84全微分及其应用

x , y 无关的常数， (x)2 (y)2 ，则称函数 z f ( x, y) 在点 M ( x0 , y0 ) 可微，而称 Ax By 为 z f ( x, y) 在点 M ( x0 , y0 ) 处的全微分， 记为dz ，即
dz Ax By .
全微分的两个性质：
（1） dz是x和y的线性函数；
z f ( x, y)在点( x0 , y0 ) 处对 x 和对 y的 偏微分
全微分的定义
设函数 z f ( x, y) 在点 M ( x0 , y0 ) 的某邻域内有定义， 如果它在点 M ( x0 , y0 ) 的全增量
z f ( x0 x, y0 y) f ( x0 , y0 )
可表示为 z Ax By o() ，其中 A, B 为与
则函数z f ( x, y)在点( x, y)处的全微分为
dz f x ( x, y)dx f y ( x, y)dy. 或 dz z dx z dy
x y
一元函数中，可微与可导是等价的. 但在二元函数中， 可偏导是可微的必要条件，而非充分条件，即
可微 可偏导.
注意:
表达式 f x ( x0 , y0 )x f y ( x0 , y0 )y 不一定是全微分 dz . 当它满足 “ z [ f x ( x0 , y0 )x f y ( x0 , y0 )y] o( ) ” 时才是全微分 dz .
而z f (0 x, 0 y) f (0, 0) x y , (x)2 (y)2
z [ f x (0, 0)x f y (0, 0)y]
x y , (x)2 (y)2
当点 M( x, y)即M(x,y) 沿直线 y x 趋于点(0, 0) 时，
xy
∵ lim
x0
(x)2 (y)2
证：由于 z f ( x, y) 在点 ( x0 , y0 ) 可微， 即 z f ( x0 x, y0 y) f ( x0 , y0 ) Ax By o( ).
当y 0时, x , 得 z f ( x0 x, y0 ) f ( x0 , y0 ) Ax o x ,
lim
lim
x0
xx (x)2 (x)2
1 2
，
yx0
∴ z [ f x (0, 0)x f y (0, 0)y] o( ) ，
故 f ( x, y)在点(0,0)处不可微.
定理 3（可微的充分条件）
若函数 z f ( x, y) 的偏导数 fx ( x, y) ， fy( x, y) 在点 M ( x0 , y0 ) 连续，则 z f ( x, y) 在点 M ( x0 , y0 ) 可微.
例
1．讨论函数
f
(
x,
y)
在点 (0, 0) 处是否可微？
xy , x 2 y 2 0 x2 y2
0 , x2 y2 0
解：在点 (0, 0) 处，
f x (0,0) lim
x0ຫໍສະໝຸດ Baidu
f (0x, 0) x
f (0,
0)
lim
x0
x 0 0 (x)2 02
0, x
由函数关于自变量的对称性知 f y (0, 0) 0.
（2） z dz o( ) .
若 z f ( x, y) 在区域 D内处处可微，则称 z f ( x, y)
为区域 D内的可微函数.
定理 1 若函数 z f ( x, y) 在点 ( x0 , y0 ) 处可微， 则函数 z f ( x, y) 在点 ( x0 , y0 ) 处连续.
证：∵ z f ( x, y) 在点 ( x0 , y0 ) 可微， ∴z AxByo() ，∴ limz0 .
例如三元函数 u f ( x, y,z) ，若三个偏导数 u, u, u 连续， x y z
则它可微且全微分为 du u dx u dy u dz . x y z
例 2．求函数 z xy2 x 2 在点 (1,2) 处的 全微分dz .
解：
z x
y22x
，
z y
2 xy,
z 6, x (1, 2)
8.4 全微分及其应用
8. 4. 1 全微分
由一元函数微分学中增量与微分的关系得
f ( x0 x, y0 ) f ( x0 , y0 ) f x ( x0 , y0 )x o(x) f ( x0 , y0 y) f ( x0 , y0 ) f y ( x0 , y0 )y o(y)
z f ( x, y)在点( x0 , y0 ) 处对 x 和对 y的 偏增量
0
即 lim
0
f
( x0
x,
y0 y) f ( x0 , y0 ),
故函数 z f ( x, y) 在点 ( x0 , y0 ) 处连续.
由定理 1 可知，若 f ( x, y)在点 ( x0 , y0 ) 处不连续， 则 f ( x, y)在点 ( x0 , y0 ) 处必不可微.
如果 f ( x, y) 在点 ( x0 , y0 ) 存在全微分 dz Ax By ，
注意：
f x ( x, y) ， f y ( x, y) 在点 M ( x0 , y0 ) 连续只是 z f ( x, y) 在点 M ( x0 , y0 ) 可微的充分条件，但不是必要条件.
二元函数连续、可偏导、可微的关系
偏导数连续
函数可微
函数可偏导
函数连续
二元函数全微分的定义以及可微的必要条件和充分条件， 可以完全类似地推广到二元以上的多元函数.
f ( x0 x, y0 )
f (x0, y0 )
o x lim ( A ) A,
x0
x
x0
x
即 f x ( x0 , y0 ) A, 同理 f y ( x0 , y0 ) B. 故 dz f x ( x0 , y0 )x f y ( x0 , y0 )y.
规定 dx x ， dy y ，
那么 A＝？，B＝？
定理 2 若函数 z f ( x, y) 在点 ( x0 , y0 ) 可微，则该函数 在点 ( x0 , y0 ) 的偏导数 f x ( x0 , y0 ), f y ( x0 , y0 ) 必存在，且
dz f x ( x0 , y0 )x f y ( x0 , y0 )y .