中考数学解题技巧专题：勾股定理与面积问题

解题技巧专题：勾股定理与面积问题

——全方位求面积，一网搜罗

◆类型一直角三角形中，利用面积求斜边上的高

1．(郴州桂阳县期末)在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝9，BC＝12，则C点到AB的距离为【方法1】()

A.

5

36 B.

36

5 C.

33

4 D.

12

25

2．如图，在2×2的方格中，小正方形的边长是1，点A，B，C都在网格点上，则AB 边上的高为()

A.

35

5 B.

25

5 C.

35

10 D.

32

2

第2题图第6题图

◆类型二结合乘法公式巧求面积或周长

3．直角三角形的周长为24，斜边长为10，则其面积为()

A．96 B．49 C．24 D．48

4．若一个直角三角形的面积为6cm2，斜边长为5cm，则该直角三角形的周长是() A．7cm B．10cm

C．(5＋37)cm D．12cm

◆类型三巧妙分割求面积

5．如图，已知AB＝5，BC＝12，CD＝13，DA＝10，AB⊥BC，求四边形ABCD的面积．

◆类型四“勾股树”及其拓展类型中有关面积的计算

6．如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为10cm，正方形A的边长为6cm，B的边长为5cm，C的边长为5cm，则正方形D的边长为()

A.14cm B．4cm C.15cm D．3cm

7．如图，直线l上有三个正方形a，b，c，若a，c的面积分别为5和11，则b的面积为()

A．4 B．36 C．16 D．55

第7题图第8题图

8．(青海中考)如图，正方形ABCD的边长为2，其面积标记为S1，以CD为斜边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为S2……按照此规律继续下去，则S9的值为()

A.⎝⎛⎭⎫

1

2

6

B.⎝⎛⎭⎫

1

2

7

C.⎝⎛⎭⎫

2

2

6

D.⎝⎛⎭⎫

2

2

7

◆类型五“赵爽弦图”中有关面积的计算

9．“赵爽弦图”是四个全等的直角三角形与中间一个正方形拼成的大正方形．如图，每一个直角三角形的两条直角边的长分别是3和6，则大正方形与小正方形的面积差是() A．9 B．36 C．27 D．34

第9题图第10题图

10．(永州零陵区校级模拟)如图是4个全等的直角三角形与1个正方形镶嵌而成的正方形图案，已知大正方形面积为49，小正方形面积为4，若用x，y表示直角三角形的两直角边(x＞y)，下列四个说法：①x2＋y2＝49；②x－y＝2；③2xy＋4＝49；④x＋y＝9.其中说法正确的是()

A．①②B．①②③

C．①②④D．①②③④

参考答案与解析

1．B

2．A解析：过点C作CD⊥AB于点D.∵S△ABC＝22－

1

2×1×2－

1

2×1×1－

1

2×1×2＝

3

2，又∵S△ABC＝

1

2AB·CD，∴

1

2AB·CD＝

3

2.∵AB＝1

2＋22＝5，∴CD＝

35

5.故选A.

3．C解析：设该直角三角形的两直角边长分别为a，b，则有a＋b＝14①，a2＋b2＝102②.①两边同时平方，得a2＋b2＋2ab＝142，所以2ab＝96，所以ab＝48，

1

2ab＝24.故选C.

4．D

5．解：连接AC，过点C作CE⊥AD交AD于点E.∵AB⊥BC，∴∠CBA＝90°.在Rt△ABC 中，由勾股定理得AC＝AB2＋BC2＝52＋122＝13.∵CD＝13，∴AC＝CD，即△ACD是等腰三角形．∵CE⊥AD，∴AE＝

1

2AD＝

1

2×10＝5.在Rt△ACE中，由勾股定理得CE＝AC2－AE2＝132－52＝12.∴S四边形ABCD＝S△ABC＋S△CAD＝

1

2AB·BC＋

1

2AD·CE＝

1

2(12×5＋10×12)＝90.

6．A7.C

8．A解析：在图中标上字母E，如图所示．∵正方形ABCD的边长为2，△CDE为等腰直角三角形，∴DE2＋CE2＝CD2，DE＝CE，∴S2＋S2＝S1.观察，发现规律：S1＝22＝4，S2＝

1

2S1＝2，S3＝

1

2S2＝1，S4＝

1

2S3＝

1

2，…，∴S n＝⎝

⎛

⎭

⎫1

2

n－3

.当n＝9时，S9＝⎝⎛⎭⎫

1

2

9－3

＝⎝⎛⎭⎫

1

2

6

.故选A.

9．B解析：大正方形的面积为32＋62＝45，小正方形的面积为(6－3)2＝9，则面积差为45－9＝36.故选B.

10．B解析：由题意得

⎩⎪

⎨

⎪⎧x2＋y2＝49①，

（x－y）2＝4②，

①－②得2xy＝45③，∴2xy＋4＝49，①＋③得x2＋2xy＋y2＝94，∴x＋y＝94，∴①②③正确，④错误．故选B.