第2节矩阵的初等变换与逆矩阵的求法

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2-2逆矩阵及其运算

线性代数第二节逆矩阵及其运算一、逆矩阵的概念和性质五、初等变换求逆矩阵四、矩阵的初等变换和初等矩阵二、矩阵可逆的条件三、用伴随矩阵法求逆矩阵线性代数（或称的逆）；其中为的倒数，a 11a a -=a ,111aa a a --==在数的运算中，对于数，有是否存在一个矩阵,.11AA A A E --==在矩阵的运算中,单位矩阵E 相当于数的乘法运算中的1，那么，对于矩阵A ，1A -使得一、逆矩阵的概念和性质0a ≠线性代数对于n 阶矩阵A ，如果有一个n 阶矩阵B ,使得则说矩阵A 是可逆矩阵或非奇异矩阵，并把矩阵B 称为A 的逆矩阵，否则称A 是不可逆矩阵或奇异矩阵。

,AB BA E ==例1设,01011010A B -⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭,AB BA E ==∴B 是A 的一个逆矩阵。

定义1（可逆矩阵）线性代数例1 设,2110A ⎛⎫= ⎪-⎝⎭解设是A 的逆矩阵,a b B c d ⎛⎫= ⎪⎝⎭则2110a b AB c d ⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪-⎝⎭⎝⎭1001⎛⎫= ⎪⎝⎭221001a c b d ab ++⎛⎫⎛⎫⇒= ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭求A 的逆矩阵线性代数,,,,212001a c b d a b +=⎧⎪+=⎪⇒⎨-=⎪⎪-=⎩,,,.0112a b c d =⎧⎪=-⎪⇒⎨=⎪⎪=⎩又因为⎪⎭⎫ ⎝⎛-01120112-⎛⎫ ⎪⎝⎭⎪⎭⎫ ⎝⎛-0112=0112-⎛⎫ ⎪⎝⎭,1001⎛⎫= ⎪⎝⎭所以.10112A --⎛⎫= ⎪⎝⎭A BA B (待定系数法)线性代数注：不是每个非零矩阵都有逆矩阵。

0102A ⎛⎫= ⎪⎝⎭例如11AA A A E --==不论一个怎样的矩阵的第一列全都是零。

因此，不可能有一个矩阵, 使,B 1A -BA线性代数定理1若A 是可逆矩阵，则A 的逆矩阵是惟一的.,,AB BA E AC CA E ====又B EB =()CA B =()C AB =.CE C ==所以A 的逆矩阵是惟一的,即B C=证明:设B 和C 是A 的逆矩阵，则有以后，把A 的逆矩阵记为。

矩阵求逆初等变换法

矩阵求逆初等变换法矩阵求逆是在线性代数中一个非常重要的概念，它可以用于解决大量的问题。

在实际的应用中，我们通常采用初等变换法来求逆矩阵，这样可以极大地简化计算并且提高效率。

本文主要介绍矩阵求逆初等变换法的基本概念和具体实现方法。

一、矩阵求逆的定义和概念矩阵求逆的本质是寻找一个矩阵A的逆矩阵B，使得A 与B的乘积等于单位矩阵I，即AB=BA=I，其中I为n阶单位矩阵。

矩阵A的逆矩阵可以表示为A^-1。

对于方阵，如果其行列式不为0，则可以求出其逆矩阵。

而对于非方阵，则不能直接求逆矩阵，需要通过一些方法先将其转化为方阵，再进行求逆操作。

二、矩阵求逆初等变换法初等变换是线性代数中的一种操作，它可以用来变换矩阵的形式，进而使得矩阵的某些性质更加明显。

初等变换包括以下三种：（1）交换矩阵的两行或两列（2）将矩阵的一行或一列乘以非零常数（3）将矩阵的一行或一列乘以非零常数加到另一行或另一列上去根据初等变换的性质，我们可以使用一组初等变换将任何一个方阵化为一个单位矩阵，进而得到其逆矩阵。

具体实现方法如下：（1）首先，将矩阵A增广为一个n*2n的矩阵（即在A的右边增加一个n* n的单位矩阵I）；（2）通过一系列初等变换将矩阵A化为一个上三角矩阵U；（3）继续通过一系列初等变换将U化为单位矩阵I；（4）此时矩阵A的右半部分就是其逆矩阵B。

下面，我们通过一个例子来具体说明这个过程：设矩阵为A=[1, 2, 3; 0, 1, 4; 5, 6, 0]（1）将A增广为一个2n* n的矩阵[A，I]=[1, 2, 3, 1, 0, 0; 0, 1, 4, 0, 1, 0; 5, 6, 0, 0, 0, 1]（2）通过一系列初等变换将矩阵A化为一个上三角矩阵U[1, 2, 3, 1, 0, 0; 0, 1, 4, 0, 1, 0; 5, 6, 0, 0, 0, 1]→R2-R1→[1, 2, 3, 1, 0, 0; 0, -1, 1, -1, 1, 0; 5, 6, 0, 0, 0, 1]→R3-5R1→[1, 2, 3, 1, 0, 0; 0, -1, 1, -1, 1, 0; 0, -4, -15, -5, 0, 1]→-R2→[1, 2, 3, 1, 0, 0; 0, 1, -1, 1, -1, 0; 0, -4, -15, -5, 0, 1]→R3+4R2→[1, 2, 3, 1, 0, 0; 0, 1, -1, 1, -1, 0; 0, 0, -11, 1, -4, 1]→-R3/11→[1, 2, 3, 1, 0, 0; 0, 1, -1, 1, -1, 0; 0, 0, 1, -1/11, 4/11, -1/11]→R2+R3→[1, 2, 3, 1, 0, 0; 0, 1, 0, 0, 3/11, -1/11; 0, 0, 1, -1/11, 4/11, -1/11]→-R1-2R2+3R3→[1, 0, 0, 1/11, 2/11, -1/11; 0, 1, 0, 0, 3/11, -1/11; 0, 0, 1, -1/11, 4/11, -1/11]得到上三角矩阵U为U=[1, 2, 3, 1/11, 2/11, -1/11; 0, 1, 0, 0,3/11, -1/11; 0, 0, 1, -1/11, 4/11, -1/11]（3）通过一系列初等变换将U化为单位矩阵I[1, 2, 3, 1/11, 2/11, -1/11; 0, 1, 0, 0, 3/11, -1/11; 0, 0, 1, -1/11, 4/11, -1/11]→R2-3R3→[1, 2, 3, 1/11, 2/11, -1/11; 0, 1, 0, 3/11, -1/11, 2/11; 0, 0, 1, -1/11, 4/11, -1/11]→R1-2R2-3R3→[1, 0, 0, 7/11, -2/11, -1/11; 0, 1, 0, 3/11, -1/11, 2/11; 0, 0, 1, -1/11, 4/11, -1/11]此时得到的右半部分就是矩阵A的逆矩阵B，即B=[7/11, -2/11, -1/11; 3/11, -1/11, 2/11; -1/11, 4/11, -1/11]三、总结矩阵求逆是线性代数中一个基本的操作，而初等变换法则可以很有效地简化求解的过程。

求逆矩阵的四种方法

求逆矩阵的四种方法逆矩阵是指一个矩阵与其逆矩阵相乘得到单位矩阵，也是线性代数中的重要概念之一。

但是，在实际应用中，需要对矩阵求逆的情况并不多，因为矩阵求逆的时间复杂度很高。

下面介绍四种求逆矩阵的方法：1. 初等变换法：采用列主元消去法（高斯-约旦消元法）进行初等变换，即将一个矩阵通过行变换，转化为一个行阶梯矩阵，其中行阶梯矩阵的左下方的元素均为零。

而这样一个变换后得到的矩阵实际上就是原矩阵的逆矩阵。

2. 伴随矩阵法：如果一个矩阵 A 可逆，则求它的逆矩阵等价于求它的伴随矩阵 AT 的结果除以 A 的行列式。

伴随矩阵的计算式为：adj(A)= COF(A)T，其中 COF(A) 为 A 的代数余子式组成的矩阵，它的每个元素满足 COF(A)ij = (-1)^(i+j) det(Aij)，其中 det(Aij) 表示将第 i 行和第 j 列去掉后得到的子矩阵的行列式。

3. LU 分解法：LU 分解法是将矩阵分解为一个下三角矩阵 L 和一个上三角矩阵 U 的乘积，即 A = LU，其中 L 的对角线元素均为 1。

当矩阵 A 可逆时，可用 LU 分解求解其逆矩阵。

假设 L 和 U 都是方阵，则A 的逆矩阵为：A^(-1) = (LU)^(-1) = U^(-1)L^(-1)。

4. 奇异值分解（SVD）方法：当矩阵 A 是非方阵时可以采用奇异值分解法，将矩阵 A 分解为A = UΣV^T，其中 U 为一个m×m 的正交矩阵，V 为一个n×n 的正交矩阵，Σ 为一个m×n 的矩形对角矩阵，若r 是 A 的秩，则Σ左上角的 r 个元素不为 0，其余元素为 0，即Σ有 r 个非零奇异值。

当A 可逆时，Σ 中的非零元素都存在逆元，逆矩阵为：A^(-1) = VΣ^(-1)U^T。

综上所述，求逆矩阵的四种方法各有特点，应根据实际情况选择合适的方法进行求解。

初等变换法适合较小规模的矩阵，伴随矩阵法适用于计算代数余子式较容易的矩阵，LU 分解法适合较大规模的矩阵，而SVD 方法则适用于非方阵或奇异矩阵的情况。

1.2矩阵的初等变换与逆矩阵的求法

定义：以下三种变换称为矩阵的初等变换：
1. 对换矩阵的两行（或两列）；
记为
2. 以任意数
乘以矩阵的某一行（或列）每个元；
记为
3. 某一行（或列）的每个元乘以同一常数加到另一行（或列）的对应元上去.
记为
矩阵A经过初等变换化为矩阵B表示为A→B。
习惯上在箭头的上面写出行变换，下面写出列变换。
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返回24
初等矩阵的性质
※定理1.2 有限个初等矩阵的乘积必可逆.
※用初等矩阵左乘某矩阵，相当于对该矩阵进行相应的初等行变换；用初等矩阵右乘矩阵，相当于对该
矩阵进行相应的初等列变换；反之亦然。
※若矩阵B是矩阵A经过有限次初等变换得到的，那么可以记为B＝PAQ，其中P、Q为初等矩阵的乘积
※定理1.3 可逆矩阵经过有限次初等变换仍可逆.
矩阵进行变换即可。相应的，对矩阵进行类似的变换
叫做矩阵的初等变换。精选可编辑ppt
5
矩阵的初等行变换的定义，完全对应着方程组的同解变换。因此，对矩阵进行初等行变换使其成为阶梯形矩阵的过程，实际上就是对方程组进行同解变换使其变为阶梯形状的过程。
例：解线性方程组
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6
先将方程组的系数与等式右边的常数组成一个3×4的矩阵，然后对矩阵进行初等行变换。
设
，求
解：
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12
小结
本节要求掌握内容 1. 矩阵初等变换的记号，初等矩阵的记号； 2. 初等矩阵的性质； 3. 用初等行变换求逆矩阵.
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13
作业
P34 1.7（2）（5） 1.10
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14
初等变换

初等变换法求逆矩阵

1 0 0 1 3 2 r2 （ 2）
0 0
2 0
0 1
3 1
6 1
5 1
r3
（ 1）
r2
（

2） 1 A01

0 1
10 03
r3
（
1）
0
0
2 11
13

3 3
2
1
3532 .
2 11

52
说明：（1）将(A E)化为行最简形矩阵；（2）此方法中只能作初等行变换.
一、初等变换法求逆矩阵
例1
设
1 A 2
2 2
13,求 A1.
3 4 3
解
A
E

1 2
2 2
3 1
1 0
0 1
0 0
3 4 3 0 0 1
r2 2r1 1 2 3 1 0 0 r1 r2 0 2 5 2 1 0
r3
（

1）

0 0
0 1 0
0 0 1
3 2 1
23 ， 3
3 2 X 2 矩阵[重点掌握]
初等行变换
(A E)
( E A1).
2.初等变换法的解矩阵方程
初等行变换
(A B)
(E
A 1 B )
初等变换法求逆矩阵
引入：公式法求逆矩阵的缺点一、初等变换法求逆矩二、方法推广
引入：公式法求逆矩阵的缺点
逆矩阵的计算公式 A1 1 A A
适用范围：二阶、三阶的方阵.
缺点：当矩阵的阶数比较高时，求伴随矩阵计算量太大,不易实施.

线性代数3.2初等矩阵与求逆矩阵的初等变换法

上两式表明：A 经一系列初等行变换化为 E ，则 E
可经这同一系列初等行变换化为 A1。用分块矩阵形
式，两式可以合并为
Pt Pt1 L P1 ( A, E) (E, A1 )
或
( A, E) 初等行变换(E, A1)
即对矩阵 ( A, E) 作初等行变换，当把 A 化为 E 时，
E 就化成了 A1 ( A 1
初等矩阵。
1
O
Eij
0
0L M 1L
1 M 0
O
0 第i行第j行
1
1
M
O
Ei
(k
)
0
M
0
1
M
O
0
Eij
(k
)
M
0 L M
0
k O
1 MO kL M 0L
0
0 第i行
1
1 MO 0
0 第i行第j行
1
这样，初等矩阵共有三类： Eij , Ei (k ), Eij (k )。
1r3r2
0
1
1
3r2 r3
0
1
1
2r3 r1
1r3r2
0
1
0
0 3 2
0 0 1
0 0 1
0 0 1
E2 (1)E32 (1)E31 (2)E23 (3)E21 (2)E32 (1)E12 (2) AE13 E
A
E 1 12
(2)
E32
1
(1)
E 1 21
(2)
E 1 23
(3)
E 1 31
(2)
E 1 32
(1)
E2
1

矩阵求逆的方法

前言矩阵理论在《线性代数》课程中有着重要的地位,矩阵和数相仿可以运算,特别是乘法和数一样有逆运算,其定义为:对于 n 阶方阵 A,如果存在 n 个阶段 B 使得 AB=BA=E,则 n 个阶方阵 A 为可逆的,B 为 A 的逆矩阵。

掌握好求逆矩阵的方法对线性方程组、二次型、线性变换等问题的解决有很大帮助。

关于矩阵求逆问题,不同的《线性代数》教材介绍了不同的方法。

下面对求逆矩阵方法进行全面论述,并做一步探讨。

1矩阵求逆常见的几种方法 1.1 用伴随矩阵法求逆矩定理1.1.1：n 阶矩阵)(ij a A =可逆的充要条件0≠A ，而且当)2(≥n 阶矩阵A 有逆矩阵，*-=A AA 11，其中*A 伴随矩阵。

例1 矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=412112013A 是否可逆？若可逆，求1-A 解：A A ∴≠=05可逆又511=A ，421=A ，3131=A ，1012=A ，1222=A ，332-=A ，013=A ，123=A ，133=A∴*-=A AA 11 例 2 设⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=543022001A ，*A 是A 的伴随矩阵，求()1-*A 解：1-*=A A A ，又()kB kB 11--=，所以()()⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡====---*5430220011011011111A A A AA A且有规律可循。

对于三阶以上方阵用该方法逆矩阵,不仅计算量大且易出错,一般不用此种方法。

对求出逆矩阵正确与否,一般用E AA A A ==--11来检验是否正确。

1.2 用初等变换法求逆矩阵定理 1.2.1 如果n 阶方阵A 可逆，则存在有限个初等矩阵，l P P P 21,使得l P P P A 21=。

如果A 可逆，则1-A 也可逆，由上述定理，存在初等矩阵l Q Q Q ,,,21 使得l Q Q Q A 211=-那么A A AA E 11--== 即A Q Q Q E l 21= E Q Q Q A l 211=-于是我们得到一个求逆矩阵的方法如下：如果n 阶方阵A 可逆，作一个n n 2⨯的矩阵E A ，然后对此矩阵施以初等行换，使A 化为单位矩阵E 同时化为1-A ，即：E A 1-−−−→−A E 初等行变换例1 用初等行变换求矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=521310132A 的逆矩阵解：=E A →⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡001010100132310521100010001521310132 →⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--201010100910310521211010100600310521⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-----→⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡--→316161100123210103461361001316161100010310100521 故⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-----=-3161611232134613611A 同理，如果n 阶矩阵A 可逆，作一个n n ⨯2的矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡E A ，然后此矩阵施以初等变换，使矩阵A 化为单位阵E ，则同时E 化为1-A ，即⎥⎦⎤⎢⎣⎡−−−→−⎥⎦⎤⎢⎣⎡-1A E E A 初等列变换。

3.2初等矩阵与求逆矩阵的初等变换法

1 2
r2
12 r3
1 0
1 1
1 0
0 0 1
1
0
0
r2 r1
1r3 +r1
0
1
0
0 0 1
所以
1 2 A 1 1 2 0
1 0 0
1
0
1
2
2
0
1
1
2 2
1 2
1 2
0
1 2
0
1 2
0
1 2
1 2
1 0
2
0
1 2
1 1
2
2
同样地，也可以利用矩阵的初等列变换方法求矩阵的
即：初等矩阵都是可逆矩阵，且初等矩阵的逆矩阵仍是同类的初等矩阵。
二、初等变换法求矩阵的逆矩阵
1．矩阵可逆的两个充分必要条件
在上一章已经得到：n阶矩阵A可逆的充分必要条件是：A的
行列式 A 0 。现再给出两个充分必要条件。引理初等变换不改变矩阵的可逆性。
证明不妨设 n 阶矩阵 A 经过一次初等行变换化成矩阵 B
推论1 m n 阶矩阵 A 与 B等价的充分必要条件是存
n 在m 阶可逆矩阵 P 及阶可逆矩阵 Q ，使
PAQ B
2．求矩阵逆矩阵的初等变换法
因为 A 可逆，据定理2，有初等矩阵 P1, P2 , , Pt
使 Pt Pt1 P1A E ，即 Pt Pt1 P1E EA1 。于是
Pt Pt1 Pt Pt1
证明：（必要性）因为 A 可逆，则 A 可只通过行（列）
初等变换化为单位矩阵 E。
所以，A E11E21 Et 1。若记 Ei1 Pi ，则 A P1P2 Pt 是初等矩阵的乘积。

初等矩阵与逆矩阵的求法

阵。于是存在优先多个初等矩阵P1 Pr，Q1 Qt
使得 P1 Pr AQ1 Qt =E,从而
A=（ P1
Pr）-1E（Q1
Q
）-1
t
=Pr-1
P1-1 • Qt-1
Q1-1 .
推论1方阵A可逆旳充分必要条件是存在有限个初等方阵 P1, P2 ,, Pl ,使A P1P2 Pl .
19
推论2 方阵A可逆旳充分必要条件是A可经过有限屡次初等行变换化为单位阵E.
等矩阵 P(i(k))
1
P(i(k))
1 k 1
第 i 行
1
6
(3)以数 k 0 乘某行(列)加到另一行(列)上去
以 k 乘 E 的第 j 行加到第 i 行上 (ri krj )
或以 k 乘 E 的第 i 列加到第 j 列上 (c j kci )
得到初等矩阵 P(i, j(k))
20
5、利用初等行变换求逆阵旳措施：
当 A 0时，由 A P1P2 Pl，有
Pl1Pl11P11 A E, 及 Pl1Pl11P11E A1,
Pl1Pl11 P11 A , E Pl1Pl11 P11 A , Pl1Pl11 P11E E , A1
即对 n 2n 矩阵 ( A , E) 施行初等行变换 ,
P(i, j)1 P(i, j)
P(i(k ))1 P(i( 1 )) k
P(i, j(k))1 P(i, j(k))
9
初等矩阵旳应用
定理1 设 A 是一种 m n 矩阵 , 对 A 施行一次初等行变换，相当于在 A 旳左边乘以相应旳 m 阶初等矩阵；对 A 施行一次初等列变换 , 相当于在 A 旳右边乘以相应旳 n 阶初等矩阵.

矩阵的初等变换与逆矩阵的求法汇总

这三种变换都称为初等变换。如上的变换是可逆的。也就是，如果经过一次变换把方程组 (1.1)变成一个新方程组，那么，新方程组必可经过一次同类型的变换变为原方程组(1.1)。
定理1.1 设方程组(1.1)经过某一初等变换后变为另一个方程组，则新方程组与原方程组同解。
此性质在矩阵中如何体现呢？
2.1.2 矩阵的初等变换

1
12r2
0

1 1
1 1
2
0
1

2
0 3 3 2
0 3 3 2
1 0
1 2
1
2

r1 r2 r3 3r2
0
0
1 0
1 2
3
1
2

7

2 2
1
23 r3
0
0 1

2x2 x3 1
2x1 x2 x3 2
解将矩阵的增广矩阵作行初等变换
1 1 1 0
1 1 1 0
0
2
1
1

r3 2r1 0
2
1
1

2 1 1 2
0 3 3 2
1 1 1 0 2 1
0 1
1

O

1
Rijຫໍສະໝຸດ ()Cij
(
)

MO
L 1

O

1
初等矩阵是可逆的，并且其逆矩阵也是同一类型的初等矩阵，容易验证：
Rij-1=Rij （Ri()）-1=Ri(1/) （Rij()）-1= Rij(－)
初等矩阵与初等变换有什么关系呢？

逆矩阵的计算方法

逆矩阵的计算方法逆矩阵在线性代数中扮演着重要的角色，它在解线性方程组、求解线性变换的逆变换等方面具有重要的应用价值。

本文将介绍逆矩阵的计算方法，希望能够帮助读者更好地理解和掌握这一概念。

首先，我们需要明确什么是逆矩阵。

对于一个n阶方阵A，如果存在另一个n 阶方阵B，使得AB=BA=In（其中In为n阶单位矩阵），那么我们称B是A的逆矩阵，记作A^-1。

逆矩阵的存在与否对于方阵的可逆性有着重要的意义。

接下来，我们将介绍逆矩阵的计算方法。

在实际应用中，我们通常采用以下两种方法来计算逆矩阵。

一、初等行变换法。

初等行变换法是一种常用的计算逆矩阵的方法。

我们可以通过对原矩阵进行一系列的初等行变换，将原矩阵变换成单位矩阵，此时原矩阵经过的一系列变换即为逆矩阵。

具体步骤如下：1. 将原矩阵A与单位矩阵In拼接在一起，即构成一个2n阶的矩阵[A | In]。

2. 通过一系列的初等行变换，将矩阵[A | In]变换成[In | B]，此时B即为原矩阵A的逆矩阵。

需要注意的是，初等行变换包括三种操作，互换两行、某一行乘以一个非零常数、某一行加上另一行的若干倍。

在进行初等行变换的过程中，需要保证每一步的变换都是可逆的，以确保得到的逆矩阵是正确的。

二、伴随矩阵法。

另一种常用的计算逆矩阵的方法是伴随矩阵法。

对于一个n阶方阵A，其逆矩阵可以通过以下公式计算得到：A^-1 = (1/|A|)·adj(A)。

其中|A|为A的行列式，adj(A)为A的伴随矩阵。

伴随矩阵的计算过程较为复杂，需要先求出原矩阵A的代数余子式矩阵，然后将其转置得到伴随矩阵。

需要注意的是，以上两种方法都要求原矩阵是可逆的，即其行列式不为0。

如果原矩阵不可逆，则不存在逆矩阵。

在实际应用中，我们可以根据具体问题的特点选择合适的计算方法。

初等行变换法适用于一般的矩阵求逆问题，而伴随矩阵法则在理论推导和证明中有着重要的作用。

总之，逆矩阵的计算方法是线性代数中的重要内容，它在解决线性方程组、求解线性变换的逆变换等问题中具有广泛的应用。

线性代数3.2初等矩阵和求逆矩阵的初等变换法-文档资料

证明：（必要性）因为 A 可逆，则 A 可只通过行（列）
初等变换化为单位矩阵 E 。
所以，AE11E21 Et1。若记 Ei1 Pi ，则 AP1P2 Pt 是初等矩阵的乘积。
（充分性）若存在初等矩阵P1, P2, , Pt，使 AP1 P2 Pt
因为P1, P2, , Pt 可逆，从而 P1 P2 Pt 可逆，所以 A

a in

a m n
第 i行第 j行
其结果相当于对矩阵 A 施第一种初等行变换：
A 的第 i 行与第 j 行对调（ ri r j ）。类似地，
n 阶初等矩阵
E
i j 右乘 A
aij
，其结果相当于对
mn
矩阵 A 施第一种初等列变换：把 A 的第 i 列与第
j 列对调（ ci c j ）。
，则存在初等矩阵 P 使
BPA
若 A 可逆，则 PAB可逆；又若 B 可逆，则
P1B A 可逆。
由定理1，可得：
定理2 A 为 n 阶矩阵，则 A 可逆的充分必要条件是
A 只通过初等行（列）变换化为单位矩阵。
n 定理3 设 A 为阶矩阵，则 A 可逆的充分必要条件是
存在有限个初等矩阵 P1, P2, , Pt 使 AP1P2 Pt 。
后得到的初等矩阵；
（2）用任意常数 k 0 去乘某行（或列）。E i ( k ) 表示单位
矩阵第i行（列）乘非零常数k后得到的初等矩阵；
（3）以数 k 乘某行（或列）加到另一行（或列）上。
E ij ( k ) 表示单位矩阵第i行乘常数k加到第j行后得到的初等
i j 矩阵或表示单位矩阵第列乘常数k加到第列后得到的

求矩阵的逆矩阵的方法

求矩阵的逆矩阵的方法矩阵的逆矩阵是矩阵理论中非常重要的概念，它在线性代数、计算机图形学、物理学等领域都有着广泛的应用。

在实际问题中，我们经常会遇到需要求解矩阵的逆矩阵的情况，因此掌握求解逆矩阵的方法对于我们理解和应用矩阵具有重要意义。

首先，让我们来了解一下什么是矩阵的逆矩阵。

对于一个n阶方阵A，如果存在另一个n阶方阵B，使得AB=BA=I（其中I为单位矩阵），那么B就是A的逆矩阵，记作A^-1。

需要注意的是，并非所有的矩阵都有逆矩阵，只有可逆矩阵才存在逆矩阵。

接下来，我们将介绍几种求解矩阵逆的方法。

一、初等变换法。

通过初等变换将原矩阵转化为单位矩阵，此时原矩阵经过一系列相同的初等变换得到单位矩阵，而这些初等变换也分别作用于单位矩阵上，得到的矩阵即为原矩阵的逆矩阵。

二、伴随矩阵法。

对于n阶矩阵A，其伴随矩阵记作adj(A)，则A的逆矩阵为1/det(A) adj(A)，其中det(A)为A的行列式。

通过求解伴随矩阵和行列式，可以得到原矩阵的逆矩阵。

三、矩阵的初等行变换法。

通过将原矩阵和单位矩阵进行横向组合，得到一个增广矩阵，然后对增广矩阵进行初等行变换，直到左侧的矩阵变为单位矩阵，此时右侧的矩阵即为原矩阵的逆矩阵。

四、矩阵的分块法。

对于特定结构的矩阵，可以通过矩阵的分块运算来求解逆矩阵，这种方法在一些特殊情况下比较高效。

需要指出的是，对于大型矩阵来说，直接求解逆矩阵的方法可能会比较耗时，因此在实际应用中，我们通常会利用矩阵的性质和特殊结构，采用更加高效的方法来求解逆矩阵。

总之，求解矩阵的逆矩阵是矩阵理论中的重要问题，我们可以根据具体的矩阵结构和应用场景选择合适的方法来求解逆矩阵。

通过掌握这些方法，我们能够更好地理解和应用矩阵，在实际问题中取得更好的效果。

逆矩阵的求法及逆矩阵的应用

逆矩阵的求法及逆矩阵的应用1. 前言在矩阵运算中，逆矩阵是一个重要的概念。

一个矩阵的逆矩阵是指，如果一个矩阵A乘上它的逆矩阵A^-1等于单位矩阵I，那么A就有逆矩阵。

逆矩阵经常用于解线性方程组、计算行列式和计算矩阵的特征值等方面。

本文将介绍逆矩阵的求法和逆矩阵的应用。

2. 求逆矩阵的方法要求一个矩阵的逆矩阵，需要满足两个条件：该矩阵是方阵且它的行列式不等于零。

下面介绍两种求逆矩阵的方法。

2.1. 初等变换法采用初等变换法求逆矩阵，需要构造一个n阶矩阵[AB]，其中A 为待求矩阵，B为单位矩阵，即：[AB]=[A I_n]然后，对矩阵[AB]进行初等行变换，一直到[AB]变为[IBA']的形式，其中A'为A的逆矩阵。

由于[AB]=[A I_n]，所以[IBA']=[I_n A^-1]，即A的逆矩阵就构造出来了。

2.2. 公式法另一种求逆矩阵的方法是采用公式法。

设A为一个n阶矩阵，若它的行列式为D，那么它的伴随矩阵记为adj(A)，则逆矩阵为A^-1=(1/D)adj(A)。

其中，adj(A)表示矩阵A的伴随矩阵，它的第i行第j列元素A_ij的代数余子式与(-1)^(i+j)的乘积。

3. 逆矩阵的应用逆矩阵在数学中有多种应用，这里只介绍几个典型的应用。

3.1. 解线性方程组逆矩阵可以用于求解线性方程组，解法如下：假设有n个未知数，n个方程，可将方程组表示为AX=B的形式，其中X为未知数向量，B为常数向量，A为系数矩阵。

如果系数矩阵A有逆矩阵，那么可以将方程组A^-1AX=A^-1B简化为X=A^-1B，即可求得未知数向量X。

3.2. 计算行列式和矩阵的特征值逆矩阵还可以用于计算行列式和矩阵的特征值。

设A为n阶方阵，它的逆矩阵为A^-1，则有：det(A)=det(A^-1)^-1λ是A的特征值，那么A的逆矩阵的特征值就是λ^-1。

3.3. 计算数据的逆矩阵逆矩阵也可以用于计算数据的逆矩阵。

难忘一课 2-2逆矩阵

行列式性质：
i1 j1 i2 j2
A1n A2n
in
jn
Ann
伴随矩阵Adjoint matrix
9
三、方阵可逆的充要条件
a11 a 21 AA a n1 a12 a1n A11 A21 a22 a2 n A12 A22 an 2 ann A1n A2 n An1 An 2 Ann
四、逆矩阵的求法及应用
例2 求方阵
第二节
逆矩阵
1 2 3 A 2 2 1 3 4 3
1 2 3
的逆矩阵.
解
A2 2 1 3 4 3
2 1 4 3
A1存在. 2,
A11 ( 1) M11 ( 1)
2
2
2,
A12 3,
A13 2,
1
ax b(a 0)
a ax a b x a 1b
对于 a ，能找到 a 的倒数
1
1
1
EX A1B
X A1B
B
对于 A ，如果能找到一个
1
a （或称为 a的逆），满足：矩阵 A 满足：
a a aa 1
1
1
A 1 A E ,
AA1 E
AA A A A E
如果
引理2.1
第二节
逆矩阵
A A , A 0, 则 A( ) ( ) A E A A
A 1 . 按逆矩阵的定义得：A 可逆，且 A A 【定理２.２】设A是n阶方阵，则A可逆的充要条件是 A 0. 当 A 0 有 1 1 A A A 【证】充分性（已证）

用初等变换法求逆矩阵的技巧

用初等变换法求逆矩阵的技巧
初等变换是求解线性方程组和矩阵的重要方法之一。

在求解矩阵的逆矩阵时，初等变换也是一种非常有效的方法。

下面介绍一些用初等变换法求逆矩阵的技巧。

1. 初等行变换法
首先将矩阵A和单位矩阵I拼接在一起，形成一个增广矩阵[A|I]。

然后对该增广矩阵进行一系列初等行变换，使得左半部分变成一个单位矩阵，右半部分就会是A的逆矩阵。

这里需要注意的是，对增广矩阵进行初等行变换时，要保证左半部分的主元为1，否则会影响到右半部分的计算。

同时，在进行初等行变换时，要保证进行相同的变换操作式，否则会出现计算错误。

2. 初等列变换法
同样地，将矩阵A和单位矩阵I拼接在一起，形成一个增广矩阵[A|I]。

然后对该增广矩阵进行一系列初等列变换，使得右半部分变
成一个单位矩阵，左半部分就会是A的逆矩阵。

与初等行变换类似，进行初等列变换时，也需要保证右半部分的主元为1，同时进行相同的变换操作式。

3. 初等行列变换法
初等行列变换法是同时对矩阵的行和列进行变换，使得左上角的元素变成1，右下角的元素变成0，其余元素也相应地变换。

这个方
法需要先将矩阵A分解成一个对角矩阵D和一个可逆矩阵P，即A=PD。

然后对P进行初等行列变换，使得其变成一个单位矩阵，即P的逆矩
阵。

最后，逆序相乘，即A的逆矩阵为D的逆矩阵乘以P的逆矩阵。

总之，用初等变换法求逆矩阵需要注意的是保证初等变换操作式相同，同时保证主元为1。

这些技巧可以帮助我们快速准确地求解逆矩阵。

总结求矩阵的逆矩阵方法

华北水利水电学院总结求矩阵的逆矩阵方法课程名称：线性代数专业班级：成员组成：联系方式：浅析求矩阵的逆矩阵方法摘要：矩阵理论在《线性代数》课程中有着重要的地位,矩阵和数相仿可以运算,特别是乘法和数一样有逆运算,其定义为:对于 n 阶方阵 A,如果存在 n 个阶段 B 使得 AB=BA=E,则 n 个阶方阵 A 为可逆的,B 为 A 的逆矩阵。

下面对求逆矩阵方法进行全面论述,并做一步探讨。

关键字矩阵逆矩阵可逆1矩阵求逆常见的几种方法 1.1 用伴随矩阵法求逆矩定理1.1.1：n 阶矩阵)(ij a A =可逆的充要条件0≠A ，而且当)2(≥n 阶矩阵A 有逆矩阵，*-=A AA11，其中*A 伴随矩阵。

例1 矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=412112013A 是否可逆？若可逆，求1-A 解：A A ∴≠=05可逆又511=A ，421=A ，3131=A ，1012=A ，1222=A ，332-=A ，013=A ，123=A ，133=A∴*-=A AA11例 2 设⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=543022001A ，*A 是A 的伴随矩阵，求()1-*A解：1-*=A A A ，又()kB kB 11--=，所以()()⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡====---*5430220011011011111A A A AA A且有规律可循。

对于三阶以上方阵用该方法逆矩阵,不仅计算量大且易出错,一般不用此种方法。

对求出逆矩阵正确与否,一般用E AA A A ==--11来检验是否正确。

1.2 用初等变换法求逆矩阵定理 1.2.1 如果n 阶方阵A 可逆，则存在有限个初等矩阵，l P P P 21,使得l P P P A 21=。

如果A 可逆，则1-A 也可逆，由上述定理，存在初等矩阵l Q Q Q ,,,21 使得l Q Q Q A 211=-那么A A AAE 11--==即A Q Q Q E l 21= E Q Q Q Al 211=-于是我们得到一个求逆矩阵的方法如下：如果n 阶方阵A 可逆，作一个n n 2⨯的矩阵E A ，然后对此矩阵施以初等行换，使A 化为单位矩阵E 同时化为1-A ，即：E A 1-−−−→−A E 初等行变换例1 用初等行变换求矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=521310132A 的逆矩阵解：=E A →⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡001010100132310521100010001521310132→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--201010100910310521211010100600310521⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-----→⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡--→316161100123210103461361001316161100010310100521 故⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-----=-3161611232134613611A 同理，如果n 阶矩阵A 可逆，作一个n n ⨯2的矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡E A ，然后此矩阵施以初等变换，使矩阵A 化为单位阵E ，则同时E 化为1-A ，即⎥⎦⎤⎢⎣⎡−−−→−⎥⎦⎤⎢⎣⎡-1A E E A 初等列变换。

初等变换求逆矩阵原理

初等变换求逆矩阵原理在线性代数中，矩阵是一个非常重要的概念，而矩阵的逆也是一个非常重要的概念。

在实际应用中，我们经常会遇到需要求逆矩阵的情况。

而初等变换是求解逆矩阵的重要方法之一。

本文将介绍初等变换求逆矩阵的原理，希望能够帮助读者更好地理解和掌握这一知识。

首先，让我们来回顾一下矩阵的逆的定义。

对于一个n阶矩阵A，如果存在一个n阶矩阵B，使得AB=BA=I，其中I是n阶单位矩阵，那么我们称B是A的逆矩阵，记作A^-1。

换句话说，如果矩阵A乘以它的逆矩阵等于单位矩阵，那么我们称矩阵A是可逆的，而逆矩阵就是这个可逆矩阵。

接下来，我们将介绍初等变换的概念。

初等变换是指对矩阵进行的三种基本变换，交换两行（列）、用一个非零常数乘以一行（列）、把一行（列）的若干倍加到另一行（列）。

这三种基本变换可以通过矩阵的乘法来表示，分别对应于左乘一个初等矩阵。

初等矩阵是一个单位矩阵，经过一次初等行变换（或列变换）得到的矩阵。

现在，让我们来看看如何利用初等变换来求解逆矩阵。

假设我们有一个n阶矩阵A，我们希望求解它的逆矩阵A^-1。

我们可以利用初等变换将矩阵A化为单位矩阵I，此时经过相同的初等变换，原来的单位矩阵I就会变成A的逆矩阵A^-1。

具体来说，我们可以通过初等行变换将矩阵A化为一个上三角矩阵U，然后再通过初等行变换将矩阵U化为一个对角矩阵D。

最后，再通过初等行变换将对角矩阵D化为单位矩阵I。

这样，我们就得到了矩阵A的逆矩阵A^-1。

需要注意的是，对于矩阵A的每一步初等行变换，我们都需要对A的逆矩阵进行相同的变换。

这样才能保证A和A^-1之间的关系始终成立。

因此，在进行初等变换求逆矩阵的过程中，我们需要小心谨慎地记录每一步的变换，以确保最终得到的逆矩阵是正确的。

总结一下，初等变换求逆矩阵的原理可以简单概括为，通过一系列的初等变换，将原矩阵化为单位矩阵，然后对单位矩阵进行同样的初等变换，得到原矩阵的逆矩阵。

初等变换是一种非常有效的方法，可以帮助我们求解逆矩阵，从而解决各种实际问题。

第2节矩阵的初等变换与逆矩阵的求法

表示A的第i行乘c; 表示A的第i行乘c加至第j行; 表示A的第i行与第j行对换位置; 表示B的第i列乘c; 表示B的第j列乘c加至第i列; 表示B的第i列与第j列对换位置.
初等矩阵的行列式都不等于零, 因此初等矩阵都是可逆矩阵. 由于对初等矩阵再作一次初等变换就化为单位矩阵, 即
❖ 所以, 初等矩阵的逆矩阵是同类初等矩阵, 即
r2 r1 r3 3 r1
1
0 0
5 2 11
2 1 5
1 1 3
0 1 0
0
0 1
1 5 2 1 0 0
1 5 2 1 0 0
r2/(2)0 1 1/ 2 1/ 2 1/ 2 0 r311r20 1 1/ 2 1/ 2 1/ 2 0
0 11 5 3 0 1
0 0 1/ 2 5/ 2 11/ 2 1
初等矩阵与初等变换有什么关系呢？
例1 计算下列初等矩阵与矩阵A=[aij]3n, A=[aij]32, B=[bij]33的乘积:
用初等矩阵左乘某矩阵，其结果等于对该矩阵作相应的初等行变换；用初等矩阵右乘某矩阵，其结果等于对该矩阵作相应的初等列变换。
不难证明下面的一般结论:
Ri(c)A Rij(c)A RijA BCi(c) BCij(c) BCij
0 0
1 0
0 1
r2 2r1 r3 3r1
0
0
2 2
5 6
2 3
1 0
0
1
r1 r2
r3 r2
1 0 0
r2 (2)
r3 (1)
0 2 0
2 5 1
1 2 1
1 1 1
0
0
1
r1 r2
2r3 5r3