微分学基本定理及其应用

2
o
2 设 f ( x) 在 N (a) 连续，在 N (a) 可导，且
lim f ( x) k （有限数）．证明：
xa
f ( x) 在点 a 处可导，且 f (a) k ．
对单侧导数，也有类似结论，参见书 P118，13
Rolle Thm、Lagrange中值Thm和Cauchy中值Thm间关系
推广：若 f (x) 在(a, b) 内可导，且
lim f ( x) lim f ( x) （即 f (a 0) f (b 0) ）．
xa
xb
则至少存在一点x (a, b) ，使 f (x ) 0 ．
例 1 证 x3 3x 2 0 在 (0, 1) 内有且仅有一个实根．
Rolle Thm： (1) f ( x) C[a, b] ； (2) f ( x) D(a, b) ；
f (x) 0 ，则在 (a, b) 内 f ( x) 严格单增；
f (x) 0 ，则在(a, b) 内 f ( x) 严格单减．
f (b) f (a) f (x )(b a) ， x 介于 a , b 间．
―――Lagrange 中值公式
例 3 证： arctan b arctan a b a ．
(1) f (t ) C[a, b] ， g(t ) C[a, b] ； 由Rolle Thm知 (2) f (t) D(a, b) ， g(t) D(a, b) ． g(b) g(a) 0
则至少 x (a, b) ，使
f (x ) g(b) g(a) g(x ) f (b) f (a) ．
)
在f ( xN) f (0)
(0C,f[a(), 0内 b])；有L(n2)阶f导 f ((n数 x1))， (0D)且(a,
． 0b)．
则至少存在一o点 x
证：对 x N (0,
(a, b)
) ，有
，f (使x)
xn
f(b)f
(n)f((ax))，f 0(x)(b
n!
a) ．
1．
Thm 4 （Cauchy 中值 Thm） 设
f
(
y
x)
f
(
x0
)P，则称 x y
0f
为 (x
f )
(
x
)
的一个极小值，
f ( x0 ) 为 f ( x) 的一个极小值．
极值 o极 极a大 小f (值 值a )．x
f (b)
bx
Fermat Thm：若 f ( x0 ) 存在，且在 N ( x0 , ) 内
恒有 f ( x) f ( x0 ) （ 或 f ( x) f ( x0 ) ），则 f ( x0 ) 0
§5 微分学基本定理及其应用
y
y f (x) T
M
B
y
P y f (x)
A
f (a)
f (b)
o a x b x oa x b
x
如果连续曲线 y f ( x) 除端点外处处都有不垂直
于 x轴 的切线，那么该曲线上是否存在这样一的点，
使得在该点处曲线的切线平行于连结两端点的直线？
§5 微分基本定理及其应用
ba
y
y f (x)
y
P
B
A
P
f (a)
o a x b x oa x
F(x) f (x) f (b) f (a) x. ba
( x) f ( x)[ f (a) f (b) f (a)( xa)] ba
y f (x)
f (b)
b
x
y
y f (x) T
M
B
A
y A
y f (x) B
o a x b x o a x1
一、微分中值定理
Def. 1 设函数 f ( x) 在区间 I 内有定义， x0 I ．
o
若存在 ( x0 , ) I ，使对 x N ( x0 , ) ，都有
f ( x) f ( x0 ) ，则称 x0 为 f ( x) 的一个 极大值点，
f ( x0 ) 为 f ( x) 的一个极大值；
思考 若改为：
Rolle Thm：证(1明) ：F至( x少) 存C在[a, 一b]；点 x(2)(0,F1()x，) D(a, b) ；
(3) F(a) F(b) ．
则至少存使在f一(x点)
x
nf (x )
(ax, b)
，． 使”F该如(x )何设0 辅．助函数呢？
y
y f (x) T
y
M
B
Thm 2（Rolle Thm） 设
(1) f ( x) C[a, b] ； （ 闭区间[a, b] 上连续） (2) f ( x) D(a, b) ； （ 开区间 (a, b) 内可导）
(3) f ( a) f ( b．)
则至少存在一点x (a, b) ，使
代数意义：
f (x ) 0 ．f (b) f (a) ．
―――Lagrange 中值公式
30 x, x x (a, b)，在[x, x x]上应用 L-Th，得
f ( x x) f ( x) f ( x x)x ， 01 ．
―――有限增量公式
“常数函数的导数是零”的逆命题是否成立？
Corol. 1
若
f
( x) C[a,
，
b]
f
(x)
D( a ,
，且
b)
f
( x)
0．
则在[a, b] 上， f (x) C （常数）．
Corol. 2 若在[a ,b 内] ， f ( x) g ( x，) 则
f ( x1 ) f ( xf2()x) f (gx()x()x1 Cx．2 ) ， x 介于 x1, x2 间．
Corol. 3 若在 (a ,b 内) ，
y
P
y f (x)
？ x (a,b), f (x ) 0
f (a)
f (b)
(1)
f
(
x
)
C[
a, b]
o
；a(2)
f (xx) D(ba, b) ；(3) x f (a) f (b) ．
若连续曲线 y f ( x) 除端点外处处都有
不垂直于 x 轴 的切线，且两端点处的纵坐标相等，
其上是否存在一条平行于 x 轴 的切线？
P y f (x)
A
f (a)
f (b)
o a x b x oa x b
x
如果连续曲线 y f ( x) 除端点外处处都有不垂直
于 Rolxle轴T的hm切：线((1，3))那ff么((xa该))曲Cf线 [a(,b上b)] ；．是否(2)存在f (这x)样 一D(a的, b点) ；，
则使至得少在存该在点一处点曲x线 (的a,切b线) ，平使行f于(x连) 结 两f (b端) 点f的(a直) ．线0？．
例 4 证 x ln(1 x) x, x 0 ． x1
例 5 设 f ( x) 在[0, C] 上具有严格单减的导数 f ( x) ， 且 f (0) 0 ．证：对满足 0 a b a b C 的任意
a, b ，都有 f (a) f (b) f (a b) ．
L例-Th6m设：f((1x)
Rolle Thm
f (x)0
推广
f (a) f (b)
Lagrange-Thm
f (b) f (a) ba
推 广 g(x) x
Cauchy-Thm f (b) f (a) f (x). g(b) g(a) g(x)
(3) f (a) f (b) ． 则至少存在一点x (a, b) ，使 f (x ) 0 ．
Rolle Thm 用于判断 f (x) 0 有实根以及实根的个数．
例2
设
f ( x) C[0,
，
1]
f ( x) D(0, 1)
，且
f (1)
0．
证明：至少 x (0, 1)，使
f (x ) f (x ) ． x
ba
f (a) f (b) 0 至少存在x (a, b) ，使 f (x ) 0 ．
可微函数 f ( x) 的任意两个零点之间
至少存在 f (x) 的一个零点．
y
P
y f (x)
f (a)
f (b)
oa x b
x
Rolle Thm 的几何意义：若连续曲线 y f ( x) 除端点
外处处都有不垂直于 x 轴 的切线，且两端点处的纵坐标
若进一步假设 (3) 在 (a, b) 内 g(t) 0 , 则
f (b) f (a) f (x ) ． g(b) g(a) g(x )
f (b) f (a) f (x )(b a) ， x 介于 a , b 之间．
―――Lagrange 中值公式
思考
1 证： arcsin x arccos x ， 1 x 1．
相等，则其上是至少存在一条平行于 x 轴 的切线．
(1) f ( x) C[a, b] ； (2)Baidu Nhomakorabeaf ( x) D(a, b) ；(3) f (a) f (b) ．
Note：① Rolle Thm 条件(1)－(3)中只要有一个不成立， 则 Rolle Thm 的结论未必成立．如
② Rolle Thm 的条件只是充分的，可推广为
瞬时变化率
在[a, b]上的 平均变化率
Note：② Lagrange Thm 的几种形式
10 a, b ，若 f ( x) 在[a, b] 或[b, a] 上满足 L-Th 的条件，
则 f (b) f (a) f (x )(b a) ， x 介于 a ， b 之间．
―――微分中值公式
20 f (b) f (a) f (a (b a))(b a) ， 0 1 ．
Lagrange 中值 Thm 的几何意义：
x2 b x
如果连续曲线 y f ( x) 除端点外处处都有不垂直
于 x轴 的切线，那么该曲线上至少有这样一点存在，
在该点处曲线的切线平行于连结两端点的直线．
Rolle Thm： (1)
f ( x) C[a, b] ；
(2)
f
(x)
D( a ,
；
b)
(3) f (a) f (b) ．
则至少存在一点x (a, b) ，使 f (x ) 0f．(b) f (a) 0．
ba
Thm 3（Lagrange 中值 Thm） 设
(1)
f ( x) C[a, b] ；
(2)
f
(x)
D( a ,
．
b)
则至少存在一点x (a, b) ，使
f (x ) f (b) f (a) ．
ba