解题技巧专题：勾股定理与面积问题
勾股定理典型题总结(较难)
勾股定理一．勾股定理证明与拓展 模型一. 图中三个正方形面积关系思考：如下图，以直角三角形a 、b 、c 为边，向外作等边三角形、半圆、等腰直角三角形和正方形，上述四种情况的面积有和关系？例1、有一个面积为1的正方形，经过一次“生长”后，在他的左右肩上上生出两个小正方形（如图1），其中，三个正方形围成的三角形是直角三角形，再经过一次“生长”后，生出了4个正方形（如图2），如果按此规律继续“生长”下去，它将变得“枝繁叶茂”；在“生长”了2017次后形成的图形中所有正方形的面积和是 .变式1：在直线l 上依次摆放着七个正方形(如图1所示)．已知斜放置的三个正方形的面积分别是1，1. 21，1. 44，正放置的四个正方形的面积依次是1234S S S S ，，，，则41S S =______.变式2：如图，四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC+∠DCB=90°，且BC=2AD，以AB、BC、DC为边向外作正方形，其面积分别为S1、S2、S3，若S1=3，S3=9，求S2.（变式2）（变式3）变式3：如图，Rt△ABC 的面积为10cm2，在AB 的同侧，分别以AB，BC，AC 为直径作三个半圆，则阴影部分的面积为．（难题）如图，是小明为学校举办的数学文化节设计的标志，在△ABC 中，∠ACB＝ 90°，以△ABC 的各边为边作三个正方形，点G 落在HI 上，若AC＋BC＝6，空白部分面积为10.5，则阴影部分面积模型二外弦图DCBA内弦图GFEH例题2.四年一度的国际数学大会于2002年8月20日在北京召开，大会会标如图所示，它是由四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形，若大正方形的面积为13，每个直角三角形两直角边的和是5。
求中间小正方形的面积为__________;变式1：如图，是用4个全等的直角三角形与1个小正方形镶嵌而成的正方图案，已知大正方形面积为25，小正方形面积为1，若用x 、y 表示直角三角形的两直角边（x y >），下列四个说法：①2225x y +=，②2x y -=，③2125xy +=，④9x y +=．其中说法正确的有___________（填序号）.(变式1) (变式2)变式2：如图,正方形ABCD 的边长为10，AG=CH=8，BG=DH=6，连接GH ，则线段GH 的长 为变式3：我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一副“弦图”，后人称为“赵爽弦图”（如图5），图6是由弦图变化得到的，他是由八个全等的直角三角形拼接而成。
勾股定理(知识点+题型分类练习)
ABCabc弦股勾勾股定理（知识点）【知识要点】1. 勾股定理的概念：如果直角三角形的两直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么 a2＋b2＝c2. 即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。
常用关系式由三角形面积公式可得：AB·CD=AC·BC2. 勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c有下面关系：a2＋b2＝c2，那么这个三角形是直角三角形，其中c为斜边。
3. 勾股数：①满足a2＋b2＝c2的三个正整数叫做勾股数（注意：若a，b，c、为勾股数，那么ka，kb，kc同样也是勾股数组。
）②记住常见的勾股数可以提高解题速度，如3,4,5；6,8,10；5,12,13；7,24,25；8,15,17等③用含字母的代数式表示n组勾股数：221,2,1n n n -+（2,n ≥n 为正整数）； 2221,22,221n n n n n ++++（n 为正整数）2222,2,m n mn m n -+（,m n >m ，n 为正整数）4.判断直角三角形：（1）有一个角为90°的三角形是直角三角形。
（2）有两个角互余的三角形是直角三角形。
（3）如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。
（4）如果三角形的三边长a 、b 、c 满足a 2+b 2=c 2 ，那么这个三角形是直角三角形。
（经典直角三角形：勾三、股四、弦五）用勾股定理逆定理判断三角形是否为直角三角形的一般步骤是： （1）确定最大边（不妨设为c ）；（2）若c 2＝a 2＋b 2，则△ABC 是以∠C 为直角的三角形；若a 2＋b 2＜c 2，则此三角形为钝角三角形（其中c 为最大边）； 若a 2＋b 2＞c 2，则此三角形为锐角三角形（其中c 为最大边）5.直角三角形的性质（1）直角三角形的两个锐角互余。
可表示如下：∠C=90°⇒∠A+∠B=90°B（2）在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半。
专题11 解题技巧专题：勾股定理与面积问题、方程思想压轴题七种模型全攻略(解析版)
专题11解题技巧专题：勾股定理与面积问题、方程思想压轴题七种模型全攻略【考点导航】目录【典型例题】 (1)【类型一三角形中，利用面积求斜边上的高】 (1)【考点二结合乘法公式巧求面积或长度】 (6)【考点三巧妙割补求面积】 (9)【考点四“勾股树”及其拓展类型求面积】 (13)【考点五几何图形中的方程思想—折叠问题（利用等边建立方程）】 (19)【考点六几何图形中的方程思想—公边问题（利用公边建立方程）】 (25)【考点七实际问题中的方程思想】 (28)【典型例题】【类型一三角形中，利用面积求斜边上的高】A．8013B．【答案】D【变式训练】A．5【答案】C【分析】根据图形，可以求出根据题意得，13AB AC BC ==，∴1122BD BC ==，在Rt ADB 中，根据勾股定理得，∴22221312AD AB BD =-=-3．（2022·全国·八年级课时练习）如图，在网格中，每个小正方形的边长均为1．点A 、B ，C 都在格点上，若BD 是△ABC 的高，则BD 的长为__________．【答案】ABC 中AB 【分析】如图所述，过点在Rt △ABD 中，可求出【详解】解：如图所述，过点∵ABC 是格点图形，每个小正方形的边长为单位∴3AD =，3BC =，BD ∴在Rt △ABD 中，AB =∵11·22ABC S BC AD == ∴·335BC AD CE AB ⨯===(1)求BC的长．(2)求斜边AB边上的高．BC【答案】(1)=6(2)斜边AB边上的高是【点睛】本题考查勾股定理，三角形的面积，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．6．（2023秋·全国·八年级专题练习）在【类型二结合乘法公式巧求面积或长度】例题：已知在Rt ABC 中，90,,C A B C ∠=︒∠∠∠,所对的边分别为a ，b ，c ，若10cm,8cm a b c +==，则Rt ABC 的面积为（）A ．29cm B ．218cm C ．224cm D ．236cm 【答案】A【解析】【变式训练】1．在ABC 中，AD 是BC 边上的高，4,5AD AB AC ===，则ABC 的面积为（）A ．18B ．24C ．18或24D ．18或303．直角ABC 三边长分别是x ，1x +和5，则ABC 的面积为__________．【类型三巧妙割补求面积】是直角三角形；(1)求证：ACD(2)求四边形ABCD的面积．【答案】(1)见解析【变式训练】【答案】24平方米【分析】连接AC，根据勾股定理求出据直角三角形的面积公式求出结果即可．∠=︒，4=ADC90AD米，CD=225∴=+=米，AC AD CD(1)求这个四边形草地的面积；(2)如果清理草地杂草，每平方米需要人工费36m【答案】(1)2(2)清理完这块草地杂草需要（2）解：2036720⨯=（元）答：清理完这块草地杂草需要【点睛】本题主要考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，解题的关键是掌握直角三角形两直角边的平方和等于斜边平方，两边平方和等于第三边平方的三角形是直角三角形．(1)求线段CD 与BC 的长；(2)求四边形ABCD 的面积；(3)求证：90BCD ∠=︒．【答案】(1)25BC =，(2)292(3)见解析∴22345BD =+=，∵()22225BC CD +=+∴222BC CD BD +=，∴BCD △是直角三角形，且∴90BCD ∠=︒．【点睛】此题考查勾股定理和勾股定理的逆定理，关键是根据勾股定理得出各边的长解答．【类型四“勾股树”及其拓展类型求面积】例题：（2023秋·重庆渝中·八年级重庆巴蜀中学校考期末）如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形A 、B 、C 、D 的面积分别是6、10、4、6，则最大正方形E 的面积是（）A ．20B ．26C ．30D ．52【答案】B 【分析】根据正方形的面积公式并结合勾股定理，能够导出正方形A ，B ，C ，D 的面积和即为最大正方形的面积即可．【详解】解：如图：根据勾股定理的几何意义，可得：E F GS S S =+=A B C DS S S S +++=61046+++=26故选B ．【点睛】本题考查勾股定理，熟悉勾股定理的几何意义是解题的关键．【变式训练】1．（2023·广西柳州·校考一模）如图，90BDE ∠=︒，正方形BEGC 和正方形AFED 的面积分别是289和225，则以BD 为直径的半圆的面积是（）A ．16πB ．8πC ．4πD ．2π【答案】B【答案】12；s1+s2=s3(1)如图2，分别以ABC 的三条边为直径向外作半圆，其半圆的面积由小到大分1S 、2S 、3S 3S 有怎样的数量关系，并证明你的结论；(2)分别以直角三角形的三条边为直径作半圆，如图3所示，其面积由小到大分别记作S 1、S 中的探索，直接回答12S S +与3S 有怎样的数量关系；(1)①如图2，3，4，以直角三角形的三边为边或直径，分别向外部作正方形、半圆、等边三角形，面积分别为1S ，2S ，3S ，利用勾股定理，判断这3个图形中面积关系满足123S S S +=的有________②如图5，分别以直角三角形三边为直径作半圆，设图中两个月牙形图案（图中阴影部分）的面积分别为2S ，直角三角形面积为3S ，也满足123S S S +=吗？若满足，请证明；若不满足，请求出1S ，关系．(2)如果以正方形一边为斜边向外作直角三角形，再以该直角三角形的两直角边分别向外作正方形，重复这【点睛】本题考查了勾股定理，勾股树．解题的关键在于正确的表示各部分的面积．【类型五几何图形中的方程思想—折叠问题（利用等边建立方程）】A ．54B ．74C ．15【答案】B【分析】根据图形翻折变换的性质可知，AE BE =【变式训练】1．（2023春·湖北咸宁·八年级校考阶段练习）如图，有一块直角三角形纸片，9043C AC BC ∠=︒==，，，将斜边AB 翻折，使点B 落在直角边AC 的延长线上的点E 处，折痕为AD ，则BD 的长为（）A ．34【答案】C【分析】利用勾股定理求得则3CD x =-，根据勾股定理可得【答案】103/133【分析】由折叠的性质可得【详解】解：D 是AB 中点，【答案】1或65【分析】分90BFA '∠=︒和90,30,C A BC ∠=︒∠=︒=30,DA E '∠=︒ 60,EA H '∴∠=︒在Rt EHA ' 中，12A H '=在Rt BEH 中，(1)如图①，当A '与点B 重合且3,5BC AB ==．①直接写出AC 的长；②求BCD △的面积．(2)当37A ∠=︒．①A '与点E 在直线AC 的异侧时．如图②，直接写出A EB ∠-∠'②当∥A D BC '时，如图：∵∥A D BC '，90C ∠=︒，∴90ADA '∠=︒，∵ADE V 由A DE ' 折叠所得，∴1452ADE ADA '∠=∠=︒；当A E BC '∥时，如图：∵37A ∠=︒，90C ∠=∴903753B ∠=︒-︒=︒∵ADE V 由A DE ' 折叠所得，∴37A A '∠=∠=︒，综上：ADE ∠的度数分别为【点睛】本题主要考查了勾股定理，三角形那个的内角和定理，折叠的性质，平行线的性质，解题的关键是掌握勾股定理内容，根据勾股定理建立方程求边的长度；掌握三角形是内角和为于与它不相邻的两个内角之和，平行线的性质．【类型六几何图形中的方程思想—公边问题（利用公边建立方程）】例题：如图，在△ABC 中，AB ＝10，BC ＝9，AC ＝17，则BC 边上的高为_______．【答案】8【解析】【分析】作AD BC ⊥交BC 的延长于点D ，在Rt ADB 中，222AD DB AB +=，在Rt ADC 中,222AD DC AC +=，根据2222AB DB AC DC -=-列出方程即可求解．【详解】如图，作AD BC ⊥交BC 的延长于点D ，【变式训练】1．已知：如图，在ABC 中，90C AD ∠=︒，是ABC 的角平分线，35CD BD ==，，则AC =____．【答案】6【分析】作DE AB ⊥，如图，根据角平分线的性质可得3DE CD ==，勾股定理求出BE ，证明()Rt Rt HL ACD AED ≅ ，推出AC AE =，设AC AE x ==，根据勾股定理列出方程即可求出AC ．【详解】解：作DE AB ⊥于点E ，如图，∵在ABC 中，90C AD ∠=︒，是ABC 的角平分线，3CD =，∴3DE CD ==，【点睛】本题考查了角平分线的性质、全等三角形的判定和性质以及勾股定理等知识，属于常见题型，熟练掌握上述知识，利用勾股定理得出方程是解题的关键．△和Rt2．如图，在Rt ABC(1)求证：点A在M∠∥，AB(2)若AC DM【答案】(1)见解析(2)5【分析】（1）连接AM在Rt ABC △和Rt ADE △中，∵90B D ∠=∠=︒，AC AE =，BC DE =，Rt Rt (HL)ABC ADE ∴≅ ，AB AD ∴=，AB BM ⊥ ，AD DM ⊥，MA ∴平分BMD ∠，∴点A 在BMD ∠的平分线上；（2）解：AC DM ∥ ，CAM AMD ∴∠=∠，AMB CAM ∴∠=∠，CM AC ∴=，设BC x =，18CM AC x ∴==-，在Rt ABC △中，222AB BC AC +=，22212(18)x x ∴+=-，5x ∴=．5BC ∴=．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的判定，勾股定理，解决本题的关键是得到Rt Rt (HL)ABC ADE ≅ ．【类型七实际问题中的方程思想】例题：（2022·全国·八年级）明朝数学家程大位在他的著作《算法统宗》中写了一首计算秋千绳索长度的词《西江月》：“平地秋千未起，踏板一尺离地，送行二步恰竿齐，五尺板高离地……”翻译成现代文为：如图，秋千绳索OA 悬挂于O 点，静止时竖直下垂，A 点为踏板位置，踏板离地高度为一尺（AC ＝1尺）．将它往前推进两步（EB⊥OC于点E，且EB＝10尺），踏板升高到点B位置，此时踏板离地五尺（BD＝CE＝5尺），则秋千绳索（OA或OB）长______尺．【变式训练】1．（2022·全国·八年级课时练习）如图1、2（图2为图1的平面示意图），推开双门，双门间隙CD的距离为2寸，点C和点D距离门槛AB都为1尺（1尺＝10寸），则AB的长是（）A．50.5寸B．52寸C．101寸D．104寸【答案】C【解析】【分析】取AB的中点O，过D作DE⊥AB于E，根据勾股定理解答即可得到结论．【详解】解：取AB的中点O，过D作DE⊥AB于E，如图2所示：由题意得：OA＝OB＝AD＝BC，设OA＝OB＝AD＝BC＝r寸，则AB＝2r（寸），DE＝10寸，OE＝12CD＝1寸，∴AE＝（r﹣1）寸，在Rt△ADE中，AE2+DE2＝AD2，即（r﹣1）2+102＝r2，解得：r＝50.5，∴2r＝101（寸），∴AB＝101寸，故选：C．【点睛】本题考查了勾股定理的应用，弄懂题意，构建直角三角形是解题的关键．2．（2022·河南·金明中小学八年级期中）《九章算术》是我国古代数学名著，有题译文如下：今有门，不知其高宽；有竿，不知其长短．横放，竿比门宽长出4尺；竖放，竿比门高短2尺；斜放，门对角线长恰好倍．问门高、门宽各为多少？3．（2022·重庆市求精中学校八年级期中）在一条东西走向的河的一侧有一村庄C ，河边原有两个取水点A ，B ，其中AB AC =，由于某种原由C 到A 的路现在已经不通，某村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点H （A 、H 、B 在一条直线上），并新修一条路CH ，测得 1.5CB =千米， 1.2CH =千米，0.9HB =千米．(1)问CH 是否为从村庄C 到河边的最近路？请通过计算加以说明．(2)求原来的路线AC 的长．【答案】(1)CH 是从村庄C 到河边的最近路；理由见解析；(2)原来的路线AC的长为1.25千米．【解析】【分析】（1）根据勾股定理的逆定理证明△CHB是直角三角形即可；（2）设AC=x千米，在Rt△ACH中，由已知得AC=x，AH=x-0.9，CH=1.2，再根据勾股定理解答即可．(1)解：是，理由是：在△CHB中，∵CH2+BH2=1.22+0.92=2.25，BC2=2.25，∴CH2+BH2=BC2，∴△CHB是直角三角形，∴CH是从村庄C到河边的最近路；(2)设AC=x千米，在Rt△ACH中，由已知得AC=x，AH=x-0.9，CH=1.2，由勾股定理得：AC2=AH2+CH2∴x2=（x-0.9）2+1.22，解这个方程，得x=1.25，答：原来的路线AC的长为1.25千米．【点睛】本题考查勾股定理的应用，关键是根据勾股定理的逆定理和定理解答．4．（2022·浙江·浦江县实验中学八年级期中）图1是一张可以折叠的小床展开后支撑起来放在地面的示意图，此时点A、B、C在同一直线上，且∠ACD＝90°，图2是小床支撑脚CD折叠的示意图，在折叠过程中，△ACD变形为四边形ABC'D'，最后折叠形成一条线段BD''．某家装厂设计的折叠床是AB＝4cm，BC＝8cm，（1）此时CD为_________cm；（2）折叠时，当AB⊥BC′时，四边形ABC′D′的面积为_______cm2．【点睛】。
勾股定理面积问题
1 S1 S2
2 S2
若变为作其它任意正 多边形，情形会怎样？ S3
B
C
S2
a c
B
b
A
S3 A S2
S1
C
S1
四变： 如图，分别以直角△ABC三边 为直径向外作三个半圆，其面积分别用S1、 S2、S3表示，则S1、S2、S3有什么关系？ 不难证明S3=S1+S2 .
C S1 a B
S2
b c
A
S3
观察下列图形，正方形1的边长为7，则 正方形2、3、4、5的面积之和为多少？ 规律：
18.1勾股定理 ----实际应用面积问题：
A的面积+B的面积=C的面积
C
A
B
B A
C
D
二变：如图，分别以Rt △ABC三边为 斜边向外作三个等腰直角三角形，其面 积分别用S1、S2、S3表示，则S1、S2、S3 之间的关系是 S1 S2 S3，请说理。
C
S3
A
b
a c
S2
B
S1
三变：如图，分别以Rt △ABC三边为 边向外作三个正三角形，其面积分别用 S1、S2、S3表示，则S1、S2、S3之间的关 系是 S1 S2 S3 ，请说理。
2 3 4 5
S2+S3+S4+S5= S1
1
二.y=0 复习面积法证明勾股定理
已知S1=1,S2=3,S3=2,S4=4,求 S5、S6、S7的值
S3
S4
S2
结论:
S1+S2+S3+S4 =S5+S6 =S7
S1
S5
S6
完整版)勾股定理知识点与常见题型总结
完整版)勾股定理知识点与常见题型总结勾股定理复勾股定理是指直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方，表示为a^2 + b^2 = c^2，其中a、b为直角三角形的两直角边，c为斜边。
勾股定理的证明常用拼图的方法。
通过割补拼接图形后，根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理。
常见的证明方法有以下三种：1.通过正方形的面积证明，即4ab + (b-a)^2 = c^2，化简可证。
2.四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积，即4ab + c^2 = 2ab + c^2，化简得证。
3.通过梯形的面积证明，即(a+b)×(a+b)/2 = 2ab + c^2，化简得证。
勾股定理适用于直角三角形，因此在应用勾股定理时，必须明确所考察的对象是直角三角形。
勾股定理可用于解决直角三角形中的边长计算或直角三角形中线段之间的关系的证明问题。
在使用勾股定理时，必须把握直角三角形的前提条件，了解直角三角形中，斜边和直角边各是什么，以便运用勾股定理进行计算。
同时，应设法添加辅助线（通常作垂线），构造直角三角形，以便正确使用勾股定理进行求解。
勾股定理的逆定理是：如果三角形三边长a、b、c满足a^2 + b^2 = c^2，那么这个三角形是直角三角形，其中c为斜边。
a^2+b^2=c^2$是勾股定理的基本公式。
如果三角形ABC 不是直角三角形，我们可以类比勾股定理，猜想$a+b$与$c$的关系，并对其进行证明。
勾股定理的实际应用有很多。
例如，在图中，梯子AB靠在墙上，梯子的底端A到墙根O的距离为2m，梯子的顶端B 到地面的距离为7m。
现将梯子的底端A向外移动到A′，使梯子的底端A′到墙根O的距离等于3m。
同时梯子的顶端B下降至B′。
那么BB′的长度是小于1m的（选项A）。
又如，在图中，一根24cm的筷子置于底面直径为15cm，高8cm的圆柱形水杯中。
设筷子露在杯子外面的长度为h cm，则h的取值范围是7cm ≤ h ≤ 16cm（选项D）。
勾股定理专题知识点+常考题型+重难点题型
勾股定理专题知识点+常考题型+重难点题型（含详细答案）一、目录一、目录 (1)二、基础知识点 (3)1.勾股定理： (3)2.勾股定理的逆定理： (3)3.勾股定理的证明 (3)4.含特殊角的直角三角形三边的关系 (3)5.逆命题与逆定理 (4)三、常考题型 (5)1.勾股定理在几何计算中的应用-求线段的长 (5)2. 勾股定理在几何计算中的应用-坐标平面内两点的距离 (6)3. 勾股定理在几何计算中的应用-面积问题 (8)4.构造直角三角形 (9)5.勾股定理的逆定理的应用 (11)四、重难点题型 (14)1.利用勾股定理解计算问题 (14)2勾股数组 (15)3.与线段平方关系有关的证明题 (16)4.矩形和直角三角形中的折叠问题 (18)二、基础知识点1.勾股定理：如果直角三角形的两条直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2注：1）仅在直角三角形中存在勾股定理2）由于直角三角形的斜边最长，故运用勾股定理时，一定要抓住直角三角形最长边(即斜边)的平方等于两短边两直角边的平方和，避免出现这样的错误2.勾股定理的逆定理：如果三角形三边长分别为a，b，c，且满足a2+b2=c2，那么这个三角形是以c为斜边的直角三角形。
注：在同一个三角形中，大边对大角，小角对小边3.勾股定理的证明方法一：方法二：4.含特殊角的直角三角形三边的关系勾股数：1）a=3，b=4，c=52）a=5，b=12，c=13特殊直角三角形①a=x，c=2x，b=√3x②a=x，b=x，c=√2x③AC=x，DC=x，AD=√2x，BD=√2x④AC=x，AF=2x，DC=√3x，BD=2x5.逆命题与逆定理命题与定理命题：判断一件事的语句定理：经过我们一定推理，得到的真命题互逆命题：两个命题的题设、结论正好相反的命题。
若将其中一个叫做原命题，则另一个就是它的逆命题逆定理：若一个定理的逆命题成立，则这个定理与原定理互为逆定理三、常考题型1.勾股定理在几何计算中的应用-求线段的长解析：应用勾股定理，在直角三角形中，“知二求一”。
勾股定理解题方法
17。
1勾股定理技巧1利用勾股定理计算线段的长如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB，DE⊥AB于点E，若AC＝6，BC＝8，CD＝3．（1）求DE的长;（2）求AB的长及△ADB的面积．解析：（1)根据角平分线的性质得出CD＝DE,从而DE＝3;(2)首先利用勾股定理求出AB的长，然后计算△ADB的面积．解：（1）∵AD平分∠CAB，DE⊥AB，∠C＝90°，∴CD＝DE．∵CD＝3，∴DE＝3．(2）在Rt△ABC中,由勾股定理，得AB＝22＋AC BC＝2268＋＝10，∴△ADB的面积为S△ADB＝12AB DE＝1103152××＝．技巧2利用勾股定理解决折叠问题如图所示，将长方形ABCD沿着BD折叠，使点C落在C'处，BC'交AD于点E，若AD＝8．AB＝4．（1）求△BDE的周长；（2）求△BDE的面积．解析：（1)由将长方形ABCD沿BD折叠，知C'D＝CD，∠C＝∠C'，∠1＝∠2,可证BE＝DE,即AE＋BE＝AD．在Rt△ABE和Rt△BCD中,利用勾股定理求出BE，BD的长,进而求出△BDE的周长；(2)由题意，知C'＝90°,即DC'⊥BC’，则S△BDE＝12BD·C'D．解：（l）∵将长方形ABCD沿着BD折叠,∴CD＝C’D，∠C＝∠C'，∠1＝∠2．又∵∠2＝∠3,∴∠1＝∠3．∴BE＝DE．设BE＝DE＝x，则AE＝8－x．在Rt△ABE中,BE2－AE2＝AB2，即x2一(8一x)2＝42，解得x＝5，即BE＝DE＝5．在Rt△BCD中，BD＝22228445＋＝＋＝BC CD，∴△BDE的周长为BE＋DE＋BD＝10＋45．(2）∵∠C'＝90°，∴DC'⊥BC'．∴S△BDE＝12BE·C’D＝12×5×4＝10，即△BDE的面积为10．技巧3利用勾股定理解决最短路径问题如图(1）所示是一个长方体的大箱子,已知它的高为3 m，底面是边长为2 m的正方形．现在点A处有一只壁虎,想沿长方体表面到达点C处,则壁虎爬行的最短路程是多少？(1）（2) （3)解析:首先将长方体展开成平面图形,连接AC，根据两点之间线段最短来解答，然后利用勾股定理求出线段的长度．解：（1)如图(2），将长方体的右表面翻折至前表面，使A，C两点共面，连接AC，则此时线段AC的长度即为此种情况的最短路程．∴AC2＝（2＋2）2＋32＝25．∴AC＝5．(2）如图(3)，将长方体的后表面翻折至上表面，使A，C两点共面,连接AC，则此时线段AC的长度即为此种情况的最短路程．∴AC2＝22＋（2＋3)2＝4＋25＝29．∴AC＝29．∵29＞5，∴壁虎爬行的最短路程是5m．技巧4利用勾股定理求图形的面积如图所示,已知四边形ABCD是正方形，E是正方形内一点,且AE⊥BE．若AE＝6，BE＝8，求图中阴影部分的面积．解析：先利用勾股定理求得正方形ABCD的边长，再根据面积公式求得正方形和直角三角形的面积，最后求出阴影部分的面积．解：∵AE⊥BE,∴∠E＝90°．∵AE＝6，BE＝8，∴AB＝22226810AE BE＋＝＋＝．∴正方形ABCD的面积为AB2＝100．∵S△ABE＝116824 22AE BE＝××＝，∴图中阴影部分的面积为S阴影＝100－24＝76．技巧5利用勾股定理解决非直角三角形中的问题如图(1)所示，已知在△ABC中,∠C＝60°．AB＝14，AC＝10，求BC的长．(1) (2)解析：过点A作AD⊥BC,则出现两个直角三角形：Rt△ACD与Rt△ABD，借助于勾股定理解题即可．解：如图（2）所示，过点A作AD⊥BC，交BC于点D．∵∠C＝60°,AC＝10,∴CD＝5,AD＝53．又∵AB＝14，∴BD＝2214531967511－()＝－＝．∴BC＝BD＋CD＝11＋5＝16．技巧6勾股定理在解决实际问题中的应用如图(1)，由于过度采伐森林和破坏植被,我国部分地区频频遭受沙尘暴的侵袭．近日，A城气象局测得沙尘暴中心在A城正西方向240 km的点B处，以12 km/h的速度向北偏东600方向移动，距沙尘暴中心150 km的范围均为受影响区域．(1)A城是否会受到这次沙尘暴的影响？为什么？（2）若A城受到这次沙尘暴影响，则遭受影响的时间有多长？(1) (2)解析：（1）过点A向沙尘暴行进的方向作垂线，得到点A到直线BM的距离，将该距离与150 km作比较来判断A城是否会受影响．（2）由于在沙尘暴中心周围150 km的范围内均受影响，故以点A为圆心，以150 km为半径画弧，该弧与沙尘暴所经路线有两个交点，先利用勾股定理求出这两点的距离，再用这个距离除以沙尘暴的速度即可求出A城受影响的时间．解：(1)A城会受到影响,理由如下：如图(2），过点A作AC⊥BM，交BM于点C．∵在Rt△ABC中，∠ABM＝30°，∴AC＝12AB＝12×240＝120(km）．∵120＜150,∴A 城会受到这次沙尘暴的影响．（2）如图(2)，以点A 为圆心，以150 km 为半径画弧，与BM 交于E ，F 两点． 由题意，得CE ＝222215012090AE AC ＋＝＋＝(km ）． ∵AE ＝AF ，∴∠AEF ＝∠AFE ．又∵∠ACE ＝∠ACF ，AC ＝AC ,∴△ACE ≌△ACF （AAS )．∴CE ＝CF ．∴EF ＝2CE ＝2×90＝180（km ）．∴ 180÷12＝15(h ).∴A 城遭受这次沙尘暴影响的时间为15 h ．17.2 勾股定理的逆定理技巧1利用勾股定理的逆定理判断三角形的形状已知a ，b ，c 是△ABC 的三边长，且满足关系式2220c a b a b －－＋－＝，则△ABC 的形状为___________．解析:∵2220c a b a b －－＋－＝,∴c 2－a 2－b 2＝0，且a －b ＝0．∴c 2＝a 2＋b 2，且a ＝b∴△ABC 为等腰直角三角形．答案：等腰直角三角形．技巧2勾股定理及其逆定理的综合运用如图所示，在四边形ABCD 中，已知AB ＝1，BC ＝2,CD＝2，AD ＝3，且AB ⊥BC ．试说明AC ⊥CD ．解析：先在Rt △ABC 中,利用勾股定理，求出AC 的长，再利用勾股定理的逆定理求得∠ACD ＝90°．解：∵AB ⊥BC ,∴∠B ＝90°．∵AB ＝1，BC ＝2,∴AC 2＝AB 2＋BC 2＝12＋22—5．在△ACD 中，AC 2＋CD 2＝5＋22＝5＋4＝9,AD 2＝32＝9，∴AC 2＋CD 2＝AD 2．∴∠ACD ＝90°，即AC ⊥CD ．技巧3利用勾股定理的逆定理求三角形的面积如图所示，已知D ，E ，F 分别是△ABC 中BC ，AB ，AC 边上的点,且AE ＝AF ,BE ＝BD ，CF ＝CD ，AB ＝4,AC＝3，32BD CD ＝，求△ABC 的面积． 解析:先出BC ,证明△ABC 是直角三角形，即可求出面积．解：∵32BDCD＝,设BD＝3x，则CD＝2x，由AE＝AF，BE＝BD，CF＝CD,即AF＝3－2x，AE＝4－3x，∴3－2x＝4－3x，解得x＝1,∴BC＝3x＋2x＝5．又∵32＋42＝52，即AC2＋AB2＝BC2，∴△ABC是直角三角形，∠A＝90°．S△ABC＝11436 22AB AC＝××＝．技巧4利用勾股定理的逆定理解决实际问题如图所示，南北向直线MN为我国领海线，即MN以西为我国领海,以东为公海，上午9：50,我国反走私艇A发现正东方向有一走私艇C以13 n mile/h的速度偷偷向我国领海驶来，便立即通知正在MN线上巡逻的我国反走私艇B．已知A，C两艇的距离是13 n mile，A，B两艇的距离是5 n mile,反走私艇B测得其离走私艇C的距离是12 n mile．若走私艇C的速度不变,则走私艇C最早会在什么时间进入我国领海？解析：如图所示，设MN交AC于点E，从而确定么BEC＝90°，由已知条件确定∠ABC ＝90°，利用勾股定理求出CE的长,最后由速度公式求出时间．解：如图所示，设MN交AC于点E，则∠BEC＝90°．由题意，得AB2＋BC2＝52＋122＝169＝132＝AC2，故△ABC是直角三角形，∠ABC＝90°．又∵MN⊥CE,∴走私艇C进入我国领海的最短距离是CE，且CE2＋BE2＝BC2＝144，(13－CE）2＋BE2＝AB2＝25，联立解得CE＝144 13．∵14413÷13＝144169≈0。
勾股定理典型解题技巧及练习
专题复习一 勾股定理常见勾股数如下：3、常见平方数：121112=； 144122=； 169132=； 196142=； 225152=；256162= 289172=； 324182=； 361192=； 400202=；441212=； 484222= 529232=； 576242=； 625252=； 676262=；729272= 4、已知斜边和一条直角边求另一条直角边由a 2+b 2=c 2可得 a 2= c 2- b 2=(c+b) (c-b) （平方差公式） 例如，已知c=61, b=60, 则a 2= c 2-b 2= (61+60) (61-60) =121, 则 a=11已知c=41, b=40, 则a 2= c 2-b 2= (41+40) (41-40) =81, 则 a=9已知c=17, b=8, 则a 2= c 2-b 2= (17+8) (17-8) =25 x 9=52 x 32= (5 x 3)2 则 a = 5 x 3 =155、直角三角形斜边的中线等于斜边的一半。
如图，CD 为斜边AB 的中线，过D 作D E ⊥AC 于E,DF ⊥BC 于F 在RT ▲ADE 和RT ▲DBF 中，∠DAE=∠BDF , AD=DB ∠ADE=∠DBFRT ▲ADE ≌RT ▲DBF ∴ EA=FD, 有因CEDF 为矩形， ∴FD=CE=EA=1/2 CART ▲ADE ≌RT ▲CDE ∴ CD=AD=DB=1/2 AB6、直角三角形30°角的对边等于斜边的一半7、三角形内角平分线上的点到两边的距离相等8、任意三角形三个内角的角平分线相交于一点。
该点称三角形的内心（内切圆圆心）。
9、任意三角形三个边上的垂线（高）相交于一点。
该点称三角形的垂心 10、任意三角形三个边上的中线相交于一点。
该点称三角形的重心。
11、任意三角形三个边上的垂直平分线（中垂线）相交于一点。
中考数学解题技巧专题勾股定理与面积问题
解题技巧专题：勾股定理与面积问题——全方位求面积，一网搜罗◆类型一 直角三角形中，利用面积求斜边上的高1．(郴州桂阳县期末)在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝9，BC ＝12，则C 点到AB 的距离为【方法1】( ) A.536 B.365 C.334 D.12252．如图，在2×2的方格中，小正方形的边长是1，点A ，B ，C 都在网格点上，则AB 边上的高为( ) A.355 B.255 C.3510 D.322第2题图 第6题图◆类型二 结合乘法公式巧求面积或周长3．直角三角形的周长为24，斜边长为10，则其面积为( )A．96 B．49 C．24 D．484．若一个直角三角形的面积为6cm2，斜边长为5cm，则该直角三角形的周长是( ) A．7cm B．10cmC．(5＋37)cm D．12cm◆类型三巧妙分割求面积5．如图，已知AB＝5，BC＝12，CD＝13，DA＝10，AB⊥BC，求四边形ABCD的面积．◆类型四“勾股树”及其拓展类型中有关面积的计算6．如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为10cm，正方形A的边长为6cm，B的边长为5cm，C的边长为5cm，则正方形D的边长为( )A.14cm B．4cm C.15cm D．3cm7．如图，直线l上有三个正方形a，b，c，若a，c的面积分别为5和11，则b的面积为( )A．4 B．36 C．16 D．55第7题图第8题图8．(青海中考)如图，正方形ABCD 的边长为2，其面积标记为S 1，以CD 为斜边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为S 2……按照此规律继续下去，则S 9的值为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫126B.⎝ ⎛⎭⎪⎫127C.⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫226D.⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫227 ◆类型五 “赵爽弦图”中有关面积的计算9．“赵爽弦图”是四个全等的直角三角形与中间一个正方形拼成的大正方形．如图，每一个直角三角形的两条直角边的长分别是3和6，则大正方形与小正方形的面积差是( )A ．9B ．36C ．27D ．34第9题图 第10题图10．(永州零陵区校级模拟)如图是4个全等的直角三角形与1个正方形镶嵌而成的正方形图案，已知大正方形面积为49，小正方形面积为4，若用x ，y 表示直角三角形的两直角边(x ＞y )，下列四个说法：①x 2＋y 2＝49；②x －y ＝2；③2xy ＋4＝49；④x ＋y ＝9.其中说法正确的是( )A ．①②B ．①②③C ．①②④D ．①②③④参考答案与解析1．B2．A 解析：过点C 作CD ⊥AB 于点D .∵S △ABC ＝22－12×1×2－12×1×1－12×1×2＝32，又∵S △ABC ＝12AB ·CD ，∴12AB ·CD ＝32.∵AB ＝12＋22＝5，∴CD ＝355.故选A. 3．C 解析：设该直角三角形的两直角边长分别为a ，b ，则有a ＋b ＝14①，a 2＋b 2＝102②.①两边同时平方，得a 2＋b 2＋2ab ＝142，所以2ab ＝96，所以ab ＝48，12ab ＝24.故选C.4．D5．解：连接AC ，过点C 作CE ⊥AD 交AD 于点E .∵AB ⊥BC ，∴∠CBA ＝90°.在Rt △ABC 中，由勾股定理得AC ＝AB 2＋BC 2＝52＋122＝13.∵CD ＝13，∴AC ＝CD ，即△ACD 是等腰三角形．∵CE ⊥AD ，∴AE ＝12AD ＝12×10＝5.在Rt △ACE 中，由勾股定理得CE ＝AC 2－AE 2＝132－52＝12.∴S 四边形ABCD ＝S △ABC ＋S △CAD ＝12AB ·BC ＋12AD ·CE＝12(12×5＋10×12)＝90. 6．A 7.C8．A 解析：在图中标上字母E ，如图所示．∵正方形ABCD 的边长为2，△CDE 为等腰直角三角形，∴DE 2＋CE 2＝CD 2，DE ＝CE ，∴S 2＋S 2＝S 1.观察，发现规律：S 1＝22＝4，S 2＝12S 1＝2，S 3＝12S 2＝1，S 4＝12S 3＝12，…，∴S n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －3.当n ＝9时，S 9＝⎝ ⎛⎭⎪⎫129－3＝⎝ ⎛⎭⎪⎫126.故选A.9．B 解析：大正方形的面积为32＋62＝45，小正方形的面积为(6－3)2＝9，则面积差为45－9＝36.故选B.10．B 解析：由题意得⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝49①，（x －y ）2＝4②，①－②得2xy ＝45③，∴2xy ＋4＝49，①＋③得x 2＋2xy ＋y 2＝94，∴x ＋y ＝94，∴①②③正确，④错误．故选B.解题技巧专题：圆中辅助线的作法——形成精准思维模式，快速解题◆类型一 遇弦过圆心作弦的垂线或连半径1．如图，以点O 为圆心的两个圆中，大圆的弦AB 切小圆于点C ，OA 交小圆于点D ，若OD ＝2，tan ∠OAB ＝12，则AB 的长是( ) A ．4 B .23 C ．8 D .43第1题图第2题图2．如图，已知⊙O的半径OD与弦AB互相垂直，垂足为点C，若AB＝16cm，CD＝6cm，⊙O的半径为________．◆类型二遇直径添加直径所对的圆周角3．如图，AB是⊙O的直径，C，D，E都是⊙O上的点，则∠ACE＋∠BDE等于( )A．60°B．75°C．90°D．120°第3题图第4题图4．如图，⊙O是△ABC的外接圆，CD是直径，∠B＝40°，则∠ACD的度数是________．5．如图，△ABC的顶点均在⊙O上，AD为⊙O的直径，AE⊥BC于E.求证：∠BAD＝∠EAC.类型三遇切线连接圆心和切点6．已知⊙O的半径为1，圆心O到直线l的距离为2，过l上任一点A作⊙O的切线，切点为B，则线段AB长度的最小值为( )A．1 B. 2 C. 3 D．27．如图，从⊙O外一点A引圆的切线AB，切点为B，连接AO并延长交圆于点C，连接BC.若∠A＝26°，则∠ACB的度数为________．8．★如图，AB为⊙O的直径，直线CD切⊙O于点D，AM⊥CD于点M，BN⊥CD于N.(1)求证：∠ADC＝∠ABD；(2)求证：AD2＝AM·AB；(3)若AM ＝185，sin ∠ABD ＝35，求线段BN 的长．。
勾股定理专题(附问题详解,全面、精选)
3、运用勾股定理进行计算（重难点）
（12）如图,一根旗杆在离地面9米处折断倒下,旗杆顶部落在离旗杆底部12米处,旗杆折断前有多高？
（13）两棵之间的距离为8m，两棵树的高度分别为8m、2m，一只小鸟从一棵树的树顶飞到另一棵树的树顶，这只小鸟至少要飞多少米？
①x2+y2=49， ②x﹣y = 2，
③2xy+4=49， ④x+y=9．
其中说法正确的是（ ）
A、①② B、①②③
C、①②④ D、①②③④
二．填空题（共2小题）
12．如图，等腰△ABC中，AB=AC，AD是底边上的高，若AB=5cm，BC=6cm，则AD=_____cm．
13．如图，直线L过正方形ABCD的顶点B，点A、C到直线L的距离分别是1和2，则正方形的边长是_________．
2）在直角三角形中，∠A=90°，则下列各式中不成立的是（ ）
A、BC²- AB²=AC² B、BC²- AC²=AB²
C、AB²+AC²= BC² D、AC²+BC²= AB²
2、应用勾股定理求边长
（3）已知在直角三角形ABC中，AB=10 cm, BC=8 cm, 求AC的长.
A、 16 B、15
C、 14 D、13
5．如图，矩形纸片ABCD中，AB=4，AD=3，折叠纸片使AD边与对角线BD重合，折痕为DG，则AG的长为（ ）
A、 1 B、
C、 D、2
6．已知△ABC中，AB=17，AC=10，BC边上的高AD=8，则边BC的长为（ ）
A、 21 B、15 C、 6 D、以上答案都不对
② ，则该△为三角形
勾股定理专题复习课
详细描述
根据勾股定理，直角三角形的面积可以通过两条直角边的长度和斜边的高来计算。面积 = (1/2) × 直角边1 × 直角边2 = (1/2) × 斜边 × 高。
示例
在直角三角形ABC中，已知直角边a=3和b=4，斜边c=5，斜边上的高h可以通过面积公式计 算为h=12/5。
等。
05 勾股定理的易错点解析
勾股定理适用条件的误解
总结词
理解不准确
01
总结词
应用范围限制
03
总结词
忽视前提条件
05
02
详细描述
勾股定理适用于直角三角形，但学生常常误 以为它适用于所有三角形，导致在解题时出 现错误。
04
详细描述
勾股定理只适用于直角三角形，对于 非直角三角形，需要使用其他定理和 公式进行计算。
06
详细描述
勾股定理的前提是三角形必须是直角三角形， 如果忽视这个前提，会导致计算结果不准确。
勾股定理计算中的常见错误
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总结词：计算错误
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详细描述：学生在使用勾股定理进行计算时，常常因为粗 心或对公式理解不准确而出现计算错误。
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总结词：单位不统一
勾股定理与三角函数的关系
总结词
勾股定理与三角函数之间存在密 切关系，可以通过三角函数来求 解相关问题。
详细描述
在解决与直角三角形相关的三角 函数问题时，勾股定理常常被用 来计算边长或角度。例如，在求 解三角函数的实际应用问题时， 可以使用勾股定理来计算相关物 体的长度或距离。
示例
在解决与航海、测量和几何学相 关的实际问题时，常常需要使用 勾股定理和三角函数来求解角度 和距离。
勾股定理详解与经典例题解析
勾股定理(基础)学习目标1．掌握勾股定理的内容，了解勾股定理的多种证明方法，体验数形结合的思想；2．能够运用勾股定理求解三角形中相关的边长（只限于常用的数）；3．通过对勾股定理的探索解决简单的实际问题，进一步运用方程思想解决问题．要点梳理要点一、勾股定理直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方．如果直角三角形的两直角边长分别为，斜边长为，那么．要点诠释：（1）勾股定理揭示了一个直角三角形三边之间的数量关系．（2）利用勾股定理，当设定一条直角边长为未知数后，根据题目已知的线段长可以建立方程求解，这样就将数与形有机地结合起来，达到了解决问题的目的．（3）理解勾股定理的一些变式：，，．要点二、勾股定理的证明方法一：将四个全等的直角三角形拼成如图（1）所示的正方形．图（1）中，所以．方法二：将四个全等的直角三角形拼成如图（2）所示的正方形．图（2）中，所以．方法三：如图（3）所示，将两个直角三角形拼成直角梯形．，所以．要点三、勾股定理的作用1．已知直角三角形的任意两条边长，求第三边；2．用于解决带有平方关系的证明问题；3．与勾股定理有关的面积计算；4．勾股定理在实际生活中的应用．典型例题类型一、勾股定理的直接应用1、在△ABC中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C的对边分别为、、．（1）若＝5，＝12，求；（2）若＝26，＝24，求．【变式】在△ABC中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C的对边分别为、、．（1）已知＝6，＝10，求；（2）已知，＝32，求、．类型二、与勾股定理有关的证明2、如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AM是中线，MN⊥AB，垂足为N，试说明．【变式】如图，在△ABC中，∠C＝90°，D为BC边的中点，DE⊥AB于E，则AE2-BE2等于（）A．AC2B．BD2C．BC2D．DE2类型三、与勾股定理有关的线段长3、如图，长方形纸片ABCD中，已知AD＝8，折叠纸片使AB边与对角线AC重合，点B落在点F 处，折痕为AE，且EF＝3，则AB的长为（）A．3B．4C．5D．6类型四、与勾股定理有关的面积计算4、如图，直线l上有三个正方形a，b，c，若a，c的面积分别为5和11，则b的面积为（）A．6B．5C．11D．16类型五、利用勾股定理解决实际问题5、一圆形饭盒，底面半径为8，高为12，若往里面放双筷子（精细不计），那么筷子最长不超过多少，可正好盖上盒盖？巩固练习一．选择题1．在△ABC中，AB＝12，AC＝9，BC＝15，则△ABC的面积等于（）A．108B．90C．180D．542．若直角三角形的三边长分别为2，4，，则的值可能有()A．1个B．2个C．3个D．4个3．小明想知道学校旗杆的高度，他发现旗杆上的绳子垂到地面还多1米,当他把绳子的下端拉开5米后，发现下端刚好接触地面，则旗杆的高是()A．12米B．10米C．8米D．6米4．Rt△ABC中，斜边BC＝2，则的值为()A．8B．4C．6D．无法计算5．如图，△ABC中，AB＝AC＝10，BD是AC边上的高线，DC＝2，则BD等于()A．4B．6 C．8D．56．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，若AB＝15，则正方形ADEC和正方形BCFG的面积和为()A．150B．200C．225D．无法计算二．填空题7．甲、乙两人同时从同一地点出发，已知甲往东走了4，乙往南走了3，此时甲、乙两人相距____．8．如图，有一块长方形花圃，有少数人为了避开拐角走“捷径”，在花圃内走出了一条“路”，他们仅仅少走了______米路，却踩伤了花草．9．如图是一个外轮廓为矩形的机器零件平面示意图，根据图中的尺寸（单位：mm），计算两圆孔中心A和B的距离为mm．10．如图，有两棵树，一棵高8，另一棵高2，两树相距8，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，至少要飞______．11．如图，直线经过正方形ABCD的顶点B，点A、C到直线的距离分别是6、8，则正方形的边长是______．12．如图，王大爷准备建一个蔬菜大棚，棚宽2．4m，高3．2m，长15m，棚的斜面用塑料薄膜遮盖，不计墙的厚度，请计算阳光透过的最大面积是m2．三．解答题13．如图四边形ABCD的周长为42，AB＝AD＝12，∠A＝60°，∠D＝150°，求BC的长．14．已知在三角形ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于D，CD＝3，BD＝5，求AC的长．勾股定理逆定理(基础)学习目标1．理解勾股定理的逆定理，并能与勾股定理相区别；2. 能运用勾股定理的逆定理判断一个三角形是否是直角三角形；3. 理解勾股数的含义；4. 通过探索直角三角形的判定条件的过程，培养动手操作能力和逻辑推理能力.要点梳理要点一、勾股定理的逆定理如果三角形的三条边长，满足，那么这个三角形是直角三角形.要点诠释：（1）勾股定理的逆定理的作用是判定某一个三角形是否是直角三角形.（2）勾股定理的逆定理是把“数”转为“形”，是通过计算来判定一个三角形是否为直角三角形.要点二、如何判定一个三角形是否是直角三角形（1）首先确定最大边（如）.（2）验证与是否具有相等关系.若，则△ABC是∠C＝90°的直角三角形；若，则△ABC不是直角三角形.要点诠释：当时，此三角形为钝角三角形；当时，此三角形为锐角三角形，其中为三角形的最大边.要点三、勾股数满足不定方程的三个正整数，称为勾股数（又称为高数或毕达哥拉斯数），显然，以为三边长的三角形一定是直角三角形.熟悉下列勾股数，对解题会很有帮助：①3、4、5；②5、12、13；③8、15、17；④7、24、25；⑤9、40、41……如果是勾股数，当为正整数时，以为三角形的三边长，此三角形必为直角三角形.要点诠释：（1）（是自然数）是直角三角形的三条边长；（2）（是自然数）是直角三角形的三条边长；（3）（是自然数）是直角三角形的三条边长；典型例题类型一、勾股定理的逆定理1、判断由线段组成的三角形是不是直角三角形．（1）＝7，＝24，＝25；（2）＝，＝1，＝；（3），，()；【变式】一个三角形的三边之比是3:4:5 则这个三角形三边上的高之比是（）A．20:15:12B．3:4:5C．5:4:3D．10:8:2类型二、勾股定理逆定理的应用例3、已知：为的三边且满足，试判断的形状.例：4、“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行“远航”号每小时航行16海里，“海天”号每小时航行12海里，它们离开港口一个半小时后相距30海里，如果知道“远航”号沿东北方向航行，能知道“海天”号沿哪个方向航行吗？巩固练习一.选择题1．在三边分别为下列长度的三角形中，不是直角三角形的是（）．A. 9，12，15B．3，4，5C．1.4，4.8,5D．4，7，52. 如图，在单位正方形组成的网格图中标有AB、CD、EF、GH四条线段，其中能构成一个直角三角形三边的线段是（）．A．CD、EF、GH B．AB、EF、GH C．AB、CF、EF D．GH、AB、CD3. 下列说法：（1）在△ABC中，若a2+b2≠c2，则△ABC不是直角三角形；（2）若△ABC是直角三角形，∠C=90°，则a2+b2=c2；（3）在△ABC中，若a2+b2=c2，则∠C=90°；（4）直角三角形的两条直角边的长分别为5和12，则斜边上的高为．其中说法正确的有（）．A．4个B．3个C．2个D．1个4．下面各选项给出的是三角形中各边的长度的平方比，其中不是直角三角形的是()．A．1∶1∶2B．1∶3∶4C．9∶25∶26D．25∶144∶1695．已知三角形的三边长为(其中)，则此三角形()．A．一定是等边三角形B．一定是等腰三角形C．一定是直角三角形D．形状无法确定6．三角形的三边长分别为、、（都是正整数），则这个三角形是（）．A．直角三角形B．钝角三角形C．锐角三角形D．不能确定二.填空题7．若一个三角形的三边长分别为6，8，10，则这个三角形中最短边上的高为______．8．已知两条线段的长分别为11和60，当第三条线段的长为时，这3条线段能组成一个直角三角形（要求三边长均为整数）．9. 已知,则由此为边的三角形是三角形.10．在△ABC中，若其三条边的长度分别为9、12、15，则以两个这样的三角形所拼成的四边形的面积是_____．11．若一个三角形的三边之比为5：12：13，且周长为60，则它的面积为．12．如图，AB＝5，AC＝3，BC边上的中线AD＝2，则△ABC的面积为______．三.解答题13．已知：如图，在正方形ABCD中，F为DC的中点，E为CB的四等分点且CE＝，求证：AF⊥FE．14．观察下列各式：，，，，…，你有没有发现其中的规律?请用含的代数式表示此规律并证明，再根据规律写出接下来的式子．15．在B港有甲、乙两艘渔船，若甲船沿北偏东60°方向以每小时8海里的速度前进，乙船沿南偏东某个角度以每小时15海里的速度前进，2小时后，甲船到M岛，乙船到P岛，两岛相距34海里，你知道乙船是沿哪个方向航行的吗?。
第十七章勾股定理知识与题型总结及测试题含答案
勾股定理知识技能和题型归纳（一）——知识技能一、本章知识内容归纳1、勾股定理——揭示的是平面几何图形本身所蕴含的代数关系。
（1）重视勾股定理的叙述形式：①直角三角形直角边上的两个正方形的面积之和等于斜边上的正方形的面积.②直角三角形斜边长度的平方，等于两个直角边长度平方之和.从这两种形式来看，有“形的勾股定理”和“数的勾股定理”之分。
（2）定理的作用：①已知直角三角形的两边，求第三边。
②证明三角形中的某些线段的平方关系。
,2……的无理数线段的几③作长为n的线段。
（利用勾股定理探究长度为,3何作图方法，并在数轴上将这些点表示出来，进一步反映了数与形的互相表示，加深对无理数概念的认识。
）2、勾股定理的逆定理（1）勾股定理的逆定理的证明方法，通过构造一个三角形与直角三角形全等，达到证明某个角为直角的目的。
（2）逆定理的作用：判定一个三角形是否为直角三角形。
（3）勾股定理的逆定理是把数转化为形，是利用代数计算来证明几何问题。
要注意叙述及书写格式。
运用勾股定理的逆定理的步骤如下：①首先确定最大的边（如c）②验证22b a +与2c 是否具有相等关系：若222c b a =+，则△ABC 是以∠C 为90°的直角三角形。
若222c b a ≠+，则△ABC 不是直角三角形。
补充知识：当222c b a >+时，则是锐角三角形；当222c b a <+时，则是钝角三角形。
（4）通过总结归纳，记住一些常用的勾股数。
如：3，4，5；5，12，13；6，8，10；8，15，17；9，40，41；……以及这些数组的倍数组成的数组。
勾股数组的一般规律： ① 丢番图发现的：式子n m n m mn n m >+-(,2,2222的正整数） ② 毕达哥拉斯发现的：122,22,1222++++n n n n n （1>n 的整数） ③柏拉图发现的：1,1,222+-n n n （1>n 的整数）3、勾股定理与勾股定理逆定理的关系 （1）注意分清应用条件：勾股定理是由直角得到三条边的关系，勾股定理逆定理则是由边的关系来判断一个角是否为直角。
勾股定理知识讲解
勾股定理知识点学习要求：学习重点是利用计算面积和拼图的方法探索并验证勾股定理借助三角形三边关系来判断一个三角形是否是直角三角形。
难点是各种拼图的理解和勾股定理的应用。
中考热点：主要考查勾股定理及直角三角形判定条件的应用和勾股数常与三角形其他知识结合考查。
一、探索勾股定理： １．勾股定理〔重点〕内容：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方； 表示方法：如果直角三角形的两直角边分别为a ，b ，斜边为c ，那么222a b c += 即：直角三角形的三边关系为：两直角边的平方和等于斜边的平方注：勾股定理揭示的是直角三角形三边关系的定理，只使用与直角三角形。
使用勾股定理时首先确定最长边即斜边。
〔难点〕勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法 用拼图的方法验证勾股定理的思路是①图形进过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变 ②根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理 常见方法如下：方法一：4EFGH S S S ∆+=正方形正方形ABCD ，2214()2ab b a c ⨯+-=，化简可证．cbaHG F EDCBA方法二：见右图四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积．四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为221422S ab c ab c =⨯+=+大正方形面积为222()2S a b a ab b =+=++所以222a b c +=方法三：1()()2S a b a b =+⋅+梯形，2112S 222ADE ABE S S ab c ∆∆=+=⋅+梯形，化简得证勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系，它只适用于直角三角形，对于锐角三角形〔22a b +＞2c 〕和钝角三角形〔22a b +＜2c 的三边就不具有这一特征，因而在应用勾股定理时，必须明了所考察的对象是直角三角形 〔重点〕①直角三角形的任意两边长，求第三边在ABC ∆中，90C ∠=︒，那么22c a b =+，22b c a =-，22a c b =-②知道直角三角形一边，可得另外两边之间的数量关系。
勾股定理经典例题详解
勾股定理经典例题详解知识点一：勾股定理如果直角三角形的两直角边长分别为：a，b，斜边长为c，那么a2＋b2＝c2．即直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方．要点诠释：（1）勾股定理揭示的是直角三角形平方关系的定理。
（2）勾股定理只适用于直角三角形，而不适用于锐角三角形和钝角三角。
（3）理解勾股定理的一些变式：c2=a2+b2, a2=c2-b2， b2=c2-a2，c2=(a+b)2-2ab知识点二：用面积证明勾股定理方法一：将四个全等的直角三角形拼成如图（1）所示的正方形。
图（1）中，所以。
方法二：将四个全等的直角三角形拼成如图（2）所示的正方形。
图（2）中，所以。
方法三：将四个全等的直角三角形分别拼成如图（3）—1和（3）—2所示的两个形状相同的正方形。
在（3）—1中，甲的面积=（大正方形面积）—（4个直角三角形面积）,在（3）—2中，乙和丙的面积和=（大正方形面积）—（4个直角三角形面积）,所以，甲的面积=乙和丙的面积和，即：.方法四：如图（4）所示，将两个直角三角形拼成直角梯形。
，所以。
知识点三：勾股定理的作用1．已知直角三角形的两条边长求第三边；2．已知直角三角形的一条边，求另两边的关系；3．用于证明平方关系的问题； 4．利用勾股定理，作出长为的线段。
2. 在理解的基础上熟悉下列勾股数满足不定方程x2+y2=z2的三个正整数，称为勾股数（又称为高数或毕达哥拉斯数），显然，以x,y,z为三边长的三角形一定是直角三角形。
熟悉下列勾股数，对解题是会有帮助的：①3、4、5②5、12、13；③8、15、17；④7、24、25；⑤10、24、26；⑥9、40、41．如果(a,b,c)是勾股数，当t>0时，以at,bt,ct为三角形的三边长，此三角形必为直角三角形。
经典例题透析类型一：勾股定理的直接用法1、在Rt△ABC中，∠C=90°(1)已知a=6， c=10，求b，(2)已知a=40，b=9，求c；(3)已知c=25，b=15，求a.思路点拨:写解的过程中，一定要先写上在哪个直角三角形中，注意勾股定理的变形使用。
勾股定理与三角形的面积比较利用比例关系解题
勾股定理与三角形的面积比较利用比例关系解题在数学中，勾股定理是一条重要的定理，它描述了直角三角形中直角边的平方和等于斜边的平方。
本文将探讨如何利用勾股定理及比例关系来解决三角形面积的问题。
1. 勾股定理的介绍勾股定理是古希腊数学家毕达哥拉斯在公元前6世纪发现的定理，它被广泛应用于几何学和物理学中。
勾股定理的表达方式为：在直角三角形中，直角边的平方和等于斜边的平方，即a^2 + b^2 = c^2。
2. 利用勾股定理解决三角形面积问题在解决三角形面积的问题时，我们可以利用勾股定理来计算三角形的边长，进而求得三角形的面积。
以一个直角三角形为例，假设直角边的长度分别为a和b，斜边的长度为c。
根据勾股定理可知，a^2 + b^2 = c^2。
假设三角形的底边长度为x，高边长度为y，则三角形的面积可表示为S = 0.5xy。
我们可以通过比例关系来求解x和y的值。
由于三角形的面积与底边和高边成正比，可以利用比例关系建立方程：x:y = a:b。
通过求解比例关系方程，我们可以得到x和y的具体值。
进而代入面积公式S = 0.5xy中，即可得到三角形的面积。
3. 例题解析假设有一个直角三角形，直角边的长度分别为3和4，求该三角形的面积。
根据勾股定理，斜边的长度可计算为c = √(3^2 + 4^2) = 5。
根据比例关系，我们可以得到x:y = a:b = 3:4。
由此可知，x = (3/4) * 5 = 3.75，y = (4/3) * 5 = 6.67。
代入面积公式S = 0.5xy，即可得到该直角三角形的面积为S = 0.5 *3.75 * 6.67 = 12.5。
4. 总结通过利用勾股定理及比例关系解决三角形面积问题，我们可以简化计算过程并获得准确的结果。
在实际应用中，勾股定理及比例关系经常被用于解决各种几何问题，它们的应用范围十分广泛。
以上便是利用比例关系解题时，结合勾股定理计算三角形面积的方法和步骤。
勾股定理与平行四边形的面积关系
勾股定理与平行四边形的面积关系勾股定理是数学中十分重要的定理之一，常被用于解决与直角三角形有关的问题。
而在几何学中，平行四边形是一种特殊的四边形，具有一些独特的性质。
本文将探讨勾股定理与平行四边形的面积关系。
1. 勾股定理简介勾股定理是古希腊数学家毕达哥拉斯所发现的，它表明在直角三角形中，直角边的平方和等于斜边的平方。
即对于一个直角三角形，设直角边的长度分别为a和b，斜边的长度为c，则有a² + b² = c²。
2. 平行四边形的基本概念平行四边形是一种具有两组对边平行的四边形。
它的性质包括对边相等、对角线互相平分和对角线交点连线平分平行四边形。
设平行四边形的底边长为b，高为h，则其面积可以表示为S = b * h。
3. 勾股定理与平行四边形的关系在直角三角形中，我们可以观察到一个有趣的现象：如果我们以直角边为底边，斜边为高，构造一个平行四边形，那么这个平行四边形的面积和直角三角形的面积之间存在着一定的关系。
以直角三角形ABC为例，如下图所示：A|\| \h | \ c| \|____\B a C在该直角三角形中，以边AC为底边，高为h，可以构造一个平行四边形ABCD。
根据平行四边形的面积公式，平行四边形ABCD的面积为S = b * h。
而直角三角形ABC的面积可以表示为S' = (1/2) * a * b。
由勾股定理可得 a² + b² = c²，整理得 b² = c² - a²。
这样，我们就可以将平行四边形的面积表示为S = b * h = (c² - a²) * h。
进一步化简，得到S = c²h - a²h。
因此，直角三角形ABC的面积 S' = (1/2) * a * b 可以表示为S' = ((1/2) * a * b) = (1/2)(c²h - a²h) = (1/2)(c² - a²)h，从而我们可以看出，直角三角形ABC的面积与构造的平行四边形ABCD的面积之间存在着这样的关系：直角三角形的面积是平行四边形面积的一半乘以高。
初中数学平面几何题型的解题技巧研究———以“勾股定理”为例
㊀㊀解题技巧与方法㊀㊀１５０㊀初中数学平面几何题型的解题技巧研究初中数学平面几何题型的解题技巧研究㊀㊀㊀ 以 勾股定理 为例Һ吴霖杰㊀（泉州市第六中学，福建㊀泉州㊀３６２０００）㊀㊀ʌ摘要ɔ勾股定理作为一个最基本的几何定理，为解答初中数学平面几何题型提供了思路，教师应在初中数学解题教学中，向学生传授勾股定理解题技巧，使学生学会巧妙解题，发散数学思维．文章简要介绍了勾股定理，紧接着分析了勾股定理在初中数学平面几何题型中的实际解题应用技巧，提出利用勾股定理解答周长问题㊁面积问题㊁最短路径问题㊁证明问题等．同时指出，教师应在夯基㊁精讲㊁常练基础上，指导学生利用勾股定理解答初中数学平面几何题型，培养学生的解题能力．ʌ关键词ɔ初中数学；平面几何；解题技巧勾股定理证明了平面直角三角形三边关系问题，即在任何一个平面直角三角形中，两条直角边的平方之和都一定等于斜边的平方．平面几何是初中数学的重点，也是难点．‘义务教育数学课程标准（２０２２年版）“在数与代数㊁图形与几何㊁统计与概率㊁综合与实践四个领域组织课程内容，平面几何属于图形与几何领域．在该领域，学生应进一步建立几何直观，提升推理能力，解决抽象问题．分析平面几何问题，其解题思路为：将一般图形转化为特殊图形，然后根据特殊图形的特殊规律进行求解．而直角三角形，是转化平面几何图形的最有效图形之一，通过在原图中添加辅助线，构造直角三角形，将平面几何问题转化为直角三角形相关问题，然后利用勾股定理展开计算，不仅有助于学生高效解决问题，而且能够提高学生的数形结合能力，培养其发散思维．教师可以具体的初中数学平面几何题型为例，传授学生勾股定理解题技巧．一㊁勾股定理在初中数学平面几何题型中的解题技巧（一）利用勾股定理解答三角形周长问题例１㊀已知在әＡＢＣ中，ＡＢ＝１３，ＡＣ＝１５，ＢＣ边上的高ＡＤ为１２，求әＡＢＣ的周长．解㊀（１）若高ＡＤ在әＡＢＣ的内部，则әＡＢＣ如图１所示，ＢＣ＝ＢＤ＋ＣＤ．ＢＤ＝１３２－１２２＝５，ＣＤ＝１５２－１２２＝９，则ＢＣ＝９＋５＝１４，әＡＢＣ的周长＝１３＋１５＋１４＝４２．（２）若高ＡＤ在әＡＢＣ的外部，则әＡＢＣ如图２所示，ＢＣ＝ＣＤ－ＢＤ，ＢＤ＝１３２－１２２＝５，ＣＤ＝１５２－１２２＝９，ＢＣ＝９－５＝４，әＡＢＣ的周长＝１３＋１５＋４＝３２．综上，әＡＢＣ的周长为４２或３２．图１㊀㊀㊀图２题型与解题技巧分析㊀此题型为初中数学平面几何基础题型．想要确定一个三角形的周长，需要先确定其三边长．但在一些三角形周长问题中，无法通过题目已知条件直接判断其三边长，对此，解题者可构造直角三角形，利用勾股定理降低解题难度．本题给出三角形其中两条边的长度以及另一条边对应的高，解题者可以根据已知条件构造直角三角形，借助勾股定理计算原三角形第三条边的长度，即ＢＣ的长．但是根据题目已知条件，无法确定高ＡＤ在әＡＢＣ中的具体位置，应画图并进行分类讨论．当高ＡＤ在әＡＢＣ内部时，先通过勾股定理分别计算出ＣＤ与ＢＤ的长，再通过求和得到ＢＣ的长．当高ＡＤ在әＡＢＣ外部时，需要延长ＣＢ，故而在求出ＣＤ与ＢＤ的长后，需要通过求差得到ＢＣ的长．利用勾股定理解答三角形周长问题，关键便在于画图与分类讨论，充分考虑未知边长的每一种可能．㊀图３（二）利用勾股定理解答面积问题例２㊀已知在四边形ＡＢＣＤ中，øＢ＝øＤ＝９０ʎ，øＡ＝１３５ʎ，若ＡＤ＝２３，ＢＣ＝６，求四边形ＡＢＣＤ的面积．解㊀结合题意可画出如图３所示的四边形ＡＢＣＤ．观察图形，其为不规则图形，无法直接应用已知面积计算公式．但延长ＤＡ与ＣＢ，可构造出两个等腰直角三角形．在ＲｔәＡＢＥ中，øＡＢＥ＝９０ʎ，øＥＡＢ＝４５ʎ，øＢＥＡ＝㊀㊀㊀解题技巧与方法１５１㊀㊀４５ʎ，ＡＢ＝ＢＥ．在ＲｔәＣＤＥ中，øＣＤＥ＝９０ʎ，øＣ＝øＥ＝４５ʎ，ＣＤ＝ＤＥ．令ＡＢ＝ＢＥ＝ｘ，则ＡＥ＝２ｘ，ＤＥ＝２ｘ＋２３＝ＣＤ，ＣＥ＝６＋ｘ．ＣＥ２＝ＣＤ２＋ＤＥ２，即（６＋ｘ）２＝２（２ｘ＋２３）２，解方程可得ＡＢ＝ＢＥ＝６－２６，ＤＥ＝ＣＤ＝６２－２３，ＳＲｔәＡＢＥ＝１２㊃ＡＢ㊃ＢＥ＝３０－１２６，ＳＲｔәＣＤＥ＝１２㊃ＤＥ㊃ＣＤ＝４２－１２６，Ｓ四边形ＡＢＣＤ＝ＳＲｔәＣＤＥ－ＳＲｔәＡＢＥ＝（４２－１２６）－（３０－１２６）＝１２．题型与解题技巧分析㊀初中数学中，一些不规则图形面积问题无法结合已知公式展开计算，而是需要构造直角三角形，将不规则图形转换为两个或两个以上直角三角形，代入勾股定理，具体步骤为：（１）观察图形，分析其特点．（２）引入辅助线，构造直角三角形，确定相关线段长度．（３）借助直角三角形面积间接计算不规则图形面积．本题中，待求图形为不规则四边形，解题者可以延长线段ＣＢ，ＤＡ，使其延长线交于点Ｅ，构造两个直角三角形，确定相关线段长度．之后，通过计算әＣＤＥ与әＡＢＥ的面积差，即可成功求出四边形ＡＢＣＤ的面积．利用勾股定理解答面积问题，关键在于引入辅助线，割补不规则图形，构造直角三角形．（三）利用勾股定理解答最短路径问题例３㊀如图４所示，在一个无盖圆柱形玻璃杯内壁Ｂ点有一滴蜂蜜，蜂蜜距玻璃杯底部５ｃｍ．玻璃杯整体高度为１４ｃｍ，底面周长为３２ｃｍ．若不计玻璃杯厚度，一只蚂蚁在玻璃杯外壁Ａ处出发去吃蜂蜜，最短应爬行多远的距离？（蚂蚁与玻璃杯口的竖直距离为３ｃｍ）．图４㊀㊀图５解㊀圆柱形玻璃杯的侧面展开图如图５所示，作Ａ点关于线段ＧＦ的对称点Ｅ，连接ＢＥ，即可得到蚂蚁爬行的最短路径长为ＢＥ的长．过Ｂ作ＢＣʅＡＥ于Ｃ，求解ＢＥ的长需要将ＢＥ置于直角三角形ＢＣＥ中，ＢＥ＝ＣＥ２＋ＢＣ２，ＢＣ＝１２ˑ３２＝１６（ｃｍ），ＣＥ＝１４＋３－５＝１２（ｃｍ），则ＢＥ＝１６２＋１２２＝２０（ｃｍ），即蚂蚁最短应爬行２０ｃｍ的距离．题型与解题技巧分析㊀最短路径问题，是初中数学平面几何题型的特殊形式．解答此类问题，首先需要运用 化曲为直 思想，将题目给出的立体图形转化为平面图形，其次可以利用勾股定理，根据 起点 与 终点 构造直角三角形，分析最短路径．本题为圆柱体的最短路径问题，解题者首先应运用 化曲为直 思想，将圆柱形玻璃杯侧面展开．此时，题目被转化为将军饮马 问题，可以借助对称轴转化蚂蚁爬行路径，构造直角三角形．在此基础上代入已知条件，便可得出蚂蚁的最短爬行距离．利用勾股定理解答立体几何最短路径问题，要注意运用 化曲为直 思想，实现立体几何到平面几何的转化．（四）利用勾股定理解答证明问题㊀图６例４㊀如图６，四边形ＡＢＦＣ为不规则图形．连接ＢＣ，ＡＢʅＣＢ．取ＣＦ边上一点Ｄ，令ＣＤʅＡＤ，ＡＤ２＝２ＡＢ２－ＣＤ２．求证：ＡＢ＝ＢＣ．证明㊀观察ＡＤ２＝２ＡＢ２－ＣＤ２，其与勾股定理联系紧密．ȵＡＢʅＣＢ，ʑＡＢ２＋ＢＣ２＝ＡＣ２．ȵＣＤʅＡＤ，ʑＡＤ２＋ＣＤ２＝ＡＣ２，则ＡＢ２＋ＢＣ２＝ＡＤ２＋ＣＤ２，ＡＤ２＝ＡＢ２＋ＢＣ２－ＣＤ２．又ＡＤ２＝２ＡＢ２－ＣＤ２，ʑＡＢ２＋ＢＣ２－ＣＤ２＝２ＡＢ２－ＣＤ２，ʑＢＣ２＝ＡＢ２，又在四边形ＡＢＦＣ中，ＡＢ与ＢＣ均为具有 正值长度 的线段，故ＡＢ＝ＢＣ得证．题型与解题技巧分析㊀证明问题是初中数学平面几何题型的重要组成部分，包括证明图形线段长度关系㊁角度大小关系㊁直线位置关系等题型．即便题目所给条件较为复杂，解题者也可以从复杂信息中挖掘简单提示，如勾股定理．分析可通过勾股定理进行解答的初中数学平面几何证明问题，其分类如下：（１）题目所给条件未直接体现勾股定理，但证明对象与勾股定理相关．（２）题目所给条件与勾股定理联系紧密．对于前者，解题者应在证明过程中构造直角三角形，将已知条件逐渐转化至同一直角三角形中；对于后者，解题者应寻找或构造直角三角形，直接由勾股定理展开推理，得到边长关系．利用勾股定理解答证明问题时，解题者需要先结合所给条件判断题目特征，再根据题目特征灵活解题．（五）利用勾股定理解答折叠问题㊀图８例５㊀如图７所示，长方形ＡＢＣＤ的长和宽分别为８和６．已知Ｐ是宽ＡＤ上的一点，现沿着ＢＰ折叠әＡＢＰ，使ＰＥ与ＣＤ相交于点Ｏ，ＢＥ与ＣＤ相交于点Ｇ．如果ＯＤ＝ＯＥ，线段ＡＰ的长是多少？解㊀由题意易得，әＡＢＰɸәＥＢＰ，әＯＤＰɸәＯＥＧ，由此可得ＯＰ＝ＯＧ，ＰＤ＝ＧＥ，ＤＧ＝ＯＤ＋ＯＧ＝ＯＥ＋ＯＰ＝ＥＰ．设ＡＰ＝ｘ，则ＥＰ＝ＤＧ＝ｘ，㊀㊀解题技巧与方法㊀㊀１５２㊀ＰＤ＝ＧＥ＝６－ｘ，ＣＧ＝８－ｘ，ＢＧ＝２＋ｘ．又әＢＣＧ为直角三角形，代入勾股定理，得６２＋（８－ｘ）２＝（ｘ＋２）２，解得ｘ＝４．８，则线段ＡＰ的长是４．８．题型与解题技巧分析㊀折叠问题也是常见的初中数学平面几何题型之一，可分为根据折痕求角的度数㊁线段的长㊁重合部分的图形面积等题型．解答折叠问题，不仅需要运用轴对称㊁四边形等知识，而且需要引入勾股定理，具体思路为：（１）根据折痕运用轴对称的性质，确定对应点，分析对应线段位置与大小关系．（２）根据折叠前后的特殊点和线段，构造直角三角形．（３）立足直角三角形，利用勾股定理㊁三角函数计算待求问题．本题为 求线段的长 折叠问题，满足勾股定理解题特点．在长方形ＡＢＣＤ中，折叠前后的对应角与对应边相等．故而想求出线段ＡＰ的长度，不妨设未知数ｘ，即ＡＰ＝ｘ．在此基础上，图中所有线段均可用未知数表示．用相关未知数结合勾股定理列出方程，求出ｘ，便可得到线段ＡＰ的长．当然，在题目给出相对简单的条件时，也可以直接运用勾股定理， 跳过 列方程步骤．二㊁初中数学平面几何题型解题技巧的指导要点 以 勾股定理 为例一线教师以勾股定理为切入点研究初中数学平面几何题型的解题技巧，是为了认识初中数学平面几何题型的更多解答方法，更是为了提升教学水平，指导学生从多角度分析和解决初中数学平面几何问题，培养学生的问题解决能力．故而在以上研究基础上，教师应进一步分析初中数学平面几何题型解题技巧的指导要点，下面笔者以勾股定理为例进行阐述．（一）夯基利用勾股定理解答初中数学平面几何题型，要求学生具备扎实的勾股定理知识基础．教师应在此层面上，重视初中数学勾股定理教学，实现 夯基 目标．教师可以在实际教学期间，整合游戏化教学㊁情境教学㊁问题教学㊁任务型教学㊁层次化教学㊁翻转课堂等教学方法，循序渐进地指导学生探究勾股定理，从而使学生充分经历勾股定理的猜想㊁推理㊁认识㊁理解㊁实践㊁掌握过程，形成发散的勾股定理解题思维．比如，在讲解勾股定理时，教师可以借助 赵爽弦图 与 毕达哥拉斯树 创设情境，为学生搭建 数形并茂 的学习平台，指导学生先观察情境中的数学图形，再挖掘和讨论其所蕴含的数学思想．其间，教师应巧妙点拨学生 找规律 ，促使学生发现直角三角形三边的 平方 规律，奠定扎实的勾股定理认知基础．再如，在根据教材例题指导学生运用勾股定理时，教师可鼓励学生扮演 小老师 ，讲解不同题目的分析思路和解题步骤，深化学生思维，强化 夯基 效果．（二）精讲掌握勾股定理在不同初中数学平面几何题型中的解题技巧，要求学生准确区分初中数学平面几何题型与勾股定理的内在联系，建立结构化的思维系统．教师应在此层面上，对涉及勾股定理的初中数学平面几何题型进行精讲，全面启发学生思维．教师应完善初中数学平面几何习题训练，每呈现一个特殊题型，都必须为学生精讲解答过程．对此，教师可以结合课堂互动预案，精心设计动态课件．课上，教师先通过课件呈现题目，鼓励学生自由讨论㊁分享思路．紧接着，教师借助鼠标控制动态课件，依次出示解答步骤．出示题目解答步骤前后，教师都应给予学生充足的讨论时间，然后对学生讨论结果进行补充讲解，使学生准确把握解题技巧．全面讲解例题后，教师还可以设计对比归纳课件，将初中数学平面几何不同题型及其勾股定理解题技巧进行汇总，帮助学生加以区分．（三）常练纸上谈兵不如实际演练，面对初中数学平面几何题型，学生想要快速判断其特点㊁选择正确的勾股定理解题技巧，必须达到熟能生巧的状态．因此，教师应组织学生常练．教师应将 常练 与 题海战术 进行区分，为学生精选典型题目，避免为学生施加过大综合实践压力．对此，教师可以将中考数学真题视为习题资源库，关注历年中考真题，提炼其中的平面几何典型题目，创新设计勾股定理与平面几何测试题，进而对学生定期进行习题训练．在此基础上，教师还可以督促学生整理错题，建立错题集，以便随时查缺补漏，实现巩固练习．结㊀语总之，为提高学生解答初中数学平面几何题型的效率，教师有必要向学生传授勾股定理解题技巧．具体来讲，教师应明确勾股定理的本质及解题价值，总结初中数学中常见的平面几何题型及其勾股定理解题技巧，抓住 夯基 精讲 常练 三大要点对学生进行指导，促使学生创新解决问题，提高解题能力．ʌ参考文献ɔ［１］林劲松．浅析勾股定理的应用探究［Ｊ］．读写算，２０２２（３６）：１３２－１３４．［２］赵霞．例析勾股定理常见的应用类型［Ｊ］．中学数学，２０２２（２０）：８２－８３．［３］万广磊．探究神奇的勾股定理［Ｊ］．初中生世界，２０２２（４２）：４４－４５．。
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解题技巧专题：勾股定理与面积问题
——全方位求面积，一网搜罗
◆类型一 三角形中利用面积法求高
1．直角三角形的两条直角边的长分别为5cm ，12cm ，则斜边上的高线的长为( ) A.8013cm B ．13cm C.132cm D.6013
cm
2．(2017·乐山中考)点A 、B 、C 在格点图中的位置如图所示，格点小正方形的边长为1，则点C 到线段AB 所在直线的距离是________．
◆类型二 结合乘法公式巧求面积或长度
3．已知Rt △ABC 中，∠C ＝90°，若a ＋b ＝12cm ，c ＝10cm ，则Rt △ABC 的面积是( )
A ．48cm 2
B ．24cm 2
C ．16cm 2
D ．11cm 2
4．若一个直角三角形的面积为6cm 2，斜边长为5cm ，则该直角三角形的周长是( )
A ．7cm
B ．10cm
C ．(5＋37)cm
D ．12cm
5．(2017·襄阳中考)“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，设直角三角形较长直角边长为a ，较短直角边长为b ，若(a ＋b)2＝21，大正方形的面积为13，则小正方形的面积为( )
A ．3
B ．4
C ．5
D ．6
◆类型三 巧妙利用割补法求面积
6．如图，已知AB ＝5，BC ＝12，CD ＝13，DA ＝10，AB ⊥BC ，求四边形ABCD 的面积．
7．如图，∠B ＝∠D ＝90°，∠A ＝60°，AB ＝4，CD ＝2，求四边形ABCD 的面积．【方
法6】
◆类型四利用“勾股树”或“勾股弦图”求面积
8．如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为9cm，则正方形A，B，C，D的面积之和为________cm2.
9．在我国古算书《周髀算经》中记载周公与商高的谈话，其中就有勾股定理的最早文字记录，即“勾三股四弦五”，亦被称作商高定理．如图①是由边长相等的小正方形和直角三角形构成的，可以用其面积关系验证勾股定理．图②是将图①放入长方形内得到的，∠BAC ＝90°，AB＝3，AC＝4，则D，E，F，G，H，I都在长方形KLMJ的边上，那么长方形KLMJ 的面积为________．
参考答案与解析
1．D
2. 355 解析：如图，连接AC ，BC ，设点C 到线段AB 所在直线的距离是h .∵S △ABC ＝3×3－12×2×1－12×2×1－12×3×3－1＝9－1－1－92－1＝32，AB ＝12＋22＝5，∴12
×5h ＝32，∴h ＝355.故答案为355
.
3．D 4.D 5.C
6．解：连接AC ，过点C 作CE ⊥AD 交AD 于点E .∵AB ⊥BC ，∴∠CBA ＝90°.在Rt △ABC 中，由勾股定理得AC ＝AB 2＋BC 2＝52＋122＝13.∵CD ＝13，∴AC ＝CD .∵CE ⊥AD ，∴AE ＝12AD ＝12
×10＝5.在Rt △ACE 中，由勾股定理得CE ＝AC 2－AE 2＝132－52＝12.∴S 四边形ABCD ＝S △ABC ＋S △CAD ＝12AB ·BC ＋12AD ·CE ＝12×5×12＋12
×10×12＝90. 7．解：延长AD ，BC 交于点E .∵∠B ＝90°，∠A ＝60°，∴∠E ＝30°.∴AE ＝2AB ＝8.在Rt △ABE 中，由勾股定理得BE ＝AE 2－AB 2＝82－42＝4 3.∵∠ADC ＝90°，∴∠CDE ＝90°，∴CE ＝2CD ＝4.在Rt △CDE 中，由勾股定理得DE ＝CE 2－DC 2＝42－22＝2 3.∴S
四边形ABCD ＝S △ABE －S △CDE ＝12AB ·BE －12CD ·DE ＝12×4×43－12
×2×23＝6 3. 8．81
9．110 解析：如图，延长AB 交KF 于点O ，延长AC 交GM 于点P ，易证四边形AOLP 是矩形，OK ＝BE ＝3.∵∠CBF ＝90°，∴∠ABC ＋∠OBF ＝90°.又∵∠ABC ＋∠ACB ＝90°，
∴∠OBF ＝∠ACB .在△ACB 和△OBF 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠BAC ＝∠FOB ，∠ACB ＝∠OBF ，BC ＝FB ，
∴△ACB ≌△OBF (AAS)．同
理：△ACB ≌△PGC ≌△LFG ≌△OBF ，∴KO ＝OF ＝LG ＝3，FL ＝PG ＝PM ＝4，∴KL ＝3＋3＋4＝10，LM ＝3＋4＋4＝11，∴S 矩形KLMJ ＝KL ·ML ＝10×11＝110.。