第四章 梁的内力解析
梁的内力
2l 3
0
FRA
1 3 q0l
校核：
FRA
FRB
1 2
q0l
1 3
q0l
1 6
q0l
1 2
q0l
0
反力无误。
§4-3 梁的内力及其求法
已知：如图，F，a，l。 求：距A端 x 处截面上内力。
m
a
F
解：①求外力（支座反力）
A
m
x l
B
Fx 0 , FAX 0
mAF 0 , FBYl Fa 0
注意： 不能用一个函数表达的要分段，分段点为：集中力作用 点、集中力偶作用点、分布力的起点、终点。
例题：图示为一受均布荷载作用的悬臂梁。试作此梁的剪力图 和弯矩图。
q
x l
q
FS
M x
解: 将梁在任意 x 处用横截面截开, 取左段为研究对象 横截面上有剪力和弯矩 , 假设均为正值
q
x l
q
FS
M x
根据研究对象的平衡条件列剪力方程和弯矩方程
F S (x) qx (0 x l) M (x) 1 qx2 (0 x l)
2
括号里的不等式说明对应的内力方程所使用的区段。
F S (x) qx (0 x l)
M (x) 1 qx2 (0 x l) 2
剪力图为一斜直线
F S (0) 0
1－1截面
Fy 0; FA Fs1 0
Fs1 5kN
m1 0; M1 0
由1 －1 截面的内力计算可得结论：杆端无力偶作用， 紧挨杆端截面的弯矩M=0。
F=12kN q=2kN/m
A
1 1
23 2 D3
B
2m 2m
梁的受力原理
梁的受力原理梁的受力原理是指在静力学中，对于受力梁的平衡条件的分析和描述。
通过对梁体的受力分析，可以得出梁的平衡条件和受力特点，进一步帮助我们了解梁体的力学性质和结构特点。
梁的受力原理可以通过以下几个方面来进行描述和分析：一、梁的力学模型在进行梁的受力原理分析之前，首先要建立梁的力学模型。
梁体通常可以理解为一个长条形的物体，可以直接受力于梁体上的两个端点，或者通过其他的支撑点来传递力。
梁体一般具有一定的刚性，可以忽略其形变，从而简化力学模型的分析。
二、梁的内力梁体受到外界的力作用后，会在梁体内部产生内力。
内力是梁体内部各点受到的相邻切面之间的作用力。
内力可以分为弯曲力、切割力和剪切力等。
在梁的平衡状态下，各点受到的内力应该平衡，即内力合力为零，内力合矩为零。
三、梁的支点反力在梁体的支点处，由于支点的约束作用，会产生支点反力。
支点反力主要分为两种情况：一种是支点对梁体的垂直支持力，又称为支座反力；另一种是支点产生的反力矩，又称为支点反力矩。
支点反力的大小和方向是由支点约束条件以及外力作用决定的。
四、梁的外力梁体在平衡状态下，受到的外力应该满足力的平衡条件。
外力主要分为集中力和分布力两种。
集中力是指作用在梁体上的一点上的力，如物体的重力、沿着梁体施加的力等。
分布力是指梁体上单位长度上的力，如均匀分布的荷载、悬挂的悬臂等。
在分析外力作用时，需要将外力转化为位于梁体各点上的力。
五、梁的平衡条件梁体在平衡状态下，受力应该满足平衡条件。
平衡条件包括力的平衡条件和力矩的平衡条件。
力的平衡条件要求梁体受到的所有外力和内力合力为零；力矩的平衡条件要求梁体受到的所有外力和内力合矩为零。
通过这两个平衡条件，可以求解出梁体上各点的受力情况。
总结起来，梁的受力原理主要包括了梁的力学模型、梁的内力、梁的支点反力、梁的外力以及梁的平衡条件。
通过对这些方面的分析和描述，可以帮助我们更好地理解和应用梁体的受力原理。
在实际工程中，梁的受力原理是研究和设计各类梁体结构的重要基础原理，对于确保结构的安全和可靠性具有重要意义。
第四章 梁弯曲变形与内力
18
中性层：梁内纵向长度既没有伸长也没有缩短的纤 维层。 中性轴：中性层与横截面的交线 。
19
中性层将梁分成受压和受拉区，即中性层一侧作 用拉伸应力，另一侧作用压缩应力，中性层上正应 力为零，梁横截面的偏转就是绕其中性轴旋转的。
20
根据弯矩的定义：
M A y dA
σ：横截面上距中性轴为y处的正应力 dA：横截面上距中性轴为y处的一微面积 y：正应力到中心轴的距离
弯矩的符号约定
M M
+
M
-
M
上压下拉为正
上拉下压为负
29
计算弯矩法则：梁在外力作用下，其任意指定截面 上的弯矩等于该截面一侧所有外力对该截面中性轴取 矩的代数和；凡是向上的外力，其矩取正；向下的外 力，其矩取负值。
30
三 剪力图和弯矩图
梁的剪力方程和弯矩方程：
以坐标 x 表示横截面位置，则剪力和弯矩可表 示为x的函数：Q = Q(x)， M = M(x) 剪力图和弯矩图:为了形象地表示梁各个横截面上 弯矩的大小与正负，将剪力方程和弯矩方程用图 表示 。
33
分段列剪力方程：
AC段 CD段 DE段 EB段 0<x≤0.25m， Q=RA=935N=Q1 0.25m≤x≤0.5m, Q=RA － P1=935 －500 = 435N = Q2 0.5m≤x<0.8m, Q=RA－P1－P2 = 935－500－1000 = － 565N=Q3 0.8m≤x<1m, Q = RA －P1 －P2 －P3= 935 － 500 －1000 －300 = －865N=Q4
剪力图和弯矩图的作法：按选定的比例，以横截 面上的剪力或弯矩为纵坐标，以横截面位置为横 坐标，把Q=Q （x）， M=M（x） 的图线表示出来。
第4章 梁的内力liu1
FS1 5qa / 3 qx1
q
qa
FS2 qa / 3
B M 2 qa2 qax2 / 3 x2 C
A M1 5qa / 3x1 qx12 / 2
FA
2a
FB
a
FS
5qa/3
x
5a / 3
qa/3
x qa2
M 25qa2/18 4qa2/3
总结FS、M 图的基本画法：
# 弯矩
m m M m m
M
(+)
(-) 使梁段凸向上的弯矩为负
使梁段凸向下的弯矩为正
例1 解：
悬臂梁 AB, 求 1-1 和 2-2截面上的剪力和弯矩。 (1) 约束反力
y
F 0 M 0
A
... ...
FRA F MA 0
MA A FRA a MA
M1=Fa 1 1 2
2F B M2=4Fa a
(0 x1 a)
集中力作用处剪力图发生突变
aF/l
(0 x2 b)
M
abF/l
集中力作用处弯矩图发生折曲
例1
A x1
q
qa 2
B C
FA
2a
FB
a
约束反力
M M
A 0
FB 3a 2qa a qa2 0 FB qa / 3 ()
B
0
FA 5qa / 3 ()
(0 x1 a) (0 x1 a)
(0 x2 b) (0 x2 b)
a
A
F
C
b
x2
x1 l
FRA FS bF/l
b FS1 F l FRB a FS2 F l b x M 1 Fx1 l a M 2 Fx2 l
材料力学 第4章梁的内力
第4章 梁 的 内 力提要：在前面的章节中，已经介绍过轴向拉(压)杆件和受扭杆件的内力的计算，本章将讨论受弯杆件的内力计算。
以弯曲为主要变形的构件称为梁(beam)，如房屋建筑中的楼板梁(图4.1)与火车的轮轴(图4.2)。
本章主要研究外力作用在同一平面，变形也在同一平面(即平面弯曲)的梁。
梁的内力计算与前面一样仍然采用截面法，由于荷载的作用，梁在各横截面产生内力，包括剪力和弯矩。
截断梁上任一横截面，都会有剪力和弯矩，任取截面左或右侧部分为研究对象，通过静力平衡方程可以求出该横截面内力。
通过列出剪力方程和弯矩方程，可以绘制剪力图和弯矩图，从而反映出梁上所有横截面的内力大小和方向。
通过分析剪力方程和弯矩方程发现剪力、弯矩和荷载之间存在微分关系，相应的在剪力图、弯矩图和荷载之间存在某些规律，依据这些规律可以不写剪力方程和弯矩方程，直接作出内力图。
在材料服从胡克定律和小变形的前提下还可以利用叠加法，更方便地作出内力图。
4.1 梁的计算简图第4章 梁的内力·75··75·1. 支座的简化 根据结构中梁的约束情况，支座一般可简化为以下三种基本形式。
(1) 可动铰支座。
图4.3(a)是可动铰支座的简化形式。
该支座限制此截面沿垂直于支承面方向的移动，因此可动铰支座只有一个约束，相应只有一个支反力，即垂直于支承面的反力Y 。
(2) 固定铰支座。
有两个约束，相应的约束反力为两个，分别是水平反力X 和垂直反力Y (图4.3(b))。
(3) 固定端。
它使梁在固定端内不能发生任何方向的移动和转动，约束反力除、X Y 之外，还有阻止转动的反力偶m (图4.3(c))。
这里需要指出的是，理想的“自由转动”和“绝对固定”实际上是不存在的，比如由于摩擦力的存在，转动不会完全自由，由于约束材料的变形，梁也不会完全被固定，只是这些运动相对较小，所以我们把它忽略了。
图4.3 各种支座的约束反力(a) 可动铰支座；(b) 固定铰支座；(c) 固定端2. 载荷的简化梁上的载荷通常可以简化为以下三种形式。
4.梁和刚架内力分析
静定结构的内力分析
结 构 力 学
有连续分布荷载（荷载垂直于杆轴）的直杆段AB，B端的剪力等 于A端的剪力减去该段分布荷载图的面积。B端的弯矩等于A端的弯 矩减去该段剪力图的面积。 4、内力图
表示内力沿杆轴变化规律的图形称为内力图。 （1）画内力图的有关规定：以杆轴表示横截面的位置，与杆轴垂直的坐标 轴表示对应横截面上的内力。正的轴力（剪力）画在轴线的上侧，负的轴力 （剪力）画在轴线的下侧，要标出正负。弯矩画在梁纤维受拉侧，一般不标
1、截面上内力符号的规定：
静定结构的内力分析
N N
轴力变形为正，画轴力图要注明 正负号；
Q
结 构 力 学
Q
剪力—截面上应力沿杆轴法线方向的合 力, 使杆微段有顺时针方向转动趋势的 为正，画剪力图要注明正负号； 弯矩—截面上应力对截面形心的力矩之和,
M
M 不规定正负号。弯矩图画在杆件受拉一侧，
D C 0
由Σ MD=0,得 FQCD＝0
由ΣMC=0,得 FQDC=-30 kN 由ΣMD=0,得 FQED=-80 kN 由ΣME=0,得 FQED=40 kN
FQCD
20kN/m
FQDE
60
FQED
180
D
E
静定结构的内力分析
FQEB
E 180
由ΣME=0,得 FQBE=30 kN
由ΣMB=0,得 FQEB=30 kN
静定结构的内力分析
§3-1 概述
静定结构的内力分析主要指多跨静定梁、静定平面刚架、静定三铰拱、 静定平面桁架以及静定的组合结构的内力分析，它们的内力分析方法与材料力 学中单跨静定梁的内力分析方法基本相同，因而，首先对材料力学中有关这方
结 构 力 学
第4章、梁的内力
解：1、确定支反力（可省略）
FY 0; 3 2 m qa 2
a
Fy
Fs
– qa qa2
x
2、画内力图 AB： Fs ；Fs A右 qa,Fs B qa, ( 积分关系FsB=FsA+0) q 0,
M
2 M A 0, M B qa ,
1.5qa ;
2
(Fs < 0,所以M图向负方向斜 MB= MA+(-qa a)=0-qa2 )
3m 2 1.5m
M FB
B
0, 1.2 31.5 0.8 4.5 RA 6 0
2m
0 .8
1
M1
FA 1.5 (kN ), FB 2.9 (kN )
(2) 1-1截面左段右侧截面：
FA
Fs1 FA 0.8 1.5 0.8 0.7 (kN )
Fb 0 x a FS x l Fb M x x0 x a l
CB段 B FB
3、作剪力图和弯矩图 F b a A C x l FA
FS
Fb l
Fb FS1 x l B F x Fa S2 l FB Fb M 1 x x l Fa l x M 2 ( x) l
M eb l 发生在C截面右侧
Mea l
§4-5 弯矩、剪力与荷载集度间的关系
一、 三者间的关系
q FAy x 讨论如下 L FBy
1 Fs ( x) ql qx 2 1 1 M ( x) qlx qx 2 2 2
(0 x l )
(0 x l )
dFs ( x ) q q (x ) dx
材料力学04梁的内力
段进行平衡分析， 对dx 段进行平衡分析，有：
1.分布荷载作用下的关系： 1.分布荷载作用下的关系： 分布荷载作用下的关系
∑F
y
=0
Fs ( x ) + q ( x )d x − [ Fs ( x ) + dFS ( x ) ] = 0
dFs ( x) = q ( x) dx
剪力图上某点处的切线斜率等于 该点处荷载集度的大小。 该点处荷载集度的大小。
例 用叠加原理作内力图
1. 弯曲: 弯曲:
平面弯曲 F1 q F2
M
纵向对称面
4. 梁：以弯曲变形为主的构件通常称为梁。 弯曲变形为主的构件通常称为梁。 5. 工程实例
二．梁的计算简图及分类 梁的支承条件与载荷情况一般都比较复杂， 梁的支承条件与载荷情况一般都比较复杂，为了便于分 析计算，应进行必要的简化，抽象出计算简图。 析计算，应进行必要的简化，抽象出计算简图。 1. 构件本身的简化 以梁的轴线来代替梁，忽略构造上的枝节，如键槽、销孔、 以梁的轴线来代替梁，忽略构造上的枝节，如键槽、销孔、 阶梯等。 阶梯等。 2. 载荷简化 作用于梁上的载荷（包括支座反力）可简化为三种类型： 作用于梁上的载荷（包括支座反力）可简化为三种类型： 集中力、集中力偶和分布载荷。 集中力、集中力偶和分布载荷。 3. 支座简化 三种基本形式：可动铰支座；固定铰支座；固定端。 三种基本形式：可动铰支座；固定铰支座；固定端。
三、微分关系在内力图上的应用 外 力
F q=0 q>0 q<0 C
力
力
M
力
C
FS F 图 x
FS>0
F
S
F
S
F
S
F
S
梁的内力重分布
梁的内力重分布
3. 结构形态变化：当梁的结构形态发生变化时，如截面形状、长度或材料的改变，梁的内 力分布也会发生变化。
内力重分布的影响需要通过结构力学的分析方法来进行计算和评估。常用的方法包括静力 学平衡方程、弯矩曲率关系、梁的变形与内力关系等。通过这些方法，可以确定梁在不同受 力状态下的内力分布，并进行结构设计和优化。
需要注意的是，内力重分布可能会导致梁的受力状态发生变化，从而影响梁的承载能力和 安全性。因此，在进行梁的内力重分布分析时，需要充分考虑结构的稳定性和强度要求，并 采取相应的措施来保证结构的安全性。
梁的内力ห้องสมุดไป่ตู้分布
梁的内力重分布是指在梁的受力状态发生变化时，原有的内力分布会发生改变的现象。一 般情况下，梁的内力重分布会发生在以下情况：
1. 荷载变化：当梁所受的荷载发生变化时，如增加、减少或移动荷载位置，梁的内力分布 会随之改变。例如，当集中荷载移动到梁的另一端时，原先受力较大的区域会减小，而新的 位置会出现更大的受力。
第四章 梁的内力
q=2kN/m MC B
M C ( F ) 0
l ql 2 M C FB 4.5kN m 2 8
l/4 FSC
FSC
l/2
FB
图4.11
三、用直接法求剪力、弯矩 F=5kN
直接法：梁任一横
截面上的剪力在数 值上等于该截面一
(a)
q=2kN/m
F=5kN
A C l/4 FA l/4
F
A
B
x
例题：作悬臂梁的剪
x
l FS
x
力图和弯矩图。
解：建立坐标系，将坐 标原点取在梁的左端， 写出梁的剪力方程和弯 矩方程 ：
FS图
F
FS (x) F
x
(0 x l) (0 x l)
M(x) Fx
M
M图
x 0时，M(0) 0 x l时， M(l) Fl
FRA
A
x
q
FRB
例题：作如图简支梁
的剪力图和弯矩图。
解：先求两个支反力
FRA FRB ql 2
B
l
FRA
A
q
M(x) FS (x)
建立坐标系，梁的剪力
x
方程和弯矩方程为：
ql FS (x) FRA qx qx (0 x l) 2 x qlx qx 2 M(x) FRA x qx (0 x l) 2 2 2
FRA
A
x
q
FRB
由弯矩方程得弯矩图为一 条二次抛物线。
B
l
x 0,
M 0
ql 2
x =l ,
解：1、求截面C的剪力和弯矩
材料力学4梁的内力
3、作剪力图和弯矩图 a A C l Me Fs l
b
Me FS x l
B M x M e x
l
Me l x M x l
0 x a
a x l
x Meb l x M
b>a时 M max
M eb l 发生在C截面右侧
Mea l
FAy FBy
M F
y
A
0
FBy 3a Fa 2F a
0
FAy FBy 2F
FAy 5F 3
F FBy 3
求梁的支座反力 主要利用平面问题的三个平衡方程求解
F F M
iy 0 O ( Fi ) 0
ix
0
对于具有荷载集度q的分布荷载，需要先确定其合 力，再求解。
l
b
A FA
x
B FB
解：1、求支反力
Fb FA l
Fa FB l
2、列剪力方程和弯矩方程 ——需分两段列出
a
F C
l
b
A FA AC段 A FA
x x
B FB
M(x) FS(x)
Fa a x l M(x) FS x FB l Fa l x M x FB (l x) FS(x) l a x l
1 2 M ( x ) qx , (0 x l ) 2 F
s
M
x
剪力方程
FS FS ( x)
A
x
ql 0.5ql 2
x
[例] 列出梁内力方程并画内力图。
MA
A
L
F B
解：①求支反力
梁的内力
第四章 梁的内力§4-1吊车大梁工程中的弯曲问题§4-1吊车大梁简化:工程中的弯曲问题qF§4-1火车轮轴工程中的弯曲问题§4-1火车轮轴简化：工程中的弯曲问题§4-1楼房的横梁工程中的弯曲问题阳台的挑梁§4-1工程中的弯曲问题杆件受到垂直于杆轴线的外力（横向力）或 外力偶（其作用面与杆轴线共面）作用，将会产 生弯曲变形。
以弯曲变形为主的杆件通常称为梁M§4-1平面弯曲工程中的弯曲问题•具有纵向对称面 •外力都作用在此面内 •弯曲变形后轴线变成对称面内的平面曲线 因此，我们可以用梁轴线的变形代表梁的弯曲§4-1工程中的弯曲问题常见平面弯曲构件截面:§4-2一、梁的荷载梁的荷载和支座反力q• 集中荷载 • 分布荷载 • 集中力偶均布荷载二、梁的支座及支座反力1、固定铰支座F RxF Ry2、可动铰支座F Ry3、固定支座F RyF RxM AFF AyAxF Ay FByF Ay梁的支座反力可根据梁的平衡条件得到x yz F S MF AyF∑=0yF SF ⇒∑=0CM M ⇒F S —剪力，平行于横截面的内力合力M —面的内力系的合力偶矩F ByF SM 二、求梁内力的方法F SM F Ay解：F By∑F By 用截面法求内力F Ay∑=0y F −Ay F ∑=0E M M EF SEF AyF SEF ByF ByF AyF SEM EF 5F 分析右段得到：F SEE∑=yFF SE ∑=0M −M EF AyF By3FF By =F Ay 梁的任一横截面上的剪力在数值上等于该截面任一侧所有外力竖向投影的代数和F AyF SE5F F SE 2FF SE截面左边向上（右边向下）的外力使截面产生正号的剪力F SEF AyF SEF AyF By3FF By =F Ay 梁的任一横截面上的弯矩在数值上等于该截面任一侧有外力（包括外力偶）对该截面形心力矩的代数和M EF Ay5F M 2FM E截面左边顺时针（右边逆时针）的外力矩使截面产生正号的弯矩F SEF AyF SE内力计算法则：例2 求图示简支梁1-1与2-2截面的剪力和弯矩。
4 梁的内力-剪力和弯矩
FSA右
YA FSA右 0 qa 2 M A右 0
3 FSA右 YA qa 2 M A右 qa 2
YA
Y 0
FSB左
YA FSB左 0
3 FSB左 YA 2 qa M 1 qa 2 B左 2
M B 0 qa 2 YAa M B左 0
qa 2
（2）计算各截面内力 A
a YA A
qa
2
B
q C a YB
3 Y A qa 2 5 YB qa 2
MB左 B a
MB右 B
q
C
a FSB左 FSB右
Y 0
FSB右 qa 0 2
YA
A
2
A
B
3 Y A 2 qa (负号表明力方向与标注相反） 5 YB qa 2
qa 2
（2）计算各截面内力 A
a A右截面 YA
qa MA右
2
B
q C a YB
3 Y A qa 2 5 YB qa 2
A
qa
2
MB左 B a
A
YA
Y 0 MA 0
剪力：与横截面相切的 内力FS 称为横截面I―I 上的剪力。 弯矩：内力偶矩称为横 截面I―I上的弯矩。
FS
FS
剪力、弯矩的正负号规定：使梁产生顺时针转动的 剪力规定为正，反之为负；使梁的下部产生拉伸而 上部产生压缩的弯矩规定为正，反之为负。
FS
FS
FS
FS
【例题４．１】 外伸梁如图所示， 已知均布荷载ｑ 和集 中 力 偶 Ｍ ＝ｑａ2， 求指定截面１—１、２—２、３—３ 的内 力。
第四章梁的内力——剪力和弯矩
图4-4 梁的类型
这三种梁的共同特点是支座反力仅有三个，可由静力平衡 条件全部求得，故也称为静定梁。
§4.2 梁的内力——剪力和弯矩
2.1 截面法求梁的内力
求梁任一截面内力采用截面法 。
P m
A n
YA ()
QM
c
P
YA
M
c
() Q
()
在切开的截面m-n上必
B
然存在两个内力分量： YB 内力Q和内力偶矩M。
P
A
(a)
B C
YA
YA
解 （1）求支座反力
pb
l
(b)
由
MB 0
求图 得YA
Pbpla l
由
M A (c)0
求图 得YB
Pa l
pab
l
图4-10 例题4-3图
（2）分段列剪力方程和弯矩方程
由于C处作用有集中力P，AC和CB两段梁的剪力方程和弯 矩方程并不相同。因此，必须分别列出各段的剪力方程和 弯矩方程：
二阶导数的几何意义是图形斜率的变化率即图形的凸凹 向。弯矩图上一点处的凸凹方向可由梁上该点处荷载集
度q(x)符号来决定。
表4-1 梁的荷载，剪力图，弯矩图相互关系
荷
q=0
载 （无分布荷载梁段）
q>0 q<0
（均布荷载梁段）
集中力 作用处（ 点）
P C
集中力偶 作用处（ 点）
m C
Q图
水平线
M图
（3）支座简化——主要简化为以下三种典型支座：
（a）活动铰支座（或辊轴支座），这种支座只限制梁在 沿垂直于支承平面方向的位移，其支座反力过铰心且垂直 于支承面，用YA表示。
第4章 梁的内力——剪力和弯矩
4.4 荷载、剪力和弯矩间的关系
3. 画 FS 图 －水平直线
FS max 3F 2
4. 画 M 图
－直线
M max 3Fa 2
特点 ：铰链传力不传力偶矩，与铰相连 的两横截面上, M = 0 , FS 不一定为零
4.4 荷载、剪力和弯矩间的关系
4.3 剪力图与弯矩图
3. 画剪力与弯矩图 剪力图:
bF FS1 l
弯矩图:
aF FS2 l
aF M2 x2 l
bF M1 x1 l
最大值:
FS, max
bF （b a 时） l
M max
Fab l
4. 讨论
在 F 作用处, 左右横截面上 的弯矩相同, 剪力值突变
故 FS FAy F1 故 M FAybF1 ( ba )
n i 1
M C 0,
M F1 ( b a ) FAyb 0
FS ( Fi )一侧
i 1 n
M ( mCi )一侧
在保留梁段上，方向与切开截面正 FS 相反 的外力为正，与正 M 相反的外力偶矩为正
（1） 梁的简化 通常取梁的轴线来代替梁，梁的长度称为跨度。。
1.弯曲变形和平面弯曲 A B
q
A B
4.1 工程实际中的受弯杆
（2）载荷类型：集中力、力偶、分布载荷 （3） 支座的类型
可动铰支座，垂直于支承平面的支反力 FR
固定铰支座，支反力 FRx 与 FRy 固定端，支反力 FRx , FRy与矩为 M 的支反力偶
和弯矩图的正确性之外，还可更简洁的绘制剪力图和弯矩图， 并可从荷载图、剪力图、弯矩图中的任一个图直接画出其他两 个图。
第四章 梁的内力——剪力和弯矩
M
M RA x F1 ( x a )
Q
RB
内力的正负规定: ①剪力Q(shear): 绕研究对象顺时针转为正 （使之左上右下错动）；反之为负。
Q(+) Q(+)
Q(–)
Q(–)
②弯矩M (moment)：使梁变成凹形的为正弯矩；使 梁变成凸形的为负弯矩。或者说：使梁上 侧纤维受压，下侧纤维受拉为正。
Q A右 8 1 QC左 ql 8 ql
l/2 Q
3 ql 8 3l 8 l/2
x
(b) CB段内剪力方程为常 数，剪力图为水平线。
21
x 1 ql 8
M图：
AC段内弯矩方程是x的二次 A C B x 函数，为二次抛物线，需求出 (a) 三个截面的弯矩。 l/2 l/2 1 M C ql 2 3 ql MA 0 Q 8 16 (b) x 尚需考察该段内弯矩有无极值： 3l 1 ql d M ( x) 8 8 0 ( FS1 ( x ) 0) dx 3 3 1 2 l M ( x ) qlx qx (0 x ) 得 x l 8 2 2 8 1 l 极值弯矩为: M ( x ) ql ( l x ) ( x l ) 8 2 3 9 2
CB段：
（以x截面右边 为分离）
20
3．求控制截面的内力，绘Q 、M图 FS图：
3 l Q( x ) ql qx (0 x ) 8 2
1 l Q( x) ql ( x l ) 8 2
AC段内剪力方程是x的一次函数，剪力图为斜直线， q 计算A和C端截面的剪力值 A C B (a) 3
对dx 段进行平衡分析：
Q ( x ) q( x )dx Q ( x ) dQ ( x ) 0
梁的内力图
作图示梁的内力图：梁：由支座支承，承受的外力以横向力和剪力为主，以弯曲为主要变形的构件称为梁。
1、从功能上分，有结构梁，如基础地梁、框架梁等；与柱、承重墙等竖向构件共同构成空间结构体系，有构造梁，如圈梁、过梁、连系梁等，起到抗裂、抗震、稳定等构造性作用。
2、梁按照结构工程属性可分为：框架梁、剪力墙支承的框架梁、内框架梁、梁、砌体墙梁、砌体过梁、剪力墙连梁、剪力墙暗梁、剪力墙边框梁。
3、从施工工艺分，有现浇梁、预制梁等。
地梁4、从材料上分，工程中常用的有型钢梁、钢筋混凝土梁、木梁、钢包砼梁等。
5、梁依据截面形式，可分为：矩形截面梁、T形截面梁、十字形截面梁、工字形截面梁、匚形截面梁、囗形截面梁、不规则截面梁。
6、从受力状态分，可分为静定梁和超静定梁。
静定梁是指几何不变，且无多余约束的梁。
超静定梁是指几何不变，且有多余约束的梁。
7、梁按照其在房屋的不同部位，可分为：屋面梁、楼面梁、地下框架梁、基础梁。
所以梁很复杂。
部分梁定义：1.地梁（DL）：地梁也叫基础梁、地基梁，简单地说就是基础上的梁。
一般用于框架结构和框-剪结构中，框架柱落在地梁或地梁的交叉处。
其主要作用是支撑上部结构，并将上部结构的荷载转递到地基上。
2.框架梁（KL）：框架梁是指两端与框架柱相连的梁，或者两端与剪力墙相连但跨高比不小于5的梁。
框架梁可以分为：a、屋面框架梁（WKL）：屋面框架梁指的是框架结构屋面最高处的框架梁；b、楼层框架梁（KL）：楼层框架梁指的是各楼面的框架梁；c、地下框架梁（DKL）：地下框架梁指设置在基础顶面以上且低于建筑标高正负零(室内地面)以下并以框架柱为支座，不受地基反力作用，或者地基反力仅仅是地下梁及其覆土的自重产生，不是由上部荷载的作用所产生，这样的地下梁，称为地下框架梁。
3.圈梁（QL）：圈梁是沿建筑物外墙四周及部分内横墙设置的连续封闭的梁。
其目的是为了增强建筑的整体刚度及墙身的稳定性。
在房屋的基础上部的连续的钢筋混凝土梁叫基础圈梁，也叫地圈梁；而在墙体上部，紧挨楼板的钢筋混凝土梁叫上圈梁。
第四章梁的内力
F
1
2
3Fa
3
4
∑F ∑F ∑F
y
= 0,
c
A1 2 3 4 a FA a a F
Fs1 M1
B FB
∑M
y
= 0, = 0,
M 1 = Fa
Fs 2 = 3F F = 2F
F
Fs2
∑M
y
c
= 0, = 0,
M 2 = Fa
F
Fs 3 = 3F F = 2F M 3 = 3 Fa 2 Fa = Fa
Fs ( x ) = qx
1 2 M ( x ) = qx 2
q ql B
x C l
(0 < x < l ) (0 < x < l ) (0 ≤ x ≤ l )
A
l
ql
AB段：
FN ( y ) = ql Fs ( y ) = ql
1 2 M ( y ) = ql + Fly 2
ql
q
(0 < y < l ) (0 < y < l ) (0 ≤ y ≤ l )
Fs = Fs ( x )
M = M( x )
——剪力方程 ——弯矩方程
内力方程
剪力方程和弯矩方程在集中力作用截面、集中 力偶作用截面、分布力的起、止截面为分段点。 控制截面：内力方程的分段截面（及两侧截面）。
确定内力方程，即可画出内力图。
F
q
M
内力图要求 ①受力图与剪力图、弯 Fs 矩图对齐。 ②正剪力画在横轴上 侧，正弯矩画在横轴下 侧。 ③图上标控制面内力及 极值点内力。
q
F
F
F
F
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梁的内力
主要内容
§4—1 §4—2 §4—3
§4—4
§4—5
概述 梁的内力——剪力和弯矩 梁的剪力方程和弯矩方程 剪力图和弯矩图 弯矩、剪力与荷载集度之间的微 分关系和积分关系 叠加法绘内力图
重点及难点
❖ 梁的内力及内力图 ❖ 弯矩、剪力、荷载集度间的关系
§ 4 — 1 概述
一、弯曲变形的概念和实例 F
纵向对称面
A
PF1 1
PF22
梁的轴线
B
RFARA
对称弯曲
RFBRB
梁变形后的轴线 与外力在同一平 面内
§ 4 — 1 概述
二、梁的计算简图及分类
➢计算简图：把梁的几何形状、荷载、支承等作
合理的简化得到的力学模型
➢发生平面弯曲的等截面直梁，其计算简图可用
其轴线来表示
荷载的简化：
F
M
q
F
1、集中力
力
M
和弯矩
C
FSC
。
解：1、先求支反力
(a)
FB 4.25kN FA 4.75k(Na)
F=5kN F=5kN A A
l/4
C C l/4
q=2kN/m q=2kN/m
B B l/2
2、再求内力
FA
l/4
l/4
在C 处截开，取左半部分分析 FA
l/2
FB
FB
F=kN
q=2kN/m
解：1、先求支反力
(a) A
C
B
M A (F ) 0
FB
3 ql 8
F 4
4.25kN
l/4 FA
l/4
l/2 FB
Fy 0
FA
F
ql 2
FB
4.75(kb)N
F= 5kN A
F A l/4
C
MC
l/4
FSC
例4.1 图4.11（a）所示简支梁受一个集中力F和集度为
q的均布荷载作用。已知 l 4m 。 求跨中C截面的剪
M其C 中 外FA力 2对l 横F4截l 面 形4.5心kN之(矩bm) 正负FFAAA号选ll//取44 规律ll//为44 C：FFSSCC
M
C
（1）力——不论横截面左侧还是右侧，只要向上就取正，反之 取负；
§ 4 — 1 概述
一、弯曲变形的概念和实例
纵向对称面 ：包含梁横截面的一个对称轴及梁轴线的平 面称为纵向对称面
对称弯曲 ：所有外力都在纵向对称面内 ，弯曲变形 后的轴线是位于该纵向对称面内的平面曲线，这种弯 曲称为对称弯曲。
对称弯曲是平面弯曲的一种特殊形式。平面弯曲是 弯曲问题最基本的形式。
非对称弯曲 ：梁不具有纵向对称面，或具有纵向对称面， 但外力并不作用在纵向对称面内这种弯曲称为非对称弯 曲。
M
2、集中力偶
3、分布力
4、分布力偶
§ 4 — 1 概述
二、梁的计算简图及分类 支座的简化：固定铰支座、可动铰支座、固定端等
A (a)
A
A
(a)
墙
楼板梁
MA
(b)
(b)
(c)
图4.5
图4.6
§ 4 — 1 梁的荷载和支座反力概述 二、梁的计算简图及分类
➢梁的分类
1、简支梁——一端固定铰支座，一端可动铰支座
FSC
FA
F
0.25kN
(b) (b)
A
MC (F ) 0
F A l/4 F A l/4
MC
FA
l 2
Fl 4
4.5kN m
C C l/4 l/4
MC MC FSC FSC
例4.1 图4.11（a）所示简支梁受一个集中力F和集度为
q的均布荷载作用。已知 l 4m 。 求跨中C截面的剪
力
M
和弯矩
➢或对研究对象内任一点取矩，顺时针为正，逆时针为
负。 正
负
FS
FS
FS
FS
➢弯矩：对水平梁，使下侧受拉、上侧受压为正；反之 为负。
M
M
下侧受拉
+
上侧受拉
–
例4.1 图4.11（a）所示简支梁受一个集中力F和集度为
q的均布荷载作用。已知 l 4m 。 求跨中C截面的剪
力
M
和弯矩
C
FSC
。
F=5kN
三、用直接法求剪力、弯矩
直接法：梁任一横
F=5kN
q=2kN/m
截面上的弯矩在数 (a) (a)
值上等于该截面一
F=5kN A
A l/4
C C l/4
q=2kN/m B B
l/2
侧梁段上所有外力 对该截面形心的力
FA
l/4
l/4
FA
F= 5kN
l/2
FB
FB
矩的代数和。
A F= 5kN
C
MC
(b)
FA
FB
在平行于截面方向
投影的代数和。 (b) (b)
FSC FA F 0.25kN
F= 5kN A F= 5kN A F A l/4 F A l/4
C C l/4 l/4
MC MC FSC FSC
其中外力正负号选取规律为：横截面左侧梁段上向
上的外力取正，横截面右侧梁段上向下的外力取正；
反之取负。简记为左上右下取正，反之取负。
C
FSC
。
解：1、先求支反力
F=5kN
q=2kN/m
FB 4.25kN FA 4.75k(Na) A
C
B
2、再求内力
l/4
l/4
在C 处截开，取右半部分分析 FA
l/2 FB
Fy 0
FSC
ql 2
FB
0.25kN((cb))
MC (F ) 0
F= 5kN
A
MC C
Mq=C2kN/m B
F A l/4
F
楼板 q
墙
楼板梁
图4.1
图4.2
横向荷载：荷载的方向与构件的 轴线相垂直
以弯曲变形为主要变形的杆件称为梁
图4.3
§ 4 — 1 概述
F
q
M
梁
FRA
FRB
一、弯曲变形的概念和实例
弯曲变形 受力特征：作用线垂直于杆轴线的横向平衡力系
（以及作用在与轴线平行或重合的纵向面 内的外力偶）。 变形特征：变形前为直线的轴线 ，变形后成为曲线。
Fl/S4C C FSC
l/2
FB
MC
FB
l 2
ql 2 8
4.5kN m
图4.11
三、用直接法求剪力、弯矩 F=5kN
q=2kN/m
直接法：梁任一横 (a) 截面上的剪力在数 (a)
F=5kN A A
q=2kN/m B
C B
C
l/4
l/4
l/2
值上等于该截面一
FA
l/4
l/4
l/2
FB
侧梁段上所有外力
FS ——剪力，单位N
B
M——弯矩，单位N.m x
Fy 0 Fs FRA
FRB 对mm截面中心O取矩
M O 0 M FAy x
FRA
M
梁弯曲变形时，横截面上一般存在 两种内力——剪力FS和弯矩M
§ 4 — 2 梁的内力——剪力和弯矩
二、剪力、弯矩的符号约定
➢剪力：截面的外法线方向顺时针旋转90度为正；反之 为负。
2、外伸梁——一端或两端向外伸出的简支梁
跨、跨度
3、悬臂梁——一端固定支座，另一端是自由端
注：这几种梁的支反力都只有三个，平面一般力系可以求 解三个未知量。
§ 4 — 2 梁的内力——剪力和弯矩 一、梁的内力
求解内力的方法：截面法（截开、分离、代替、平衡）
如 图，以简支梁为例。
y
m F2
A
xm
FRA FS