高考文科数学向量专题讲解及高考真题精选(含答案)

向 量

1.向量的概念

(1)向量的基本要素：大小和方向.

(2)向量的表示：几何表示法 AB ；字母表示：a ；

坐标表示法 a ＝ｘｉ＋ｙj ＝（ｘ, ｙ）. (3)向量的长度：即向量的大小, 记作｜a ｜. (4)特殊的向量：零向量a ＝O ⇔｜a ｜＝O .

单位向量a O 为单位向量⇔｜a O ｜＝1.

(5)相等的向量：大小相等, 方向相同(ｘ1, ｙ1)＝（ｘ2, ｙ2）⎩⎨

⎧==⇔2

12

1y y x x

(6) 相反向量：a =-b ⇔b =-a ⇔a +b =0

(7)平行向量(共线向量)：方向相同或相反的向量, 称为平行向量.记作a ∥b .平行向量也称为共线向量.

2..向量的运算 运算类型

几何方法

坐标方法

运算性质

向量的 加法

1.平行四边形法则

2.三角形法则

1212(,)a b x x y y +=++r r

a b b a +=+r r r r

()()a b c a b c ++=++r r r r r r

AC BC AB =+

向量的 减法

三角形法则

1212(,)a b x x y y -=--r r

()a b a b -=+-r r r r

AB BA =-u u u r u u u r

,AB OA OB =-

数 乘 向 量

1.a λr

是一个向量,满

足:||||||a a λλ=r r

2.λ>0时, a a λr r

与同向;

λ<0时, a a λr r 与异向; λ=0时, 0a λ=r r

.

(,)a x y λλλ=r

()()a a λμλμ=r r

()a a a λμλμ+=+r r r ()a b a b λλλ+=+r r r r

//a b a b λ⇔=r r r r 向 量 的 数 量 积

a b •r r

是一个数

1.00a b ==r r r r

或时, 0a b •=r r

. 2.00||||cos(,)

a b a b a b a b ≠≠=r r r r r r r r g 且时， 1212a b x x y y •=+r r

a b b a •=•r r r r

()()()a b a b a b λλλ•=•=•r r r r r r

()a b c a c b c +•=•+•r r r r r r r 2222||||=a a a x y =+r r u r

即

||||||a b a b •≤r r r r

3.向量加法运算：

⑴三角形法则的特点：首尾相连． ⑵平行四边形法则的特点：共起点．

⑶三角形不等式：a b a b a b -≤+≤+r r r

r r r ．

⑷运算性质：①交换律：a b b a +=+r r r r ；

②结合律：()()

a b c a b c ++=++r r r r r

r ；③00a a a +=+=r r r r r ．

⑸坐标运算：设()11,a x y =r

, ()22,b x y =r , 则()1212,a b x x y y +=++r r ．

4.向量减法运算：

⑴三角形法则的特点：共起点, 连终点, 方向指向被减向量．

⑵坐标运算：设()11,a x y =r , ()22,b x y =r , 则()1212,a b x x y y -=--r

r ．

设A 、B 两点的坐标分别为

()

11,x y ,

()

22,x y , 则

()1212,x x y y AB =--u u u r

．

5.向量数乘运算：

⑴实数λ与向量a r 的积是一个向量的运算叫做向量的数乘, 记作a λr

． ①

a a λλ=r r

；

②当0λ>时,

a λr

的方向与a r

的方向相同；当0λ<时, a λr 的方向与a r

的方向相反；当0λ=时,

0a λ=r r ．

⑵运算律：①()()a a λμλμ=r r ；②()a a a λμλμ+=+r r r

；③()

a b a b λλλ+=+r r r r ．

⑶坐标运算：设(),a x y =r , 则()(),,a x y x y λλλλ==r

．

6.向量共线定理：向量()

0a a ≠r

r r 与b r 共线, 当且仅当有唯一一个实数λ, 使b a λ=r r ．

设()11,a x y =r , ()22,b x y =r , 其中0b ≠r r , 则当且仅当12210x y x y -=时, 向量a r 、()

0b b ≠r r r

共线．

7.平面向量基本定理：如果1e u r 、2e u u r 是同一平面内的两个不共线向量, 那么对于这一平面内的任意向量a r

, 有且只有一对实数1λ、2λ, 使1122a e e λλ=+u r u u r r

．（不共线的向量1e u r 、2e u u r 作为这一平面内所有向量的一

组基底）

8.分点坐标公式：设点P 是线段12P P 上的一点, 1P 、2P 的坐标分别是()11,x y ,

()22,x y , 当

12λP P =PP u u u r u u u r 时, 点P 的坐标是1212,11x x y y λλλ

λ++⎛⎫

⎪++⎝⎭．（当时，就为中点公式。）1=λ b r

a r

C

B

A

a b C C -=A -AB =B u u u

r u u u r u u u r r r