人教A版高中数学高二选修1-1试题 1.4.1-2全称量词与存在量词
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选修1-1第一章 1.4 1.4.1、2
一、选择题
1.下列命题中,全称命题的个数为()
①平行四边形的对角线互相平分;②梯形有两边平行;
③存在一个菱形,它的四条边不相等.
A.0 B.1
C.2 D.3
[答案] C
[解析]①②是全称命题,③是特称命题.
2.下列特称命题中真命题的个数是()
①∃x∈R,x≤0;②至少有一个整数,它既不是合数,也不是素数;③∃x∈{x|x是整数},x2是整数.
A.0 B.1
C.2 D.3
[答案] D
[解析]①②③都是真命题.
3.以下量词“所有”“任何”“一切”“有的”“有些”“有一个”“至少”中是存在量词的有()
A.2个B.3个
C.4个D.5个
[答案] C
[解析]“有的”“有些”“有一个”“至少”都是存在量词.
4.下列命题:
①至少有一个x使x2+2x+1=0成立
②对任意的x都有x2+2x+1=0成立
③对任意的x都有x2+2x+1=0不成立
④存在x使得x2+2x+1=0成立
其中是全称命题的有()
A.1个B.2个
C.3个D.0个
[答案] B
[解析] ②③含有全称量词,所以是全称命题.
5.下列命题中,真命题是( )
A .∃m ∈R ,使函数f (x )=x 2+mx (x ∈R )是偶函数
B .∃m ∈R ,使函数f (x )=x 2+mx (x ∈R )是奇函数
C .∀m ∈R ,使函数f (x )=x 2+mx (x ∈R )是偶函数
D .∀m ∈R ,使函数f (x )=x 2+mx (x ∈R )是奇函数
[答案] A
[解析] 显然当m =0时,f (x )=x 2为偶函数,故选A .
6.下列命题中,既是真命题又是特称命题的是( )
A .存在一个角α,使得tan(90°-α)=tan α
B .存在实数x 0,使得sin x 0=π2
C .对一切α,sin(180°-α)=sin α
D .sin(α-β)=sin αcos β-cos αsin β
[答案] A
[解析] ∵α=45°时,tan(90°-45°)=tan45°,∴A 为真命题,且为特称命题,故选A .B 中对∀x
∈R ,有sin x ≤1<π2
;C 、D 都是全称命题. 二、填空题
7.(2015·北京四中质量检测)已知函数f (x )=x 2+mx +1,若命题“∃x 0>0,f (x 0)<0”为真,则m 的取值范围是__________ ________.
[答案] (-∞,-2)
[解析] 由条件知⎩⎪⎨⎪⎧
-m 2>0,m 2-4>0,
∴m <-2. 8.下列命题中真命题为__________ ________,假命题为__________ ________.
①末位是0的整数,可以被2整除;②角平分线上的点到这个角的两边的距离相等;③有的实数是无限不循环小数;④有些三角形不是等腰三角形;⑤所有的菱形都是正方形
[答案] ①②③④ ⑤
9.四个命题:①∀x ∈R ,x 2-3x +2>0恒成立;②∃x ∈Q ,x 2=2;③∃x ∈R ,x 2+1=0;④∃x ∈R,4x 2>2x -1+3x 2.其中真命题的个数为__________ ________.
[答案] 0
[解析] x 2-3x +2>0,Δ=(-3)2-4×2>0,∴当x >2或x <1时,x 2-3x +2>0才成立,∴①为假
命题.
当且仅当x=±2时,x2=2,∴不存在x∈Q,使得x2=2,∴②为假命题,
对∀x∈R,x2+1≠0,∴③为假命题,
4x2-(2x-1+3x2)=x2-2x+1=(x-1)2≥0,
即当x=1时,4x2=2x-1+3x2成立,
∴④为假命题.
∴①②③④均为假命题.
三、解答题
10.判断下列命题是否为全称命题或特称命题,若是,用符号表示,并判断其真假.
(1)对任意实数α,有sin2α+cos2α=1;
(2)存在一条直线,其斜率不存在;
(3)对所有的实数a、b,方程ax+b=0都有唯一解;
(4)存在实数x0,使得1
x20-x0+1
=2.
[解析](1)是全称命题,用符号表示为“∀α∈R,sin2x+cos2α=1”,是真命题.
(2)是特称命题,用符号表示为“∃直线l,l的斜率不存在”,是真命题.
(3)是全称命题,用符号表示为“∀a、b∈R,方程ax+b=0都有唯一解”,是假命题.
(4)是特称命题,用符号表示为“∃x0∈R,1
x20-x0+1
=2”,是假命题.
一、选择题
1.下列命题为特称命题的是()
A.偶函数的图象关于y轴对称
B.正四棱柱都是平行六面体
C.不相交的两条直线是平行直线
D.存在大于等于3的实数
[答案] D
[解析]选项A,B,C是全称命题,选项D含有存在量词.故选D.2.下列命题是真命题的是()
A.∀x∈R,(x-2)2>0 B.∀x∈Q,x2>0
C .∃x 0∈Z,3x 0=812
D .∃x 0∈R,3x 20-4=6x 0
[答案] D [解析] A 中当x =2时不成立,B 中由于0∈Q ,故B 不正确,C 中满足3x 0=812的x 0不是整数,故只有D 正确.
3.以下四个命题既是特称命题又是真命题的是( )
A .锐角三角形的内角是锐角或钝角
B .至少有一个实数x ,使x 2≤0
C .两个无理数的和必是无理数
D .存在一个负数x ,使1x
>2 [答案] B
[解析] A ,C 为全称命题;对于B ,当x =0时,x 2=0≤0,正确;对于D ,显然错误.
4.下列命题中,真命题是( )
A .∃x 0∈R ,ex 0≤0
B .∀x ∈R,2x >x 2
C .a +b =0的充要条件是a b
=-1 D .a >1,b >1是ab >1的充分条件
[答案] D
二、填空题
5.下列特称命题是真命题的序号是__________ ________.
①有些不相似的三角形面积相等;
②存在一实数x 0,使x 20+x 0+1<0;
③存在实数a ,使函数y =ax +b 的值随x 的增大而增大;
④有一个实数的倒数是它本身.
[答案] ①③④
[解析] ①为真命题,只要找出等底等高的两个三角形,面积就相等,但不一定相似;②中对任
意x ∈R ,x 2+x +1=(x +12)2+34
>0,所以不存在实数x 0,使x 20+x 0+1<0,故②为假命题;③中当实数a 大于0时,结论成立,为真命题;④中如1的倒数是它本身,为真命题,故选①③④.
6.给出下列语句:①所有的偶数都是素数;②有些二次函数的图象不过坐标原点;③|x -1|<2;④对任意的实数x >5,都有x >3.其中是全称命题的是__________ ________.(填序号)
[答案] ①④