圆锥曲线教案

圆锥曲线

【教学目标】

1. 通过用平面截圆柱面，经历从具体情境中抽象出椭圆模型的过程，掌握它的定义；

2. 通过用平面对圆锥面的不同的截法，产生三种不同的圆锥曲线，得出椭圆、双曲线和抛物线的概念，经历概念的形成过程，利于从整体上认识三种圆锥曲线的内在关系，初步具备归纳总结、类比区分等能力；借助实物模型，通过整体观察、动手实践等方式对画椭圆、点的轨迹等问题进行探究，形成积极主动、勇于探索的学习方式，完善思维结构，发展数学化能力，提高数学素养.

3. 通过创设问题情境等引入方式，激发起学习圆锥曲线的兴趣，形成注重实践、勇于探究的科学价值理念；利用Dandelin 双球探究圆锥曲线的定义，揭示了三种圆锥曲线的内在联系，感受数学的内在美与和谐美，形成欣赏美、发现美的能力与意识，提高数学审美能力.

【重点难点】

重点：三种圆锥曲线（椭圆、双曲线、抛物线）的定义.

难点：用Dandelin 双球发现椭圆的特性（由此形成椭圆的定义）.

【教学过程】

（一）课堂引入

师：同学们，我们在必修2的学习中，一起研究过“圆”这么一个圆满的几何图形，生活中也随处可见“圆”，今天早上我切了根黄瓜，切出来的切面轮廓就是个圆。但我妈说一般人都是斜着切的，她切出来的切面轮廓就跟我不一样，大家知不知道这条曲线叫什么名字？

生：。。。。。椭圆

师：。。。。。操场的一条跑道线是不是椭圆？你会画椭圆吗？

。。。。。。。。。。。。你会画圆吗？

问题1：什么是“椭圆”？ 它是一个什么样的图形？究竟什么是数学意义上的椭圆？它具有哪些几

何性质？让我们一起去发现。

（二）研究探讨

师：数学来源于生活，生活能抽象为数学，我们看黄瓜，能抽象成哪种几何体？（圆柱） 师：用平面斜切圆柱面，截线有什么特点？

（没有研究方向？想一想圆的定义）

其实这个问题早在公元前200年就被提出和研究了，漫长的数学历史发展过程中，它吸引了无数的数学爱好者为之着迷痴狂，在众多研究者中，19世纪的法国数学家Dandelin 利用和截面相切的两个球（Dandelin 双球），给出了研究椭圆特性的一种巧妙的方法.我们就借助这位伟大的数学家的成果来认识椭圆的奇妙的性质：

在圆柱里截面两侧分别放置一个与圆柱底面等半径的球，使它们都与截面相切（切点分别为1F ， 2F ）,这两个球与圆柱面都相切，两球与圆柱面的公共点分别构成圆1B ，圆2B 。设点P 是平面与圆柱面的截线上任一点，过P 作圆柱面的一条母线，分别交圆1B ，圆2B 于1P ,2P 两点，21P P 与两小球相切，则1PF 和1PP ，2PF 和2PP 分别是上下两球的切线。

让点P 沿着截线运动，21P P 与圆1B 、2B 所在平面依然垂直，与两球依然相切， 旋转过程中，线段21P P 的长度不变（两个平行平面之间的距离相等）因为过球外一点作球的切线长都相等，所以1PP =1PF ,2PP =2PF ，所以1PF +2PF =1PP +2PP =21P P

为一个常数，

于是，我们发现了这样一条性质：用一个面斜切圆柱面，，得到的截线上的任意一点到两个

定点（截面与两个球的切点）的距离之和为常数。

对椭圆有了这样的认识以后，请同学到黑板上来画个椭圆。（先定点）

可选一根长度大于F 1 F 2的细绳，将其两端分别固定在F 1 和F 2点，用铅笔尖将绳子拉紧，使笔尖在图板上慢慢移动，就可以画出一个椭圆.

注意：为什么要长度大于F 1 F 2的细绳？若细绳长度等于F 1 F 2，画出的图形是线段F 1 F 2；小于F 1 F 2时，画不出任何图形.

2121F F l PF PF >=+ (三角形两边之和大于第三边)

给出椭圆的定义：

（三）数学建构 一般地， 平面内到两个定点F 1 ，F 2的距离的和等于常数（大于F 1 F 2）的点的轨迹叫做椭圆，两个定点F 1 ，F 2叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距.

问题2：用一个平面去斜截圆柱面，得到的曲线是椭圆，用一个平面去截球面呢？始终都是圆。那么，如果用一个平面去截圆锥面呢？能得到什么样的曲线？

当平面经过圆锥面的顶点时，可得到两条相交直线，当平面与圆锥面的轴垂直时，截得的图形是一个圆，当平面与轴所成的角θ变化时，我们还可以得到以下三种不同的曲线

截得的这三种曲线，分别叫做：椭圆、双曲线、抛物线. 我们数学历史上把他们统一命名为圆锥曲线。圆锥曲线早在公元前约200年时就已被命名和研究了，其发现者为古希腊的数学家阿波罗尼阿斯（Apollonius of Perga，前262年～前190年），当时阿波罗尼阿斯对圆锥曲线的性质已做了系统性的研究，并几乎罗列殆尽，使后人难以有新的发现.

圆锥曲线在漫长的数学历史发展过程中熠熠生辉，并在科学文化的其他领域闪烁光芒. 比如，圆锥曲线为一千八百多年后开普勒、牛顿、哈雷等数理天文学家研究行星和彗星轨道提供了数学基础.

◆开普勒行星运动第一定律：太阳系中的每个行星都在某个椭圆上运动，这些椭圆都以太阳为一个焦点.

◆彗星的运行轨道，有些是椭圆，有些是抛物线，有些是双曲线.

◆炮弹的飞行轨道，喷水池中的水柱都呈抛物线形.

生活中还有类似的曲线

如图，灯光发出的光线在墙壁留下的是什么曲线的投影？

师灯泡的光线，被灯罩遮挡，通过灯罩的敞口投射之后，相当于形成了圆锥面. 墙壁相当于平面，截圆锥面所得的曲线即为如图所示的双曲线.

我们再用旦德林双球法来看看圆锥面中得到的第一个曲线是否为椭圆？

Dandelin在截面的两侧分别放置一个球，使它们都与面相切（切点分别为F1 ，F2），且与圆锥面相切，两球与圆锥面的公共点分别构成圆O1和圆O2.

设点M是平面与圆锥面的截线上任一点，过M点作圆锥面

的一条母线分别交圆O1和圆O2于P，Q两点.不难得到

MF1=MP，MF2=MQ，故MF1+MF2=MP+MQ=PQ

PQ是常数.

Dandelin利用双球对双曲线也进行了研究（如图）.请同学们类比Dandelin用双球研究椭圆的方法，思考双曲线上的点有什么性质？

（学生讨论，教师巡视参与.）

设点M是平面与圆锥面的截线上任一点，过M点作圆锥面的一条母线分别交圆O1和圆O2于P，Q两点，因为过球外一点所作球的切线的长相等，所以

MF1=MP，MF2=MQ，故MF2-MF1=MQ-MP=PQ=常数.

当M点在双曲线的上支时，应该是MF1-MF2=MP-MQ=PQ=常数.

我们发现，交线上任意一点到平面内两个定点F1 ，F2的距离的

差的绝对值等于常数.