任意阶幻方的填法

8 3 4
1 5 9
6 7 2 33 34 29
35 3 31 8
1 32 9 28
6 7 2 33 34 29
35 28 30 32 31 36
30 5 4 36
(3) 在B象限任一行的中间格，自右向左，标出 列。(注：6阶幻方由于 象限任一行的中间格， 阶幻方由于k-1=0，所以 象限任一行的中间格 自右向左，标出k-1列 注 阶幻方由于 ， 不用再作B、 象限的数据交换 象限的数据交换)， 象限标出的这些数， 不用再作 、D象限的数据交换 ，将B象限标出的这些数，和D象限相对位置上的数进 象限标出的这些数 象限相对位置上的数进 行交换，就形成幻方。 行交换，就形成幻方。
奇数阶幻方最经典的填法是罗伯特法(有人称之为楼梯法) 奇数阶幻方最经典的填法是罗伯特法(有人称之为楼梯法)。 填写方法是这样： 1(或最小的数 放在第一行正中； 或最小的数) 填写方法是这样： 把1(或最小的数)放在第一行正中； 按以下规律排列剩下的n 按以下规律排列剩下的n×n-1个数： 个数： (1)每一个数放在前一个数的右上一格； (1)每一个数放在前一个数的右上一格； 每一个数放在前一个数的右上一格 (2)如果这个数所要放的格已经超出了顶行那么就把它放 (2)如果这个数所要放的格已经超出了顶行那么就把它放 在底行，仍然要放在右一列； 在底行，仍然要放在右一列；
这里我们以6 这里我们以6阶为例 A 8 3 4 1 5 9 6 7 2 33 34 29 26 21 22 17 12 13 19 23 27 10 14 18 24 25 20 15 16 11 C B D
35 28 30 32 31 36
(2)在A象限的中间行、中间格开始，按自左向右的方向，标出 格。A象限 在 象限的中间行 中间格开始，按自左向右的方向，标出k格 象限的中间行、 象限 的其它行则标出最左边的k格 将这些格， 象限相对位置上的数， 的其它行则标出最左边的 格。将这些格，和C象限相对位置上的数，互换 象限相对位置上的数 位置。 阶时 阶时k=1) 位置。(6阶时
58 15 23 34 26 47 55 2
8 49 41 32 40 17 9 64
幻方常数为260 幻方常数为260
最后我们来看一看单偶阶的幻方， 最后我们来看一看单偶阶的幻方，这也是三 种情况中最复杂的一种。 种情况中最复杂的一种。
(n=4k+2，k=1， n为偶数，且不能被4整除 (n=4k+2，k=1，2，3，…) 为偶数，且不能被4 1)把方阵分为 把方阵分为A 四个象限， 1)把方阵分为A，B，C，D四个象限，这样每一个象限肯 定是奇数阶。用楼梯法，依次在A象限， 象限， 象限， 定是奇数阶。用楼梯法，依次在A象限，D象限，B象限， 象限按奇数阶幻方的填法填数。 C象限按奇数阶幻方的填法填数。
35 3 31 8 30 4
1 32 9 28 5 36
6 7 2 33 34 29
26 21 22 17 12 13
19 23 27 10 14 18
24 25 20 15 16 11
幻方常数为111 幻方常数为111
1 5 9
2 6
3 7
4 8 画对 角线
1 5 9
2 6
3 7
4 8
10 11 12
10 11 12
13 14 15 16
13 14 15 16 对 调
1 15 14 4 12 6 7 9
34
8 10 11 5 2 16 13 3
再来看看八阶幻方： 再来看看八阶幻方：
1 9 17 25 33 41 49 57 2 10 18 26 34 42 50 58 3 11 19 27 35 43 51 59 4 12 20 28 36 44 52 60 5 13 21 22 29 37 45 53 61 30 38 46 54 62 31 39 47 55 63 32 40 48 56 64 6 14 7 15 23 8 16 24
1+2+3+L +n =(1+n )*n / 2 L
2 2 2
对于一个n阶正规幻方， 1（2）对于一个n阶正规幻方， 我们先假设其幻方常数为X 我们先假设其幻方常数为X 则该幻方每一行的和都为X 则该幻方每一行的和都为X， 共有n 所以， 阶幻方的和就是n*X 共有n行，所以，n阶幻方的和就是n*X 另一方面 阶幻方包含了从1 n阶幻方包含了从1到的所有正整数 所以该幻方的和就应该为
接下来我们来寻找填n阶幻方的通法， 接下来我们来寻找填n阶幻方的通法，目前填 写幻方的方法，是把幻方分成了三类， 写幻方的方法，是把幻方分成了三类，每类 又有各种各样的填写方法。 又有各种各样的填写方法。 三类幻方
奇数阶幻方
双偶阶幻方
单偶阶幻方
1、奇数阶幻方
n为奇数
(n=2×k+1，k=1， (n=2×k+1，k=1，2，3，……)
(1+n2)*n2 / 2 因此就有n*X= 因此ຫໍສະໝຸດ Baidu有n*X=
即n阶幻方常数为
(1+ n2 )*n / 2
4）七阶幻方：（幻和为175） 七阶幻方：（幻和为175） ：（幻和为175 30 38 46 5 13 21 22 39 47 6 14 15 23 31 48 7 8 16 24 32 40 1 9 17 25 33 41 49 10 18 26 34 42 43 2 19 27 35 36 44 3 11 28 29 37 45 4 12 20
(3)如果这个数所要放的格已经超出了最右列那么就把 (3)如果这个数所要放的格已经超出了最右列那么就把 它放在最左列，仍然要放在上一行； 它放在最左列，仍然要放在上一行； (4)如果这个数所要放的格已经超出了顶行且超出了最 (4)如果这个数所要放的格已经超出了顶行且超出了最 右列， 右列，那么就把它放在前一个数的下一行同一列的格 内； (5)如果这个数所要放的格已经有数填入，处理方法同 (5)如果这个数所要放的格已经有数填入， 如果这个数所要放的格已经有数填入 (4)。 (4)。 这种写法总是先向“右上”的方向，象是在爬楼梯。 这种写法总是先向“右上”的方向，象是在爬楼梯。 例如：三阶幻方和上面的七阶幻方。 例如：三阶幻方和上面的七阶幻方。
1 9 17 25 33 41 49 57
2 10 18 26 34 42 50 58
3 11 19 27 35 43 51 59
4 12 20 28 36 44 52 60
5 13 21 29 37 45 53 61
6 14 22 30 38 46 54 62
7 15 23 31 39 47 55 63
8 16 24 32 40 48 56 64
1 56 48 25 33 24 16 57
63 10 18 39 31 42 50 7
62 11 19 38 30 43 51 6
4 53 45 28 36 21 13 60
5 52 44 29 37 20 12 61
59 14 22 35 27 46 54 3
2、双偶阶幻方 为偶数，且能被4 (n=4k，k=1， n为偶数，且能被4整除 (n=4k，k=1，2，3， 4，5……) 可用<对称交换法>,方法很简单: >,方法很简单 可用<对称交换法>,方法很简单: 1) 把自然数依次排成方阵 把幻方划成4*4的小区,每个小区划对角线, 4*4的小区 2) 把幻方划成4*4的小区,每个小区划对角线, 把这些对角线所划到的数,保持不动, 3) 把这些对角线所划到的数,保持不动, 把没划到的数,按幻方的中心, 4) 把没划到的数,按幻方的中心,以中心对称 的方式,进行对调, 幻方完成! 的方式,进行对调, 幻方完成! 例如： 例如：四阶幻方