2020北京各区一模数学试题分类汇编--函数与导数(学生版)
2024北京高三一模数学题目(含答案)利用导数研究函数的性质
一、单选2024北京高三一模数学题目（含答案）利用导数研究函数的性质题1．（2024北京朝阳高三一模）已知n 个大于2的实数12,,,n x x x ⋅⋅⋅，对任意()1,2,,i x i n =⋅⋅⋅，存在2i y ≥满足i i y x <，且i i y xi i x y =，则使得12115n n x x x x -++⋅⋅⋅+≤成立的最大正整数n 为（）A ．14B ．16C ．21D ．232．（2024北京海淀高三一模）函数()f x 是定义在(4,4)-上的偶函数，其图象如图所示，(3)0f =.设()f x '是()f x 的导函数，则关于x 的不等式(1)()0f x f x '+⋅≥的解集是（）A ．[0,2]B ．[3,0][3,4)-C ．(5,0][2,4)-D ．(4,0][2,3)- 3．（2024北京海淀高三一模）已知()()3,0lg 1,0x x f x x x ⎧≤⎪=⎨+>⎪⎩，函数()f x 的零点个数为m ，过点(0,2)与曲线()y f x =相切的直线的条数为n ，则,m n 的值分别为（）A ．1,1B ．1,2C ．2,1D ．2,24．（2024北京房山高三一模）若函数(]()ln ln(1),,0()1,0,exx x x x ∞∞⎧-∈-⎪=⎨∈+⎪⎩，则函数()()g x f x x c =++零点的个数为（）A ．1B ．2C ．1或2D ．1或35．（2024北京延庆高三一模）已知函数()321x f x x =--，则不等式()0f x <的解集是（）A ．()0,1B ．()0,∞+C ．(),0∞-D ．()(),01,∞∞-⋃+二、填空题6．（2024北京顺义·二模）已知函数()()213f x kx b x =-++，给出下列四个结论：①当0k =时，对任意b ∈R ，()f x 有1个极值点；②当18k >时，存在b ∈R ，使得()f x 存在极值点；③当0b =时，对任意k ∈R ，()f x 有一个零点；④当103b <<时，存在k ∈R ，使得()f x 有3个零点.其中所有正确结论的序号是.7．（2024北京海淀高三一模）已知函数()f x =①函数()f x 是奇函数；②R k ∀∈，且0k ≠，关于x 的方程0()f x kx -=恰有两个不相等的实数根；③已知P 是曲线()y f x =上任意一点，1,02A ⎛⎫- ⎪⎝⎭，则12AP ≥；④设()11,M x y 为曲线()y f x =上一点，()22,N x y 为曲线()y f x =-上一点.若121x x +=，则1MN ≥.其中所有正确结论的序号是.8．（2024北京石景山高三一模）黎曼函数在高等数学中有着广泛应用，其一种定义为：[]0,1x ∈时，()()*1,,N ,0,0,10,1p p x p q q q q R x x ⎧⎛⎫=∈⎪ ⎪=⎨⎝⎭⎪=⎩为既约真分数和内的无理数．若数列*1,n n a R n n -⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭N ，给出下列四个结论：①1n a n =；②21n n a a ++<；③1112n i i i a a +=<∑；④11ln 2ni i n a =+≥∑．其中所有正确结论的序号是．9．（2024北京石景山高三一模）设函数()323,13,1x ax x f x x a x ⎧+≤=⎨+>⎩，①若()f x 有两个零点，则实数a 的一个取值可以是；②若()f x 是R 上的增函数，则实数a 的取值范围是．10．（2024北京延庆高三一模）已知函数()221ln 1.x ax x f x a x x x⎧+<⎪=⎨≥⎪⎩，，，给出下列四个结论：①存在实数a ，使得函数()f x 的最小值为0；②存在实数0a <，使得函数()f x 的最小值为1-；③存在实数a ，使得函数()f x 恰有2个零点；④存在实数a ，使得函数()f x 恰有4个零点．其中所有正确结论的序号是．三、解答题11．（2024北京东城高三一模）已知函数()()ln 1f x x x =-.(1)求曲线()y f x =在2x =处的切线方程；(2)设()()g x f x '=，求函数()g x 的最小值；(3)若()2f x x a>-，求实数a 的值.12．（2024北京朝阳高三一模）已知函数()()()1e R xf x ax a =-∈.(1)讨论()f x 的单调性；(2)若关于x 的不等式()()1f x a x >-无整数解，求a 的取值范围.13．（2024北京顺义·二模）设函数()e cos xf x a x =+，a ∈R .曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程为2y x =+.(1)求a 的值；(2)求证：方程()2f x =仅有一个实根；(3)对任意()0,x ∈+∞，有()sin 2f x k x >+，求正数k 的取值范围.14．（2024北京房山高三一模）已知函数1()e axf x x=+．(1)当0a =时，求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程；(2)设2()()g x f x x '=⋅，求函数()g x 的极大值；(3)若e a <-，求函数()f x 的零点个数．15．（2024北京西城高三一模）已知函数()()1ln e xf x x ax x a=++．(1)当1a =时，求曲线()y f x =在点()()1,1f 处切线的斜率；(2)当1a =-时，讨论()f x 的单调性；(3)若集合(){}1xf x ≥-∣有且只有一个元素，求a 的值．16．（2024北京海淀高三一模）已知函数12()e a x f x x -=.(1)求()f x 的单调区间；(2)若函数2()()e ,(0,)g x f x a x -=+∈+∞存在最大值，求a 的取值范围.17．（2024北京门头沟高三一模）已知函数()()21ln 12f x ax x x a x =-+-．(1)当1a =时，求曲线()y f x =在点())1,1f 处的切线方程；(2)当a<0时，求()f x 的极值；(3)当112a ≤≤时，判断()f x 零点个数，并说明理由．18．（2024北京石景山高三一模）已知函数()()e 0axf x x a =>．(1)求曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程；(2)求()f x 在区间[]1,1-上的最大值与最小值；(3)当1a =时，求证：()ln 1f x x x ≥++．19．（2024北京丰台高三一模）已知函数()()e ln 1xf x x x =++-，曲线():C y f x =在点()()00,x f x 处的切线为():l yg x =，记()()()h x f x g x =-．(1)当00x =时，求切线l 的方程；(2)在（1）的条件下，求函数()h x 的零点并证明()0xh x ≥；(3)当00x ≠时，直接写出函数()h x 的零点个数．（结论不要求证明）20．（2024北京延庆高三一模）已知函数()()ln 22f x x a x =-++-.(1)若曲线()y f x =的一条切线方程为1y x =-，求a 的值；(2)若函数()f x 在区间()1,2上为增函数，求a 的取值范围；(3)若21,e x ∀∈+∞⎛⎫⎪⎝⎭，()f x 无零点，求a 的取值范围．参考答案1．D【分析】构造函数()()ln 2xf x x x=≥，结合函数单调性可得e 4ix <≤，则有()1211e 154n n x x x x n -++⋅≥⋅-⋅≥+，即可得解.【详解】由i i y xi i x y =，且2i y ≥，2i x >，故ln ln i i i i y x x y =，即ln ln i ii ix y x y =，令()()ln 2xf x x x=≥，()21ln x f x x -'=，故当()2,e x ∈时，()0f x ¢>，当()e,+x ∈∞时，()0f x '<，即()f x 在()2,e 上单调递增，在()e,+∞上单调递减，由ln ln i ii ix y x y =，即()()i i f x f y =，故e i x >，2e i y ≤<，又()()ln 2ln 42424f f ===，故4i x ≤，即e 4i x <≤，若12115n n x x x x -++⋅⋅⋅+≤，则有()1211e154n n x x x x n -++⋅≥⋅-⋅≥+，即601en ≤+，由e 2.72≈，故60122.06123.07e +≈+=.故最大正整数n 为23.故选：D.【点睛】关键点点睛：本题关键点在于借助函数()ln xf x x=的性质，结合其单调性得到2e i y ≤<，从而得到e 4i x <≤，则有()1211e154n n x x x x n -++⋅≥⋅-⋅≥+，即可得解.2．D【分析】借助函数图象与导数的关系计算即可得.【详解】由(3)0f =，且()f x 为偶函数，故(3)0f -=，由导数性质结合图象可得当()4,0x ∈-时，()0f x '<，当()0,4x ∈时，()0f x '>，当0x =时，即()00f '=，则由(1)()0f x f x '+⋅≥，有41444x x -<+<⎧⎨-<<⎩，解得43x -<<，亦可得()()100f x f x ⎧+>>'⎪⎨⎪⎩，或()()100f x f x ⎧+<<'⎪⎨⎪⎩，或()10f x +=，或()0f x '=，由()()100f x f x ⎧+>>'⎪⎨⎪⎩可得41304x x -<+<-⎧⎨<<⎩或31404x x <+<⎧⎨<<⎩，即23x <<，由()()100f x f x ⎧+<<'⎪⎨⎪⎩可得31340x x -<+<⎧⎨-<<⎩，即40x -<<，由()10f x +=，可得13x +=±，即2x =或4x =-（舍去，不在定义域内），由()0f x '=，可得0x =，综上所述，关于x 的不等式(1)()0f x f x '+⋅≥的解集为(4,0][2,3)- .故选：D.3．B【分析】借助分段函数性质计算可得m ，借助导数的几何意义及零点的存在性定理可得n .【详解】令()0f x =，即0x ≤时，30x =，解得0x =，0x >时，()lg 10x +=，无解，故1m =，设过点(0,2)与曲线()y f x =相切的直线的切点为()00,x y ，当0x <时，()23f x x '=，则有()320003y x x x x -=-，有()3200023x x x -=-，整理可得301x =-，即01x =-，即当00x <时，有一条切线，当0x >时，()lg e1f x x '=+，则有()()000lg 1e lg 1y x x x x -=-++，有()()000l 2g elg 11x x x -+=-+，整理可得()()()000221lg 10lg e x x x ++-++=，令()()()()()2l 0g 2l 1e 1g g x x x x x =++-++>，则()()2lg 1g x x '=-+，令()0g x '=，可得99x =，故当()0,99x ∈时，()0g x '>，即()g x 在()0,99上单调递增，当()99,x ∈+∞时，()0g x '<，即()g x 在()99,∞+上单调递减，由()()992lg e 99220099lg e 0g =+⨯+-=>，()02020g =-=>，故()g x 在()0,99x ∈上没有零点，又()()9992lg e 999210003999lg e 10000g =+⨯+-⨯=-<，故()g x 在()99,999上必有唯一零点，即当00x >时，亦可有一条切线符合要求，故2n =.故选：B.4．A【分析】令()()0g x f x x c =++=，则()f x x c +=-，则函数()g x 零点的个数即为函数(),y f x x y c =+=-图象交点的个数，构造函数()()h x f x x =+，利用导数求出函数()h x 的单调区间，作出其大致图象，结合图象即可得解.【详解】(]()(]()[)ln ln(1),,0ln(1),,0(),0,11,0,1e ,1,x x x x x f x x x x x x∞∞∞∞⎧⎪-∈-⎧-∈-⎪⎪==∈⎨⎨∈+⎪⎪⎩⎪∈+⎩，令()()0g x f x x c =++=，则()f x x c +=-，则函数()g x 零点的个数即为函数(),y f x x y c =+=-图象交点的个数，令()()(]()[)ln(1),,02,0,11,1,x x x h x f x x x x x x x∞∞⎧⎪-+∈-⎪=+=∈⎨⎪⎪+∈+⎩，当(],0x ∈-∞时，()()ln 1h x x x =-+，则()11011x h x x x =+=-'≥-，所以函数()h x 在(],0-∞上单调递增，且()00h =，当()0,1x ∈时，()()20,2h x x =∈，当[)1,x ∞∈+时，()1h x x x =+，则()2221110x h x x x-=='-+≥，所以函数()h x 在[)1,+∞上单调递增，且()12h =，又当x →-∞时()h x ∞→-，当x →时，()h x ∞→+，作出函数()h x的大致图象如图所示，由图可知函数(),y f x x y c =+=-的图象有且仅有一个交点，所以函数()()g x f x x c =++零点的个数为1个.故选：A.【点睛】方法点睛：利用导数解决函数零点问题的方法：（1）直接法：先对函数求导，根据导数的方法求出函数的单调区间与极值，根据函数的基本性质作出图象，然后将问题转化为函数图象与x 轴的交点问题，突出导数的工具作用，体现了转化与化归思想、数形结合思想和分类讨论思想的应用；（2）构造新函数法：将问题转化为研究两函数图象的交点问题；（3）参变量分离法：由()0f x =分离变量得出()a g x =，将问题等价转化为直线y a =与函数()y g x =的图象的交点问题.5．A【分析】利用导数及导函数的单调性判断极小值点在001x <<，再由函数的单调性及(0)(1)0f f ==可得不等式的解集.【详解】因为()32ln 3x f x '=-单调递增，且(0)ln 320f '=-<，(1)3ln 320f '=->，所以存在唯一0(0,1)x ∈，使得0()0f x '=，所以当0x x <时，()0f x '<，当0x x >时，()0f x '>，所以函数()f x 在()0,x -∞上单调递减，在()0,x +∞上单调递增，又(0)(1)0f f ==，且001x <<，所以由()0f x <可得01x <<，故选：A 6．①④【分析】对①：借助导数研究函数的单调性即可得极值点个数；对②：借助导函数的导函数研究导函数可得导函数无零点，故函数不存在极值点；对③：举出反例即可得；对④：将零点个数转化为直线y kx b =+与曲线213y x =+的交点个数，从而可通过研究过()0,b 的曲线213y x =+的切线，结合零点的存在性定理得到直线y kx b =+与曲线213y x =+的关系.【详解】对①：当0k =时，()213f x b x =，()()2232x f x x -'=+，则(),0x ∈-∞时，()0f x ¢>，当()0,x ∈+∞时，()0f x '<，故()f x 在(),0∞-上单调递增，在()0,∞+上单调递减，故对任意b ∈R ，()f x 有1个极大值点0x =，故①正确；对②：当18k >时，()()2232f x k x x +-'=-，若()f x 存在极值点，则()f x '有变号零点，则()2232xk x -=+必须有解，令()()2232xx g x -=+，则()()()()()()()()2222224332222611238386333x x x x x x g x x x x x +'+=--+++-=++-+=，故当()(),11,x ∈-∞-⋃+∞时，()0g x '>，当()1,1x ∈-时，()0g x '<，故()g x 在(),1-∞-、()1,+∞上单调递增，在()1,1-上单调递减，又0x ≥时，()0g x ≤，()()()28211131g =+-⨯--=，即()18g x ≤恒成立，故当18k >时，()2232x k x -=+无解，故②错误；对③：当0b =时，()213f x kx x =-+，当0k =时，()2103f x x =>+，此时函数()f x 无零点，故③错误；对④：当103b <<时，若存在k ∈R ，使得()f x 有3个零点，则直线y kx b =+与曲线213y x =+有三个不同交点，由直线y kx b =+过点()0,b ，曲线213y x =+过点10,3⎛⎫⎪⎝⎭，又103b <<，213y x =+是偶函数，且在()0,∞+上单调递减，故当0k <时，直线y kx b =+与曲线213y x =+在第二象限必有一交点，同理，当0k >时，直线y kx b =+与曲线213y x =+在第一象限必有一交点，过点()0,b 作曲线213y x =+0201,3x x ⎛⎫ ⎪+⎝⎭，则切线方程为()()00020222133x y x x x x --+-=+，即()()00020222133x b x x x --+⨯-=+，则()()22020313x b x +=+，由103b <<，则()()0220231133x x +<+，即()()2220011540x x +-++>，即()()()22220000141130x x x x +-+-=->，即203x ≥，故当103b <<时，存在()0,x ∈-∞+∞ ，使曲线213y x =+有过点()0,b 的切线，且切点为021,3x x ⎛⎫ ⎪+⎝⎭，当0x >时，切线斜率为()22230x x +<-，则当()02022,03x k x ⎛⎫- ⎪∈ ⎪+⎝⎭时，有()00f x <，又()1030b f =->，则存在()100,x x ∈，使()10f x =，此时函数y kx b =+单调递减，而2103y x =>+恒成立，故存在()20,x x ∈+∞，使()20f x =，即当0x >时，存在()02022,03x k x ⎛⎫- ⎪∈ ⎪+⎝⎭，使得()f x 有3个零点，同理可得，当0x <()02020,23x k x ⎛⎫- ∈ ⎪+⎝⎭，使得()f x 有3个零点，故④正确.故答案为：①④.【点睛】关键点点睛：第④个结论关键点在于将零点个数转化为直线y kx b =+与曲线213y x =+的交点个数，从而可通过研究过()0,b 的曲线213y x=+的切线，结合零点的存在性定理去得到直线y kx b =+与曲线213y x =+的关系.7．②③④【分析】对①：计算定义域即可得；对②：对0k >与0k <分类讨论，结合二次函数求根公式计算即可得；对③：借助两点间的距离公式与导数求取最值计算即可得；对④：结合函数性质与③中所得结论即可得.【详解】对①：令30x x -≥，即有()()110x x x +-≥，即[][]1,01,x ∞∈-⋃+，故函数()f x 不是奇函数，故①错误；对②：0()f x kx kx -==kx =，当0x =00-=，故0是该方程的一个根；当0x ≠，0k >kx =，故0x >，结合定义域可得[]1,x ∞∈+，有322x x k x -=，即()2210x x k x --=，令2210x k x --=，440k ∆=+>，有22k x =或22k x =（负值舍去），则20122k x +=，故2210x k x --=必有一个大于1的正根，即0()f x kx -=必有一个大于1的正根；当0x ≠，0k <kx =，故0x <，结合定义域有[)1,0∈-x ，有322x x k x -=，即()2210x x k x --=，令2210x k x --=，440k ∆=+>，有22k k x =或22k k x =（正值舍去），令244k t +=>，即24k t =-，则2221171174242412222k t x ⎫⎛⎫--⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭==>=-，即1x =-，故2210x k x --=在定义域内亦必有一根，综上所述，R k ∀∈，且0k ≠，关于x 的方程0()f x kx -=恰有两个不相等的实数根，故②正确；对③：令(),P x y，则有y =222321124AP x x x⎛⎫=++=++⎪⎝⎭，令()3214g x x x =++，[][]1,01,x ∞∈-⋃+，()()23232g x x x x x =='++，当()21,1,3x ∞⎛⎫∈--⋃+ ⎪⎝⎭时，()0g x '>，当2,03x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，()0g x '<，故()g x 在21,3⎛⎫-- ⎪⎝⎭、()1,∞+上单调递增，在2,03⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减，又()1111144g -=-++=，()110044g =+=，故()14g x ≥恒成立，即214AP ≥，故12AP ≥，故③正确；对④：当12x x =时，由[][]1,01,x ∞∈-⋃+，121x x +=，故1212x x ==-，此时，124y y =-==，则12MN =≥，当12x x ≠时，由()y f x =与()y f x =-关于x 轴对称，不妨设12x x <，则有1210x x -≤<≤或121012x x -≤≤<≤≤，当121012x x -≤≤<≤≤时，由2121x x x -≥≥，有121MN x x =≥-≥，故成立；当1210x x -≤<≤时，即有211x x =-，由③知，点M 与点N 在圆2211:24A x y ⎛⎫++= ⎪⎝⎭上或圆外，设点()1,M x m '与点()2,N x n '在圆上且位于x 轴两侧，则1M N ''=,故1MN M N ''≥=；综上所述，1MN ≥恒成立，故④正确.故答案为：②③④.【点睛】关键点点睛：结论④中的关键点在于借助结论③，结合函数的对称性，从而得到当1x 、2x 都小于零时，MN 的情况.8．②③④【分析】根据黎曼函数的定义和性质逐项分析.【详解】对于①，N ,1n n +∈∴= 时，()11001a R ==≠，故①错误；对于②，111n a n +=+，212n a n +=+，+12n n a a +∴>，故②正确；对于③，11223341111111123341ni i n n i a a a a a a a a a a n n ++==++++=⨯+⨯++⋅+∑ 11111111123341212n n n =-+-++--<++ ，故③正确；对于④，123111123ni n i a a a a a n==++++=+++∑ ，()2n ≥，构造函数()e 1xg x x =--，()0x >，则()e 10xg x ='->，()g x 单调递增，()(0)0g x g ∴>=，即当0x >时e 1x x >+，11132111e 1,e 1,,e 123n n>+>+>+ ，11123345111111eln 2342232nn n n n n +++++⎛⎫>⨯⨯⨯⨯=∴+++> ⎪⎝⎭，当1n =时，110ni i a a ===∑，11ln 02+=，11ln 2ni i n a =+⎛⎫∴≥ ⎪⎝⎭∑，故④正确.故选：②③④.【点睛】方法点睛：新定义题型的特点是：通过给出一个新概念，或约定一种新运算，或给出几个新模型来创设全新的问题情景，要求考生在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的：遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决．9．1-（13a <-内的值都可以）01a ≤≤或2a ≥【分析】①分析函数的性质，确定零点所在的区间，通过解方程的方法，即可求解；②根据分段函数的形式，确定两段函数都是单调递增，并根据分界点处函数值的关系不等式，即可求解.【详解】①函数()23f x x a =+在()1,+∞上单调递增，()2130f a =+>，所以函数()f x 在区间()1,+∞上无零点，则函数()33f x x ax =+在(],1-∞上有2个零点，即330x ax +=，()230x x a +=，则0x =，或x =或x =，a<0，1>，解得：13a <-，所以a 的一个值是1-；②函数()23f x x a =+在()1,+∞上单调递增，则在(],1-∞上，()33f x x ax =+也单调递增，且321331a a +≤⨯+，若函数在()33f x x ax =+在区间(],1-∞单调递增，则()2330f x x a '=+≥，即2≥-a x 在区间(],1-∞上恒成立，即()2maxa x≥-，即0a ≥，不等式321331a a +≤⨯+，解得：2a ≥或1a ≤，综上可知，01a ≤≤或2a ≥.故答案为：1-（13a <-内的值都可以）；01a ≤≤或2a ≥10．①③【分析】取特殊值判断①，当0a <时，分别分析分段函数两部分的最值判断②，根据分段函数每部分的零点确定函数的零点可判断③④.【详解】当0a =时，()210 1.x x f x x ⎧<=⎨≥⎩，，，，显然函数的最小值为0，故①正确；当0a <时，ln ()(1)a xf x x x =≥，()21ln ()a x f x x-'=，当1e x <<时，()0f x '<，当e x <时，()0f x '>，所以()f x 在[)1,e 上单调递减，在[)e,+∞上单调递增，所以e x =时，()f x 有最小值(e)eaf =，由1e a =-可得a e =-，此时，1x <时，2()2e f x x x =-，()f x 在(,1)-∞上单调递减，所以()(1)12e f x f >=-，与最小值为1-矛盾，若1x <时，2()2f x x ax =+的对称轴方程为0x a =->，当1x a =-<时，即1a >-时，2min ()()f x f a a =-=-，若21a -=-，则1a =-与1a >-矛盾，当1x a =-≥时，()f x 在(,1)-∞上单调递减，无最小值，综上，当0a <时，函数()f x 的最小值不为1-，故②错误；由②知，1a <-时，1x <时，()f x 单调递减且(0)0f =，当1x ≥时，()0f x ≤且(1)0f =，所以函数恰有2个零点，故③正确；当0a >时，ln ()0(1)a xf x x x=≥≥且仅有(1)0f =，即ln ()(1)a x f x x x =≥有且只有1个零点，当0a <时，ln ()0(1)a xf x x x=≤≥且仅有(1)0f =，即ln ()(1)a x f x x x =≥有且只有1个零点，综上0a ≠时，ln ()(1)a xf x x x=≥有且只有1个零点，而2()2(2)f x x ax x x a =+=+在1x <上至多有2个零点，所以0a ≠时，函数没有4个零点，当0a =时，函数有无数个零点，故④错误.故答案为：①③【点睛】关键点点睛：本题的关键是对a 分类讨论，利用导数研究[)1,+∞上的函数性质，结合二次函数性质研究另一段函数.11．(1)24y x =-(2)2(3)2a =【分析】（1）求导，再根据导数的几何意义即可得解；（2）利用导数求出函数()g x 的单调区间，进而可求出最小值；（3）分1a ≤和1a >两种情况讨论，在1a >时，再分x a >和1x a <<两种情况讨论，分离参数，构造函数并求出其最值，即可得解.【详解】（1）()()()ln 111xf x x x x '=-+>-，则()()22,20f f '==，所以曲线()y f x =在2x =处的切线方程为()22y x =-，即24y x =-；（2）()()()()ln 111xg x f x x x x '==-+>-，()()()22112111x x x g x x x x ---'=+=---，当12x <<时，()0g x '<，当2x >时，()0g x '>，所以函数()g x 在()1,2上单调递减，在()2,+∞上单调递增，所以()()min 22g x g ==；（3）函数()f x 的定义域为()1,+∞，当1a ≤时，0x a ->，则()2f x x a>-，即()()2f x x a >-，即()22a f x x -<-，由（2）得()2f x '≥，令()()2h x f x x =-，则()()()201h x f x x ''=-≥>，所以()h x 在()1,+∞上单调递增，又当1x →时，()h x →-∞，因为1a ≤，所以22a -≥-，此时()22a f x x -<-不恒成立，故1a ≤不符题意；当1a >时，若x a >，则0x a ->，则()2f x x a>-，即()()2f x x a >-，即()22a f x x -<-，由上可知函数()()2h x f x x =-在(),a +∞上单调递增，所以()()()()ln 12h x h a a a a x a >=-->，所以()2ln 12a a a a -≤--，解得2a ≥①，若1x a <<，则()2f x x a>-，即()()2f x x a <-，即()22a f x x ->-，由上可知函数()()2h x f x x =-在()1,a 上单调递增，所以()()()()ln 1211h x h a a a a a <=--<<，所以()2ln 12a a a a -≥--，解得2a ≤②，由①②可得2a =，综上所述，2a =.【点睛】方法点睛：对于利用导数研究不等式的恒成立与有解问题的求解策略：（1）通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；（2）利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．（3）根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别．12．(1)答案见解析(2)1a ≥【分析】（1）首先求函数的导数，再分0,0,0a a a ><=三种情况讨论()f x 的单调性；（2）不等式转化为11e x x a x -⎛⎫-< ⎪⎝⎭，设函数()1e x x h x x -=-，利用导数求函数的取值范围，再结合不等式，讨论a 的取值，即可求解.【详解】（1）()()1e xf x a ax '=--，当()0f x '=，得1ax a-=，当0a >时，1,a x a -⎛⎫∈-∞ ⎪⎝⎭时，()0f x ¢>，()f x 单调递增，1,-⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭a x a 时，()0f x '<，()f x 单调递减，当0a <时，1,a x a -⎛⎫∈-∞ ⎪⎝⎭时，()0f x '<，()f x 单调递减，1,-⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭a x a 时，()0f x ¢>，()f x 单调递增，当0a =时，()e xf x =，函数()f x 在R 上单调递增，综上可知，0a >时，函数()f x 的单调递增区间是1,a a -⎛⎫-∞ ⎝⎭，单调递减区间是1,a a -⎛⎫+∞⎪⎝⎭，0a <时，函数()f x 的单调递减区间是1,a a -⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭，单调递增区间是1,a a -⎛⎫+∞⎪⎝⎭，0a =时，函数()f x 的增区间是(),-∞+∞，无减区间.（2）不等式()()1e 1xax a x ->-，即11e x x a x -⎛⎫-< ⎪⎝⎭，设()1e x x h x x -=-，()2e 21e ex x xx x h x -+-'=-=，设()e 2xt x x =+-，()e 10x t x '=+>，所以()t x 单调递增，且()01t =-，()1e 20t =->，所以存在()00,1x ∈，使()00t x =，即()00h x '=，当()0,x x ∈-∞时，()0h x '<，()h x 单调递减，当()0,x x ∈+∞时，()0h x '>，()h x 单调递增，所以()()00000e 1e x x x x h x h x -+≥=，因为e 1xx ≥+，所以()()()00002000000011e 110e e e x x x x x x x x x x h x h x +-+-++≥=≥=>，当0x ≤时，()()01h x h ≥=，当1x ≥时，()()11h x h ≥=，不等式()()1e 1xax a x ->-无整数解，即11e x x a x -⎛⎫-< ⎪⎝⎭无整数解，若0a ≤时，不等式恒成立，有无穷多个整数解，不符合题意，若1a ≥时，即11a≤，因为函数()h x 在(],0-∞上单调递减，在[)1,+∞上单调递增，所以Z x ∈时，()()(){}1min 0,11h x h h a ≥=≥，所以()1h x a<无整数解，符合题意，当01a <<时，因为()()1011h h a==<，显然0,1是()1a h x ⋅<的两个整数解，不符合题意，综上可知，1a ≥.【点睛】关键点点睛：本题第二问的关键1是不等式的变形11e x x a x -⎛⎫-< ⎪⎝⎭，第二个关键是确定函数()1ex x h x x -=-的单调性，以及确定()()011h h ==.13．(1)1a =；(2)证明见解析；(3)01k <≤.【分析】（1）根据切点在曲线和切线上可得；（2）分0x >，0x =，0x <，利用导数讨论单调性，通过单调性讨论即可得证；（3）令()e cos sin 2xF x x k x =+--，分01k <≤，1k >两种情况，利用导数讨论最值即可得解.【详解】（1）解：因为()e cos x f x a x =+，所以()00e 1f a a =+=+，又点()()0,0f 在切线2y x =+上，所以()02f =，所以12a +=，即1a =.（2）证明：欲证方程()2f x =仅有一个实根，只需证明e cos 20x x +-=仅有一个零点，令()e cos 2x g x x =+-，则()e sin xg x x '=-，令()()e sin xh x g x x =-'=，则()e cos x h x x '=-，讨论：（1）当0x >时，()0e cos e cos 1cos 0x h x x x x =->-=-≥'，所以()h x 在()0,∞+上单调递增，所以()()01h x h >=，即()e sin 10xg x x =>'->，所以()g x 在()0,∞+上单调递增，()()00g x g >=，即此时无零点；（2）当0x =时，()00g =，即此时有一个零点；（3）当0x <时，()0e cos 2e cos 21cos 0x g x x x x =+-<+-=-+≤所以，当0x <时，()0g x <，即此时无零点综上可得，()e cos 2xg x x =+-仅有一个零点，得证.（3）当()0,x ∞∈+时，e cos sin 2x x k x +>+，即e cos sin 20x x k x +-->恒成立，令()e cos sin 2xF x x k x =+--，则()e sin cos xF x x k x =-'-，由（Ⅱ）可知，()0,x ∞∈+时e sin 1x x ->，所以()e sin cos 1cos xF x x k x k x '=-->-，讨论：（1）当01k <≤时，因为1cos 1x -≤≤，所以cos k k x k -≤≤，即11cos 1k k x k -≤-≤+，所以()1cos 10F x k x k >≥'--≥，即当01k <≤时，()0F x '>，所以()e cos sin 2xF x x k x =+--在()0,x ∞∈+时单调递增，所以()()00F x F >=恒成立，即满足条件e cos sin 20x x k x +-->，（2）当1k >时，由()e sin cos xF x x k x =-'-可知()010F k ='-<，又()ππe 0F k '=+>，所以存在()00,πx ∈，使得()00F x '=，所以，当()00,x x ∈时，()0F x '<，()F x 单调递减，当()0,x x ∞∈+时，()0F x '>，()F x 单调递增，所以()()000F x F <=，即不能保证e cos sin 20x x k x +-->恒成立，综上可知，正数k 的取值范围是01k <≤.【点睛】思路点睛：根据不等式恒成立求参数范围常用方法：（1）参变分离，将问题转化为函数最值问题；（2）根据参数分类讨论，利用导数求函数最值即可求解.14．(1)3y x =-+(2)答案见解析(3)1【分析】（1）求导，再根据导数的几何意义即可得解；（2）求导，分0a =，0a >和a<0三种情况讨论，再结合极大值的定义即可得解；（3）令1()e 0ax f x x =+=，则1e ax x =-，再分x 的正负讨论，当0x <时，分离参数可得()ln x a x-=-，则函数()f x 零点的个数即为函数()ln ,x y a y x -==-图象交点的个数，构造函数()()()ln 0x h x x x-=-<，利用导数求出其单调区间和极值，作出函数的大致图象，结合图象即可得解.【详解】（1）当0a =时，1()1f x x=+，()21f x x '=-，则()()11,12f f =-'=，所以曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为()21y x -=--，即3y x =-+；（2）21()e ax f x a x'=-，则()22()()e 10ax g x f x x ax x =⋅=-≠'，则()()()222e e 2e 0ax ax axg x ax a x ax ax x =+=+≠'，当0a =时，()1g x =-，此时函数()g x 无极值；当0a >时，令()0g x '<，则0x >或2x a <-，令()0g x '<，则20x a -<<，所以函数()g x 在(2,,0,a ∞∞⎛⎫--+ ⎪⎝⎭上单调递增，在2,0a ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减，所以()g x 的极大值为2241eg a a ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭；当a<0时，令()0g x '<，则0x <或2x a>-，令()0g x '<，则20x a <<-，所以函数()g x 在()2,0,,a ∞∞⎛⎫--+ ⎪⎝⎭上单调递增，在20,a ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减，而函数()g x 的定义域为()(),00,∞∞-⋃+，所以此时函数()g x 无极值.综上所述，当0a ≤时，函数()g x 无极大值；当0a >时，()g x 的极大值为241ea -；（3）令1()e 0axf x x =+=，则1e ax x =-，当0x >时，1e ,00axx>-<，所以0x >时，函数()f x 无零点；当0x <时，由1e axx =-，得1ln ax x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，所以()ln x a x-=-，则0x <时，函数()f x 零点的个数即为函数()ln ,x y a y x-==-图象交点的个数，令()()()ln 0x h x x x -=-<，则()()2ln 1x h x x --'=，当e x <-时，()0h x '>，当e 0x -<<时，()0h x '<，所以函数()h x 在(),e ∞--上单调递增，在()e,0-上单调递减，所以()()max 1e eh x h =-=，又当x →-∞时，()0h x >且()0h x →，当0x →时，()h x ∞→-，如图，作出函数()h x 的大致图象，又e a <-，由图可知，所以函数()()ln ,x y a h x x-==-的图象只有1个交点，即当0x <时，函数()f x 只有1个零点；综上所述，若e a <-，函数()f x 有1个零点．【点睛】方法点睛：利用导数解决函数零点问题的方法：（1）直接法：先对函数求导，根据导数的方法求出函数的单调区间与极值，根据函数的基本性质作出图象，然后将问题转化为函数图象与x 轴的交点问题，突出导数的工具作用，体现了转化与化归思想、数形结合思想和分类讨论思想的应用；（2）构造新函数法：将问题转化为研究两函数图象的交点问题；（3）参变量分离法：由()0f x =分离变量得出()a g x =，将问题等价转化为直线y a =与函数()y g x =的图象的交点问题.15．(1)2e 2+(2)单调递增区间为(),1-∞-；单调递减区间为()1,0-(3)1a e=-【分析】（1）根据条件，利用导数的几何意义，即可求出结果；（2）对函数求导得到()()11e x f x x x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭'，由函数()f x 定义域知1e 0x x -<，再利用导数与函数单调性间的关系，即可求出结果；（3）对函数求导得到()()1e 1x f x x x a ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭'，再分0a >和a<0两种情况讨论，利用导数与函数单调性间的关系，求出函数的单调区间，结合条件，即可求出结果.【详解】（1）当1a =时，()ln e xf x x x x =++，所以()()111e x f x x x=+++',得到()12e 2f '=+，所以曲线()y f x =在点()(1,)1f 处切线的斜率为2e 2+．（2）当1a =-时，()()ln e xf x x x x =+--，易知()f x 的定义域为(),0∞-，又()()()1111e 1e x x f x x x x x ⎛⎫=+-+=+- ⎪⎝⎭'，因为(),0x ∈-∞，所以1e 0xx-<，所以(),1x ∈-∞-时，()0f x ¢>，()1,0x ∈-时，()0f x '<所以()f x 的单调递增区间为(),1-∞-；单调递减区间为()1,0-．（3）因为()()1ln e xf x x ax x a =++，所以()()1e 1x f x x x a ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭'，易知0a ≠，当0a >时，()f x 的定义域为()0,∞+，所以()0f x ¢>恒成立，故()f x 在)∞+上单调递增，又12111e 0af a a a⎛⎫=+> ⎪⎝⎭，所以0a >不合题意，当0a <时，()f x 的定义域为(),0∞-，此时1e0xx a+<，所以(),1x ∈-∞-时，()0f x ¢>，()1,0x ∈-时，()0f x '<，故()f x 的单调递增区间为(),1-∞-，单调递减区间为()1,0-，所以()()max 1()11ln ef x f a a =-=-+--．设()()11ln (0)e g x x x x=-+--<，则()2211e 1e e x g x x x x +=+='，当1,e x ∞⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭时，()0g x '<，1,0e x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，()0g x '>，所以()g x 的单调递减区间为1,e ⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭；单调递增区间为1,0e ⎛⎫- ⎪⎝⎭．所以min 1()1e g x g ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，所以集合(){}1xf x ≥-∣有且只有一个元素时1a e=-．【点睛】方法点睛：对于求不等式成立时的参数范围问题，一般有三个方法：一是分离参数法,使不等式一端是含有参数的式子，另一端是一个区间上具体的函数，通过对具体函数的研究确定含参式子满足的条件；二是讨论分析法，根据参数取值情况分类讨论；三是数形结合法，将不等式转化为两个函数，通过两个函数图像确定条件.16．(1)()f x 的增区间为(),2∞-，减区间为(2,)+∞(2)1a ≥-【分析】（1）对函数求导，得到121(1))e 2(a x f x x -=-'，再求出()0f x '>和()0f x '<对应的x 取值，即可求出结果；（2）令2()()e h x f x a -=+，对()h x 求导，利用导数与函数单调性间的关系，求出()h x 的单调区间，进而得出()h x 在(0,)+∞上取值范围，从而将问题转化成1222e e e a a a ---+≥成立，构造函数12()e e x m x x --=+，再利用()m x 的单调性，即可求出结果.【详解】（1）易知定义域为R ，因为12()ea x f x x -=，所以11122211(1)()e2e e 2a x a x a x x x x f ----=-'=，由()0f x '=，得到2x =，当2x <时，()0f x '>，当2x >时，()0f x '<，所以，函数()f x (),2∞，单调递减区间为()2,∞+.（2）令2()()e h x f x a -=+，则()()h x f x ''=，由（1）知，函数()f x 的单调递增区间为(),2∞-，单调递减区间为()2,∞+，所以()h x 在2x =时取得最大值12(2)2e e a h a --=+，所以当2x >时，1222()e e e (0)a x h x x a a h ---=+>=，当02x <<时，()(0)h x h >，即当,()0x ∈+∞时，(]()(0),(2)h x h h ∈，所以函数122()ee a x g x x a --=+在(0,)+∞存在最大值的充要条件是1222e e e a a a ---+≥，即122122e e e e +e 02a a a a a -----++=≥，令12()e e x m x x --=+，则12()e e 0x m x --'=+>恒成立，所以12()e e x m x x --=+是增函数，又因为22(1)e e 0m ---=-=，所以12()e e 0a m a a --=+≥的充要条件是1a ≥-，所以a 的取值范围为[)1,-+∞.【点睛】关键点点晴：本题的关键在于第（2）问，构造函数122()e e a x h x x a --=+，利用函数单调性得到,()0x ∈+∞时，(]()(0),(2)h x h h ∈，从而将问题转化成1222e e e a a a ---+≥，构造函数12()e e x m x x --=+，再利用()m x 的单调性来解决问题.17．(1)12y =-(2)()12f x a =-极大值，无极小值(3)当12a =时()f x 有一个零点，当112a <≤时()f x 无零点【分析】（1）求出函数的导函数，即可求出切线的斜率，从而求出切线方程；（2）求出函数的定义域与导函数，即可求出函数的单调区间，从而求出极值；（3）依题意可得()1ln 102a x x a -+-=，令()()1ln 12F x a x x a =-+-，则判断()f x 的零点个数，即判断()F x 的零点个数，利用导数说明()F x 的单调性，求出()()max ln 221F x a a a =-+，再令()ln 12xH x x x =-+，[]1,2x ∈，利用导数说明()H x 的单调性，即可求出()max H x ，从而得解.【详解】（1）当1a =时()21ln 2f x x x x =-，则()112f =-，()ln 1f x x x '=+-，所以()10f '=，所以曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程为12y =-.（2）函数()f x 的定义域为(0,∞+，且()()ln 1ln 1f x a x a x a a x x '=+-+-=-+，令()()ln 1g x f x a x x '==-+，则()1a a xg x x x-'=-=，因为a<0，所以()0g x '<恒成立，所以()g x 在()0,∞+上单调递减，即()f x '在()0,∞+上单调递减，又()10f '=，所以当01x <<时()0f x ¢>，当1x >时()0f x '<，则()f x 在()0,1上单调递增，在()1,+∞上单调递减，所以()f x 在1x =处取得极大值()12f x a =-极大值，无极小值.（3）令()0f x =，即()21ln 102ax x x a x -+-=，因为0x >，所以()1ln 102a x x a -+-=，令()()1ln 12F x a x x a =-+-，所以判断()f x 的零点个数，即判断()F x 的零点个数，又()1222a a x F x x x -'=-=，112a ≤≤，所以当02x a <<时()0F x '>，当2x a >时()0F x '<，所以()F x 在()0,2a 上单调递增，在()2,a +∞上单调递减，所以()()()max 2ln 221F x F a a a a ==-+，令()ln 12xH x x x =-+，[]1,2x ∈，则()11ln 22H x x '=-，因为[]1,2x ∈，所以()()111ln 2ln 210222H x '≤-=-<，所以()H x 在[]1,2上单调递减，所以()()10H x H ≤=，所以()20F a ≤，当且仅当12a =时等号成立，所以当12a =时()F x 有一个零点，即()f x 有一个零点，当112a <≤时()F x 无零点，即()f x 无零点，综上可得当12a =时()f x 有一个零点，当112a <≤时()f x 无零点.【点睛】关键点点睛：第三问的关键是首先将问题转化为()1ln 102a x x a -+-=，利用导数求出()()max ln 221F x a a a =-+，再构造函数()ln 12xH x x x =-+，[]1,2x ∈.18．(1)y x =(2)见解析(3)证明见解析【分析】（1）根据导数的几何意义，求切线方程；（2）首先求函数的导数，再讨论01a <≤和1a >两种情况求函数的单调性，求函数的最值；（3）首先根据不等式构造函数()e ln 1xg x x x x =---，再利用导数求函数的最小值，即可证明.【详解】（1）()()1e axf x ax '=+，()01f '=，()00f =，所以曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程为y x =；（2）()()1e axf x ax '=+，0a >当01a <≤时，()0f x '≥在区间[]1,1-上恒成立，()f x 在区间[]1,1-上单调递增，所以函数()f x 的最小值为()1e axf --=-，最大值为()1e a f =，当1a >时，()0f x '=，得()11,0x a=-∈-，()f x '在区间11,a ⎡⎫--⎪⎢⎣⎭小于0，函数()f x 单调递减，()f x '在区间1,1a ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦大于0，函数()f x 单调递增，所以函数()f x 的最小值为11e f a a ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，()1e ax f --=-，()1e a f =，显然()()11f f >-，所以函数()f x 的最大值为()1e a f =，综上可知，当01a <≤时，函数()f x 的最小值为()1e ax f --=-，最大值为()1e af =，当1a >时，函数()f x 的最小值为11e f a a ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，最大值为()1e af =；（3）当1a =时，()e xf x x =，即证明不等式e ln 1x x x x ≥++，设()e ln 1xg x x x x =---，0x >，()()11e ⎛⎫'=+- ⎪⎝⎭x g x x x ，设()1e xh x x =-，0x >，()21e 0xh x x'=+>，所以()h x 在()0,∞+单调递增，并且1202h ⎛⎫=< ⎪⎝⎭，()1e 10h =->，所以函数()h x 在1,12⎛⎫⎪⎝⎭上存在唯一零点0x ，使()0001e 0x h x x =-=，即()00g x '=，则在区间()00,x ，()0x '<，()g x 单调递减，在区间()0,x +∞，()0g x '>，()g x 单调递增，所以()g x 的最小值为()00000e ln 1xg x x x x =---，由()0001e 0xh x x =-=，得001x x e =，且00ln x x =-，所以()00g x =，所以()e ln 10xg x x x x =---≥，即()ln 1f x x x ≥++.19．(1)1y x =+(2)函数()h x 有唯一零点0x =，证明过程见解析(3)2【分析】（1）只需分别求出()()0,0f f '即可得解；（2）首先有()()e ln 121xh x x x =++--，()()1e 211x x x h x x +--'=+，令()()()1e 21,1x m x x x x =+-->-，我们可以通过构造导数来说明()0m x >，即()0h x '>，这表明了()h x 单调递增，注意到()00h =，由此即可进一步得证；（3）首先我们可以连续求导说明函数()f x '在(]1,0-上递减，在[)0,∞+上递增.其次()()()()()000h x f x f x x x f x =---'，故()()()0h x f x f x ''-'=.进一步有()()000h x h x '==，然后分000,10x x >-<<两种情况分类讨论即可求解.【详解】（1）当00x =时，()()001f x f ==，而()1e 11x f x x =+-+'，所以()01f '=，从而切线方程为10y x -=-，也就是1y x =+.（2）由题意()()()()()()e ln 11e ln 121x xh x f x h x x x x x x =-=++--+=++--，所以()()1e 211e 211x xx x h x x x +--=+-='++，令()()1e 21x m x x x =+--，则()()2e 2xm x x =+-'，当10x -<<时，122x <+<，0e 1x <<，所以()2e 2e 212x xx +<<⨯=，即()0m x '<，所以当10x -<<时，()m x 单调递减，()()00m x m >=，当0x >时，22x +>，e 1x >，所以()2e 2e 212x xx +>>⨯=，即()0m x '>，所以当0x >时，()m x 单调递增，()()00m x m >=，综上，()0m x ≥恒成立，也就是()0h x '≥恒成立，所以()h x 在()1,∞-+又因为()00h =，故函数()h x 有唯一零点0x =，且当10x -<<时，()0h x <，当0x >时，()0h x >；因此当10x -<<时，()0xh x >，当0x >时，()0xh x >，故()0xh x ≥；（3）对n 个实数12,,...,n a a a ，定义()12max ,,...,n a a a 和()12min ,,...,n a a a 分别为12,,...,n a a a 中最大的一个和最小的一个.现在，()()e ln 1x f x x x =++-，故()1e 11xf x x =+-+'，令()()f x x ϕ'=，再对()x ϕ求导一次得到()()21e 1xx x ϕ=-+'.当10x -<<时，()()()02211e e 110101xx x ϕ=-<-='-=++，()x ϕ单调递减；当0x >时，()()()02211e e 110101xx x ϕ=->-='-=++，()x ϕ单调递增.。
2020北京各区一模数学试题分类汇编--函数与导数(原卷版)
1 / 112020北京各区一模数学试题分类汇编--函数与导数（2020海淀一模）已知函数f (x )=|x -m |与函数g (x )的图象关于y 轴对称.若g (x )在区间(1，2)内单调递减，则m 的取值范围为（ ） A. [-1，+∞) B. (-∞，-1] C. [-2，+∞) D. (-∞，-2]（2020西城一模）设函数()210100x x x f x lgx x ⎧++≤⎪=⎨>⎪⎩，，若关于x 的方程()()f x a a R =∈有四个实数解()1234i x i =，，，，其中1234x x x x <<<，则()()1234x x x x +-的取值范围是（ ）A. (]0101， B. (]099， C. (]0100， D. ()0+∞，（2020西城一模）下列函数中，值域为R 且为奇函数的是（ ） A. 2y x =+B. y sinx =C. 3y x x =-D. 2x y =（2020东城一模）设函数()()120f x x x x=+-<，则()f x （ ） A. 有最大值 B. 有最小值C. 是增函数D. 是减函数（2020丰台一模）已知函数()e 1,0,,0.x x f x kx x ⎧-≥=⎨<⎩若存在非零实数0x ，使得()()00f x f x -=成立，则实数k 的取值范围是（ ） A. (),1-∞-B. (],1-∞-C. ()1,0-D. [)1,0-2 / 11（2020丰台一模）已知132a =，123b =，31log 2c =，则（ ） A. a b c >> B. a c b >>C. b a c >>D. b c a >>（2020朝阳区一模）下列函数中，既是偶函数又在区间(0,)+∞上单调递增的是（ ） A. 3y x = B. 21y x =-+C. 2log y x =D. ||2x y =（2020朝阳区一模）已知函数222,1,()2ln ,1.x ax a x f x x a x x ⎧-+≤=⎨->⎩若关于x 的不等式()2af x ≥在R 上恒成立，则实数a 的取值范围为（ ）A. (-∞B. 3[0,]2C. [0,2]D.（2020石景山一模）下列函数中，既是奇函数又在区间()0,∞+上单调递减的是（ ）A. 22y x =-+B. 2x y -=C. ln y x =D. 1y x=（2020石景山一模）设()f x 是定义在R 上的函数，若存在两个不等实数12,x x R ∈，使得()()121222f x f x x x f ++⎛⎫= ⎪⎝⎭，则称函数()f x 具有性质P ，那么下列函数：3 / 11①()1,00,0x f x x x ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩；②()2f x x =；③()21f x x =-；具有性质P 的函数的个数为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3（2020怀柔一模）若函数()(cos )xf x e x a =-在区间(,)22ππ-上单调递减，则实数a 的取值范围是___________.（2020怀柔一模）函数f(x)=|log 2x|的图象是（ ）A. B.C. D.4 / 11（2020密云一模）已知函数21,0()(2),0x x f x f x x -⎧-≤=⎨->⎩，若关于x 的方程3()2f x x a =+有且只有两个不相等的实数根，则实数a 的取值范围是_______________.（2020顺义区一模）11.若函数()2,01,0x e x f x x x ⎧≤=⎨->⎩，则函数()1y f x =-的零点是___________.（2020顺义区一模）当[]0,1x ∈时,若函数()()21f x mx =-的图象与()2mg x x =+的图象有且只有一个交点,则正实数m 的取值范围是（ ）A. [)2,+∞B. (]50,2,+2U ⎡⎫∞⎪⎢⎣⎭C. 5,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D. (][)20,1,+U ∞（2020顺义区一模）若3log 0.2a =，0.22b =，20.2c =，则（ ） A. a c b << B. a b c <<C. c a b <<D. b c a <<（2020延庆一模）下列函数中，是奇函数且在其定义域上是增函数的是( )A. 1y x=B. y tanx =C. x x y e e -=-D. 2,02,0x x y x x +≥⎧=⎨-<⎩（2020海淀一模）已知函数()x f x e ax =+.5 / 11(I )当a =-1时，①求曲线y = f (x )在点(0，f (0))处的切线方程； ②求函数f (x )的最小值；(II )求证:当()2,0a ∈-时，曲线() y f x =与1y lnx =-有且只有一个交点.（2020西城一模）设函数()()22f x alnx x a x =+-+，其中.a R ∈(Ⅰ)若曲线()y f x =在点()()22f ，处切线的倾斜角为4π，求a 的值; (Ⅱ)已知导函数()'f x 在区间()1e ，上存在零点，证明:当()1x e ∈，时，()2f x e >-.6 / 11（2020东城一模）已知函数()ln 1a f x x x=--. （1）若曲线()y f x =存在斜率为-1的切线，求实数a 的取值范围； （2）求()f x 的单调区间； （3）设函数()ln x ag x x+=，求证：当10a -<<时， ()g x 在()1,+∞上存在极小值.（2020丰台一模）已知函数()()ln 1f x a x x x =+-+.（1）若曲线()y f x =在点()()e,e f 处的切线斜率为1，求实数a 的值； （2）当0a =时，求证：()0f x ≥；7 / 11（3）若函数()f x 在区间()1,+?上存在极值点，求实数a 的取值范围.（2020朝阳区一模）已知函数()11xx f x e x +=--. （1）求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程； （2）判断函数()f x 的零点的个数，并说明理由；（3）设0x 是()f x 的一个零点，证明曲线xy e =在点00(,)x x e 处的切线也是曲线ln y x =的切线.8 / 11（2020石景山一模）已知函数()2f x x =(0x >)，()lng x a x =(0a >).（1）若()()f x g x >恒成立，求实数a 的取值范围；（2）当1a =时，过()f x 上一点()1,1作()g x 的切线，判断：可以作出多少条切线，并说明理由.9 / 11（2020怀柔一模）已知函数()ln ,()x f x x g x e ==. （1）求()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程； （2）当0x >时，证明：()()f x x g x <<；（3）判断曲线()f x 与()g x 是否存在公切线，若存在，说明有几条，若不存在，说明理由.（2020密云一模）已知函数()()1xf x e ax =+，a R ∈.（1）求曲线()y f x =在点()()0,0M f 处的切线方程； （2）求函数()f x 的单调区间； （3）判断函数()f x 的零点个数.10 / 11（2020顺义区一模）已知函数2()2ln f x x a x =-,其中a R ∈ （1）当2a =时,求曲线()y f x =在点()()1,1A f 处的切线方程； （2）若函数()f x 存在最小值Q ,求证:1Q ≤.11 / 11（2020延庆一模）已知函数()2221,1ax a f x x +-=+其中0a ≠ （1）当1a =时，求曲线()y f x =在原点处的切线方程；（2）若函数()f x 在[)0,+∞上存在最大值和最小值，求a 的取值范围..。
2020北京各区一模数学试题分类汇编--函数与导数(解析版)
1 / 312020北京各区一模数学试题分类汇编--函数与导数（2020海淀一模）已知函数f (x )=|x -m |与函数g (x )的图象关于y 轴对称.若g (x )在区间(1，2)内单调递减，则m 的取值范围为（ ） A. [-1，+∞) B. (-∞，-1]C. [-2，+∞)D. (-∞，-2]【答案】D【解析】函数()f x x m =-与函数()g x 的图象关于y 轴对称,()=()g x f x x m \-=+，()g x 在区间(12)，内单调递减， 则22m m -砛?，， 故选：D ．（2020西城一模）设函数()210100x x x f x lgx x ⎧++≤⎪=⎨>⎪⎩，，若关于x 的方程()()f x a a R =∈有四个实数解()1234i x i =，，，，其中1234x x x x <<<，则()()1234x x x x +-的取值范围是（ ） A. (]0101， B. (]099，C. (]0100， D. ()0+∞，2 / 31【答案】B【解析】()21010lg 0x x x f x x x ⎧++≤⎪=⎨>⎪⎩，，，画出函数图像，如图所示：根据图像知：1210x x +=-，34lg lg x x =-，故341x x =，且31110x ≤<. 故()()(]1234330110,99x x x x x x ⎛⎫∈ ⎪⎭-⎝+-=-. 故选：B .（2020西城一模）下列函数中，值域为R 且为奇函数的是（ ）3 / 31A. 2y x =+B. y sinx =C. 3y x x =-D. 2x y =【答案】C【解析】A. 2y x =+，值域为R ，非奇非偶函数，排除； B. y sinx =，值域为[]1,1-，奇函数，排除；C. 3y x x =-，值域为R ，奇函数，满足；D. 2x y =，值域为()0,∞+，非奇非偶函数，排除； 故选：C .（2020东城一模）设函数()()120f x x x x=+-<，则()f x （ ） A. 有最大值 B. 有最小值C. 是增函数D. 是减函数【答案】A【解析】0x <Q ，()()112224f x x x x x ⎡⎤∴=+=--+-≤--=-⎢⎥-⎣⎦，当且仅当1x x -=-，即 1x =-时取等号，()f x ∴有最大值，又由对勾函数的图象可知()f x 在(),0-∞上不具单调性. 故选：A.（2020丰台一模）已知函数()e 1,0,,0.x x f x kx x ⎧-≥=⎨<⎩若存在非零实数0x ，使得()()00f x f x -=成立，则实数k 的取值范围是（ ） A. (),1-∞-B. (],1-∞-C. ()1,0-D. [)1,0-4 / 31【答案】A【解析】不妨设00x >当0k ≥时，()00=e 10xf x ->，()000f x kx -=-≤，不存在非零实数0x ，使得()()00f x f x -=成立，则0k ≥不满足题意当k 0<时，若存在非零实数0x ，使得()()00f x f x -=成立，则方程00e 1xkx -=-有非零的正根，即函数()e 1,0x y x =->与(),0y kx x =->有交点先考虑函数()e 1,0xy x =-≥与直线y kx =-相切的情形设切点为11(,)x y ，则11111e 1x x k e y kx y ⎧-=⎪=-⎨⎪=-⎩，整理得()111e 10xx -+=令()()1e 1,0xg x x x =-+≥，则()0e xg x x '=≥，即函数()g x 在[)0,+∞上单调递增则()(0)0g x g ≥=，所以方程()111e 10xx -+=的根只有一个，且10x =，即1k -=则函数()e 1,0xy x =-≥与直线y kx =-相切时，切点为原点所以要使得函数()e 1,0xy x =->与(),0y kx x =->有交点，则1k ->，即1k <-所以实数k 的取值范围是(),1-∞- 故选：A（2020丰台一模）已知132a =，123b =，31log 2c =，则（ ） A. a b c >> B. a c b >>C. b a c >>D. b c a >>【答案】C5 / 31【解析】66121342372⎛⎫⎛⎫=<= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭Q ，0a b ∴<<331log log 021c =<=Q b a c ∴>>故选：C（2020朝阳区一模）下列函数中，既是偶函数又在区间(0,)+∞上单调递增的是（ ） A. 3y x = B. 21y x =-+C. 2log y x =D. ||2x y =【答案】D【解析】函数3y x =是奇函数，不符合；函数21y x =-+是偶函数，但是在(0,)+∞上单调递减，不符合；函数2log y x =不是偶函数，不符合；函数||2x y =既是偶函数又在区间(0,)+∞上单调递增，符合. 故选：D（2020朝阳区一模）已知函数222,1,()2ln ,1.x ax a x f x x a x x ⎧-+≤=⎨->⎩若关于x 的不等式()2af x ≥在R 上恒成立，则实数a 的取值范围为（ ）A. (-∞B. 3[0,]2C. [0,2]D.【答案】C【解析】（1）当1x ≤时，由()2a f x ≥得23(2)2x a x ≥-，6 / 31当314x <≤时，2322x a x ≤-232()4x x =-恒成立，因为222333933()()()42416443332()2()2()444x x x x x x x -+-+-+==---913316()32442()4x x =-++- 令34t x =-，则104t <≤，令193()2164y t t =++，则219(1)216y t'=-0<， 所以193()2164y t t =++在1(0,]4上递减，所以11938()212444164y ≥++==⨯， 即913316()32442()4x x -++-的最小值为2， 所以此时2a ≤，当34x ≤时，2322x a x ≥-913316()32442()4x x =-++-1393[()]324416()4x x =--++-恒成立， 因为1393[()]324416()4x x --++-1324≤-⨯0=，当且仅当0x =时取等， 所以0a ≥，（2）当1x >时，由()2a f x ≥得21ln 2xa x ≤+恒成立， 令21ln 2x y x =+(1)x >，则22ln 11(ln )2x y x -'=+，7 / 31由0y '>得12x e >，由0y '<得121x e <<，所以函数21ln 2x y x =+12(1,)e 上递减，在12(,)e +∞上递增，所以x =min 22y ==+a ≤ 综上所述：02a ≤≤. 故选：C（2020石景山一模）下列函数中，既是奇函数又在区间()0,∞+上单调递减的是（ ）A. 22y x =-+B. 2x y -=C. ln y x =D. 1y x=【答案】D【解析】由基本函数的性质得：22y x =-+为偶函数，2xy -=为非奇非偶函数，ln y x =为非奇非偶函数，1y x=为奇函数，且在区间()0,∞+上单调递减. 故选：D（2020石景山一模）设()f x 是定义在R 上的函数，若存在两个不等实数12,x x R ∈，使得()()121222f x f x x x f ++⎛⎫= ⎪⎝⎭，则称函数()f x 具有性质P ，那么下列函数：①()1,00,0x f x x x ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩；②()2f x x =；8 / 31③()21f x x =-；具有性质P 的函数的个数为（ ） A. 0 B. 1C. 2D. 3【答案】C【解析】对于①：取121,1x x ==-，则 12()1,()1f x f x ==-此时，12(0)02x x f f +⎛⎫==⎪⎝⎭，()()121(1)022f x f x ++-==. 所以()()121222f x f x x x f ++⎛⎫=⎪⎝⎭故函数①具有性质P .对于②：假设存在两个不等实数12,x x R ∈，使得()()121222f x f x x x f ++⎛⎫=⎪⎝⎭， 则222121211222224x x x x x x x x f +++⋅+⎛⎫⎛⎫==⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. ()()22121222f x f x x x ++=. 所以22112224x x x x +⋅+22122x x +=，化简得：2221212122()0044x x x x x x +--=⇒=即：12x x =.与“存在两个不等实数12,x x R ∈，使得()()121222f x f x x x f ++⎛⎫=⎪⎝⎭” 矛盾.9 / 31故函数②不具有性质P .对于③：取12x x = 12()1,()1f x f x ==此时，12(0)12x x f f +⎛⎫==⎪⎝⎭，()()1211122f x f x ++== 所以()()121222f x f x x x f ++⎛⎫=⎪⎝⎭故函数③具有性质P . 故选：C.（2020怀柔一模）若函数()(cos )xf x e x a =-在区间(,)22ππ-上单调递减，则实数a 的取值范围是___________.【答案】)+∞. 【解析】由题可知：函数()(cos )xf x e x a =-在区间(,)22ππ-上单调递减 等价于'()0f x ≤在(,)22ππ-恒成立 即()'()cos sin 0=--≤xf x ex x a 在(,)22ππ-恒成立则cos sin 4π⎛⎫≥-=+ ⎪⎝⎭a x x x 在(,)22ππ-恒成立所以max4π⎤⎛⎫≥+⎪⎥⎝⎭⎦a x ，10 / 31由(,)22x ππ∈-，所以3,444πππ⎛⎫+∈- ⎪⎝⎭x故cos 42π⎛⎤⎛⎫+∈- ⎥ ⎪ ⎝⎭⎝⎦x(4π⎛⎫+∈- ⎪⎝⎭x所以a ≥)∈+∞a故答案为：)+∞（2020怀柔一模）函数f(x)=|log 2x|的图象是（ ）A. B.C. D.【答案】A【解析】易知函数值恒大于等于零，同时在（0，1）上单调递减且此时的图像是对数函数的图像关于x 轴的对称图形，在单调递增．故选A ．（2020密云一模）已知函数21,0()(2),0x x f x f x x -⎧-≤=⎨->⎩，若关于x 的方程3()2f x x a =+有且只有两个不相等的实数根，则实数a 的取值范围是_______________.11 / 31【答案】(,3)-∞【解析】函数()f x 的图象如图所示：因为方程3()2f x x a =+有且只有两个不相等的实数根， 所以()y f x =图象与直线32y x a =+有且只有两个交点即可， 当过(0,3)点时两个函数有一个交点，即3a =时，32y x a =+与函数()f x 有一个交点， 由图象可知，直线向下平移后有两个交点， 可得3a <， 故答案为：(,3)-∞．（2020顺义区一模）11.若函数()2,01,0x e x f x x x ⎧≤=⎨->⎩，则函数()1y f x =-的零点是___________.【答案】0【解析】要求函数()1y f x =-的零点, 则令()10y f x =-=,即()1f x =,12 / 31又因为：()2,01,0x e x f x x x ⎧≤=⎨->⎩, ①当0x ≤时,()xf x e =,1x e =,解得0x =.②当0x >时,()21f x x =-,211x -=,解得x =,所以x =综上所以,函数()1y f x =-的零点是0或.故答案为：0（2020顺义区一模）当[]0,1x ∈时,若函数()()21f x mx =-的图象与()2mg x x =+的图象有且只有一个交点,则正实数m 的取值范围是（ ）A. [)2,+∞B. (]50,2,+2U ⎡⎫∞⎪⎢⎣⎭C. 5,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D. (][)20,1,+U ∞【答案】B【解析】当[]0,1x ∈时,又因为m 为正实数,函数()()21f x mx =-的图象二次函数,在区间10,m ⎛⎫ ⎪⎝⎭为减函数,在区间[1m ，1)为增函数; 函数()22m mg x x x =+=+,是斜率为1的一次函数.13 / 31最小值为()min 2m g x =,最大值为()max 12m g x =+; ①当11m≥时,即01m <≤时, 函数()()21f x mx =-在区间[]0,1 为减函数,()2mg x x =+在区间[]0,1 为增函数, ()f x 的图象与()g x 的图象有且只有一个交点,则()()max min f x g x ≥,()()max min 00f g ≥即()2012mm ⨯-≥,解得2m ≤, 所以01m <≤ ②当101m<<时,即1m >时, 函数()()21f x mx =-在区间10,m ⎛⎫ ⎪⎝⎭为减函数,在区间[1m ，1)为增函数,()2mg x x =+在区间[]0,1 为增函数, ()f x 的图象与()g x 的图象有且只有一个交点,则()()max minf xg x ≥()()max min 00f g ≥即()()21f x mx =-的图象与()2mg x x =+的图象有且只有一个交点 ,14 / 31()()()()10011m f g f g ⎧>⎪≥⎨⎪<⎩,()()2201021112m m m m ⎧⨯-≥+⎪⎪⎨⎪⨯-≥+⎪⎩ 解得12m <≤或52m >综上所述：正实数m 的取值范围为(]50,2,+2U ⎡⎫∞⎪⎢⎣⎭.故选:B（2020顺义区一模）若3log 0.2a =，0.22b =，20.2c =，则（ ） A. a c b << B. a b c <<C. c a b <<D. b c a <<【答案】A【解析】33log 0.2log 10a =<=,0.20221b =>=, 2000.20.21c <<==,所以01a c b <<<<,即a c b <<. 故选：A（2020延庆一模）下列函数中，是奇函数且在其定义域上是增函数的是( )A. 1y x=B. y tanx =C. x x y e e -=-D. 2,02,0x x y x x +≥⎧=⎨-<⎩【答案】C【解析】对于A 选项，反比例函数1y x=，它有两个减区间，15 / 31对于B 选项，由正切函数y tanx =的图像可知不符合题意； 对于C 选项，令()xxf x e e -=-知()xx f x ee --=-，所以()()0f x f x +-=所以()x xf x e e -=-为奇函数，又x y e =在定义内单调递增，所以xy e -=-单调递增，所以函数x xy e e -=-在定义域内单调递增；对于D ，令2,0()2,0x x g x x x +≥⎧=⎨-<⎩，则2,0()2,0x x g x x x -+≤⎧-=⎨-->⎩，所以()()0g x g x +-≠，所以函数2,02,0x x y x x +≥⎧=⎨-<⎩不是奇函数. 故选：C（2020海淀一模）已知函数()x f x e ax =+. (I )当a =-1时，①求曲线y = f (x )在点(0，f (0))处的切线方程； ②求函数f (x )的最小值；(II )求证:当()2,0a ∈-时，曲线() y f x =与1y lnx =-有且只有一个交点. 【解析】 (I)当1a =-时，①函数()xf x e x =-，0(0)=1f e ∴=，()1x f x e =-'，即0(0)1=0f e -'=，16 / 31∴曲线()y f x =在点()(0)0f ，处的切线方程为1y =.②令()1>0x f x e -'=，得0x >，令()1<0x f x e -'=，得0x <， 所以()f x 在(0,+)∞上单增，在(,0)-∞单减,∴函数()f x 的最小值为min ()(0)1f x f ==.(II) 当()2,0a ∈-时，曲线() y f x =与1ln y x =-有且只有一个交点. 等价于()()ln 10xg x e ax x x =++->有且只有一个零点.()()10x g x e a x x'=++>， 当()0,1x ∈时，11,1xe x>>， ()2,0a ∈-Q ，则()10x g x e a x'=++>， 当[)1,x ∈+∞时，12,0xe e x>>>， ()2,0a ∈-Q ，则()10x g x e a x'=++>， ()g x ∴在()0,∞+上单增，又1121()220e a g e e e e=+-<-<Q ， ()220e g e e ae e e =+>->，由零点存在性定理得()g x 有唯一零点，即曲线() y f x =与1ln y x =-有且只有一个交点. （2020西城一模）设函数()()22f x alnx x a x =+-+，其中.a R ∈17 / 31(Ⅰ)若曲线()y f x =在点()()22f ，处切线的倾斜角为4π，求a 的值; (Ⅱ)已知导函数()'f x 在区间()1e ，上存在零点，证明:当()1x e ∈，时，()2f x e >-. 【解析】 (Ⅰ)()()2ln 2f x a x x a x =+-+，故()()'22af x x a x=+-+， ()()'42tan 1242a f a π=+-+==，故2a =. (Ⅱ) ()()()()12'220x x a af x x a x x--=+-+==，即()22,a x e =∈，存在唯一零点， 设零点为0x ，故()()000'220af x x a x =+-+=，即02a x =， ()f x 在()01,x 上单调递减，在()0,x e 上单调递增，故()()()()0220000i 0000m n ln 22ln 22a x x a x x x f x f x x x x +-+=+-+==200002ln 2x x x x =--，设()22ln 2g x x x x x =--，则()'2ln 2g x x x =-，设()()'2ln 2h x g x x x ==-，则()2'20h x x=-<，()h x 单调递减， ()()1'12h g ==-，故()'2ln 20g x x x =-<恒成立，故()g x 单调递减. ()()2min g x g e e >=-，故当()1x e ∈，时，()2f x e >-.（2020东城一模）已知函数()ln 1a f x x x=--. （1）若曲线()y f x =存在斜率为-1的切线，求实数a 的取值范围；18 / 31（2）求()f x 的单调区间；（3）设函数()ln x ag x x+=，求证：当10a -<<时， ()g x 在()1,+∞上存在极小值. 【解析】（1）由()ln 1a f x x x =--得()221'(0)a x af x x x x x+=+=>. 由已知曲线()y f x =存在斜率为-1的切线，所以()'1f x =-存在大于零的实数根，即20x x a ++=存在大于零的实数根，因为2y x x a =++在0x >时单调递增， 所以实数a 的取值范围(),0-∞. （2）由()2',0,x af x x a R x+=>∈可得 当0a ≥时， ()'0f x >，所以函数()f x 的增区间为()0,∞+； 当0a <时，若(),x a ∈-+∞， ()'0f x >，若()0,x a ∈-， ()'0f x <， 所以此时函数()f x 的增区间为(),a -+∞，减区间为()0,a -.（3）由()ln x ag x x+=及题设得()()()()22ln 1'ln ln ax f x x g x x x --==， 由10a -<<可得01a <-<，由（2）可知函数()f x 在(),a -+∞上递增， 所以()110f a =--<，取x e =，显然1e >，()ln 10a af e e e e=--=->，所以存在()01,x e ∈满足()00f x =，即存在()01,x e ∈满足()0'0g x =，所以()g x ， ()'g x 在区间（1，+∞）上情况如下：x 0(1,x ） 0x 0(+x ，）∞19 / 31()'g x － 0 + ()g x ↘ 极小 ↗所以当-1<a<0时，g （x ）在（1，+∞）上存在极小值. （2020丰台一模）已知函数()()ln 1f x a x x x =+-+.（1）若曲线()y f x =在点()()e,e f 处的切线斜率为1，求实数a 的值； （2）当0a =时，求证：()0f x ≥； （3）若函数()f x 在区间()1,+?上存在极值点，求实数a 的取值范围.【解析】（1）因为()()ln 1f x a x x x =+-+， 所以()ln a f x xx '=+.由题知()e ln e 1eaf '=+=， 解得0a =.（2）当0a =时，()ln 1f x x x x =-+， 所以()ln f x x '=.当()0,1x ∈时，()0f x ¢<，()f x 在区间()0,1上单调递减；当()1,x ∈+∞时，()0f x ¢>，()f x 在区间()1,+?上单调递增；所以()10f =是()f x 在区间()0,+?上的最小值.20 / 31所以()0f x ≥.（3）由（1）知，()ln ln a x x af x xxx +'=+=.若0a ≥，则当()1,x ∈+∞时，()0f x ¢>，()f x 在区间()1,+?上单调递增，此时无极值.若0a <，令()()g x f x '=， 则()21a g x x x '=-. 因为当()1,x ∈+∞时，()0g x ¢>，所以()g x 在()1,+?上单调递增.因为()10g a =<，而()()eee 10aaa g a a a -=-+=->，所以存在()01,eax -∈，使得()00g x =.()f x ¢和()f x 的情况如下：因此，当0x x =时，()f x 有极小值()0f x . 综上，a 的取值范围是(,0)-∞.21 / 31（2020朝阳区一模）已知函数()11xx f x e x +=--. （1）求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程； （2）判断函数()f x 的零点的个数，并说明理由；（3）设0x 是()f x 的一个零点，证明曲线xy e =在点00(,)x x e 处的切线也是曲线ln y x =的切线.【解析】（1）因为()11xx f x e x +=--， 所以001010)2(e f -=+=-，()2(1)2e xx f x -'=+，02(01)203e ()f -'==+.所以曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线的方程为320x y -+=. （2）函数()f x 有且仅有两个零点.理由如下： ()f x 的定义域为{|,1}x x R x ∈≠.因为22()e 0(1)xf 'x x =+>-，所以()f x 在(,1)-∞和(1,)+∞上均单调递增.因为(0)20f =>，21(2)3e 0f --=-<，所以()f x 在(,1)-∞上有唯一零点1x .因为2e (2)30f =->，545()e 904f =-<，所以()f x 在(1,)+∞上有唯一零点2x . 综上，()f x 有且仅有两个零点.（3）曲线xy e =在点00(,)x x e 处的切线方程为00()-=-x x y e e x x ，即0000e e e x x x y x x =-+.22 / 31设曲线ln y x =在点33(,)x y 处的切线斜率为0e x ，则031e xx =，031e x x =，30y x =-，即切点为001(,)ex x -. 所以曲线ln y x =在点001(,)e x x -处的切线方程为 0001e ()ex x y x x +=-，即00e 1x y x x =--. 因为0x 是()f x 的一个零点，所以00011x x ex +=-. 所以00000000011e e e (1)(1)1x x xx x x x x x -+-+=-=-=--.所以这两条切线重合所以结论成立.（2020石景山一模）已知函数()2f x x =(0x >)，()lng x a x =(0a >).（1）若()()f x g x >恒成立，求实数a 的取值范围；（2）当1a =时，过()f x 上一点()1,1作()g x 的切线，判断：可以作出多少条切线，并说明理由. 【解析】（1）令()()()2ln h x f x g x x a x =-=-(0x >)所以()2222a x a x x h x x='-=-令()2220x x xh a -'==，解得x =. 当x 变化时，()h x '，()h x 的变化情况如下表： .23 / 31所以在()0,∞+的最小值为ln ln 2222a a a ah a =-=- 令0h >，解得02e a <<. 所以当02e a <<时，()0h x >恒成立，即()()f x g x >恒成立. （2）可作出2条切线.理由如下：当1a =时，()ln g x x =.设过点()1,1的直线l 与()ln g x x =相切于点()00,P x y ，则()00011y g x x -'=-即000ln 111x x x -=-整理得000ln 210x x x -+=令()ln 21x x m x x -=+，则()m x 在()0,∞+上的零点个数与切点P 的个数一一对应.()ln 1m x x '=-，令()ln 10x m x '=-=解得x e =.24 / 31当x 变化时，()m x '，()m x 的变化情况如下表：所以()m x 在()0,e 上单调递减，在(),e +∞上单调递增.且2222211124ln 110m e e e e e ⎛⎫=⨯-+=-+>⎪⎝⎭()ln 2110m e e e e e =⨯-+=-+<()2222ln 2110m e e e e =⨯-+=>所以()m x 在21,e e ⎛⎫⎪⎝⎭和()2,e e 上各有一个零点，即ln 210x x x -+=有两个不同的解. 所以过点()1,1可作出ln y x=2条切线.（2020怀柔一模）已知函数()ln ,()xf x xg x e ==.（1）求()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程； （2）当0x >时，证明：()()f x x g x <<；（3）判断曲线()f x 与()g x 是否存在公切线，若存在，说明有几条，若不存在，说明理由.25 / 31【解析】（1）()ln f x x =的定义域(0,)+∞1()(1)1f x k f x=⇒'='=由 又(1)0f =所以()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为：1y x =-. （2）设()()ln (0)h x f x x x x x =-=->，11'()101x h x x x x-=-==⇒=由， '(),()h x h x x 随变化如下:max ()(1)ln1110h x h ∴==-=-< ()f x x ∴<设()(),=-=-xs x x g x x e 则'()1e 0xs x =-<在(0,)x ∈+∞上恒成立(0,())x s x ∈+∴∞在上单调递减()(0)10()∴<=-<⇒<s x s x g x综上()()f x x g x <<（3）曲线()f x 与()g x 存在公切线，且有2条，理由如下：26 / 31由（2）知曲线()f x 与()g x 无公共点，设12,l l 分别切曲线()f x 与()g x 于2112(,ln ),(,)xx x x e ，则22112211:ln 1;:(1)x x l y x x l y e x e x x =⋅+-=⋅+-， 若12l l =，即曲线()f x 与()g x 有公切线，则222122121(1)10ln 1(1)x x x ex e x x x e x ⎧=⎪⇒-++=⎨⎪-=-⎩ 令()(1)1xh x e x x =-++，则曲线()f x 与()g x 有公切线，当且仅当()h x 有零点，'()1x h x xe =-+Q ，当0x ≤时，'()0h x >，()h x 在(),0-∞单调递增，当0x >时，()''()10=-+<xh x x e ，'()h x 在()0,∞+单调递减'(0)10,'(1)10h h e =>=-<又，所以存在0(0,1)x ∈，使得000'()10=-+=xh x x e 且当0(0,)x x ∈时，'()0,()h x h x >单调递增， 当0(,)x x ∈+∞时，'()0,()h x h x <单调递减0max 0000001()()(1)1(1)10x h x h x e x x x x x ∴==-++=-++>，27 / 31又22(2)310,(2)30--=-<=-+<h eh e所以()h x 在00(2,),(,2)-x x 内各存在有一个零点故曲线()f x 与()g x 存在2条公切线.（2020密云一模）已知函数()()1xf x e ax =+，a R ∈.（1）求曲线()y f x =在点()()0,0M f 处的切线方程； （2）求函数()f x 的单调区间； （3）判断函数()f x 的零点个数.【解析】（1）()(1)x f x e ax =+Q ，()(1)(1)x x x f x e ax ae e ax a ∴'=++=++，设曲线()y f x =在点(0M ，(0))f 处的切线的斜率为k ， 则0(0)(1)(1)1x x k f e ax ae e a a ='=++=+=+， 又(0)1f =，∴曲线()y f x =在点(0M ，(0))f 处的切线方程为：1(1)y a x -=+，即(1)10a x y +-+=；（2）由（1）知，()(1)x f x e ax a '=++，故当0a =时，()0x f x e '=>，所以()f x 在R 上单调递增；当0a >时，1(,)a x a +∈-∞-，()0f x '<；1(a x a+∈-，)+∞，()0f x '>；28 / 31()f x ∴的递减区间为1(,)a a +-∞-，递增区间为1(a a+-，)+∞； 当0a <时，同理可得()f x 的递增区间为1(,)a a +-∞-，递减区间为1(a a+-，)+∞； 综上所述，0a =时，()f x 单调递增为(,)-∞+∞，无递减区间； 当0a >时，()f x 的递减区间为1(,)a a +-∞-，递增区间为1(a a+-，)+∞； 当0a <时，()f x 的递增区间为1(,)a a +-∞-，递减区间为1(a a+-，)+∞； （3）当0a =时，()0xf x e =>恒成立，所以()f x 无零点；当0a ≠时，由()(1)0x f x e ax =+=，得：1x a=-，只有一个零点． （2020顺义区一模）已知函数2()2ln f x x a x =-,其中a R ∈ （1）当2a =时,求曲线()y f x =在点()()1,1A f 处的切线方程； （2）若函数()f x 存在最小值Q ,求证:1Q ≤.【解析】（1）2a =时,22()4ln ,(1)1f x x x f =-=4()2f x x x'=-切线斜率(1)242k f '==-=-曲线()y f x =在点(1,(1))A f 处的切线方程为：12(1)y x -=--即：230x y +-=（2）()222()2(0)x a a f x x x x x-'=-=>29 / 31①当0a ≤时,()0f x '≥恒成立()f x 在(0,)+∞单调递增,()f x 无最小值②当0a >时,由()0f x '=得x =x =(x ∈时,()0f x '<,()f x在(单调递减)x ∈+∞时,()0f x '>,()f x在)+∞单调递增所以()f x 存在最小值,ln Q fa a a ==-下面证明1Q ≤.设函数()ln (0),()1(ln 1)ln g a a a a a g a a a '=->=-+=-由()0g a '=得1a =,易知()g a 在(0,1)单调递增,在(1,)+∞单调递减 所以()g a 的最大值为(1)1g = 所以()1g a ≤恒成立,1Q ≤得证.（2020延庆一模）已知函数()2221,1ax a f x x +-=+其中0a ≠ （1）当1a =时，求曲线()y f x =在原点处的切线方程；（2）若函数()f x 在[)0,+∞上存在最大值和最小值，求a 的取值范围.【解析】（1）2222(1)1()(1)x a f x x -'==+当时，. 所以切线的斜率(0)2k f '==；又(0)0f =.30 / 31所以曲线()y f x =在原点处的切线方程为：2y x =.（2）22222(1)(21)2()(1)a x ax a xf x x +-'+-=+()()22222222221()(1)(1)ax a x a ax x a x x -+-+--+==++ 当0a >时，()0f x '=解得 121,x a x a=-=则[0,)x ∈+∞时()()f x f x '、随x 的变化情况如下表：所以()f x 在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减，所以()f x 的最大值为21()f a a=，若()f x 存在最小值，则()0x ∈+∞，时， 2()(0)1f x f a ≥=-恒成立，即2222111ax a a x +-≥-+， 所以()2221ax a x ≥-即2112a a x-≤在(0,)x ∈+∞恒成立，31 / 31 所以2102a a -≤.又因为 0a >，所以210a -≤，则01a <≤. 当0a <时，()0f x '=解得 121,x a x a =-=则[0,)x ∈+∞时()()f x f x '、随x 的变化情况如下表：所以()f x 在()0,a -上单调递减，在(),a -+∞上单调递增， 所以()f x 的最小值为1-，若()f x 存在最大值，则()0x ∈+∞，时，2()(0)1f x f a ≤=-恒成立，即2222111ax a a x +-≤-+，所以()2221ax a x ≤-即2112a a x -≤在(0,)x ∈+∞恒成立，所以2102a a -≤.又因为 0a <，所以210a -≥，则1a ≤-. 综上所述，a 的取值范围为(,1](0,1]-∞-⋃.。
2020年北京各区高三一模数学试题分类汇编(一)
2020年北京各区高三一模数学试题分类汇编（一）复数（2020海淀一模）（1）在复平面内，复数i(2i)-对应的点位于（A ）第一象限 （B ）第二象限 （C ）第三象限（D ）第四象限（2020西城一模）2.若复数z =(3−i)(1+i),则|z|= (A)2√2(B)2√5(C)√10(D)20（2020东城一模）(3) 已知21i ()1ia +a =-∈R ，则a =(A) 1 (B) 0 (C) 1- (D)2-（2020朝阳一模）（11）若复数21iz =+，则||z =________． （2020石景山一模） 2. 在复平面内，复数5+6i , 3-2i 对应的点分别为A,B.若C 为线段AB 的中点，则点C对应的复数是 A. 8+4iB. 2+8iC. 4+2iD. 1+4i（2020丰台一模）3． 若复数z 满足i 1iz=+，则z 对应的点位于（A ）第一象限（B ）第二象限（C ）第三象限（D ）第四象限（2020西城5月诊断）02．若复数z 满足i 1i z ⋅=-+，则在复平面内z 对应的点位于（A ）第一象限 （B ）第二象限 （C ）第三象限 （D ）第四象限集合（2020海淀一模）（2）已知集合{ |0 3 }A x x =<<，A B ={ 1 }，则集合B 可以是（2020西城一模）1.设集合A ={x|x <3},B ={x|x <0,或x >2},则A ∩B = (A)(−∞,0)(B)(2,3) (C)(−∞,0)∪(2,3)(D)(−∞,3)（2020东城一模）(1) 已知集合{}1>0A x x =-，{}1012B =-，，，，那么A B =(A){}10-， (B) {}01， (C) {}1012-，，， (D) {}2（2020朝阳一模）（1）已知集合{}1,3,5A =，{}|(1)(4)0B x x x =∈--<Z ，则AB =（A ）{ 1 2 }， （B ）{ 1 3 }， （C ）{ 0 1 2 }，， （D ）{ 1 2 3 }，，（A ）{}3（B ）{}1,3 （C ）{}1,2,3,5 （D ）{}1,2,3,4,5（2020石景山一模）1. 设集合}4321{，，，=P ，},3|||{R x x x Q ∈≤=，则Q P ⋂等于 A. {}1 B. {}1,23，C. {}34，D. {}3,2,1,0,1,2,3---（2020西城5月诊断）01．设集合{}3A x x =<，{}2,B x x k k ==∈Z ，则AB =（A ）{}0,2 （B ）{}2,2-（C ）{}2,0,2-（D ）{}2,1,0,1,2--（2020丰台一模）1．若集合{|12}A x x =∈-<<Z ，2{20}B x x x =-=，则AB =（A ）{0} （B ）{01}，（C ）{012}，，（D ）{1012}-，，，（2020石景山一模）15. 石景山区为了支援边远山区的教育事业，组织了一支由13名一线中小学教师组成的支教团队，记者采访其中某队员时询问这个团队的人员构成情况，此队员回答：①有中学高级教师；②中学教师不多于小学教师；③小学高级教师少于中学中级教师；④小学中级教师少于小学高级教师；⑤支教队伍的职称只有小学中级、小学高级、中学中级、中学高级；⑥无论是否把我计算在内，以上条件都成立.由此队员的叙述可以推测出他的学段及职称分别是_______、_______．计数原理（2020朝阳一模）（6）现有甲、乙、丙、丁、戊5种在线教学软件，若某学校要从中随机选取3种作为教师“停课不停学”的教学工具，则其中甲、乙、丙至多有2种被选取的概率为 （A ）23 （B ） 25 （C ） 35 （D ） 910（2020石景山一模）5. 将4位志愿者分配到博物馆的3个不同场馆服务，每个场馆至少1人，不同的分配 方案有（ ）种 A. 36B. 64C. 72D. 81二项式定理（2020海淀一模）（5）在61(2)x x-的展开式中，常数项为（A ）120- （B ）120（C ）160- （D ）160（2020西城一模）11.在(x +1x )6的展开式中,常数项为.(用数字作答)（2020东城一模）(12) 在62()x x+的展开式中常数项为 . (用数字作答)三角函数与解三角形（2020海淀一模）（6）如图，半径为1的圆M 与直线l 相切于点A ，圆M 沿着直线l 滚动.当圆M 滚动到圆M '时，圆M '与直线l 相切于点B ，点A 运动到点A '，线段AB 的长度为3π2，则点M '到直线BA '的距离为 （A ）1 （B ）32 （C ）22（D ）12（2020西城一模）9.已知函数f(x)=sinx1+2sinx 的部分图象如图所示,将此图象分别作以下变换,那么变换后的图象可以与原图象重合的变换方式有 ①绕着x 轴上一点旋转180°; ②沿x 轴正方向平移; ③以x 轴为轴作轴对称;④以x 轴的某一条垂线为轴作轴对称. (A)①③(B)③④(C)②③(D)②④（2020东城一模）(7)在平面直角坐标系中，动点M 在单位圆上按逆时针方向作匀速圆周运动，每12分钟转动一周.若点M 的初始位置坐标为(,)1322，则运动到3分钟时，动点M 所处位置的坐标是 (A)(,)3122 (B) (,)-1322(C) (,)-3122(D) (,)--3122（2020朝阳一模）（8）已知函数()=3sin()(>0)f x ωxφω的图象上相邻两个最高点的距离为π，则“6ϕπ=”是“()f x 的图象关于直线3x π=对称”的（A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件（2020石景山一模）（2020丰台一模）9. 将函数()sin (0)f x x ωω=>的图象向左平移π2个单位长度后得到函数()g x 的图象，且(0)1g =，下列说法错误．．的是 （A ）()g x 为偶函数（B ）π()02g -=（C ）当5ω=时，()g x 在π[0]2,上有3个零点（D ）若()g x 在π[]50,上单调递减，则ω的最大值为9（2020西城5月诊断）05．在ABC ∆中，若::4:5:6a b c =，则其最大内角的余弦值为（A ）18（B ）14（C ）310 （D ）35（2020西城5月诊断）13．设函数2()sin 22cos f x x x =+，则函数()f x 的最小正周期为____；若对于任意x ∈R ，都有()f x m ≤成立，则实数m 的最小值为____．（2020西城一模）14.函数f(x)=sin(2x +π4)的最小正周期为 ;若函数f(x)在区间(0,α)上单调递增,则α的最大值为.（2020海淀一模）（14）在△ABC中，AB =4B π∠=，点D 在边BC 上，23ADC π∠=，2CD =，则AD = ；△ACD 的面积为 . （2020东城一模）(14)ABC 是等边三角形，点D 在边AC 的延长线上，且3AD CD =，BD =则CD = ，sin ABD ∠= .（2020海淀一模）（17）（本小题共14分）已知函数212()2cos sin f x x x ωω=+． （Ⅰ）求(0)f 的值；（Ⅱ）从①11ω=，22ω=； ②11ω=，21ω=这两个条件中任选一个，作为题目的已知条件，求函数()f x 在[2π-,7.函数()cos 6f x x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭（0ω>）的最小正周期为π，则()f x 满足A. 在0,3π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增B. 图象关于直线6x π=对称C. 32f π⎛⎫= ⎪⎝⎭D. 当512x π=时有最小值1-]6π上的最小值，并直接写出函数()f x 的一个周期. 注：如果选择两个条件分别解答，按第一个解答计分。
2020北京市各城区一模数学试题分类汇编及答案——导数
2020北京市各城区一模数学试题分类汇编及答案——导数YQ （19）（本小题14分）已知函数2221()1ax a f x x +-=+，其中0a >.（Ⅰ）当1a =时，求曲线()y f x =在原点处的切线方程；（Ⅱ）若函数()f x 在[0,)+∞上存在最大值和最小值，求a 的取值范围.（Ⅰ）解：222)1()1(2)(1+-='=x x x f a 时，当.∴切线的斜率2)0(='=f k ； 0)0(=f∴曲线)(x f y =在原点处的切线方程为：x y 2=. ……………5分 （Ⅱ）2222)1(2)12()1(2)(+-+-+='x xa ax x a x f22222222221()(1)(1)ax a x a ax x a x x -+-+--+==++（）（）……………7分（1）当时，0>a 0100)(21>=<-=⇒='a x a x x f ；则的变化情况如下表：随、x x f x f )()('）上单调递减，）上单调递增，在（在（+∞∴,11,0)(x f ……………9分法1：2)1()(aaf x f =∴的最大值为……………10分,1)0()(0)(2恒成立）时，，（存在最小值，则若-=≥∞+∈a f x f x x f1112222-≥+-+a x a ax 即：xa a x a ax 12112222≤-⇔-≥∴）（在),0(+∞∈x 恒成立，0212≤-∴a a .1001,02≤<∴≤-∴>a a a ，Θ ……………13分所以a 的取值范围为]1,0(. ……………14分法2：2)1()(a af x f =∴的最大值为； ……………10分当1x a>时，22ax >，222110ax a a +->+>， 0)(,→+∞→∴x f x 时；即]1,0[a x ∈时，22()[1,]f x a a ∈-；)1[∞+∈，a x 时，2()0]f x a ∈（， 01)0()(2≤-=a f x f 存在最小值，则若，10≤<∴a所以a 的取值范围为]1,0(. ……………14分 用趋近说：0)(,→+∞→∴x f x 时，论述不严谨，扣1（2）当时，0<a 0100)(21<=>-=⇒='ax a x x f ；. 则的变化情况如下表：随、x x f x f )()('）上单调递增，）上单调递减，在（在（+∞--∴,,0)(a a x f法1：1)()(-=-∴a f x f 的最小值为.2()[0()1,f x x f x a ∈+∞≤-若存在最大值，则，）时，恒成立2222111ax a a x +-≤-+即：xa a x a ax 12112222≤-⇔-≤∴）（在),0(+∞∈x 恒成立，101,0,02122-≤∴≥-∴<≤-∴a a a aa ，Θ.综上：a 的取值范围是]1,0(]1,Y -∞-（. 法2：1)()(-=-∴a f x f 的最小值为；当x a >-时，222ax a <-，222110ax a a +-<--<，0)(,→+∞→∴x f x ；（论述不严谨，扣1分）即[0,]x a ∈-时，]1,1[)(2--∈a x f ；[)x a ∈-+∞，时，)0,1[)(-∈x f01)0()(2≥-=a f x f 存在最大值，则若， 1.a ≤-综上：a 的取值范围是]1,0(]1,Y -∞-（.XC 19.（本小题满分14分）设函数2()ln (2)f x a x x a x =+-+，其中a ∈R（Ⅰ）若曲线()y f x =在点（2，(2)f ）处切线的倾斜角为4π，求a 的值； （Ⅱ）已知导函数()f x 在区间（1，e ）上存在零点，证明:当x ∈（1，e ）时， 2()f x e ＞-SJS 20. （本小题14分）已知函数2()(0),()ln (0)f x x x g x a x a =>=>． （Ⅰ）若()()f x g x >恒成立，求实数a 的取值范围；（Ⅱ）当1a =时，过()f x 上一点11（，）作()g x 的切线，判断：可以作出多少条切线，并说明理由．解：（Ⅰ）令2(=()()ln (0)h x f x g x x a x x -=->）…………1分 所以222()=2a x a h x x x x-'-=令222()=0x a h x x-'=，解得x = …………3分当x 变化时，(),()h x h x '的变化情况如下表：…………5分所以在(0,)+∞的最小值为ln 2222a a a a h a =-=- ……6分 令 0h > 解得02a e <<. 所以当02a e <<时，()0h x >恒成立，即()()f x g x >恒成立. ………7分 （Ⅱ）可作出2条切线. …………8分 理由如下：当1a =时，()ln g x x =.设过点11（，）的直线l 与()ln g x x =相切于点00(,)P x y ， …………9分则0001()1y g x x -'=- 即000ln 111x x x -=-整理得000ln 210x x x -+= …………10分 令()ln 21m x x x x =-+，则()m x 在(0,)+∞上的零点个数与切点P 的个数一一对应.()ln 1m x x '=-，令()ln 10m x x '=-=解得x e = . …………11分当x 变化时，(),()m x m x '的变化情况如下表：所以 ()m x 在(0,)e 上单调递减，在(,)e +∞上单调递增.且2222211124()ln 110m e e e e e =⨯-+=-+> ()ln 2110m e e e e e =⨯-+=-+<2222()ln 2110m e e e e =⨯-+=> …………13分所以 ()m x 在21(,)e e和2(,)e e 上各有一个零点，即ln 210x x x -+=有两个不同的解. 所以 过点11（，）可作出ln y x =的2条切线. …………14分PG 19.(本小题15分)已知函数2()(),xx ax a f x e +-=其中a ∈R . (I)当a=0时,求f(x)在(1,f(1))的切线方程; (II)求证:f(x)的极大值恒大于0.MY 19.（本小题满分14分）已知函数()е(1)xf x ax =+，a ∈R ．（Ⅰ）求曲线()y f x =在点(0,(0))M f 处的切线方程； （Ⅱ）求函数()f x 的单调区间； （Ⅲ）判断函数()f x 的零点个数． 19.（本小题满分14分） （Ⅰ）解：因为()()e1x f x ax =+，x ∈R ， 所以()'()e1xf x ax a x =++∈R ，．'(0)1k f a ==+，又因为(0)1f =，所以切线方程为=(+1)1y a x +.（Ⅱ）解：因为()'()e 1xf x ax a x a =++∈∈R R ，，，（1）当0a =时因为'()e 0,xf x x =>∈R ，所以()f x 的单调增区间是(),-∞+∞，无单调减区间. （2）当0a ≠时令'()0f x =，则11x a=--． ① 当时，()f x 与'()f x 在上的变化情况如下：所以()f x 的单调减区间是()a -∞，-1-，单调增区间是(1,)a--+∞． ②当0a <时，()f x 与'()f x 在R 上的变化情况如下：所以()f x 的单调增区间是()a-∞，-1-，单调减区间是(1,)a--+∞． 综上所述，当0a =时，()f x 的单调增区间是(),-∞+∞，无单调减区间；当0a >时，()f x的单调减区间是1()a -∞，-1-，单调增区间是1(1,)a--+∞；当0a <时，()f x 的单调增区间是1()a -∞，-1-，单调减区间是1(1,)a--+∞． （Ⅲ）解：方法一因为()()e1,xf x ax x =+∈R ，所以令()0f x =，得10ax +=. （1）当0a =时，方程无解，此时函数()f x 无零点； （2）当0a ≠时，解得1x a=-， 此时函数()f x 有唯一的一个零点.综上所述，当0a =时，函数()f x 无零点；当0a ≠时，函数()f x 有一个零点. 方法二（1）当0a =时 因为()e 0xf x =>，所以函数()f x 无零点；（2）当0a >时因为10a <-1-，(0)10f =>，()f x 在区间1(1,)a--+∞单调递增， 所以()f x 在区间1(1,)a --+∞内有且仅有唯一的零点；若1(,1)x a ∈-∞--，则11(1)10ax a a a+<--+=-<，又因为e 0x >，所以()()e 10xf x ax =+<．即函数()f x 在区间1()a-∞，-1-内没有零点． 故当0a >时，()f x 有且仅有唯一的零点．（3）当0a <时因为111(1)е()0a f a a ----=->，111(1)е0a f a a--=<，并且()f x 在区间1(1,)a --+∞单调递减， 所以()f x 在区间1(1,)a --+∞内有且仅有唯一的零点；若1(,1)x a ∈-∞--，则11(1)10ax a a a+>--+=->，又因为e 0x >，所以()()e 10xf x ax =+>．即函数()f x 在区间1()a-∞，-1-内没有零点．故当0a <时，()f x 有且仅有唯一的零点．综上所述：当0a =时，函数()f x 无零点；当0a ≠时，函数()f x 有一个零点.MTG 20.（本小题满分15分）已知函数()sin ln 1f x x x =+-。
北京市海淀区2020届高三数学一模试题含解析
（I）求f(0)的值;
(II）从① ；② 这两个条件中任选一个，作为题目的已知条件，求函数f（x)在 上的最小值，并直接写出函数f（x）的一个周期.
【答案】（I） ；(II) ① 时 ， ；② 时 ， 。
【解析】
【分析】
（I）将 代入求值即可；
(II)①用二倍角和辅助角公式化简可得 ，再由 可得 ，结合正弦函数图象求解最值；
14。在△ABC中， ,点D在边BC上， CD=2，则AD=___；△ACD的面积为____。
【答案】 （1）. (2）。
【解析】
【分析】
在 中用正弦定理求解 ，在 用面积公式可得。
【详解】
在 中由正弦定理得： ，
.
在 中， ，
故答案为： ; .
【点睛】本题考查平面几何中解三角形问题.
其求解思路：（1）把所提供的平面图形拆分成若干个三角形,然后在各个三角形内利用正弦、余弦定理、勾股定理求解；
8.某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥中最长棱的棱长为（ ）
A. B。 C. D。
【答案】C
【解析】
【分析】
四棱锥底面是直角梯形， 底面 ，可知最长棱是 ，在直角三角形 中利用勾股定理可解.
【详解】
由三视图知，四棱锥底面是直角梯形， 底面 ， ，最长棱是 ，
在 中, ，在 中， ，
，
。
故选：D．
【点睛】由几何体三视图还原其直观图时应注意的问题。要熟悉柱、锥、球、台的三视图，结合空间想象将三视图还原为直观图．
此时 到达 ， ，则点 到直线 的距离为 。
故选:C．
【点睛】本题考查圆的渐开线变式运用.
圆的渐开线性质:（1）渐开线的发生线滚过的距离等于其在基圆滚过的弧长。(2）渐开线上任一点的法线恒与基圆相切。
2020年北京中考数学一模分类汇编——一次函数与反比例函数(学生版)
2020年北京中考数学一模分类汇编——一次函数与反比例函数1．（2020•海淀区一模）在平面直角坐标系xOy中，直线x＝3与直线y＝x+1交于点A，函数y＝（k＞0，x＞0）的图象与直线x＝3，直线y＝x+1分别交于点B，C．（1）求点A的坐标．（2）横、纵坐标都是整数的点叫做整点．记函数y＝（k＞0，x＞0）的图象在点B，C 之间的部分与线段AB，AC围成的区域（不含边界）为W．①当k＝1时，结合函数图象，求区域W内整点的个数；②若区域W内恰有1个整点，直接写出k的取值范围．2．（2020•西城区一模）在平面直角坐标系xOy中，直线l1：y＝kx+2k（k＞0）与x轴交于点A，与y轴交于点B，与函数y＝（x＞0）的图象的交点P位于第一象限．（1）若点P的坐标为（1，6），①求m的值及点A的坐标；②＝；（2）直线l2：y＝2kx﹣2与y轴交于点C，与直线l1交于点Q，若点P的横坐标为1，①写出点P的坐标（用含k的式子表示）；②当PQ≤PA时，求m的取值范围．3．（2020•东城区一模）如图，一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象与反比例函数y＝（m≠0，x＞0）的图象在第一象限内交于点A，B，且该一次函数的图象与y轴正半轴交于点C，过A，B分别作y轴的垂线，垂足分别为D，E．已知A（1，4），＝．（1）求m的值和一次函数的解析式；（2）若点M为反比例函数图象在A，B之间的动点，作射线OM交直线AB于点N，当MN长度最大时，直接写出点M的坐标．4．（2020•朝阳区一模）在平面直角坐标系xOy中，直线y＝1与一次函数y＝﹣x+m的图象交于点P，与反比例函数的图象交于点Q，点A（1，1）与点B关于y轴对称．（1）直接写出点B的坐标；（2）求点P，Q的坐标（用含m的式子表示）；（3）若P，Q两点中只有一个点在线段AB上，直接写出m的取值范围．5．（2020•丰台区一模）在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝x+4的图象与y轴交于点A，与反比例函数y＝的图象的一个交点为M．（1）求点A的坐标；（2）连接OM，如果△MOA的面积等于2，求k的值．6．（2020•石景山区一模）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝x+3与函数y＝（x ＞0）的图象交于点A（1，m），与x轴交于点B．（1）求m，k的值；（2）过动点P（0，n）（n＞0）作平行于x轴的直线，交函数y＝（x＞0）的图象于点C，交直线y＝x+3于点D．①当n＝2时，求线段CD的长；②若CD≥OB，结合函数的图象，直接写出n的取值范围．7．（2020•通州区一模）已知：在平面直角坐标系xOy中，对于任意的实数a（a≠0），直线y＝ax+a﹣2都经过平面内一个定点A．（1）求点A的坐标；（2）反比例函数y＝的图象与直线y＝ax+a﹣2交于点A和另外一点P（m，n）．①求b的值；②当n＞﹣2时，求m的取值范围．8．（2020•房山区一模）在平面直角坐标系xOy中，反比例函数y＝的图象与一次函数y ＝2x﹣1的图象交于A、B两点，已知A（m，﹣3）．（1）求k及点B的坐标；＝5，直接写出点C的坐标．（2）若点C是y轴上一点，且S△ABC9．（2020•大兴区一模）在平面直角坐标系xOy中，直线x＝5与直线y＝3，x轴分别交于点A，B，直线y＝kx+b（k≠0）经过点A且与x轴交于点C（9，0）．（1）求直线y＝kx+b的表达式；（2）横、纵坐标都是整数的点叫做整点．记线段AB，BC，CA围成的区域（不含边界）为W．①结合函数图象，直接写出区域W内的整点个数；②将直线y＝kx+b向下平移n个单位，当平移后的直线与区域W没有公共点时，请结合图象直接写出n的取值范围．直线l：y＝2x﹣4交于点A（3，a）．（1）求k的值；（2）已知点P（0，n）（n＞0），过点P作平行于x轴的直线，与图象G交于点B，与直线l交于点C．横、纵坐标都是整数的点叫做整点．记图象G在点A，B之间的部分与线段AC，BC围成的区域（不含边界）为W．①当n＝5时，直接写出区域W内的整点个数；②若区域W内的整点恰好为3个，结合函数图象，直接写出n的取值范围．象过点A（3，2），与直线l：y＝kx+b交于点C，直线l与y轴交于点B（0，﹣1）．（1）求n、b的值；（2）横、纵坐标都是整数的点叫做整点．记函数y＝（n≠0，x＞0）的图象在点A，C 之间的部分与线段BA，BC围成的区域（不含边界）为W．①当直线l过点（2，0）时，直接写出区域W内的整点个数，并写出区域W内的整点的坐标；②若区域W内的整点不少于5个，结合函数图象，求k的取值范围．12．（2020•密云区一模）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线l：y＝x﹣1的图象与反比例函数y＝（x＞0）的图象交于点A（3，m）．（1）求m、k的值；（2）点P（x p，0）是x轴上的一点，过点P作x轴的垂线，交直线l于点M，交反比例函数y＝（x＞0）的图象于点N．横、纵坐标都是整数的点叫做整点．记y＝（x＞0）的图象在点A，N之间的部分与线段AM，MN围成的区域（不含边界）为W．①当x p＝5时，直接写出区域W内的整点的坐标为；②若区域W内恰有6个整点，结合函数图象，求出x p的取值范围．13．（2020•延庆区一模）在平面直角坐标系xOy中，将点A（2，4）向下平移2个单位得到点C，反比例函数y＝（m≠0）的图象经过点C，过点C作CB⊥x轴于点B．（1）求m的值；（2）一次函数y＝kx+b（k＜0）的图象经过点C，交x轴于点D，线段CD，BD，BC围成的区域（不含边界）为G；若横、纵坐标都是整数的点叫做整点．①b＝3时，直接写出区域G内的整点个数．②若区域G内没有整点，结合函数图象，确定k的取值范围．。
2020年北京中考数学一模分类汇编——函数探究(学生版)
2020年北京中考数学一模分类汇编——函数探究1．（2020•西城区一模）如图，在△ABC中，AB＝4cm，BC＝5cm．P是上的动点，设A，P两点间的距离为xcm，B，P两点间的距离为y1cm，C，P两点间的距离为y2cm．小腾根据学习函数的经验，分别对函数y1，y2随自变量x的变化而变化的规律进行了探究．下面是小腾的探究过程，请补充完整：（1）按照表中自变量x的值进行取点、画图、测量，分别得到了y1，y2与x的几组对应值：x/cm01234y1/cm 4.00 3.69 2.130y2/cm 3.00 3.91 4.71 5.235（2）在同一平面直角坐标系xOy中，描出补全后的表中各组数值所对应的点（x，y1），点（x，y2），并画出函数y1，y2的图象；（3）结合函数图象，①当△PBC为等腰三角形时，AP的长度约为cm；②记所在圆的圆心为点O，当直线PC恰好经过点O时，PC的长度约为cm．2．（2020•朝阳区一模）有这样一个问题：探究函数的图象与性质并解决问题．小明根据学习函数的经验，对问题进行了探究．下面是小明的探究过程，请补充完整：（1）函数的自变量x的取值范围是x≠2；（2）取几组y与x的对应值，填写在下表中．x…﹣4﹣2﹣101 1.2 1.252.75 2.834568…y…1 1.52367.5887.563m 1.51…m的值为；（3）如图，在平面直角坐标系xOy中，描出补全后的表中各组对应值所对应的点，并画出该函数的图象；（4）获得性质，解决问题：①通过观察、分析、证明，可知函数的图象是轴对称图形，它的对称轴是；②过点P（﹣1，n）（0＜n＜2）作直线l∥x轴，与函数的图象交于点M，N（点M在点N的左侧），则PN﹣PM的值为．3．（2020•东城区一模）如图，P是线段AB上的一点，AB＝6cm，O是AB外一定点．连接OP，将OP绕点O顺时针旋转120°得OQ，连接PQ，AQ．小明根据学习函数的经验，对线段AP，PQ，AQ的长度之间的关系进行了探究．下面是小明的探究过程，请补充完整：（1）对于点P在AB上的不同位置，画图、测量，得到了线段AP，PQ，AQ的长度（单位：cm）的几组值，如表：位置1位置2位置3位置4位置5位置6位置7 AP0.00 1.00 2.00 3.00 4.00 5.00 6.00PQ 4.00 2.310.84 1.43 3.07 4.77 6.49AQ 4.00 3.08 2.23 1.57 1.40 1.85 2.63在AP，PQ，AQ的长度这三个量中，确定的长度是自变量，的长度和的长度都是这个自变量的函数；（2）在同一平面直角坐标系xOy中，画出（1）中所确定的函数的图象；（3）结合函数图象，解决问题：当AQ＝PQ时，线段AP的长度约为cm．4．（2020•大兴区一模）已知：如图，线段AB＝5cm，∠BAM＝90°，P是与∠BAM所围成的图形的外部的一定点，C是上一动点，连接PC交弦AB于点D．设A，D两点间的距离为xcm，P，D两点间的距离为y1cm，P，C两点间的距离为y2cm．小腾根据学习函数的经验，分别对函数y1，y2随自变量x的变化而变化的规律进行了探究．下面是小腾的探究过程，请补充完整：按照表中自变量x的值进行取点、画图、测量，分别得到了y1，y2与x的几组对应值：x/cm0.00 1.00 1.56 1.98 2.50 3.38 4.00 4.40 5.00 y1/cm 2.75 3.24 3.61 3.92 4.32 5.06 5.60 5.95 6.50 y2/cm 2.75 4.74 5.34 5.66 5.94 6.24 6.37 6.43 6.50（1）在同一平面直角坐标系xOy中，画出各组数值所对应的点（x，y1），（x，y2），并画出函数y1，y2的图象；（2）连接BP，结合函数图象，解决问题：当△BDP为等腰三角形时，x的值约为cm （结果保留一位小数）．5．（2020•石景山区一模）如图，C是上的一定点，P是弦AB上的一动点，连接PC，过点A作AQ⊥PC交直线PC于点Q．小石根据学习函数的经验，对线段PC，PA，AQ的长度之间的关系进行了探究．（当点P与点A重合时，令AQ＝0cm）下面是小石的探究过程，请补充完整：（1）对于点P在弦AB上的不同位置，画图、测量，得到了线段PC，PA，AQ的几组值，如表：位置1位置2位置3位置4位置5位置6位置7位置8位置9 PC/cm 4.07 3.10 2.14 1.68 1.260.890.76 1.26 2.14PA/cm0.00 1.00 2.00 2.50 3.00 3.54 4.00 5.00 6.00AQ/cm0.000.250.71 1.13 1.82 3.03 4.00 3.03 2.14在PC，PA，AQ的长度这三个量中，确定的长度是自变量，的长度和的长度都是这个自变量的函数；（2）在同一平面直角坐标系xOy中，画出（1）中所确定的函数的图象；（3）结合函数图象，解决问题：当AQ＝PC时，PA的长度约为cm．（结果保留一位小数）6．（2020•通州区一模）如图1，四边形ABCD为矩形，曲线L经过点D．点Q是四边形ABCD 内一定点，点P是线段AB上一动点，作PM⊥AB交曲线L于点M，连接QM，点D、Q、L在同一条直线上．小东同学发现：在点P由A运动到B的过程中，对于x1＝AP的每一个确定的值，θ＝∠QMP都有唯一确定的值与其对应，x1与θ的对应关系如表所示：x1＝AP012345θ＝∠QMPα85°130°180°145°130°小芸同学在读书时，发现了另外一个函数：对于自变量x2在﹣2≤x2≤2范围内的每一个值，都有唯一确定的角度θ与之对应，x2与θ的对应关系如图2所示：根据以上材料，回答问题：（1）表格中α的值为．（2）如果令表格中x1所对应的θ的值与图2中x2所对应的θ的值相等，可以在两个变量x1与x2之间建立函数关系．①在这个函数关系中，自变量是，因变量是；（分别填入x1和x2）②请在网格中建立平面直角坐标系，并画出这个函数的图象；③根据画出的函数图象，当AP＝3.5时，x2的值约为．7．（2020•门头沟区一模）如图，点M是⊙O直径AB上一定点，点C是直径AB上一个动点，过点C作CD⊥AB交⊙O于点D，作射线DM交⊙O于点N，连接BD．小勇根据学习函数的经验，对线段AC，BD，MN的长度之间的数量关系进行了探究．下面是小勇的探究过程，请补充完整：（1）对于点C在AB的不同位置，画图，测量，得到了线段AC，BD，MN的长度的几组值，如表：位置1位置2位置3位置4位置5位置6位置7 AC/cm0.00 1.00 2.00 3.00 4.00 5.00 6.00 BD/cm 6.00 5.48 4.90 4.24 3.46 2.450.00 MN/cm 4.00 3.27 2.83 2.53 2.31 2.14 2.00在AC，BD，MN的长度这三个量中，如果选择的长度为自变量，那么的长度和的长度为这个自变量的函数；（2）在同一平面直角坐标系xOy中，画出（1）中确定的函数的图象；（3）结合函数图象解决问题：当BD＝MN时，线段AC的长度约为cm（结果精确到0.1）．8．（2020•房山区一模）如图1，在弧MN和弦MN所组成的图形中，P是弦MN上一动点，过点P作弦MN的垂线，交弧MN于点Q，连接MQ．已知MN＝6cm，设M、P两点间的距离为xcm，P、Q两点间的距离为y1cm，M、Q两点间的距离为y2cm．小轩根据学习函数的经验，分别对函数y1，y2随自变量x的变化而变化的规律进行了探究．下面是小轩的探究过程，请补充完整：（1）按照下表中自变量x的值进行取点、画图、测量，分别得到了y1，y2与x的几组对应值：x/cm0123456y1/cm0 2.24 2.83 3.00 2.83 2.240y2/cm0 2.45 3.46 4.24m 5.486上表中m的值为．（保留两位小数）（2）在同一平面直角坐标系xOy（图2）中，函数y1的图象如图，请你描出补全后的表中y2各组数值所对应的点（x，y2），并画出函数y2的图象；（3）结合函数图象，解决问题：当△MPQ有一个角是30°时，MP的长度约为cm．（保留两位小数）9．（2020•丰台区一模）如图，点C是以点O为圆心，AB为直径的半圆上的动点（不与点A，B重合），AB＝5cm，过点C作CD⊥AB于点D，E是CD的中点，连接AE并延长交于点F，连接FD．小腾根据学习函数的经验，对线段AC，CD，FD的长度之间的关系进行了探究．下面是小腾的探究过程，请补充完整：（1）对于点C在上的不同位置，画图、测量，得到了线段AC，CD，FD的长度的几组值，如表：位置1位置2位置3位置4位置5位置6位置7位置8 AC/cm0.10.5 1.0 1.9 2.6 3.2 4.2 4.9 CD/cm0.10.5 1.0 1.8 2.2 2.5 2.3 1.0 FD/cm0.2 1.0 1.8 2.8 3.0 2.7 1.80.5在AC，CD，FD的长度这三个量中，确定的长度是自变量，的长度和的长度都是这个自变量的函数；（2）在同一平面直角坐标系xOy中，画出（1）中所确定的函数的图象；（3）结合函数图象，解答问题：当CD＞DF时，AC的长度的取值范围是．10．（2020•平谷区一模）如图1，P是△ABC外部的一定点，D是线段BC上一动点，连接PD交AC于点E．小明根据学习函数的经验，对线段PD，PE，CD的长度之间的关系进行了探究，下面是小明的探究过程，请补充完整：（1）对于点D在BC上的不同位置，画图、测量，得到了线段PD，PE，CD的长度的几组值，如表：位置1位置2位置3位置4位置5位置6位置7位置8位置9 PD/cm 2.56 2.43 2.38 2.43 2.67 3.16 3.54 4.45 5.61 PE/cm 2.56 2.01 1.67 1.47 1.34 1.32 1.34 1.40 1.48 CD/cm0.000.450.93 1.40 2.11 3.00 3.54 4.68 6.00在PD，PE，CD的长度这三个量中，确定的长度是自变量，的长度和的长度都是这个自变量的函数；（2）在同一平面直角坐标系xOy中，画出图2中所确定的两个函数的图象；（3）结合函数图象，解决问题：连接CP，当△PCD为等腰三角形时，CD的长度约为cm．（精确到0.1）11．（2020•顺义区一模）如图，D是直径AB上一定点，E，F分别是AD，BD的中点，P 是上一动点，连接PA，PE，PF．已知AB＝6cm，设A，P两点间的距离为xcm，P，E两点间的距离为y1cm，P，F两点间的距离为y2cm．小腾根据学习函数的经验，分别对函数y1，y2随自变量x的变化而变化的规律进行了探究．下面是小腾的探究过程，请补充完整：（1）按照下表中自变量x的值进行取点、画图、测量，分别得到了y1，y2与x的几组对应值：x/cm0123456y1/cm0.97 1.27 2.66 3.43 4.22 5.02y2/cm 3.97 3.93 3.80 3.58 3.25 2.76 2.02（2）在同一平面直角坐标系xOy中，描出补全后的表中各组数值所对应的点（x，y1），（x，y2），并画出函数y1，y2的图象；（3）结合函数图象，解决问题：当△PEF为等腰三角形时，AP的长度约为cm．12．（2020•密云区一模）如图，点O是线段AB的中点，是以O为圆心，EF长为直径的半圆弧，点C是上一动点，过点O作射线AC的垂线，垂足为D．已知AB＝10cm，EF＝6cm，设A、C两点间的距离为xcm，O、D两点间的距离为y1cm，C、D两点间的距离为y2cm．小丽根据学习函数的经验，分别对函数y1和y2随自变量x变化而变化的规律进行了探究．下面是小丽的探究过程，请将它补充完整：（1）按照下表中自变量x的值进行取点、画图、测量，分别得到y1和y2与x的几组对应值：x/cm234 4.55 5.5678y1/cm0 2.76m 2.96 2.86 2.70 2.49 1.850y2/cm 3.00 1.1800.470.90 1.30 1.67 2.36 3.00经测量，m的值是；（保留一位小数）（2）在同一平面直角坐标系xOy中，描出补全后的表中各组数值所对应的点（x，y1）和（x，y2），并画出函数y1、y2的图象；（3）结合函数图象，解决问题：连接OC，当△ODC是等腰三角形时，AC的长度约为cm．（结果保留一位小数）13．（2020•延庆区一模）如图1，AB是⊙O的弦，AB＝5cm，点P是弦AB上的一个定点，点C是弧上的一个动点，连接CP并延长，交⊙O于点D．小明根据学习函数的经验，分别对AC，PC，PD长度之间的关系进行了探究（1）对于点C在上的不同位置，画图、测量，得到了线段AC，PC，PD的长度的几组值，如表：位置1位置2位置3位置4位置5位置6位置7位置8位置9 AC/cm00.37 1.00 1.82 2.10 3.00 3.50 3.91 5.00 PC/cm 1.000.810.690.75 1.26 2.11 2.50 3.00 4.00 PD/cm 4.00 5.00 5.80 6.00 3.00 1.90 1.50 1.32 1.00在AC，PC，PD的长度这三个量中，确定的长度是自变量，其他两条线段的长度都是这个自变量的函数；（2）请你在如图2所示的同一平面直角坐标系xOy中，画出（1）中所确定的两个函数的图象；（3）结合函数图象，解决问题：①当PC＝PD时，AC的长度约为cm；②当△APC为等腰三角形时，PC的长度约为cm．。
2020北京中考各区一模数学一次函数汇编及答案
间的部分与线段 ଘ 围成的区域(不含边界)为 .
①当
时，结合函数图象，求区域 内整点的个数;
②若区域 内恰有 1 个整点，直接写出 的取值范围.
2、丰台
21．在平面直角坐标系 xOy 中，一次函数 y=x+4 的图象与 y 轴交于点 A，与反比例函数 y k 的图象的一个交点为 x M.
（1）求点 A 的坐标；
6、密云 22. 如图，在平面直角坐标系 xOy 中，直线 l： y x 1 的图象与反比例函数
y k (x 0) x
的图象交于点 A（3，m）.
（1）求 m、k 的值；
（2）点 P（xp，0）是 x 轴上的一点，过点 P 作 x 轴的垂线，交直线 l 于点 M，交反比
例函数 y k（ x 0 ）的图象于点 N. 横、纵坐标都是整数的点叫做整点．记 y k（ x 0 ）
数海中的小李鱼
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2020 中考冲刺讲义系列
11、通州
汇编是为了找到共性，看出趋势
数海中的小李鱼
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9、延庆 23.在平面直角坐标系 xOy 中，将点 A（2，4）向下平移 2 个单位得到点 C，反比例函数 y m (m≠0)的图象经过点 C，过点 C 作 CB⊥x 轴于点 B.
x (1)求 m 的值；
(2)一次函数 y=kx+b(k<0)的图象经过点 C，交 x 轴于点 D， 线段 CD，BD，BC 围成的区域（不含边界）为 G； 若横、纵坐标都是整数的点叫做整点. ①b=3 时，直接写出区域 G 内的整点个数. ②若区域 G 内没有整点，结合函数图象，确定 k 的取值范围.
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2020 中考冲刺讲义系列
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8、顺义
2020年北京市各城区初三一模数学汇总
顺义区2020届初三第一次统一练习数学试卷一、选择题（本题共16分，每小题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有．．一个．1．港珠澳大桥被英国《卫报》誉为“新世界七大奇迹”之一，它是世界总体跨度最长的跨海大桥，全长55000米．数字55000用科学记数法表示为（A）45.510⨯（B）45510⨯（C）55.510⨯（D）60.5510⨯2．下列有关医疗和倡导卫生的图标中，是轴对称图形的是（A）（B）（C）（D）3．将一副三角板和一个直尺按如图所示的位置摆放，则1∠的度数为（A）60︒（B）65︒（C）75︒（D）85︒4．在数轴上，点A表示数a，将点A向右平移4个单位长度得到点B，点B表示数b．若a b=，则a的值为（A）3-（B）2-（C）1-（D）15．箱子内装有除颜色外均相同的28个白球及2个红球，小芬打算从箱子内摸球，以毎次摸到一球后记下颜色将球再放回的方式摸28次球．若箱子内每个球被摸到的机会相等，且前27次中摸到白球26次及红球1次，则第28次摸球时，小芬摸到红球的概率是（A）12（B）114（C）115（D）1276．已知直线l及直线l外一点P．1如图，（1）在直线l 上取一点A ，连接PA ； （2）作PA 的垂直平分线MN ，分别交直线l ，PA 于点B ，O ；（3）以O 为圆心，OB 长为半径画弧，交直线MN 于另一点Q ；（4）作直线PQ ．根据以上作图过程及所作图形，下列结论中错误的是 （A ）△OPQ ≌△OAB（B ）PQ ∥AB（C ）12APBQ =（D ）若PQ=PA ，则60APQ ∠=︒7．用三个不等式a b >，c d >，a cb d +>+中的两个不等式作为题设，余下的一个不等式作为结论组成一个命题，组成真命题的个数为（A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）38．小明、小聪参加了100m 跑的5期集训，每期集训结束时进行测试，根据他们的集训时间、测试成绩绘制成如下两个统计图．图1 图2根据图中信息，有下面四个推断：①这5期的集训共有56天；②小明5次测试的平均成绩是11.68秒； ③从集训时间看，集训时间不是越多越好，集训时间过长，可能造成劳累，导致成绩下滑；④从测试成绩看，两人的最好成绩都是在第4期出现，建议集训时间定为14天．所有合理推断的序号是（A ）①③ （B ）②④（C ）②③ （D ）①④二、填空题（本题共16分，每小题2分） 926x -x 的取值范围是 ．10．如图，在量角器的圆心O 处下挂一铅锤，制作了一个简易测倾仪，从量角器的点A 处观测，当量角器的0刻度线AB 对准旗杆顶端时，铅垂线对应的度数是50°，则此时观测旗杆顶端的仰角度数是________________.NMB QOAlP10题图 11题图 11．在如图所示的几何体中，主视图、左视图和俯视图完全相同的几何体是 ．（写出所有正确答案的序号）12．化简分式22231x y x y x y x y⎛⎫--÷ ⎪+--⎝⎭的结果为 ．13．如图，将一矩形纸片ABCD 沿着虚线EF 剪成两个全等．．的四边形纸片．根据图中标示的长度与角度，求出剪得的四边形纸片中较短的边AE 的长是 ． 14．已知点(2,3)A -关于x 轴的对称点A '在反比例函数ky x=的图象上，则实数k 的值为 ．15．某同学要统计本校图书馆最受学生欢迎的图书种类，以下是打乱顺序的统计步骤：①从扇形图中分析出最受学生欢迎的种类②去图书馆收集学生借阅图书的记录 ③绘制扇形图来表示各个种类所占的百分比④整理借阅图书记录并绘制频数分布表正确统计步骤的顺序是 ．16．如图，在正方形ABCD 中，4AB =，E 、F 是对角线AC 上的两个动点，且2EF =，P 是正方形四边上的任意一点．若PEF ∆是等边三角形，符合条件的P 点共有 个，此时AE 的长为 ．三、解答题（本题共68分，第17-21题，每小题5分，第22-23题6分，第24题5分，第25-26题，每小题6分，第27-28题，每小题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程． 17．计算：()15tan 30203--+︒--．18．解方程组：2313x y x y +=⎧⎨-=⎩19．已知：关于x 的方程()2220x m x m +--=．．2019年11月，胡润研究院携手知识产权与科创云平台汇桔，联合发布《IP 助燃AI 新纪元—2019中国人工智能产业知识产权发展白皮书》，白皮书公布了2019中国人工智能企业知识产权竞争力百强榜，对500余家中国人工智能主流企业进行定量评估（满分100分），前三名分别为：华为、腾讯、百度．对得分由高到低的前41家企业的有关数据进行收集、整理、描述和分析．下面给出了部分信息： a ．得分的频数分布直方图（数据分成60≤x ＜65，65≤x ＜70，70≤x ＜75，75≤x ＜80，80≤x ＜85，85≤x ＜90，x ＜95，95≤x ≤100，）； MCBADb．知识产权竞争力得分在70≤x＜75这一组的是：70.3 71.6 72.1 72.5 74.1c．41家企业注册所在城市分布图（不完整）如下：（结果保留一位小数）北京53.7%深圳7家上海m家杭州2家广州2家苏州1家合肥1家南京1家d．汉王科技股份有限公司的知识产权竞争力得分是70.3 . （以上数据来源于《IP助燃AI新纪元—2019中国人工智能产业知识产权发展白皮书》）根据以上信息，回答下列问题：（1）汉王科技股份有限公司的知识产权竞争力得分排名是第；（2）百度在人工智能领域取得诸多成果，尤其在智能家居、自动驾驶与服务于企业的智能云领域，百度都已进行前瞻布局，请你估计百度在本次排行榜中的得分大概是；（3）在41家企业注册所在城市分布图中，m= ，请用阴影标出代表上海的区域；（4）下列推断合理的是．（只填序号）①前41家企业的知识产权竞争力得分的中位数应在65≤x＜70这一组中，众数在65≤x＜70这一组的可能性最大；②前41家企业分布于我国8个城市. 人工智能产业的发展聚集于经济、科技、教育相对发达的城市，一线城市中，北京的优势尤其突出，贡献榜单过半的企业，充分体现北京在人工智能领域的产业集群优势.24．如图，D是直径AB上一定点，E，F分别是AD，BD的中点， P是»AB上一动点，连接B APA，PE，PF．已知AB＝6cm，设A，P两点间的距离为x cm，P，E两点间的距离为y1cm，P，F两点间的距离为y2cm．小腾根据学习函数的经验，分别对函数y1，y2随自变量x的变化而变化的规律进行了探究．下面是小腾的探究过程，请补充完整：(1)按照下表中自变量x的值进行取点、画图、测量，分别得到了y1，y2与x的几组对应值：(2)在同一平面直角坐标系xOy中，描出补全后的表中各组数值所对应的点(x，y1)，(x，y2)，并画出函数y1，y2的图象；(3)结合函数图象，解决问题：当△PEF为等腰三角形时，AP的长度约为 cm．25. 已知：在平面直角坐标系xOy中，函数nyx=(n≠ 0，x>0) 的图象过点A(3，2)，与直线l：y kx b=+交于点C，直线l与y轴交于点B(0,-1)．（1）求n、b的值；（2）横、纵坐标都是整数的点叫做整点．记函数nyx=(n≠ 0，x>0) 的图象在点A，C之间的部分与线段BA，BC围成的区域（不含边界）为W．①当直线l过点（2，0）时，直接写出区域W内的整点个数，并写出区域W内的整点的坐标；②若区域W内的整点不少于．．．5．个，结合函数图象，求k的取值范围．26．在平面直角坐标系x O y中，二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点A（0，-4）和B （-2，2）.（1）求c的值，并用含a的式子表示b；（2）当-2<x<0时，若二次函数满足y随x 的增大而减小，求a的取值范围；（3）直线AB上有一点C（m，5），将点C向右平移4个单位长度，得到点D，若抛物线与线段CD只有一个公共点，求a的取值范围．27．已知，如图，△ABC是等边三角形.（1）如图1，将线段AC绕点A逆时针旋转90°，得到AD，连接BD，∠BAC的平分线交BD于点E，连接CE.①求∠AED的度数；②用等式表示线段AE、CE、BD之间的数量关系（直接写出结果）.（2）如图2，将线段AC绕点A顺时针旋转90°，得到AD，连接BD，∠BAC的平分线交DB的延长线于点E，连接CE.①依题意补全图2；②用等式表示线段AE、CE、BD之间的数量关系，并证明.28．已知：点P为图形M上任意一点，点Q为图形N上任意一点，若点P与点Q之间的距离PQ始终满足PQ>0，则称图形M与图形N相离．（1）已知点A（1，2）、B（0，-5）、C（2，-1）、D（3，4）．①与直线y=3x-5相离的点是；②若直线y=3x+b与△ABC相离，求b的取值范围；（2）设直线33+=xy、直线33+-=xy及直线y=-2围成的图形为W，⊙T的半径为1，圆心T的坐标为（t，0），直接写出⊙T与图形W相离的t的取值范围．图1B EDCBA共∴2x =． …………………………………………………… 3分把2x =代入②得1y =-……………………………………… 4分∴原方程组的解是21x y =⎧⎨=-⎩…………………………………… 5分解二：由②得：3x y =+③……………………………………… 1分 把③代入①得2(3)31y y ++=…………………………… 2分解得1y =- …………………………………………… 3分把1y =-代入②得2x = ………………………………… 4分 ∴原方程组的解是21x y =⎧⎨=-⎩…………………………………… 5分19．解：（1）证明：()22224(2)41244(2)b ac m m m m m -=--⨯⋅-=++=+，…1分∵2(2)0m +≥， ∴方程总有实数根．……………………………………………………2分（2）解：∵2(2)2m m x -±+==，∴12222m m x -++==，2222m m x m ---==-．………4分∵方程有一根小于2， ∴-m <2． ∴m >-2．…………………………………………………………5分20．解：（1）作图如图1所示．………… 1分（2）证明：∵AC 平分∠BAM ，∴∠1=∠2．……………2分 ∵AM ∥BC ， ∴∠2=∠3． ∴∠1=∠3． ∴AB =BC ．……………… 3分同理可证：AB =AD ． ∴AD =BC ．MB又∵AD∥BC，∴四边形ABCD是平行四边形．……………………………… 4分∵AB=BC，∴□ABCD是菱形．…………………………………………… 5分21．解：（1）他们点了（10-y）份A套餐，（10-x）份B套餐，（x+y-10）份C套餐（均用含x或y的代数式表示）；…………………………3分（2）若x=6，且A、B、C套餐均至少点了1份，则最多有 5种点餐方案．…………………………………………………………………………5分22．(1)证明：连接OC，∵OB=OC，∠B=45°，∴∠BCO=∠B=45°．∴∠BOC=90°．…………………… 1分∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥DC．∴∠OCD=∠BOC=90°．…………2分∵OC是，∴CD是⊙O的切线．……………… 3分(2)解：连接AC，交BD于点E．∵AB是直径，AB=8，∴∠ACB=90°．∴BC AC==．…………4分∵四边形ABCD是平行四边形，∴12CE AC==∴BE===．………………………………5分∴2BD BE==……………………………6分23．解：（1）汉王科技股份有限公司的知识产权竞争力得分排名是第16； (1)分（2）估计百度在本次排行榜中的得分大概是94；（在90≤x＜95范围内都对）………………………………………………………………………… 2分（3）在41家企业注册所在城市分布图中，m= 5 ， (3)分上海在下图中用阴影标出代表上海的区域：……………… 4分（4）推断合理的是①②．………………………………………………… 6分24．解：（1）表中的所填数值是1.9；…………………………………………… 1分 （2）…………………………2分（3）结合函数图象，解决问题：当△PEF 为等腰三角形时，AP的长度约为 3.5，3.8，4.6 cm ．………………………………………………………………………………5分25．解：（1）∵点A （3，2）在函数ny x=的图象上， ∴n =6．……………………………………………………………… 1分∵点B （0，-1）在直线l ：y kx b =+上，∴b=-1．……………………………………………………………… 2分（）①区域W 内的整点个数为 1 ， …………………………………… 3分区域W 内的整点的坐标为（3，1） ； ……………………………4分②（ⅰ）当直线l 在BA 下方时，若直线l 与x 轴交于点（3，0），结合图象，区域W 内有4个整点， 此时：3k -1=0，∴13k =． 当直线l 与x 轴的交点在（3，0）右侧时，区域W 内整点个数不少于5个，∴ 0<k <13．（ⅱ）当直线l 在BA 上方时，若直线l 过点（1，4），结合图象，区域W 内有4 个整点，此时k -1= 4，解得 k = 5．结合图象，可得 k > 5时，区域W 内整点个数不少于5个，综上，k 的取值范围是0<k <13或k > 5．…………………………………6分26．解：（1）把点A （0，-4）和B （-2，2）分别代入y =ax 2+bx +c 中，得c =-4，…………………………………………………………………1分4a -2b +c =2． ∴b=2a -3．……………………………………………………………2分（2）当a <0时，依题意抛物线的对称轴需满足232a a --≤-2． 解得32-≤a<0．当a >0时，依题意抛物线的对称轴需满足232a a --≥0． 解得 0< a ≤32． ∴a 的取值范围是32-≤a<0或0< a ≤32．………………………………4分（3）可求直线AB 表达式为y =-3x -4，把C （m ，5）代入得m =-3．∴C （-3，5），由平移得D （1，5）． ①当a >0时，若抛物线与线段CD 只有一个公共点，(如图1)，则抛物线上的点（1，a +2a -3-4）在D 点 的下方． ∴a +2a -3-4<5． 解得a <4． ∴0<a <4．②当a <0时，若抛物线的顶点在线段CD 上，则抛物线与线段只有一个公共点．（如图2）∴2454ac b a-=．即()()2442354a a a⨯---=．图1DFD解得3a =-+或3a =--综上，a 的取值范围是0<a <4或3a =-- 6分27．（1）解：①∵△ABC 是等边三角形，∴AB=AC ，∠BAC =60°． ∵AE 平分∠BAC ，∴∠BAE =12∠BAC =30°．由旋转可知：AD=AC ，∠CAD =90°．∴AB=AD ，∠BAD =150°．∴∠ABD =∠D =15°． ∴∠AED =∠ABD +∠BAE =45°．……………………………………2分 ②用等式表示线段AE 、CE 、BD 之 ………………………………………………………………………3分 （2）解：①依题意补全图2．……………………………………………………4分CE 、证明：过点A 作AF ⊥AE ，交ED 的延长线于点F （如图3）．∵△ABC 是等边三角形，∴AB=AC ，∠BAC =60°．∵AE 平分∠BAC ， ∴∠1=12∠BAC = 30°．由旋转可知：AD=AC ，∠CAD =90°．∴AB=AD ，∠2=∠CAD -∠BAC =30°．∴∠3=∠4=75°． ∴∠5=∠4-∠1=45°．DE ABC∵AF⊥AE，∴∠F=45°=∠5．∴AF=AE．∴EF=2AE．∵∠6=∠EAF-∠1-∠2=30°，∴∠6=∠1=30°．又∵∠F=∠5=45°，AD=AB，∴△ADF≌△ABE．∴DF=BE．∵AB=AC，AE平分∠BAC，∴AE垂直平分BC．∴CE=BE．∵BD=EF-DF-BE，∴BD=2AE-2CE．……………………………………………7分28．解：（1）①与直线y=3x-5相离的点是A、C；…………………………… 2分②当直线y=3x+b过点A（1，2）时，3+ b=2．∴b=-1．当直线y=3x+b过点C（2，-1）时，6+ b=-1．∴b=-7．∴b的取值范围是b>-1或b<-7． (4)分（2）t的取值范围是：t<533-或t>53或3-<t<33. …………………… 7分北京市燕山地区2020年初中毕业年级质量监测数学试卷2020年5月考生须知1．本试卷共8页，共三道大题，28道小题。
2020-2021学年北京市各区九年级中考一模数学试卷精选汇编：函数计算及运用专题及答案
函数计算及运用专题东城区22. 已知函数()30y x x=＞的图象与一次函数()20y ax a =-≠的图象交于点A ()3,n . （1）求实数a 的值；(2) 设一次函数()20y ax a =-≠的图象与y 轴交于点B.若点C 在y 轴上，且=2ABC AOB S S △△，求点C 的坐标.22.解：（1）∵点()3,A n 在函数()30y x x=＞的图象上， ∴=1n ，点()3,1A .∵直线()20y ax a =-≠过点()3,1A ， ∴ 321a -= .解得 1a =. ----------------------2分 (2)易求得()0,2B -.如图，12AOB A S OB x =⋅△，1=2ABC A S BC x ⋅△∵=2ABC AOB S S △△， ∴=24BC OB =.∴()10,2C ,或()20,6C -. ----------------------5分西城区22．如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线y x m =+与x 轴的交点为0()4,A -，与y 轴的交点为B ，线段AB 的中点M 在函数ky x=（0k ≠）的图象上 （1）求m ，k 的值;（2）将线段AB 向左平移n 个单位长度（0n >）得到线段CD ，A ，MB 的对应点分别为C ，N ，D ．①当点D 落在函数ky x=（0x <）的图象上时，求n 的值． ②当MD MN ≤时，结合函数的图象，直接写出n 的取值范围．【解析】（1）如图．∵直线y x m =+与x 轴的交点为0()4,A -， ∴4m =．∵直线y x m =+与y 轴的交点为B ， ∴点B 的坐标为(0,4)B ． ∵线段AB 的中点为M ， ∴可得点M 的坐标为(2,2)M -．∵点M 在函数ky x=（0k ≠）的图象上， ∴4k =-．（2）①由题意得点D 的坐标为(,4)D n -， ∵点D 落在函数ky x=（0k ≠）的图象上， ∴44n -=-， 解得1n =．②n 的取值范围是2n ≥．海淀区22．在平面直角坐标系xOy 中，已知点P （2，2），Q （－1，2），函数my x=. （1）当函数my x=的图象经过点P 时，求m 的值并画出直线y x m =+． （2）若P ，Q 两点中恰有一个点的坐标（x ，y ）满足不等式组,m y xy x m⎧>⎪⎨⎪<+⎩（m ＞0），求m 的取值范围．22．解：（1）∵函数my x=的图象经过点()22P ，， ∴2=2m，即4m =． ………………1分 图象如图所示. ………………2分（2）当点()22P ，满足,m y xy x m⎧>⎪⎨⎪<+⎩（m ＞0）时， 解不等式组2222m m⎧>⎪⎨⎪<+⎩，得04m <<． ………………3分 当点()12Q -，满足,m y xy x m⎧>⎪⎨⎪<+⎩（m ＞0）时， 解不等式组221m m >-⎧⎨<-+⎩，得3m >． ………………4分∵P Q ，两点中恰有一个点的坐标满足,m y xy x m⎧>⎪⎨⎪<+⎩（m ＞0）， ∴m 的取值范围是：03m <≤，或4m ≥． ………………5分丰台区22．在平面直角坐标系xOy 中，反比例函数2y x=的图象与一次函数y kx b =+的图象的交点分别为 P(m ，2)，Q(-2，n). （1）求一次函数的表达式；（2）过点Q 作平行于y 轴的直线，点M 为此直线上的一点，当MQ = PQ 时，直接写出点M的坐标.22．（1）解： ∵反比例函数2y x=的图象经过点(,2)P m ，Q(-2，n)， ∴1m =，1n =-．∴点P ，Q 的坐标分别为(1，2)，(-2，-1). …….…….…….……2分 ∵一次函数y kx b =+的图象经过点P(1，2)，Q(-2，-1)，∴2,2 1.k b k b +=⎧⎨-+=-⎩ 解得1,1.k b =⎧⎨=⎩ ∴一次函数的表达式为1y x =+． .…….…….…….……3分 （2）点M 的坐标为（-2，）或（-2，）……………5分石景山区22．在平面直角坐标系xOy 中，函数a y x=（0x >）的图象与直线1l y x b =+：交于点(3,2)A a -．（1）求a ，b 的值；（2）直线2l y x m =-+：与x 轴交于点B ，与直线1l 交于点C ，若S △ABC 6≥，求m 的取值范围．22．解：（1）∵函数()0a y x x=>的图象过点()3,2A a -，∴23a a -=，解得3a =． ………………1分∵直线1l y x b =+：过点()3,1A ,∴2b =-． ………………2分 （2）设直线2y x =-与x 轴交于点D ，则(2,0)D ， 直线y x m =-+与x 轴交于点(,0)B m ，与直线y x b =+交于点22(,)22m m C +-． ①当S △ABC =S △BCD +S △ABD =6时，如图1. 可得211(2)(242m m -+- 解得2m =-，8m =②当S △ABC =S △BCD -S △ABD =6时，如图2. 可得211(2)(2)1642m m ---⨯=， 解得8m =，2m =-（舍）.综上所述，当8m ≥或2m -≤时，S △ABC 6≥. ………………5分朝阳区22. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线AB 与x 轴、y 轴分别交于点A 、B ，与反比例函数xky =的图象在第四象限交于点C ，CD ⊥x 轴于点D ，tan ∠OAB ＝2，OA ＝2，OD ＝1． （1）求该反比例函数的表达式；（2）点M 是这个反比例函数图象上的点，过点M作MN ⊥y 轴，垂足为点N ，连接OM 、AN ，如果 S △ABN ＝2S △OMN ，直接写出点M 的坐标.22. 解：（1）∵AO ＝2，OD ＝1，∴AD ＝AO+ OD ＝3. ………………………………………………1分 ∵CD ⊥x 轴于点D ， ∴∠ADC ＝90°.在Rt △ADC 中，6tan =∠⋅=OAB AD CD ..∴C （1，－6）. ……………………………………………………2分 ∴该反比例函数的表达式是xy 6-=. ……………………………………3分 （2）点M 的坐标为（－3,2）或（53，－10）. ……………………5分 ∴OM 27=215 OM=715∴⊙O 的半径是715…………………………………6′ 门头沟区20. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，一次函数y x =与反比例函数ky x=（k ≠0）的图象相交于点)A a .（1）求a 、k 的值；（2）直线x=b （0b >）分别与一次函数y x =、反比例函数ky x=的图象相交于点M 、N ， 当MN=2时,画出示意图并直接写出b 的值.20．（本小题满分5分） （1）∵直线y x =与双曲线ky x=（k ≠0）相交于点)A a .∴a =1分∴A∴，解得3k =………………………2分 （2）示意图正确………………………………3分 3b =或1 ………………………………5分大兴区22．如图，点A 是直线2y x =与反比例函数1m y x-=（m 为常数）的图象的交点．过点A 作x 轴的垂线，垂足为B ，且OB =2． （1）求点A 的坐标及m 的值；(2)已知点P (0，n) (0＜n ≤8) ，过点P 作平行于x 轴的直线，交直线2y x =于点C 11(,)x y , 交反比例函数1m y x-=（m 为常数）的图象于点D 22(,)x y ,交垂线AB 于点E 33(,)x y , 若231x x x <<，结合函数的图象，直接写出123++x x x 的取值范围．22．（1）解：由题意得，可知点A 的横坐标是2，……………………1分由点A 在正比例函数2y x =的图象上，∴点A 的坐标为（2，4）……………………………………2分又Q 点A 在反比例函数1m y x-=的图象上，142m -∴=，即9m =．……………………………………… 3分（2）6<x 1+x 2+x 3≤7 ……………………………………………… 5分平谷区22．如图，在□ABCD 中，BF 平分∠ABC 交AD 于点F ，AE ⊥BF 于点O ，交BC 于点E ，连接EF ． （1）求证：四边形ABEF 是菱形；（2）连接CF ，若∠ABC=60°， AB= 4，AF =2DF ，求CF 的长．ODF22．（1）证明：∵BF平分∠ABC，∴∠ABF=∠CBF． (1)∵□ABCD，∴AD∥BC．∴∠ABF=∠AFB．∴AB=AF．∵AE⊥BF，∴∠ABF+∠BAO=∠CBF+∠BEO=90°．∴∠BAO=∠BEO．∴AB=BE．∴AF=BE．∴四边形ABEF是平行四边形．∴□ABEF是菱形． (2)（2）解：∵AD=BC，AF=BE，∴DF=CE．∴BE=2CE．∵AB=4，∴BE=4．∴CE=2．过点A 作AG ⊥BC 于点G ． (3)∵∠ABC=60°，AB=BE ， ∴△ABE 是等边三角形． ∴BG=GE=2．∴AF=CG=4． ························ 4 ∴四边形AGCF 是平行四边形． ∴□AGCF 是矩形． ∴AG=CF ．在△ABG 中，∠ABC=60°，AB=4， ∴AG= ∴CF=怀柔区22．在平面直角坐标系xOy 中,一次函数y=kx+b 的图象与y 轴交于点B （0,1），与反比例函数xmy 的图象交于点A(3，-2).(1)求反比例函数的表达式和一次函数表达式；(2)若点C 是y 轴上一点，且BC=BA ，直接写出点C 的坐标.yx–1–2–3–4–512345–1–2–3–4–512345O22．(1)∵双曲线x m y =过A （3，-2），将A （3，-2）代入xm y =， 解得：m= -6.∴所求反比例函数表达式为: y=x6-. …………………………………1分 ∵点A （3，-2）点B （0,1）在直线y=kx+b 上，∴-2=3k+1. …………………………………………………………………………………2分 ∴k=-1.∴所求一次函数表达式为y=-x+1. …………………………………………………………3分 (2)C(0，123+ )或 C(0，231- ). ……………………………………………………5分延庆区22．在平面直角坐标系xOy 中，直(0)y kx b k =+≠ 与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，与反比例函数(0)my m x=≠的图象在第一象限交于点P （1，3），连接OP ． （1）求反比例函数(0)my m x=≠的表达式； （2）若△AOB 的面积是△POB 的面积的2倍，求直线y kx b =+的表达式．-1-2-3-3-2-1y123456x54321O22．（1）3y x……1分 （2） 如图22（1）：∵∴OA=2PE=2∴A （2,0） ……2分 将A （2,0），P （1,3）代入y=kx+b可得∴ ……3分 图22（1）∴直线AB 的表达式为：y=-3x+6同理：如图22（2）直线AB 的表达式为：y=x+2 ……4分 综上：直线AB 的表达式为y=-3x+6或y=x+2 ……5分图22（2）顺义区22．如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线24y x =+与双曲线ky x=（k ≠0）相交于A （-3，a ），B 两点． （1）求k 的值；（2）过点P （0，m ）作直线l ，使直线l 与y 轴垂直，直线l 与直线AB 交于点M ，与双曲线ky x=交于点N ，若点P 在点M 与点N 之间，直接写出m 的取值范围．22．解：（1）∵点A （-3，a ）在直线24y x =+上，∴2(3)42a =⨯-+=-．∴点A 的坐标为（-3，-2）． …………………………………… 1分 ∵点A （-3，-2）在双曲线ky x=上， ∴23k-=-， ∴6k =． …………………………………… 3分（2）m 的取值范围是 04m <<． ……………………………… 5分。
2020年北京市大兴区高考数学一模试卷 (解析版)
2020年高考数学一模试卷一、选择题（共10小题）1．在复平面内，对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．已知集合A＝{x|x＝2k，k∈Z}，B＝{x|﹣2≤x≤2}，则A∩B＝（）A．[﹣1，1]B．[﹣2，2]C．{0，2}D．{﹣2，0，2} 3．已知等差数列{a n}的前n项和为S n，a2＝0，a4＝1，则S4等于（）A．B．1C．2D．34．下列函数中，在区间（0，+∞）上单调递增且存在零点的是（）A．y＝e x B．C．D．y＝（x﹣1）2 5．在（x﹣2）n的展开式中，只有第三项的二项式系数最大，则含x项的系数等于（）A．﹣32B．﹣24C．8D．46．若抛物线y2＝4x上一点M到其焦点的距离等于2，则M到其顶点O的距离等于（）A．B．2C．D．37．已知数列{a n}是等比数列，它的前n项和为S n，则“对任意n∈N*，a n＞0”是“数列{S n}为递增数列”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件8．某四棱锥的三视图如图所示，如果方格纸上小正方形的边长为1，那么该几何体的最长棱的棱长为（）A．3B．C．D．9．已知函数（ω＞0）．若关于x的方程f（x）＝1在区间[0，π]上有且仅有两个不相等的实根，则ω的最大整数值为（）A．3B．4C．5D．610．如图，假定两点P，Q以相同的初速度运动．点Q沿直线CD作匀速运动，CQ＝x；点P沿线段AB（长度为107单位）运动，它在任何一点的速度值等于它尚未经过的距离（PB ＝y）．令P与Q同时分别从A，C出发，那么，定义x为y的纳皮尔对数，用现在的数学符号表示x与y的对应关系就是，其中e为自然对数的底．当点P从线段AB的三等分点移动到中点时，经过的时间为（）A．ln2B．ln3C．D．二、填空题共5小题，每小题5分，共25分．11．已知向量（﹣1，1），（2，t），若∥，则t＝．12．若函数f（x）＝cos2x﹣sin2x在区间[0，m]上单调减区间，则m的一个值可以是．13．若对任意x＞0，关于x的不等式恒成立，则实数a的范围是．14．已知A（a，r），B（b，s）为函数y＝log2x图象上两点，其中a＞b．已知直线AB的斜率等于2，且，则a﹣b＝；．15．在直角坐标系xOy中，双曲线（a＞0，b＞0）的离心率e＞2，其渐近线与圆x2+（y﹣2）2＝4交x轴上方于A，B两点，有下列三个结论：①；②存在最大值；③．则正确结论的序号为．三、解答题共6题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．16．在△ABC中，c＝1，，且△ABC的面积为．（Ⅰ）求a的值；（Ⅱ）若D为BC上一点，且______，求sin∠ADB的值．从①AD＝1，②这两个条件中任选一个，补充在上面问题中并作答．17．为了调查各校学生体质健康达标情况，某机构M采用分层抽样的方法从A校抽取了m 名学生进行体育测试，成绩按照以下区间分为七组：[30，40），[40，50），[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]，并得到如下频率分布直方图．根据规定，测试成绩低于60分为体质不达标．已知本次测试中不达标学生共有20人．（Ⅰ）求m的值；（Ⅱ）现从A校全体同学中随机抽取2人，以频率作为概率，记X表示成绩不低于90分的人数，求X的分布列及数学期望；（Ⅲ）另一机构N也对该校学生做同样的体质达标测试，并用简单随机抽样方法抽取了100名学生，经测试有20名学生成绩低于60分．计算两家机构测试成绩的不达标率，你认为用哪一个值作为对该校学生体质不达标率的估计较为合理，说明理由．18．如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB＝AC＝BC＝AA1，∠BCC1＝60°，平面ABC⊥平面BCC1B1，D是BC的中点，E是棱A1B1上一动点．（Ⅰ）若E是棱A1B1的中点，证明：DE∥平面ACC1A1；（Ⅱ）求二面角C1﹣CA﹣B的余弦值；（Ⅲ）是否存在点E，使得DE⊥BC1，若存在，求出E的坐标，若不存在，说明理由．19．已知椭圆的离心率为，且经过点（2，0），一条直线l与椭圆C交于P，Q两点，以PQ为直径的圆经过坐标原点O．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）求证：为定值．20．已知函数．（Ⅰ）若a＝1，求曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）求证：函数f（x）有且只有一个零点．21．已知数列a1，a2，…，a10满足：对任意的i，j∈{1，2，3，4，5，6，7，8，9，10}，若i≠j，则a i≠a j，且a i∈{1，2，3，4，5，6，7，8，9，10}，设集合A＝{a i+a i+1+a i+2|i ＝1，2，3，4，5，6，7，8}，集合A中元素最小值记为m（A），集合A中元素最大值记为n（A）．（Ⅰ）对于数列：10，6，1，2，7，8，3，9，5，4，写出集合A及m（A），n（A）；（Ⅱ）求证：m（A）不可能为18；（Ⅲ）求m（A）的最大值以及n（A）的最小值．参考答案一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．在复平面内，对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【分析】利用复数的运算法则、几何意义即可得出．解：在复平面内，复数1﹣i对应的点（1，﹣1）位于第四象限．故选：D．【点评】本题考查了复数的运算法则、几何意义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．2．已知集合A＝{x|x＝2k，k∈Z}，B＝{x|﹣2≤x≤2}，则A∩B＝（）A．[﹣1，1]B．[﹣2，2]C．{0，2}D．{﹣2，0，2}【分析】分别求得集合A、B，利用交集定义直接求解．解：∵集合A＝{x|x＝2k，k∈Z}，B＝{x|﹣2≤x≤2}，A∩B＝{﹣2，0，2}．故选：D．【点评】本题考查交集的求法，考查交集定义等基础知识，考查推理能力与计算能力，属于基础题．3．已知等差数列{a n}的前n项和为S n，a2＝0，a4＝1，则S4等于（）A．B．1C．2D．3【分析】利用等差数列通项公式列出方程组，求出a1，d，由此能求出S4．解：∵等差数列{a n}的前n项和为S n，a2＝0，a4＝1，∴，解得a1，d，∴S4＝41．故选：B．【点评】本题考查等差数列的前4项和的求法，考查等差数列的性质等基础知识，考查推理论证能力能力与运算求解能力，属于基础题．4．下列函数中，在区间（0，+∞）上单调递增且存在零点的是（）A．y＝e x B．C．D．y＝（x﹣1）2【分析】根据基本初等函数的图象与性质，零点的含义，以及函数图象的变换法则，逐一判断每个选项即可．解：函数y＝e x＞0恒成立，不存在零点，即A不符合题意；函数恒成立，不存在零点，即B不符合题意；函数在（0，+∞）上单调递增，且当x＝1时，y＝0，所以函数的零点为x＝1，即C正确；函数y＝（x﹣1）2在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增，即D不符合题意．故选：C．【点评】本题考查函数的单调性和零点问题，熟练掌握基本初等函数的图象与性质是解题的关键，属于基础题．5．在（x﹣2）n的展开式中，只有第三项的二项式系数最大，则含x项的系数等于（）A．﹣32B．﹣24C．8D．4【分析】根据n为偶数是，只有中间一项的二项式系数最大，由此求出n的值，然后再利用通项求出含x的项的系数．解：由已知得：n为偶数，且，故n＝4．所以该二项式为（x﹣2）4，所以展开式的通项为，令4﹣k＝1得k＝3，故该项的系数为．故选：A．【点评】本题考查二项式展开式中二项式系数的性质以及通项的应用，属于基础题．6．若抛物线y2＝4x上一点M到其焦点的距离等于2，则M到其顶点O的距离等于（）A．B．2C．D．3【分析】设M的坐标，由抛物线的性质可得，到焦点的距离等于到准线的距离，求出M 的横坐标，代入抛物线的方程可得M的纵坐标，进而求出M到顶点的距离．解：设M（x0，y0），由抛物线的方程可得焦点F（1，0），准线方程为：x＝﹣1，由抛物线的性质可得x0+1＝2，所以x0＝1，代入抛物线的方程可得|y|＝2，即M（1，±2），所以|OM|，故选：C．【点评】本题考查抛物线的性质，属于中档题．7．已知数列{a n}是等比数列，它的前n项和为S n，则“对任意n∈N*，a n＞0”是“数列{S n}为递增数列”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【分析】“对任意n∈N*，a n＞0”⇒“数列{S n}为递增数列”，“数列{S n}为递增数列”⇒“对任意n∈N*，a n＞0”，由此能求出结果．解：∵数列{a n}是等比数列，它的前n项和为S n，“对任意n∈N*，a n＞0”⇒“数列{S n}为递增数列”，“数列{S n}为递增数列”⇒“对任意n∈N*，a n＞0”，∴“对任意n∈N*，a n＞0”是“数列{S n}为递增数列”的充要条件．故选：C．【点评】本题考查充分条件、必要条件、充要条件的判断，考查等比数列的性质等基础知识，考查推理能力与计算能力，属于基础题．8．某四棱锥的三视图如图所示，如果方格纸上小正方形的边长为1，那么该几何体的最长棱的棱长为（）A．3B．C．D．【分析】首先把三视图转换为直观图，进一步求出几何体的最大棱长．解：根据几何体的三视图转换为直观图如下：该几何体为四棱锥体E﹣ABCD，所以该几何体的最长的棱长为DE．故选：D．【点评】本题考查的知识要点：三视图和直观体之间的转换，直观图的棱长的求法及应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．9．已知函数（ω＞0）．若关于x的方程f（x）＝1在区间[0，π]上有且仅有两个不相等的实根，则ω的最大整数值为（）A．3B．4C．5D．6【分析】当x∈[0，π]时，ωx∈[，ωπ]；根据条件关于x的方程f（x）＝1在区间[0，π]上有且仅有两个不相等的实根，结合正弦函数的图象，得ωπ，解得ω，即可得满足条件的ω的最大整数．解：当x∈[0，π]时，ωx∈[，ωπ]；∵关于x的方程f（x）＝1在区间[0，π]上有且仅有两个不相等的实根，结合正弦函数的图象，得ωπ，解得ω，可得满足条件的ω的最大整数为4．故选：B．【点评】本题考查了正弦函数的图象与性质，整体法思想与数形结合的思想方法，属于基础题．10．如图，假定两点P，Q以相同的初速度运动．点Q沿直线CD作匀速运动，CQ＝x；点P沿线段AB（长度为107单位）运动，它在任何一点的速度值等于它尚未经过的距离（PB ＝y）．令P与Q同时分别从A，C出发，那么，定义x为y的纳皮尔对数，用现在的数学符号表示x与y的对应关系就是，其中e为自然对数的底．当点P从线段AB的三等分点移动到中点时，经过的时间为（）A．ln2B．ln3C．D．【分析】易知，它们的初速度相等，故Q点的速度为107，然后可以根据，求出P在中点、分点时的x，则Q点移动的距离可求，结合速度，时间可求．解：由题意，P点初始速度107即为Q点的速度．当P在靠近A点的三等分点时：，解得：x，当P在二等分点时：，解得：x＝107ln2，所以经过的时间为：．故选：D．【点评】本题考查对数的计算和指数式和对数式的互化，要注意对题意的准确理解．属于基础题．二、填空题共5小题，每小题5分，共25分．11．已知向量（﹣1，1），（2，t），若∥，则t＝﹣2．【分析】由向量平行的充要条件可得：﹣1×2﹣1×t＝0，解之即可．解：∵向量（﹣1，1），（2，kt），且∥，∴﹣1×2﹣1×t＝0，解得t＝﹣2故答案为：﹣2【点评】本题考查平行向量与共线向量，属基础题．12．若函数f（x）＝cos2x﹣sin2x在区间[0，m]上单调减区间，则m的一个值可以是1．【分析】由已知利用二倍角的余弦函数公式可求f（x）＝cos2x，利用余弦函数的单调性可求函数的单调递减区间，结合已知可得，k∈Z，解得k＝0时，m，即可求解．解：∵f（x）＝cos2x﹣sin2x＝cos2x，令2kπ≤2x≤2kπ+π，k∈Z，解得kπ≤x≤kπ，k∈Z，∴函数f（x）＝cos2x﹣sin2x的单调递减区间为：[kπ，kπ]，k∈Z，∵函数在区间[0，m]上单调递减，∴，k∈Z，解得k＝0时，m，∴可得0＜m．故答案为：1．【点评】本题主要考查了二倍角的余弦函数公式，余弦函数的单调性，考查了转化思想和函数思想，属于基础题．13．若对任意x＞0，关于x的不等式恒成立，则实数a的范围是（﹣∞，2]．【分析】利用基本不等式求出的最小值，只需a不大于其最小值即可．解：∵x＞0，∴22，当且仅当x＝1时取等号，又恒成立，∴a ≤2．故答案为：（﹣∞，2]．【点评】本题主要考查基本不等式的应用，属于基础题．14．已知A（a，r），B（b，s）为函数y＝log2x图象上两点，其中a＞b．已知直线AB的斜率等于2，且，则a﹣b＝1；4．【分析】利用对数性质、直线的斜率公式、两点间距离公式列出方程组，能求出a，b，s，r，由此能求出结果．解：∵A（a，r），B（b，s）为函数y＝log2x图象上两点，其中a＞b．直线AB的斜率等于2，且，∴，解得a，b，s＝﹣log23，r＝2﹣log23，∴a﹣b＝1，．故答案为：1，4．【点评】本题考查两数差与两数商的求法，考查对数性质、直线的斜率公式、两点间距离公式等基础知识，考查推理能力与计算能力，属于基础题．15．在直角坐标系xOy中，双曲线（a＞0，b＞0）的离心率e＞2，其渐近线与圆x2+（y﹣2）2＝4交x轴上方于A，B两点，有下列三个结论：①；②存在最大值；③．则正确结论的序号为①③．【分析】由离心率e＞2⇒b2＞3a2，进而得出渐近线与x轴的夹角α的取值范围，然后求出2、2、，再研究结论的正确与否，选出正确序号即可．解：由题意可得e2，可得c2＞4a2，∵c2＝a2+b2，∴b2＞3a2，所以渐近线的斜率k，设渐近线与x轴的夹角为α，所以tanα，α，所以两条渐近线的夹角为θ，则θ＝2（α）＝π﹣2α，所以θ∈（0，）∴cos，0，所以①正确；∵||，而22＝[4cos（）]2＝16sin2α，||•||•cosθ＝16sin2α•（1﹣2cos2α），∴4sin2α，α，无最大值，所以②错误；又||8sin2α＞8×sin26，所以③正确；故答案为：①③．【点评】本题主要考查以圆锥曲线为素材研究向量的运算，属于中档题．三、解答题共6题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．16．在△ABC中，c＝1，，且△ABC的面积为．（Ⅰ）求a的值；（Ⅱ）若D为BC上一点，且______，求sin∠ADB的值．从①AD＝1，②这两个条件中任选一个，补充在上面问题中并作答．【分析】（Ⅰ）根据三角形的面积公式求出b的值，再利用余弦定理求得a；（Ⅱ）选①时，利用正弦定理求出sin B，从而求得sin∠ADB．选②时，利用余弦定理求出cos B，从而求得sin∠ADB．解：（Ⅰ）由于c＝1，，S△ABC bc sin A b•1•sin，解得b＝2；由余弦定理得a2＝b2+c2﹣2bc cos A，解得；（Ⅱ）若选①，则当AD＝1时，在△ABC中，由正弦定理，即，所以；因为AD＝AB＝1，所以∠ADB＝∠B；所以sin∠ADB＝sin B，即．若选②，则当∠CAD＝30°时，在△ABC中，由余弦定理知，．因为A＝120°，所以∠DAB＝90°，所以，所以sin∠ADB＝cos B，即．【点评】本题考查了解三角形的应用问题，也考查了运算求解能力，是中档题．17．为了调查各校学生体质健康达标情况，某机构M采用分层抽样的方法从A校抽取了m 名学生进行体育测试，成绩按照以下区间分为七组：[30，40），[40，50），[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]，并得到如下频率分布直方图．根据规定，测试成绩低于60分为体质不达标．已知本次测试中不达标学生共有20人．（Ⅰ）求m的值；（Ⅱ）现从A校全体同学中随机抽取2人，以频率作为概率，记X表示成绩不低于90分的人数，求X的分布列及数学期望；（Ⅲ）另一机构N也对该校学生做同样的体质达标测试，并用简单随机抽样方法抽取了100名学生，经测试有20名学生成绩低于60分．计算两家机构测试成绩的不达标率，你认为用哪一个值作为对该校学生体质不达标率的估计较为合理，说明理由．【分析】（Ⅰ）由频率分布直方图，低于60分的概率为0.1，由频率与频数的关系求出m；（II）每位学生成绩不低于90分的频率为0.01×10＝0.1，由已知，X的所有可能取值为0，1，2，求出X的分布列和数学期望；（III）机构M抽测的不达标率为，机构N抽测的不达标率为，结合概率知识判断写出理由即可．解：（Ⅰ）由频率分布直方图知，低于60分的概率为（0.002+0.002+0.006）×10＝0.1，由m×0.1＝20，解得m＝200；（Ⅱ）由图知，每位学生成绩不低于90分的频率为0.01×10＝0.1，由已知，X的所有可能取值为0，1，2，则，，，所以X的分布列为X012P0.810.180.01所以E（X）＝0×0.81+1×0.18+2×0.01＝0.2，（Ⅲ）机构M抽测的不达标率为，机构N抽测的不达标率为，（以下答案不唯一，只要写出理由即可）①用机构M测试的不达标率0.1估计A校不达标率较为合理，理由：机构M选取样本时使用了分层抽样方法，样本量也大于机构N，样本更有代表性，所以能较好反映了总体的分布．②没有充足的理由否认机构N的成绩更合理，理由：尽管机构N的样本量比机构M少，但由于样本的随机性，不能排除样本较好的反映了总体的分布，所以没有充足的理由否认机构N的成绩更合理．【点评】本题考查了频率分布直方图的应用，考查了离散型随机变量的分布列和数学期望，考查运算能力，中档题．18．如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB＝AC＝BC＝AA1，∠BCC1＝60°，平面ABC⊥平面BCC1B1，D是BC的中点，E是棱A1B1上一动点．（Ⅰ）若E是棱A1B1的中点，证明：DE∥平面ACC1A1；（Ⅱ）求二面角C1﹣CA﹣B的余弦值；（Ⅲ）是否存在点E，使得DE⊥BC1，若存在，求出E的坐标，若不存在，说明理由．【分析】（Ⅰ）取A1C1中点为P，连结CP，EP，推导出CDEP为平行四边形，CP∥DE．由此能证明DE∥平面ACC1A1．（Ⅱ）连结C1D、AD，推导出DC1，DA，DB两两垂直．建立直角坐标系D﹣xyz，利用向量法能求出二面角C1﹣CA1﹣B的余弦值．（Ⅲ）设，则，，，，假设DE⊥BC1，则，解得λ＝2，由此推导出不存在点E，使得DE⊥BC1．【解答】（Ⅰ）证明：取A1C1中点为P，连结CP，EP，在△A1B1C1中，因为E、P为A1B1、A1C1的中点，所以EP∥B1C1且．又因为D是BC的中点，，所以EP∥BC且EP＝CD，所以CDEP为平行四边形，所以CP∥DE．又因为DE⊄平面ACC1A1，CP⊂平面ACC1A1，所以DE∥平面ACC1A1．（Ⅱ）解：连结C1D、AD，因为△ABC是等边三角形，D是BC的中点，所以AD⊥BC，因为BC＝AA1＝CC1，∠BCC1＝60°，所以C1D⊥BC．因为平面ABC⊥平面BCC1B1，平面ABC∩平面BCC1B1＝BC，C1D⊂平面BCC1B1，所以C1D⊥平面ABC，所以DC1，DA，DB两两垂直．如图，建立空间直角坐标系D﹣xyz，则，C（0，﹣1，0），，，设平面ACC1的法向量为（x，y，z），则，即，令x＝1，得（1，，1）．平面ABC的法向量为，cos，．又因为二面角C1﹣CA1﹣B为锐二面角，所以二面角C1﹣CA1﹣B的余弦值为．（Ⅲ）解：，，设，则，所以，，所以，假设DE⊥BC1，则，解得λ＝2，这与已知0≤λ≤1矛盾．故不存在点E，使得DE⊥BC1．【点评】本题考查线面平行的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查满足线线垂直的点是否存在的判断与求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理能力与计算能力，属于中档题．19．已知椭圆的离心率为，且经过点（2，0），一条直线l与椭圆C交于P，Q两点，以PQ为直径的圆经过坐标原点O．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）求证：为定值．【分析】（Ⅰ）首先利用椭圆的离心率和椭圆经过的点的坐标求出a和c的值，最后求出b，进一步求出椭圆的方程．（Ⅱ）利用分类讨论思想的应用①假设直线的斜率不存在求出结果为定值，②当直线的斜率存在时，建立直线和椭圆的方程组，进一步利用一元二次方程根和系数关系式的应用求出结果为定值．解：（Ⅰ）因为椭圆经过点（2，0），所以a＝2，又因为，则c＝1由b2＝a2﹣c2，得b2＝3，所以椭圆的标准方程为．（Ⅱ）方法一：因为以PQ为直径的圆过坐标原点O，所以OP⊥OQ．①若直线OP的斜率不存在，则P为椭圆与y轴交点，Q为椭圆与x轴交点，因此|OP|2＝b2＝3，|OQ|2＝a2＝4，则．②若直线OP的斜率存在且为0，则P为椭圆与x轴交点，Q为椭圆与y轴交点，因此|OP|2＝a2＝4，|OQ|2＝b2＝3，则．③若直线OP的斜率存在且不为0，可设直线OP方程为y＝kx（k≠0），则直线OQ的方程为．联立，得，即，，即，同理，，则．方法二：①若直线l的斜率存在时，设l：y＝kx+m，与椭圆方程联立得：，有（3+4k2）x2+8kmx+4m2﹣12＝0，由题意，△＞0，设P（x1，y1），Q（x2，y2），所以，．因为以PQ为直径的圆过原点O，由OP⊥OQ，得x1x2+y1y2＝0，即x1x2+（kx1+m）（kx2+m）＝0，整理得，12（1+k2）＝7m2，而．设h为O到l的距离，则|OP|•|OQ|＝|PQ|•h所以，而，所以．②若直线l的斜率不存在，则有k OP＝±1，不妨设k OP＝1，设P（x1，y1），有x1＝y1，代入椭圆方程得，，，即，综上．【点评】本题考查的知识要点：椭圆的方程的求法和应用，直线和椭圆的位置关系的应用，一元二次方程根和系数关系式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中档题．20．已知函数．（Ⅰ）若a＝1，求曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）求证：函数f（x）有且只有一个零点．【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，然后分别求出x＝1时的函数值、导数值，利用点斜式即可求切线方程；（Ⅱ）函数f（x）有且只有一个零点，可转化为在（0，+∞）上只有一个零点，可通过研究g（x）的单调性、极值的符号结合零点存在性定理求解．解：（Ⅰ）当a＝1时，函数，x＞0，所以，，，所以函数y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程是3x﹣4y﹣5＝0．（Ⅱ）函数的定义域为（0，+∞），要使函数f（x）有且只有一个零点，只需方程（x+1）lnx﹣ax＝0有且只有一个根，即只需关于x的方程在（0，+∞）上有且只有一个解．设函数，则，令h（x）＝x+1﹣lnx，则，由h'（x）＝0，得x＝1．x（0，1）1（1，+∞）h'（x）﹣0+h（x）单调递减极小值单调递增由于h（x）min＝h（1）＝2＞0，所以g'（x）＞0，所以在（0，+∞）上单调递增，又g（1）＝﹣a，，①当a＝0时，g（1）＝0，函数g（x）在（0，+∞）有且只有一个零点，②当a≠0时，由于，所以存在唯一零点．综上所述，对任意的a∈一、选择题函数y＝f（x）有且只有一个零点．【点评】本题考查了函数的零点的判断方法，导数在研究函数单调性、极值中的应用．同时考查学生利用函数与方程思想、转化与化归思想解决问题的能力，同时考查了学生的运算能力．属于中档题．21．已知数列a1，a2，…，a10满足：对任意的i，j∈{1，2，3，4，5，6，7，8，9，10}，若i≠j，则a i≠a j，且a i∈{1，2，3，4，5，6，7，8，9，10}，设集合A＝{a i+a i+1+a i+2|i＝1，2，3，4，5，6，7，8}，集合A中元素最小值记为m（A），集合A中元素最大值记为n（A）．（Ⅰ）对于数列：10，6，1，2，7，8，3，9，5，4，写出集合A及m（A），n（A）；（Ⅱ）求证：m（A）不可能为18；（Ⅲ）求m（A）的最大值以及n（A）的最小值．【分析】（Ⅰ）A＝{17，9，10，18，20}，m（A）＝9，n（A）＝20．（Ⅱ）假设m（A）≥18，设S＝（a1+a2+a3）+（a4+a5+a6）+（a7+a8+a9）+a10＝55，则S＝55≥3m（A）+a10＝3×18+a10，从而推导出a10＝1，同理推出a1＝1，a i（i＝1，2，…，10）中有两个元素为1，与题设矛盾，从而m（A）不可能为18．（Ⅲ）由m（A）＜18，得m（A）＝17是可能的．当m（A）＝17时，推导出a10≤4，a7≤4．同理可得：a i≤4（i＝1，4，7，10）．对于数列：1，6，10，2，7，8，3，9，5，4，A＝{17，18，19，20}，m（A）＝17，n（A）＝20，从而m（A）的最大值为17；假设n（A）≤15．推导出a1＝10．a4＝10，矛盾，假设不成立，从而n（A）≥16．从而n（A）的最小值为16．解：（Ⅰ）解：∵数列：10，6，1，2，7，8，3，9，5，4，对任意的i，j∈{1，2，3，4，5，6，7，8，9，10}，i≠j，则a i≠a j，且a i∈{1，2，3，4，5，6，7，8，9，10}，设集合A＝{a i+a i+1+a i+2|i＝1，2，3，4，5，6，7，8}，集合A中元素最小值记为m（A），集合A中元素最大值记为n（A）．∵10+6+1＝17，6+1+2＝9，1+2+7＝10，2+7+8＝17，7+8+3＝18，8+3+9＝20，3+9+5＝17，9+5+4＝18，∴A＝{17，9，10，18，20}，m（A）＝9，n（A）＝20．（Ⅱ）证明：假设m（A）≥18，设S＝（a1+a2+a3）+（a4+a5+a6）+（a7+a8+a9）+a10＝55，则S＝55≥3m（A）+a10＝3×18+a10，即a10≤1，因为a i≥1（i＝1，2，3，…，10），所以a10＝1，同理，设S＝a1+（a2+a3+a4）+（a5+a6+a7）+（a8+a9+a10）＝55，可以推出a1＝1，a i（i＝1，2，…，10）中有两个元素为1，与题设矛盾，故假设不成立，m（A）不可能为18．（Ⅲ）解：m（A）的最大值为17，n（A）的最小值为16．①首先求m（A），由（Ⅱ）知m（A）＜18，而m（A）＝17是可能的．当m（A）＝17时，设S＝（a1+a2+a3）+（a4+a5+a6）+（a7+a8+a9）+a10＝55，则S＝55≥3m（A）+a10＝3×17+a10，即a10≤4，又S＝（a1+a2+a3）+（a4+a5+a6）+a7+（a8+a9+a10）＝55，得55＝S≥3m（A）+a7＝51+a7，即a7≤4．同理可得：a i≤4（i＝1，4，7，10）．对于数列：1，6，10，2，7，8，3，9，5，4，此时A＝{17，18，19，20}，m（A）＝17，n（A）＝20，满足题意．所以m（A）的最大值为17．②现证明：n（A）的最小值为16．先证明n（A）≤15为不可能的，假设n（A）≤15．设S＝a1+（a2+a3+a4）+（a5+a6+a7）+（a8+a9+a10）＝55，可得55≤3n（A）+a1≤3×15+a1，即a1≥10，元素最大值为10，所以a1＝10．又（a1+a2+a3）+a4+（a5+a6+a7）+（a8+a9+a10）＝55≤3n（A）+a4≤3×15+a4，同理可以推出a4＝10，矛盾，假设不成立，所以n（A）≥16．数列为：7，6，2，8，3，4，9，1，5，10时，A＝{13，14，15，16}，m（A）＝13，n（A）＝16，A中元素的最大值为16．所以n（A）的最小值为16．【点评】本题考查集合的求法，考查集合中元素的最大值和最小值的求法，考查推理论证能力能力与运算求解能力，属于中档题．。
2020届北京市东城区高三高考第一次模拟(4月)数学试题(解析版)
故选：A.
【点睛】
本题考查对勾型函数的性质，其中涉及到基本不等式求最值，是一道容易题.
5．已知曲线C的方程为 ，则“ ”是“曲线C为焦点在x轴上的椭圆”的（）
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】根据椭圆方程的特点，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可.
,即 为票价,
当 时, ,则 为固定成本,
由图象(2)知,直线向上平移,
不变,即票价不变,
变大,则 变小,成本减小.
故①错误,②正确;
由图象(3)知,直线与 轴的交点不变,直线斜率变大,
变大,即提高票价,
不变,则 不变,成本不变.
故③正确,④错误;
故答案为:②③
【点睛】
本题考查一次函数图象的变化,以及 和 对一次函数图象的影响,是基础题.
以 为原点，分别以 所在直线为 轴、 轴、 轴建立空间直角坐标系，如图所示
， ， .
，
.
设平面 的法向量为 ，
则 ，即 ，令 ，则 ， .
设直线 和平面 所成的角为 ，则
，
所以直线 和平面 所成角的正弦值为 .
【点睛】
本题考查线面垂直的性质定理和用向量的方法求空间角，考查学生的运算能力，属于中档题.
③图（3）对应的方案是:提高票价,并保持成本不变;
④图（3）对应的方案是:提高票价,并降低成本.
其中,正确的说法是____________.（填写所有正确说法的编号）
【答案】②③
【解析】根据图象可知盈利额 与观影人数 成一次函数关系,再分别根据(2)和(3)的图象进行分析即可得出答案.
【详解】
北京市各区2020年数学一模导数分类汇编
(朝阳）（20）（本小题15分）已知函数()11e x x xf x -+=-．（Ⅰ）求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程； （Ⅱ）判断函数()f x 的零点的个数，并说明理由；（Ⅲ）设0x 是()f x 的一个零点，证明曲线e xy =在点00(,e )x x 处的切线也是曲线ln y x=的切线．解：（Ⅰ）因为()11e x x xf x -+=-，所以001010)2(e f -=+=-，()2(1)2e xx f x -'=+，02(01)203e ()f -'==+．所以曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线的方程为320x y -+=． （Ⅱ）函数()f x 有且仅有两个零点．理由如下：()f x 的定义域为{|,1}x x x ∈≠R ．因为22()e 0(1)xf 'x x =+>-，所以()f x 在(,1)-∞和(1,)+∞上均单调递增．因为(0)20f =>，21(2)3e 0f --=-<，所以()f x 在(,1)-∞上有唯一零点1x ．因为2e (2)30f =->，545()e 904f =-<，所以()f x 在(1,)+∞上有唯一零点2x ． 综上，()f x 有且仅有两个零点．（Ⅲ）曲线e xy =在点00(,e )x x 处的切线方程为000e e ()x x y x x -=-，即0000e e e x x x y x x =-+ ．设曲线ln y x =在点33(,)x y 处的切线斜率为0e x ，则031e xx =，031ex x =，30y x =-，即切点为001(,)e x x -． 所以曲线ln y x =在点001(,)e x x -处的切线方程为 0001e ()ex x y x x +=-，即00e 1x y x x =--． 因为0x 是()f x 的一个零点，所以00011e xx x -+=．所以00000000011e e e (1)(1)1x x xx x x x x x -+-+=-=-=--．所以这两条切线重合． 所以结论成立． …………15分（西城二模）20．（本小题满分15分）设函数()e cos x f x a x =+，其中a ∈R ． （Ⅰ）已知函数()f x 为偶函数，求a 的值； （Ⅱ）若1a =，证明：当0x >时，()2f x >；（Ⅲ）若()f x 在区间[0,π]内有两个不同的零点，求a 的取值范围． 解：（Ⅰ）函数()f x 为偶函数，所以(π)(π)f f -=，即ππe 1e 1a a --=-， ……………… 2分 解得0a =.验证知0a =符合题意. ……………… 4分（Ⅱ）()e sin x f x x '=-. ……………… 6分 由0x >，得e 1x >，sin [1,1]x ∈-， ……………… 7分 则()e sin 0x f x x '=->，即()f x 在(0,)+∞上为增函数.故()(0)2f x f >=，即()2f x >. ………………9 分（Ⅲ）由()e cos 0xf x a x =+=，得cos e xxa =-. 设函数cos ()e xxh x =-，[0,π]x ∈， ……………… 10分 则sin cos ()e xx xh x +'=. ……………… 11分令()0h x '=，得3π4x =. 随着x 变化，()h x '与()h x 的变化情况如下表所示：所以()h x 在(0,)4上单调递增，在(,π)4上单调递减. ……………… 13分又因为(0)1h =-，π(π)e h -=，3π43π()4h -=，所以当3ππ4[e ,)2a --∈时，方程cos e x x a =-在区间[0,π]内有两个不同解，且在区间3π[0,)4与3π(,π]4上各有一个解.即所求实数a 的取值范围为3ππ4[e ,)--. ……………… 15分 （房山）（20）（本小题15分）已知函数32()22f x x ax =-+．（Ⅰ）求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程； （Ⅱ）讨论函数()f x 的单调性；（Ⅲ）若0a >，设函数()|()|g x f x =，()g x 在[1,1]-上的最大值不小于3，求a 的取值范围．解：（Ⅰ）2()62f x x ax '=-由(0)0f '=，(0)2f =，得曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程为2y =（Ⅱ）定义域为R ，()2()6223f x x ax x x a '=-=-令()0f x '=，解得120,3a x x ==若0a =，2()60f x x '=≥，()f x 在R 上单调递增；若0a >，在(),0-∞上，()0f x '>，()f x 单调递增，在(0,)3a上，()0f x '<，()f x 单调递减，在,3a ⎛⎫+∞⎪⎝⎭上，()0f x '>，()f x 单调递增； 若0a <，,3a ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭上，()0f x '>，()f x 单调递增，在(,0)3a上，()0f x '<，()f x 单调递减，在()0,+∞上，()0f x '>，()f x 单调递增；（Ⅲ）若0a >，函数()f x 的单调减区间为0,3a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，单调递增区间为(,0),,3a ⎛⎫-∞+∞⎪⎝⎭. 当13a≥时，即3a ≥，由（Ⅱ）知，()f x 在[1,0]-上单调递增，在[0,1]上单调递减，则max ()max{|(1)|,|(0)|,|(1)|}max{,2,|4|}3g x f f f a a =-=-≥当13a <时，即03a <<，()f x 在[1,0]-和[,1]3a上单调递增，在[0,]3a 上单调递减，()f x 在3ax =处取得极小值3()20327a a f =-> 则max ()max{|(1)|,|(0)|,|(1)|}max{,2,4}g x f f f a a =-=-， 若max ()3g x ≥，则43a -≥，即01a <≤ 综上，实数a 的取值范围为]([)0,13,+∞U （延庆）（丰台） 19.（本小题共15分）已知函数()()ln 1f x x a x x =+-+.（Ⅰ）若曲线()y f x =在点(e (e))f ,处的切线斜率为1，求实数a 的值； （Ⅱ）当0a =时，求证：()0f x ≥；（Ⅲ）若函数()f x 在区间(1)+∞,上存在极值点，求实数a 的取值范围.（海淀）19. （本小题共15分）已知函数f (x )=e x +ax （I ）当a =−1时，①求曲线y =f (x )在点(0,f(0))处的切线方程； ②求函数f (x )的最小值；（II ）求证：当a ∈(−2,0)时，曲线y =f (x )与y =1−lnx 有且只有一个交点。
2020北京各区一模数学试题分类汇编--应用题(学生版)
2020北京各区一模数学试题分类汇编--应用题（2020海淀一模）形如221n (n 是非负整数)的数称为费马数，记为.n F 数学家费马根据0123,,,,F F F F 4F 都是质数提出了猜想:费马数都是质数.多年之后，数学家欧拉计算出5F 不是质数，那5F 的位数是（ ） (参考数据: lg 2≈0.3010 )A. 9B. 10C. 11D. 12（2020西城一模）在一次体育水平测试中，甲、乙两校均有100名学生参加，其中:甲校男生成绩的优秀率为70%，女生成绩的优秀率为50%;乙校男生成绩的优秀率为60%，女生成绩的优秀率为40%.对于此次测试，给出下列三个结论:①甲校学生成绩的优秀率大于乙校学生成绩的优秀率;②甲、乙两校所有男生成绩的优秀率大于甲、乙两校所有女生成绩的优秀率;③甲校学生成绩的优秀率与甲、乙两校所有学生成绩的优秀率的大小关系不确定.其中，所有正确结论的序号是____________.（2020东城一模）某部影片的盈利额（即影片的票房收入与固定成本之差）记为y ,观影人数记为x ,其函数图象如图（1）所示.由于目前该片盈利未达到预期,相关人员提出了两种调整方案,图（2）、图（3）中的实线分别为调整后y 与x 的函数图象.给出下列四种说法:①图（2）对应的方案是:提高票价,并提高成本;②图（2）对应的方案是:保持票价不变,并降低成本;③图（3）对应的方案是:提高票价,并保持成本不变;④图（3）对应的方案是:提高票价,并降低成本.其中,正确的说法是____________.（填写所有正确说法的编号）（2020东城一模）春天来了，某池塘中的荷花枝繁叶茂，已知每一天新长出荷叶覆盖水面面积是前一天的2倍，若荷叶20天可以完全长满池塘水面，则当荷叶刚好覆盖水面面积一半时，荷叶已生长了（）A. 10天B. 15天C. 19天D. 2天（2020东城一模）某单位周一、周二、周三开车上班的职工人数分别是14，10，8．若这三天中至少有一天开车上班的职工人数是20，则这三天都开车上班的职工人数至多是（）A. 5B. 6C. 7D. 8（2020朝阳区一模）某购物网站开展一种商品的预约购买，规定每个手机号只能预约一次，预约后通过摇号的方式决定能否成功购买到该商品.规则如下：（ⅰ）摇号的初始中签率为0.19；（ⅱ）当中签率不超过1时，可借助“好友助力”活动增加中签率，每邀请到一位好友参与“好友助力”活动可使中签率增加0.05.为了使中签率超过0.9，则至少需要邀请________位好友参与到“好友助力”活动.（2020石景山一模）长沙市为了支援边远山区的教育事业，组织了一支由13名教师组成的队伍下乡支教，记者采访队长时询问这个团队的构成情况，队长回答：“（1）有中学高级教师；（2）中学教师不多于小学教师；（3）小学高级教师少于中学中级教师；（4）小学中级教师少于小学高级教师；（5）支教队伍的职称只有小学中级、小学高级、中学中级、中学高级；（6）无论是否把我计算在内，以上条件都成立．”由队长的叙述可以推测出他的学段及职称分别是____．（2020怀柔一模）某建材商场国庆期间搞促销活动，规定：如果顾客选购物品的总金额不超过600元，则不享受任何折扣优惠；如果顾客选购物品的总金额超过600元，则超过600元部分享受一定的折扣优惠，折扣优惠按下表累计计算.某人在此商场购物获得的折扣优惠金额为30元，则他实际所付金额为____元．（2020怀柔一模）“割圆术”是我国古代计算圆周率π的一种方法.在公元263年左右，由魏晋时期的数学家刘徽发明.其原理就是利用圆内接正多边形的面积逐步逼近圆的面积，进而求π.当时刘微就是利用这种方法，把π的近似值计算到3.1415和3.1416之间，这是当时世界上对圆周率π的计算最精确的数据.这种方法的可贵之处就是利用已知的、可求的来逼近未知的、要求的，用有限的来逼近无穷的.为此，刘微把它概括为“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆合体，而无所失矣”.这种方法极其重要，对后世产生了巨大影响，在欧洲，这种方法后来就演变为现在的微积分.根据“割圆术”，若用正二十四边形来估算圆周率π，则π的近似值是（）（精确到0.01）（参考数据sin150.2588≈）A. 3.05B. 3.10C. 3.11D. 3.14（2020密云一模）在疫情防控过程中，某医院一次性收治患者127人.在医护人员的精心治疗下，第15天开始有患者治愈出院，并且恰有其中的1名患者治愈出院.如果从第16天开始，每天出院的人数是前一天出院人数的2倍，那么第19天治愈出院患者的人数为_______________，第_______________天该医院本次收治的所有患者能全部治愈出院.（2020顺义区一模）某部影片的盈利额（即影片的票房收入与固定成本之差）记为y,观影人数记为x,其函数图象如图（1）所示.由于目前该片盈利未达到预期,相关人员提出了两种调整方案,图（2）、图（3）中的实线分别为调整后y与x的函数图象.给出下列四种说法:①图（2）对应的方案是:提高票价,并提高成本;②图（2）对应的方案是:保持票价不变,并降低成本;③图（3）对应的方案是:提高票价,并保持成本不变;④图（3）对应的方案是:提高票价,并降低成本.其中,正确的说法是____________.（填写所有正确说法的编号）（2020延庆一模）某企业生产,A B两种型号的产品，每年的产量分别为10万支和40万支，为了扩大再生产，决定对两种产品的生产线进行升级改造，预计改造后的,A B两种产品的年产量的增长率分别为50%和lg ）( ) 20%，那么至少经过多少年后，A产品的年产量会超过B产品的年产量（取20.3010A. 6年B. 7年C. 8年D. 9年（2020延庆一模）某网店统计了连续三天售出商品的种类情况：第一天售出19种商品，第二天售出13种商品，第三天售出18种商品；前两天都售出的商品有3种，后两天都售出的商品有4种，则该网店①第一天售出但第二天未售出的商品有______种；②这三天售出的商品最少有_______种.。
2020北京各区中考一模分类汇编-专题01 数与式(学生版)
专题01 数与式一．选择题（共42小题）1．（2020•丰台区一模）据报道，位于丰台区的北京排水集团槐房再生水厂，是亚洲规模最大的一座全地下再生水厂，日处理污水能力600000立方米，服务面积137平方公里．将600000用科学记数法表示为( )A ．50.610⨯B ．60.610⨯C ．5610⨯D ．6610⨯2．（2020•丰台区一模）在数轴上，点A ，B 分别表示数a ，3，点A 关于原点O 的对称点为点C ．如果C 为AB 的中点，那么a 的值为( )A ．3-B ．1-C ．1D ．33．（2020•燕山一模）为解决延期开学期间全市初高三学生的学习需求，提升学生的实际获得，北京市教委打造了“答疑平台”，全市144000名初高三学生全部纳入在线答疑辅导范围．将144000用科学记数法表示应为( )A ．314410⨯B ．414.410⨯C ．51.4410⨯D ．61.4410⨯4．（2020•燕山一模）在数轴上，点A ，B 分别表示实数a ，b ，将点A 向左平移1个单位长度得到点C ，若点C ，B 关于原点O 对称，则下列结论正确的是( )A ．1a b +=B ．1a b +=-C ．1a b -=D ．1a b -=-5．（2020•燕山一模）若1a b +=，则代数式2222(1)a b b a b--的值为( ) A ．2- B ．1- C ．1 D ．26．（2020•海淀区一模）2-的相反数是( )A ．2B ．2-C ．12D ．12- 7．（2020•海淀区一模）北京故宫有着近六百年的历史，是最受中外游客喜爱的景点之一，其年接待量在2019年首次突破19000000人次大关．将19000000用科学记数法可表示为( )A ．80.1910⨯B ．70.1910⨯C ．71.910⨯D ．61910⨯8．（2020•海淀区一模）若实数m ，n ，p ，q 在数轴上的对应点的位置如图所示，且n 与q 互为相反数，则绝对值最大的数对应的点是( )A ．点MB ．点NC ．点PD ．点Q9．（2020•平谷区一模）面对突如其来的疫情，全国广大医务工作者以白衣为战袍，义无反顾的冲在抗疫战争的一线，用生命捍卫人民的安全．据统计，全国共有346支医疗队，将近42600名医护工作者加入到支援湖北武汉的抗疫队伍，将42600用科学记数法表示为( )A ．50.42610⨯B ．44.2610⨯C ．342.610⨯D ．242610⨯10．（2020•平谷区一模）若已知实数a ，b 满足0ab <，且0a b +>，则a ，b 在数轴上的位置符合题意的是( )A ．B ．C ．D ．11．（2020•平谷区一模）如果30m n --=，那么代数式2()m n n n m n-+的值为( ) A ．3 B ．2 C ．3- D ．2-12．（2020•顺义区一模）港珠澳大桥被英国《卫报》誉为“新世界七大奇迹”之一，它是世界总体跨度最长的跨海大桥，全长55000米．数字55000用科学记数法表示为( )A ．45.510⨯B ．45510⨯C ．55.510⨯D ．60.5510⨯13．（2020•顺义区一模）在数轴上，点A 表示数a ，将点A 向右平移4个单位长度得到点B ，点B 表示数b ．若||||a b =，则a 的值为( )A ．3-B ．2-C ．1-D ．114．（2020•顺义区一模）用三个不等式a b >，c d >，a c b d +>+中的两个不等式作为题设，余下的一个不等式作为结论组成一个命题，组成真命题的个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．315．（2020•东城区一模）2019年上半年北京市实现地区生产总值15212.5亿元，同比增长6.3%．总体来看，经济保持平稳运行，高质量发展．将数据15212.5用科学记数法表示应为( )A ．51.5212510⨯B ．41.5212510⨯C ．50.15212510⨯D ．60.15212510⨯16．（2020•东城区一模）把228a -分解因式，结果正确的是( )A ．22(4)a -B ．22(2)a -C ．2(2)(2)a a +-D ．22(2)a +17．（2020•东城区一模）点O ，A ，B ，C 在数轴上的位置如图所示，O 为原点，1AC =，OA OB =．若点C 所表示的数为a ，则点B 所表示的数为( )A ．(1)a -+B ．(1)a --C ．1a +D ．1a -18．（2020•石景山区一模）2019年5月7日，我国自主创新研发的“东方红3号科学考察船”通过挪威DNV GL -船级社权威认证，成为全球最大静音科考船．“东方红3”是一艘5000吨级深远海科考船，具有全球无限航区航行能力，可持续航行15000海里．将15000用科学记数法表示应为( )A ．50.1510⨯B ．41.510⨯C ．41510⨯D ．31510⨯19．（2020•石景山区一模）实数a ，b ，c 在数轴上的对应点的位置如图所示，则不正确的结论是( )A ．||3a >B ．0b c -<C ．0ab <D ．a c >-20．（2020•西城区一模）北京大兴国际机场目前是全球建设规模最大的机场，2019年9月25日正式通航，预计到2022年机场旅客吞吐量将达到45000000人次，将45000000用科学记数法表示为( )A ．64510⨯B ．74.510⨯C ．84.510⨯D ．80.4510⨯21．（2020•西城区一模）在数轴上，点A ，B 表示的数互为相反数，若点A 在点B 的左侧，且AB =，则点A ，点B 表示的数分别是( )A ．BC ．0，D ．-22．（2020•通州区一模）在疫情防控的特殊时期，为了满足初三高三学生的复习备考需求，北京市教委联合北京卫视共同推出电视课堂节目《老师请回答特别节目“空中课堂”》，在节目播出期间，全市约有200000名师生收看了节目．将200000用科学记数法表示应为( )A ．50.210⨯B ．60.210⨯C ．5210⨯D ．6210⨯23．（2020•通州区一模）在数轴上，表示实数a 的点如图所示，则2a -的值可以为( )A ． 5.4-B ． 1.4-C ．0D ．1.424．（2020•通州区一模）如果210a a +-=，那么代数式21(1)211a a a a a --÷+++的值是( ) A ．3 B ．1 C ．1- D ．3-25．（2020•延庆区一模）最近，科学家发现了一种新型病毒，其最大直径约为0.00012mm ，将0.00012用科学记数法表示为( )A ．31.210-⨯B ．41.210-⨯C ．41.210⨯D ．31210⨯26．（2020•延庆区一模）若分式12x +在实数范围内有意义，则实数x 的取值范围是( ) A ．2x >- B ．2x <- C ．2x =- D ．2x ≠-27．（2020•延庆区一模）数轴上A ，B ，C ，D 四点中，有可能在以原点为圆心，以为半径的圆上的点是( )A ．点AB ．点BC ．点CD ．点D28．（2020•延庆区一模）下列实数中，无理数的个数是( )①0.333；②17；；④π；⑤6.18118111811118⋯⋯ A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个29．（2020•房山区一模）2019年9月25日正式通航的北京大兴国际机场，为4F 级国际机场、大型国际枢纽机场．距北京大兴国际机场官方微博显示，2019年北京大兴国际机场共完成旅客吞吐量313.82万人次，保障航班约21000架次，货邮吞吐量7375.53吨，航班放行正点率达96%以上．将21000用科学记数法表示应为( )A ．42.110⨯B ．32110⨯C ．50.2110⨯D ．32.110⨯30．（2020•房山区一模）实数a 、b 、c 、d 在数轴上对应点的位置如图所示，正确的结论有( )A ．a b >B ．0bc >C ．||||c b >D ．0b d +>31．（2020•房山区一模）如果5a b -=，那么代数式22(2)a b ab ab a b+--的值是( ) A ．15- B ．15 C ．5- D ．532．（2020•门头沟区一模）2019年10月1日，庆祝中华人民共和国成立70周年大会在北京天安门广场隆重举行．10月3日微博观看互动量累计达到19280000次，将19280000用科学记数法表示为( )A ．41.92810⨯B ．4192810⨯C ．71.92810⨯D ．80.192810⨯33．（2020•门头沟区一模）点A ，B 在数轴上的位置如图所示，如果点C 也在数轴上，且B 和C 两点间的距离是1，那么AC 长度为( )A ．2B ．4C ．2或4D ．0或234．（2020•朝阳区一模）自2020年1月23日起，我国仅用10天左右就完成了总建筑面积约为113800平方米的雷神山医院和火神山医院的建设，彰显了“中国速度”．将113800用科学记数法表示应为( )A ．51.13810⨯B ．411.3810⨯C ．41.13810⨯D ．60.113810⨯35．（2020•朝阳区一模）实数a ，b ，c ，d 在数轴上的对应点的位置如图所示，这四个数中，相反数最大的是( )A ．aB ．bC ．cD ．d36．（2020•朝阳区一模）如果1a ，那么代数式21(1)11a a a +÷--的值为( )A ．3BCD 237．（2020•密云区一模）5G 是第五代移动通信技术，5G 网络下载速度可以达到每秒1300000KB 以上，这意味着下载一部高清电影只需1秒．将1300000用科学记数法表示应为( )A ．51310⨯B ．51.310⨯C ．61.310⨯D ．71.310⨯38．（2020•密云区一模）下列各式计算正确的是( )A ．326a a a =B ．5510a a a +=C ．339(2)8a a -=-D ．22(1)1a a -=- 39．（2020•密云区一模）实数a ，b 在数轴上的对应点的位置如图所示，下列关系式不成立的是( )A ．55a b ->-B ．a b ->-C ．66a b >D ．0a b ->40．（2020•大兴区一模）中国国家统计局2019年12月6日公布数据显示，2019年我国粮食总产量为1327700000000，创历史最高水平，将1327700000000用科学记数法表示应为( )A ．130.1327710⨯B ．121.327710⨯C ．131.327710⨯D ．1213.27710⨯41．（2020•大兴区一模）在数轴上，点A ，B 分别表示数a ，2，点A 在原点O 的左侧，将点A 向右平移2个单位长度，得到点C ．若CO BO =，则a 的值为( )A ．4-B ．3-C ．2-D ．1-42．（2020•大兴区一模）如果240x -=，那么代数式22(1)()7x x x x x x +-+--的值为( )A ．3-B ．3C ．11-D ．11二．填空题（共30小题）43．（2020a 的取值范围是 ．44．（2020•丰台区一模）当1m n +=时，代数式22231()()m m n m mn m n +---的值为 ． 45．（2020•燕山一模）使式子32x -有意义的x 取值范围是 ．46．（2020x 的取值范围是 ．47．（2020•海淀区一模）分解因式：22ab ac -= ．48．（2020•平谷区一模）因式分解2242x x -+= ．49．（2020•平谷区一模）代数式1x x -有意义的x 的取值范围是 ．50．（2020x 的取值范围是 ．51．（2020•顺义区一模）化简分式22231()x y x y x y x y--÷+--的结果为 ．52．（2020 那么x 的取值范围是 ．53．（2020•东城区一模）若230x x +-=，则代数式2(2)(2)(1)x x x x -+--的值是 ．54．（2020小的整数： ．55．（2020•石景山区一模）分解因式：24xy x -= ．56．（2020•石景山区一模）如果2m n +=224(2)24n m m n m n +÷--的值为 ．57．（2020x 的取值范围是 ．58．（2020•西城区一模）如果21a a +=，那么代数式2111a a a ---的值是 ． 59．（2020•通州区一模）举出一个数字“0”表示正负之间分界点的实际例子，如 ．60．（2020•通州区一模）若(41)(41)41m n K ++=+，则K 可以用含m ，n 的代数式表示为 ．61．（2020•延庆区一模）因式分解：39a a -= ．62．（2020•延庆区一模）如果2a b +=，那么代数式222(1)2b a b a b a ab b -+-++的值是 ．63．（2020x 的取值范围是 ．64．（2020•房山区一模）分解因式：34m m -= ．65．（2020•房山区一模）举出一个m 的值，说明命题“代数式221m -的值一定大于代数式21m -的值”是错误的，那么这个m 的值可以是 ．66．（2020x 的取值范围是 ．67．（2020•朝阳区一模）若分式12x -有意义，则x 的取值范围为 ． 68．（2020•朝阳区一模）分解因式：2288x x ++= ．69．（2020•密云区一模）请写出一个绝对值大于2的负无理数： ．70．（2020•密云区一模）使分式13x x +-有意义的x 的取值范围是 ． 71．（2020•大兴区一模）若124x -在实数范围内有意义，则实数x 的取值范围是 ． 72．（2020•大兴区一模）分解因式：32m mn -= ．三．解答题（共15小题）73．（202002cos30(3)|1π-︒+-+-．74．（2020•燕山一模）计算：114sin30|()2-︒+．75．（2020•海淀区一模）计算：0(2)2sin 30|-+︒+．76．（2020•平谷区一模）计算：0113tan30(4)()2|2π-︒--++．77．（2020•顺义区一模）计算：1|tan 30-+︒．78．（2020•东城区一模）计算：011|(3)2cos60()2π---+︒+．79．（2020•石景山区一模）计算：101()(2020)1|3tan305π---+-︒．80．（2020•西城区一模）计算：101()(1|2sin 602-++-︒．81．（2020•通州区一模）计算：011|(4)2sin 60()4π----︒+．82．（202003tan 30(1)|1π︒--+．83．（2020•房山区一模）计算：011|(3)2cos45()3π---+︒+84．（2020•门头沟区一模）计算：011|(2020)2sin 60()3π----︒+． 85．（2020•门头沟区一模）已知0a ≠，0a b +≠且1a b -=，求代数式22222()22a b ab b a a ab a--÷-+的值．86．（2020•朝阳区一模）计算：011|2cos60(2020)()3π-+︒--+．87．（2020•大兴区一模）计算：011|(1)2cos30()4π----+︒+．坚持希望一天，一个瞎子和一个瘸子结伴去寻找那种仙果，他们一直走呀走，途中他们翻山越岭。
3.2020年北京市高三一模数学分类汇编--函数选填
(A) 若在 t1，t2 时刻满足： y(t1)=y(t2 ) ，则 x(t1)=x(t2 ) ；
(B) 如果 y(t) 数量是先上升后下降的，那么 x(t) 的数量一定也是 先上升后下降；
北京高中数学辅导
陆老师：qq1048660200
(C) 被捕食者数量与捕食者数量不会同时到达最大值或最小值；
B. y sin x
C. y x x3
D. y 2x
（西城一模
10）4.设函数
f
(x)
x 2 lg
10x 1, x,x 0
x
0
若关于
x
的方程
f
(x)
a(a R) 有四
个实数解 xi (i 1,2,3,4) ，其中 x1 x2 x3 x4 ，则 (x1 x2 )(x3 x4 ) 的取值范围是（ ）
A. (0,101]
B. (0,99]
C. (0,100]
D. (0,)
（东城一模 2）5.函数 f (x)
x 2 的定义域为 x2 1
(A) (-1, 2 ]
(B) [ 2, +)
(C) (, -1) U [ 1, +)
(D) (, -1) U [ 2, +)
（东城一模 10）6. 假设存在两个物种，前者有充足的食物和生存空间，而后者仅以前者为 食物,则我们称前者为被捕食者，后者为捕食者. 现在我们来研究捕食者与被捕食者之间理 想状态下的数学模型. 假设捕食者的数量以 x(t) 表示，被捕食者的数量以 y(t) 表示.下图描 述的是这两个物种随时间变化的数量关系，其中箭头方向为时间 增加的方向.下列说法正确的是：
③函数 f (x) 的值域为 (, 2] ；
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2020北京各区一模数学试题分类汇编--函数与导数
（2020海淀一模）已知函数f (x )=|x -m |与函数g (x )的图象关于y 轴对称.若g (x )在区间(1，2)内单调递减，则m 的取值范围为（ ）
A. [-1，+∞)
B. (-∞，-1]
C. [-2，+∞)
D. (-∞，-2]
（2020西城一模）设函数()21010 0x x x f x lgx x ⎧++≤⎪=⎨>⎪⎩，，若关于x 的方程()()f x a a R =∈有四个实数解()1234i x i =，，，，其中1234x x x x <<<，则()()1234x x x x +-的取值范围是（ ）
A. (]0101
， B. (]099， C. (]0100， D. ()0+∞，
（2020西城一模）下列函数中，值域为R 且为奇函数的是（ ）
A. 2y x =+
B. y sinx =
C. 3y x x =-
D. 2x y =
（2020东城一模）设函数()()120f x x x x =+
-<，则()f x （ ） A. 有最大值
B. 有最小值
C. 是增函数
D. 是减函数 （2020丰台一模）已知函数()e 1,0,,0.
x x f x kx x ⎧-≥=⎨<⎩若存在非零实数0x ，使得()()00f x f x -=成立，则实数k 的取值范围是（ ）
A. (),1-∞-
B. (],1-∞-
C. 1,0
D. [
)1,0-
（2020丰台一模）已知132a =，123b =，3
1log 2c =，则（ ） A. a b c >>
B. a c b >>
C. b a c >>
D. b c a >>
（2020朝阳区一模）下列函数中，既是偶函数又在区间(0,)+∞上单调递增的是（ ）
A. 3y x =
B. 21y x =-+
C. 2log y x =
D. ||2x y =
（2020朝阳区一模）已知函数222,1,()2ln ,
1.x ax a x f x x a x x ⎧-+≤=⎨->⎩若关于x 的不等式()2a f x ≥在R 上恒成立，则实数a 的取值范围为（ ）
A. (-∞
B. 3[0,]2
C. [0,2]
D.
（2020石景山一模）下列函数中，既是奇函数又在区间()0,∞+上单调递减的是（ ）
A. 22y x =-+
B. 2x y -=
C. ln y x =
D. 1y x =
（2020石景山一模）设()f x 是定义在R 上的函数，若存在两个不等实数12,x x R ∈，使得
()()121222f x f x x x f ++⎛⎫= ⎪⎝⎭
，则称函数()f x 具有性质P ，那么下列函数： ①()1,00,0
x f x x x ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩；
②()2
f x x =；
③()2
1f x x =-； 具有性质P 的函数的个数为（ ）
A. 0
B. 1
C. 2
D. 3
（2020怀柔一模）若函数()(cos )x f x e x a =-在区间(,)22
ππ-
上单调递减，则实数a 的取值范围是___________.
（2020怀柔一模）函数f(x)=|log 2x|的图象是（ ） A. B.
C. D.
（2020密云一模）已知函数21,0()(2),0
x x f x f x x -⎧-≤=⎨->⎩，若关于x 的方程3()2f x x a =+有且只有两个不相等的实数根，则实数a 的取值范围是_______________.
（2020顺义区一模）11.若函数()2,01,0
x e x f x x x ⎧≤=⎨->⎩，则函数()1y f x =-的零点是___________.
（2020顺义区一模）当[]0,1x ∈时,若函数()()21f x mx =-的图象与()2m g x x =+的图象有且只有一个交点,则正实数m 的取值范围是（ ）
A. [)2,+∞
B. (]50,2,+2⎡⎫∞⎪⎢⎣⎭
C. 5,2⎡⎫
+∞⎪⎢⎣⎭
D. (][)20,1,+∞
（2020顺义区一模）若3log 0.2a =，0.22b =，20.2c =，则（ ）
A. a c b <<
B. a b c <<
C. c a b <<
D. b c a << （2020延庆一模）下列函数中，是奇函数且在其定义域上是增函数的是( )
A. 1
y x = B. y tanx = C. x x y e e -=-
D. 2,02,0x x y x x +≥⎧=⎨-<⎩
（2020海淀一模）已知函数()x f x e ax =+.
(I )当a =-1时，
①求曲线y = f (x )在点(0，f (0))处的切线方程；
②求函数f (x )的最小值；
(II )求证:当()2,0a ∈-时，曲线() y f x =与1y lnx =-有且只有一个交点.
（2020西城一模）设函数()()2
2f x alnx x a x =+-+，其中.a R ∈ (Ⅰ)若曲线()y f x =在点()()22f ，处切线的倾斜角为4
π，求a 的值; (Ⅱ)已知导函数()'f x 在区间()1
e ，上存在零点，证明:当()1x e ∈，时，()2
f x e >-.
（2020东城一模）已知函数()ln 1a f x x x
=-
-.
（1）若曲线()y f x =存在斜率为-1的切线，求实数a 的取值范围；
（2）求()f x 的单调区间；
（3）设函数()ln x a g x x +=
，求证：当10a -<<时， ()g x 在()1,+∞上存在极小值.
（2020丰台一模）已知函数()()ln 1f x a x x x =+-+.
（1）若曲线()y f x =在点()()e,e f 处的切线斜率为1，求实数a 的值；
（2）当0a =时，求证：()0f x ≥；
（3）若函数()f x 在区间1,
上存在极值点，求实数a 的取值范围.
（2020朝阳区一模）已知函数()11
x x f x e x +=--. （1）求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程；
（2）判断函数()f x 的零点的个数，并说明理由；
（3）设0x 是()f x 的一个零点，证明曲线x y e =在点00(,)x x e 处的切线也是曲线ln y x =的切线.
（2020石景山一模）已知函数()2
f x x =(0x >)，()ln
g x a x =(0a >). （1）若()()f x g x >恒成立，求实数a 的取值范围；
（2）当1a =时，过()f x 上一点()1,1作()g x 的切线，判断：可以作出多少条切线，并说明理由.
（2020怀柔一模）已知函数()ln ,()x f x x g x e ==.
（1）求()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程；
（2）当0x >时，证明：()()f x x g x <<；
（3）判断曲线()f x 与()g x 是否存在公切线，若存在，说明有几条，若不存在，说明理由.
（2020密云一模）已知函数()()1x f x e ax =+，a R ∈.
（1）求曲线()y f x =在点()()
0,0M f 处的切线方程；
（2）求函数()f x 的单调区间；
（3）判断函数()f x 的零点个数.
（2020顺义区一模）已知函数2()2ln f x x a x =-,其中a R ∈
（1）当2a =时,求曲线()y f x =在点()()
1,1A f 处的切线方程； （2）若函数()f x 存在最小值Q ,求证:1Q ≤.
（2020延庆一模）已知函数()2221,1
ax a f x x +-=+其中0a ≠ （1）当1a =时，求曲线()y f x =在原点处的切线方程；
（2）若函数()f x 在[)0,+∞上存在最大值和最小值，求a 的取值范围.
.。