矩阵的乘法汇总

合集下载

矩阵的几种乘法

矩阵的几种乘法全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：矩阵是线性代数中非常重要的概念，而矩阵的乘法是其中一个重要的操作。

在实际应用中，矩阵的乘法有多种不同的形式，每种形式都有相应的规则和特点。

在本文中，我们将讨论一些常见的矩阵乘法，包括普通矩阵乘法、Hadamard乘积、克罗内克积等，并对它们的性质和应用进行介绍。

普通矩阵乘法是最常见的一种矩阵乘法。

给定两个矩阵A和B，它们的乘积C的定义如下：设A是一个m×n的矩阵，B是一个n×p的矩阵，那么它们的乘积C是一个m×p的矩阵，其中C的第i行第j列元素是A的第i行的元素与B的第j列的元素的乘积之和。

普通矩阵乘法遵循结合律，但不遵循交换律。

也就是说，对于任意三个矩阵A、B、C，(AB)C=A(BC)，但一般情况下，AB≠BA。

普通矩阵乘法可以用于解线性方程组、矩阵求逆、矩阵的特征值等方面。

Hadamard乘积是一种逐元素操作，不会改变矩阵的形状。

它常用于矩阵的逐元素运算，比如矩阵的逐元素求和、逐元素平方等。

Hadamard乘积满足交换律和结合律，即对于任意两个矩阵A、B，有A∘B=B∘A，(A∘B)∘C=A∘(B∘C)。

克罗内克积常用于矩阵的融合、扩展等操作，可以将两个不同大小的矩阵整合在一起，得到一个新的更大的矩阵。

克罗内克积满足结合律，但不满足交换律，即对于任意三个矩阵A、B、C，(A⊗B)⊗C≠A⊗(B⊗C)，但一般情况下，A⊗B≠B⊗A。

除了以上提到的三种常见矩阵乘法，还有其他一些特殊的矩阵乘法，比如深度学习中常用的Batch矩阵乘法、图像处理中的卷积运算等。

每种矩阵乘法都有其独特的性质和应用场景，熟练掌握各种矩阵乘法是理解线性代数和计算机科学的重要基础。

矩阵的乘法是线性代数中的重要概念，不同的矩阵乘法具有不同的性质和应用。

通过学习不同种类的矩阵乘法，我们可以更好地理解和应用线性代数知识，为实际问题的求解提供更多的方法和思路。

‘矩阵乘法

矩阵乘法矩阵乘法是一种基本的线性代数运算，它涉及到两个矩阵的乘积。

矩阵乘法在数学、工程学、计算机科学等领域都有广泛的应用。

本文将介绍矩阵乘法的定义、性质和计算方法，并通过实例说明矩阵乘法的应用。

一、矩阵乘法的定义设有两个矩阵A和B，其中A是一个m×n的矩阵，B是一个n×p的矩阵。

我们可以将A和B的乘积定义为一个m×p的矩阵C，即C=A×B。

矩阵乘法的具体操作是：对于C中的每一个元素c_ij（i表示行号，j表示列号），将A中的第i行与B中的第j列进行对应元素的乘法运算，并求得所有乘积的和，作为c_ij的值。

即：c_ij=\sum_{k=1}^{n} a_{ik} b_{kj}其中，a_{ik}表示A中第i行第k列的元素，b_{kj}表示B中第j行第k列的元素。

二、矩阵乘法的性质矩阵乘法具有以下性质：1.结合律：对于任意三个矩阵A、B和C，有(A×B)×C=A×(B×C)。

2.分配律：对于任意两个矩阵A和B，有A×(B+C)=A×B+A×C。

3.零矩阵的性质：对于任意一个矩阵A，有A×0=0。

4.单位矩阵的性质：对于任意一个矩阵A，有A×I=A（其中I为单位矩阵）。

5.反矩阵的性质：对于任意一个可逆矩阵A，有(A^{-1})×A=I。

三、矩阵乘法的计算方法在实际计算中，矩阵乘法可以通过计算机程序或数学软件来实现。

常用的计算方法有两种：逐位相乘相加法和缓存优化法。

1.逐位相乘相加法逐位相乘相加法是一种基本的矩阵乘法计算方法，其思路是将两个对应元素相乘并求和。

具体步骤如下：（1）将两个矩阵A和B的对应元素相乘，得到一个临时矩阵C。

（2）对于C中的每一个元素c_ij，将对应位置的临时值相加，得到c_ij的值。

（3）重复以上步骤，直到计算完所有元素。

这种方法的优点是思路简单易懂，但缺点是计算效率较低。

矩阵的计算方法总结

矩阵的计算方法总结矩阵是线性代数中的重要概念，广泛应用于各个科学领域。

矩阵的计算方法主要包括矩阵的基本运算、矩阵的乘法、矩阵的逆以及特殊矩阵的计算等。

本文将对这些计算方法进行详细的总结。

首先，矩阵的基本运算包括矩阵的加法和减法。

矩阵的加法和减法都是对应位置上的元素进行相加或相减的操作。

具体而言，对于两个相同大小的矩阵A和B，矩阵的加法计算公式为C = A + B，其中C的第i行第j列的元素等于A的第i行第j列的元素加上B的第i行第j列的元素。

矩阵的减法同样遵循相同的规则。

接下来，矩阵的乘法是比较复杂的计算方法。

矩阵的乘法不遵循交换律，即AB不一定等于BA。

矩阵的乘法计算公式为C= AB，其中A是m×n矩阵，B是n×p矩阵，C是m×p矩阵。

具体来说，在矩阵乘法中，C的第i行第j列的元素等于A的第i行的元素与B的第j列的元素进行内积运算得到的结果。

在进行矩阵乘法计算时，需要注意两个矩阵的维度是否满足相乘的条件。

若A的列数不等于B的行数，则无法进行矩阵乘法运算。

矩阵的逆是指对于一个n阶方阵A，通过运算求解另一个方阵B，使得AB = BA = I，其中I为单位矩阵。

矩阵的逆是在求解线性方程组和矩阵方程时经常使用的工具。

具体来说，对于一个n阶非奇异矩阵A，如果存在一个矩阵B，使得AB = BA = I，那么矩阵B就是矩阵A的逆矩阵，记作A^-1。

逆矩阵的计算可以使用高斯-约旦消元法、伴随矩阵法等多种方法，其中伴随矩阵法是逆矩阵计算的一种常用方法。

此外，还有一些特殊矩阵的计算方法。

例如，对称矩阵是指矩阵的转置等于它本身的矩阵。

对称矩阵的特殊性质使得其在计算中有着很多便利，例如，对称矩阵一定可以对角化，即可以通过相似变换变为对角矩阵。

对角矩阵是指非对角线上的元素都为0的矩阵，对角线上的元素可以相同也可以不同。

对角矩阵的计算相对简单，只需要对角线上的元素进行相应的运算即可。

综上所述，矩阵的计算方法包括矩阵的基本运算、矩阵的乘法、矩阵的逆以及特殊矩阵的计算等。

矩阵的乘法运算

C
0 1
0 3
求 AC、BC
解：
AC
3 2
10 1 1
0 3
1 1
3 3
BC
5 9
10 1 1
0 3
1 1
3 3
此处
8
方程组的矩阵表示：
a11
a21 a31
a12 a22 a32
a13 a23 a33
x1 x2 x3
a11 x1 a21 x1 a31 x1
a12 x2 a22 x2 a32 x2
小结：
1. 只有当第一个矩阵的列数等于第二个矩阵的行数时，两个矩阵才能相乘.
2. 矩阵相乘不满足交换律，即一般来说
AB BA.
3. 矩阵相乘不满足消去律，即一般来说
由 AB AC 且A 0,不能推出B C.
14
并把此乘积记作 C AB .
例如:
2
注意：要使C=AB有意义，则A的列数必须等于B的行数，且矩阵C的第i行第j列元素正好是A的第i行与B的第j列对应元素乘积之和。
例如
不存在.
3
注意：
1. 乘积矩阵的第i行第j列元素等于左矩阵的第i行元素与右矩阵的第j列对应元素乘积之和. 2. 只有当左矩阵的列数等于右矩阵的行数时，矩阵的乘积才有意义. 3. 两个矩阵的乘积仍然是一个矩阵，且乘积矩阵的行数等于左矩阵的行数，乘积矩阵的列数等于右矩阵的列数.
,
b1
b
b2 b3
则方程组(1)可表示为 Ax b.
9
又如：
对方程组
a11x1 a12 x2 a13 x3 b1 a21x1 a22 x2 a23 x3 b2
(2)
记

矩阵乘法运算公式

矩阵乘法运算公式矩阵乘法是线性代数中的一个重要概念，它在数学、物理、计算机科学等众多领域都有着广泛的应用。

咱先来说说矩阵乘法的运算规则。

简单来讲，就是第一个矩阵的行元素与第二个矩阵的列元素对应相乘再相加。

比如说，有一个 2 行 3列的矩阵 A 和一个 3 行 2 列的矩阵 B，那它们相乘得到的矩阵 C 就是一个 2 行 2 列的矩阵。

咱举个具体的例子哈。

比如说矩阵 A 是[1 2 3; 4 5 6]，矩阵 B 是[7 8;9 10; 11 12]，那矩阵 C 的第一个元素 C11 就是 A 的第一行和 B 的第一列对应元素相乘再相加，也就是 1×7 + 2×9 + 3×11 = 58 。

我还记得之前给学生们讲矩阵乘法的时候，有个特别有趣的事儿。

当时有个学生，特别较真儿，一直纠结为啥要这么乘，不能按自己想的来。

我就给他打了个比方，我说这矩阵乘法就好比是工厂里的生产线。

矩阵 A 里的元素就是原材料，矩阵 B 里的元素就是加工步骤，经过特定的规则（也就是矩阵乘法的运算规则），最后生产出来的产品就是矩阵 C 。

这孩子一听，眼睛一下子就亮了，好像突然就明白了。

再来说说矩阵乘法的一些性质。

比如说，矩阵乘法一般不满足交换律，也就是说 A×B 不一定等于 B×A 。

但它满足结合律和分配律。

矩阵乘法在实际生活中的应用那可太多啦！像图像处理中，对图像进行旋转、缩放等操作，就会用到矩阵乘法。

还有在机器学习里，预测模型的计算也离不开它。

咱继续深入讲讲矩阵乘法的应用。

比如说在密码学中，通过复杂的矩阵乘法运算来加密和解密信息，增加信息的安全性。

还有在经济学中，分析多个变量之间的关系时，也会用到矩阵乘法。

我之前去参加一个学术研讨会，就听到有专家分享了一个关于矩阵乘法在交通流量预测中的应用案例。

他们通过收集大量的道路数据，构建出相关的矩阵，然后利用矩阵乘法运算来预测不同时间段、不同路段的交通流量，为交通规划和管理提供了有力的支持。

矩阵的几种乘法

矩阵的几种乘法全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：矩阵的乘法是线性代数中的一个重要概念，是将两个矩阵相乘的操作。

在矩阵乘法中，有几种不同的乘法方式，包括普通矩阵乘法、点积乘法和克罗内克积乘法。

本文将逐一介绍这几种乘法的概念、原理和应用。

普通矩阵乘法是最常见的矩阵乘法操作，它是将两个矩阵按照行列相乘的规则计算得到的新矩阵。

一个矩阵A的行数和列数分别为m 和n，另一个矩阵B的行数和列数分别为n和p，那么可以将两个矩阵相乘得到一个m行p列的新矩阵C。

具体计算方式为，C的第i行第j 列元素等于矩阵A的第i行和矩阵B的第j列对应元素相乘后求和得到的结果。

对于一个2行3列的矩阵A和一个3行2列的矩阵B相乘，得到一个2行2列的新矩阵C。

普通矩阵乘法的应用广泛，特别是在工程、物理、经济和计算机科学等领域中被广泛应用。

点积乘法是矩阵乘法的一种特殊形式，也称为内积乘法或标量乘法。

在点积乘法中，两个矩阵之间的乘法操作是将矩阵的对应元素相乘后再求和得到一个标量。

实际上，点积乘法相当于将两个矩阵逐元素相乘后再进行矩阵求和操作。

点积乘法要求两个矩阵的维度相同，即行数和列数相等，得到的结果是一个标量而不是新的矩阵。

点积乘法在计算机图形学、神经网络和信号处理等领域中有着广泛的应用。

矩阵的乘法有几种不同的形式，包括普通矩阵乘法、点积乘法和克罗内克积乘法。

每种乘法方式在不同领域有着不同的应用，可以帮助我们更好地理解和计算矩阵的运算。

熟练掌握这几种矩阵乘法方式，有助于提高我们在线性代数和相关领域的学习和工作效率。

希望通过本文的介绍，读者对矩阵的几种乘法有了更深入的了解和认识。

第二篇示例：矩阵是线性代数中一个非常重要的概念，它在各个领域的数学和物理问题中都有着广泛的应用。

矩阵的乘法是矩阵运算中的一个基础操作，它有多种不同的形式，下面我们将介绍几种常见的矩阵乘法。

1. 矩阵的普通乘法矩阵的普通乘法是最基本的一种矩阵乘法，它可以用于将两个矩阵相乘。

矩阵的乘法运算汇总

注：单位矩阵E和数1的作用一样。
11
注意矩阵不满足交换律，即：
AB BA
如：
设
A
1 1
1 1
,
B 1 1 1 1
则 AB 0 0, BA 2 2 ,
0 0
2 2
故 AB BA.
由于矩阵不可交换，所以矩阵乘法分为左乘和右乘.
12
此例不仅表明矩阵的乘法不满足交换律，而且还表明矩阵的乘法不满足消去律，即
并把此乘积记作 C AB .
例如:
2
注意：要使C=AB有意义，则A的列数必须等于B的行数，且矩阵C的第i行第j列元素正好是A的第i行与B的第j列对应元素乘积之和。
例如
不存在.
3
注意：
1. 乘积矩阵的第i行第j列元素等于左矩阵的第i行元素与右矩阵的第j列对应元素乘积之和. 2. 只有当左矩阵的列数等于右矩阵的行数时，矩阵的乘积才有意义. 3. 两个矩阵的乘积仍然是一个矩阵，且乘积矩阵的行数等于左矩阵的行数，乘积矩阵的列数等于右矩阵的列数.
1)若AB O, 且A O, 不能推出B O;
2)若A( X Y ) O, 且A O, 不能推出X Y.
但也有例外，比如设
A 2 0, 0 2
B 1 1, 1 1
则有 AB 2 2, 2 2
BA 2222 AB BA.
若AB=BA则称矩阵A、B乘积可交换.
13
a13 x3 a23 x3 a33 x3
a11x1 a12 x2 a13 x3 b1
对方程组 a21x1 a22 x2 a23 x3 b2
(1)
a31x1 a32 x2 a33 x3 b3
记
a11
A

矩阵的运算乘法

矩阵的运算乘法矩阵是线性代数中的一个重要概念，用于表示一组数（或复数）的排列形式。

在矩阵的运算中，乘法是其中的一种重要运算。

矩阵乘法并不是简单的数乘，而是需要满足一定的规则才能进行运算。

矩阵乘法的规则如下：若$A_{m times n}$和$B_{n times p}$是两个矩阵，那么它们的乘积$C_{m times p}$定义为：$$C_{i,j}=sum_{k=1}^n A_{i,k}B_{k,j} quad (1 le i le m, 1 le j le p)$$其中，$A_{i,k}$表示矩阵$A$中第$i$行第$k$列的元素，$B_{k,j}$表示矩阵$B$中第$k$行第$j$列的元素，$C_{i,j}$表示矩阵$C$中第$i$行第$j$列的元素。

需要注意的是，两个矩阵相乘的条件是左矩阵的列数等于右矩阵的行数。

例如，一个$2 times 3$的矩阵和一个$3 times 4$的矩阵可以相乘，结果是一个$2 times 4$的矩阵。

矩阵乘法的运算法则可以用一个例子来说明。

考虑两个矩阵$A$和$B$，它们的形式分别如下：$$A=begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 4 & 5 & 6 end{pmatrix}$$ $$B=begin{pmatrix} 7 & 8 9 & 10 11 & 12 end{pmatrix}$$ 按照矩阵乘法的规则，我们可以计算它们的乘积$C=AB$：$$C=begin{pmatrix} 1 cdot 7 + 2 cdot 9 + 3 cdot 11 & 1 cdot 8 + 2 cdot 10 + 3 cdot 12 4 cdot 7 + 5 cdot 9 + 6 cdot 11 & 4 cdot 8 + 5 cdot 10 + 6 cdot 12 end{pmatrix}$$经过计算，我们可以得到矩阵$C$的形式：$$C=begin{pmatrix} 58 & 64 139 & 154 end{pmatrix}$$ 矩阵乘法在计算机图形学、信号处理、量子力学等领域有广泛的应用。

矩阵的加减乘除运算法则

矩阵的加减乘除运算法则矩阵是数学中重要的一种数学工具，在各种领域中广泛应用，矩阵是用数的方阵表示的，并且还有着加减乘除等运算法则。

本文将详细介绍矩阵的加减乘除运算法则。

一、矩阵加减法矩阵加减法的定义：假设矩阵A和矩阵B都是同一维度的矩阵，令矩阵C等于A加上B，矩阵C中的第i行第j列的元素等于A中第i行第j列的元素加上B中第i行第j列的元素，即：C(i,j) = A(i,j) + B(i,j)相应地，如果要使用矩阵B从矩阵A中减去，我们将B的所有元素取反并将它与矩阵A相加。

矩阵加减法的性质：1.加法的交换律和结合律：对于任何两个同维度的矩阵A和B，我们有以下性质：A +B = B + A (交换律)(A + B) + C = A + (B + C) (结合律)2.加法的单位元：对于任何矩阵A，我们有：A + 0 = A其中0是一个全0矩阵，即元素全部为0。

3.加法的逆元：每个矩阵都存在一个负数矩阵-B，使得A + B = 0，其中0是一个全0矩阵。

二、矩阵乘法矩阵乘法的定义：对于两个矩阵A和B，如果A的列数等于B的行数，则将它们相乘，得到一个新矩阵C，C的行数等于A的行数，列数等于B的列数。

对于C中的每个元素，都是A的相应行和B的相应列中元素的乘积之和。

下面是矩阵乘法的公式：C(i,j) = A(i,1) * B(1,j) + A(i,2) * B(2,j) + ... + A(i,n) * B(n,j)其中，n是矩阵A的列数，也是矩阵B的行数。

矩阵乘法的性质：1.乘法的结合律：如果矩阵A，B和C的维度满足AB和BC都有定义，则有：(A * B) * C = A * (B * C)2.分配律：对于任意矩阵A，B和C，以及任意标量c，我们有：(A + B) * C = A * C + B * CA * (B + C) = A * B + A * Cc * (A * B) = (c * A) * B = A * (c * B)3.不满足交换律：一般情况下，矩阵乘法不满足交换律，即AB不等于BA，因为乘法顺序导致的行列不匹配。

矩阵知识点完整归纳

矩阵知识点完整归纳矩阵是现代数学中的一种重要数学工具，广泛应用于各个学科领域。

在线性代数中，矩阵是最基本的对象之一，研究的对象是矩阵的性质和运算规律。

本文将对矩阵的知识点进行完整归纳。

一、矩阵的定义与表示方法矩阵是m行n列的数表，由m×n个数组成。

它可以用方括号“[ ]”表示，其中的元素可以是实数、复数或其他数域中的元素。

矩阵的第i行第j列的元素记作a_ij。

二、矩阵的运算1.矩阵的加法：对应元素相加。

2.矩阵的减法：对应元素相减。

3.矩阵与标量的乘法：矩阵的每个元素都乘以该标量。

4.矩阵的乘法：第一个矩阵的行乘以第二个矩阵的列，求和得到结果矩阵的对应元素。

5.矩阵的转置：将矩阵的行与列互换得到的新矩阵。

6.矩阵的逆：如果一个n阶方阵A存在逆矩阵A^-1，则称A为可逆矩阵。

三、特殊矩阵1.零矩阵：所有元素均为0的矩阵。

2.单位矩阵：对角线上的元素均为1，其余元素均为0的矩阵。

3.对称矩阵：转置后与原矩阵相等的矩阵。

4.上三角矩阵：主对角线以下的元素均为0的矩阵。

5.下三角矩阵：主对角线以上的元素均为0的矩阵。

6.对角矩阵：只有主对角线上有非零元素，其余元素均为0的矩阵。

7.可逆矩阵：存在逆矩阵的方阵。

8.奇异矩阵：不可逆的方阵。

四、矩阵的性质和定理1.矩阵的迹：矩阵主对角线上元素之和。

2.矩阵的转置积：(AB)^T=B^TA^T。

3.矩阵的乘法满足结合律但不满足交换律：AB≠BA。

4.矩阵的乘法满足分配律：A(B+C)=AB+AC。

5.矩阵的行列式：用于判断矩阵是否可逆，计算方式为按行展开法或按列展开法。

6.矩阵的秩：矩阵的列向量或行向量的极大无关组中的向量个数。

7.矩阵的特征值与特征向量：Ax=λx，其中λ为特征值，x为特征向量。

8.矩阵的迹与特征值之间的关系：矩阵的迹等于特征值之和。

五、应用领域1.线性方程组的求解：通过矩阵运算可以求解线性方程组。

2.三角形面积计算：通过矩阵的行列式可以求解三角形的面积。

初中数学知识归纳矩阵的基本运算

初中数学知识归纳矩阵的基本运算矩阵的基本运算是初中数学中的重要知识点之一。

通过矩阵的加法、减法、数乘、矩阵乘法以及转置运算等基本运算，我们可以对矩阵进行各种操作和变换。

本文将对矩阵的基本运算进行详细的归纳和解析。

一、矩阵的定义矩阵是由m行n列的数排成的一个m×n的矩形阵列，通常用大写字母表示。

矩阵中的数称为元素，每个元素用小写字母加上矩阵的行号和列号来表示。

例如，矩阵A中的第i行j列的元素表示为a_ij。

二、矩阵的加法矩阵的加法是指将两个具有相同行数和列数的矩阵按元素进行相加。

设有矩阵A=[a_ij]和矩阵B=[b_ij]，则矩阵A与矩阵B的和记作A+B。

对应元素相加的法则如下：A+B = [a_ij + b_ij]三、矩阵的减法矩阵的减法是指将两个具有相同行数和列数的矩阵按元素进行相减。

设有矩阵A=[a_ij]和矩阵B=[b_ij]，则矩阵A与矩阵B的差记作A-B。

对应元素相减的法则如下：A-B = [a_ij - b_ij]四、矩阵的数乘矩阵的数乘是指用一个实数或复数乘以矩阵的每一个元素。

设有矩阵A=[a_ij]和实数（复数）k，则矩阵A与k的乘积记作kA。

数乘的法则如下：kA = [ka_ij]五、矩阵的乘法矩阵的乘法是指将一个m行n列的矩阵A与一个n行p列的矩阵B相乘，得到一个m行p列的矩阵C。

设有矩阵A=[a_ij]，矩阵B=[b_ij]，则矩阵C=[c_ij]的元素c_ij的计算法则如下：c_ij = a_i1 * b_1j + a_i2 * b_2j + ... + a_in * b_nj六、矩阵的转置矩阵的转置是指将矩阵的行与列进行互换得到的新矩阵。

设有矩阵A=[a_ij]，其转置矩阵记作A^T。

转置的法则如下：如果A的第i行第j列元素为a_ij，则A^T的第j行第i列元素为a_ji。

综上所述，矩阵的基本运算包括加法、减法、数乘、矩阵乘法以及转置运算。

这些基本运算在数学中有着广泛的应用，尤其在线性代数、几何学以及物理学等领域具有重要意义。

矩阵相乘算法公式

矩阵相乘算法公式矩阵相乘这玩意儿，听起来是不是有点高大上，还有点让人头大？但别怕，咱们一起来把它搞明白！先来说说矩阵是啥。

想象一下，矩阵就像是一个整齐排列的数字方队。

比如说有一个 2 行 3 列的矩阵 A ，里面的数字就像士兵一样站得整整齐齐的。

那矩阵相乘又是咋回事呢？简单来说，如果有两个矩阵能相乘，那第一个矩阵的列数得和第二个矩阵的行数一样多。

比如说矩阵 A 是 2 行 3 列，矩阵 B 是 3 行 4 列，那它们就能相乘，得到的结果矩阵 C 就是 2 行 4 列。

咱们来具体讲讲怎么算。

假设矩阵 A 里的元素是 aij ，矩阵 B 里的元素是 bij ，那矩阵 C 里的元素 cij 就等于 A 的第 i 行和 B 的第 j 列对应元素相乘再相加。

我给您举个例子哈。

比如说矩阵 A 是[1 2 3; 4 5 6]，矩阵 B 是[7 8 9 10; 11 12 13 14; 15 16 17 18]。

那矩阵 C 的第一个元素 c11 就是 A 的第一行[1 2 3]和 B 的第一列[7; 11; 15]对应元素相乘再相加，也就是 1×7 + 2×11 + 3×15 = 7 + 22 + 45 = 74 。

就像我之前教学生的时候，有个小同学怎么都弄不明白。

我就跟他说：“你就把矩阵想象成一群小伙伴排队分糖果，每行的小伙伴拿的糖果数不一样，每列的小伙伴要的糖果数也不一样，咱们算算最后每个小伙伴能拿到多少糖果。

”这小家伙一下子就来了兴趣，慢慢也就搞懂了。

在实际应用中，矩阵相乘用处可大了。

比如说在图像处理里，对图像进行变换的时候就会用到。

还有在物理学、计算机图形学等好多领域都离不开它。

所以啊，虽然矩阵相乘算法公式看起来有点复杂，但只要咱们多琢磨琢磨，多做几道题，就一定能掌握它。

别被它一开始的样子吓到，只要咱们有耐心，有信心，就没有搞不定的！希望您也能顺利搞定矩阵相乘算法公式，在数学的世界里畅游无阻！。

矩阵乘法总结

2015.7.28矩阵乘法总结矩阵，其实可以看成一个由m*n个元素组成的m行n列的二维数组：矩阵可以进行一些运算：加法减去乘法。

加法减法：两个矩阵A B大小必须相同才可以进行运算，得到的矩阵C大小与矩阵A B的大小相同，其中C ij=A ij+(-)B ij，加法可以满足结合律和交换律。

乘法：两个矩阵A(n1*m1)和B(n2*m2)，必须满足m1=n2才可以进行运算,得到的矩阵C大小为n1*m2，其中C ij=∑A ik+B kj()，也就是A矩阵的第i行与B矩阵的第j列相乘的累加。

矩阵乘法有很多奇妙的用法，与快速幂结合起来可以巧妙解决一些递推、dp的题目。

下面举一些例子【斐波拉切数列】输出斐波拉切数列的第n个数模10000007，其中0<n<=1000000000000。

用f[i]=f[i-1]+f[i-2]的方法时间复杂度为O(n)，会超时。

假设f[i]和f[i+1]组成一个1*2的矩阵，如果要生成下一个并保存f[i+1]，则需要乘一个0 11 1的矩阵。

而这样不断生成下去，就要不断乘以这个矩阵，这时就要运用到快速幂了，矩阵的快速幂和整数的快速幂一样，也是用二分的方法。

这种方法的时间复杂度为O(log N *2^3)。

【Matrix Power Series】给出一个n*n的矩阵和一个正整数k，求A + A2 + A3+ … + A k.的和模m。

n≤ 30 k≤ 109m < 104设f[i]= A2 + A3+ … + A i直接做A k是不行的，我们同样采用二分的方法。

如果i是奇数，那么f[i]=f[i/2]+f[i/2]*A i、2+A i如果i是偶数，那么f[i]=f[i/2]+f[i/2]*A i、2 这样问题就解决了。

程序：#include<cstdio>#include<cstdlib>#include<cmath>#include<cstring>#include<algorithm>#include<iostream>using namespace std;struct Mat{int M[32][32];int n,m;Mat(){memset(M,0,sizeof(M));}};int MOD;long long K;Mat ma,ans,f,P;Mat ad(Mat A,Mat B)Mat ret;ret.n=A.n;ret.m=A.m;for (int i= 1; i <= A.n; ++i)for (int j= 1 ; j <= A.m ; ++j)ret.M[i][j]=(A.M[i][j]+B.M[i][j])%MOD;return ret;}Mat mul(Mat A,Mat B){Mat ret;ret.n=A.n;ret.m=B.m;for (int i= 1 ; i <= A.n; ++i)for (int j = 1; j <= B.m; ++j){ret.M[i][j]=0;for (int k = 1; k <= A.m; ++k)ret.M[i][j]=(ret.M[i][j]+((A.M[i][k]%MOD)*(B.M[k][j]%MOD))%MOD)%MOD;}return ret;Mat pow(Mat C,long long k) {Mat ret;ret.n=C.n;ret.m=C.m;for (int i= 1; i <= ret.n; ++i)for (int j = 1; j <= ret.n ; ++j)if (i == j )ret.M[i][j]=1;elseret.M[i][j]=0;while (k){if (k &1)ret=mul(ret,C);k >>=1;C=mul(C,C);}return ret;}void dfs(long long k)if (k == 1){f=ma;P=ma;return;}dfs(k/2);f=ad(f, mul(f ,P));P=mul(P,P);if (k &1){P= mul(P ,ma) ;f= ad( f ,P);}}void out(){for (int i = 1; i <= ma.n ; ++i){for (int j= 1; j <= ma.m; ++j)cout << f.M[i][j]%MOD <<" ";cout << endl;。

矩阵乘法知识点总结

矩阵乘法知识点总结1. 矩阵的定义矩阵是一个按照长方形排列的数集合，其中包含有m行n列的数，其中m和n均为正整数。

我们可以用下面的形式表示一个矩阵：A = [a11 a12 ... a1n][a21 a22 ... a2n]...[am1 am2 ... amn]在这个表示中，aij表示矩阵A中第i行第j列的元素，其中i表示行数，j表示列数。

2. 矩阵的乘法两个矩阵相乘的定义如下：设A为一个m×n的矩阵，B为一个n×p的矩阵，那么它们的乘积AB是一个m×p的矩阵，其中AB中的第i行第j列的元素为矩阵A的第i行与矩阵B的第j列对应元素的乘积之和。

即：AB = [c11 c12 ... c1p][c21 c22 ... c2p]...[cm1 cm2 ... cmp]其中ci,j = a1j * b1j + a2j * b2j + ... + anj * bnj。

需要注意的是，对于矩阵乘法来说，AB和BA的乘积结果不一定相等。

3. 矩阵乘法的性质矩阵乘法具有一些重要的性质，包括结合律、分配律等。

结合律：对于矩阵A、B和C，(AB)C = A(BC)。

分配律：对于矩阵A、B和C，A(B + C) = AB + AC。

但是需要注意的是，矩阵乘法不满足交换律，即AB不一定等于BA。

4. 矩阵乘法的应用矩阵乘法在实际中有各种各样的应用，包括图像处理、信号处理、机器学习等领域。

在图像处理中，矩阵乘法可以用来进行图像的旋转、缩放和平移等操作。

在信号处理中，矩阵乘法可以用来进行滤波、变换等操作。

在机器学习中，矩阵乘法可以用来进行特征提取、模型训练等操作。

5. 矩阵乘法的计算对于大型的矩阵乘法计算来说，需要考虑如何进行高效的计算。

传统的方法是使用循环来计算乘积矩阵中的每一个元素，但这种方法的效率较低。

因此，人们提出了一些更高效的算法来进行矩阵乘法的计算，包括Strassen算法、Coppersmith-Winograd算法等。

矩阵乘法计算公式

矩阵乘法计算公式
矩阵乘法是一种常见的数学运算，它可以用来计算两个矩阵的乘积。

矩阵乘法的计算公式如下：
设A为m×n矩阵，B为n×p矩阵，则A×B=C，其中C为m×p矩阵，且
Cij=∑k=1nAikBkj，其中i=1,2,…,m，j=1,2,…,p。

矩阵乘法的计算公式表明，计算两个矩阵的乘积时，需要将两个矩阵的每一行和每一列相乘，然后将结果相加，得到乘积矩阵的每一个元素。

矩阵乘法的计算公式可以用来计算任意两个矩阵的乘积，但是要求两个矩阵的行数和列数必须相等，否则无法计算。

矩阵乘法的计算公式可以用来解决许多数学问题，例如线性方程组、矩阵的幂运算等。

它也可以用来计算多维数据的统计特征，例如协方差矩阵、相关系数矩阵等。

矩阵乘法的计算公式是一种非常有用的数学工具，它可以用来解决许多数学问题，也可以用来计算多维数据的统计特征。

它的应用非常广泛，在数学、统计学、机器学习等领域都有重要的作用。

矩阵的运算公式总结

矩阵的运算公式总结矩阵是线性代数中的重要概念，它在各个领域的数学和科学中被广泛应用。

矩阵之间的运算是矩阵代数的基础，它们包括矩阵的加法、减法、乘法等操作。

本文将总结矩阵的运算公式，以期提供一个全面、生动、有指导意义的参考。

第一部分是矩阵的加法和减法。

两个相同尺寸的矩阵可以进行加法和减法运算。

具体来说，需要分别对应位置上的元素相加或相减。

例如，对于两个3x3的矩阵A和B，它们的加法运算公式为：A +B = [a11+b11, a12+b12, a13+b13; a21+b21, a22+b22,a23+b23; a31+b31, a32+b32, a33+b33]同样，减法运算则是对应位置上的元素做差。

即：A -B = [a11-b11, a12-b12, a13-b13; a21-b21, a22-b22,a23-b23; a31-b31, a32-b32, a33-b33]第二部分是矩阵的数乘。

数乘是将矩阵的每个元素与一个数相乘。

具体来说，对于一个m x n的矩阵A和一个常数k，数乘运算的公式为：kA = [ka11, ka12, ka13; ka21, ka22, ka23; ka31, ka32,ka33]其中，ka11表示第一行第一列的元素乘以k。

第三部分是矩阵的乘法。

矩阵乘法是指将两个矩阵相乘并得到一个新的矩阵。

具体来说，如果矩阵A是一个m x n的矩阵，矩阵B是一个n x p的矩阵，那么它们的乘法运算公式为：C = AB其中，C是一个m x p的矩阵，其元素cij可以通过以下公式计算得到：cij = a1i * b1j + a2i * b2j + ... + ani * bnj计算cij的过程是将A的第i行与B的第j列进行对应元素相乘，然后将它们的乘积相加。

需要注意的是，矩阵乘法不满足交换律，即AB不一定等于BA。

在进行矩阵乘法时，需要确保两个矩阵的维度满足乘法运算的要求。

综上所述，矩阵的运算包括加法、减法、数乘和乘法四种基本操作。

1-3矩阵的乘法

解法2 解法
( AB )
T
1 4 2 2 1 0 17 = BT AT = 7 2 0 0 3 = 14 13. − 1 3 1 − 1 2 − 3 10
2、矩阵的乘幂、
若A是 n 阶矩阵，则 A k 为A的 k 次幂k，即是阶矩阵，的次幂， m k m+k k (Am ) = Amk . A = A AL A 并且 A A = A ,
( B + C ) A = BA + CA;
为数）（其中 λ 为数）;
(3 ) λ ( AB ) = (λA)B = A(λB )
AB ≠ BA ,
例如： A2×3 , B3× 4
A2×3 B3×4 = C2×4 ,
B3×4 A2×3不成立
例设
1 1 1 − 1 A= B= − 1 − 1 −1 1
1 24 4 3
k个
(m , k 为正整数 )
一般而言：一般而言：
( AB)
k
≠ Ak B k .
1 0 例 A= , Ak λ 1
1 0 1 0 1 0 A = = , λ 1 λ 1 2λ 1
2
1 0 1 0 1 0 A = = 2λ 1 λ 1 3λ 1
0 0 0 a 0 0 0 b 0 0 1 b
求
ABA .
解
将 A, B分块
1 a 0 0 0 0 b 1
a 0 A= 0 0
a 0 A1 = 0 0 A1 0 = 0 A , 其中 1 2 b A2 = b 1
1 0 − 1 2 A = − 1 1 3 0 0 5 − 1 4