第一节 集合的概念与运算-学生版
第1章 第1节 集合的概念与运算
B＝{x|－2≤x≤2}，则如图所表示阴影部分所示的集合为( )
A．{x|－2≤x<4}
B．{x|x≤2 或 x≥4}
C．{x|－2≤x≤－1}
D．{x|－1≤x≤2}
解析： 依题意得 A＝{x|x<－1 或 x>4}，因为∁RA＝{x|－1≤x≤4}，题中的
阴影部分所表示的集合为(∁RA)∩B＝{x|－1≤x≤2}． 答案： D
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[同类练]
1．(2017·天津卷)设集合 A＝{1,2,6}，B＝{2,4}，C＝{x∈R|－1≤x≤5}，则(A
∪B)∩C＝( )
A．{2}
B．{1,2,4}
C．{1,2,4,6}
D．{x∈R|－1≤x≤5}
解析： 因为 A＝{1,2,6}，B＝{2,4}，所以 A∪B＝{1,2,4,6}，又 C＝{x∈R| －1≤x≤5}，所以(A∪B)∩C＝{1,2,4}．
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2．判断集合关系的三种方法 (1)一一列举观察． (2)集合元素特征法：首先确定集合的元素是什么，弄清集合元素的特征，再 利用集合元素的特征判断集合关系． (3)数形结合法：利用数轴或 Venn 图．
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考向·分层突破
考向一 集合的基本概念 自主练透型
1．已知集合 A＝{0,1,2}，则集合 B＝{(x，y)|x≥y，x∈A，y∈A}中元素的个
(2)∵B⊆A，
∴①若 B＝∅，则 2m－1<m＋1，此时 m<2.
②若 B≠∅，则2mm＋－11≥≥－m2＋，1， 2m－1≤5.
注意集合的分类 讨论问题
解得 2≤m≤3.
由①、②可得，符合题意的实数 m 的取值范围为 m≤3.
答案： (1)D (2)(－∞，3]
(完整版)高中数学中集合的概念与运算的解题归纳,推荐文档
§1.1 集合的概念与运算一、知识导学1.集合：一般地，一定范围内某些确定的、不同的对象的全体构成一个集合.2.元素：集合中的每一个对象称为该集合的元素，简称元.3.子集：如果集合A 的任意一个元素都是集合B 的元素（若则），则称A a ∉B a ∈集合A 为集合B 的子集，记为A B 或B A ；如果A B ，并且A B ，这时集合A 称为集⊆⊇⊆≠合B 的真子集，记为A B 或B A.4.集合的相等：如果集合A 、B 同时满足A B 、B A ，则A=B.⊆⊇5.补集：设A S ，由S 中不属于A 的所有元素组成的集合称为S 的子集A 的补集，⊆记为 .A C s 6.全集：如果集合S 包含所要研究的各个集合，这时S 可以看做一个全集，全集通常记作U.7.交集：一般地，由所有属于集合A 且属于B 的元素构成的集合，称为A 与B 的交集，记作A B.⋂8.并集：一般地，由所有属于集合A 或者属于B 的元素构成的集合，称为A 与B 的并集，记作A B.⋃9.空集：不含任何元素的集合称为空集，记作.Φ10.有限集：含有有限个元素的集合称为有限集.11.无限集：含有无限个元素的集合称为无限集.12.集合的常用表示方法：列举法、描述法、图示法（Venn 图）.13.常用数集的记法：自然数集记作N ，正整数集记作N +或N ，整数集记作Z ，有理*数集记作Q ，实数集记作R .二、疑难知识导析1.符号，，，，=，表示集合与集合之间的关系，其中“”包括“”和⊆⊇⊆“=”两种情况，同样“”包括“”和“=”两种情况.符号，表示元素与集合之间⊇∈∉的关系.要注意两类不同符号的区别.2.在判断给定对象能否构成集合时，特别要注意它的“确定性”，在表示一个集合时，要特别注意它的“互异性”、“无序性”.3.在集合运算中必须注意组成集合的元素应具备的性质.4.对由条件给出的集合要明白它所表示的意义，即元素指什么，是什么范围．用集合表示不等式（组）的解集时，要注意分辨是交集还是并集，结合数轴或文氏图的直观性帮助思维判断．空集是任何集合的子集，但因为不好用文氏图形表示，容易被忽视，如在关系式中，B =易漏掉的情况.Φ5.若集合中的元素是用坐标形式表示的，要注意满足条件的点构成的图形是什么，用数形结合法解之.6.若集合中含有参数，须对参数进行分类讨论，讨论时既不重复又不遗漏.7.在集合运算过程中要借助数轴、直角坐标平面、Venn 图等将有关集合直观地表示出来.8.要注意集合与方程、函数、不等式、三角、几何等知识的密切联系与综合使用.9.含有n 个元素的集合的所有子集个数为：，所有真子集个数为：-1n 2n2三、经典例题导讲[例1] 已知集合M={y |y =x 2＋1,x∈R },N={y|y =x ＋1,x∈R }，则M∩N=（ ）A ．（0，1），（1，2）B ．{（0，1），（1，2）}C ．{y|y=1,或y=2}D ．{y|y≥1}错解：求M∩N 及解方程组 得 或 ∴选B⎩⎨⎧+=+=112x y x y ⎩⎨⎧==10y x ⎩⎨⎧==21y x 错因：在集合概念的理解上，仅注意了构成集合元素的共同属性，而忽视了集合的元素是什么．事实上M 、N 的元素是数而不是实数对(x,y )，因此M 、N 是数集而不是点集,M 、N 分别表示函数y =x 2＋1(x∈R )，y =x ＋1(x∈R )的值域，求M∩N 即求两函数值域的交集．正解：M={y |y =x 2＋1,x∈R }={y |y ≥1}， N={y|y=x ＋1,x∈R }={y|y∈R }．∴M∩N={y |y ≥1}∩{y|(y∈R)}={y |y ≥1}, ∴应选D ．注：集合是由元素构成的，认识集合要从认识元素开始，要注意区分{x |y =x 2＋1}、{y |y =x 2＋1,x ∈R }、{(x ,y )|y =x 2＋1,x ∈R }，这三个集合是不同的．[例2] 已知A={x |x 2－3x ＋2=0},B={x |ax －2=0}且A∪B=A，求实数a 组成的集合C ．错解：由x 2－3x ＋2=0得x =1或2．当x =1时，a =2， 当x =2时，a=1．错因：上述解答只注意了B 为非空集合，实际上，B=时，仍满足A∪B=A.当a =0时，B=，符合题设，应补上，故正确答案为C={0，1，2}．正解：∵A∪B=A ∴B A 又A={x |x 2－3x ＋2=0}={1，2}∴B=或 ∴C={0，1，2}{}{}21或[例3]已知m A,n B, 且集合A=，B=，又∈∈{}Z a a x x ∈=,2|{}Z a a x x ∈+=,12|C=，则有： （ ）{}Z a a x x ∈+=,14|A ．m +n A B. m +n B C.m +n C D. m +n 不属于A ，B ，C 中任意一个∈∈∈错解：∵m A ，∴m =2a ,a ,同理n =2a +1,a Z, ∴m +n =4a +1,故选C∈Z ∈∈错因是上述解法缩小了m +n 的取值范围.正解：∵m A, ∴设m =2a 1,a 1Z , 又∵n ,∴n =2a 2+1,a 2 Z ,∈∈B ∈∈∴m +n =2(a 1+a 2)+1,而a 1+a 2 Z , ∴m +n B, 故选B.∈∈[例4］ 已知集合A={x|x 2－3x －10≤0}，集合B={x|p ＋1≤x≤2p－1}．若BA ，求实数p 的取值范围．错解：由x 2－3x －10≤0得－2≤x≤5．欲使B A ，只须 3351212≤≤-⇒⎩⎨⎧≤-+≤-p p p ∴ p 的取值范围是－3≤p≤3.错因：上述解答忽略了"空集是任何集合的子集"这一结论，即B=时，符合题设． 正解：①当B≠时，即p ＋1≤2p－1p≥2.由B A 得：－2≤p＋1且2p －1≤5.由－3≤p≤3.∴ 2≤p≤3②当B=时，即p ＋1>2p －1p ＜2.由①、②得：p≤3.点评：从以上解答应看到：解决有关A∩B=、A∪B=，A B 等集合问题易忽视空集的情况而出现漏解，这需要在解题过程中要全方位、多角度审视问题．[例5] 已知集合A={a,a ＋b,a ＋2b}，B={a,ac,ac 2}．若A=B ，求c 的值．分析：要解决c 的求值问题，关键是要有方程的数学思想，此题应根据相等的两个集合元素完全相同及集合中元素的确定性、互异性，无序性建立关系式．解：分两种情况进行讨论．（1）若a ＋b=ac 且a ＋2b=ac 2，消去b 得：a ＋ac 2－2ac=0，a=0时，集合B 中的三元素均为零，和元素的互异性相矛盾，故a≠0．∴c 2－2c ＋1=0，即c=1，但c=1时，B 中的三元素又相同，此时无解．（2）若a ＋b=ac 2且a ＋2b=ac ，消去b 得：2ac 2－ac －a=0，∵a≠0，∴2c 2－c －1=0，即(c －1)(2c ＋1)=0，又c≠1，故c=－．21点评：解决集合相等的问题易产生与互异性相矛盾的增解，这需要解题后进行检验.[例6] 设A 是实数集，满足若a∈A，则A ，且1∉A.a -11∈1≠a ⑴若2∈A，则A 中至少还有几个元素？求出这几个元素.⑵A 能否为单元素集合？请说明理由.⑶若a∈A，证明：1－∈A.a1⑷求证：集合A 中至少含有三个不同的元素.解：⑴2∈A ⇒ －1∈A ⇒∈A ⇒ 2∈A 21∴ A 中至少还有两个元素：－1和21⑵如果A 为单元素集合，则a ＝a -11即＝012+-a a该方程无实数解，故在实数范围内，A 不可能是单元素集⑶a∈A ⇒ ∈A ⇒ ∈A ⇒A ，即1－∈A a -11a --1111111---a a ∈a 1⑷由⑶知a∈A 时，∈A， 1－∈A .现在证明a,1－, 三数互不相等.a-11a 1a 1a -11①若a=,即a2-a+1=0 ，方程无解，∴a≠a -11a-11②若a=1－，即a 2-a+1=0，方程无解∴a≠1－ a 1a1 ③若1－ =，即a2-a+1=0，方程无解∴1－≠.a 1a -11a 1a -11综上所述，集合A 中至少有三个不同的元素.点评：⑷的证明中要说明三个数互不相等，否则证明欠严谨.[例7] 设集合A={|=,∈N +}，集合B={|=,∈N +}，试证：a a 12+n n b b 542+-k k k A B ．证明：任设∈A，a 则==(＋2)2－4(＋2)＋5 (∈N +),a 12+n n n n ∵ n∈N*，∴ n ＋2∈N*∴ a∈B 故 ①显然，1，而由{}*2,1|Nn n a a A ∈+==∈B={|=,∈N +}={|=，∈N +}知1∈B，于是A≠B b b 542+-k k k b b 1)2(2+-k k ②由①、② 得A B ．点评：（1）判定集合间的关系，其基本方法是归结为判定元素与集合之间关系．（2）判定两集合相等，主要是根据集合相等的定义．四、典型习题导练1．集合A={x|x 2－3x －10≤0，x∈Z}，B={x|2x 2－x －6＞0， x∈ Z}，则A∩B 的非空真子集的个数为（ ）A ．16B ．14C ．15D ．322．数集{1，2，x 2－3}中的x 不能取的数值的集合是（ ）A ．{2，-2 }B ．{－2，－ }C ．{±2，± }D ．{，－}55553. 若P={y|y=x 2,x∈R}，Q={y|y=x 2＋1,x∈R}，则P∩Q 等于（ ）A ．PB ．QC ．D ．不知道4. 若P={y|y=x 2,x∈R}，Q={(x ，y)|y=x 2,x∈R}，则必有（ ）A ．P∩Q=B ．P QC ．P=QD ．P Q5．若集合M ＝｛｝，N ＝{|≤}，则M N ＝（ ）11|<xx x 2x x A ． B ．}11|{<<-x x }10|{<<x x C ． D ．}01|{<<-x x ∅6.已知集合A={x|x 2＋(m ＋2)x ＋1=0,x∈R }，若A∩R ＋=，则实数m 的取值范围是_________．7.（06高考全国II 卷）设，函数若的解集为A ，a R ∈2()22.f x ax x a =--()0f x >，求实数的取值范围。
第1讲 集合的概念,集合的表示方法集合之间的关系(学生版)
第1讲集合的概念，集合的表示方法集合之间的关系【基础知识】一、集合的意义1.集合：某些指定的对象集在一起就形成一个集合（简称集）。
2.元素：集合中每个对象叫做这个集合的元素。
3.属于：如果a是集合A的元素，就说a属于A，记作a∈Aa∉4.不属于：如果a不是集合A的元素，就说a不属于A，记作A5.有限集：含有有限个元素的集合。
6.无限集：含有无限个元素的集合。
7.集合相等：一般地，对于两个集合A与B，如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，同时集合B的任何一个元素都是集合A的元素，我们就说集合A等于集合B，记作A=B。
8.数学上，常常需要用到数的集合．数的集合简称数集9.空集：我们把不含任何元素的集合，记作φ。
二、集合的表示方法1）列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内表示集合。
通常元素个数较少时用列举法。
2）描述法：用确定的条件表示某些对象是否属于这个集合，并把这个条件写在大括号内表示集合的方法。
有些集合的元素不能无遗漏地一一列举出来，或者不便于、不需要一一列举出来，常用描述法。
区间：在数学上，常常需要表示满足一些不等式的全部实数所组成的集合．为了方便起见，我们引入区间（ｉｎｔｅｒｖａｌ）的概念．闭区间在数轴上表示开区间在数轴上表示半开半闭区间在数轴上表示这里的实数a,b统称为这些区间的端点．三、集合之间的关系1、子集：定义：对于两个集合A 与B ，如果集合A 的任何一个元素都是集合B 的元素，我们就说集合A 包含于集合B ，或集合B 包含集合A ，此时我们称A 是B 的子集。
即：B A B x A x ⊆∈⇒∈，则若任意 记作：A B B A ⊇⊆或；读作：A 包含于B 或B 包含A ；注意:B A ⊆有两种可能：（1）A 是B 的一部分；（2）A 与B 是同一集合 2、真子集：【考点剖析】考点一：集合的意义例1．下列所给对象不能构成集合的是________． (1)高一数学课本中所有的难题； (2)某一班级16岁以下的学生； (3)某中学的大个子；(4)某学校身高超过1．80米的学生； (5)1，2，3，1．例2.已知x 、y 、z 为非零实数，代数式x |x |＋y |y |＋z |z |＋|xyz |xyz的值所组成的集合是M ，则下列判断正确的是( )A ．B ．C ．M ∉-4D ．M ∈4 例3.用“∈”或“∉”填空(1)－3______N ； (2)3．14______Q ； (3)13______Z ；(4)－12______R ； (5)1______N *； (6)0________N ．例4.已知集合},012{2R x x ax x A ∈=++=，且A 中只有一个元素，求x 的值．例5.已知},0,1{2x x ∈，求实数x 的值．例6.已知集合S 的三个元素a ．、b 、c 是△ABC 的三边长，那么△ABC 一定不是( ) A ．锐角三角形 B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．等腰三角形 例7.设A 为实数集，且满足条件：若a ．∈A ，则a-11∈A (a ．≠1)． 求证：(1)若2∈A ，则A 中必还有另外两个元素； (2)集合A 不可能是单元素集． 证明．例8.设P 、Q 为两个非空实数集合，P 中含有0，2，5三个元素，Q 中含有1，2，6三个元素，定义集合P ＋Q 中的元素是a ＋b ，其中a ∈P ，b ∈Q ，则P ＋Q 中元素的个数是多少？考点二：集合的表示方法例1．写出下列集合中的元素（并用列举法表示）：（1）既是质数又是偶数的整数组成的集合 （2）大于10而小于20的合数组成的集合例2.用描述法表示下列集合：（1）被5除余1的正整数所构成的集合（2）平面直角坐标系中第一、第三象限的点构成的集合 （3）函数122+-=x x y 的图像上所有的点 （4）例3.用列举法表示下列集合：（1）},,5),{(N y N x y x y x ∈∈=+（2）},032{2R x x x x ∈=--（3）},032{2R x x x x ∈=+-（4）},512{Z x N xx ∈∈-例4.用适当的方法表示下列集合（1）大于0且不超过6的全体偶数组成的集合A （2）被3除余2的自然数全体组成的集合B （3）直角坐标平面上第二象限的点组成的集合C例5.下列表示同一个集合的是（ ）A ．)}3,2{()},2,3{(==N MB ．}3,2{},2,3{==N MC ．)}3,2{(},2,3{==N MD ．φ==N M },0{ 例6.已知集合，用列举法分别表示集合B A 、例7.设∇是R 上的一个运算，A 是R 的非空子集，若对任意A b a ∈,，有A b a ∈∇，则称A 对运算∇封闭，下列数集对加法、减法、乘法和除法（除法不等于零）四则运算都封闭的是（）A ．自然数集B ．整数集C ．有理数集D ．无理数集例8.（2021·上海曹杨二中高一期末）已知集合{}{}2230,M x x x N x x a =--<=>，若M N ⊆，则实数a 的取值范围是__________． 考点三：集合之间的关系例1．已知A ＝{0，1}，B ＝{x |x ⊆A }，则A 与B 的关系正确的是( )A ．A ⊆B B ．A B =C ．B A ⊆D ．A ∈B例2.已知集合}2,,{b a b a a A ++=，集合},,{2ac ac a B =，若B A =，求实数c 的值例3.已知集合}01{},06{2=+==-+=ax x B x x x A 且A ≠⊂B ，求a 的值．例4.定义A *B ＝{x |x ∈A ，且x ∉B }，若A ＝{1，3，4，6}，B ＝{2，4，5，6}，则A *B 的子集个数为例5.设}2,1{B }4,3,2,1{A ==，，试求集合C ，使A C ≠⊂且C B ⊆例6.设集合A ＝{x |x 2＋4x ＝0，x ∈R }，B ＝{x |x 2＋2(a ＋1)x ＋2a －1＝0}，若B ⊆A ，求实数a 的取值范围．例7.已知集合A ＝{x |－2≤x ≤5}，B ＝{x |m ＋1≤x ≤2m －1}，若B ⊆A ，求实数m 的取值范围．例8.若集合M ＝{x |x 2＋x －6＝0}，N ＝{x |(x －2)(x －a )＝0}，且N ⊆M ，求实数a 的值．例9.已知，则A 与B 之间的包含关系为 ；【难度】★★ 【答案】B ≠⊂A例10.已知集合}3{>=x x A ，集合}1{m x x B >+=，若A B ≠⊂，实数m 的取值范围是，若A B ⊆，实数m 的取值范围是【过关检测】一、单选题1．（2021·上海市实验学校高一期末）设Q 是有理数，集合{|,,0}X x x a a b x ==+∈≠Q ，在下列集合中；（1）{|2,}y y x x X =∈；（2）{|}y y x X =∈；（3）1{|,}y y x X x =∈；（4）2{|,}y y x x X =∈；与X 相同的集合有（ ） A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个2．（2021·上海高一期末）已知“非空集合M 的元素都是集合P 的元素”是假命题，给出下列四个命题： ①M 的元素不都是P 的元素；②M 的元素都不是P 的元素； ③存在x P ∈且x M ∈；④存在x M ∈且x P ∉； 这四个命题中，真命题的个数为（ ）． A ．1个 B ．2个C ．3个D ．4个3．（2020·上海高一专题练习）下列各对象可以组成集合的是（ ） A ．与1非常接近的全体实数B ．某校2015-2016学年度笫一学期全体高一学生C ．高一年级视力比较好的同学D ．与无理数π相差很小的全体实数4．（2020·上海高一专题练习）下面每一组的两个集合，相等的是（ ） A ．{(1,2)}M =，{(2,1)}N = B ．{1,2}M =，{(1,2)}N =C ．M =∅，{}N =∅D ．{}2|210M x x x =-+=，{1}N =5．（2020·上海高一专题练习）方程组的解构成的集合是 A ．{1}B ．(1,1)C ．{(1,1)}D ．{1,1}6．（2020·上海高一专题练习）下列命题中正确的（ ） ①0与{0}表示同一个集合；②由1，2，3组成的集合可表示为{1，2，3}或{3，2，1}； ③方程(x －1)2(x －2)＝0的所有解的集合可表示为{1，1，2}；④集合{x |4<x <5}可以用列举法表示． A ．只有①和④ B ．只有②和③ C ．只有②D ．以上语句都不对7．（2020·上海高一课时练习）已知非零实数,,a b c ，则代数式a b ca b c++表示的所有的值的集合是（ ） A ．{3} B ．{3}- C ．{3,3}-D ．{3,3,1,1}--8．（2020·上海高一课时练习）集合是指（ ） A ．第二象限内的所有点B ．第四象限内的所有点C ．第二象限和第四象限内的所有点D ．不在第一、第三象限内的所有点9．（2020·上海高一专题练习）如果{}1A x x =>-，那么错误的结论是（ ） A ．0A ∈B ．C ．A φ∈D ．A φ⊆10．（2020·上海高一专题练习）以下六个关系式：{}00∈，{}0⊇∅，0.3Q ∉， ， ，是空集，错误的个数是（ ） A ．4 B ．3C ．2D ．1二、填空题11．（2021·上海高一期末）10的所有正因数组成的集合用列举法表示为__________. 12．（2021·上海市实验学校高一期末）集合6{|3P x x =∈-Z 且}x ∈Z ，用列举法表示集合P =________ 13．（2021·上海市西南位育中学高一期末）已知集合(){}21320A x m x x =-+-=有且仅有两个子集，则实数m =______.14．（2021·上海市南洋模范中学高一期末）已知集合(){}lg 4A x y x =∈=-N ，则A 的子集个数为______． 15．（2021·上海市西南位育中学高一期末）设，，则A ___________B .(填“⊂”､“”､“”或“”) 16．（2020·上海高一课时练习）已知集合A ={1，2，a 2-2a }，若3∈A ，则实数a =______． 17．（2020·上海高一专题练习）用符号“∈”或“∉”填空（1）0______N ，N ，N （2）12-_____,Q π______Q（3）________{}|,,x x a a Q b Q =+∈∈18．（2020·上海高一专题练习）集合2{|(6)20}A x ax a x =+-+=是单元素集合，则实数a =________ 19．（2020·上海高一专题练习）1∈{a 2−a −1，a ，−1}，则a 的值是_________．20．（2020·上海高一专题练习）已知集合{}2|320M x x x =-+=，集合{}2|220,N x x x k k R=++=∈非空，若M N ⋂=∅，则k 的取值范围是___； 21．（2020·上海高一专题练习）定义集合运算(){}|,,AB z z xy x y x A y B ==+∈∈，集合{}{}0,1,2,3A B ==，则集合AB 所有元素之和为________22．（2020·上海高一专题练习）集合{1，4，9，16，25}用描述法来表示为________.23．（2020·上海高一专题练习）已知集合2{|()(1)0}M x x a x ax a =--+-=各元素之和等于3，则实数a =___________.24．（2020·上海高一课时练习）定义“×”的运算法则为：集合{(,)|,}A B x y x A y B ⨯=∈∈，设集合{1,23}P =，，{2,4,6,8}Q =，则集合P Q ⨯中的元素个数为________.25．（2020·上海高一课时练习）已知集合{}2|1,||2,A y y x x x Z ==+∈，用列举法表示为________． 26．（2020·上海高一专题练习）满足的集合A 的个数为____________个. 27．（2020·上海高一专题练习）已知A ，B 是两个集合，下列四个命题： ①A 不包含于B ⇔对任意x ∈A ，有x ∉B ②A 不包含于B ⇔AB =∅③A 不包含于B ⇔A 不包含B ④A 不包含于B ⇔存在x ∈A ，x ∉B 其中真命题的序号是______28．（2020·上海高一专题练习）集合A={x |ax −6=0}，B={x |3x 2−2x=0}，且A ⊆B ，则实数a =____ 29．（2020·上海高一专题练习）满足的集合M 共有___________个.30．（2020·上海高一专题练习）已知集合A 中有n 个元素，则集合A 的子集个数有_____个，真子集有_____个，非空真子集_______个． 三、解答题31．（2020·上海高一课时练习）已知2{1,0,}x x ∈，求实数x 的值.32．（2020·上海高一课时练习）含有3个实数的集合可表示为，也可表示为{}2,,0a a b +，求20092010a b +的值．33．（2020·上海高一课时练习）用适当的方法表示下列集合，并判断它是有限集还是无限集. （1）第三象限内所有点组成的集合； （2）由大于－3而小于9的偶数组成的集合； （3）所有被5除余2的奇数组成的集合.34．（2020·上海高一课时练习）选择适当的方法表示下列集合. （1）Welcome 中的所有字母组成的集合； （2）所有正偶数组成的集合； （3）二元二次方程组的解集； （4）所有正三角形组成的集合.35．（2020·上海高一课时练习）用适当的方法表示下列集合 （1）大于0且不超过6的全体偶数组成的集合A （2）被3除余2的自然数全体组成的集合B （3）直角坐标平面上第二象限的点组成的集合C36．（2020·上海高一课时练习）用适当的方法表示下列集合. （1）由所有小于20的既是奇数又是质数的正整数组成的集合； （2）由所有非负偶数组成的集合；（3）直角坐标系内第三象限的点组成的集合.37．（2020·上海高一专题练习）A ={x |x <2或x >10}，B ={x |x <1－m 或x >1＋m }且BA ，求m 的范围．38．（2020·上海高一专题练习）已知A ={x |}，B ={x |25x -≤≤}，若AB ，求实数m 的取值范围．。
小学生的集合了解集合的概念和运算
小学生的集合了解集合的概念和运算在小学数学学习中，集合是一个重要的概念。
通过了解集合的定义和运算，可以帮助小学生建立数学思维和解决问题的能力。
本文将介绍集合的概念、运算及其在小学数学中的应用。
一、集合的概念集合是指把具有某种共同特征的对象或者元素组成的整体。
例如，小学生的全体学生可以组成一个集合，集合中的每个元素就是一个小学生。
集合通常用大写字母表示，而集合中的元素用小写字母表示。
集合的表示法有两种方式，一种是列举法，即将集合中的元素一个一个列举出来；另一种是描述法，即通过描述集合中元素所具有的共同特征来表示。
二、集合的运算1. 并集并集是指将两个或多个集合中所有的元素合并在一起，去除重复的元素后形成的新集合。
并集的符号为“∪”。
例如，集合A={1, 2, 3}，集合B={2, 3, 4}，则A∪B={1, 2, 3, 4}。
2. 交集交集是指两个或多个集合中共同存在的元素组成的新集合。
交集的符号为“∩”。
例如，集合A={1, 2, 3}，集合B={2, 3, 4}，则A∩B={2, 3}。
3. 差集差集是指从一个集合中去除与另一个集合中相同元素后所得到的新集合。
差集的符号为“-”。
例如，集合A={1, 2, 3}，集合B={2, 3, 4}，则A-B={1}。
4. 补集补集是指在全集中去除某个集合的元素形成的新集合。
补集的符号为“'”或“-”。
例如，全集U={1, 2, 3, 4}，集合A={2, 3}，则A'={1, 4}或者A-U={1, 4}。
5. 子集子集是指一个集合中的所有元素都是另一个集合的元素的情况。
子集的符号为“⊆”。
例如，集合A={1, 2}，集合B={1, 2, 3}，则A⊆B。
6. 空集空集是指不包含任何元素的集合，用符号“∅”表示。
三、集合的应用集合在小学数学中有着广泛的应用，以下介绍两个常见的应用场景。
1. 数据统计集合的概念可以帮助小学生进行数据统计和分析，以解决实际问题。
集合的概念与运算
分配律
定义
对于任意三个集合A、B和C，如果A∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C)和 A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C)，则称集合的运算满足分配律。
解释
分配律意味着并集和交集运算可以分配给括号内的并集和交集运算。 即，括号内的并集和交集运算的结果可以与外部的并集和交集运算 的结果进行交换。
伍 集合的应用
集合的元素
元素可以是具体的， 如苹果、汽车等；也 可以是抽象的，如数 字、图形等。 元素是构成集合的基 本单位，可以是任何 对象或实体。
并集
并集是将两个集合中 的所有元素合并到一 个新的集合中。 并集运算可以用符号 “∪”表示。
交集
交集运算可以用符号“∩”表示。 交集是两个集合中共有的元素组成的集合。
壹
集合的概念与运算
目录 CONTENTS
0 1 集合的基本概念
0 4 集合的应用
0 2 集合的运算
0 5 集合运算的注意事项
0 3 集合运算的性质
贰 集合的基本概念
集的定义
集合中的元素具有确定性、 互异性和无序性。 集合是由确定的、互不相 同的元素所组成的总体。
集合的表示方法
将集合中的元素一一列举出 来，用大括号括起来。 列举法 通过描述集合中元素的共同 特征，用大括号括起来。 描述法
交集是指两个或多个集合中共有的元素的集合，即同时属于A和B的元素组成的集合。 交集的表示方法为A∩B，其中A和B为两个集合。 交集的性质包括交换律、结合律和分配律。
差集
差集是指属于A但不属于B的元素的集合，即所有属于A但不属于B的元素组成的集合。 差集的表示方法为A−B，其中A和B为两个集合。 差集的性质包括反身律、对称律和传递律。
解释
1.1集合的概念与运算.pptx
间 的
子 集
集合 A 中任意一个元素均为集合 B 中的元素
基
本 为集合 B 中的元素,且集合 B 中至少有一个元素不是集合 A 中的元素
示关系 文字语言
空集 空集是任何集合的子集,是任何非空集合的真子集
符号语 言 A=B A⊆ B
A⫋ B
第1讲 集合的概念与运算
A∪B=B∪A A∪A=A A∪⌀=⌀∪A=A 如果 A⊆ B,则 A∪B=B
A∪∁UA=U A∩∁UA=⌀ ∁U(∁UA)=A
第1讲 集合的概念与运算 要点梳理 考点自测
考纲解读 主主干干梳梳理理 考点层析
12345
1.已知集合 A={x∈N|- 3≤x≤ 3},则必有( )
A.-1∈A
B.0∈A
第1讲 集合的概念与运算
考纲解读 主干梳理
考点层析
考向1
考向2
考向2
考向4 易错辨析点拨
考向 1 集合的基本概念
【例 1】 (1)已知集合 A={0,1,2},则集合 B={x-y|x∈A,y∈A}中元素的个数 是( )
A.1
B.3
C.5
D.9
(2)已知集合 A={m+2,2m2+m},若 3∈A,则 m 的值为
B=( )
A.[-2,-1]
B.[-1,2)
C.[-1,1]
D.[1,2)
解析:由已知,可得 A={x|x≥3 或 x≤-1},则 A∩B={x|-2≤x≤-1}=[-2,-1].故选
A.
答案:A
第1讲 集合的概念与运算 要点梳理 考点自测
考纲解读 主主干干梳梳理理 考点层析
12345
3.设集合 A={x|1≤x≤2},B={x|x≥a},若 A⊆ B,则 a 的取值范围是( )
(一)集合的概念与运算
（一）集合的概念与运算（一）知识归纳：1．元素与集合：把研究对象统称为元素；把一些元素组成的总体叫做集合。
①若a 是集合A 的元素，记作A a ∈；若b 不是集合A 的元素，记作A b ∉。
②集合中的元素必须满足：确定性、互异性与无序性。
③表示一个集合可用自然语言法、列举法、描述法、Venn 图法、特定数集法或区间表示法。
2．集合的包含关系：①子集：集合A 的任何一个元素都是集合B 的元素，则称A 是B 的子集（或B 包含A ），记作A ⊆B ；若A ⊆B 且B ⊇A ，则称A 等于B ，记作A=B ；若A ⊆B 且A ≠B ，则称A 是B 的真子集，记作A B.⎧⎨⎩真子集子集相等②简单性质： A ⊆A ； A ∅⊆；若A ⊆B ，B ⊆C ，则A ⊆C ；若集合A 是n 个元素的集合，则集合A 有2n个子集（其中2n－1个真子集）。
③*()N N +N Z Q R3．集合运算：补集：①包含了我们所要研究的各个集合的全部元素的集合称为全集，通常记作U ； ②若U 是一个集合，A ⊆U ，则 U A ð={|,}x x U x A ∈∉且,称U 中子集A 的补集。
③简单性质：U UU U U=,=U,(A)=A ∅∅痧痧4．集合运算：交集与并集： ①交集{|},{|}AB x x A x B A B x x A x B =∈∈=∈∈且并集或.②简单性质：1）,,A A A A A B BA =∅=∅=2）,,A A A A A A B B A =∅==3）()()AB A B ⊆4）;A B AB A A B A B B ⊆⇔=⊆⇔=5）U U U (A B)=(A)(B)痧?,U U U (A B)=(A)(B)痧?（二）学习要点：1．准确描述集合中的元素，熟练运用集合的各种符号， 如∈、∉、⊆、 、=、U A ð、、等等；2．准确理解集合所描述的具体内容以及各个集合之间的关系，常常根据“Venn 图”来加深对集合的理解，一个集合能化简（或求解），一般应考虑先化简（或求解）；3．确定集合的“包含关系”与求集合的“交、并、补”是学习集合的中心内容，解决问题时应根据问题所涉及的具体的数学内容来寻求方法。
集合的概念与运算、简单逻辑学生版
集合的概念与运算一、 知识要点回顾1、注意集合元素的代表什么2、注意元素的三大特征 ： 、 、 .3、子集问题，不要漏掉空集.若集合A 的所有元素都是B 中的元素，则称集合A 为集合B 的子集，记做 或 . 是任何集合的子集.4、集合的运算和性质集合的运算包括 、 、 .5、注意 和 的运用，注意集合与其他知识的综合.二、典型例题1、注意集合元素的代表是什么例 设集合{|M x y = ，集合N={}2|,y y x x M =∈ ，则M N =____.2、注意元素的特征例 已知集合M={,,a b c }中的三个元素可构成三角形的三边长,那么△ABC 一定不是( )A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.等腰三角形3、子集问题注意不要漏掉空集例1 已知集合A={-1,1},{}10B x ax =+=,若B 是A 的子集，则实数a 的所有可能的取值的集合是（ ）A {-1}B {1}C {-1,1}D {-1,0,1}{}{}22220,320,.A x x x a B x x x A B a ≠=-+≤=-+≤⊂例已知集合且则实数的取值范围是4、注意集合的运算及性质A B B B A =⇔⊆A B A B A =⇔⊆A B A B U U ⊆⇔⊇()U C A B U U C A C B =()U U U C A B C A C B =22{,},{24,},,.R R A y y x x R B z z ax ax x R C A C B a ==∈==-+∈⊇例 已知｜｜若求实数的取值范围5、注意数轴和韦恩图的运用例 设全集{1,2,3,4,5}U =,若{2}A B = ，(){4}U C A B = ，()(){1,5}U U C A C B =则A ＝_____，B ＝___.6.综合问题例 已知函数()2f x x px q =++，且集合()(){},{}.A x x f x B x f f x x ====⎡⎤⎣⎦(1)求证A ⊆B ； (2)如果A ＝｛-1,3｝，求B.小结：解集合问题注意四点: 、 、 、.三、作业1．已知函数()f x =M ，()ln(1)g x x =+的定义域为N ，则M N =（ ）A ．{}1x x >-B ．{}1x x <C ．{}11x x -<<D ．∅2．全集U=R ，集合{}{}|212|21,1,2,M x x N x x k k =-≤-≤==-=和，的关系的韦恩（Ｖenn ）图如图1所示，则阴影部分所示的集合的元素共有（ ）A ．３个 Ｂ．２个Ｃ．１个 Ｄ．无穷个3.设S 是至少含有两个元素的集合，在 S 上定义了一个二元运算“*”（即对任意的a b S ∈，，对于有序元素对（a b ，），在S 中有唯一确定的元素 a b *与之对应）．若对任意的a b S ∈，，有()**a b a b =，则有任意的a b S ∈，，下列等式中不恒成立的是（ ）A.()**a b a a =B.[()]()****a b a a b a =C.()**b b b b =D.()[()]****a b b a b b =4．第二十九届夏季奥林匹克运动会将于2008年8月8日在北京举行．若集合A={参加北京奥运会比赛的运动员}，集合B={参加北京奥运会比赛的男运动员}，集合C={参加北京奥运会比赛的女运动员}，则下列关系正确的是（ ）A ．AB ⊆B ．BC ⊆ C ．A B C =D ．B C A =5．若集合{}21A x x =-<<，{}02B x x =<< ,则集合A ∩B （ ） A ．{}11x x -<< B. {}21x x -<< C. {}22x x -<< D.{}01x x <<简易逻辑及应用一、知识要点回顾常用逻辑用语1． 四种命题及其关系（1） 一般的，我们把语言、符号或式子表达的，可以判断 的语句叫为命题.（2） 若原命题为“若p 则q ”，则它的逆命题为 ，它的否命题为 ，它的逆否命题为 .互为逆否的命题是 ，它们 .（3）命题的否定不同于否命题，命题的否定与原命题的 .2.逻辑连接词：命题之间的“或” “且”“非”“或命题”的真假特点是“ ”；“且命题”的真假特点是“ ”；“非命题”的真假特点是“ ”.3.充要条件:关键是分清条件和结论：由条件可推出结论，条件 ；由结论可推出条件，则条件 .从集合角度解释：若A 是B 的子集，则A 是B 的 ；若B 是A 的子集，则B 是A 的 ；若A=B ，则A 是B 的 .4.全称量词与存在量词全称量词的表示形式: , 特称量词的表示形式： .全称命题的符号简记:特称命题的符号简记:全称命题的否定形式：特称命题的否定形式：二、典型例题1．四种命题及其关系例1 命题：“若21x <，则11x -<<”的逆否命题是（ ）A.若21x ≥，则11x x ≥≤-或B.若11x -<<，则21x <C.若11x x ><-或，则21x >D.若11x x ≥≤-或，则21x ≥例2设S 为复数集C 的非空子集.若对任意,x y S ∈，都有,,x y x y xy S +-∈，则称S 为封闭集.下列命题：①集合S={a+bi|(a ,b }为整数，i 为虚数单位)为封闭集；②若S 为封闭集，则一定有0∈S ；③封闭集一定是无限集；④若S 为封闭集，则满足S T C ⊆⊆的 任意集合T 也是封闭集.其中真命题是 （写出所有真命题的序号）2、反证法： 欲证“若p 则q”为真命题,根据原命题与它的逆否命题等价,只要证“若﹁q 则﹁p”即可.用反证法证题的一般步骤:①假设命题的结论不成立,即假设结论的反面成立;②从这个假设出发,经过推理论证得出矛盾;③由矛盾判定假设不成立,从而肯定命题的结论成立.例3 已知0a >，函数()3f x x ax =-在[)1,x ∈+∞是一个单调函数.（1）求实数a 的取值范围；（2）()()()0000001,1,,.x f x f f x x f x x ≥≥==⎡⎤⎣⎦设且试证明3、逻辑连接词例4 若“p 且q”与“p q ⌝或”均为假命题，则（ ）A ．p 真q 假B ．p 假q 真C ．p 与q 均真D ．p 与q 均假例5 已知“p q ⌝且”为真，则下列命题中：① p ；②p q ∨；③p q ∧；④q ⌝ 是假命题的有________________（填相应的序号） .4.充要条件例6 在如下图所示的电路图中，“开关A 的闭合”是“灯泡B 亮”的（ ）.A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分又不必要条件例7 设集合2{540}A x x x =-+<,{log ,01}a B x x b a a =≥>≠且，若“2a =”是“A B φ⋂=”的充分条件，则b 的取值范围是（ ）（A ）[2,)+∞ （B ）(2,)+∞ （C ）(,0)-∞ （D ）(,0]-∞5.全称量词与存在量词例8已知命题p ：,sin 1x R x ∀∈≤,则（ ）A. :,sin 1p x R x ⌝∃∈≥B. :,sin 1p x R x ⌝∀∈≥C. :,sin 1p x R x ⌝∃∈>D. :,sin 1p x R x ⌝∀∈>例9 已知命题p:“[]21,2,0x x a ∀∈-≥”，命题q:“2,220x R x ax a ∃∈++-=”若命题“p 且q”是真命题，则实数a 的取值范围是 _______.6、综合问题例10 下面命题的说法错误的是（ ）A ．命题“若2320,1x x x -+==则”的逆否命题为：“若1,x ≠则2320x x -+≠”B ．“x=1”是“2320x x -+=”的充分不必要条件C ．若p q ∧为假命题，则p 、q 均为假命题D ．对于命题:p x R ∃∈使得210x x ++<，则2:,10p x R x x ⌝∀∈++≥均有三、作业1、命题“存在x∈R，使得x 2+2x+5=0”的否定是___ .2、（6）设0＜x ＜2，则“x 2sin x ＜1”是“xsinx＜1”的A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件3、命题“若一个数是负数，则它的平方是正数”的逆命题是（） A ．“若一个数是负数，则它的平方不是正数”B ．“若一个数的平方是正数，则它是负数”C ．“若一个数不是负数，则它的平方不是正数”D ．“若一个数的平方不是正数，则它不是负数”集合的概念与运算答案：C、B、A 、D、D简单逻辑与应用答案：1、2使得2、B3、B4、1∀∉++≠x R x x,250。
1.1 集合的概念及运算
集合的概念及运算一、 集合的含义与表示1. 集合的含义一些确定的元素组成的总体叫做集合。
2. 元素与集合的关系1. 集合用大写字母 ,,,C B A 表示2. 元素用小写字母 ,,,c b a 表示3. 元素与集合的关系有且仅有两种：属于（用符号""∈表示）和不属于（用符号""∉表示）。
4. 不含任何元素的集合叫做空集，记做∅。
注意 空集属于任何集合。
3. 集合中元素的性质1. 确定性2. 互异性3. 无序性4. 集合的分类1. 无限集，2. 有限集。
5. 常用数集及其符号表示6. 集合的表示方法1. 列举法 如2. 描述法 如7. 练习1. 已知集合{}2,1,0=A ，则集合{}A y x A y A x y x B ∈-∈∈-=,,中元素的个数是2. 已知集合{}5,4,3,2,1=A ，则集合{}A y x A y A x y x B ∈-∈∈=,,),(中元素的个数是3. i 是虚数单位，若集合{}1,0,1-=S ，则S i A ∈. S i B ∈2. S i C ∈3. S i D ∈2. 二、 集合间的基本关系1. 已知集合{}3,2,1=A ，{}3,2=B 则，集合A 与集合B 的关系2. 集合{}1,0,1-共有 个子集。
三、 集合的基本运算1. 已知集合{}m A ,3,1=，{}m B ,1=，A B A =⋃，则m=2. 已知M ，N 为集合I 的非空子集，且M ，N 不相等，若=⋃∅=⋂N M M C N I 则,3. 已知集合{}2,1,0,1,2--=A ，{}0)2)(1(<+-=x x x B ，则=⋂B A4. 已知全集{}8,7,6,5,4,3,2,1=U ，集合{}6,5,3,2=A ，集合{}7,6,4,3,1=B ，则集合=⋂B C A U5. 若集合{}432,,,i i i i A =（i 是虚数单位），{}1,1-=B ，则=⋂B A6. 设集合{}0)2)(1(<-+=x x x A ，集合{}31<<=x x B ，则=⋃B A7. 已知集合{}0322≥--=x x x A ，{}22≤≤-=x x B ，则=⋂B A8. 已知集合U=R ，{}0≤=x A ，{}1≥=x x B ，则集合=⋃)(B A C U9. 设全集{}2≥∈=x N x U ，集合{}52≥∈=x N x A ，则=A C U10.已知集合{}1log 04<<=x x A ，{}2≤=x x B ，则=⋂B A11.已知集合{}023>+∈=x R x A ，{}0)3)(1(>-+∈=x x R x B ，则=⋂B A。
小学四年级数学上册教案认识集合的基本概念与运算
小学四年级数学上册教案认识集合的基本概念与运算小学四年级数学上册教案认识集合的基本概念与运算引言：数学是一门关于数字和形状的学科，并且在我们日常生活中扮演着重要的角色。
在小学四年级数学上册中，我们将接触到集合的基本概念与运算。
本节课将帮助学生们认识集合，并学习如何进行集合的基本运算。
第一部分：集合的介绍在开始学习集合之前，我们需要明确集合的概念。
集合是一组相同或相关物体的组合，这些物体通常被称为元素。
集合可以用大括号括起来，并用逗号分隔元素。
让我们以一个简单的例子来说明：{1, 2, 3}。
这个集合包含了数字1、2和3，它们是集合的元素。
了解集合的基本概念后，我们要学习如何表示集合。
常见的表示集合的方法有两种：列表法和描述法。
- 列表法：使用大括号将集合的元素括起来，并用逗号分隔。
例如，{1, 2, 3}表示一个包含元素1、2和3的集合。
- 描述法：通过描述元素的特征来表示集合。
例如，{x | x 是一个大写字母}表示一个包含所有大写字母的集合。
第二部分：集合的分类在继续学习集合的基本运算之前，我们需要了解集合的分类。
根据元素的性质，集合可以分为有限集和无限集。
- 有限集：包含有限个元素的集合。
例如，{1, 2, 3, 4, 5}是一个有限集，其中包含了5个元素。
- 无限集：包含无限个元素的集合。
例如，自然数集合{1, 2, 3, ...}就是一个无限集。
除了根据元素个数进行分类外，集合还可以根据元素的性质进行分类。
例如，我们可以将数字集合和字母集合等分为不同的类别。
第三部分：集合的基本运算学习了集合的基本概念和分类后，我们要开始学习集合的基本运算。
在数学中，集合的基本运算包括并集、交集和补集。
1. 并集：并集是指将两个或多个集合中的所有元素合并成一个集合。
并集用符号“∪”表示。
例如，如果集合A={1, 2, 3}，集合B={3, 4, 5}，则集合A和B的并集为A∪B={1, 2, 3, 4, 5}。
小学数学中的集合的概念与运算
小学数学中的集合的概念与运算数学是一门逻辑性强、需要思维严谨的学科，而小学数学作为数学学科的基础，是孩子们打好数学基础的关键阶段。
在小学数学的学习中，集合的概念与运算是其中重要的内容之一。
本文将从集合的概念、集合的表示方法、集合的分类以及集合的运算等方面进行论述，帮助小学生更好地理解和掌握集合的知识。
一、集合的概念集合是数学中一个基本的概念，它是由一些确定的对象所组成的整体。
这些对象可以是具体的事物，也可以是抽象的概念。
例如，一个水果篮中的苹果、梨子和香蕉可以构成一个集合，我们可以用大括号{}来表示，如{苹果，梨子，香蕉}。
在集合中的每个对象被称为集合的元素。
上述例子中，苹果、梨子和香蕉都是该集合的元素。
我们可以用小写字母来代表集合的元素，例如a表示苹果，b表示梨子，c表示香蕉，那么该集合可以表示为{a，b，c}。
需要注意的是，集合中的元素是无序的，重复的元素只能算一个。
二、集合的表示方法在小学数学中，我们通常用描述法和列举法来表示集合。
1. 描述法：描述法是通过描述集合中元素的共同特征来表示集合。
例如，表示“小于10的正整数集合”的描述法可以标记为{x|x < 10}，其中的x表示元素，竖线|的意思是“使得”，读作“x使得x小于10”。
2. 列举法：列举法是通过把集合中的元素逐个写出来来表示集合。
例如，表示一个由元素1、2、3组成的集合可以标记为{1, 2, 3}。
三、集合的分类在小学数学中，集合可以按照元素的性质进行分类，主要有空集、全集、单元素集、双元素集和多元素集等。
1. 空集：空集是不含任何元素的集合，用符号∅表示。
例如，一个不含有水果的水果篮可以表示为空集，其表示为∅。
2. 全集：全集是指研究问题所涉及到的元素的集合，用符号U表示。
例如，在一个数学问题中，如果我们研究的范围是小于10的整数，那么这个范围内的所有整数构成的集合就可以表示为全集U。
3. 单元素集：只含有一个元素的集合称为单元素集。
第一讲集合的概念及其运算
第一讲 集合的概念及其运算集合论是德国数学家康托尔在19世纪末创立的，集合语言是现代数学的基本语言，是表达数学知识、进行数学交流的重要工具。
同时集合是高中数学的基本知识，为历年高考必考内容之一，主要考查对集合基本概念的认识和理解，以及作为工具，考查集合语言和集合思想的运用.本节主要是帮助考生运用集合的观点，不断加深对集合概念、集合语言、集合思想的理解与应用.一、 考纲解读1.考试内容：（1）集合的含义与表示；（2）集合间的基本关系；（3）集合的基本运算。
2.考试要求：（1）了解集合的含义、元素与集合的属于关系，全集与空集的含义；（2）能用自然语言、图形语言、集合语言（列举法或描述法）描述不同的具体问题。
能用韦恩（V enn ）图表达集合的关系及运算；（3）理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集。
理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个集合的并集与交集。
理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定集合子集的补集。
二、知识网络三、知识讲解：1.集合的有关概念（1）某些指定的对象集在一起就构成一个集合，简称集。
其中的每一个对象叫集合的元素，集合中的元素具有确定性、互异性、无序性三个特征。
确定性：集合的元素必须是确定的，任何一个对象都能明确判断出它是或者不是某个集合的元素。
互异性：集合中任意两个元素都是不同的，也就是同一个元素在一个集合中不能重复出现。
无序性：集合与组成它的元素顺序无关。
如集合}{c b a ,,与}{b a c ,,是同一个集合。
（2）元素与集合的关系：如果a 是集合A 的元素，就说a 属于集合A ，记作a A ∈；如果a 不是集合A 的元素，就说a 不属于集合A ，记作a A ∉。
任一元素a 与集合A 的关系是a A ∈与a A ∉二者必居其一。
（3）集合的分类：根据集合中元素的个数可将集合分为有限集、无限集和空集。
不含任何元素的集合叫做空集，用符号Φ表示。
空集的性质：空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。
01第一讲：集合的概念与运算
第一讲：集合的概念与运算一、知识梳理：1． 集合的含义与表示：（1） 一般地，我们把研究对象统称为__________，把一些元素组成的总体叫做____________（简称______）.（2） 集合中元素的三个性质：____________,__________,___________. （3）集合中元素与集合的关系分为____________和____________两种，分别用__________和_________表示. （4） 几种常用集合的表示法：数集 自然数集正整数集整数集有理数集 实数集 表示（5） 集合的三种表示法：___________,____________,_______________. 2． 集合间的基本关系：（1）B ⊆的含义是：__________________________________________. （2）若集合B A ⊆且A B ⊆，我们就说____________________________. （3）若集合B A ⊆且B A ≠，则称__________________记着___________. 即若B A ⊆，但存在B x ∈0，且A x ∉0。
（4）不含任何元素的集合叫做________，记为_______，并规定：空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集。
3．集合的基本运算：（1）B A ⋃的含义是__________________________________________. （2）B A ⋂的含义是_______ _____________________________. （3）如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为__________________，通常记作________________.（4）对于一个集合A ，由全集U 中___________________的所有元素组成的集合称为集合A 相对于全集U 的补集，记作________________. 即________________________________=C U 。
高中数学 1.1.1集合的含义与表示-学生版
1.1.1集合的含义与表示学习目标展示1. 元素与集合的概念2. 集合中元素的性质3. 集合的表示方法4. 数学中常用数集及其记法5. 集合的分类 衔接性知识1. 如果k 是整数，那么21k +表示所有 数；2k 表示所 数。
2. 如果a 为实数，则= , = ，当0a ≥= ，当0a<时，=3. 一元一次方程与不等式的解法 （1）一元二次方程(0)axb a =≠的根为 （2）一元二次不等式(0)axb a >≠，当0a>时，它的解为 ； 当0a <时，它的解为 。
4.一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的解法例：求方程241670x -+=的根a,}nx或()}x A∈}∈是明确x A的，可以省略）例1.已知集合{|31,}M x x k k Z ==+∈，用∈与∉填空：1M ，1M -，25M ，29M -例2.用描述法和列举法表示下列集合 （1）4的平方根组成的集合；（2）与它的倒数相等的数组成的集合； （3）不等式260x -+>的自然数根；（4）方程2210x x -+=解集例3.用适当的方法表示下列集合 （1）二次函数2(1)4y x =--的函数值组成的集合；（2）函数21y x=+的的自变量的值组成的数集合；（3）一次函数y x =与24y x =-的图象的交点组成的集合。
（4）使22Z x ∈-的自然数x 组成的集合例4.已知集合2{|210,}P x kx x x R =++=∈（1）若集合P 为单元素集，求实数k 的值； （2）若集合P 为空集，求实数k 的取值范围； （3）若集合P 二元素集，求实数k 的取值范围。
精练部分A 类试题（普通班用） 1.已知集合{|2,}A x x n n N ==∈，集合2{|280}B x x x =--=，试判断0,2-与集合A 与B 的关系2.下面集合中，可以表示方程组31x y x y +=⎧⎨-=⎩的解集的序号为①{2,1}xy == ②{(,)|2,1}x y x y == ③{2,1} ④{(,)|2,1}xy ⑤{(2,1)}3.用适当的方法或另一种方法表示下列集合 （1）不等式3120x -+>的自然数解所组成的集合（2）在面直角坐标系中，第一或第三象限的所有点组成的集合 （3）集合{|1}A y y ==+ （4）集合{|1}A x x ==+（5）使22N x ∈-的整数x 组成的集合4.已知集合2{,2,1}M a a a =--，若0M ∈，求实数a 的值5.已知集合2{|20,}P x x x k x R =++=∈，当实数k 取何值时，集合P 是（1）单元素集 （2）空集 （3）二元素集？B 类试题（尖子班用）1. 下列各组对象不能构成集合的是（ ）A ．好看的书B ．高尔基写的书C ．学校图书馆的藏书D ．语文书、数学书、英语书 2. 设集合{(1,2)}M =，则下列关系是成立的是（ ）A ．1M ∈B ．2M ∈C ．(1,2)M ∈ C ．(2,1)M ∈ 3. 下列命题中正确的是（ ）A ．集合2{|1,}x x x R =∈中有两个元素B ．集合{0}中没有元素C{|x x <D ．{1,2}与{2,1}是不同的集合4．用描述法表示集合{1,2,3,4}为_______________5．方程 ax 2＋5x ＋c ＝0的解集是{12 ，13}，则a ＝_______，c ＝_______.6.下面集合中，可以表示方程组31x y x y +=⎧⎨-=⎩的解集的序号为①{2,1}xy == ②{(,)|2,1}x y x y == ③{2,1} ④{(,)|2,1}xy ⑤{(2,1)}7.用适当的方法或另一种方法表示下列集合 （1）不等式3120x -+>的自然数解所组成的集合（2）在面直角坐标系中，第一或第三象限的所有点组成的集合 （3）集合{|1}A y y ==+ （4）集合{|1}A x x ==+8.已知使2|2A x Z N x ⎧⎫=∈∈⎨⎬-⎩⎭的整数x 组成的集合9.已知集合2{,2,1}M a a a =--，若0M ∈，求实数a 的值10.已知集合2{|20,}P x x x k x R =++=∈，当实数k 取何值时，集合P 是（1）单元素集 （2）空集 （3）二元素集？课后习题 习题一一、选择题(每小题5分,共25分)1.下列指定的对象,不能组成集合的是 ( ) A.一年中有31天的月份 B.平面上到点O 距离是1的点 C.满足方程x 2-2x-3=0的x D.某校高一(1)班性格开朗的女生【补偿训练】下列对象能组成集合的是 ( ) A.中国大的城市B.方程x 2-9=0在实数范围内的解 C.直角坐标平面内第一象限的一些点 D.的近似值的全体2.若a 是R 中的元素,但不是Q 中的元素,则a 可以 是 ( ) A.3.14B.-5C.D.3.设a,b∈R,集合A中含有0,b,三个元素,集合B中含有1,a,a+b三个元素,且集合A与集合B相等,则a+2b= ( )A.1B.0C.-1D.不确定4.集合A的元素y满足y=x2+1,集合B的元素(x,y)满足y=x2+1(A,B中x∈R,y∈R).选项中元素与集合的关系都正确的是( )A.2∈A,且2∈BB.(1,2)∈A,且(1,2)∈BC.2∈A,且(3,10)∈BD.(3,10)∈A,且2∈B5.已知集合M具有性质:若a∈M,则2a∈M,现已知-1∈M,则下列元素一定是M中的元素的是( )A.1B.0C.-2D.2【补偿训练】对于含有三个元素2,4,6的集合A,若a∈A,则6-a∈A,那么a的取值是.二、填空题(每小题5分,共15分)6.对于自然数集N,若a∈N,b∈N,则a+b N,ab N.7.已知集合M含有三个元素1,2,x2,则x的取值范围为.8.(2015·成都高一检测)已知集合P中元素x满足:x∈N,且2<x<a,又集合P中恰有三个元素,则整数a= .三、解答题(每小题10分,共20分)9.若所有形如3a+b(a∈Z,b∈Z)的数组成集合A,判断6-2是不是集合A中的元素.10.(2015·广州高一检测)已知集合M含有三个元素-2,3x2+3x-4,x2+x-4.若2∈M,求x.一、选择题(每小题5分,共10分)1.(2015·兰州高一检测)由a,a,b,b,a2,b2组成集合A,则集合A中的元素最多有( )A.6个B.5个C.4个D.3个2.(2015·宿州高一检测)集合A中的元素y满足y∈N且y=-x2+1,若t∈A,则t的值为( )A.0B.1C.0或1D.小于等于1二、填空题(每小题5分,共10分)3.(2015·乌鲁木齐高一检测)若集合P中含有两个元素1,2,集合Q含有两个元素1,a2,若集合P与集合Q相等,则a= .4.若∈A,且集合A中只含有一个元素a,则a的值为.三、解答题(每小题10分,共20分)5.已知由方程kx2-8x+16=0的根组成的集合A只有一个元素,试求实数k的值.6.某研究性学习小组共有8位同学,记他们的学号分别为1,2,3,…,8.现指导老师决定派某些同学去市图书馆查询有关数据,分派的原则为:若x号同学去,则8-x号同学也去.请你根据老师的要求回答下列问题:(1)若只有一个名额,请问应该派谁去?(2)若有两个名额,则有多少种分派方法?一、选择题(每小题5分,共25分)1.(2015·绵阳高一检测)集合{x|-3≤x≤3,x∈N}用列举法表示应是( )A.{1,2,3}B.{0,1,2,3}C.{-2,-1,0,1,2}D.{-3,-2,-1,0,1,2,3}【补偿训练】集合A={x2,3x+2,5y3-x},B={周长为20cm的三角形},C={x|x-3<2,x∈Q},D={(x,y)|y=x2-x-1}.其中用描述法表示的集合的个数为( )A.1个B.2个C.3个D.4个2.(2015·北京高一检测)方程组的解集是( )A.{x=1,y=1}B.{1}C.{(1,1)}D.{(x,y)|(1,1)}3.下列集合中恰有2个元素的集合是( )A.{x2-x=0}B.{y|y2-y=0}C.{x|y=x2-x}D.{y|y=x2-x}4.(2015·南昌高一检测)若1∈{x,x2},则x= ( )A.1B.-1C.0或1D.0或1或-15.下列集合表示同一集合的是( )A.M={(3,2)},N={(2,3)}B.M={(x,y)|x+y=1},N={y|x+y=1}C.M={4,5},N={5,4}D.M={1,2},N={(1,2)}二、填空题(每小题5分,共15分)6.已知集合A={x|x2=a,x∈R},则实数a的取值范围是.7.(2015·汉中高一检测)若集合A={1,2,3,4},集合B={y|y=x-1,x∈A},将集合B用列举法表示为.8.设A={4,a},B={2,ab},若A与B相等,则a+b= .三、解答题(每小题10分,共20分)9.(2015·重庆高一检测)用适当的方法描述下列集合,并指出所含元素的个数.(1)大于0且小于10的奇数构成的集合.(2)不等式x-3≥1的解集.(3)抛物线y=x2上的点构成的集合.【补偿训练】用适当的方法表示下列集合:(1)所有被3整除的整数.(2)满足方程x=|x|,x∈Z的所有x的值构成的集合B.10.已知集合A={x|ax2-3x-4=0,x∈R},若A中至多有一个元素,求实数a的取值范围.【延伸探究】本题中将条件“至多有一个元素”改为“有两个元素”,其他不变,则a的取值是什么?习题四一、选择题(每小题5分,共10分)1.对集合{1,5,9,13,17}用描述法来表示,其中正确的一个是( )A.{x|x是小于18的正奇数}B.{x|x=4k+1,k∈Z,且k<5}C.{x|x=4t-3,t∈N,且t≤5}D.{x|x=4s-3,s∈N*,且s≤5}2.(2015·德州高一检测)用描述法表示下图所示阴影部分的点(包括边界上的点)的坐标的集合是( )A.{-2≤x≤0且-2≤y≤0}B.{(x,y)|-2≤x≤0且-2≤y≤0}C.{(x,y)|-2≤x≤0且-2≤y<0}D.{(x,y)|-2≤x≤0或-2≤y≤0}二、填空题(每小题5分,共10分)3.已知集合M={x|(x-a)(x2-ax+a-1)=0}中各元素之和为3,则实数a的值为.4.(2015·南通高一检测)A={1,2,3},B={1,2},定义集合间的运算A+B={x|x=x1+x2,x1∈A,x2∈B},则集合A+B中元素的最大值是.【补偿训练】已知集合P={4,5,6},Q={1,2,3}.定义P⊖Q={x|x=p-q,p∈P,q∈Q},则集合P⊖Q 的所有元素之和为.三、解答题(每小题10分,共20分)5.设集合B=.(1)试判断元素1和2与集合B的关系.(2)用列举法表示集合B.6.(2014·福建高考改编)若集合{a,b,c,d}={1,2,3,4},且下列四个关系:①a=1;②b≠1;③c=2;④d≠4有且只有一个是正确的,试写出所有符合条件的有序数组(a,b,c,d).【补偿训练】(2014·福建高考改编)已知集合=,且下列三个关系:①a≠2,②b=2,③c≠0有且只有一个正确,求100a+10b+c的值.。
专题1集合的含义与集合的运算
专题1 集合的含义与集合的运算【预备知识】一、集合概念的理解 1、已知集合}1|{-==x y x A ，集合}1|{-==x y y B ，请说明两个集合的含义。
2、请问：已知集合}1|{x y x A ==与集合}1|),{(xy y x B ==，则=⋂B A 。
3、已知集合}12|),{(+==x y y x A 与}1|),{(2-+==x x y y x B ，则=⋂B A4、若集合A 中有n 个元素，则A 有 个子集， 个真子集， 个非空真子集。
5、已知集合}42|{<<-=x x A ，}23|{<<-=x x B ，}11|{≥-≤=x x x C 或，请在数轴上画出这三个集合，并求B A ⋂、C A ⋂、)(C B C R ⋂、C B A ⋂⋂。
6、B B A =⋂⇒ ；B B A =⋃⇒ ；【例1】已知集合}5,4,3,2,1{=A ，},,|),{(A y x A y A x y x B ∈-∈∈=，则集合B 中所含元素的个数是 个A 、3B 、6C 、8D 、10【例2】若集合}02|{2>+-=a x x x A ，且A ∉1，则实数a 的取值范围是 。
【例3】已知实数b a ,，集合}0,,{}1,,{2b a a aba +=，则20142014b a +的值为 。
【例4】已知集合},13|{Z k k x x A ∈-==，},23|{Z n n x x B ∈+==，则集合A 与B 的关系是【例5】已知集合}4,3,2,1{=A ，若对任意B x ∈，都有A x ∈，且B ∈2，则符合条件的集合B 的个数有 个。
【例6】设集合}62|{≤≤=x x A ，}32|{+≤≤=a x a x B ，若A B ⊆，则实数a 的取值范围是 。
【例7】已知集合{1,2,3,4}A =,2{|,}B x x n n A ==∈,则AB =（ ）A ．{0}B ．{-1,,0}C ．{0,1}D ．{-1,,0,1}【例8】已知全集U 为实数集R ，集合M={ x|1-x 3x +<0}，N={x| -1≤x ≤1}，则右图中阴影部分表示的集合是 。
第1讲 集合的概念与运算学生(新高一培优十六讲系列)
第1讲 集合的概念与运算[玩前必备]1.元素与集合的概念(1)集合：研究的对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫作集合. (2)集合元素的特性：确定性、互异性. 2.元素与集合的关系(1)空集：不含任何元素的集合，记作∅.(2)非空集合：①有限集：含有有限个元素的集合. ②无限集：含有无限个元素的集合. 4.常用数集的表示符号 把有限集合中的所有元素都列举出来，写在花括号“{__}”内表示这个集合的方法. 6.描述法(1)集合的特征性质如果在集合I 中，属于集合A 的任意一个元素x 都具有性质p (x )，而不属于集合A 的元素都不具有性质p (x )，则性质p (x )叫做集合A 的一个特征性质. (2)特征性质描述法集合A 可以用它的特征性质p (x )描述为{x ∈I |p(x )}，它表示集合A 是由集合I 中具有性质p (x )的所有元素构成的.这种表示集合的方法，叫做特征性质描述法，简称描述法. 7.集合间的基本关系A B(或B A)8.集合的运算(1)如果一个集合包含了我们所要研究的各个集合的全部元素，这样的集合就称为全集，全集通常用字母U表示；[玩转典例]题型一集合的基本概念例1(大纲全国，1) 设集合A＝{1，2，3}，B＝{4，5}，M＝{x|x＝a＋b，a∈A，b∈B}，则M中元素的个数为()A.3B.4C.5D.6例2 已知集合A＝{m＋2,2m2＋m}，若3∈A，则m的值为________．[玩转跟踪]1.(新课标全国，1)已知集合A＝{1，2，3，4，5}，B＝{(x，y)|x∈A，y∈A，x－y∈A}，则B 中所含元素的个数为()A.3B.6C.8D.102.已知集合A是由a－2,2a2＋5a,12三个元素组成的，且－3∈A，求实数a.3.(探究与创新)设A 为实数集，且满足条件：若a ∈A ，则11－a∈A (a ≠1).求证： (1)若2∈A ，则A 中必还有另外两个元素； (2)集合A 不可能是单元素集.题型二 集合的表示方法例3 下面三个集合：A ＝{x |y ＝x 2＋1}；B ＝{y |y ＝x 2＋1}；C ＝{(x ，y )|y ＝x 2＋1}. 问：(1)它们是不是相同的集合？ (2)它们各自的含义是什么？例4 已知集合A ＝{x ∈R |ax 2＋2x ＋1＝0}，其中a ∈R .若1是集合A 中的一个元素，请用列举法表示集合A .[玩转跟踪]1.已知x ，y 为非零实数，则集合M ＝⎩⎨⎧m |m ＝x |x |＋y |y |＋⎭⎬⎫xy |xy |为( )A.{0,3}B.{1,3}C.{－1,3}D.{1，－3}2.(探究与创新)已知集合A ＝{x |ax 2－3x －4＝0，x ∈R }： (1)若A 中有两个元素，求实数a 的取值范围； (2)若A 中至多有一个元素，求实数a 的取值范围.题型三 集合间的基本关系例5 (2013·江苏，4)集合{－1，0，1}共有________个子集.例6 设集合⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+==Z k k x x M ，412|，⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+==Z k k x x N ，421|，则( ) A ．N M =B ．NM C ．MN D ．=N M I例7 已知集合A ＝{x |－3≤x ≤4}，B ＝{x |2m －1＜x ＜m ＋1}，且B ⊆A . 求实数m 的取值范围.[玩转跟踪]1.设M 为非空的数集，M ⊆{1,2,3}，且M 中至少含有一个奇数元素，则这样的集合M 共有( ) A ．6个B ．5个C ．4个D ．3个2.(2016·山东北镇中学、莱芜一中、德州一中4月联考)定义集合A －B ＝{x |x ∈A 且x ∉B },若集合M ＝{1,2,3,4,5},集合N ＝{x |x ＝2k －1,k ∈Z },则集合M －N 的子集个数为( ) A.2 B.3C.4D.无数个3.已有集合A ＝{x |x 2－4x ＋3＝0}，B ＝{x |mx －3＝0}，且B ⊆A ，求实数m 的集合.题型四 集合的基本运算例8 (2016·全国Ⅰ,1)设集合A ＝{x |x 2－4x ＋3<0},B ＝{x |2x －3>0},则A ∩B ＝( ) A.⎝⎛⎭⎫－3，－32 B.⎝⎛⎭⎫－3，32 C.⎝⎛⎭⎫1，32 D.⎝⎛⎭⎫32，3 例9 (2015·四川,1)设集合A ＝{x |(x ＋1)(x －2)＜0},集合B ＝{x |1＜x ＜3},则A ∪B ＝( ) A ．{x |－1＜x ＜3} B ．{x |－1＜x ＜1} C ．{x |1＜x ＜2} D ．{x |2＜x ＜3} 例10 (1)设全集U ＝R ，A ＝{x |x (x ＋3)<0}，B ＝{x |x <－1}，则图中阴影部分表示的集合为( )A ．{x |－3<x <－1}B ．{x |－3<x <0}C ．{x |－1≤x ＜0}D ．{x |x <－3}(2).(2011·江西，2)若集合A ＝{x |－1≤2x ＋1≤3}，B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x －2x ≤0，则A ∩B ＝( )A.{x |－1≤x ＜0}B.{x |0<x ≤1}∅C.{x |0≤x ≤2}D.{x |0≤x ≤1}例11 已知A ＝{x |2a ≤x ≤a ＋3}，B ＝{x |x ＜－1，或x ＞5}，若A ∩B ＝∅，求实数a 的取值范围.[玩转跟踪]1.(2016·安徽安庆市第二次模拟)若集合P ＝{x ||x |＜3,且x ∈Z },Q ＝{x |x (x －3)≤0,且x ∈N },则P ∩Q 等于( )A.{0,1,2}B.{1,2,3}C.{1,2}D.{0,1,2,3}2.如图，I 是全集，M 、P 、S 是I 的3个子集，则阴影部分所表示的集合是( )A.(M ∩P )∩SB.(M ∩P )∪SC.(M ∩P )∩(∁I S )D.(M ∩P )∪(∁I S )3.(探究与创新)已知集合A ＝{x |－2≤x ≤5}，B ＝{x |2a ≤x ≤a ＋3}，若A ∪B ＝A ，求实数a 的取值范围.[玩转练习]1．已知集合A ＝{y |y ＝|x |－1，x ∈R }，B ＝{x |x ≥2}，则下列结论正确的是( ) A ．－3∈A B ．3∉B C ．A ∩B ＝BD ．A ∪B ＝B2．设集合M ＝{－1,1}，N ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪1x<2，则下列结论中正确的是( ) A ．N M B ．M N C ．N ∩M ＝∅D ．M ∪N ＝R3．(2018·全国Ⅱ)已知集合A ＝{(x ，y )|x 2＋y 2≤3，x ∈Z ，y ∈Z }，则A 中元素的个数为() A ．9 B ．8 C ．5 D ．44.(2018·济南模拟)设全集U ＝R ，集合A ＝{x |x －1≤0}，集合B ＝{x |x 2－x －6<0}，则右图中阴影部分表示的集合为( )A ．{x |x <3}B ．{x |－3<x ≤1}C ．{x |x <2}D ．{x |－2<x ≤1}5．(2018·潍坊模拟)设集合A ＝N ，B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪x x －3≤0，则A ∩B 等于( )A ．[0,3)B ．{1,2}C ．{0,1,2}D ．{0,1,2,3}6．(2017·全国Ⅱ)设集合A ＝{1,2,4}，B ＝{x |x 2－4x ＋m ＝0}．若A ∩B ＝{1}，则B 等于( ) A ．{1，－3} B ．{1,0} C ．{1,3} D ．{1,5}7．已知集合A ＝{x |－1<x <0}，B ＝{x |x ≤a }，若A ⊆B ，则a 的取值范围为( ) A ．(－∞，0] B ．[0，＋∞) C ．(－∞，0)D ．(0，＋∞)8.满足{a ，b }∪B ＝{a ，b ，c }的集合B 的个数是________.9.设集合A ＝{－1,1,3}，B ＝{a ＋2，a 2＋4}，A ∩B ＝{3}，则实数a 的值为________. 10.已知集合M ＝{－2,3x 2＋3x －4，x 2＋x －4}，若2∈M ，则满足条件的实数x 组成的集合为________.11.已知全集I ＝{2,3，a 2＋2a －3}，若A ＝{b,2}，∁I A ＝{5}，求实数a ，b .12.已知A ＝{x |x 2－3x ＋2＝0}，B ＝{x |ax －2＝0}，且A ∪B ＝A ，求实数a 组成的集合C .13.设全集为R ，集合A ＝{x |3≤x ＜6}，B ＝{x |2＜x ＜9}. (1)分别求A ∩B ，(∁R B )∪A ；(2)已知C ＝{x |a ＜x ＜a ＋1}，若C ⊆B ，求实数a 的取值构成的集合.14.已知集合A ＝{x |0＜x －a ≤5}，B ＝{x |－a2＜x ≤6}.(1)若A∩B＝A，求a的取值范围；(2)若A∪B＝A，求a的取值范围.。
第1讲 集合的概念及运算(讲义)学生版
第1讲 集合的概念及运算题型一 紧扣定义化简集合问题【例1】（2013辽宁卷）已知集合A={x|0<log 4x <1}，B={x|x ≤2},则A ∩B=( )A.(0，1)B.(0，2]C.(1，2)D.(1，2]题型二 借助数轴求解集合问题【例2】（2014辽宁卷）已知全集U=R ，A={x|x ≤0}，B={x|x ≥1}，则集合U C (A ∪B)等于( )A.{x|x ≥0}B.{x|x ≤1}C.{x|0≤x ≤1}D.{x|0<x <1}题型三 运用转化思想求解集合中的创新问题【例3】若集合A 具有以下性质：（Ⅰ）0∈A ，1∈A ；（Ⅱ）若x ∈A ，y ∈A ，则x-y ∈A ，且x ≠0时，x1∈A.则称集合A 是“好集”，下列命题正确的个数是（ ）（1）集合B={-1，0，1}是“好集”；（2）有理数集Q 是“好集”；（3）设集合A 是“好集”，若x ∈A ，y ∈A ，则x+y ∈AA.0B.1C.2D.3题型四 借助函数图像求解集合间的运算问题【例4】（2011广东卷）已知集合A={（x ，y ）|x ，y 为实数，且x 2+y 2=1}，B=|（x ，y ）|x ，y 为实数，且y=x}，则A ∩B 的元素个数为（ ）A.4B.3C.2D.1课堂训练1. 已知集合A={x|x ＞1}，B={x|x 2-2x ＜0}，则A ∪B=（ ）A.{x|x ＞0}B.{x|x ＞1}C.{x|1＜x ＜2}D.{x|0＜x ＜2}2.（2011江西卷）若集合A={x|-1≤2x+1≤3}，B={x ∣xx 2-≤0}，则A ∩B=( ) A.{x|-1≤x <0} B.{x|0<x ≤1} C.{x|0≤x ≤2} D.{x|0≤x ≤1}3. 已知集合A={(0，1)，(1，1)，(-1，2)}，B={(x ，y)∣x+y-1=0，x ，y ∈Z}，则A ∩B=_____.4. 集合A={x ∣x y -=1},B={x ∣y 2=4x ，x ∈R}，则A ∩B=______.5.（2014大纲卷）设集合M={x|x 2-3x-4＜0}，N={x|0≤x ≤5}，则M ∩N=（ ）A.（0，4]B.[0，4）C.[-1，0）D.（-1，0]）∪T=( )6.（2013浙江卷）设集合S={x|x>-2}，T={x∣x2+3x-4≤0}，则（SCRA.(-2，1]B.(-∞，-4]C.(-∞，1]D.[1，+∞)7. 已知集合A={x|y=lg（x-x2）}，B={x|x2-cx<0，c>0}，若A⊆B，则实数c的取值范围是（）A.（0，1]B.[1，+∞）C.（0，1）D.（1，+∞）8. 设集合M={x|-1≤x＜2}，N={y|y＜a}，若M∩N≠φ，则实数a的取值范围一定是（）A.-1≤a＜2B.a≤2C.a≥-1D.a＞-19. 对任意实数x，y，定义运算x⊗y=ax+by+cxy，其中a，b，c是常数，等式右边的运算是通常的加法和乘法运算.已知1⊗2=3，2⊗3=4，并且有一个非零常数m，使得∀x∈R，都有x⊗m=x，则3⊗4的值是（）A.-4B.4C.-3D.310.（2013山东卷）已知集合A={0，1，2}，则集合B={x-y∣x∈A，y∈A}中元素的个数是______.11. 已知集合A={1，2，3}，B={2，3}，则( )A.A=BB.A∩B=∅C.A⊆BD.B⊆A12. 设集合A={1，2，3}，B={4，5}，M={x|x=a+b，a∈A，b∈B}，集合M真子集的个数为( )A.13B.14C.15D.1613.（2012全国卷）已知集合A={1，3，m}，B={1，m}，A∪B=A，则m=（）A.0或B.0或3C.1或3D.1或314. 设全集U={1，2，3，4，5，6，7，8}，集合A={1，2，3，5}，B={2，4，6}，则图中的阴影部分表示的集合为（）A.{2}B.{4，6}C.{1，3，5}D.{4，6，7，8}。
1.1 集合的概念-学生版
知识梳理1．元素与集合的概念(1)把研究对象统称为元素，通常用小写拉丁字母表示．(2)把一些元素组成的总体叫做集合(简称为集)，通常用大写拉丁字母表示．2．集合中元素的特性：确定性、互异性、无序性．3．集合相等：只有构成两个集合的元素是一样的，才说这两个集合是相等的．4．元素与集合的关系(1)如果a是集合A的元素，就说a属于集合A，记作a∈A.(2)如果a不是集合A的元素，就说a不属于集合A，记作a A.5．实数集、有理数集、整数集、非负整数集、正整数集分别用字母R、Q、Z、N、N*或N＋来表示．6．把集合的元素一一列举出来，并用花括号“{}”括起来表示集合的方法叫做列举法．7．用集合所含元素的共同特征表示集合的方法称为描述法．例题解析【例1】下列的研究对象能否构成一个集合?如果能,采用适当的方式表示它.（1）小于5的自然数;（2）某班所有高个子的同学;（3）不等式217x +>的整数解;（4）所有大于0的负数;（5）平面直角坐标系内,第一、三象限的平分线上的所有点.【例2】已知集合{},,M a b c =中的三个元素可构成某一个三角形的三边的长,那么此三角形一定是( )A.直角三角形B.锐角三角形C 钝角三角形 D.等腰三角形 【例3】设()()(){}22,,2,,5,a N b N a b A x y x a y a b ∈∈+==-+-=若()3,2A ∈,求,a b 的值.【例4】已知{}2,,M a b =,{}22,2,N a b =,且M N =,求实数,a b 的值.【例5】下列说法正确的是（ ）（A ）所有著名的作家可以形成一个集合（B ）0与 {}0的意义相同（C ）集合⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈==+N n n x x A ,1 是有限集 （D ）方程0122=++x x 的解集只有一个元素【例6】下列四个集合中，是空集的是（ ） A ．}33|{=+x x B ．},,|),{(22R y x x y y x ∈-=C ．}0|{2≤x xD ．}01|{2=+-x x x 【例7】方程组20x y x y +=⎧⎨-=⎩的解构成的集合是 （ ）A ．)}1,1{(B ．}1,1{C ．（1，1）D ．}1{.【例8】已知}1,0,1,2{--=A ，}|{A x x y y B ∈==，则B ＝【例9】若}4,3,2,2{-=A ，},|{2A t t x xB ∈==，用列举法表示B= .1. 把一些元素组成的总体叫作集合，其元素具有三个特征，即确定性、互异性、无序性.2. 集合的表示方法有两种：列举法，即把集合的元素一一列举出来，并用花括号“{ }”括起来，基本形式为123{,,,,}n a a a a ⋅⋅⋅，适用于有限集或元素间存在规律的无限集. 描述法，即用集合所含元素的共同特征来表示，基本形式为{|()x A P x ∈}，既要关注代表元素x ，也要把握其属性()P x （共同特性），适用于无限集.1．已知下列条件：①小于60的全体有理数；②某校高一年级的所有学生；③与2相差很小的数；④方程2x =4的所有解。
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集合与常用逻辑用语第一节集合的概念与运算考纲1．集合的含义与表示(1)了解集合的含义、元素与集合的“属于”关系．(2)能用自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题．2．集合间的基本关系(1)理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集．(2)在具体情境中，了解全集与空集的含义．3．集合的基本运算(1)理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集．(2)理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集．(3)能使用Venn图表示集合的关系及运算．,整知识1．集合与元素(1)集合元素的三个特征：确定性、互异性、无序性．(2)元素与集合的关系是属于或不属于关系，用符号∈或∉表示．(3)集合的表示法：列举法、描述法、图示法．(1)集合关系图解真子集集合相等A＝B(2)不含任何元素的集合叫做空集，记作，并规定空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集．3．集合的基本运算集合的并集集合的交集集合的补集悟方法1．集合的运算性质并集的性质：交集的性质：补集的性质：2．判断集合关系的三种方法(1)一一列举观察；(2)集合元素特征法：首先确定集合的元素是什么，弄清集合元素的特征，再利用集合元素的特征判断集合关系；(3)数形结合法：利用数轴或Venn图．3．数形结合思想数轴和V enn图是进行交、并、补集运算的有力工具，数形结合是解集合问题的常用方法，解题时要先把集合中各种形式的元素化简，使之明确化，尽可能地借助数轴、直角坐标系或Venn图等工具，将抽象的代数问题具体化、形象化、直观化，然后利用数形结合的思想方法解题．测基础1．判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)．()(2)．()(3)在集合中，可用符号表示为．()(4)N⊆N A AA⊆Z.()(5)若，则A＝B＝C．()2．已知集合，则()3．(2015·山东卷)已知集合，则＝()4．(2015·湖南卷)已知集合则＝________.解析：5．已知集合若，则＝________.考向1.集合的基本概念1．设集合A＝{-1,0,2}，集合B＝{-x|x∈A且2-x∉A}，则B＝()A．{1}B．{-2}C．{-1，-2} D．{-1,0}2．已知集合M＝{1，m+2，m2+4}，且5∈M，则m的值为()A．1或-1 B．1或3C．-1或3 D．1，-1或33．已知集合，若A＝ϕ，则实数a的取值范围为________．[归纳升华]解决集合问题的一般思路(1)研究集合问题，一定要抓住元素，看元素应满足的属性，对于含有字母的集合，在求出字母的值后，要注意检验集合的元素是否满足互异性．(2)对于集合相等首先要分析已知元素与另一个集合中哪一个元素相等，分几种情况列出方程(组)进行求解，要注意检验是否满足互异性．2.集合间的基本关系(1)已知集合A＝{x|y＝，x∈R}，B＝{x|x＝m2，m∈A}，则()(2)已知集合，若，则实数m 的取值范围为________．[跟踪训练]1．已知M ＝{a ||a |≥2}，A ＝{a |(a -2)(a 2-3)＝0，a ∈M }，则集合A 的子集共有( ) A ．1个 B ．2个 C ．4个 D ．8个3. 集合的基本运算(1)(2015·天津卷)已知全集U ＝{1,2,3,4,5,6,7,8}，集合A ＝{2,3,5,6}，集合B ＝{1,3,4,6,7}，则集合A ∩∁U B ＝( )A ．{2,5}B ．{3,6}C ．{2,5,6}D ．{2,3,5,6,8}(2)(2015·浙江卷)已知集合P ＝{x |x 2-2x ≥0}，Q ＝{x |1<x ≤2}，则(∁R P )∩Q ＝( ) A ．[0,1) B ．(0,2] C ．(1,2) D ．[1,2]1．(2015·安徽合肥模拟)已知全集U ＝R ，A ＝{x |x >1}，B ＝{x |x 2-2x >0}，则∁U (A ∪B )＝( ) A ．{x |x ≤2} B ．{x |x ≥1}C ．{x |0≤x ≤1}D ．{x |0≤x ≤2}2．(2015·安徽皖南八校联考)已知集合A ＝，x ∈R 1，B ＝{-2，-1,1,2}，则下列结论正确的是( )A ．A ∩B ＝{-2，-1} B ．(∁R A )∪B ＝(-∞，0)C ．A ∪B ＝(0，+∞)D ．(∁R A )∩B ＝{-2，-1}3.已知A ，B 均为集合U ＝{1,3,5,7,9}的子集，且A ∩B ＝{3}，(∁U B )∩A ＝{9}，则A ＝( ) A ．{1,3} B ．{3,7,9}C ．{3,5,9}D ．{3,9}4．(2015·江西南昌调研)设全集U ＝R ，A ＝{x |x 2-2x ≤0}，B ＝{y |y ＝cos x ，x ∈R }，则图中阴影部分表示的区间是( )A ．[0,1]B ．[-1,2]C ．(-∞，-1)∪(2，+∞)D ．(-∞，-1]∪[2，+∞)5．(2015·新乡市一中月考)设集合A ＝{x ||x -a |<1，x ∈R }，B ＝{x |1<x <5，x ∈R }，若A ∩B ＝ϕ，则实数a 的取值范围是( )A ．{a |0≤a ≤6}B ．{a |a ≤2或a ≥4}C ．{a |a ≤0或a ≥6}D ．{a |2≤a ≤4}[归纳升华] 集合运算问题的常见类型及解题策略(1)离散型数集或抽象集合间的运算，常借助Venn 图求解； (2)连续型数集的运算，常借助数轴求解；(3)已知集合的运算结果求集合，常借助数轴或Venn 图求解；(4)根据集合运算结果求参数，先把符号语言译成文字语言，然后适时应用数形结合求解．追踪集合中的新定义以集合为背景的新定义问题是近几年高考命题创新型试题的一个热点，此类题目常常以“问题”为核心，以“探究”为途径，以“发现”为目的，这类试题只是以集合为依托，考查考生理解问题、解决创新问题的能力．常见的命题形式有新概念、新法则、新运算等，这类试题中集合只是基本的依托．(2)如果集合A 满足若x ∈A ，则-x ∈A ，那么就称集合A 为“对称集合”．已知集合A ＝{2x,0，x 2+x }，且A 是对称集合，集合B 是自然数集，则A ∩B ＝________.解析： (1)依题意得A -B ＝{x |x ≥0，x ∈R }，B -A ＝，x ∈R 9，故A ⊕B ＝49∪[0，+∞)． (1)由题意可知-2x ＝x 2+x ，所以x ＝0或x ＝-3.而当x ＝0时不符合元素的互异性，所以舍去．当x ＝-3时，A ＝{-6,0,6}，所以A ∩B ＝{0,6}． 答案： {0,6} [跟踪训练](2015·贵阳市监测考试)已知全集U ＝{a 1，a 2，a 3，a 4}，集合A 是集合U 的恰有两个元素的子集，且满足下列三个条件：①若a 1∈A ，则a 2∈A ；②若a 3∉A ，则a 2∉A ；③若a 3∈A ，则a 4∉A ．则集合A ＝________.(用列举法表示)解析： 若a 1∈A ，则a 2∈A ，则由若a 3∉A ，则a 2∉A 可知，a 3∈A ，假设不成立；若a 4∈A ，则a 3∉A ，则a 2∉A ，a 1∉A ，假设不成立，故集合A ＝{a 2，a 3}． 答案： {a 2，a 3}[名师点评]解决集合中新定义问题的两个关键点(1)紧扣新定义：新定义型试题的难点就是对新定义的理解和运用，在解决问题时要分析新定义的特点，把新定义所叙述的问题的本质弄清楚，并能够应用到具体的解题过程之中．(2)用好集合的性质：集合的性质是破解集合类新定义型试题的基础，也是突破口，在解题时要善于从试题中发现可以使用集合性质的一些因素，在关键之处用好集合的性质．A 级 基础训练1．(2015·全国卷Ⅰ)已知集合A ＝{x |x ＝3n +2，n ∈N }，B ＝{6,8,10,12,14}，则集合A ∩B 中元素的个数为( )A ．5B ．4C ．3D ．22．已知集合A ＝∈Z 3，则集合A 中的元素个数为( )A ．2B ．3C ．4D ．53．已知集合A ＝{-1,0，a }，B ＝{x |0<x <1}，若A ∩B ≠ϕ，则实数a 的取值范围是( ) A ．(-∞，0) B ．(0,1) C ．{1} D ．(1，+∞) 4．(2015·河南洛阳二模)集合A ＝{x |x <0}，B ＝{x |y ＝lg[x (x +1)]}，若A -B ＝{x |x ∈A ，且x ∉B }，则A -B ＝( )A ．{x |x <-1}B ．{x |-1≤x <0}C ．{x |-1<x <0}D ．{x |x ≤-1}5．(2015·山东临沂期中)已知全集U ＝R ，集合若∁U B ⊆A ，则实数a 的取值范围是( )6．已知集合A ＝{x |x 2-2x +a >0}，且1∉A ，则实数a 的取值范围是________． 解析： ∵1∉{x |x 2-2x +a >0}，∴1∈{x |x 2-2x +a ≤0}， 即1-2+a ≤0，∴a ≤1. 答案： (-∞，1]7．已知集合A ＝{x |y ＝}，B ＝<2x<41，则(∁R A )∩B 等于________．8．已知集合M ＝{1,2,3,4}，集合A 、B 为集合M 的非空子集，若任意x ∈A 、y ∈B ，x <y 恒成立，则称(A ，B )为集合M 的一个“子集对”，则集合M 的“子集对”共有________个． 9．已知集合A ＝{x |1≤x <5}，C ＝{x |-a <x ≤a +3}，若C ∩A ＝C ，则a 的取值范围是________．10．已知集合A ＝{-4,2a -1，a 2}，B ＝{a -5,1-a,9}，分别求适合下列条件的a 的值． (1)9∈(A ∩B )； (2){9}＝A ∩B ．11．已知集合A＝{x|x2-2x-3≤0，x∈R}，B＝{x|m-2≤x≤m+2}．(1)若A∩B＝[1,3]，求实数m的值；(2)若A⊆∁R B，求实数m的取值范围．12．已知集合A＝{y|y＝2x-1,0<x≤1}，B＝{x|(x-a)[x-(a+3)]<0}．分别根据下列条件，求实数a的取值范围．B 级 能力提升1．已知数集A ＝{a 1，a 2，…，a n }(1≤a 1<a 2<…<a n ，n ≥2)具有性质P ：对任意的i ，j (1≤i ≤j ≤n )，a i a j 与ai aj两数中至少有一个属于A ，则称集合A 为“权集”，则( ) A ．{1,3,4}为“权集” B ．{1,2,3,6}为“权集”C ．“权集”中元素可以有0D ．“权集”中一定有元素12．已知集合A 满足条件：当p ∈A 时，总有−1p+1∈A (p ≠0且p ≠-1)，已知2∈A ，则集合A 的子集的个数至少为________．3．已知集合A ＝{x |1<x <3}，集合B ＝{x |2m <x <1-m }． (1)当m ＝-1时，求A ∪B ；(2)若A ⊆B ，求实数m 的取值范围． (3)若A ∩B ＝ϕ，求实数m 的取值范围．。