅与x, y 有关， (x)2 (y)2 ，
二、可微的条件
定理 1（必要条件） 如果函数z f ( x, y)在点 ( x, y)可微分，则该函数在点( x, y) 的偏导数z 、
x z 必存在，且函数z f ( x, y)在点( x, y) 的全微分 y
为
dz z x z y． x y
可微与偏导数存在有何关系呢？ 微分系数 A=? B=?
0
lim
x0 y0
f
(0 x,0
y) f (0,0) 0x 0y
lim
x0 y0
f (x, y)
lim
[(x)2
(y)2 ]
sin (x)2
1 (y)2
x 0 y0
(x)2 (y)2
13
8.3 全 微 分
lim
[(x)2
(y)]2
sin
(x)2
1
(y)2
x0 y0
(x)2 (y)2
lim 0
(x)2
(y)2
sin
(x)2
1
(y)2
lim
0
sin
1
2
0
所以, 函数f(x,y)在原点(0,0)可微.
dz f x (0,0)x f y (0,0)y 0 x 0 y
14
8.3 全 微 分
注意
一元函数可导 可微
多元函数各偏导数存在 全微分存在
问题：多元函数的各偏导数存在并不能保 证全 微分存在，满足什么条件就可微了 呢？
8.3 全 微 分
8.3 全 微 分
total differentiation
全微分的定义 全微分在近似计算中的应用 小结 思考题 作业
第8章 多元函数微分法及其应用
1
8.3 全 微 分
全增量的概念
如果函数z f ( x, y)在点( x, y) 的某邻域内 有定义，并设P( x x, y y)为这邻域内的
1.判定f x ( x, y)、f y ( x, y)是否存在，
若不存在，则不可微， 否则转下一步；
2.判定 lim z fx ( x, y)x f y ( x, y)y 是否等于0，
x 0
y0
若为0，则可微，否则不可微，
11
8.3 全 微 分
例
函 数f
(
x,
y)
(
x2( x, y)在点( x, y) 可微分， Ax By 称为函数z f ( x , y ) 在点( x, y) 的 全微分，记为dz ，即 dz = Ax By .
4
8.3 全 微 分
dz Ax By
注
z Ax By o( )
全微分有类似一元函数微分的 两个性质:
9
8.3 全 微 分
说明 z f (x, y)在( x, y)处可微 z Ax By o( ) z f x ( x, y)x f y ( x, y)y o( )
z f x ( x, y)x f y ( x, y)y 0 (当 0)
10
8.3 全 微 分
判定z f (x, y)在(x, y)处可微的步骤：
15
8.3 全 微 分
定理２（充分条件） 如果函数z f ( x, y)的偏 导数z 、z 在点( x, y)连续，则该函数在点( x, y)
y2
,
0,
x2 y2 0 x2 y2 0
在原点(0,0)是否可微.
解 1.判定f x (0,0)、f y (0,0)是否存在，
f (0 x,0) f (0,0)
fx
(0,0)
lim
x0
x
lim
[(x)2
(0)2
]sin
[(x
)
1 2
(0)2 ]
x0
x
0
同理, f y (0,0) 0
12
7
8.3 全 微 分
证 如果函数z f ( x, y)在点P( x, y)可微分,
z f ( x x, y y) f ( x, y) 总成立, Ax By o( )
当y 0时，上式仍成立， 此时 | x |,
f ( x x, y) f ( x, y) A x o(| x |),
8.3 全 微 分
f x (0,0) 0 f y (0,0) 0
f
( x,
y)
(x2
y2 )sin
x2
1
y2
,
0,
x2 y2 0 x2 y2 0
2.判定lim z f x (0,0)x f y (0,0)y 是否为0，
0
lim z f x (0,0)x f y (0,0)y ( (x)2 (y)2 )
1. dz是x与y 的线性函数; 2.z与dz之差是比 高阶无穷小.
全微分的定义可推广到三元及三元以上函数.
可微与连续有何关系呢？
5
8.3 全 微 分
必要条件1 如果函数z f ( x, y)在点( x0 , y0 ) 可微分,
则函数在该点连续.
可微 连续 不连续 不可微
证明 z f ( x0 x, y0 y) f ( x0 , y0 )