电网络理论习题解

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习题1

1. 一个非线性电阻元件的电压、电流分别为：u(t) = cos ωt ，i(t) = cos4ωt(u 、i 参考方向一致)。求该电阻元件的构成关系。

i(t) = cos4ωt = 8cos 4ωt -8cos 2ωt+1 = 8u 4(t)-8u 2(t)+1

2．二端元件的电压、电流分别为u(t) = 2cost ，i(t) = 0.5-cost ，试确定元件类型(即属于电阻、电感、电容等中的哪一类)，并论证其无源性。

i(t) = 0.5-cost = 0.5-0.5u(t)

0T d )cos 5.0(cos 2d )(i )(u )t ,t (W T

T

0<-=ττ-τ=τττ=⎰⎰

电阻，有源。

3．有两个二端元件，其电压、电流关系方程分别为

dt

)

t (di )

t (2i u(t) (2) dt du(t)2u(t)i(t) )1(2== 试确定各元件类型，并论证各元件的无源性。

（1）因为dt du dt dq i 2

=

=，所以q = u 2+A ，A 为常数，电容元件。 )t (u 3

2

d d du u 2u d )(i )(u )t (W 3t t =ττ⨯=τττ=⎰⎰∞-∞-，当u<0时，W(t)<0，有源。

（2）因为dt

di 32dt d u 3

=

ψ=，所以ψ = 32i 3+A ，电感元件。 0)t (i 2

1

id d di i 2d )(i )(u )t (W 4t 2t ≥=τ⨯τ=τττ=⎰⎰∞-∞-，无源。

4．如题图1所示二端口电路，其中非线性电阻r 的构成关系为u r = i r 3。此二端口是有源的还是无源的。

p = u 1i 1+u 2i 2 = i = (i 1R 1+u R )i 1+(i 2R 2+u R )i 2 = i 12R 1+i 22R 2+i R 4≥0

0pd d )()()t (W t

t

=≥τ=τττ=⎰⎰∞

-∞

-i u ，无源。

5．图1.23中对四种线性受控源给出了其一种零泛器模型。证明各含零泛器电路与对应受控源间的等效性。

6． 图1.16给出了用运放和电阻元件实现的CNIC 和VNIC 的电路。试证明各含运放电路与对应的负阻抗变换器间的等效性。

题图1

习题2

1. 对题图1所示有向图：(1)若以节点④为参考节点，写出关联矩阵A ；(2)若选树T(1，2，3，4，5)，写出基本割集矩阵Q f 和基本回路矩阵B f 。

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦

⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-------=1 1 1 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 1 1 1 0 0 0 0 1 0 0 1 0 1 0 1 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 1 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 A

⎥⎥⎥⎥⎥

⎥⎥⎥⎦

⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡---------=1 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 1 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 1 1 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 1 1 0 0 0 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 f B

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦

⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-----= 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 1 0 0 1 0 1 0 1 0 0 0 1 1 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 1 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 1 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 f Q

2. 已知图G 对应于某一树的基本割集矩阵如下，(1)试写出对应于同一树的基本回路矩阵；(2)作出对应的有向图。

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡--------=0 1 1 0 0 0 1 0 0 0 00 0 1 1 1 0 0 1 0 0 01 1 0 1 1 0 0 0 1 0 00 0 0 1 1 1 0 0 0 1 01 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1f Q ⎥⎥⎥⎥⎥

⎥⎥⎥⎦

⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡------=-= 0 0 1 0 1 1 0 1 0 0 1 1 0 0 0 0 1 1 1 0 0 1 1 1 0 0 0 0 1 1 5 4 3 2 1 T l t Q B

基本回路矩阵：B f = [B t 1l ]

网络图如右所示，图中红线表示的是树枝。

3. 若考虑网络中电感和电容的初始值不为0，试写出矩阵表示的网络VCR 方程。图2.11(a)电路中，电感、电容的初值分别为i L5(0−)、u C6(0−)和u C7(0−)，求支路电压向量U b (s)。

1

③

题图1 ①

② ③ ⑤ ⑥

设初值向量i L (0−)，u C (0−)，变换为s 域的电压源L T i L (0−)，u C (0−)/s ，L 为支路电感向量。 支路电压向量 U b (s) = Z b (s)[I b (s)+I s (s)]−U 's (s) 支路电流向量 I b (s) = Y b (s)[U b (s)+U 's (s)]−I s (s) 考虑初值时上式中 U 's (s) = U s (s)+L T i L (0−)−u C (0−)/s

本题中L T i L (0−) = [0 0 0 0 L 5i L5(0−) 0 0]T ，u C (0−)/s = [0 0 0 0 0 u C6(0−)/s u C7(0−)/s]T

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎥

⎥⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-+⎥⎥⎥⎥

⎥⎥⎥

⎥⎥

⎦

⎤⎢⎢

⎢

⎢⎢⎢

⎢⎢

⎢⎣⎡---------=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡----0 0 0 0 0 )0(i s 1)0(u C )0(u C )s (U G 1 0 0 0 1 0 1 0 1 0 0 1 1 0 0 0 1 0 1 1 0 0 0 0 1 1 0 1 0 0 0 0 G g g 0 C s /sL 1 0 0 0 g sC 0 0 G 0 g 0 )s (U )s (U )s (U )s (U )s (U )s (U )s (U 5L 6C 67C 7s 41

365747654321

4. 用导纳矩阵法求题图2所示网络的支路电压向量。

作出网络图，以结点5为参考结点，取树(1、3、4、6、8)，列出矩阵。

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦

⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡= 1- 0 0 1- 0 0 0 0 0 1- 0 0 0 0 0 1- 1 0 0 0 0 1- 1- 0 0 0 1- 0 1- 1 0 0 0 0 0 0 1 0 1 1 8 7 6 5 4 3 2 1 A ⎥⎥

⎥⎦⎤

⎢⎢⎢⎣⎡= 0 1 1- 0 1 0 0 1-1- 0 1- 1 0 1- 0 0 0 0 0 0 1- 1- 1 0 8

7 6 5 4 3 2 1 f B ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎥

⎥

⎦

⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=

1/R 1/R 1/R 1/sL 1/sL sC C s C s 87654321b Y

0 0 (s)

I s1题图2