奇偶性周期性

§2.3 函数的奇偶性与周期性

知识梳理：

1．奇、偶函数的概念 2．奇、偶函数的图象特征 3．具有奇偶性函数的定义域的特点 4．周期函数的概念 (1)周期、周期函数 (2)最小正周期

5．函数奇偶性与单调性之间的关系

(1)若函数f (x )为奇函数，在[a ，b ]上为增(减)函数，则f (x )在[－b ，－a ]上应为 ；

(2)若函数f (x )为偶函数，在[a ，b ]上为增(减)函数，则f (x )在[－b ，－a ]上应为 ．

6．奇、偶函数和与积的奇偶性的判定 基础自测：

(2013·广东)定义域为R 的四个函数y ＝x 3，

y ＝2x ，y ＝x 2＋1，y ＝2sin x 中，奇函数的个数是( ) A ．4 B ．3 C ．2 D ．1

(2013·山东)已知函数f (x )为奇函数，且当

x >0时，f (x )＝x 2＋1

x

，则f (－1)＝( )

A ．－2

B ．0

C ．1

D ．2

(2014·湖南)已知f (x )，g (x )分别是定义在R 上的偶函数和奇函数，且f (x )－g (x )＝x 3＋x 2＋1，则f (1)＋g (1)＝( )

A ．－3

B ．－1

C ．1

D ．3

(2014·四川)设f (x )是定义在R 上的周期为2的函数，当x ∈[－1，1)时，f (x )＝

⎩

⎪⎨⎪⎧－4x 2

＋2，－1≤x ＜0，x ，0≤x ＜1， 则f ⎝⎛⎭⎫32＝________

. (2014·湖南)若f (x )＝ln (e 3x ＋1)＋ax 是偶函数，则a ＝________. 例题分析：

判断下列函数的奇偶性：

(1)f (x )＝(x ＋1)1－x

1＋x

；

(2)f (x )＝⎩

⎪⎨⎪⎧－x 2＋2x ＋1，x ＞0，

x 2＋2x －1，x ＜0；

(3)f (x )＝4－x 2

x

；

(4)f (x

)＝x 2－1＋1－x 2；

(5)f (x )＝log a (x ＋x 2＋1)(a >0且a ≠1)． 判断下列函数的奇偶性：

(1)f (x )＝lg （4－x 2）

|x －2|＋|x ＋4|；

(2)f (x )＝⎩

⎪⎨⎪⎧x 2＋x ，x ＜0，

－x 2＋x ，x ＞0.

已知函数f (x )满足f (x )·f (x ＋2)＝13. (1)求证：f (x )是周期函数；

(2)若f (1)＝2，求f (99)的值；

(3)若当x ∈[0，2]时，f (x )＝x ，试求x ∈[4，8]时函数f (x )的解析式．

已知函数f (x )，x ∈R 的图象关于y 轴对称，

且当x ∈[0，1]时，f (x )＝x 2，同时f (x ＋2)＝

f (x )，求f (x )．

设定义在[－2，2]上的偶函数f (x )在区间

[0，2]上单调递减，若f (1－m )＜f (m )，则实数m 的取值范围是________________．

已知定义域为(－1，1)的奇函数f (x )，在

(－1，1)上又是减函数，且满足f (2x －1)＋f ⎝⎛⎭⎫

13＜0，则x 的取值范围为______________．

(2014·安徽)若函数f (x )(x ∈R )是周期为4的奇函数，且在[0，2]上的解析式为f (x )＝⎩⎪

⎨⎪⎧x （1－x ），0≤x ≤1， sinπx ，1＜x ≤2，

则f ⎝⎛⎭⎫294＋f ⎝⎛⎭⎫416＝________. (2014·石家庄一模)已知f (x )是定义在R

上的以3为周期的偶函数，若f (1)<1，f (5)＝2a －3

a ＋1，

则实数a 的取值范围为( )

A ．(－1,4)

B ．(－2,1)

C ．(－1,0)

D ．(－1,2) 作业：

1．(2014·广东)下列函数为奇函数的是( )

A ．2x －1

2

x B ．x 3sin x C ．2cos x ＋1 D ．x 2＋2x

2．(2014·新课标Ⅰ)设函数f (x )，g (x )的定义域都为R ，且f (x )是奇函数，g (x )是偶函数，则下列结

论正确的是( )

A ．f (x )g (x )是偶函数

B ．|f (x )|g (x )是奇函数

C ．f (x )|g (x )|是奇函数

D ．|f (x )g (x )|是奇函数 3．(2013·沈阳一模)已知偶函数f (x )在区间[0，

＋∞)上单调递减，则满足不等式f (2x －1)>f ⎝⎛⎭⎫

53成立的x 的取值范围是( )

A .⎣⎡⎭⎫－13，43

B .⎝⎛⎭⎫－13，43

C .⎝⎛⎭⎫13，43

D .⎣⎡⎭⎫13，43 4．设函数f (x )(x ∈R )满足f (x ＋π)＝f (x )＋sin x .

当0≤x ＜π时，f (x )＝0，则f ⎝⎛⎭⎫

23π6＝( )

A .12

B .32

C ．0

D ．－12 5．(2012·重庆)已知f (x )是定义在R 上的偶函数，且以2为周期，则“f (x )为[0，1]上的增函数”是“f (x )为[3，4]上的减函数”的( )

A ．非充分非必要的条件

B ．充分不必要的条件

C ．必要不充分的条件

D ．充要条件

6．已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且在区间[0，＋∞)上单调递增．若实数a 满足

)1(2)(l o g )(l o g 2

12f a f a f ≤+，

则a 的取值范围是( ) A ．[1，2] B .⎝⎛⎦⎤0，12 C .⎣⎡⎦⎤1

2，2 D ．(0，2] 7．已知奇函数f (x )与偶函数g (x )满足f (x )＋g (x )

＝a x －a －

x ＋2，且g (b )＝a ，则f (2)的值为 ．

8．(2013·四川)已知f (x )是定义域为R 的偶函

数，当x ≥0时，f (x )＝x 2－4x .那么，不等式f (x ＋2)<5的解集是________．

9．设函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且满足： ①f (x )＝f (2－x )；②当0≤x ≤1时，f (x )＝x 2. (1)判断函数f (x )是否为周期函数； (2)求f (5.5)的值．

10．已知函数f (x )的定义域为(－2，2)，函数g (x )＝f (x －1)＋f (3－2x )．

(1)求函数g (x )的定义域；

(2)若f (x )为奇函数，并且在定义域上单调递减，求不等式g (x )≤0的解集．

11．(2014·上海)设常数a ≥0，函数f (x )＝2x ＋a

2x －a .

根据a 的不同取值，讨论函数y ＝f (x )的奇偶性，并说明理由．

12．奇函数f (x )的定义域R ，若f (x ＋2)为偶函数，且f (1)＝1，则f (8)＋f (9)＝( )

A ．－2

B ．－1

C ．0

D ．1