无限深讲义方势阱中的粒子
势阱中的粒子
由此解得最大值得位置为 例如
n = 1, N = 0 n = 2 , N = 0 , 1,
最大值位置 最大值位置
x= Hale Waihona Puke a 23 x= 1a,4a 4
n = 3 , N = 0 ,1, 2 , 最大值位置
3 x = 1 a , 6 a, 5 a, 6 6
可见，概率密度最大值的数目和量子数 相等 相等。 可见，概率密度最大值的数目和量子数n相等。
T=
ψ3 (a)
A
2
2
≈e
−2 a 2m(U0 −E) h
贯穿概率与势垒的宽度与高度有关。 贯穿概率与势垒的宽度与高度有关。
三、谐振子
谐振子的势能为
薛定谔方程为
1 2 1 2 2 U = kx = mω x 2 2 2 d ψ 2m 1 2 2 + 2 (E − mω x )ψ = 0 2 dx h 2
例题2试求在一维无限深势阱中粒子概率密度的最大 例题 试求在一维无限深势阱中粒子概率密度的最大 值的 位置。 位置。 解： 一维无限深势阱中粒子的概率密度为
2 φn (n) = a sin2 nπ x a 2
n = 1,2,3,L
将上式对x求导一次， 将上式对 求导一次，并令它等于零 求导一次
d φn ( x ) dx
0 U(x) = ∞
0< x <a
x ≤ 0, x ≥ a
∞
∞
o
a
x
dU(x) 保守力与势能之间的关系： 保守力与势能之间的关系： F = − dx 在势阱边界处，粒子要受到无限大、 在势阱边界处，粒子要受到无限大、指向阱内的 表明粒子不能越出势阱, 力，表明粒子不能越出势阱,即粒子在势阱外的概 率为0 率为0。 势阱内的一维定态薛定谔方程为 薛定谔方程为： 势阱内的一维定态薛定谔方程为：
量子力学2.6一维无限深势阱
2008.5
Quantum Mechanics
a、偶宇称态 由于这里内外解
(
2 (x)
x)和 '(
~ cos kx
x)在 | x | a
| x | a 2
处是连续的，
2
更方便的方法是取 ' 连续或 (ln )' 连续。
因此在x
a 处，有 2
ln(cos
kx)
' x a
2
ln(
ex
)
' x
a
，得
2
k tan ka
2
（5）
在x a 处，结果同上。 2
2008.5
Quantum Mechanics
令 则(5)式化为
ka， a
2
2
tan
（6）
（7）
由
2m(V0
E)
,
k
2mE
有
2mV0 2k 2
再利用(6)式,有
2
2
mV0 a 2 2 2
2008.5
(8)
2008.5
Quantum Mechanics
写出分区定态方程 在阱外(经典禁介区)
d2 dx 2
1
2m 2
(V0
E ) 1
0
(1)
令
方程(1)变为
其解为
2m(V0 E)
(2)
1'' 21 0
1 ~ ex
都是方程的解？
2008.5
Quantum Mechanics
考虑到束缚态边界条件：| x | 时 0，有
2008.5
Quantum Mechanics
量子物理之一维无限深势阱中的粒子的波函数
如图所示，有一质量为m的粒子 在一维势阱中运动，势函数为
V(x)
0 (0 x a) (x 0或x a)
由于曲线像“井”且深度无限，因而形象地称为一维
无限深势阱。求粒子的能量、波函数和概率密度。
[解析]由于势能曲线与时间无关，所以属于定态问题。 ∞
由于波函数是连续的，在x = 0处有ψ(0) = 0，所以B = 0。
{范例14.6} 一维无限深势阱中的粒子的波函数
如图所示，有一质量为m的粒子 在一维势阱中运动，势函数为
V(x)
0 (0 x a) (x 0或x a)
由于曲线像“井”且深度无限，因而形象地称为一维
无限深势阱。求粒子的能量、波函数和概率密度。ψ(x) = Asinkx
在x = a处也有ψ(a) = 0，所以Asinka = 0， ∞
∞
由于A不恒为零，所以ka = nπ。
k只能取不连续的值，用kn表示，则 kn = nπ/a (n = 1，2，3，…) n称为量子数。
可 得
En
kn2h 2 2m
π2h 2 2ma2
n2
(n = 1，2，3，…)O
要使问题有解，粒子的能量只能取分立的值，
或者说能量是量子化的，En称为能量的本征值。
n能=量1最状低态的称状为态基，态最，低也能就量是为粒子E1
2h 2 2ma2
h2 8ma2
x a 其他态称
为激发态， E2称为第 一激发态。
{范例14.6} 一维无限深势阱中的粒子的波函数
ψ(x) = Asinkx，
En
kn2h 2 2m
π2h 2 2ma2
∞
由于势阱无限高，粒子不能运动到势阱之外，
无限深势阱中粒子的态密度
２π
ｄφ
０
π
ｓｉｎ
０
θ
ｄθ ＝
４πＶｐ２ ｄｐ ｈ３
关系式 ε＝ ｐ２ 得到三维自由粒子的能量态密度为 ２ｍ
（ ） （ ） Ｄ
ε
＝ ｄｎ ＝ ２πＬ３ ｄε ｈ３
２ｍ
ε ３ ／ ２ １ ／ ２
（３）
同理可求一维和二维自由粒子可能的状态数分
别是：
（ ） ( ) 一维 ２Ｌ ｍ １／２
Ｄε＝
ｈ ２ε
则可以得出在体积 Ｖ ＝Ｌ３ 内，自由粒子的量子态
数关系为 ( ) ，采用动量 Ｌ ３ ｄｎ ＝ ｄｎｘ ｄｎｙ ｄｎｚ ＝ ２π ｄｐｘ ｄｐｙ ｄｐｚ
空间的极坐标形式得到动量大小在 ｐ 到 ｐ＋ｄｐ 的范围 内（动量方向为任意），自由粒子可能状态数为：ｄｎ ＝
∫ ∫ （） ，再由动量与能量 Ｖ ｐ２ｄｐ
ｎ′＝ １ ２
（２）
２
从上两式可以看出，其作为统计基础的波长式
（１）和式（２）并不相同．那么以式（２）作为统计基础
的 结 果 将 会 如 何 呢 ？ 本 文 将 分 别 以 式 （１ ）和 式 （２ ）
为基础推导有限体积中的粒子能量态密度，并通过
对比分析两者之间的异同．
１ 基于动量分立值的统计
考虑粒子处于一个边长为 Ｌ 的正方体容器中，
作者简介：周科（ — １９９７ ），男，四川乐山人，宜春学院物理科学与工程技术学院 ２０１６ 级本科生．
通信作者：李琛， ：
Ｅｍａｉｌ ｌｉｃｈｅｎ＠ ｊｘｙｃｕ．ｅｄｕ．ｃｎ
５４
大 学 物 理
第 ３９ 卷
分布也存 在 一 些 争 议 ［４－８］． 而 解 一 维 无 限 深 势 阱 中 的薛定谔方程自然得到能量 ε 的本征值 ： ［２，３］
2无限深势阱
(odd function)
l =1 时， = /2，e Acos kx
是偶函数
(even function)
l 为其他整数值时，给出相同结果
（可能差正负号，但不影响| |2 ）
由 o (a / 2) Asin(ka / 2) 0
ka n , n 2，4，6，
一维无限深方形势阱中的波函数与能量
U(x)
U(x)
U=U0
U=U0
U→∞
U→∞
E
极
U=0 限
0
x
金属
a
E
U=0
a /2 0 a /2 x
无限深方势阱 （potential well）
x a / 2 U( x) ， 0
x
a / 2 U(x)
0 ，Hˆ
2 2m
d2 d x2
a
所以有能量本征函数：
on
a sin n x 2a
en
a n cos x
2a
0
xa 2
x a 2
（2）全部波函数
考虑振动因子有
n
(
x,
t
)
n
(
x)
e
i
Ent
“能量本征波函数”，“能量本征态”
（3）概率密度：|n( x, t) |2 |n( x) |2
无限深方势阱中的粒子
定态薛定谔方程
[
2
2
U (r )] (r )
E (r )
2m
从数学上来讲：E 不论为何值该方程都有解 从物理上来讲： E只有取某些特定值，该方
27-2 无限深方势阱中的粒子
1( x)
O
E1
n1
1 2a a
O
a
27-2 无限深方势阱中的粒子
第二十七章 薛定谔方程
三
对应原理
在某些极限的条件下，量子规律可以 转化为经典规律 . 能量
En n
2
2 2
2ma
2
, (n 1,2,3,)
势阱中相邻能级之差
E En1 En (2n 1)
0
得
A 2 a
•本征函数
2 n n sin x a a
( n 1,2,3,)
27-2 无限深方势阱中的粒子
第二十七章 薛定谔方程
•本征函数
2 n n sin x a a
i En t
i Ent
( n 1,2,3,)
i En t
定态波函数（考虑到振动因子 (t ) e
2
(n 1,2,3,)
n E1
2
27-2 无限深方势阱中的粒子
第二十七章 薛定谔方程
质子的基态能量
E1
2
(n 1)
2 2
2m p a
2
3.3 10
13
(J)
质子的第一激发态能量 (n 2)
E2 2 E1 13.2 10
放出的能量
13
(J)
E E2 E1 9.9 10 (J) 6 6.19 10 (eV) 6.19(MeV)
2 2
2 ( x) 2 ( x ) E 2 ( x ) 2 2m x E
根据波函数有限的条件
E p
一维无限深势阱粒子能量的可能测量值和相应的几率
一维无限深势阱粒子能量的可能测量值和相应的几率一维无限深势阱粒子能量的可能测量值和相应的几率在量子力学中，一维无限深势阱是一个经典的模型系统，用于研究粒子在受限空间内的性质和行为。
其中，粒子的能量是一个非常重要的物理量，其可能的测量值和相应的几率分布是量子力学中的基本课题之一。
在本文中，我们将深入探讨一维无限深势阱粒子能量的可能测量值和相应的几率，并从简到繁地进行全面评估，帮助读者更深入地理解这一主题。
1. 一维无限深势阱的基本概念在一维无限深势阱中，粒子被限制在一个无限深的势阱内运动，即在势阱内能量为负无穷，在势阱外能量为正无穷。
这样的势阱能够构建一个简单而理想化的量子力学模型，便于对粒子的性质进行研究。
2. 粒子在一维无限深势阱中的波函数和能量本征态根据量子力学的基本原理，粒子在一维无限深势阱中的波函数可以用薛定谔方程进行描述。
解出薛定谔方程后，可以得到粒子的能量本征态和对应的波函数表达式，这些能量本征态对应着粒子可能的能量。
3. 能量的可能测量值和相应的几率分布在量子力学中，能量的测量值是一个物理量的可能取值，其对应的几率分布描述了在测量中可能得到某个值的概率。
对于粒子在一维无限深势阱中的能量，我们可以通过对波函数进行归一化处理，得到能量的可能测量值和相应的几率分布。
这些可能的测量值和几率分布将帮助我们理解粒子在势阱内的能量分布规律。
4. 总结与回顾通过对一维无限深势阱粒子能量的可能测量值和相应的几率进行全面评估，我们可以更深入地理解量子力学中的基本概念和原理。
这也有助于我们在实际研究或应用中更灵活地处理粒子能量的测量和分布问题。
个人观点和理解：量子力学中的一维无限深势阱模型是一个简单而重要的系统，通过对其粒子能量的可能测量值和相应的几率进行深入研究，我们可以更好地理解量子世界中的奇妙规律。
对于我而言，通过撰写本文并深入思考这一主题，我对量子力学中的能量测量和分布问题有了更全面的认识，并且能够更好地应用于我的研究和工作中。
一维无限深方势阱中粒子动量概率分布引出的问题
一维无限深方势阱中粒子动量概率分布引出的问题在量子力学中，无限深方势阱问题是一个简化理想化的问题。
无限正方形势阱是有限大小的正方形势阱。
井内电势为0，井外电势无穷大。
在阱中，粒子可以不受任何力地自由移动。
但是阱壁无限高，粒子完全被约束在阱里。
通过 schr\ddot{o}dinger 方程的解答，明确地呈现出某些量子行为，这些量子行为与实验的结果相符合，然而，与经典力学的理论预测有很大的冲突。
特别令人注目的是，这些量子行为是自然地从边界条件产生的，而非人为勉强添加产生的。
这解答干净利落地展示出，任何类似波的物理系统，自然地会产生量子行为；无限深方势阱问题的粒子的量子行为包括：1.能量的量子化:粒子量子态的本征函数，伴随的能量不是任意的，而只是离散能级谱中的一个能级。
2.基态能量:一个粒子允许的最小能级，称为基态能量，不为零。
3.节点:与经典力学相反，薛定谔方程预言了节点的存在。
这意味着在陷阱的某个地方，发现粒子的概率为零。
这个问题再简单，也能因为能完整分析其薛定谔方程，而导致对量子力学更深入的理解。
其实这个问题也很重要。
无限深正方形势阱问题可以用来模拟许多真实的物理系统，例如直的极细纳米线中导电电子的量子行为。
为了简化问题，本文从一维问题出发，讨论了粒子只在一维空间中运动的问题。
一个粒子束缚于一维无限深方势阱内，阱宽为 l 。
势阱内位势为0，势阱外位势为无限大。
粒子只能移动于束缚的方向（ x 方向）。
一维无限深方势阱的本征函数 \psi_{n} 于本征值 e_{n} 分别为\psi_{n}=\sqrt{\frac{2}{l}}sin(\frac{n\pi x}{l})e_{n}=\frac{n^2 h^2}{8ml^2}其中， n 是正值的整数， h 是普朗克常数， m 是粒子质量。
一维不含时薛定谔方程可以表达为-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{d^2\psi(x)}{dx^2}+v(x)\psi(x)= e\psi(x)其中， \psi(x) 是复值的、不含时的波函数， v(x) 是跟位置有关的位势， e 是正值的能量。
量子力学——有限深方形阱
我们可以观察到，当 x 趋向负无穷，包含 F 的项目趋向无穷。类似地，当 x 趋向无 穷，包含 I 的项目趋向无穷。可是，波函数在任何 x 都必须是有限值。因此，我们必须 设定 。阱外区域的波函数变为: 在阱左边，随着 x 越小，波函数 在阱右边，随着 x 越大，波函数 归一化。 由于有限深方形阱对称于 波函数不是奇函数就是偶函数。 呈指数递减。 呈指数递减。这是合理的。这样，波函数才能够 。我们可以利用这对称性来省略计算步骤。
其中，
是约化普朗克常数， m 是粒子质量，x 是粒子位置，V(x) 是位势，E是能量。
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1.1阱内区域
在阱内，位势
，方程简化为：
(2)
设定波数 为
(3)
代入方程 (2) ：
这是一个经过颇多研究的二阶常微分方程。一般解本征函数 与余弦函数的线性组合：
是正弦函数
其中， A与 B都是复值常数，由边界条件而决定。
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1.2 阱外区域
在阱外，位势
，薛定谔方程为：
视能量是否大于位势而定，有两种不同的解答：
一种是自由粒子解答 另一种是束缚粒子解答
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二、束缚态
假若，粒子的能量小于位势：E＜V0 ，则这粒子束缚于位势阱内．称这粒子的 量子态为束缚态（bound state）。设定 (4)
代入方程 (1) ： 一般解是指数函数。所以，阱左边区域与阱右边区域的波函数分别是
其中，F ，G ，H ，I 都是常数。 从正确的边界条件，我们可以找到常数 A，B ，F ，G ，H ，I 的值
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2.1 束缚态的波函数
薛定谔方程的解答必须具有连续性与连续可微性。这些要求是前面导引出的微分方程的 边界条件。 总结前面导引出的结果，波函数 的形式为： （阱外区域）， （阱内区域）， （阱外区域）。 ：阱左边， ：阱内， ：阱右边，
第12章薛定谔方程一维无限深方势阱中的粒子
狄拉克(1928)提出了相对论性的狄拉克方程，它们是量 子力学的基本方程，二人分享了1933年诺贝尔物理学奖。
§12.6.1 自由粒子薛定谔方程
粒子在 x 方向匀速直线运动，E、px 不变
i p x x E t Y x , t Y0e p2 2Y x , t x 2 Y x , t 2
x 2Y x , t 2
2 p xY x , t
算符(operator) —— 对波函数的运算、变换或操作。
例如
Y x，t ：算符 代表对波函数关于 t 求导； t t Y x，t ：算符 代表对波函数关于 x 求导； x x
ˆ ˆ xY x，t xY x，t ：算符 x 代表用 x 乘波函数；
§12.7.1 无限深方势阱中的粒子
一、一维无限深势阱 金属中自由电子的运动，是被限制在 一个有限的范围 —— 称为束缚态。 作为粗略的近似，我们认为这些电子在一维无限深势 阱中运动，即它的势能函数为
问题的提出：
德拜：问他的学生薛定谔能不 能讲一讲 De Broglie 的 那篇学位论文呢？ 一月以后：薛定谔向大 家介绍了德布罗意的论文。 德拜提醒薛定谔：“对于波，应该有一个波动方程”。 由于经典力学根本没有涉及波粒二象性，微观粒子运动 遵循的方程肯定不能由经典力学导出，它必须根据实验现象 重新建立。 薛定谔(1926)提出了描述微观粒子运动规律的非相对论 性的薛定谔方程.。
由上面可以看出：
Y ( x, t ) ~
2
2 i t ( x )e
( x)
2
即此时，概率密度也可以用 |(x) |2 来表示，即在定态下概率分 布不随时间改变，这正是定态这一名称的由来。(x) 称为定态 波函数。
一维定态问题无限深方势阱
u(x)
2
=
2
sin 2
nπ
a a
0
x, ,
0≤ x≤a x < 0,or, x > a
n = 1, 2,3,
概率分布不均匀，存在概率为零的节点。 但：概率分布不随时间变化！
§2.4 一维定态问题–无限深方势阱
结论：
(3) 束缚在势阱中的粒子的能量是量子化的
=E
E=n
π2 2
2ma2
n2 ,
平均值
∫ = E
+∞
ψ
−∞
*
(r
,
t
)
−
2
2m
∇2
+V
(r,t) ψ
(r , t )dτ
总能能算符：
Hˆ
=−
2
∇2
+V
(r,t)
pˆ 2 =
+V (r,t)
2m
2m
称为粒子的哈密顿算符。
§2.5 力学量的平均值、算符表示—平均值
含时薛定谔方程：
i
∂ψ
∂t
=
−
2
2m
∇2
+ V (r,t) ψ
(1) 粒子的位置 r
例如：一维无限深方势阱
粒子的位置是不确定的，取值在[0, a]之间。 但粒子的概率分布是确定的，是
u(x)
2
=
2 sin2 nπ a a 0
x, ,
0≤ x≤a x < 0,or, x > a
n = 1, 2,3,
所以，可以得到粒子位置的平均值 (假设粒子处在基态 n =1 态)：
2
∇2 2m
+ V (r,t)ψ
量子力学01一维无限深方势阱中的粒子
10
一、一维无限深方势阱中的能量本征态(4)
2 2 最低能量 E1 2m a2 0 经典粒子，可以有 E 0
局域化越强，即 a 越小，则 E1 越大。 En 非均匀分布 2 2
En En 1 En 2ma
2
(2n 1)
n ( x)
正交性和完备性
* m n dx mn 0 a
15
三、 一维谐振子(1)
1、能量本征方程
简谐运动：体系在平衡位置附件的微小振动 一维谐振子：粒子一维情况下的简谐运动，同时 粒子的势能可以表示为 V ( x) Kx 2 2 例如，双原子分子中两原子之间的势能
V ( x) V0 K ( x a)2 2
V 二、态叠加原理（2）
粒子在势阱中可能的态和能量为
2 n x 2 2 2 sin( ), 0 x a; n n ( x) a n 1, 2,3, , a E En 2 2 m a 0, x 0, x a.
但一般情况下，粒子并不只是完全处于其中 的某一状态，而是以某种概率处于其中的某 一状态。换句话说，粒子的状态是所有这些 分立状态的叠加，即 ( x) cn n ( x)
d2 2m 1 2 ( x) 2 ( Kx E ) ( x) 0 2 dx 2
0
a
x
1 E /( x m ， 令 K m， 2 )
d 2 2 得到 ( ) 0 2 d
16
三、一维谐振子(2)
2、能量本征方程的解
, 有 当 时， 其解 ~ e / 2 ( ) Ae u( ) 能量本征方程的解可表示为 u ( ) 为待求函数，代入能量本征方程，有 其中，
一维无限深方势阱中势阱中粒子的能级公式推导
一维无限深方势阱中势阱中粒子的能级公式推导一维无限深方势阱是量子力学教学中常见的模型之一。
在这个模型中，粒子被限制在一个长度为L的势阱中运动，势阱的势能在阱内为零，而在阱外则无限大。
研究一维无限深方势阱中粒子的能级公式推导，可以帮助我们更深入地理解量子力学中的基本概念和数学工具。
下面我将按照深度和广度的要求，从简单的物理概念和数学原理开始，逐步推导一维无限深方势阱中粒子的能级公式，并带有个人的观点和理解。
一、基本概念和数学工具1.1 势阱势阱是一种常见的量子力学模型，它可以用来描述粒子在受限空间中的运动。
在一维无限深方势阱中，势能在阱内为零，而在阱外为无限大，这意味着粒子在阱内具有确定的能量，而在阱外无法存在。
1.2 薛定谔方程薛定谔方程是描述量子力学中粒子运动的基本方程。
对于一维无限深方势阱而言，薛定谔方程可以简化为一维定态薛定谔方程：\[ -\frac{\hbar^2}{2m}\frac{d^2\psi(x)}{dx^2} = E\psi(x) \]其中，ψ(x)是粒子的波函数，m是粒子的质量，E是粒子的能量，ħ是普朗克常数。
二、能级公式的推导2.1 边界条件在一维无限深方势阱中，粒子受到势阱两侧的限制，因此波函数在势阱边界处为零。
这意味着在x=0和x=L处，波函数满足边界条件：\[ \psi(0) = 0 \]\[ \psi(L) = 0 \]2.2 波函数的解根据边界条件，我们可以求解一维定态薛定谔方程得到波函数的解。
波函数的解具有以下形式：\[ \psi_n(x) = \sqrt{\frac{2}{L}}\sin(\frac{n\pi x}{L}) \]其中，n为能级量子数。
2.3 能级公式将波函数的解代入一维定态薛定谔方程中，可以得到粒子的能级公式：\[ E_n = \frac{n^2\pi^2\hbar^2}{2mL^2} \]其中，En为粒子的能量，n为能级量子数。
三、个人观点和理解在推导一维无限深方势阱中粒子的能级公式过程中，我们利用了量子力学基本的数学工具和物理概念，如薛定谔方程、波函数和边界条件。
大学物理教程12.4 一维无限深势阱中的粒子
解 由波函数可知，粒子处在宽度为L的势阱中，将波 函数代入薛定谔方程
（1）当n=1时，对应基态的能量为 E1 2 2mL 25 E5 5 E1 2 2mL
2
第12章 量子力学基础
2
当n=5时为第4激发态，对应的能量为
2
12.4 一维无限深势阱中的粒子
（2）波函数的模平方即粒子的几率密度为
12.4 一维无限深势阱中的粒子
步骤： 确定粒子的哈密顿量；
在全空间写出粒子的能量本征方程； 利用波函数的自然条件确定确定能量本征值 和波函数。
处理的问题：
势阱中的粒子——粒子被束缚在某势场中；
势垒对粒子的散射——自由粒子入射到某势 场中。
第12章 量子力学基础
12.4 一维无限深势阱中的粒子
0
V=0
∞
L
该方程的解只能是： x
e ( x) 0
（2）
无限深方势阱
波函数在阱壁上的连续条件、本征能量
i (0) e (0) 0 i ( L) e ( L) 0
（3） （4）
第12章 量子力学基础
12.4 一维无限深势阱中的粒子
Φi ( x) C sin(kx ) i (0) e (0) 0
( x)dx
( x) dx 1
2
( x) dx 1
2
C
2 L
定态波函数为
2 nπ sin x, ( x) L L 0,
第12章 量子力学基础
0xL 0 x, x L
12.4 一维无限深势阱中的粒子
物理-粒子在一维无限深方势阱中的运动
a
2a
x
a 3
处的几率密度:
(x a ) 2 1 cos 0
3 a2
例2 在阱宽为a 的无限深势阱中,一个粒子的状态为
f (x) 1 sin x 1 sin 2 x
aaa a
问(1)每次可能测到的值和相应概率？ (2)能量的平均值？
解：已知无限深势阱中粒子的
En
2 2
2m a 2
n2
n(x)
m
a
xsin n
a
xdx
1 a
a 0
cos
m a
n
xdx
a 0
cos
m a
n
xdx
0
若mn
a
*
m
(
x)
m
(
x)dx
1
0
可一般的证明,任意Hamiltonian算子属于不同本征值的
本征函数都是正交的。
4、粒子的物质波在阱中形成驻波
k n ,n 1,2,
a
定态波函数: n (x)
2 sin n x
2 2
2ma 2
n2,
n 1,2,3,
质子基态能量:
E1
2 2
2m pa2
3.31013(J )
第一激发态能量:
E2
2 2
2m pa2
22
4E1
E2 E1 9.9 1013 J 6.2(MeV )
1eV 1.6021019 J
相应的能量本征值： E 2k2 ―连续谱
2m
( x) eikx , eikx
自由粒子波函数：
2k2 E
2m
E (x,t)
e ikx
一维无限深势阱粒子能量的平均值
一维无限深势阱粒子能量的平均值下载提示：该文档是本店铺精心编制而成的，希望大家下载后，能够帮助大家解决实际问题。
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大学物理知识总结习题答案(第十章)量子物理基础
其中，m为粒子的质量，U为粒子在外力场中的势能函数，E是粒子的总能量。
·在无限深方势阱中的粒子能量为
整数n称为量子数。每一个可能的能量值称为一个能级。
·在势垒有限的情况下,粒子可以穿过势垒到达另一侧,这种现象叫做势垒贯穿。
7．电子运动状态
·量子力学给出的原子中电子的运动状态由以下四个量子数决定
·在不同的热力学温度T下，单色辐射本领的实验曲线存在一个峰值波长 ，维恩从热力学理论导出T和 满足如下关系
其中b是维恩常量。
3．斯忒藩—玻尔兹曼定律
·斯忒藩—玻尔兹曼定律表明黑体的辐射出射度 与温T的关系
其中 为斯忒藩—玻尔兹曼常量。对于一般的物体
称发射率。
4．黑体辐射
·黑体辐射不是连续地辐射能量，而是一份份地辐射能量，并且每一份能量与电磁波的频率 成正比，这种能量分立的现象被称为能量的量子化，每一份最小能量 被称为一个量子。黑体辐射的能量为 ，其中n＝1，2，3，…，等正整数，h为普朗克常数。
解：每个光子能量为 ，其中 为普朗克常量且
则，100个波长为550nm的光子的光功率为
10-5（1）广播天线以频率1MHz、功率1kW发射无线电波，试求它每秒发射的光子数；（2）利用太阳常量I0＝1.3kW/m2，计算每秒人眼接收到的来自太阳的光子数（人的瞳孔面积约为 ,光波波长约为550nm）。
解：（1）每个光子能量为 ，由
10-7“光的强度越大，光子的能量就越大”，对吗？
答：不对,光的强度是单位时间内照射在单位面积上的光的总能量。一定频率的光强度越大，表明光子数量越多，但每个光子的能量是一定的，只与频率有关，与光子数目无关。
10-8什么是康普顿效应？
答：考察X射线通过物质时向各个方向的散射现象发现，在散射的X射线中，除了存在波长与原有射线相同的成分外，还有波长较长的成分，这种波长改变的散射称为康普顿散射，也称康普顿效应。
高二物理竞赛课件：一维无限深方势阱
得
Hˆ (x, y, z) i
1
df (t)
=E
(x, y, z)
f (t) dt
i
1 df (t) E, f (t) dt
其解
f
(t)
e
i
Et
Hˆ
2
2 U
另一方程: Hˆ (x, y, z) E (x, y, z) 2m
2 2 (x, y, z) U (x, y, z) E (x, y, z) (17-32)
2m
若势能U不显含时间t ,则
(x, y, z,t) (x, y, z) f (t)
Hˆ (x, y, z,t) i (x, y, z,t)
t
Hˆ (x, y, z) f (t) i (x, y, z) f (t)
t
将上式两端除以 (x, y, z) f (t), 并注意到
Hˆ 2 2 U 2m
2m
上式称为定态薛定谔方程。
波函数：
(
x,
y,
z,
t
)
(
x,
y,
z)e
i
Et
概率密度： (x, y, z,t) 2 (x, y, z) 2
概率密度不随时间而改变,是一种稳定状态,即为 定态。
0 0xa
U(x)
U (x)
x 0, x a
o
ax
图17-3
2 2m
d
2 (x)
dx2
U
(x)
Ψ(r, , ) =R(r)()Φ()
(17-47)
在E<0(束缚态)的情况下求解上述方程，可得如下 结论：
1. 能量量子化 为使波函数满足标准条件，电子(或说是整个原 子)的能量只能是