自动控制原理21
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这也是一个两阶定常微分方程。X为输出量，F为输入量。 在国际单位制中，m,f和k的单位分别为：kg, N.s / m, N / m
Tuesday, June 09,
2020
9
控制系统的微分方程
[例2-3]电枢控制式直流电动机
Ra La
if
i ua
ea
M
ω
这里输入是电枢电压ua和等效到电机
Mc 转轴上的负载转矩Mc，输出是转速
[需要讨论的几个问题]：
1、相似系统和相似量：
我们注意到例2-1和例2-2的微分方程形式是完全 一样的。
这是因为：若令 q idt （电荷），则例2-1①式的结果变
为：
L
d 2q dt 2
R
dq dt
1 C
q
ui
可见，同一物理系统有不同形式的数学模型，而不同类型的系 统也可以有相同形式的数学模型。
12
非线性环节微分方程的线性化
2、非线性元件（环节）微分方程的线性化
在经典控制领域，主要研究的是线性定常控制系统。如果 描述系统的数学模型是线性常系数的微分方程，则称该系 统为线性定常系统，其最重要的特性便是可以应用线性叠 加原理，即系统的总输出可以由若干个输入引起的输出叠 加得到。
Tuesday, June 09,
第二章 控制系 统的数学模型
Tuesday, June 09,
2020
1
知识点
系统微分方程的建立方法
Laplace变换的定义及性质 传递函数的定义及性质
控制系统中的典型环节及传递函数的数学模 型
动态结构图的建立方法及简化
准确求取系统的传递函数
自动控制系统中微分方程、传递函数、动态 结构图之间的关系及相互转换
2020
5
第一节 控制系统的微分方程
Tuesday, June 09,
2020
6
控制系统的微分方程
微分方程的编写应根据组成系统各元件工作过程中所遵循 的物理定理来进行。例如：电路中的基尔霍夫电路定理，力学 中的牛顿定理，热力学中的热力学定理等。
Tuesday, June 09,
2020
7
控制系统的微分方程
控制系统如按照数学模型分类的话，可以分为线性和非线 性系统，定常系统和时变系统。
Tuesday, June 09,
2020
3
概述
[线性系统]：如果系统满足叠加原理，则称其为线性系统。叠 加原理说明，两个不同的作用函数同时作用于系统的响应，等 于两个作用函数单独作用的响应之和。
线性系统对几个输入量同时作用的响应可以一个一个地处 理，然后对每一个输入量响应的结果进行叠加。
[线性定常系统和线性时变系统]：可以用线性定常（常系数）微 分方程描述的系统称为线性定常系统。如果描述系统的微分方 程的系数是时间的函数，则这类系统为线性时变系统。
宇宙飞船控制系统就是时变控制的一个例子（宇宙飞船的 质量随着燃料的消耗而变化）。
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2020
4
概述
[非线性系统]：如果不能应用叠加原理，则系统是非线性的。 下面是非线性系统的一些例子：
Tuesday, June 09,
2020
2
概述
2.1微分方程
[数学模型]：描述控制系统变量（物理量）之间动态关系的数 学表达式。常用的数学模型有微分方程，传递函数，结构图， 信号流图，频率特性以及状态空间描述等。
例如对一个微分方程，若已知初值和输入值，对微分方程 求解，就可以得出输出量的时域表达式。据此可对系统进行 分析。所以建立控制系统的数学模型是对系统进行分析的第 一步也是最重要的一步。
d dt
Kuua
Km (Ta
dmc dt
mc )
其中Ta
La Ra
和
Tm
Ra J CeCm
分别称为电磁时间常数和机电时间常数
Ku
1 Ce
和
Km
Ra CeCm
分别是转速与电压传递系数和转速与负载
传Tu递esd系ay,数Jun。e 0这9, 里已略去摩擦力和扭转弹性力。
2020
11
相似系统和相似量
2020
13
非线性环节微分方程的线性化
若描述系统的数学模型是非线性（微分）方程，则相应
J
电枢回路方程为
La
di dt
Rai
ea
ua
其中ea 为反电势 ea K1
此时激磁电流为常数，所以
N
S
K f i f 常数 ea K1K f i f Ce
Ce称为电动机电势常数
电机通电后产生转矩 m K2ia K2K f i f ia Cmia
Cm称为电动机转矩常数，再根据牛顿定律可得机械转动方程
Tuesday, June 09,
J
d
dt
m
mc
2020
10
控制系统的微分方程
La
di dt
Rai
ea
ua
ea Ce
m Cmia
J
d
dt
m
mc
整理得
La J CeCm
d 2 dt 2
Ra J CeCm
d dt
ua Ce
La CeCm
dmc dt
Ra mc CeCm
TaTm
d 2 dt 2
Tm
d2x dt 2
( dx)2 dt
x
Asin t,
d2x dt 2
(x2
1)
dx dt
x
0,
d2x dt 2wk.baidu.com
dx dt
x
x3
0
古典控制理论中（我们所正在学习的），采用的是单输入 单输出描述方法。主要是针对线性定常系统，对于非线性系统 和时变系统，解决问题的能力是极其有限的。
Tuesday, June 09,
[定义]具有相同的数学模型的不同物理系统称为相似系统。
例2-1和例2-2称为力-电荷相似系统，在此系统中 x, F, m, f , k
分别与
q,
ui
,
L,
R,
1 C
为相似量。
[作用]利用相似系统的概念可以用一个易于实现的系统来模拟
相对复杂的系统，实现仿真研究。
Tuesday, June 09,
2020
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8
控制系统的微分方程
[例2-2] 求弹簧-阻尼-质量的机械位移系统的微分方程。 输入量为外力F，输出量为位移x。
Fk
F kx
m
m
f x fx mx
[解]：图1和图2分别为系 统原理结构图和质量块 受力分析图。图中，m 为质量，f为粘性阻尼系 数，k为弹性系数。
图1
图2
根据牛顿定理，可列出质量块的力平衡方程如下： mx fx kx F
[例2-1]：写出RLC串联电路的微分方程。
ui
L
R
i
C
uo
ui 输入
uo 输出
[解]：据基尔霍夫电路定理：
L di dt
Ri
1 C
idt
ui
①
uo
1 C
idt
②
由②：i C d，uo代入①得： dt
LC
d 2uo dt 2
RC
duo dt
uo
ui
这是一个线性定常二阶微分方程。
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控制系统的微分方程
[例2-3]电枢控制式直流电动机
Ra La
if
i ua
ea
M
ω
这里输入是电枢电压ua和等效到电机
Mc 转轴上的负载转矩Mc，输出是转速
[需要讨论的几个问题]：
1、相似系统和相似量：
我们注意到例2-1和例2-2的微分方程形式是完全 一样的。
这是因为：若令 q idt （电荷），则例2-1①式的结果变
为：
L
d 2q dt 2
R
dq dt
1 C
q
ui
可见，同一物理系统有不同形式的数学模型，而不同类型的系 统也可以有相同形式的数学模型。
12
非线性环节微分方程的线性化
2、非线性元件（环节）微分方程的线性化
在经典控制领域，主要研究的是线性定常控制系统。如果 描述系统的数学模型是线性常系数的微分方程，则称该系 统为线性定常系统，其最重要的特性便是可以应用线性叠 加原理，即系统的总输出可以由若干个输入引起的输出叠 加得到。
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第二章 控制系 统的数学模型
Tuesday, June 09,
2020
1
知识点
系统微分方程的建立方法
Laplace变换的定义及性质 传递函数的定义及性质
控制系统中的典型环节及传递函数的数学模 型
动态结构图的建立方法及简化
准确求取系统的传递函数
自动控制系统中微分方程、传递函数、动态 结构图之间的关系及相互转换
2020
5
第一节 控制系统的微分方程
Tuesday, June 09,
2020
6
控制系统的微分方程
微分方程的编写应根据组成系统各元件工作过程中所遵循 的物理定理来进行。例如：电路中的基尔霍夫电路定理，力学 中的牛顿定理，热力学中的热力学定理等。
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控制系统的微分方程
控制系统如按照数学模型分类的话，可以分为线性和非线 性系统，定常系统和时变系统。
Tuesday, June 09,
2020
3
概述
[线性系统]：如果系统满足叠加原理，则称其为线性系统。叠 加原理说明，两个不同的作用函数同时作用于系统的响应，等 于两个作用函数单独作用的响应之和。
线性系统对几个输入量同时作用的响应可以一个一个地处 理，然后对每一个输入量响应的结果进行叠加。
[线性定常系统和线性时变系统]：可以用线性定常（常系数）微 分方程描述的系统称为线性定常系统。如果描述系统的微分方 程的系数是时间的函数，则这类系统为线性时变系统。
宇宙飞船控制系统就是时变控制的一个例子（宇宙飞船的 质量随着燃料的消耗而变化）。
Tuesday, June 09,
2020
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概述
[非线性系统]：如果不能应用叠加原理，则系统是非线性的。 下面是非线性系统的一些例子：
Tuesday, June 09,
2020
2
概述
2.1微分方程
[数学模型]：描述控制系统变量（物理量）之间动态关系的数 学表达式。常用的数学模型有微分方程，传递函数，结构图， 信号流图，频率特性以及状态空间描述等。
例如对一个微分方程，若已知初值和输入值，对微分方程 求解，就可以得出输出量的时域表达式。据此可对系统进行 分析。所以建立控制系统的数学模型是对系统进行分析的第 一步也是最重要的一步。
d dt
Kuua
Km (Ta
dmc dt
mc )
其中Ta
La Ra
和
Tm
Ra J CeCm
分别称为电磁时间常数和机电时间常数
Ku
1 Ce
和
Km
Ra CeCm
分别是转速与电压传递系数和转速与负载
传Tu递esd系ay,数Jun。e 0这9, 里已略去摩擦力和扭转弹性力。
2020
11
相似系统和相似量
2020
13
非线性环节微分方程的线性化
若描述系统的数学模型是非线性（微分）方程，则相应
J
电枢回路方程为
La
di dt
Rai
ea
ua
其中ea 为反电势 ea K1
此时激磁电流为常数，所以
N
S
K f i f 常数 ea K1K f i f Ce
Ce称为电动机电势常数
电机通电后产生转矩 m K2ia K2K f i f ia Cmia
Cm称为电动机转矩常数，再根据牛顿定律可得机械转动方程
Tuesday, June 09,
J
d
dt
m
mc
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10
控制系统的微分方程
La
di dt
Rai
ea
ua
ea Ce
m Cmia
J
d
dt
m
mc
整理得
La J CeCm
d 2 dt 2
Ra J CeCm
d dt
ua Ce
La CeCm
dmc dt
Ra mc CeCm
TaTm
d 2 dt 2
Tm
d2x dt 2
( dx)2 dt
x
Asin t,
d2x dt 2
(x2
1)
dx dt
x
0,
d2x dt 2wk.baidu.com
dx dt
x
x3
0
古典控制理论中（我们所正在学习的），采用的是单输入 单输出描述方法。主要是针对线性定常系统，对于非线性系统 和时变系统，解决问题的能力是极其有限的。
Tuesday, June 09,
[定义]具有相同的数学模型的不同物理系统称为相似系统。
例2-1和例2-2称为力-电荷相似系统，在此系统中 x, F, m, f , k
分别与
q,
ui
,
L,
R,
1 C
为相似量。
[作用]利用相似系统的概念可以用一个易于实现的系统来模拟
相对复杂的系统，实现仿真研究。
Tuesday, June 09,
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控制系统的微分方程
[例2-2] 求弹簧-阻尼-质量的机械位移系统的微分方程。 输入量为外力F，输出量为位移x。
Fk
F kx
m
m
f x fx mx
[解]：图1和图2分别为系 统原理结构图和质量块 受力分析图。图中，m 为质量，f为粘性阻尼系 数，k为弹性系数。
图1
图2
根据牛顿定理，可列出质量块的力平衡方程如下： mx fx kx F
[例2-1]：写出RLC串联电路的微分方程。
ui
L
R
i
C
uo
ui 输入
uo 输出
[解]：据基尔霍夫电路定理：
L di dt
Ri
1 C
idt
ui
①
uo
1 C
idt
②
由②：i C d，uo代入①得： dt
LC
d 2uo dt 2
RC
duo dt
uo
ui
这是一个线性定常二阶微分方程。
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