第四章 梁的内力解析

F
楼板 q
墙
楼板梁
图4.1
图4.2
横向荷载：荷载的方向与构件的 轴线相垂直
以弯曲变形为主要变形的杆件称为梁
图4.3
§ 4 — 1 概述
F
q
M
梁Fra Baidu bibliotek
FRA
FRB
一、弯曲变形的概念和实例
弯曲变形 受力特征：作用线垂直于杆轴线的横向平衡力系
（以及作用在与轴线平行或重合的纵向面 内的外力偶）。 变形特征：变形前为直线的轴线 ，变形后成为曲线。
q=2kN/m
解：1、先求支反力
(a) A
C
B
M A (F ) 0
FB
3 ql 8
F 4
4.25kN
l/4 FA
l/4
l/2 FB
Fy 0
FA
F
ql 2
FB
4.75(kb)N
F= 5kN A
F A l/4
C
MC
l/4
FSC
例4.1 图4.11（a）所示简支梁受一个集中力F和集度为
q的均布荷载作用。已知 l 4m 。 求跨中C截面的剪
M
2、集中力偶
3、分布力
4、分布力偶
§ 4 — 1 概述
二、梁的计算简图及分类 支座的简化：固定铰支座、可动铰支座、固定端等
A (a)
A
A
(a)
墙
楼板梁
MA
(b)
(b)
(c)
图4.5
图4.6
§ 4 — 1 梁的荷载和支座反力概述 二、梁的计算简图及分类
➢梁的分类
1、简支梁——一端固定铰支座，一端可动铰支座
2、外伸梁——一端或两端向外伸出的简支梁
跨、跨度
3、悬臂梁——一端固定支座，另一端是自由端
注：这几种梁的支反力都只有三个，平面一般力系可以求 解三个未知量。
§ 4 — 2 梁的内力——剪力和弯矩 一、梁的内力
求解内力的方法：截面法（截开、分离、代替、平衡）
如 图，以简支梁为例。
y
m F2
A
xm
FRA FS
三、用直接法求剪力、弯矩
直接法：梁任一横
F=5kN
q=2kN/m
截面上的弯矩在数 (a) (a)
值上等于该截面一
F=5kN A
A l/4
C C l/4
q=2kN/m B B
l/2
侧梁段上所有外力 对该截面形心的力
FA
l/4
l/4
FA
F= 5kN
l/2
FB
FB
矩的代数和。
A F= 5kN
C
MC
(b)
§ 4 — 1 概述
一、弯曲变形的概念和实例
纵向对称面 ：包含梁横截面的一个对称轴及梁轴线的平 面称为纵向对称面
对称弯曲 ：所有外力都在纵向对称面内 ，弯曲变形 后的轴线是位于该纵向对称面内的平面曲线，这种弯 曲称为对称弯曲。
对称弯曲是平面弯曲的一种特殊形式。平面弯曲是 弯曲问题最基本的形式。
非对称弯曲 ：梁不具有纵向对称面，或具有纵向对称面， 但外力并不作用在纵向对称面内这种弯曲称为非对称弯 曲。
纵向对称面
A
PF1 1
PF22
梁的轴线
B
RFARA
对称弯曲
RFBRB
梁变形后的轴线 与外力在同一平 面内
§ 4 — 1 概述
二、梁的计算简图及分类
➢计算简图：把梁的几何形状、荷载、支承等作
合理的简化得到的力学模型
➢发生平面弯曲的等截面直梁，其计算简图可用
其轴线来表示
荷载的简化：
F
M
q
F
1、集中力
FS ——剪力，单位N
B
M——弯矩，单位N.m x
Fy 0 Fs FRA
FRB 对mm截面中心O取矩
M O 0 M FAy x
FRA
M
梁弯曲变形时，横截面上一般存在 两种内力——剪力FS和弯矩M
§ 4 — 2 梁的内力——剪力和弯矩
二、剪力、弯矩的符号约定
➢剪力：截面的外法线方向顺时针旋转90度为正；反之 为负。
第四章
梁的内力
主要内容
§4—1 §4—2 §4—3
§4—4
§4—5
概述 梁的内力——剪力和弯矩 梁的剪力方程和弯矩方程 剪力图和弯矩图 弯矩、剪力与荷载集度之间的微 分关系和积分关系 叠加法绘内力图
重点及难点
❖ 梁的内力及内力图 ❖ 弯矩、剪力、荷载集度间的关系
§ 4 — 1 概述
一、弯曲变形的概念和实例 F
➢或对研究对象内任一点取矩，顺时针为正，逆时针为
负。 正
负
FS
FS
FS
FS
➢弯矩：对水平梁，使下侧受拉、上侧受压为正；反之 为负。
M
M
下侧受拉
+
上侧受拉
–
例4.1 图4.11（a）所示简支梁受一个集中力F和集度为
q的均布荷载作用。已知 l 4m 。 求跨中C截面的剪
力
M
和弯矩
C
FSC
。
F=5kN
FA
FB
在平行于截面方向
投影的代数和。 (b) (b)
FSC FA F 0.25kN
F= 5kN A F= 5kN A F A l/4 F A l/4
C C l/4 l/4
MC MC FSC FSC
其中外力正负号选取规律为：横截面左侧梁段上向
上的外力取正，横截面右侧梁段上向下的外力取正；
反之取负。简记为左上右下取正，反之取负。
Fl/S4C C FSC
l/2
FB
MC
FB
l 2
ql 2 8
4.5kN m
图4.11
三、用直接法求剪力、弯矩 F=5kN
q=2kN/m
直接法：梁任一横 (a) 截面上的剪力在数 (a)
F=5kN A A
q=2kN/m B
C B
C
l/4
l/4
l/2
值上等于该截面一
FA
l/4
l/4
l/2
FB
侧梁段上所有外力
力
M
和弯矩
C
FSC
。
解：1、先求支反力
(a)
FB 4.25kN FA 4.75k(Na)
F=5kN F=5kN A A
l/4
C C l/4
q=2kN/m q=2kN/m
B B l/2
2、再求内力
FA
l/4
l/4
在C 处截开，取左半部分分析 FA
l/2
FB
FB
F= 5kN
Fy 0
A F= 5kN
FSC
FA
F
0.25kN
(b) (b)
A
MC (F ) 0
F A l/4 F A l/4
MC
FA
l 2
Fl 4
4.5kN m
C C l/4 l/4
MC MC FSC FSC
例4.1 图4.11（a）所示简支梁受一个集中力F和集度为
q的均布荷载作用。已知 l 4m 。 求跨中C截面的剪
力
M
和弯矩
M其C 中 外FA力 2对l 横F4截l 面 形4.5心kN之(矩bm) 正负FFAAA号选ll//取44 规律ll//为44 C：FFSSCC
M
C
（1）力——不论横截面左侧还是右侧，只要向上就取正，反之 取负；
C
FSC
。
解：1、先求支反力
F=5kN
q=2kN/m
FB 4.25kN FA 4.75k(Na) A
C
B
2、再求内力
l/4
l/4
在C 处截开，取右半部分分析 FA
l/2 FB
Fy 0
FSC
ql 2
FB
0.25kN((cb))
MC (F ) 0
F= 5kN
A
MC C
Mq=C2kN/m B
F A l/4