n81[1]3全微分

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8.3 全 微 分
定理２（充分条件） 如果函数z f ( x, y)的偏 导数z 、z 在点( x, y)连续，则该函数在点( x, y)
1. dz是x与y 的线性函数; 2.z与dz之差是比 高阶无穷小.
全微分的定义可推广到三元及三元以上函数.
可微与连续有何关系呢？
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8.3 全 微 分
必要条件1 如果函数z f ( x, y)在点( x0 , y0 ) 可微分,
则函数在该点连续.
可微 连续 不连续 不可微
证明 z f ( x0 x, y0 y) f ( x0 , y0 )
0
lim
x0 y0
f
(0 x,0
y) f (0,0) 0x 0y
lim
x0 y0
f (x, y)
lim
[(x)2
(y)2 ]
sin (x)2
1 (y)2
x 0 y0
(x)2 (y)2
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8.3 全 微 分
lim
[(x)2
(y)]2
sin
(x)2
1
(y)2
x0 y0
(x)2 (y)2
成立(其中A是与x无关的常数),
则称函数 y f ( x)在点x 可微,
dy A x f ( x)dx
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8.3 全 微 分
全微分的定义
如果函数z f ( x, y)在点( x, y) 的全增量 z f ( x x, y y) f ( x, y)可以表示为
z Ax By o( )，其中A, B 不依赖于 x, y 而仅与x, y 有关， (x)2 (y)2 ，
8.3 全 微 分
8.3 全 微 分
total differentiation
全微分的定义 全微分在近似计算中的应用 小结 思考题 作业
第8章 多元函数微分法及其应用
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全增量的概念
如果函数z f ( x, y)在点( x, y) 的某邻域内 有定义，并设P( x x, y y)为这邻域内的
任意一点，则称这两点的函数值之差
f ( x x, y y) f ( x, y) 为函数在点 P 对应于自变量增量x, y 的全增 量，记为z ， 即 z = f ( x x, y y) f ( x, y)
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8.3 全 微 分
回忆
一元函数的全微分 y f ( x)
y f ( x x) f ( x) A x o(x)
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说明 z f (x, y)在( x, y)处可微 z Ax By o( ) z f x ( x, y)x f y ( x, y)y o( )
z f x ( x, y)x f y ( x, y)y 0 (当 0)
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判定z f (x, y)在(x, y)处可微的步骤：
A f ( x x, y) f ( x, y)
lim
x0
x
z , x
同理可得 B z . y
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8.3 全 微 分
z z
dz x y x y
f x ( x, y)x
f y ( x, y)y
三元函数全微分
u f ( x, y, z),
记为
du u dx u dy u dz. x y z
1.判定f x ( x, y)、f y ( x, y)是否存在，
若不存在，则不可微， 否则转下一步；
2.判定 lim z fx ( x, y)x f y ( x, y)y 是否等于0，
x 0
y0
若为0，则可微，否则不可微，
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8.3 全 微 分
例
函 数f
(
x,
y)
(
x2
y2
)sin
x2
1
y2
,
0,
x2 y2 0 x2 y2 0
在原点(0,0)是否可微.
解 1.判定f x (0,0)、f y (0,0)是否存在，
f (0 x,0) f (0,0)
fx
(0,0)
lim
x0
x
lim
[(x)2
(0)2
]sin
[(x
)
1 2
(0)2 ]
x0
x
0
源自文库
同理, f y (0,0) 0
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8.3 全 微 分
f x (0,0) 0 f y (0,0) 0
f
( x,
y)
(x2
y2 )sin
x2
1
y2
,
0,
x2 y2 0 x2 y2 0
2.判定lim z f x (0,0)x f y (0,0)y 是否为0，
0
lim z f x (0,0)x f y (0,0)y ( (x)2 (y)2 )
lim 0
(x)2
(y)2
sin
(x)2
1
(y)2
lim
0
sin
1
2
0
所以, 函数f(x,y)在原点(0,0)可微.
dz f x (0,0)x f y (0,0)y 0 x 0 y
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8.3 全 微 分
注意
一元函数可导 可微
多元函数各偏导数存在 全微分存在
问题：多元函数的各偏导数存在并不能保 证全 微分存在，满足什么条件就可微了 呢？
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8.3 全 微 分
证 如果函数z f ( x, y)在点P( x, y)可微分,
z f ( x x, y y) f ( x, y) 总成立, Ax By o( )
当y 0时，上式仍成立， 此时 | x |,
f ( x x, y) f ( x, y) A x o(| x |),
Ax By o()
lim z 0, x0
lim f ( x, y) x x x0
x x0
y y y0
y0
lim
x0
f
( x0
x,
y0
y)
y y0
y0
lim[z
x0
f
( x0 ,
y0 )]
f ( x0 , y0 )
y0
f ( x, y) 在点 ( x0 , y0 ) 处连续.
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8.3 全 微 分
二、可微的条件
定理 1（必要条件） 如果函数z f ( x, y)在点 ( x, y)可微分，则该函数在点( x, y) 的偏导数z 、
x z 必存在，且函数z f ( x, y)在点( x, y) 的全微分 y
为
dz z x z y． x y
可微与偏导数存在有何关系呢？ 微分系数 A=? B=?
则称函数z f ( x, y)在点( x, y) 可微分， Ax By 称为函数z f ( x , y ) 在点( x, y) 的 全微分，记为dz ，即 dz = Ax By .
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8.3 全 微 分
dz Ax By
注
z Ax By o( )
全微分有类似一元函数微分的 两个性质: