二项式公式大全
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问题
今天是星期四，那么
（1）7天后的这一天是星期几呢? （星期四） (2)如果是15天后的这一天呢？ （星期五） (3)如果是24天后的这一天呢？ （星期天）
(4)如果是 8100天后的这一天呢？
回顾
（a b)2 a2 2ab b2
(a b)3 (a b)(a b)(a b) (a b)(a2 ab ba b2 )
r n
与a,b
例如 1 2x n 其第r+1项为 Tr＋1＝Crn 1 n－r 2x r
二项式系数
C
r n
其对应项系数为
Crn 2r
②区别
a b
n
的第r+1项
Tr＋1＝C
r n
a
n－r br
b an
的第r+1项
Tr＋1＝C
r n
b n－r a
r
所以应用二项式时，a与b不能交换位置
C
0 3
C13
C
2 3
C
3 3
二项式定理的探索
（ a b)1 C10a1 C11b1 （ a b )2 C02a2 C12a b C22b2 （ a b )3 C30a3 C13a2b C32a b2 C33b3 （ a b )4 C04a4 C14a3b C24a2b2 C34a b3 C44b4
②指数：a按降幂排列，b按升幂排列，每一项中 a、b的指数和为n
③系数：第r＋1项的二项式系数为
C
r n
（r＝0，1，2，…，n）
Crn
二项式定理
二项展开式：定理中右边的多项式
C
0 n
a
n＋C1n a
n－1b＋C
2 n
a
n－2 b 2＋
＋C
r n
a
n－r
b r＋
＋C
n n
b
n
二项展开式的通项
（a b)n C0nan C1nan-1b Cnran-rbr Cnnbn
二项式证明
（a b)n C0nan C1nan-1b Cnran-rbr Cnnbn
应用数学归纳法证明
(1)当n 1时，左 a b1 a b C10a C11b 右，所以等式成立
x8r
(
x
1 2
)r
(1)r
C8r
x8r
x
r 2
(1)r
C8r
x8
3 2
r
由8 3r 5可得r 2 2
（ a b)4 a4 a3b a2b2 ab3 b4
（ a b )n an an-1b an-2b2 abn-1 bn
二项式定理的探索
（a b)3 (a b)(a b)(a b)
C30a3 C13a2b C32a b2 C33b3
a3 a2b a b2 b3
二项式定理
公式变形：
（a－b）n＝ C0na n－C1na n－1b＋C2na n－2b2－＋ （－1）rCrna n－rbr＋ ＋（－1）nCnnbn
通项公式 Tr＋1＝ 1 r Crnan－rbr
例题讲解
例1
求
3
x
1 4 x 的展开式
解：
3
x
1 x
的这一天是星期几？
8100 （7 1）100
C10007100 C1100799 C1r007100r
C1909071
C11
0 0
0 0
（7 C1000799 C19090） 1
余数是1， 所以是星期五
总结
二项式定理
a b n Cn0an Cn1an-1b Cn2an-2b2
a3 a2b aba ab2 ba2
bab b2a b3
a3 3a2b 3ab2 b3
(a b)100 ？
二项式定理的探索
（a b)1 a b
（a b)2 a2 2ab b2 (a b)3 a3 3a2b 3ab2 b3
(2)令n k时，等式成立，即
（a＋b）k＝C0ka k＋C1ka k－1b＋C2ka k－2b2＋＋Ckkbk 那么（a＋b）k1 (a b)(a b)k
(a b)(C0kak＋C1kak－1b＋C2ka k－2b2＋＋Ckkbk )
a (C 0k a
k＋C1k
C0k1a k1
C1k1a kb
C1k1a b k－1 2
...
C b k1 k1 k 1
所以当n=k+1时也成立。由数学归纳法知，等式对一切n∈N﹡成立
二项式定理
（a＋b）n＝C
0 n
a
n＋C1n
a
n－1b＋C
2 n
a
n－2
b
2＋
＋C
n n
b
n
二项展开式的特点
①项数：共n＋1项
4
3x 14
x2
1 x2
[C40 (3x)4
化 简 后 再
C41(3x)3C42(3x)2C43(3x) C44 ]
1 x2
(81x4
108x3
54x2
12 x
1)
展 开
81x2 108x 54 12 1 x x2
例题讲解
4、今天是星期四，那么 8100 天后
a
k－1b＋C
2 k
a
k－2 b 2＋
＋C
k k
b
k
)
b(C0k
a
k＋C1k
a
k－1b＋C2k
a
k－2
b
2＋
＋C
k k
b
k
)
C C C r1
r
Байду номын сангаас
k
k
r 1 k 1
C0k1a k1
(C1k
C0k
)a kb
(C
2 k
C1k
)a k－1b2
...
Ckk bk1
Cnn-1abn-1 Cnnbn
二项式展开的通项
Tr1 Cnran-rbr 第 r 1 项
作业：p37 2题（2）。3题(1)。4题（1）（2）
例题讲解
x 例3(04全国卷) ( x 1 )8 的展开式中 5 系数为__________ x
解：设第r+1项为所求项
Tr 1
C8r
Tr＋1＝C
r n
a
n－r
br
r=0,1,2,…n.
表示展开式的第r＋1项
C
r n
（r=0,1,2….n）表示为二项式的系数
二项式定理
二项展开式的通项
Tr＋1＝C
r n
a
n－r b r
注意：①区别二项式系数与对应项的系数：二项式系数特指C
无关。而对应的项的系数不仅与
C
r n
有关也与a,b的值有关。
今天是星期四，那么
（1）7天后的这一天是星期几呢? （星期四） (2)如果是15天后的这一天呢？ （星期五） (3)如果是24天后的这一天呢？ （星期天）
(4)如果是 8100天后的这一天呢？
回顾
（a b)2 a2 2ab b2
(a b)3 (a b)(a b)(a b) (a b)(a2 ab ba b2 )
r n
与a,b
例如 1 2x n 其第r+1项为 Tr＋1＝Crn 1 n－r 2x r
二项式系数
C
r n
其对应项系数为
Crn 2r
②区别
a b
n
的第r+1项
Tr＋1＝C
r n
a
n－r br
b an
的第r+1项
Tr＋1＝C
r n
b n－r a
r
所以应用二项式时，a与b不能交换位置
C
0 3
C13
C
2 3
C
3 3
二项式定理的探索
（ a b)1 C10a1 C11b1 （ a b )2 C02a2 C12a b C22b2 （ a b )3 C30a3 C13a2b C32a b2 C33b3 （ a b )4 C04a4 C14a3b C24a2b2 C34a b3 C44b4
②指数：a按降幂排列，b按升幂排列，每一项中 a、b的指数和为n
③系数：第r＋1项的二项式系数为
C
r n
（r＝0，1，2，…，n）
Crn
二项式定理
二项展开式：定理中右边的多项式
C
0 n
a
n＋C1n a
n－1b＋C
2 n
a
n－2 b 2＋
＋C
r n
a
n－r
b r＋
＋C
n n
b
n
二项展开式的通项
（a b)n C0nan C1nan-1b Cnran-rbr Cnnbn
二项式证明
（a b)n C0nan C1nan-1b Cnran-rbr Cnnbn
应用数学归纳法证明
(1)当n 1时，左 a b1 a b C10a C11b 右，所以等式成立
x8r
(
x
1 2
)r
(1)r
C8r
x8r
x
r 2
(1)r
C8r
x8
3 2
r
由8 3r 5可得r 2 2
（ a b)4 a4 a3b a2b2 ab3 b4
（ a b )n an an-1b an-2b2 abn-1 bn
二项式定理的探索
（a b)3 (a b)(a b)(a b)
C30a3 C13a2b C32a b2 C33b3
a3 a2b a b2 b3
二项式定理
公式变形：
（a－b）n＝ C0na n－C1na n－1b＋C2na n－2b2－＋ （－1）rCrna n－rbr＋ ＋（－1）nCnnbn
通项公式 Tr＋1＝ 1 r Crnan－rbr
例题讲解
例1
求
3
x
1 4 x 的展开式
解：
3
x
1 x
的这一天是星期几？
8100 （7 1）100
C10007100 C1100799 C1r007100r
C1909071
C11
0 0
0 0
（7 C1000799 C19090） 1
余数是1， 所以是星期五
总结
二项式定理
a b n Cn0an Cn1an-1b Cn2an-2b2
a3 a2b aba ab2 ba2
bab b2a b3
a3 3a2b 3ab2 b3
(a b)100 ？
二项式定理的探索
（a b)1 a b
（a b)2 a2 2ab b2 (a b)3 a3 3a2b 3ab2 b3
(2)令n k时，等式成立，即
（a＋b）k＝C0ka k＋C1ka k－1b＋C2ka k－2b2＋＋Ckkbk 那么（a＋b）k1 (a b)(a b)k
(a b)(C0kak＋C1kak－1b＋C2ka k－2b2＋＋Ckkbk )
a (C 0k a
k＋C1k
C0k1a k1
C1k1a kb
C1k1a b k－1 2
...
C b k1 k1 k 1
所以当n=k+1时也成立。由数学归纳法知，等式对一切n∈N﹡成立
二项式定理
（a＋b）n＝C
0 n
a
n＋C1n
a
n－1b＋C
2 n
a
n－2
b
2＋
＋C
n n
b
n
二项展开式的特点
①项数：共n＋1项
4
3x 14
x2
1 x2
[C40 (3x)4
化 简 后 再
C41(3x)3C42(3x)2C43(3x) C44 ]
1 x2
(81x4
108x3
54x2
12 x
1)
展 开
81x2 108x 54 12 1 x x2
例题讲解
4、今天是星期四，那么 8100 天后
a
k－1b＋C
2 k
a
k－2 b 2＋
＋C
k k
b
k
)
b(C0k
a
k＋C1k
a
k－1b＋C2k
a
k－2
b
2＋
＋C
k k
b
k
)
C C C r1
r
Байду номын сангаас
k
k
r 1 k 1
C0k1a k1
(C1k
C0k
)a kb
(C
2 k
C1k
)a k－1b2
...
Ckk bk1
Cnn-1abn-1 Cnnbn
二项式展开的通项
Tr1 Cnran-rbr 第 r 1 项
作业：p37 2题（2）。3题(1)。4题（1）（2）
例题讲解
x 例3(04全国卷) ( x 1 )8 的展开式中 5 系数为__________ x
解：设第r+1项为所求项
Tr 1
C8r
Tr＋1＝C
r n
a
n－r
br
r=0,1,2,…n.
表示展开式的第r＋1项
C
r n
（r=0,1,2….n）表示为二项式的系数
二项式定理
二项展开式的通项
Tr＋1＝C
r n
a
n－r b r
注意：①区别二项式系数与对应项的系数：二项式系数特指C
无关。而对应的项的系数不仅与
C
r n
有关也与a,b的值有关。