(整理)多元函数微分学及其应用归纳总结.
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第八章 多元函数微分法及其应用一、多元函数
的基本概念
1、平面点集，平面点集的内点、外点、边界点、聚点，多元函数的定义等概念
2、多元函数的极限
✧
00(,)(,)
lim (,)x y x y f x y A →=（或0
lim (,)P P f x y A →=）的εδ-定义
✧ 掌握判定多元函数极限不存在的方法：
（1）令(,)P x y 沿y kx =趋向00(,)P x y ，若极限值与k 有关，则可断言
函数极限不存在；
（2）找两种不同趋近方式，若
00(,)(,)
lim (,)x y x y f x y →存在，但两者不相等，
此时也可断言极限不存在。
✧ 多元函数的极限的运算法则（包括和差积商，连续函数的和差积商，
等价无穷小替换，夹逼法则等）与一元类似：
例1．用εδ-定义证明
2222
(,)(0,0)
1
lim ()sin
0x y x y x y
→+=+ 例2（03年期末考试 三、1，5分）当0,0→→x y 时，函数22
2
222
()+++-x y x y x y 的极限是否存在？证明你的结论。
例3 设22
22
22,0(,)0,0xy x y x y f x y x y ⎧+≠⎪+=⎨⎪+=⎩
，讨论(,)(0,0)
lim (,)x y f x y →是否存在？
例4（07年期末考试 一、2，3分）设2
2224
22,0(,)0,0⎧+≠⎪+=⎨⎪+=⎩
xy x y x y f x y x y ，讨论
(,)(0,0)
lim (,)→x y f x y 是否存在？
例5．求222
(,)(0,0)sin()
lim x y x y x y →+
3、多元函数的连续性0000(,)(,)
lim
(,)(,)x y x y f x y f x y →⇔
=
✧ 一切多元初等函数在其定义区域内都是连续的，定义区域是指包含
在定义域内的区域或闭区域。
✧ 在定义区域内的连续点求极限可用“代入法”
例1． 讨论函数3322
22
22,0(,)0,0x y x y x y f x y x y ⎧++≠⎪+=⎨⎪+=⎩ 在（0，0）处的连续性。
例2． （06年期末考试 十一，4分）试证222
24
22,0(,)0,0⎧+≠⎪+=⎨⎪+=⎩
xy x y x y f x y x y 在
点(0,0)不连续，但存在一阶偏导数。 例3．求
(,)(1,2)lim
x y x y
xy →+ 例4
．(,)(0,0)lim x y →
4、了解闭区域上商连续函数的性质：有界性，最值定理，介值定理
二、多元函数的偏导数
1、 二元函数(,)z f x y =关于,x y 的一阶偏导数的定义（二元以上类似定义）
如果极限00000
(,)(,)
lim
x f x x y f x y x
∆→+∆-∆存在，则有
00
000
0000000
(,)(,)
(,)lim
x x x
x x y y x x x x y y y y f x x y f x y z f z f x y x
x
x
=∆→=====+∆-∂∂=
===∂∂∆
（相当于把y 看成常数！所以求偏导数本质是求一元函数的导数。）
如果极限00000
(,)(,)
lim
y f x y y f x y y ∆→+∆-∆存在，则有
00
000
0000000
(,)(,)
(,)lim
x x y
y y y y x x x x y y y y f x y y f x y z
f z f x y y
y
y
=∆→=====+∆-∂∂=
===∂∂∆
对于分段函数，在分界点的偏导数要用定义求。
例1（08年期末考试 一、3，4分）已知2222
22
22(),0(,)0,0⎧-+≠⎪+=⎨⎪+=⎩
x y xy x y x y f x y x y ，
则(0,)=x f y
例2 （06年期末考试 十一，4分）试证2
2224
22,0(,)0,0⎧+≠⎪+=⎨⎪+=⎩
xy x y x y f x y x y 在点(0,0)
不连续，但存在一阶偏导数。
例3 设2222
22
221()sin ,0(,)0,0x y x y x y f x y x y ⎧++≠⎪+=⎨⎪+=⎩
，求(,),(,)x y f x y f x y 。
例4 设y x z =，求y x z z ,。
例5（03年期末考试，一、2，3分） 设(1)arcsin x u x y y =+-，则u
x
∂∂在(1,2)的值为（ ）。
2、 二元函数(,)z f x y =关于,x y 的高阶偏导数（二元以上类似定义）