分段函数及映射

对应学生用书P 102
基础达标
一、选择题
1．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧
1x ＋1，x <1，
x －1，x >1，则f (2)等于( )
A ．0 B.13 C ．1
D ．2
解析：f (2)＝2－1＝1. 答案：C
2．函数f (x )＝x ＋|x |
x
的图象是( )
解析：f (x )＝⎩
⎪⎨⎪⎧
x ＋1，x >0，
x －1，x <0，
画出f (x )的图象可知选C. 答案：C
3．已知a 、b 为实数，集合M ＝{b
a ，1}，N ＝{a,0}，f ：x →x 表示把集合M 中的元素x
映射到集合N 中仍为x ，则a ＋b 的值为( )
A ．－1
B ．0
C ．1
D ．±1
解析：∵f ：x →x ，∴M ＝N .
∴⎩⎪⎨⎪⎧
a ＝1，
b a ＝0，解得a ＝1，b ＝0.∴a ＋b ＝1.
答案：C
4．已知映射f ：A →B ，其中集合A ＝{－3，－2，－1,1,2,3,4}，集合B 中的元素都是集合A 中某个元素在映射f 下对应的元素，且对任意的a ∈A ，在B 中和它对应的元素是|a |，
则集合B 中的元素的个数是( )
A ．4
B ．5
C ．6
D ．7
解析：∵|±3|＝3，|±2|＝2，|±1|＝1，|4|＝4， ∴B ＝{1,2,3,4}． 答案：A
5．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪
⎧
2x ，0≤x ≤1，2，1<x <2，
3，x ≥2的值域是( )
A ．[0，＋∞)
B ．R
C ．[0,3]
D ．[0,2]∪{3}
答案：D
6．若f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x 2，x ≥0，x ，x <0，φ(x )＝⎩
⎪⎨⎪
⎧
x ，x ≥0，－x 2，x <0，则当x <0时，f [φ(x )]为( )
A ．－x
B ．－x 2
C ．x
D ．x 2
解析：∵x <0时，φ(x )＝－x 2<0，∴f [φ(x )]＝－x 2. 答案：B 二、填空题
7．设函数f (x )＝⎩
⎪⎨⎪⎧
x 2
＋2，x ≤2，
2x ，x >2，则f (－4)＝________，又f (x 0)＝8，则x 0＝________.
解析：f (－4)＝(－4)2＋2＝18；令x 2＋2＝8，解得x ＝±6，∵x ≤2，∴x ＝－6；令2x ＝8，解得x ＝4.综上可知x 0＝－6或4.
答案：18 4或－ 6
8．设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 3x ＋1，x ≥0，x 2，x <0，g (x )＝⎩
⎪⎨⎪⎧
2－x 2，x ≤1，
2，x >1，则f [g (π)]＝________，g [f (2)]＝
________.
解析：f [g (π)]＝f (2)＝3×2＋1＝7，g [f (2)]＝g (7)＝2. 答案：7 2
9．若定义运算a ⊙b ＝⎩
⎪⎨⎪
⎧
b ，a ≥b ，a ，a <b ，则函数f (x )＝x ⊙(2－x )的值域是________．
解析：
由题意，得
f (x )＝⎩
⎪⎨⎪⎧
x ，x <1，2－x ，x ≥1.
画出函数f (x )的图象，如右图所示． 由图象得值域是(－∞，1]． 答案：(－∞，1] 三、解答题
10．判断下列对应是否构成映射．
(1)A ＝{1,2,3}，B ＝{7,8,9}，f (1)＝f (2)＝7，f (3)＝8；
(2)A ＝Z ，B ＝{－1,1}，n 为奇数时，f (n )＝－1，n 为偶数时，f (n )＝1； (3)A ＝B ＝{1,2,3}，f (x )＝2x －1； (4)A ＝B ＝{x |x ≥－1}，f (x )＝2x ＋1.
解：对于(1)，集合A 中的元素在集合B 中都有唯一的对应元素，因而能构成映射；对于(2)，集合A 中的任一元素x 在对应关系f 之下在B 中都有唯一元素与之对应，因而能构成映射；对于(3)，由于当x ＝3时，f (3)＝2×3－1＝5，在集合B 中无对应元素，因而不满足映射的定义，从而不能构成映射；对于(4)，满足映射的定义，能构成映射．
11．已知函数f (x )＝1＋|x |－x 2(－2<x ≤2)．
(1)用分段函数的形式表示该函数； (2)画出该函数的图象； (3)写出该函数的值域．
解：(1)当0≤x ≤2时，f (x )＝1＋x －x
2＝1，
当－2<x <0时，f (x )＝1＋－x －x
2
＝1－x .
∴f (x )＝⎩
⎪⎨⎪⎧
1，0≤x ≤2，
1－x ，－2<x <0.
(2)函数f (x )的图象如下图所示．
(3)由(2)知，f (x )在(－2,2]上的值域为[1,3)．
创新题型
12．我国是水资源相对匮乏的国家，为鼓励节约用水，某市打算出台一项水费政策措施，规定每季度每人用水量不超过5吨时，每吨水费收基本价1.3元，若超过5吨而不超过6吨时，超过部分水费加收200%，若超过6吨而不超过7吨时，超过部分的水费加收400%，如果某人本季度实际用水量为x (x ≤7)吨，试计算，本季度他应交多少水费？
解：用y 表示本季度应交水费(单位：元)． 当0<x ≤5时，y 1＝1.3x ；
当5<x ≤6时，应把x 分成两部分：5与(x －5)分别计算，第一部分收基本水费1.3×5元，第二部分由基本水费与加价水费组成，即
1．3(x －5)＋1.3(x －5)·200%＝1.3(x －5)(1＋200%)，
∴y 2＝1.3×5＋1.3(x －5)(1＋200%)＝3.9x －13；当6<x ≤7时，y 3＝1.3×5＋1.3(6－5)(1＋200%)＋1.3(x －6)(1＋400%)＝6.5x －28.6.
综上，y ＝⎩⎪⎨⎪
⎧
1.3x ，0<x ≤5，3.9x －13，5<x ≤6，
6.5x －28.6，6<x ≤
7.
已知分段函数图象求解析式
已知函数的图象求函数的解析式y ＝f (x )，如果自变量x 在不同的区间上变化时，函数y ＝f (x )的解析式也不同，应分类求解．此时根据图象，结合已学过的基本函数图象，选择相应的解析式，用待定系数法求解，其函数解析式一般为分段函数．要注意写解析式时各区间端点的值，做到不重也不漏．
【例1】 根据右图所示的函数y ＝f (x )的图象，写出函数的解析式．
解：图中给定的图象，其实是一个分段函数的图象，对各段对应的函数解析式求解时，要注意各区间的端点．
当－3≤x <－1时，函数y ＝f (x )的图象是一条线段，设f (x )＝ax ＋b (a ≠0)，将点(－3,1)，(－1，－2)代入，可得f (x )＝－32x －7
2
；
当－1≤x <1时，同理可设f (x )＝cx ＋d (c ≠0)，将点(－1，－2)，(1,1)代入，可得f (x )＝
3
2x －12
； 当1≤x <2时，f (x )＝1.
所以f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧
－3
2x －7
2
，－3≤x <－132x －1
2，－1≤x <11，1≤x <2
温馨提示：由图象求函数的解析式，需充分挖掘图象中提供的点的坐标，合理利用待定系数法求解析式即可．对于分段函数，需观察出各段图象的端点是空心点还是实心点，正确写出各解析式对应的定义域．
【例2】 右图中的图象所表示的函数的解析式为( ) A ．y ＝3
2|x －1|(0≤x ≤2)
B ．y ＝32－3
2|x －1|(0≤x ≤2)
C ．y ＝3
2
－|x －1|(0≤x ≤2)
D ．y ＝1－|x －1|(0≤x ≤2)
解析：可将原点代入，排除选项A ，C ，再将点(1，3
2)代入，D 项不符合．
答案：B
温馨提示：已知函数解析式作函数图象，已知函数的图象求解析式，这些都是必须掌握的技能，识图能力是各类考试的重点之一．由于本题是选择题，可以考虑用排除法求解．。