河北省邢台市广宗县中考数学专题复习 6 共顶点的等腰三角形问题优质课件

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等腰三角形的复习ppt课件

特点
等腰三角形是轴对称图形，有一条对称轴，即底边的垂直平分线（或底边的中垂线）。
等腰三角形性质
等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）。
等腰三角形的顶角的平分线，底边上的中线，底边上的高的重合（简写成“三线合一”）。
等腰三角形是轴对称图形，对称轴是底边的垂直平分线。
判定方法
在一个三角形中，如果一个角的平分线与它所对边的高重合，那
么这个三角形是等腰三角形。
在一个三角形中，如果一条边上的中线等于这条边的一半，那么
这个三角形是等腰三角形。
在一个三角形中，如果两个角的度数相等，那么这两个角所对的边也相等，即这个三角形是等腰
三角形。
02
等腰三角形面积与周长计算
面积计算公式
等腰三角形面积公式
01
$S = frac{1}{2} times 底 times 高$
题目2 已知等腰三角形ABC的周长为16cm，AD是底边 BC上的中线，AD∶AB = 3∶5，且△ABD的周长为12cm，求△ABC的各边长及AD的长．
题目3 已知等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为 45°，且腰长为6，则其面积为多少？
THANKS
感谢您的观看
善于利用图形中的隐含条件，如公共边、公共角等。
辅助线构造方法
等腰三角形中的高
连接顶点与底边中点，构造出高，利用高的性质进行证明。
中位线
连接两腰中点，构造出中位线，利用中位线的性质进行证明。
角平分线
若题目中涉及到角的平分，可以构造角平分线，利用角平分线的性质进行证明。
典型例题解析
解析
根据等腰三角形的性质，我们知道∠B=∠C。又因为AD是BC边上的高，所以 ∠ADB=∠ADC=90°。根据三角形的全等判定，我们可以证明 △ABD≌△ACD，从而得出∠BAD=∠CAD。

等腰三角形课件PPT

等腰三角形中的塞瓦定理与梅涅劳斯定理
在等腰三角形中，若点P位于底边中线上，则AP、BP、CP分别交BC、AC、AB于点D、E 、F时，满足塞瓦定理和梅涅劳斯定理。
挑战性问题：寻找最大面积等腰三角形
问题描述
给定一条长度为L的线段AB，在 AB的同一侧作两个等边三角形 ABC和ABD，连接CD。在AB上取一点P，连接CP和DP。试找出使得△CPD面积最大的点P的位置
05
等腰三角形相关定理证明
勾股定理在等腰三角形中证明
01
勾股定理基本内容
在直角三角形中，直角边的平方和等于斜边的平方。
02
等腰三角形与勾股定理关系
当等腰三角形为直角三角形时，其两条腰为直角边，底边为斜边，满足
勾股定理。
03
证明过程
设等腰直角三角形的两条腰为a，底边为c，根据勾股定理有a² + a² =
等角对等边
两个底角相等，且每个底角都等于顶角的补角
。
对称性
等腰三角形是轴对称图形，对称轴是底边的垂
直平分线。
等腰三角形与等边三角形关系
等边三角形是特殊的等腰三角形
等边三角形的三边都相等，因此它也满足等腰三角形的定义。
等腰三角形不一定是等边三角形
虽然等腰三角形的两腰相等，但它的底边可以与两腰不等，因此不是所有等腰三角形都是等边三角形。
c²，化简得2a² = c²，从而证明了在等腰直角三角形中，勾股定理成立
。
射影定理在等腰三角形中证明
射影定理基本内容
在直角三角形中，斜边上的垂线将斜边分为两段，这两段与直角边的乘积相等。
等腰三角形与射影定理关系
当等腰三角形为直角三角形时，其高线即为斜边上的垂线，满足射影定理。

等腰三角形课件

02
例题2
已知△ABC中，∠A=∠B+∠C，求证：△ABC是等腰三角形。
03
例题3
已知△ABC中，AB=AC，D是BC 上一点，E是AC上一点，且
AD=AE，求证：∠BAD=∠EDC。
实际应用举例
应用1
应用2
在筑设计中，等腰三角形常被用于设计具有对称美的建筑结构，如尖顶房屋、桥梁等。
在几何作图中，等腰三角形可以作为基本图形之一，用于构造其他复杂图形。
与其他特殊三角形关系
与等边三角形的关系
与相似三角形的关系
等边三角形是特殊的等腰三角形，三边都相等。
若两个等腰三角形的顶角相等，则这两个等腰三角形相似。
与直角三角形的关系
等腰直角三角形是特殊的等腰三角形，其中一个角为90度。
02
等腰三角形性质探究
对称性
等腰三角形是轴对称图形，对称轴是底边的垂直平分线。
THANKS
应用3
在物理学中，等腰三角形可以用于描述某些物理现象，如光的反射、折射等。
应用4
在工程测量中，等腰三角形可以用于计算距离、角度等参数，为工程建设提供准确的数据支持。
04
等腰三角形在几何变换中性质
平移、旋转和翻折变换下性质保持
01
02
03
平移变换
等腰三角形在平移过程中，其形状、大小以及两腰之间的夹角均保持不变。
在尺寸上有所不同。
对应角相等
相似变换下，等腰三角形的对应角仍然相等，即两个底角和一个
顶角分别相等。
对应边成比例
相似变换后，新的等腰三角形的对应边与原三角形的对应边成比例。这意味着两腰之间的比例和两底之间的比例在相似变换前后

等腰三角形ppt课件

D
B
G
C
E
能力提升等腰三角形中的分类讨论思想
3. 在△ABC中，∠A=50°，当∠B= 等腰三角形.
时，△ABC是
4. 已知等腰三角形ABC的面积为30，AB=AC=10，则底边
BC的长度为
.
总结归纳
1. 等腰三角形的判定定理：有两个角相等的三角形是等腰三角形(简称“等角对等边”)
2. 反证法：先假设结论不成立，然后推导与已知定理相矛盾的结果，
（
①∠1= 72°, ∠2=36° ；
36°
②图中有 3 个等腰三角形；
③如果 AD =4 cm，则BC = 4 cm；
④如果过点 D 作 DE∥BC,交AB于点E,
则图中有 5 个等腰三角形.
E
D
2
1
B 36° 72° C
4. 用反证法证明“一个三角形中至多有一个钝角”时，应假设
能力提升通过 “作辅助线构造全等三角形” 证明
A 12
B
D
C
∵∠1=∠2 ,
∴ BD=DC
C D
1
A2
B
∵∠1=∠2, ∴ DC=BC
错，因为都不是在同一个三角形中
归纳小结
等腰三角形的判定定理：
注意：在同一个三角形中应用哟！
有两个角相等的三角形是等腰三角形(简称“等角对等边”)
A 几何语言：
∵ 在△ABC中，
∴∠BA=B∠=ACC, (等角对等边)
第一章三角形的证明
第一节等腰三角形第三课时
温故知新
问题1：等腰三角形是怎样定义的？
有两条边相等的三角形叫做等腰三角形问题2：等腰三角形有哪些性质定理及推论？

等腰三角形ppt课件

THANKS
感谢观看
工程绘图
在工程绘图中，等边三角形可用于表示某些特定的角度或距离关系，简化绘图过程。
标志设计
由于等边三角形具有对称性和稳定性，因此在标志设计中常被用作基本图形元素，如交通标志中的警告标志。
数学教育
在数学教育中，等边三角形常被用作教学工具，帮助学生理解几何形状、角度和边长关系等基本概念。
如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相
等。
等腰三角形性质总结
性质1
等腰三角形的两个底角相等。
性质2
等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合，简称“三线合一”。
性质3
等腰三角形的对称轴是底边的垂直平分线。
性质4
等腰三角形是轴对称图形，只有一条对称轴。
02 等腰三角形面积与周长计算
06 课件总结与回顾
关键知识点总结
定义
两边相等的三角形称为等腰三角形。
性质
等腰三角形的两个底角相等；底边上的中线、高线和顶角的平分线三线合一。
关键知识点总结
等腰三角形的判定
定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简称：等角对等边）。
推论：三个角都相等的三角形是等边三角形。
特点
等腰三角形是轴对称图形，对称轴是底边的垂直平分线。
等腰三角形判定定理
01
02
03
04
边边边定理
如果两个三角形的三边分别相等，则这两个三角形全等。
边角边定理
如果两个三角形有两边和夹角分别相等，则这两个三角形全
等。
角边角定理
如果两个三角形有两个角和夹边分别相等，则这两个三角形

等腰三角形课件PPT

探索并证明等腰三角形的性质
在练习本上任意画一个等腰三角形，把它剪下来，折一折，上面得出的结论仍然成立吗？由此你能概括出等腰三角形的性质吗？
探索并证明等腰三角形的性质
等腰三角形的性质: （1）等腰三角形的两个底角相等；（2）等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底
边上的高互相重合．
探索并证明等腰三角形的性质
探索并证明等腰三角形的性质
已知：如图，△ABC 中，AB =AC．求证：∠B =
∠C． A
证明：作底边的中线AD．
∵ AB =AC，
BD =CD， AD =AD， ∴ △ABD ≌△ACD（SSS）． ∴ ∠B =∠C．
Ｂ
D
C
探索并证明等腰三角形的性质
你还有其他方法证明性质1吗？可以作底边的高线或顶角的角平分线.
思考与等腰三角形性质进
行比较看有什么区别？
B
C
课堂练习
练习1 如图，∠A =36°，∠DBC =36°，∠C =
72°，图中一共有几个等腰三角形？找出其中的一个
等腰三角形给予证明．
A
共有3个等腰三角形．（证明略）
D
B
C
巩固等腰三角形的判定定理
例1 求证：如果三角形一个外角的平分线平行于三角形的一边，那么这个三角形是等腰三角形.
探索等腰三角形的判定定理
问题一个三角形满足什么条件是等腰三角形？
探索等腰三角形的判定定理
思考1 如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边有什么关系？
这两个角所对的边相等．
探索等腰三角形的判定定理
思考2 这个命题的题设和结论又分别是什么呢？如何证明这个命题？
题设：一个三角形有两个角相等．结论：这两个角所对的边相等．

共顶点的等腰三角形问题课件

边长性质
总结词
共顶点的等腰三角形具有特定的边长关系，即两腰相等，底边与其中一腰不等。
详细描述
由于是等腰三角形，两腰的长度必然相等。而共顶点的两个等腰三角形共享一个顶点，因此它们的边长关系也是固定的。具体来说，两腰相等，而底边与其中一腰的长度不等。
面积性质
总结词
共顶点的等腰三角形具有特定的面积关系，即两个等腰三角形的面积之和等于以底边为基的三角形的面积。
02
等腰三角形两腰之间的角称为顶角，底边与两腰之间的角称为底角。
共顶点的等腰三角形的特性
共顶点的等腰三角形是指两个或多个等腰三角形共用一个顶点，且各等腰三角形的腰和底边分别相等。
共顶点的等腰三角形具有轴对称性，即沿对称轴对折后，两侧图形能够完全重合。
共顶点的等腰三角形的分类
根据共顶点的等腰三角形的数量，可分为双共顶点的等腰三角形和多共顶点的等腰三角形。
共顶点的等腰三角形问题课件
目录
• 共顶点的等腰三角形的基本概念 • 共顶点的等腰三角形的性质 • 共顶点的等腰三角形的构造方法 • 共顶点的等腰三角形的应用 • 共顶点的等腰三角形的习题与解析
01
共顶点的等腰三角形的基本概念
等腰三角形的定义
01
等腰三角形是两边长度相等的三角形，其中两个等长的边称为腰，另一边称为底边。
高难度习题
题目5
已知等腰三角形ABC，AB=AC，D为BC延长线上一点，E、F为AD上两点，且∠BEC=160°，∠BDC=5°。求 ∠EDF的度数。
题目6
已知等腰三角形ABC，AB=AC，D为BC延长线上一点，E、F、G为AD上三点，且∠BEC=170°，∠BDC=10° 。求∠DEFG的度数。

等腰三角形复习PPT课件

说明本题易明显得出DG和EG所在的△DBG和△ECG不全等，故要构造三角形的全等，本题的另一种证法是过E作EF∥BD，交BC的延长线于F，证明 △DBG≌△EFG，同学们不妨试一试。
例8 如图2-8-6，在△ABC中，AB=AC=CB，AE=CD，AD、 BE相交于P，BQ⊥AD于Q. 求证：BP=2PQ
Ｄ
150°
Ｈ
Ｏ
ＣＥ
Ｆa
请把这个等腰三角形纸片折成两个等腰
三角形！
A
A
A
36°
36°
D
36°
D
B
CB
CB
C
请把这个三角形纸片折成两个等腰三角形！
20°
B
A
120°
40°
C
A
120°
20°
B
D
40°
20°
CB
A
120°
40°
DC
在下图三角形的边上找出一点，使得该点与三角形的其中两顶点构成等腰三角形！
例7 如图2-8-1,中，AB=AC，D为AB上一点，E为AC延长线上一点，且BD=CE，DE交BC于G 求证：DG=EG
• 思路因为△GDB和△GEC不全等，所以考虑在△GDB内作出一个与△GEC全等的三角形。
证明：过D作DH∥AE，交BC于H ∴ ∵AB=AC ∴ ∴ ∴DB=DH 又∵DB=CE ∴DH=CE 又∵ ∴ ∴DG=EG.
AD=DE=EB.
• 分析：求本∠A题的有度较数多.的等腰三角形的条件，最好用列方程组的方法来求解，应当在图形上标出各未知数，可使解题过
程清晰明了。
解：设∠A=x ，∠EBD=y，∠C=z
∵AB=AC
A

等腰三角形ppt课件

(× )
2、如图2，在△ABC中，∵AB=AC ∴∠ADB=∠AEC. (× )
小结：“等边对等角”的使用条件是在同一个三角形中，注意对应.等边对等角是证明两个角相等的一种常用方法.
A A
B 图1
C BD E C 图2
证明猜想2
A
猜想2 等腰三角形的顶角平分线，底边
上的中线、底边上的高相互重合.
B
C
∟
∴ A ⊥ BC ， BD = CD .
D
D
归纳小结：
“三线合一”可以帮助我们解决线段的垂直、相等
以及角的相等问题.
知一线得二线
在等腰三角形中，（在△ABC中，AB=AC）
① ∠BAD =∠CAD，② AD ⊥ BC，③ BD = CD 中已知任意一
个都可以得其它两个条件.
1、如图1，在△ABC中,∵AB=BC, ∴∠B=∠C .
D FE C A
变式3 如图，在△ABC中，AB=AC，BD⊥AC，
∠A = 36，求∠DBC的度数.
D
变式4
在△ABC中，AB=AC，BD⊥AC，
∠A = 110，求∠DBC的度数.
小结：分类讨论思想
B
C
畅所欲言
➢ 本堂课你学到了什么知识？ ➢ 本堂课你收获了哪些方法？ ➢ 本堂课你体会了什么思想？
……
课堂小结一、牢记三个性质：
注意是指同一个三角形中
轴对称性、等边对等角、“三线合一”
注意是指顶角的平分线,底边上的高和中线才有这一性质
二、明确三种添加辅助线的方法：方法不同，作用不同
三、理解三种思想：转化思想、方程思想、分类讨论思想
课后练习：
必做题：

中考数学专题《等腰三角形》复习课件(共18张PPT)

挑战7：已知△ABC中，AB=AC，点D在AC上，
且BD=BC=AD，求△ABC各角的度数。 A
解：因为AB=AC，所以∠ABC=∠C 因为BD=BC=AD，所以 ∠C=∠BDC ∠A=∠ABD 设∠A=x°，则∠ABD= x°， ∠BDC=2 x°， ∠C=2 x°
X°
D
B
X°
2X° 2X°
C
根据题意得：x+2x+2x=180
等腰三角形复习
思考
怎样的三角形叫做等腰三角形？
有__两__条__边__相__等____的三角形叫做_等__腰__三__角__形______。 A 顶角
腰
腰
B 底角
底边
C 底角
三角形
性质
判定
等腰 1.等边对等角。三角形 2.三线合一。
1.等角对等边。
2.定义：两边相等的三角形是等要三角形。
A
D
B
C
E
5、如图，直线AB平行直线CD，AD
交BC于O，且AO=BO。求证：
A
(1)∠C=∠D
(2)OC=OD
C
B O
D
6、如图，AB=AC，BD⊥AC于D， A
求证：∠DBC= ∠A
1
2
D
B
E
C
7、在Rt △ ABC中，∠ACB=90°，D、 E在斜边AB上，且AC=AE，BD=BC，
求∠DCE的度数
ＢＤ
Ｃ
2. 如图：点B、C、D、E、F在∠MAN的边上， ∠A=15°，AB=BC=CD＝DE=EF，求∠ MEF的度数。
M
E C
A
B
DF
N
3 求证：等腰三角形底边中点到两腰（中点）的距离相等

冀教版八年级数学上册《等腰三角形》-课件-(共33张PPT)

（1）把△ABC沿BC边上的高AD所在的直线折叠， △ABC被直线 AD分成的两部分能够重合吗？如果重合，请指出重合的部分？
A
B
C
D
（1）把△ABC沿BC边上的高AD所在的直线折叠， △ABC被直线 AD分成的两部分能够重合吗？如果重合，请指出重合的部分？
A
B
C
D
（1）把△ABC沿BC边上的高AD所在的直线折叠， △ABC被直线 AD分成的两部分能够重合吗？如果重合，请指出重合的部分？
M
A
O
N
B
C
1 72° 72°
B
C
5.在等腰直角三角形ABC中, ∠ACB =90°,CD 是底边上的高,那么图中有 3 个等腰直角三角形，分别是 △ACB、 △ADC、 △BDC 。
C
45° 45°
45°
45°
A
D
B
6.如图,AD是△ABC的外角∠EAC的平分线,
且AD∥BC,试判断△ABC的形状,并说明理由
冀教版八年级数学上册《等腰三角形》课件 (
共33张PPT)
2023/5/28
学习目标
• 1、探索并证明等腰三角形的判定定理。 • 2、等腰三角形判定定理的运用。
学习重点：等腰三角形判定定理的运用。
复习引入
等腰三角形有哪些特征呢？
1.等腰三角形的两腰相等；
A
2.等腰三角形的两个底角相等 ,（简称“ 等边对等角”）；
选作：P146 －B组1题
八.检测
1.下列四个说法中，不正确的有（Ｂ）
①三个角都相等的三角形是等边三角形。 ➢ ②有两个角等于60°的三角形是等边三角形。 ➢ ③有一个是60°的等腰三角形是等边三角形。 ➢ ④有两个角相等的等腰三角形是等边三角形。

河北省邢台市广宗县中考数学专题复习 4 等腰三角形中辅助线的作法课件

类型二：巧用等腰直角三角形构造全等
如图1，OA=2，OB=4，以A点为顶点，AB为腰在第三象限作等腰直角△ABC.
(1)点求C的坐标；
(2)如图2，P为y轴负半轴上一个动点，当P点向y轴负半轴向下运动时，以P为顶
点，PA为腰作等腰直角△APD，过D作DE⊥x轴于E点，求OP－DE的值.
y
y
A
AO
Ox
y AO
Q
E x
D
P 图2
类型三：等腰(边)三角形中截长补短构造全等或等边三角形如图，△ABC是正三角形，△BDC是顶角∠BDC＝120°的等腰三角形，以
D为顶点作一个60°的角，角的两边分别交AB、AC于M、N两点，连结MN，求证：MN＝BM＋CN.
A
M Nห้องสมุดไป่ตู้
B
C
D
如图，△ABC是正三角形，△BDC是顶角∠BDC＝120°的等腰三角形，以
在△ABC 外，求证：∠ACD＝∠B. A
D
B
EC
如图，已知△ABC 中，AB＝AC，CD⊥AD 于 D，CD＝ 1 BC，D 2
在△ABC 外，求证：∠ACD＝∠B.
A
证明：过点 A 作 AE⊥BC 于点 E 又∵CD⊥AD，AE⊥BC
∵AB＝AC
∴△ACD和△ABE均为直角三角形
D ∴BE＝ 1 BC
在等腰三角形中，如遇等边或等角，可以考虑作底边上的高线，运用“三线合一”性质解题；如遇垂直平分，可以考虑构造等腰三角形解题.
等腰三角形中辅助线的作法⑵
等腰直角三角形和等边三角形是特殊的等腰三角形，它们除具有等腰三角形的所有性质外，还有自身独特的性质，因而在解题中，可以充分利用它们独特性质构造全等的三角形，以突破解题的难点.

2021年中考数学复习《等腰三角形》课件(共57张PPT)

3.(2012·泸州中考)如图，△ABC是等边三角形，D是AB边上一点，以CD为边作等边三角形CDE，使点E，A在直线DC的同侧，连接AE. 求证：AE∥BC.
【解题指南】先证明∠BCD=∠ACE，再根据SAS证明 △DBC≌△EAC，根据内错角相等，两直线平行证明AE∥BC.
【证明】∵△ABC和△EDC是等边三角形， ∴∠BCA=∠DCE=60°， ∴∠BCA-∠ACD=∠DCE-∠ACD，即 ∠ BCD=∠ACE. 在 △ DBC 和 △ EAC 中， BC=AC ， ∠BCD=∠ACE，DC=EC， ∴△DBC≌△EAC(S.A.S.)， ∴∠DBC=∠EAC. 又∵∠DBC=∠ACB=60°， ∴∠ACB=∠EAC， ∴AE∥BC.
【解析】∵△ABC是等边三角形，∴∠ACB=60°， ∠ACD=120°.∵CG=CD，∴∠CDG=30°， ∠FDE=150°.∵DF=DE，∴∠E=15°. 答案：15
2.(2014·益阳中考)如图，将等边△ABC
绕顶点A顺时针方向旋转，使边AB与AC重
合得△ACD，BC的中点E的对应点为F，则
3)，在坐标轴上找一点P，使得△AOP是等腰三角形，则这样的
点P共有
个.
【审题视点】
创图形与坐标的探索题：新 (1)等腰三角形与直角坐标系中点相结合. 点 (2)数形结合思想的巧妙运用.
切 (1)线段OA垂直平分线与坐标轴的交点. 入 (2)以O为圆心，OA长为半径的圆与坐标轴的交点. 点 (3)以A为圆心，AO长为半径的圆与坐标轴的交点.
【自主解答】(1)∵△ABC是等边三角形， ∴∠B=60°， ∵DE∥AB， ∴∠EDC=∠B=60°， ∵EF⊥DE， ∴∠DEF=90°， ∴∠F=90°-∠EDC=30°.