全微分及其应用

在第一个方括号内，应用拉格朗日中值定理
f (x ? ?x, y ? ?y) ? f (x, y ? ?y) ? f x ( x ? ? 1? x , y ? ? y)? x (0 ? ? 1 ? 1)
? f x ( x, y)? x ? ?1? x （依偏导数的连续性）
f (x ? ? x, y ? ?y) ? f (x, y ? ?y)
?z
?z
(2)
? 4,
?7
? x (2,1)
?y (2,1)
dz ? 4dx ? 7dy
(3) 当⊿x=0.1，⊿y=－0.1时，
函数若在某区域 D 内各点处处可微分，则 称这函数在 D 内可微分 .
说 如果函数 z ? f ( x , y)在点( x , y)可微分, 明 则函数在该点连续.
事实上 ? z ? A? x ? B? y ? o( ? ), lim ? z ? 0
?? 0
二、函数可微的条件
1. 函数可微的必要条件
P?( x ? ? x , y ? ? y) ? P 的某个邻域
? z ? A? x ? B? y ? o( ? ) 总成立,
当? y ? 0时，上式仍成立， 此时 ? ? | ? x |,
f ( x ? ? x , y) ? f ( x, y) ? A ?? x ? o(| ? x |),
f (x ? ?x, y) ? f (x, y)
二元函数
对x 和对 y 的偏增量
二元函数
对 x 和对 y 的偏微分
⊿z=f (x+⊿x，y+⊿y)－f (x，y)
(1)
叫做函数在点 (x，y)对应于自变量增量⊿ x、⊿y 的全增量。
2．全微分的定义
定义 如果函数 z ? f ( x , y)在点( x , y)的全增量 ? z ? f ( x ? ? x , y ? ? y) ? f ( x , y)可以表示为
2. 函数可微的充分条件
定理 2（函数可微的充分条件） 如果函数 z ? f ( x , y)
的偏导数 ?z 、 ?z 在点( x , y)连续，则该函数在点 ( x , y) ?x ?y
可微分．
说
(1) 习惯上，记全微分为
明
dz ? ?z dx ? ?z dy.
?x ?y
(2) 全微分的定义可推广到三元及三元以上wk.baidu.com数
du ? ?u dx ? ?u dy ? ?u dz. ?x ?y ?z
函数z ? f ( x , y)的偏导数?z 、?z 在点( x , y)连续， ?x ?y
则该函数在点( x , y)可微分．
证明 ? z ? f ( x ? ? x, y ? ? y) ? f ( x , y) ? [ f ( x ? ? x , y ? ? y) ? f ( x , y ? ? y)] ? [ f ( x , y ? ? y) ? f ( x , y)],
? z ? A? x ? B? y ? o(? )， 其中 A, B 不依赖于 ? x , ? y 而仅与 x , y有关，
? ? (? x )2 ? (? y)2 ，则称函数 z ? f ( x , y)在点
( x , y)可微分， A? x ? B? y 称为函数 z ? f ( x , y )在 点( x , y)的全微分，记为dz，即 dz ? A? x ? B? y.
定理 1（可微的必要条件） 如果函数 z ? f ( x , y) 在点( x , y)可微分，则该函数在点 ( x , y)的偏导数 ?z 、 ?z 必存在，且函数 z ? f ( x , y)在点( x , y)的 ?x ?y 全微分 dz ? ?z ? x ? ?z ? y．
?x ?y
证明 如果函数z ? f ( x , y)在点P( x , y)可微分,
?z
lim
?A? ,
?x? 0
?x
?x
同理可得 B ? ?z . ?y
说
偏导存在不是函数可微的充分条件
明 一元函数可微等价于可导。
而多元函数偏导存在不能推出可微。
例如
f
(x,
y)
?
? xy
? ?
x
2
?
y2
,
x 2 ? y 2 ? 0,
? ?
0,
x2 ? y2 ? 0
f (x，y)在点P0处偏导存在，但 f(x，y)在点P0处 不连续。所以 f (x，y)在点P0处一定不可微。
? f x ( x, y)? x ? ?1? x 其中?1 为? x , ? y 的函数,
且当 ? x ? 0, ? y ? 0时，?1 ? 0. 同理 f ( x , y ? ? y) ? f ( x , y)
? f y ( x , y)? y ? ? 2? y, 当? y ? 0时，?2 ? 0 ,
函数可微 偏导数连续
三、全微分的计算
方法：
（1）先求fx(x,y)、fy(x,y),判断f (x,y)的可微性。 (利用充分条件）
（2）dz= fx(x，y)dx+fy(x，y)dy
几类微分： (i) P(x,y)处的微分； （ ii）P0(x 0,y0)处的微分； （iii）P0(x 0,y0)处且 dx ，dy给定时的微分
例1.（1）计算z = x2y+y3的全微分；
（2）计算z = x2y+y3在点(2，1)处的全微分；
（3）计算z = x2y+y3在点(2，1)处相应于
⊿x=0.1，⊿y=－0.1 时的全微分。
解 (1) ?z ? 2 xy , ?z ? x 2 ? 3 y 2
?x
?y
dz ? 2 xydx ? ( x 2 ? 3 y 2 )dy
Ch7-3 全微分及其应用
一、全微分的概念 二、函数可微的条件 三、微分的计算 四、全微分在近似计算中的应用
一、全微分的概念
1．增量、全增量及偏微分
由一元函数微分学中增量与微分的关系得
f ( x ? ? x, y) ? f ( x, y) ? f x ( x, y)? x
f ( x , y ? ? y) ? f ( x , y) ? f y ( x, y)? y
? z ? f x ( x , y)? x ? ?1? x ? f y ( x, y)? y ? ?2? y
?
?1? x ? ?2? y ?
?
?1 ? ?2
? ???? 0? 0,
故函数 z ? f ( x , y)在点( x , y) 处可微.
3. 多元函数连续、可导、可微的关系
函数连续
偏导存在