4 三角有理函数积分
4(4)有理函数及三角函数有理式的积分(1)
原式=
5u + 2 (u2 + 1)2
du
5 2
d(u2 + 1)
(u2 + 1)2 + 2
du (u2 + 1)2
51
u
- 2 u2 + 1 + u2 + 1 + arctanu + C
递推公式
回代
2x -7 2( x2 - 2x + 2) + arctan( x - 1) + C
书上无
Q( x)
部分分式的和, 如果分母多项式Q( x)在实数域
上的质因式分解式为:
Q( x) b0( x - a) ( x2 + px + q) ,( p2 - 4q 0)
, 为正整数, 则 P( x) 可唯一的分解为:
Q( x)
4
有理函数的积分
Q( x) b0( x - a) ( x2 + px + q) ,( p2 - 4q 0)
+ arctan x + C
说明:当被积函数是假分式时,应把它分为 一个多项式和一个真分式,分别积分.
9
有理函数的积分
例2 求
x+3 x2 - 5x + 6 dx
解
x2
x+3 -5x + 6
(x
x+3 - 2)( x - 3)
A+ x-2
B x-3
因式分解 x + 3 A(x - 3) + B(x - 2)
Ap
At + (B - )
2
【高等数学】秒杀必背积分表三角部分
【高等数学】秒杀必背积分表三角部分欢迎纠错常用极限，导数，级数秒杀必背积分表实数部分秒杀必背积分表三角部分基本三角公式sec 2 x − tan 2 x = 1 csc 2 x − cot 2 x = 1 ∫ sec x d x = l n ∣ sec x + tan x ∣ + C ∫ csc x d x = l n ∣ csc x − cot x ∣ + C ∫ tan x d x = − ln ∣ cos x ∣+ C ∫ cot x d x = ln ∣ sin x ∣ +C \sec^2x-\tan^2x=1\\\ \\ \csc^2x-\cot^2x=1\\\ \\ \int \sec x dx=ln|\sec x+\tan x|+C\\\ \\ \int \csc x dx=ln|\csc x-\cot x|+C\\\ \\ \int \tan xdx=-\ln |\cos x |+C\\\ \\ \int \cot xdx=\ln |\sin x|+C\\\ \\sec2x−tan2x=1 csc2x−cot2x=1 ∫secxdx=ln∣secx+tanx ∣+C ∫cscxdx=ln∣cscx−cotx∣+C ∫tanxdx=−ln∣cosx ∣+C ∫cotxdx=ln∣sinx∣+C∫ arcsin x d x = x arcsin x + 1 − x 2 +C ∫ arccos x d x = x arccos x − 1 − x 2 + C ∫ arctan x d x = x arctan x − 1 2 ln ( 1 + x 2 ) + C ∫ a r c c o t x d x = π 2 x − ∫arctan x d x \int \arcsin x dx=x\arcsin x+\sqrt{1-x^2}+C\\\ \\ \int \arccos xdx=x\arccos x-\sqrt{1-x^2}+C\\\ \\ \int \arctan x dx=x\arctan x-\frac{1}{2}\ln(1+x^2)+C\\\ \\ \int arccot xdx=\frac{\pi}{2}x-\int \arctan x dx∫arcsinxdx=xarcsinx+1−x2ln(1+x2)+C ∫arccotxdx=2πx−∫arctanxdx简单积分策略∫ sin n x cos m x d x m ， n 至少一奇数，凑偶数项 m ， n 均为偶数，倍角降幂 s e c 偶凑 t a n ， s e c 奇凑 s e c \int\sin^nx \cos^m xdx\\\ \\ m，n至少一奇数，凑偶数项\\m，n均为偶数，倍角降幂\\\ \\ sec偶凑tan，sec奇凑sec ∫sinnxcosmxdx m，n至少一奇数，凑偶数项m，n均为偶数，倍角降幂sec偶凑tan，sec奇凑sec三角有理函数积分① 若 R ( − sin x , cos x ) = − R ( sin x , cos x ) ，凑 d cos x ② 若 R ( sin x , − cos x ) = − R ( sin x , cos x ) ，凑 d sin x ③ 若 R ( − sin x , −cos x ) = R ( sin x , cos x ) ，凑 d tan x ∫ 0 π 2 f ( cos x , sin x ) d x = ∫ 0 π 2 f ( sin x , cos x ) d x ∫ 0 π x f( sin x ) d x = π 2 ∫ 0 π f ( sin x ) d x = π ∫ 0 π 2 f ( sin x ) d x = π ∫ 0 π 2 f ( cos x ) d x ∫ 0 π x f ( ∣ cos x ∣ ) d x = π2 ∫ 0 π f ( ∣ cos x ∣ ) d x = π ∫ 0 π 2 f ( cos x ) d x = ∫ 0 π x f ( sin x ) d x ∫ 0 1 x m ( 1 − x ) n d x = ∫ 0 1 ( 1 − x ) m x n d x 三角有理函数积分\\ ①若R(-\sin x,\cos x)=-R(\sin x,\cos x)，凑d\cos x\\ ②若R(\sin x,-\cos x)=-R(\sin x, \cos x)，凑d\sin x\\ ③若R(-\sin x,-\cos x)=R(\sin x, \cos x)，凑d\tan x\\\ \\ \\\ \\ \int_0^{\frac{\pi}{2}} f(\cos x,\sin x)dx=\int_0^{\frac{\pi}{2}} f(\sinx,\cos x)dx\\\ \\ \int_0^\pi xf(\sin x)dx=\frac{\pi}{2}\int_0^\pi f(\sin x) dx=\pi\int_0^{\frac{\pi}{2}} f(\sin x) dx = \pi\int_0^{\frac{\pi}{2}} f(\cos x) dx\\\ \\ \int_0^\pixf(|\cos x|) dx=\frac{\pi}{2}\int_0^\pi f(|\cos x|)dx=\pi \int_0^{\frac{\pi}{2}} f(\cos x) dx =\int_0^\pi xf(\sin x) dx\\\ \\ \int_0^1x^m(1-x)^ndx = \int_0^1(1-x)^mx^ndx 三角有理函数积分①若R(−sinx,cosx)=−R(sinx,cosx)，凑dcosx②若R(sinx,−cosx)=−R(sinx,cosx)，凑dsinx③若R(−sinx,−cosx)=R(sinx,cosx)，凑dtanx ∫02πf(cosx,sinx)dx=∫02πf(sinx,cosx)dx ∫0πxf(sinx)dx=2π∫0πf(sinx)dx=π∫02πf(sinx)dx=π∫02πf(cosx)dx ∫0πxf(∣cosx∣)dx=2π∫0πf(∣cosx∣)dx=π∫02πf(cosx)dx=∫0πxf(sinx)dx ∫01xm(1−x)ndx=∫01(1−x)mxndx三角秒杀积分∫ 0 π sin θ d θ = 2 ∫ 0 π 2 sin n θ cos θ d θ = ∫ 0 π 2 sin θ cos nθ d θ = 1 n + 1 ∫ 0 π sin 2 θ d θ =∫ 0 π cos 2 θ d θ = π 2 ∫ 0 π sin 3 θ d θ = 3 4 ; ∫ 0 π cos 3 θ d θ = 0 ∫ 0 π sin 4 θ d θ = ∫ 0 π cos 4θ d θ = 3 π 8 ∫ 0 π sin 5 θ d θ =16 15 ; ∫ 0 π cos 5 θ d θ = 0 ∫ 0 π sin 6 θ d θ = ∫ 0 π cos 6 θ d θ = 5 π 16 \int_0^\pi \sin \theta \space d\theta=2\\\ \\ \int_0^{\frac \pi 2}\sin^n \theta \cos \theta\space d\theta =\int_0^{\frac \pi 2}\sin \theta \cos^n \theta \space d\theta =\frac{1}{n+1}\\\ \\ \int_0^\pi \sin^2 \theta\space d\theta=\int_0^\pi \cos^2\theta\space d\theta=\frac \pi 2\\\ \\ \int_0^\pi\sin^3\theta\space d\theta=\frac 3 4 \space ; \space\int_0^\pi \cos^3 \theta\space d\theta=0\\\ \\\int_0^\pi \sin^4 \theta\space d\theta=\int_0^\pi\cos^4 \theta\space d\theta=\frac {3\pi} 8\\\ \\\int_0^\pi \sin^5\theta\space d\theta=\frac {16} {15} \space ; \space \int_0^\pi \cos^5 \theta\spaced\theta=0\\\ \\ \int_0^\pi \sin^6 \theta\spaced\theta=\int_0^\pi \cos^6 \theta\space d\theta=\frac {5\pi} {16}\\\ \\ ∫0πsinθdθ=2 ∫02πsinnθcosθdθ=∫02πsinθcosnθdθ=n+11 ∫0πsin2θdθ=∫0πcos2θdθ=2π∫0πsin3θdθ=43 ; ∫0πcos3θdθ=0 ∫0πsin4θdθ=∫0πcos4θdθ=83π∫0πsin5θdθ=1516 ; ∫0πcos5θdθ=0 ∫0πsin6θdθ=∫0πcos6θdθ=165π∫ 0 π 2 sin n θ d θ = { ( n − 1 ) ( n − 3 ) ⋯ 4 ⋅ 2 n ( n − 2 ) ( n − 4 ) ⋯ 5 ⋅ 3 ， n 为奇整数 ( n − 1 ) ( n − 3 ) ⋯ 5 ⋅ 3 ⋅ 1 n ( n −2 ) ( n − 4 ) ⋯ 4 ⋅ 2 π 2 ， n 为偶整数\int_0^{\frac \pi 2}\sin^n\theta d\theta=\left\{ \begin{array}{c} \frac{(n-1)(n-3)\cdots4\cdot2}{n(n-2)(n-4)\cdots5\cdot3}，n为奇整数\\\ \\ \frac{(n-1)(n-3)\cdots5\cdot3\cdot1}{n(n-2)(n-4)\cdots4\cdot2}\frac{\pi}{2}，n为偶整数 \end{array} \right. ∫02πsinnθdθ=n(n−2)(n−4)⋯5⋅3(n−1)(n−3)⋯4⋅2，n为奇整数n(n−2)(n−4)⋯4⋅2(n−1)(n−3)⋯5⋅3⋅12π，n为偶整数其他积分{ ∫ e a x sin b x d x = 1 a 2 + b 2 ∣ ( e ax ) ′ ( sin b x ) ′ e a x sin b x ∣ + C ∫ e a x cos b x d x = 1 a 2 + b 2 ∣( e a x ) ′ ( cos b x ) ′ e a x cos b x ∣ + C \left\{ \begin{array}{c} \int e^{ax}\sin bx\spacedx=\frac{1}{a^2+b^2} \begin{vmatrix}(e^{ax}) ' & (\sin bx) ' \\ e^{ax} & \sin bx\\ \end{vmatrix}+C\\\ \\ \int e^{ax}\cos bx\space dx=\frac{1}{a^2+b^2}\begin{vmatrix}(e^{ax}) ' & (\cos bx) ' \\ e^{ax} &\cos bx\\ \end{vmatrix}+C \end{array} \right.∫eaxsinbx dx=a2+b21∣∣∣∣(eax)′eax(sinbx)′sinbx∣∣∣∣+C ∫eaxcosbx dx=a2+b21∣∣∣∣(eax)′eax(cosbx)′cosbx∣∣∣∣+C一些公式诱导公式唯几一个有负号的 cos （π / 2 + α ） = −sin α tan （π / 2 + α ） = − cot α cot （π / 2 + α ） = − tan α 唯几一个有负号的\\\cos（π/2+α）=-\sin α\\\tan（π/2+α）=-\cotα\\\cot（π/2+α）=-\tanα 唯几一个有负号的cos （π/2+α）=−sinαtan（π/2+α）=−cotαcot（π/2+α）=−tanα sin ( w ( π − x ) ) = sin w x , w 为奇数 sin ( k ( π − x ) ) = − sin k x , k 为偶数 \sin (w(\pi-x))=\sin wx,w为奇数\\\sin(k(\pi-x))=-\sin kx,k为偶数sin(w(π−x))=sinwx,w为奇数sin(k(π−x))=−sinkx,k为偶数 sin ( n 2 π ) , n ∈ 1 , 2 , 3 ⋯ = ( − 1 ) n − 1 2 , n ∈ 1 , 3 , 5 ⋯ cos ( n 2 π ) , n ∈ 1 , 2 , 3 ⋯ = ( − 1 ) n 2 , n ∈ 2 , 4 , 6 ⋯\sin(\frac n 2\pi),n\in1,2,3\cdots=(-1)^{\frac{n-1}2},n\in 1,3,5\cdots\\\ \\ \cos(\frac n2\pi),n\in1,2,3\cdots=(-1)^{\frac{n}2},n\in2,4,6\cdots sin(2nπ),n∈1,2,3⋯=(−1)2n−1,n∈1,3,5⋯cos(2nπ),n∈1,2,3⋯=(−1)2n,n∈2,4,6⋯积化和差和差化积。
有理函数的积分积分表的使用
一、 有理函数的积分
在有理分式中，n<m时，称为真分式；n≥m时，称为 假分式.
利用多项式除法，可以把任意一个假分式化为一个有理 整式和一个真分式之和.
有理整式的积分很简单，下面只讨论真分式的积分.
一、 有理函数的积分
1. 最简分式的积分
统称为最简分式，其中n为大于等于2的正整数； A,M,N,a,p,q均为常数，且p2－4q<0.
有理函数的积分积 分表的使用
有理函数的积分积分表的使用
本节将介绍一种比较简单的特殊 类型函数的不定积分——有理函数的 积分，以及积分表的使用.
一、 有理函数的积分
有理函数是指有理式所表示的函数，它包括有理整式和
其中m，n都是非负整数，a0,a1,…,an及b0,b1,…,bn都是实 数，并且a0≠0,b0≠0.
三、 积分表的使用
实际应用中常常利用积分表(见附录)来计算不定积分.求不定 积分时可按被积函数的类型从表中查到相应的公式，或经过少量 的运算和代换将被积函数化成表中已有公式的形式.
三、 积分表的使用
该不定积分不能在积分表中直接査出，需先进行变量代 换.令u=数的积分
2. 有理分式化为最简分式的和
一、 有理函数的积分
对式(5-18) (1)若分母Q(x)中含有因式(x－a)k，则分解后含有下列k 个最简分式之和：
其中A1,A2,…,Ak都是常数. (2)若分母Q(x)中含有因式(x2+px+q)k，其中p2－ 4q<0，则分解后含有下列k个最简分式之和：
二、 可化为有理函数的积分
二、 可化为有理函数的积分
二、 可化为有理函数的积分
【例55】
二、 可化为有理函数的积分
高等数学 第四节 有理函数的积分
有理函数的积分
P 210 −
初等函数 f ( x ) 在它的定义域上是连续 的 , 它的不定积
分 I = ∫ f ( x ) dx 一定存在 , 但是却不一定能把 I 用初等函数
表示出来 , 例如 sin x , x
1 , ln x
e
− x2
,
sin x2 .
我们称这些函数 "积不出来" , "积不出来" 不能说明它 的原函数不存在 .
⌠ x+ p d 2 In = n 2 p p2 x + 2 + q − 4 ⌡
1 u + I1 + c , I2 = 2 2 2a u + a 2
In =
1 u + ( 2n − 3) I n −1 + c . n 2a 2 ( n − 1) ( u 2 + a 2 ) −1
B D − 1 Bp ⋅ I = n 2 n −1 + 2 2 (1 − n) ( x + px + q )
4
⌠ I n = 2 du 2 n , ⌡ (u + a )
p p2 u= x+ , a = q− . 2 4
我们已经知道 : I1 = 1 arctan u + c , a a
2
⇒
1− u , 2u sin x = , cos x = 2 1+ u2 1+ u
1+ u2
x
2u
1− u2
x = 2arctanu ,
dx = 2 du . 1+ u2
高数讲义第四节有理函数的积分全
例9
求积分
1
x
1 xdx x
解 令 1 x t 1 x t2,
x
x
x
t
1 2
, 1
dx
2tdt t2 1
2,
例9
求积分
1
x
1 xdx x
解
令 1 x t x
x
xt2211a12,dxdx
1
2a
ln
x2tdat tx2 a1
2
C,
1 x
1
x
xdx
t
2
1t
t
2
2t
12
dt
2
x
2)
1
A 2x
Bx 1
C x2
解：令：
x
1 (1
x)
2
A x
B 1 x
C (1 x)
2
1 A(1 x)2 B x(1 x) C x
取 x1, 得 C 1; 取 x0, 得 A1;
再取 x 2 , 得 1 (1 2)2 B2(1 2) 2 , B 1 ;
1 x (1 x) 2
t
3
1 t 1
1dt
6
(t
2
t
1
t
1
)dt 1
2t 3 3t 2 6t 6 ln | t 1 | C
2 x 1 33 x 1 36 x 1 6 ln(6 x 1 1) C.
说明 无理函数去根号时, 取根指数的最小公倍数.
例11 求积分
x 3x 1
dx. 2x 1
解 先对分母进行有理化
f (x) 为真分式 , 当 m n 时
f (x) 为假分式
几种典型函数的积分举例
① 比较系数法
x2 2 x 2 x3 1
A Bx C 2 x 1 x x 1
等式两端同时乘以x3 1 ，得到
x 2 2 x 2 A x 2 2 x 2 Bx C x 1
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例4.6. 计算不定积分
解.
x
2
2x 2
2
x2
2
dx.
原式
x2 2 x 2 2 x 2
x
2
2 x 2
dx
2x 2
x
x2 2x 2
2
2x 2
dx 2
x
2
2x 2
2
dx
1 1 2 d x d x 2x x2 2 x 2 x2 2 x 2 2
4 1 B 1 5. 5 2 11 1 2 1 1 1
2 于是，B . 5
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例4.4. 将
解.
x 1 x
x
x
2
1
分解为部分分式之和.
2
③ 拼凑法
2 2
x 1 x2 1
x
x 1 x 2 1
1 tan x 5
C
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例4.5. 计算不定积分
x2 dx. 2 x 2x 3
1 2x 2 1 2 2 解. 原式 dx 2 x 2x 3 1 2x 2 3 2 2 dx x 2x 3
有理函数及三角函数有理式的积分
有理函数及三角函数有理式的积分
一、有理函数的积分
有理函数是指可以表示为常熟分式的函数，称为有理函数。
有理函数主要由多项式和
不定积分所组成。
1.直接积分法：即把有理函数积分后的结果表达式化成原函数的另一种表达形式，常
用整理、贝塞尔曲线等方法来解决。
2.常熟分式积分法：将有理函数分解成分加函数，然后分别积分，再把积分结果求和。
三角函数是一类有特殊解析特性的函数，它们其中包括正弦、余弦函数、正切函数等等。
由于三角函数以及它们的倒数和反函数都有解析特性，因此其积分是容易解决的。
1.利用倒数公式积分：针对三角函数有一系列专有倒数公式，其中包括 Ma 矩阵公式
和高尔文三角函数积分公式。
2.利用反函数积分：由于三角函数都有反函数，因此也可以利用反函数将三角函数的
积分问题转化为反函数的积分问题，从而轻松解决。
3.利用改元积分：改元积分是把变量改为一些更简单的函数，然后分别积分得出结果，可以将三角函数的积分转化为改元积分，以减少积分的难度。
总之，有理函数和三角函数都可以通过不同的方法解决积分问题，在解决的时候需要
根据具体的函数情况来选择最适合的积分法，才能更好的解决积分问题。
第四节有理函数的积分
x( 3x 1 2x 1) 3x 1 2x 1)( 3x 1
dx 2x 1)
( 3x 1 2x 1)dx
1 3
3
x
1d
(3x
1)
1 2
2x 1d(2x 1)
2(3x
3
1)2
1
(2x
3
1)2
C.
9
3
该题先有理化,再凑微分，避免了变量代换化为有理式 的积分所带来的麻烦.
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2 dx = 1 + u2 du,
1 sin 4
x
dx
1
3u2 3u4 8u4
u6du
1[ 8
1 3u3
3 u
3u
u3 3
]
C
24
1 tan
x 2
3
3 8 tan
x 2
3 8
tan
x 2
1 24
tan
x 2
3
C.
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16
【解】Ⅱ 修改万能置换公式, 令 u tan x
x2
x
3 5x
6
(
x
x 2)(
3 x
3)
A B, x2 x3
x 3 A( x 3) B( x 2),
x 3 ( A B)x (3A 2B),
A (3
B A
1, 2B)
3,
A B
5 ,
6
x2
x3 5x
6
5 x2
x
6
. 3
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5
【方法2】特殊值法(赋值法)
第4节 有理函数的不定积分
Mx + N ; 特殊地： 特殊地：k = 1, 分解后为 2 x + px + q
说明 将有理函数化为部分分式之和后，只出 将有理函数化为部分分式之和后， 现三类情况： 现三类情况：
A Mx + N (1) 多项式； ( 2) 多项式； ; ( 3) ; n 2 n ( x − a) ( x + px + q ) Mx + N dx , 讨论积分∫ 2 n ( x + px + q )
2x3 + 5x 2x2 + 5 解 原式 = ∫ x4 + 5x2 + 4dx + ∫ x4 + 5x2 + 4dx
1 d( x4 + 5x2 + 5) ( x2 +1) + ( x2 + 4) = ∫ 4 dx +∫ 2 2 2 2 x + 5x + 4 ( x +1)( x + 4)
1 1 1 4 2 + 2 )dx = ln x + 5x + 4 + ∫ ( 2 x +1 x + 4 2
1 = ln x4 + 5x2 + 4 + arctanx + 1arctan x + C. 2 2 2
注意 将有理函数分解为部分分式求积分虽可行, 将有理函数分解为部分分式求积分虽可行, 但不一定简便 ,因此要注意根据被积函数的结构 特点，灵活处理，寻求简便的方法求解. 特点，灵活处理，寻求简便的方法求解. 例6 求积分 解
2u+1+ u2 −1− u2 2u du du = 原式 = 2 2 (1+ u)(1+ u ) (1 + u)(1 + u )
10分钟掌握高数上不定积分问题(考研、期末复习均可以用)
10分钟掌握高数上不定积分问题（考研、期末复习均可以用）好久没有更新高数的内容了，之前一直更新的是概率论和线性代数的内容，其中概率基本更完了，线性代数还没，知识点有点多，道阻且长，哭唧唧T_T！！下面是之前更新的内容，请自取10分钟掌握高等数学上册函数极限求解问题（考研、期末复习均可以用）10分钟掌握高等数学上册导数及微分问题（考研、期末复习均可以用）10分钟掌握高等数学上册函数图像绘制问题（考研、期末复习均可以用）10分钟掌握中值定理相关问题（考研、期末复习均可以用）码字不易，观看后的同学请给个赞+关注如果有考研或是期末复习方面问题的话可以随时留言或者私信【答学百科】，更多期末复习资料更多更新内容也可以点击下方链接加入社群--------------分割线---------------首先简单介绍下积分，积分是导数的一个反向求解过程，很多人在高中的时候是学过导数的，所以在大学再学的时候会觉得比较简单，但是到了积分这一节，会突然卡住，发现怎么那么难，正着做会，反着就不会了，那么下面重点讲讲不定积分的求解吧一、原函数与不定积分的基本概念1、原函数设 f(x),F(x) 为定义在区间 I 上的函数，若对一切的 x\in I ，有 F'(x)=f(x) ，则称 F(x) 为 f(x) 的原函数备注：（1）函数 f(x) 是否存在原函数与区间 I 有关（2）连续函数一定存在原函数，反之不对（3）有第一类间断的函数一定不存在原函数，但有第二类间断点的函数可能有原函数（这句话还有另一种表达方式：即某个函数的导函数不一定连续），如F(x)=x^{2}sin\frac{1}{x}(x\ne0) ,F(x)=0(x=0)f(x)=2xsin\frac{1}{x}-cos\frac{1}{x}(x\ne0) ,f(x)=0(x=0)显然 F'(x)=f(x) ，但 x=0 为 f(x) 的二类间断点，即导函数不连续（4）若 f(x) 有原函数，则一定有无数个原函数，且任意两个原函数之差为常数（5）原函数、函数及导函数对比2、不定积分设 F(x) 为 f(x) 的一个原函数，则 f(x) 的所有原函数F(x)+C 称为 f(x) 的不定积分，记为 \int f(x)dx=F(x)+C注解：（1）\int [f(x)\pm g(x)]dx=\int f(x)dx\pm \int g(x)dx （2） \int kf(x)dx=k\int f(x)dx【例题】\int (x+\frac{1}{x})dx=\int xdx+\int\frac{1}{x}dx=\frac{1}{2}x^{2}+ln\left| x\right|+C\int 5xdx=5\intxdx=5\times\frac{1}{2}x^{2}=\frac{5}{2}x^{2}+C二、不定积分基本公式1、常数函数积分\int kdx=kx+C2、幂函数积分\int x^{n}dx=\frac{1}{n+1}x^{n+1}+C ，\int\frac{1}{x}dx=ln\left| x \right|+C3、指数函数积分\int a^{x}dx=\frac{1}{lna}a^{x}+C ，\inte^{x}dx=e^{x}+C4、三角函数积分\int sinxdx=-cosx+C ，\int cosxdx=sinx+C，\inttanxdx=-ln\left| cosx \right|+C， \int cotxdx=ln\left| sinx \right|+C ， \int secxdx=ln\left| secx+tanx\right|+C ， \int cscxdx=ln\left| cscx-cotx\right|+C ， \int sec^{2}xdx=tanx+C ， \intcsc^{2}xdx=-cotx+C ， \int secxtanxdx=secx+C ， \int cscxcotxdx=-cscx+C5、特殊函数积分\int \frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}dx=arcsinx+C ， \int\frac{1}{1+x^{2}}dx=arctanx+C三、不定积分的积分法不定积分的积分方法主要有五种：一类换元法、二类换元法、分步积分法、有理函数积分法、三角函数积分法，课本上一般只介绍了前三种，不够全面，下面具体来看看（一）一类换元法（凑微法）1、定义设 f(u) 的原函数为 F(u) ， \varphi(x) 为可导函数，则\int f[\varphi(x)]\varphi'(x)dx=\intf[\varphi(x)]d\varphi(x)令 \varphi(x)=u ，则原式 =\intf(u)du=F(u)+C=F[\varphi(x)]+C在微凑法里面，很多同学会懵逼：d后面那个是怎么来的，完全没有思路实际上，一类换元法的话会涉及到微分的知识，如果对微分熟悉的同学应该还是可以看懂的，下面简单讲解一下回顾下微分的内容， dy=f'(x)dx ，其中 y=f(x) ，基于这个点，看下几个例子y=x^{2},dy=2xdx\Rightarrowdx^{2}=2xdxy=sinx,dy=cosxdx\Rightarrowdsinx=cosxdx【例题】\int 2xdx=\int d(x^{2})=x^{2}+C\intcosxdx=\int d(sinx)=sinx+C上述两道题从第一步到第二部的变化现在应该可以看懂了，主要就是利用微分的形式进行变化的2、凑微法基本公式以下列举了一些凑微法中常用的公式，不过不建议大家去背下来，主要还是要靠题目去巩固【例题】\int \frac{arcsinx}{\sqrt{1-x^{2}}}dx=\intarcsinxdarcsinx=\frac{1}{2}(arcsinx)^2+C（二）二类换元法1、定义设 \varphi(t) 为单调可导函数，且\varphi'(t)\ne0， f(x) 有原函数，则令 x=\varphi(t)\int f(x)dx=\int f[\varphi(t)]\varphi'(t)dt=\intg(t)dt=G(t)+C =G[\varphi^{-1}(x)]+C2、适用范围（1）二类换元法经常使用在根号下的平方相加减的积分计算中，这时候就利用三角替换进行解答主要利用两个三角函数公式的变换：sin^{2}x+cos^{2}x=1 ， tan^{2}x+1=sec^{2}x ，利用三角函数的变化，去掉根号，再进行计算，常用的替换如下：情形一：若函数中含有 \sqrt{a^{2}-x^{2}} ，变换 x=asint情形二：若函数中含有 \sqrt{a^{2}+x^{2}}，变换 x=atant情形三：若函数中含有 \sqrt{x^{2}-a^{2}}，变换 x=asect（2）无理函数化成有利函数的积分【例题1】求解\int \frac{dx}{\sqrt{x}+1}解答：令 \sqrt{x}=t,x=t^{2},dx=2tdt原式为 \int\frac{dx}{\sqrt{x}+1}=\int\frac{2tdt}{t+1}=\int \frac{2t+2-2}{t+1}dt=2-\int \frac{2}{t+1}dt=2t-2ln\left| t+1\right|+C最后将 t 换回 x 即可，即原函数为2\sqrt{x}-2ln\left| \sqrt{x}+1 \right|+C【例题2】求解 \int \frac{dx}{\sqrt{1+x^{2}}}解答：令 x=tant,dx=sec^{2}t原式为 \int\frac{sec^{2}tdt}{\sqrt{1+tan^{2}t}}=\int\frac{sec^2t}{sect}dt=\int sectdt=ln\left|tant+sect \right|+C做到这边很多人又有疑问了，tant 可以换回去 x ，那么 sect 呢，如何换成 x的表达式，这里介绍一种图像结合的方法，大家看下下面这张三角形结合直角三角形及t和x的函数关系，即可推导出其余三角函数的公式所以原式为 =ln\left|x+\sqrt{1+x^{2}} \right|+C（三）分部积分法1、定义设 u(x),v(x) 连续可导，则分部积分法公式为 \intu(x)dv(x)=u(x)v(x)-\int v(x)du(x)2、适用情况以下几种形式可以采用分部积分法进行计算：（1）被积函数为幂函数与指数函数之积，如\int x^ne^{x}dx （2）被积函数为幂函数与指数函数之积，如\int x^nlnxdx （3）被积函数为幂函数与三角函数之积（4）被积函数为幂函数与反三角函数之积（5）被积函数为指数函数与三角函数之积（6）被积函数含有 sec^nx 或 csc^nx （ n 为奇数）备注：用分部积分法时一定要注意，哪个函数设为 u(x) ，哪个函数为 v(x) ，下列简述下不同的设法最后的结果是怎么样的【例题】求解 \int xe^{x}dx解答一：u(x)=e^{x},v'(x)=x 则u'(x)=e^{x},v(x)=\frac{1}{2}x^2\intxe^{x}dx=\inte^{x}d\frac{1}{2}x^2=\frac{1}{2}x^2e^{x}-\int\frac{1}{2}x^2e^{x}dx做到这发现一个问题，原来的积分仅为一次方，而用了一次分部积分后发现变成了二次方，解答难度变得更大了，这说明在函数的假设过程中是有问题的，若利用该方法继续往下算，会发现永远算不出来解答二：u(x)=x,v'(x)=e^{x} 则 u'(x)=1,v(x)=e^{x}\intxe^{x}dx=\int xde^{x}=xe^{x}-\inte^{x}dx=xe^{x}-e^{x}+C做到这里会发现分部积分法最重要的就是要将 u,v 设正确了，只要假设正确了，一般就能做出来（四）有理函数积分1、形式设 R(x)=\frac{P(x)}{Q(x)} ，其中 P(x),Q(x) 为多项式，此处仅考虑P(x)的次数比 Q(x) 次数低时的情况（若P(x)的次数比 Q(x) 次数高时，可对 P(x) 进行拆分）（1） \int \frac{dx}{(x+a)(x+b)}=\int\frac{A}{(x+a)}+\frac{B}{(x+b)}dx（2） \int \frac{dx}{(x+a)(x+b)^2}=\int\frac{A}{(x+a)}+\frac{B}{(x+b)}+\frac{C}{(x+b)^2}dx（3）\int \frac{dx}{(x+a)(x^2+bx+c)}=\int\frac{A}{(x+a)}+\frac{Bx+C}{(x^2+bx+c)}dx将有理函数设成上面带有 A,B,C 的函数，通过与原式对比，解答出 A,B,C ，再进行计算【例题】求解 \int \frac{x+1}{x^2-x-6}dx分析：\frac{x+1}{x^2-x-6}=\frac{x+1}{(x+2)(x-3)}=\frac{A}{(x+2)}+\frac{B}{(x-3)}由 A(x-3)+B(x+2)=(A+B)x+(2B-3A)=x+1A+B=1 ， 2B-3A=1\RightarrowA=\frac{1}{5} ， B=\frac{4}{5}解答：\int \frac{x+1}{x^2-x-6}dx=\int\frac{1}{5}\frac{1}{x+2}+\frac{4}{5}\frac{1}{x-3}dx\frac{1}{5}ln\left| x+2\right|+\frac{4}{5}ln\left| x-3 \right|+C（五）三角函数积分三角函数的积分一般利用几个基础的三角变换公式进行化简，化简后再进行积分求解：1、倍角公式：sin2x=2sinxcosx ， cos2x=cos^2x-sin^2x=2cos^2x-1=1-2sin^2x2、半角公式：利用背角公式进行推导，此处不进行列举3、和积化差公式：sin\alpha+sin\beta=2sin(\frac{\alpha}{2}+\frac{\beta}{ 2})cos(\frac{\alpha}{2}-\frac{\beta}{2})sin\alpha-sin\beta=2cos(\frac{\alpha}{2}+\frac{\beta}{2})sin(\fr ac{\alpha}{2}-\frac{\beta}{2})cos\alpha+cos\beta=2cos(\frac{\alpha}{2}+\frac{\beta}{ 2})cos(\frac{\alpha}{2}-\frac{\beta}{2})cos\alpha-cos\beta=-2sin(\frac{\alpha}{2}+\frac{\beta}{2})sin(\frac{\alpha }{2}-\frac{\beta}{2})4、万能公式法令 tan\frac{x}{2}=u ，则 sinx=\frac{2u}{1+u^2} ，cosx=\frac{1-u^2}{1+u^2} ， dx=\frac{2}{1+u^2}du利用万能公式便可将三角函数积分变换成有理函数积分进行求解，不过该解法相对比较麻烦，很少会采用该方法进行计算不定积分的解答方法基本就是这些了，方法比较多，但是不同方法有对应的积分形式，只要熟悉了积分形式，解答的时候也相对快捷--------------分割线---------------码字不易，请大家点个赞吧~另外如果有考研或者数学方面问题的话可以随时留言或者私信，有问必答哈~也可以点击头像加入社群进行交流~。
高数同济44有理函数三角函数及一些无理函数的不定积分
例4 求积分
1 x(x 1)2dx.
解 x(x11)2dx1 x(x 11)2x1 1dx
1 xd x(x 11)2d xx1 1dx
ln x1ln x (1)C . x1
1
例5 求积分 (12x)(1x2)dx.
解 (12x)1(1x2)dx1542xdx152xx215dx
5 2 ln 1 2 ( x ) 1 5 1 2 x x 2d x 1 5 1 1 x 2 dx
由代数学定理:
Q(x)=b0(x－a) …(x－b) (x2 +px+q) …(x2+rx+s)
Q(x)=b0(x－a) …(x－b) (x2 +px+q) …(x2+rx+s)
难点 将有理函数化为最简分式之和.
设 Q P((x x))b a 00 x x m n b a 1 1x xm n 1 1 b am n 1 1x x a bn m是真 . 分
例12
求积分
x 3x1
d.x 2x1
解 先对分母进行有理化
原式 (3 x 1 x (2 3 x x 1 1 ) (3 2 x x 1 1 )2 x 1 )dx
(3x 12x 1 )dx
1 3 3x1d(3x1)1 2 2x1d(2x1)
2(3x1)2 31(2x1)2 3C .
例1 x3 x2 5x6
化为最简分式之和.
x3 A B ,
待
(x2)(x3) x2 x3
定
x 3 A ( x 3 ) B ( x 2 ),系
数
x 3 ( A B ) x ( 3 A 2 B ), 法
A(3A B21,B)3,
4有理函数积分
2. 特殊类型的积分按上述方法虽然可以积出, 但不一定 简便 , 要注意综合使用基本积分法 , 简便计算 .
27
第四节 有理函数的积分
思考与练习
如何求下列积分更简便 ?
解: 1. 原式 1 3
dx3 (a3)2 (x3)2
66a1a133llnn
xx33aa33 xx33aa33
1. 三角函数有理式的积分
设
表示三角函数有理式 , 则
R(sin x , cos x) dx
令
t
tan
x 2
万能代换
t 的有理函数的积分
15
第四节 有理函数的积分
例7. 求
sin
1 sin x x(1 cos
x)
dx
.
解: 令 t tan x , 则 2
sin
x
2 sin
sin
2
x 2
x 2
cos
x 2
cos2
x 2
2 1
tan tan
x 2
2
x 2
2t 1 t
2
cos
x
cos 2 sin 2
x 2
x 2
sin cos
2 2
x 2
x 2
1 1
tan tan
2 2
x 2
x 2
1 1
t t
2 2
dx
1
2 t
2
dt
16
第四节 有理函数的积分
sin
1 sin x x(1 cos
x)
dx
) dx
,
令
tn
a xb c xd
R(x , n ax b , m ax b)dx ,
4.4 几种特殊函数的不定积分
当 P( x) 的次数小于 Q( x) 时，
称这有理函数为真分式，否则为假分式。 总可以将一个假分式化成一个多项式与一个真分 式之和的形式
例1 将下列真分式分解为部分分式
4.4几种特殊函数的不 定积分
解
(1) 用拼凑法
x ( x 1) 1 1 1 2 2 2 ( x 1) x( x 1) x( x 1) x( x 1) 1 x ( x 1) 2 ( x 1) x( x 1) 1 1 1 2 x 1 x ( x 1)
4.4几种特殊函数的不 定积分
(2) 用赋值法，设
x3 x3 A B 2 x 5 x 6 ( x 2)( x 3) x 2 x 3
解得
A 5, B 6
6 5 原式 x2 x 3
4.4几种特殊函数的不 定积分
(3) 设
1 Bx C A 2 (1 2 x)(1 x ) 1 2 x 1 x 2
.
2 2t 1 t2 dt sin x , cos x , dx 2 2 2 1 t 1 t 1 t
于是
1 1 du 2 dt 2 2 2 2 1 t 1 t 1 t 1 t 4t
sin x 1 sin x dx
x 设 tan t 2
4.4几种特殊函数的不 定积分
1 t2 cos x 1 t2
2t sin x , 2 1 t
x 2arctan t ,
从而
2 dx dt 2 1 t
称为万能代换
例5 求
x 解 设 tan 2 t ，则
1 sin x dx
4.4几种特殊函数的不 定积分 sin x
[整理]11不定积分
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第七讲 不定积分§1 重要内容 一．凑微分11ln ,ln dx x c dx d x x x=+ =⎰ ()()1l n l n l nf x d x f x d x x→=⎰⎰ ()()()()()1l n 1l n 1l n 11f x d x f x d x x →+=+++⎰⎰ ()()()()()11ln ln ln f ax b dx f ax b d ax b ax b a →+=+++⎰⎰()()()()()22221ln 1ln 1ln 112x f x dx f x d x x →+=+++⎰⎰二．第二换元法1． 根式代换,fd x cd x ⎰⎰ 2． 三角代换3． 倒代换 211,x t t= 4． 被积函数含xe ，ln x 及反三角函数时，令：xe ，ln x ，arctan x t = 三．分部积分法1． 五种基本类型2． ()()211f x dx f x d x x=-⎰⎰ ()()()21111f x dx f x d x x =-++⎰⎰ ()()()2111f x dx f x d a ax bax b =-++⎰⎰()()()()()()()()()()()()()()()()()()2222222211111111cos 111sin 11sin sin 11cos 1cos 11211x x x xx x e f x dx f x d e e e f x dx f x d e e x f x dx f x d f x dx f x d x x x x x f x dx f x dx x x f x dx f x d x x ---⎧=- ⎪++⎪⎪⎪= ⎪++⎪⎪⎪=- ⇒ =-⎨++++⎪⎪⎪=+⎪+⎪⎪=- ⎪++⎪⎩⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰3． ()()21tan cos f x dx f x d x x=⎰⎰， ()2sec f x xdx ⎰()()211c o s 22c o s dx f x dx f x x x =+⎰⎰， ()21s i n f x d x x⎰ 四．三角有理函数积分：1． sin cos mnx xdx ⎰ :,,m n m n ⎧⇒⎨⎩凑微分至少有一个为奇数利用倍角公式降幂:都为偶数2． sin cos m n xdx x ⎰ 2s i n m m x ⎧⇒⎨ ⎩2为奇数: 凑微分 为偶数:x=1-cos 拆开 3．sin cos m n dxx x ⎰ （m n +为偶数）22sin sin cos cos dxa xb x xc x d+++⎰以上两种情况：分子分母同除以2cos x ，21tan cos dx d x x= 4． 分母含 21cos 2cos 2x x +=， 21cos 2sin 2x x -= 五．有理函数积分2e x fdx ax bx c +++⎰六．典型技巧：1．()()()()()()()()()()11111f x f x f x dxdx dx g x g x f x g x f x g x f x ⎛⎫+-==- ⎪ ⎪+++⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎝⎭⎰⎰⎰2．简化分母原则：将分母多项之和化为一项。
4.1.4有理函数的积分
( x 2 + px + q ) n
前面三种积分已在例题中介绍了它们的解法， 前面三种积分已在例题中介绍了它们的解法，最后 已在例题中介绍了它们的解法
一种积分方法较繁，可查阅积分表中的公式. 一种积分方法较繁，可查阅积分表中的公式. 中的公式
dx
1 2x + 2 1 dx + ∫ dx = ∫ 2 x2 + 2x + 2 x2 + 2x + 2
1 d( x 2 + 2 x + 2) d ( x + 1) = ∫ +∫ 2 2 x + 2x + 2 ( x + 1) 2 + 1 2
1 = ln x 2 + 2 x + 2 + arctan( x + 1) + C . 2
二、三角函数有理式的积分
1．三角函数有理式
由常数和三角函数经过有限次四则运算所得到的函数
称为三角函数有理式， 表示. 称为三角函数有理式，可用 R(sin x , cosx ) 表示. 三角函数有理式
2．半角代换法
2 R(sinxx= t cos则 dx 可用半角代换法化为有理函数的积分. , ， x ) x =可用半角代换法化为有理函数的积分. 2arctant ， dx = dt ， 令 tan
(t + 1)2 t 2 + 2t + 1 令 x − 1 = t, dx = d t dx ②∫ ∫ t 20 dt = ∫ t 20 dt ( x − 1)20
x2
t −17 t −18 t −19 − − +C = ∫ (t −18 + 2t −19 + t −20 )dt = − 17 9 19 1 1 1 =− − − +C . 17 18 19 17( x −1) 9( x −1) 19( x −1)
有理函数积分的教学探讨
有理函数积分的教学探讨一、有理函数的定义和性质1. 有理函数的定义：有理函数是多项式的比值。
2. 有理函数的性质：有理函数可以分解为有限个一次多项式的和或差。
3. 有理函数的最低项：有理函数的最低项是分母的最高次项。
二、有理函数的分解1. 真分式和假分式：真分式是分子次数小于分母次数的有理函数，假分式是分子次数大于等于分母次数的有理函数。
2. 减去整数部分：对于假分式，可以通过减去整数部分将其转化为真分式，从而方便进行后续的积分计算。
3. 部分分式分解：将真分式进行部分分式分解，将其分解为一些简单的有理函数的和或差。
三、有理函数积分的基本方法1. 直接整除法：如果分母是分子的因式，可以直接进行整除，得到一个更简单的积分表达式。
2. 分部积分法：对于包含多项式和指数函数的积分，可以使用分部积分法，将一个积分化为另一个积分。
3. 有理函数积分公式：有理函数积分有一系列的常用公式，如幂函数积分公式、三角函数积分公式等，可以通过熟练掌握这些公式来简化积分计算。
四、有理函数积分的特殊情况1. 分母有重根：当分母有重根时，可以通过拆分为两个分式的和的形式来计算积分。
2. 分母有虚根：当分母有虚根时，可以通过配平方和凑微分的方法来计算积分。
五、有理函数积分的应用1. 解析几何：有理函数积分在解析几何中有广泛的应用，可以求曲线的弧长、曲线的面积等。
2. 微积分：有理函数积分是微积分的基础，可以用于求导、求极限等计算。
总结：有理函数积分是高等数学中的一个重要概念，教学中可以通过对有理函数的定义和性质以及分解等基本知识的讲解，搭配一些常见的积分方法和特殊情况以及应用的例题，来帮助学生理解和掌握有理函数积分的概念和计算方法。
需要注意培养学生的实际应用能力，将有理函数积分与解析几何和微积分等领域的知识和问题相结合，提高学生的综合应用能力。
三角有理函数不定积分的求解
·６２·
榆 林 学 院 学 报 ２０２０年第 ４期（总第 １５０期）
贺瑜飞：三角有理函数不定积分的求解
·６３·
参考文献： ［１］彭 辉．高等数学辅导（同济·六版 上下册合订）［Ｍ］．济南 ：山东科学技术出版社，２０１１． ［２］华东师范大学数学系数学分析上册［Ｍ］．北京：高等教育出版社，２００４． ［３］梁汉光三角函数有理式积分［Ｊ］．广西民族大学学报（自然科学版），２００６（２）：２１－２８． ［４］魏章志，陈 浩三角函数有理式积分技巧［Ｊ］．高等数学研究，２０１１（１）：７７－７９． ［５］龚冬保．复变函数典型题［Ｍ］．西安：西安交通大学出版社，２００２． ［６］谢惠民，恽自求．数学分析题课讲义［Ｍ］．北京：高等教育出版社，２００３． ［７］邢秀侠．不定积分的一题多解［Ｊ］．教育教学论坛，２０１６（１５）：２４５－２４６． ［８］景慧丽．一道不定积分题的多种解法［Ｊ］．玉溪师范学院学报，２０１６（４）：２４－２６． ［９］于文广，黄玉娟．不定积分的一题多解研究［Ｊ］．牡丹江教育学院学报，２０１５（１０）：１３０－１３１．
２０２０年 ０７月 第 ３０卷 第 ４期
榆林学院学报 ＪＯＵＲＮＡＬＯＦＹＵＬＩＮＵＮＩＶＥＲＳＩＴＹ
Ｊｕｌ．２０２０ Ｖｏｌ．３０Ｎｏ．４
三角有理函数不定积分的求解
贺瑜飞
（榆林学院 数学与统计学院，陕西 榆林 ７１９０００）
摘 要：三角有理函数的积分求解是微积分中一个很重要的内容，但也是一个难点。本文用实际的例子 给出四种处理三角有理函数积分的方法与技巧，即利用变量代换法、凑微分法、递推法、留数法。以期 为以后处理三角有理函数积分提供一些帮助。 关键词：三角函数；积分；留数 中图分类号：Ｏ１７２．２ 文献标志码：Ａ 文章编号：１００８－３８７１（２０２０）０４－００６０－０４ ＤＯＩ：１０．１６７５２／ｊ．ｃｎｋｉ．ｊｙｌｕ．２０２０．０４．０１２
62_4简单无理式、三角函数积分法
12
三、三角函数有理式的不定积分
由三角函数和常数经过有限次四则运算构成 的函数称为三角函数有理式.
一般记为 R(sin x , cos x) .
令 u tan x , 2
则 x 2arctan u ,
(万能代换公式)
sin
x
1
2u u2
,
cos
x
1 1
u2 u2
,
dx
1
2 u2
du
R(sin x,cos x)dx
1 dt
3
(
t
1
1
1
t
)
dt
3 1 t 2 t ln 1 t C
2
2020/6/5
3
例2 求积分
1 dx.
x13 x1
解 令 t 6 x 1 6t5dt dx,
原式
t3
1
t2
6t 5dt
6
t 3 dt t 1
6
(t
2
t
1
t
1
) 1
dt
2t 3 3t 2 6t 6ln | t 1 | C
原式
b2
1 sin 2
x
dx
1 b2
cot
x
C
,
2020/6/5
19
(3) 当 a 0 , b 0 时 ,
原式
a2
sec2 x b2 tan2
x
dx
u tan x du
a2 b2u2
1 arctan( bu) C 1 arctan( b tan x ) C .
ab
a
ab
第二节 不定积分的计算(Ⅳ)
三角函数有理式积分
§6–6 三角函数有理式积分基础知识导学1. 定义三角函数有理式是指由三角函数和常数经过有限次四则运算所构成的函数，记作：R (sin x ,cos x ) 2. ⎰ R (sin x ,cos x )dx 的求法（1） 利用三角恒等式和变量代换，把⎰ R (sin x ,cos x )dx 化为熟悉的积分； （2）利用下面三种函数代换，把三角函数原积分转化为新变量 t 的有理函数积分，而有理函数的积分已经解决，所以三角有理式的积分也就解决了。
三种变量代换① 对⎰ R (sin x ,cos x )dx ，利用万能公式，x 2t1 - t2 2 即令 t = tg 2 ，则 sin x = 1 + t 2 ，cos x = 1 + t 2 ，dx = 1 + t 2 dt② 对⎰ R (sin x )cos xdx 或⎰ R (cos x ) sin xdx令 t = sin x 或 t = cos x ③ 对⎰ R (sin 2 x , cos 2 x ) dx 或⎰ R (tg x ) dx 令 t = tg x重点难点突破1. 在计算三角函数有理式的积分时，要注意分析被积函数的特点，充分利用三角函数恒等式，达到简化计算的目的。
2. 下面的变量代换是根据上述三种变量代换和三角有理式的具体形式得到的一些代换，在计算中常常用到。
① 形如⎰ sin m x cos nx dx 的积分 如果 m ，n 中至少有一个为奇数时，若 m 为奇数，则令 cos x = t ；若 n 为奇数，则令 sin x = t 1 - cos 2x 如果 m ，n 皆为偶数，则作变换 sin 2 x = ,cos 2 x = 2 1 + cos 2x2② 形如⎰ tg m x dx ,和⎰ ctg mx dx 的积分，其中 m 为正整数 利用 tg 2x = sec 2x －1， ctg 2x = csc 2x －1 降低正切或余切函数的幂指数。