分段函数与映射课件
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高中数学 1.2.2分段函数及映射课件 新人教版必修1
y
在它的定义域中， 对于自变量的不同 取值范围，对应关
系不同。
5 4 3 2 1
-3 -2 -1 0 1 2 3
x
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3
探究点1 分段函数
所谓“分段函数”，习惯上指在定义域的不同部分， 有不同的对应关系的函数.
注意 （1）分段函数是一个函数，不要把它误认为是几个函数；
（2）分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各
一般地，设A、B是两个非空的集合，如果按某一个确 定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合 B中都有唯一确定的元素y与之对应，那么就称对应f:A→B 为从集合A到集合B的一个映射。
注意 若对应是映射，必须满足两个条件：
①A中任何一个元素在B中都有元素与之对应。
②A在B中所对应的元素是唯一的 。
x2 4x4, x 2
例2
画出函数
y
x 1, 2
x 2 图像.
y
yx24x4
x O2
y x 1 2
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3.求分段函数的解析式 例3 某市“招手即停”公共汽车的票价按下列规则制定： （1）5公里以内(含5公里)，票价2元； （2）5公里以上，每增加5公里，票价增加1元（不足5公里 的按5公里计算）. 如果某条线路的总里程为20公里，请根据题意， 写出票价与里程之间的函数解析式，并画出函数的图象.
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1.判断下列对应是否为映射？
a
e
b
f
c
g
是பைடு நூலகம்
a
e
b
f
c
g
d
不是
a
e
b
f
c
g
在它的定义域中， 对于自变量的不同 取值范围，对应关
系不同。
5 4 3 2 1
-3 -2 -1 0 1 2 3
x
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探究点1 分段函数
所谓“分段函数”，习惯上指在定义域的不同部分， 有不同的对应关系的函数.
注意 （1）分段函数是一个函数，不要把它误认为是几个函数；
（2）分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各
一般地，设A、B是两个非空的集合，如果按某一个确 定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合 B中都有唯一确定的元素y与之对应，那么就称对应f:A→B 为从集合A到集合B的一个映射。
注意 若对应是映射，必须满足两个条件：
①A中任何一个元素在B中都有元素与之对应。
②A在B中所对应的元素是唯一的 。
x2 4x4, x 2
例2
画出函数
y
x 1, 2
x 2 图像.
y
yx24x4
x O2
y x 1 2
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3.求分段函数的解析式 例3 某市“招手即停”公共汽车的票价按下列规则制定： （1）5公里以内(含5公里)，票价2元； （2）5公里以上，每增加5公里，票价增加1元（不足5公里 的按5公里计算）. 如果某条线路的总里程为20公里，请根据题意， 写出票价与里程之间的函数解析式，并画出函数的图象.
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1.判断下列对应是否为映射？
a
e
b
f
c
g
是பைடு நூலகம்
a
e
b
f
c
g
d
不是
a
e
b
f
c
g
分段函数及映射 课件
问题 3 函数是建立在两个非空数集间的一种对应，若将其中的 条件“非空数集”扩展为“任意两个非空集合”，按照某种 法则可以建立起更为普遍的两集合的元素之间的对应关系， 即映射．那么，你能给映射下个定义吗？ 答 一般地，设 A、B 是两个非空的集合，如果按某一个确定 的对应关系 f，使对于集合 A 中的任意一个元素 x，在集合 B 中 都有唯一确定的元素 y 与之对应，那么就称对应 f：A→B 为从 集合 A 到集合 B 的一个映射．
中 都有唯一 确定的元素 y 与之对应，那么就称对应 f：A→B 为从集合 A 到集合 B 的 一个映射 .
问题情境：某人去上班，由于担心迟到，所以一开始就跑步 前进，等跑累了再走完余下的路程．可以明显地看出，这人 距离单位的距离是关于出发后的时间的函数，想一想，用怎 样的解析式表示这一函数关系呢？为解决这一问题，本节我 们学习分段函数．
探究点二 分段函数 例 2 某市“招手即停”公共汽车的票价按下列规则制定：
(1)5 公里以内(含 5 公里)，票价 2 元； (2)5 公里以上，每增加 5 公里，票价增加 1 元(不足 5 公里按照 5 公里计算)． 如果某条线路的总里程为 20 公里，请根据题意，写出票价与里程 之间的函数解析式，并画出函数的图象． 分析 1 函数的自变量是什么？如何设置变量？定义域的范围如何？ 答 自变量为里程，设票价为 y 元，里程为 x 公里，定义域为(0,20]．
跟踪训练 2 已知一个函数 y＝f(x)的定义域为区间[0,2]，当 x∈[0,1] 时，对应关系为 y＝x，当 x∈(1,2]时，对应关系 y＝2－x，试用解 析法与图象法分别表示这个函数． 解 已知的函数用解析法可表示为 y＝x2，－xx∈，[x0∈，11，] 2] 用图象表达这个函数，它由两条线段组成，如下图．
课件5：1.2.2 第2课时 分段函数及映射
[错因分析] 以上解法的错误之处在于误解了映射的定 义．a4＝10或a2＋3a＝10都有可能，因而要分类讨论．
[思路分析] 对于A映射f：A→B，A中的元素x的象可能是 B中的任意一个元素，故在解此类题时要将问题考虑全面．
[正解] ∵B 中的元素 y＝3x＋1 与 A 中的元素 x 对应， ∴A 中的元素 1,2,3，对应 B 中的元素 4,7,10. ∴a34k＝＋110＝，a2＋3a 或a32k＋＋31a＝＝a14.0. ∵a，k∈N， ∴ak＝＝52.， 这就是所求 a，k 的值．
[分析] 判断一个对应 f 是否为从 A 到 B 的映射，主要从 映射的定义入手，看集合 A 中的任意一个元素，在对应关系 f 下在集合 B 中是否有唯一的对应元素．
[解析] 对于(1)，集合A中的元素在集合B中都有唯一的对 应元素，因而能构成映射；对于(2)，集合A中的任一元素x在对 应关系f下在B中都有唯一元素与之对应，因而能构成映射；对 于(3)，由于当x＝3时，f(3)＝2×3－1＝5，在集合B中无对应元 素，因而不满足映射的定义，从而不能构成映射；对于(4)，满 足映射的定义，能构成映射．
第一章 1.2.2 函数的表示法
第二课时 分段函数及映射
1.分段函数 所谓分段函数，是指在定义域的不同部分，有不同的_ _对__应__关__系__的函数． [知识点拨] 分段函数是一个函数，不要把它误认为是几 个函数．分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段 值域的并集．
2．映射 (1)定义：一般地，设A，B是两个非空的集合，如果按某 一个确定的对应关系f，使对于集合A中的__任__意__一__个__元素x，在 集合B中都有__唯__一__确__定__的元素y与之对应，那么就称对应f： A→B为从集合__A__到集合__B__的一个映射． [知识点拨] 满足下列条件的对应f：A→B为映射： (1)A，B为非空集合； (2)有对应法则f； (3)集合A中的每一个元素在集合B中均有唯一元素与之对 应．
第9课时：分段函数与映射【课件】(1)(1)(1)
重难点
重点：分段函数的概念及解析式、映射的概念. 难点：分段函数的图象性质及其应用.
创设情境
已知某地出租车收费方法如下:起步价6元,可行3 km(含 3 km),3 km后到10 km(含10km)每走1 km加价0.5元,10 km 后每走1 km加价0.8元.若某人坐出租车走了12 km,则他应付 费多少？
x 0.
0
B.0
x为有理数; x为无理数.
则f
(
g
(π))
______
C. 1
Dπ.
(2)
设函数f
(
x)
x2
2
2x
x 2;若f x 2.
(x0 )
8, 则x0
______
练习1、若f
(x)
x
x
2
x 0;若f (a) 4,则实数a _______ x 0.
A.3
B.6
C.8
D.9
(3) 若A {a1, a2 , a3}, B {b1, b2}, 则从A到B可以建立多少个映射
小结
1.分段函数求值,一定要先找所给值的范围,再代 入相应的解析式求值.
2.对含绝对值的函数,要作出其图象,首先根据绝 对值的意义去掉绝对值符号,将函数转化为分段 函数再求解.
3.映射是一种特殊的对应,它具有： (1)方向性(2)唯一性
分段函数
一个函数的定义域分成了若干个子区间,而每个子区间的 解析式不同,这种函数称为分段函数.分段函数是一个函数,其 定义域是各段自变量取值集合的并集,其值域是各段函数值集 合的并集.
探究一、分段函数的求值问题
分段函数及映射 课件
3.若函数f(x)=
x, x 0, x2, x 0,
则f(-2)=______.
【解析】∵-2＜0，∴f(-2)=(-2)2=4.
答案：4
1.对分段函数的三点认识 (1)分段是针对定义域而言的，将定义域分成几段，各段的对 应关系不一样. (2)一般而言，分段函数的定义域部分是各不相交的，这是由 函数定义中的唯一性决定的. (3)分段函数的图象应分段来作，它可以是一条平滑的曲线， 也可以是一些点、一段曲线、一些线段或曲线段等.作图时， 要特别注意各段两端点是用实点还是用空心圈表示.
(1)解题过程中，当字母参数的取值有多种可能时，
题
启
要分类讨论，求出参数的值后要注意验证.
示
(2)审题要细，考虑问题要全面，避免不必要的失误.
【规范训练】(12分)已知函数
f
x
4x
x
2
x x
0，若f(m)=16， 0，
求m的值.
【解题设问】(1)此题需要分类讨论吗？_需__要__
(2)m与0的大小关系是m__<__0_或__m__≥_0
分段函数的图象和综合应用 【技法点拨】
1.作分段函数图象的注意点 求作分段函数的图象时，定义域分界点处的函数取值情况决定 着图象在分界点(关键点)处的断开或连接，断开时要分清断开 处是实点还是空心圈. 2.利用分段函数求解实际应用题的策略 (1)首要条件：把文字语言转换为数学语言； (2)解题关键：建立恰当的分段函数模型； (3)思想方法：解题过程中运用分类讨论的思想方法.
【解题指导】
【规范解答】∵A中的元素x与B中的元素y=3x+1对应，……1分
∴A中的元素1，2，3，k对应B中的元素4,7,10,3k+1. ……3分
高一数学必修一1.2.2.2 分段函数及映射 ppt课件
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(2)①当a≤－2时，f(a)＝a＋1， ∴a＋1＝3，∴a＝2＞－2不合题意，舍去． ②当－2＜a＜2时，a2＋2a＝3， 即a2＋2a－3＝0. ∴(a－1)(a＋3)＝0， ∴a＝1或a＝－3. ∵1∈(－2,2)，－3∉(－2,2)， ∴a＝1符合题意． ③当a≥2时，2a－1＝3， ∴a＝2符合题意． 综合①②③，当f(a)＝3时，a＝1或a＝2.
(2)如图所示．
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在函数y＝3x＋5的图象上截取x≤0的部分， 在函数y＝x＋5的图象上截取0＜x≤1的部分， 在函数y＝－2x＋8的图象上截取x＞1的部分． 图中实线组成的图形就是函数f(x)的图象． (3)由函数图象可知，当x＝1时，f(x)取最大值 为6.
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分段函数及应用
x＋2 x≤－3 已知函数 f(x)＝x2 －3＜x＜3 ，
2x x≥3 求(1)f(－5)，(2)f(－ 3)，(3)f(3)，(4)f(f(f(－4))) 的值．
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[解题过程] (1)∵－5＜－3 ∴f(－5)＝－5＋2＝－3 (2)∵－3＜－ 3＜3 ∴f(－ 3)＝(－ 3)2＝3 (3)f(3)＝2×3＝6 (4)∵－4＜－3， ∴f(－4)＝－4＋2＝－2； 又∵－3＜－2＜3， ∴f(f(－4))＝f(－2)＝(－2)2＝4； 又∵4＞3， ∴f(f(f(－4)))＝f(4)＝2×4＝8.
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2．作出下列函数的图象． (1)y＝x，|x|≤1； (2)y＝1－x，x∈Z 且|x|≤2； (3)y＝xx2－－1x. 解析： (1)此函数图象是直线y＝x的一部分．
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1.2.2-2 分段函数及映射》课件
(4)某影院的某场电影的每一张电影票都有唯一确定的 人 教 Ａ 版 必 修 一 · 新 课 标 数 学 ·
座位与它对应．
你还能说出一些对应的例子吗？
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1．在函数定义域内，对于自变量x的不同取值范围，
有着不同的 对应关系 ，这样的函数通常叫做分段函
思路分析：由题目可获取以下主要信息： 人 教 Ａ 版 必 修 一 · 新 课 标 数 学 ·
①判断对应是否为映射；②用解析式给出了三个对应
关系． 解答本题可先由映射定义出发，观察A中任何一个元 素在B中是否都有唯一元素与之对应．
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解： ) 1 ( 集合A＝N中元素1在 对 应 关 系 为0， 而0∉N*，即A中元素1在 对 应 关 系 下 之对应， 故 不 是 映 射 ． ) 2 ( A中元素6在 对 应 关 系
答案：(－3,1)
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5． 已 知
x＋1 f(x)＝π 0
(x>0) (x＝0) ， 求 f{f[f(－ } ]) 3 (x<0)
．
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已 知 函 数
f(x)＝
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x＋2 (x≤－3) 2 x (－3<x<3)， 2x (x≥3) 求 f{f[f(－ } ]) 4 的值．
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|x|－x 已 知 函 数 f(x)＝1＋ (－2<x≤2)． 2 ) 1 ( 用 分 段 函 数 的 形 式 表 示 该 函 数 ； ) 2 ( 画 出 该 函 数 的 图 象 ； ) 3 ( 写 出 该 函 数 的 值 域 ．
课件4：1.2.2 第2课时 分段函数及映射
①aa24＋＝31aபைடு நூலகம்＝，3k＋1， 或②aa42＝＋33ka＋＝11.0，
∵a∈N，∴方程组①无解． 解方程组②，得 a＝2 或 a＝－5(舍)． 则 3k＋1＝16,3k＝15，k＝5. ∴A＝{1,2,3,5}，B＝{4,7,10,16}．
【例 4】 已知 f：A→B 是集合 A 到集合 B 的映射，又 A＝
2．理解映射概念时要注意的几点． (1)映射是函数的一种推广，两个集合 A，B，它们可以是数 集，也可以是点集或其他集合． (2)集合 A，B 及对应关系 f 是确定的，是一个系统． (3)集合 A 中的每一个元素，在集合 B 中都有唯一的元素和 它对应． (4)集合 A 中不同的元素，在集合 B 中对应的元素可以是同 一个，即可以多个元素对应一个元素，但不能一个元素对应多 个元素． (5)集合 B 中的元素在集合 A 中可以没有与之对应的，即集
【问题探究】 1．用图表示下列两个集合 A，B 的元素之间的一些对应关系． (1)A＝{1,4,9}，B＝{－3，－2，－1,1,2,3}，对应法则：开 平方； (2)A＝{－3，－2，－1,1,2,3}，B＝{1,4,9}，对应法则：平方；
(3)A＝{30°，45°，60°}，B＝1，
22，
23，12，
其中 AB＝4，另一直角边为 12－x，
所以 y＝2(12－x)，x∈(8,12]．
综上所述，所求函数关系式是
2x y＝8
212－x
0≤x≤4， 4＜x≤8， 8＜x≤12.
题型 3 映射的概念 【例 3】 图 1-2-5 建立了集合 P 中元素与集合 M 中元素的 对应关系 f，其中为映射的是哪几个？为什么？
解析：本题的关键在于读懂题意，y＝x2＋2x－3＝(x＋1)2 － 4≥－4，k∈B 且 k 在 A 中没有元素与之对应，则 k 的取值范 围为 k<－4.故选 A.
∵a∈N，∴方程组①无解． 解方程组②，得 a＝2 或 a＝－5(舍)． 则 3k＋1＝16,3k＝15，k＝5. ∴A＝{1,2,3,5}，B＝{4,7,10,16}．
【例 4】 已知 f：A→B 是集合 A 到集合 B 的映射，又 A＝
2．理解映射概念时要注意的几点． (1)映射是函数的一种推广，两个集合 A，B，它们可以是数 集，也可以是点集或其他集合． (2)集合 A，B 及对应关系 f 是确定的，是一个系统． (3)集合 A 中的每一个元素，在集合 B 中都有唯一的元素和 它对应． (4)集合 A 中不同的元素，在集合 B 中对应的元素可以是同 一个，即可以多个元素对应一个元素，但不能一个元素对应多 个元素． (5)集合 B 中的元素在集合 A 中可以没有与之对应的，即集
【问题探究】 1．用图表示下列两个集合 A，B 的元素之间的一些对应关系． (1)A＝{1,4,9}，B＝{－3，－2，－1,1,2,3}，对应法则：开 平方； (2)A＝{－3，－2，－1,1,2,3}，B＝{1,4,9}，对应法则：平方；
(3)A＝{30°，45°，60°}，B＝1，
22，
23，12，
其中 AB＝4，另一直角边为 12－x，
所以 y＝2(12－x)，x∈(8,12]．
综上所述，所求函数关系式是
2x y＝8
212－x
0≤x≤4， 4＜x≤8， 8＜x≤12.
题型 3 映射的概念 【例 3】 图 1-2-5 建立了集合 P 中元素与集合 M 中元素的 对应关系 f，其中为映射的是哪几个？为什么？
解析：本题的关键在于读懂题意，y＝x2＋2x－3＝(x＋1)2 － 4≥－4，k∈B 且 k 在 A 中没有元素与之对应，则 k 的取值范 围为 k<－4.故选 A.
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x＋1， x≤－2， 2 1．已知函数f(x)＝x ＋2x， －2<x<2， 2x－1， x≥2. (1)求f(－5)，f(－
5 － 3)，f f 2的值Байду номын сангаас
(2)若f(a)＝3，求实数a的值．
解析： (1)由－5∈(－∞，－2]，－ 3∈(－2,2)， 5 － ∈(－∞，－2]，知f(－5)＝－5＋1＝－4， 2 f(－ 3)＝(－ 3)2＋2(－ 3)＝3－2 3.
• 映射的特征 • (1)任意性：A中任意元素x在B中都有元素y与 之对应，如图(1)所示的对应不是映射； • (2)唯一性：A中任意元素x在B中都有唯一元 素y与之对应，如图(2)所示的对应不是映射； • (3)方向性：f：A→B与f：B→A一般是不同的 映射，如图(3)与图(4)所示的对应不是同一映 射．
系，由题意可知，自变量的取值范围是(0,20]，值域为 {2,3,4,5}，由票价制定规则，可得到以下函数解析式： 2，0<x≤5， 3，5<x≤10， y＝ 4，10<x≤15， 5，15<x≤20.
• 1．掌握简单的分段函数，并能简单应用．( 重点) • 2．了解映射概念及它与函数的联系．(难点 、易混点)
x＋2x<0， x20≤x<2， 已知函数f(x)＝ 1 xx≥2. 2
1 － f f (1)求f 2的值；
(2)若f(x)＝2，求x的值．
• [思路探究] • 1．形如f(f(x))的求值问题应如何求？ • 2．在已知分段函数值的情况下如何确定自变 量的值？ 1 1 3
• 映射
• 设A，B是两个_______ 集合，如果按某一个 非空 确定的______________，使对于集合 A中的 对应关系 任意 ________一个元素 x，在集合B中都有 唯一 _______________ 确定的元素y与之对应，那 f：A→B 么就称对应___________为从集合A到集合B 的一个映射．
5 5 3 3 ∵f－2＝－ ＋1＝－ ，且－2<－ <2， 2 2 2 5 3 3 3 2 － ∴ff－2＝f－2＝－2 ＋2× 2
[ 规范解答] (1)f－2＝－2＋2＝ ， 2 2分 4分 6分
1 3 3 2 9 ∴ff－2＝f2＝2 ＝ ， 4 1 9 1 9 9 ∴fff－2＝f ＝ . 4＝2× 4 8
•第2课时 分段函数与映射
自主学习 新知突破
• 某市“招手即停”公共汽车的票价按下列规
则制定：
• (1)5公里以内(含5公里)，票价2元；
• (2)5公里以上，每增加5公里，票价增加1元(
不足5公里按5公里计算)． • 如果某条线路的总里程为20公里，设里程为x 公里，票价为y元，
[ 提示]
设票价为y元，里程为x公里，x与y具有函数关
• 分段函数
• 在函数的定义域内，对于自变量x的不同取值 区间，有着不同的对应关系，这样的函数通 常叫做分段函数．
• 理解分段函数应注意的问题 • (1)研究分段函数的性质时，应根据“先分后 合”的原则，尤其是在作分段函数的图象时 ，可先将各段的图象分别画出来，从而得到 整个函数的图象． • (2)分段函数的定义域是各段“定义域”的并 集，其值域是各段“值域”的并集．写定义 域时，区间端点需不重不漏． • (3)求分段函数的函数值时，关键是看自变量
的图象的是(
)
解析： 由于f(0)＝0－1＝－1，所以函数图象过点(0，－ 1)；当x<0时，y＝x2，则函数是开口向上的抛物线在y轴左侧的 部分．因此只有图形C符合．
答案： C
3．已知函数f(x)＝ f(f(1))________．
3x，－1≤x≤1， 2 x －4x＋6，1<x<5，
A．①② C．②④
B．①④ D．③④
解析：
① ② ③ ④ √ × × √ 符合函数定义，且在定义域的不同区间，有不同 的对应关系 当x＝2时，f(2)＝3或4，故不是函数 当x＝1时，f(1)＝5或1，故不是函数 符合函数定义，且在定义域的不同区间，有不同 的对应关系
答案： B
2 x ，x<0 2．下列图形是函数y＝ x－1，x≥0
1．下列给出的式子是分段函数的是(
2 x ＋1，1≤x≤5， ①f(x)＝ 2x，x<1.
)
x＋1，x∈R， ②f(x)＝ 2 x ，x≥2.
2 x ＋3，x<0， ④f(x)＝ x－1，x≥5.
2x＋3，1≤x≤5， ③f(x)＝ 2 x ，x≤1.
则
解析： 因为1∈[ －1,1] ，所以f(1)＝3×1＝3.又3∈(1,5)， 所以f(3)＝32－4×3＋6＝3.即f(f(1))＝3.
答案： 3
• 4．下面8个对应，其中哪些是集合A到B的映 射？
• 解析： 紧扣映射的定义． • 答案： (2)(4)(5)(6)(8)
合作探究 课堂互动
• 分段函数求值问题
(2)当f(x)＝x＋2＝2时，x＝0，不符合x<0. 当f(x)＝x2＝2时，x＝± 2， 其中x＝ 2符合0≤x<2. 1 当f(x)＝ x＝2时，x＝4，符合x≥2. 2 综上，x的值是 2或4. 8分 10分 12分
• 1.求分段函数函数值的方法 • (1)先确定要求值的自变量属于哪一段区间 ． • (2)然后代入该段的解析式求值，直到求出 值为止． • 当出现f(f(x0))的形式时，应从内到外依次求 值． • 2．已知函数值求字母取值的步骤 • (1)先对字母的取值范围分类讨论． • (2)然后代入到不同的解析式中．