数学模型

数学模型复习题

1、)(t x为连续函数，初值条件0

x=，假设其增长率为常数r，显然有

)0(x

-

=

∆

)

(，则其满足微分方程；微分方程满足初值条件的)(

+)(

x∆

t

t

rx

t

t

x

t

解为；这个模型称为。阻滞增长模型的形式的微分形

式；求解得到的曲线称为曲线。

2、叙述数学建模的一般步骤

模型准备、模型假设、模型构成、模型求解、模型分析、模型检验、模型应用

从思想上理解。

3、简述数学模型按以下方面的分类：

按应用领域可分为：人口、交通、能源、环境、经济、规划等等；

按建立模型的数学方法可分为：初等数学模型、几何模型、微分方程模型、统计回归模型、数学规划模型等等；

按模型的表现特征可以分为：确定性和随机性、线性和非线性、静态和动态、连续与离散等等。

可以灵活理解。

4、在超市购物时你可能注意到大包装商品比小包装商品便宜，比如中华牙膏65g每支2.5元，120g每支3.8元，二者单位重量的价格比约为1.21：1。

（1）分析商品单位重量价格C与商品重量w的关系。价格由生产成本、包装成本和其他成本所决定，这些成本中有的与体积成正比、有的与表面积成正比、有的与体积（重量w）无关。

（2）给出单位重量价格C与w的关系，画出它们的简图。说明w越大C越小，但是随着w的增加C减小的速度变慢，解释其意义是什么？

5、2010级新生入学后，统计与应用数学学院共有在校学生1055人，其中统计学专业520人，信息与计算科学专业265人，数学与应用数学专业270人。要在全院推选23名学生组成学生代表团，试用下面的方法分配各专业的学生代表：

（1）按比例分配取整的方法，剩下的名额按惯例分配给小数部分较大者；

（2）用Q值方法进行分配。

6、工厂定期订购原料，存入仓库供生产之用。设在一个生产周期T内，原料每天的需求量为常数r，每次的定货费用为1c，每天每单位原料的存储费为2c，订货后可立即到货，每次订货量为Q。

（1）建立一周期的总费用函数（包括订货费与库存费，购货费是常数可不予考虑）；

（2）为使每天的平均费用最小，求最佳订货批量Q、订货周期T和最小成本C。

7、一饲养场每天投入4元资金用于饲料、设备、人力，估计可使一头80公斤重的生

猪每天体重增加2公斤。目前生猪的出售价格为每公斤8元，但是预测价格每天降低0.1元。

（1）问该饲养场应该在什么时候出售这样的生猪最划算？

（2）在最佳出售时机的价格之下，作体重增加关于时间的弹性分析，并对弹性分析作出相应的解释；

（3）在最佳出售时机的价格之下，作价格的降低关于时间的弹性分析，并对弹性分析作出相应的解释；

8、利润)(p U 是销售收入)(p I 与生产支出)(p C 之差，

p 为每单位商品的售价，即

)()()(p C p I p U -=。dp

dI

称为 ；dp

dC 称为 ；dp

dU 称

为 ；利润最大化的条件是 。

给定px p I =

)(，qx p C =)(，需求函数bp a p x -=)(，0,,>q b a 已知

（1）建立利润函数的表达式；

（2）利用上述条件求利润最大化时的价格。

9、消费者对甲、乙两种商品的效用曲线（无差异曲线）),(21q q U ，问他如何利用手中的钱

s 购买两种单价分别为1

p 和2

p 的商品以达到效用最大。

（1）建立效用最大化的数学规划模型；

（2）利用Lagrange 乘数法求出利润最大化的条件，并对结果进行解释。 （3）对于上述模型，推广到

n 商品的情况。

10、某工厂加工A ，B ，C 三种元件，三种元件在粗加工、精加工包装检验三个车间所需要单位工时，单位产品利润和各车间总工时限制如下表，问应如何安排，可获最大利润。

（1Max=30*x1+20*x2+50*x3; X1+2*x2+x3<430; 3*x1+2*x3<460; X1+4*x2<420;

（2）对于你建立的线性规划模型，利用LINGO10.0求解结果如下：

请你进行对偶价格分析和进行全面的灵敏度分析（目标函数的系数和约束条件右断的

常数项），并作出解释。

Global optimal solution found.

Objective value: 13500.00

Total solver iterations: 2

Variable Value Reduced Cost

X1 0.000000 40.00000

X2 100.0000 0.000000

X3 230.0000 0.000000

Row Slack or Surplus Dual Price

1 13500.00 1.000000

2 0.000000 10.00000

3 0.000000 20.00000

4 20.00000 0.000000

Ranges in which the basis is unchanged:

Objective Coefficient Ranges

Current Allowable Allowable

Variable Coefficient Increase Decrease

X1 30.00000 40.00000 INFINITY

X2 20.00000 80.00000 20.00000

X3 50.00000 INFINITY 26.66667

Righthand Side Ranges

Row Current Allowable Allowable

RHS Increase Decrease

2 430.0000 10.00000 200.0000

3 460.0000 400.0000 20.00000

4 420.0000 INFINITY 20.00000

11、某疗养院营养师要为病人拟订本周菜单。可供选择的蔬菜及其费用和所含营养成