函数的周期性
函数周期性公式大总结
函数周期性公式大总结函数是数学中一种非常重要的概念，它描述了数值之间的关系。
而函数的周期性则是函数中一种特殊的性质，它在数学推导和实际应用中具有广泛的应用价值。
本文将对函数周期性公式进行总结，以帮助读者加深对这一概念的理解。
一、正弦函数与余弦函数的周期性公式正弦函数与余弦函数是最常见的周期函数之一，它们在物理学、工程学等领域有着广泛的应用。
它们的周期性公式如下：1. 正弦函数的周期性公式：\[sin(x+2πn)=sin(x)\]其中 \(n\) 为整数。
这个公式意味着正弦函数在 \(2π\) 的整数倍的变换下保持不变。
2. 余弦函数的周期性公式：\[cos(x+2πn)=cos(x)\]同样地，这个公式说明了余弦函数在 \(2π\) 的整数倍的变换下保持不变。
二、指数函数的周期性公式指数函数是另一类常见的函数，其公式如下：\[f(x)=a^x\]其中 \(a\) 为常数，又称为底数。
指数函数不同于正弦函数和余弦函数，它通常不具备周期性。
然而，我们可以通过引入“模”的概念，使指数函数具备周期性。
3. 指数函数的周期性公式：\[a^{x+ln(a)n}=a^x\]其中 \(n\) 为整数，\(ln(x)\) 为自然对数。
这个公式说明了指数函数在 \(ln(a)\) 的整数倍的变换下保持不变。
三、对数函数的周期性公式对数函数是指数函数的逆运算，其公式如下：\[f(x)=log_{a}(x)\]其中 \(a\) 为底数。
对数函数也可以借助模的概念引入周期性。
4. 对数函数的周期性公式：\[log_{a}(x+ln(a)n)=log_{a}(x)\]其中 \(n\) 为整数，\(ln(x)\) 为自然对数。
这个公式说明了对数函数在 \(ln(a)\) 的整数倍的变换下保持不变。
四、三角函数的周期性公式除了正弦函数和余弦函数外，还有其他几种常见的三角函数，如正切函数、余切函数、正割函数和余割函数。
它们同样具备周期性，并可以通过以下公式进行表示。
函数的周期性
函数的周期性周期函数的定义： 一、 对于函数y =f (x ),如果存在一个不为零的常数T ，使得当x 取定义域内的每一个值时，f (x +T )=f (x )都成立，那么就把函数y =f (x )叫做周期函数，T 叫做函数的周期. 如果T 为函数的一个周期，那么T 的整数倍nT 也是函数的周期；如果在所有的周期中存在着一个最小的正数，就把这个最小的正数叫做最小正周期. 二、一些结论1、若)()(T x f x f +=则)(x f 的周期为T 。
2、若)()(x b f a x f +=+则)(x f 的周期为a b T -= 证：令a x x -= ∴ )()(a b x f x f -+=3、)()(b x f a x f +-=+则)(x f 的周期a b T -=2 证：令a x x -= ∴ )()(a b x f x f -+-= ① 令b x x -= ∴ )()(x f b a x f -=-+ ②由①②得：)]([)]([a b x f b a x f -+-=-+- ∴ )]([)]([a b x f b a x f -+=-+ ∴ a b T -=24、若函数()x f 在R 上满足()x a f x a f -=+)(，且()x b f x b f -=+)(（其中b a ≠），则函数()x f y =以()b a -2为周期.推理：)](2[)]2([)]2([)2()(a b x f b x a b f b x a b f x a f x f -+=---=--+=-=即可以得到)(x f y =的周期为2(b-a)，即可以得到“如果函数在定义域内关于垂直于x 轴两条直线对称，则函数一定是周期函数5、若函数()x f 在R 上满足()x a f x a f --=+)(，且()x b f x b f --=+)(（其中b a ≠），则函数()x f y =以()b a -2为周期. 6、：若函数()x f 在R 上满足()x a f x a f -=+)(，且()x b f x b f --=+)(（其中b a ≠），则函数()x f y =以()b a -4为周期. 7、如果奇函数满足)()(x f T x f -=+则可以推出其周期是2T ，且可以推出对称轴为kT Tx 22+=)(z k ∈，根据)2()(T x f x f +=可以找出其对称中心为)0(kT ，)(z k ∈（以上0≠T ） 如果偶函数满足)()(x f T x f -=+则亦可以推出周期是2T ，且可以推出对称中心为)0,22(kT T+)(z k ∈，根据)2()(T x f x f +=可以推出对称轴为kT T x 2+=)(z k ∈ （以上0≠T ）8、如果奇函数)(x f y =满足)()(x T f x T f -=+（0≠T ），则函数)(x f y =是以4T 为周期的周期性函数。
函数的周期性
函数的周期性
函数的周期性是指当自变量的值增加或减小一个特定的数值时，函数的值会发生重复的变化。
在数学中，周期性是函数的一个重要性质。
周期性可以应用于多个不同的数学对象，如三角函数、周期矩阵和周期函数。
其中，最常见的就是三角函数的周期性。
三角函数的周期性
三角函数是一类特殊的周期函数，其中包括正弦函数、余弦函数和正切函数等。
这类函数的周期性非常明显，它们的图像在一个特定的区间内重复出现。
以正弦函数为例，其周期性是指当自变量的值增加或减小2π时，函数的取值会发生重复的变化。
正弦函数的图像在一个周期内呈现出上升和下降的趋势，而在周期的不同区间内则重复这种趋势。
周期矩阵的周期性
周期矩阵也具有周期性。
周期矩阵是一个二维的矩阵，其中的元素具有周期性的变化。
这意味着当一个元素的索引增加或减小一个特定的数值时，元素的值会发生重复的变化。
周期函数的周期性
周期函数是指在某一特定的区间内，函数的值会以一定的规律进行重复。
这种周期性的现象往往与周期矩阵类似，当自变量的值增加或减小一个特定的数值时，函数的值会发生重复的变化。
周期函数可以用数学公式表示，其中包括正弦函数、余弦函数和周期指数函数等。
这些函数在一定的区间内重复出现，具有明显的周期性。
总结
函数的周期性是函数的一个重要性质，可以应用于三角函数、周期矩阵和周期函数等数学对象上。
在这些对象中，函数的值会以一定的规律进行重复，当自变量的值增加或减小一个特定的数值时，函数的值会发生相同的变化。
通过研究函数的周期性，我们可以更好地理解函数的变化规律和特点。
高中数学函数的周期性
高中数学函数的周期性一、函数周期性的认识周期性是函数的一个重要性质，指的是函数在一定的时间间隔内重复出现的规律性。
在函数图像上，这种周期性表现为函数图像的重复形状或模式。
函数周期性的理解对于解决与函数相关的数学问题有着重要的意义。
二、函数周期性的判断判断函数是否具有周期性，可以通过以下步骤进行：1、观察函数的图像，看是否存在重复的模式或形状；2、计算函数值之间的差值，看是否存在固定的差值；3、确定函数的定义域，看是否具有周期性；4、根据函数的性质，确定函数的周期。
三、函数周期性的应用函数周期性在数学中有着广泛的应用。
例如，在三角函数中，正弦函数和余弦函数都是具有周期性的函数，它们的周期与角度有关。
函数周期性在信号处理、图像处理等领域也有着广泛的应用。
四、函数周期性的意义函数周期性是数学中一个重要的概念，它反映了函数变化的规律性。
通过对函数周期性的理解和应用，我们可以更好地理解函数的性质和变化规律，为解决与函数相关的数学问题提供帮助。
函数周期性的概念也渗透到了自然科学和社会科学的各个领域，对于这些领域的研究和发展也有着重要的意义。
高中数学函数的周期性是一个非常重要的概念，对于我们理解函数的性质和解决与函数相关的数学问题都有着重要的作用。
在未来的学习和研究中，我们还需要进一步深入理解和应用函数周期性的概念。
原函数与导函数周期性和奇偶性联系的探究标题：原函数与导函数周期性和奇偶性的探究一、引言在数学分析中，函数的周期性和奇偶性是两个非常重要的性质。
对于一个函数来说，如果其值在每隔一定的区间内重复出现，那么这个函数就被称为具有周期性。
而如果一个函数在与其原点的对称点处的值相等，那么这个函数就被称为具有奇偶性。
这两个性质在很多领域都有广泛的应用，包括物理学、工程学、经济学等。
对于周期函数和奇偶函数，其原函数和导函数之间存在一些有趣的和相互影响。
本文将对此进行深入的探究和分析。
二、原函数与导函数的周期性首先，我们观察一个函数与其导函数之间的周期性关系。
函数的周期性
函数的周期性：（一）要点：1．（定义）若⇔≠=+)0)(()(T x f T x f )(x f 是周期函数，T 是它的一个周期。
说明：nT 也是)(x f 的周期（推广）若)()(b x f a x f +=+，则)(x f 是周期函数，a b -是它的一个周期 2．若定义在R 上的函数)(x f 的图象关于直线a x =和b x =)(b a ≠对称，则)(x f 是周期函数，)(2a b -是它的一个周期（推论）若定义在R 上的偶函数)(x f 的图象关于直线a x =)0(≠a 对称，则)(x f 是周期函数，a 2是它的一个周期3． 若定义在R 上的函数)(x f 的图象关于点)0,(a 和点)0,(b )(b a ≠对称，则)(x f 是周期函数，)(2a b -是它的一个周期（推论）若定义在R 上的奇函数)(x f 的图象关于点)0,(a )0(≠a 对称，则)(x f 是周期函数，a 2是它的一个周期4．若定义在R 上的函数)(x f 的图象关于直线a x =和点)0,(b )(b a ≠对称，则)(x f 是周期函数，)(4a b -是它的一个周期（推论）若定义在R 上的奇函数)(x f 的图象关于直线a x =)0(≠a 对称，则)(x f 是周期函数，a 4是它的一个周期 5．若)()(x f a x f -=+；)(1)(x f a x f =+；)(1)(x f a x f -=+；则)(x f 是周期函数，2a 是它的一个周期 （二）例题讲解：例1 函数()f x 对于任意实数x 满足条件()()12f x f x +=，若()15,f =-则()()5f f = _______________。
解：由()()12f x f x +=得()()14()2f x f x f x +==+，所以(5)(1)5f f ==-，则()()115(5)(1)(12)5f f f f f =-=-==--+。
函数的周期性解读
函数的周期性一、正弦函数的周期三角函数，以正弦函数 y = sin x 为代表，是典型的周期函数. 幂函数 y = x α 无周期性，指数函数 y = a x 无周期性，对数函数 y =log a x 无周期，一次函数 y = kx +b 、二次函数 y = ax 2+bx +c 、三次函数 y = ax 3+bx 2 + cx +d 也无周期性.周期性是三角函数独有的特性.1、正弦函数 y =sin x 的最小正周期在单位圆中，设任意角α的正弦线为有向线段MP . 正弦函数的周期性动点P 每旋转一周，正弦线MP 的即时位置和变化方向重现一次. 同时还看到，当P 的旋转量不到一周时，正弦线的即时位置包括变化方向不会重现.因此，正弦函数y =sin x 的最小正周期2π.2、y =sin （ωx ）的最小正周期设ω>0，y =sin （ωx ）的最小正周期设为L .按定义 y = sin ω（x +L ） = sin （ωx + ωL ） = sin ωx . 令ωx = x ' 则有 sin （x ' + ωL ） = sin x ' 因为sin x 最小正周期是2π，所以有ωωπ2π2=⇒=L L例如 sin2x 的最小正周期为π2π2= sin2x 的最小正周期为π421π2=3、正弦函数 y =sin （ωx +φ） 的周期性对正弦函数sin x 的自变量作“一次替代”后，成形式y = sin （ωx +φ）. 它的最小正周期与y = sin ωx 的最小正周期相同，都是ωπ2=L .如⎪⎭⎫⎝⎛+=2π3sin x y 的最小周期与 y = sin （3x ）相同，都是3π2.于是，余弦函数⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎭⎫ ⎝⎛-==2πsin 2πsin cos x x x y 的最小正周期与sin x 的最小正周期相同，都是2π.二、复合函数的周期性将正弦函数 y = sin x 进行周期变换x →ωx ，sin x →sin ωx后者周期变为)0(π2>ωω而在以下的各种变换中，如（1）初相变换sin ωx → si n （ ωx +φ）；（2）振幅变换sin （ωx +φ）→ A sin （ ωx +φ）；（3）纵移变换 A si n （ ωx +φ） → A si n （ ωx +φ）+m ；后者周期都不变，亦即 A si n （ ωx +φ） +m 与si n （ωx ）的周期相同，都是ωπ2.而对复合函数 f （sin x ）的周期性，由具体问题确定.1、复合函数 f （sin x ） 的周期性 【例题】 研究以下函数的周期性： （1）2 sin x ； （2）x sin（2）x sin 的定义域为［2k π，2k π+π］，值域为［0，1］，作图可知， 它是最小正周期为2π的周期函数.【解答】 （1）2sin x 的定义域为R ，值域为⎥⎦⎤⎢⎣⎡2 ,21，作图可知，它是最小正周期为2π的周期函数. 【说明】 从基本函数的定义域，值域和单调性出发，通过作图，还可确定，log a x ，sin x ，xsin 1， sin （sin x ）都是最小正周期2π的周期函数.2、y = sin 3 x 的周期性对于y = sin 3x =(sin x )3，L =2π肯定是它的周期，但它是否还有更小的周期呢？ 我们可以通过作图判断，分别列表作图如下.图上看到，y = sin 3x 没有比2π更小的周期，故最小正周期为2π.3、y = sin 2 x 的周期性对于y = sin 2x = (sin x )2，L =2π肯定是它的周期，但它的最小正周期是否为2π？ 可以通过作图判定，分别列表作图如下.图上看到，y = sin 2x 的最小正周期为π，不是2π.4、sin 2n x 和sin 2n -1 x 的周期性y = sin2x 的最小正周期为π，还可通过另外一种复合方式得到. 因为 cos2x 的周期是π，故 sin 2x 的周期也是π.sin 2x 的周期，由cos x 的2π变为sin 2x 的π. 就是因为符号法“负负得正”所致.因此，正弦函数sin x 的幂符合函数sin m x ，当m =2n 时，sin m x 的最小正周期为π；m = 2n –1时，sin m x 的最小正周期是2π.5、幂复合函数举例【例1】 求 y =|sin x |的最小正周期.【解答】 x x y 2sin |sin |==最小正周期为π.【例2】 35)(sin x y =求的最小正周期.【解答】 5335)(sin )(sin x x =最小正周期为2π.【例3】 求52)(sin x y =的最小正周期.【解答】5252)(sin )(sin x x =最小正周期为π.【说明】 正弦函数sin x 的幂复合函数pq x )(sin . 当q 为奇数时，周期为2π；q 为偶数时，周期为π.三、周期函数的和函数两个周期函数，如 sin x 和 cos x ，它们最小正周期相同，都是 2π. 那么它们的和函数，即 si nx + cos x 的最小正周期如何？)4πsin(2cos sin +=+x x x和函数的周期与原有函数的周期保持不变. 这个结论符合一般情况.对于另一种情况，当相加的两个函数的最小正周期不相同，情况将会如何？1、函数 sin x + sin2 x 的周期性sin x 的最小正周期为2π，sin2x 的最小正周期是π，它们之间谁依赖谁，或依赖一个第三者？ 列表如下.表上看到函数sin x +sin2x 的最小正周期是2π.2、函数 sin x + sin2x 的周期性依据上表，作sin x +sin2x 的图像如右.从图上看到，函数的最小正周期为2π. 由si nx ，sin2x 的最小正周期中的大者决定，因为前者是后者的2倍.从图上看到，sin x +sin2x 仍然是个“振动函数”，但振幅已经不是常数了.3、函数sin x +sin32x 的周期性 sin x 的最小正周期为2π，sin 32x 的最小正周期是3π. 它们之间的和sin x + sin 32x 的最小正周期也由“较大的”决定吗？即“和函数”的周期为3π吗？不妨按周期定义进行检验. 设2π0=x 则x 0 +3π=π32π+ 2312π32sin 2πsin 2π)(0+=⎪⎭⎫⎝⎛∙+=⎪⎭⎫ ⎝⎛=f x f )(23127π32sin 27πsin π32ππ)3(00x f f x f ≠+-=⎪⎭⎫⎝⎛∙+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+因此3π不是sin x + sin32x 的最小正周期.通过作图、直观看到，sin x +sin32x 的最小正周期为6π，即sin x 和sin 32x 最小正周期的最小倍数.四、周期函数在高考中三角函数是高考命题的重要板块之一，小题考，大题也考，比分约占高考总分的七分之一，与立体几何相当. 与立几不同的是，它还与函数、方程、不等式、数列、向量等内容综合.正弦函数是三角函数的代表，而周期性又是正弦函数的特性. 关系到正弦函数的试题，有2种形式. （1）直接考，求正弦函数的最小正周期.（2）间接考，考周期在正弦函数性质中的应用. 求单调区间，求最值，简单方程的通解等.1、求正弦函数的周期【例1】 函数 y =|sin 2x|的最小正周期为 （A ）2π（B ）π （C ）2π （D ）4π 【解答】 2sin |2sin |2x x y == 最小正周期是2sinx最小正周期的一半，即2π. 答案为（C ） 【说明】 图象法判定最简便，|sin x |的图象是将sin x 的图象在x 轴下方部分折到x 轴上方去. 倍角法定判定最麻烦 x xy cos 212sin2-== 【解答】 （1）y = 2cos2x + 1的最小正周期由cos2x 决定2、求正弦函数的周期【例2】 （1）y =2cos 2x +1的最小正周期为 .（2）y =|sin x + cos x |的最小正周期为 .【解答】 （1）y = 2cos 2x + 1的最小正周期由cos 2x 决定，故答案为π.（2）)(sin 2|)sin(|2|cos sin |2ϕϕ+=+=+x x x x 故答案为π.【说明】 )(sin cos 22ϕ+x x 都可看作sin x 的幂函数的复合函数.3、函数周期性应用于求值【例题】 f (x )是R 上的偶函数，且是最小正周期为π的周期函数.【解答】 ⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫⎝⎛3π 3π 32π 35π f f f f 233πsin == 【说明】 周期性应用于区域转化. 将“无解析式”的区域函数转化到“有解析式”的区间上求值.若 时 f (x ) = si nx 试求 的值.4、函数周期性应用于求单调区间【例题】 x ∈R ，求函数 y =sin 2x + 3sin x cos x +2cos 2x 的单调增区间.【解答】 )2cos 1(2sin 2322cos 1x x x y +++-=23)6π2sin(232cos 212sin 23++=++=x x x 函数的最小正周期为π. 令 2π6π22π≤+≤-x 得 6π3π≤≤-x 因为函数周期为π，故函数的单调增区间为⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-6ππ ,3ππk k .【说明】 先求包含零点的增区间，再用最小正周期求单调增区间的集合.周期函数在高考中5、周期性应用于求函数零点【例题】 已知函数412sin 2cos sin cos sin )(2244--++=x x x x x x f .【解答】 41)cos sin 1(2cos sin 1412sin 2cos sin cos sin )(222244---=--++=x x x x x x x x x x fx x 2sin 4141412sin 4121+=-+=令 02s i n4141=+x 得 4π=x 故交点横坐标的值的集合为4π=x .【说明】 先求绝对值最小的解，再利用最小正周期求“通解”.五、高考史上的周期大难题高考史上第一次“周期大难题”出现在恢复高考后的第3年，即1980年的理科数学卷上.本题排在该卷的第六大题上. 在有十个大题的试卷上，这是个中间位置，然而，从当年的得分情况来看，本题的难度超过了包括压轴题和附加题在内的所有题目. 这点为命题人事先未能预料. 后来分析，该题的难点有三 .（1）函数抽象，导致周期中含有参数；（2）求参数范围，与解不等式综合；（3）求最小正整数解，连命题人自拟的“标答”都含糊不清. 20多年来数学界质疑不断.【考题】设三角函数)3π5πsin()(+=k x f ，其中k ≠0.（1）写出 f (x )极大值M 、极小值m 与最小正周期;（2）试求最小的正整数k ，使得当自变量x 在任意两个整数间（包括整数本身）变化时，函数 f (x )至少有一个值是M 与一个值是m .【解答】 （1） M =1，m = -1，k k T π10π25=⨯=.（2）f (x )在它的每一个周期中都恰好有一个值是M 与一个值是m .而任意两个整数间的距离都≥1因此要使任意两个整数间函数f (x )至少有一个值是M 与一个值是m ，必须且只须使 f (x )的周期≤1即：k =32就是这样的最小正整数. .4.31 π10 ,1 π10 =≥≤k k六、高考史上的周期大错题中学教材上的周期函数，一般都是简单和具体的函数. 关于最小正周期的求法，也是一些感性的结果；没有系统和完整“最小正周期”的系统研究.然而，随着“抽象函数”的不断升温，对周期函数周期的考点要求越来越高. 2006年福建理数卷出现的“周期大错题”正是这种盲目拔高的必然结果.【例题】 f （x ）是定义在R 上的以3为周期的奇函数，且f （2）=0，则方程f （x ）=0在区间（0，6）内解的个数的最小值是A.2B.3C.4D.5【说明】 这是2005年福建卷（理）第12题，命题组提供的答案是D ，即答案为5. 答案D 从何而来？以下，就是“D”的一种解法.【解答】 f (x )周期为3，由 f (2)=0，得 f (5) = f (2)=0，得 f (-1)= f (2-3) = f (2)=0，得 f (-4) = f (2-6) = f (2)=0f (x )为奇函数，得 f (1) = - f (-1) =0 f (4)= - f (-4)=0，得 f (-0)= - f (0)，得 f (0)=0 f (3)= f (3+0)= f (0)=0于是，求得 f (x )=0的解为：1、2、3、4、5. 共5个解，答案为D. 【讨论】 除了上述解法得 f (x )=0的5个解外，还有如下的解.根据方程 f (x )=0的定义， x = 1.5 和 x =4.5 也是方程的解，证明如下： 由 f (x )的周期性，知 f (-1.5)= f (1.5) （1） 由 f (x )的奇偶性，知 f (-1.5) = - f (1.5) （2） 从而有 f (1.5)=0，f (4.5) = f (1.5)=0.所以，1.5和4.5也是方程 f (x )=0的解.于是，方程的解共有7个：即是1、1.5、2、3、4、4.5、5. 【思考】 按上面讨论的结果，方程 f (x ) = 0的解至少有7个. 而原题的四个选项支中均没有这个答案. 命题人给定的答案D 是错的. 高考史上的周期大错题【实验检验】 f (x )同时满足4个条件：（1）定义在R 上；（2）奇函数；（3）周期为3；（4）f (2) =0. 据此，我们找到 f (x )的一个具体例子：x x x f 3π4sin 3π2sin)(+= 并在区间（0，6）上找到 f (x )=0的7个解，列表如下：这7个解即是1，1.5，2，3，4，4.5，5.函数x x x f 3π4sin 3π2sin)(+=在一个周期［0，3］上的图像如右. 图像与 x 轴有5个交点，故在［0，6］有9个交点，从而在（0，6）上有7个交点.【反思】 命题人的错误自然出在疏忽二字上. 实在地，本题较难，首先难倒了命题人自己.严格地讲，试题“超纲”. 对两个周期函数的和函数，其最小正周期是它们的“最小公倍数”——这本身就没有进行过证明，对某些具体函数可以具体分析，但对抽象函数来讲，却没有理论依据. 而本题，又恰恰是个抽象函数，而且是个综合问题. 命题出错似乎是必然的.。
函数的周期性
函 数 的 周 期 性一、知识要点：1.周期性的定义：对于函数)(x f y =，如果存在一个非零常数T ，使得当x 取定义域内的每一个值时，都有 都成立，那么就把函数)(x f y =叫做 函数，非零常数T 叫做这个函数 。
如果非零常数T 是函数()f x 的周期，那么nT （0,≠∈n Z n ）也是函数()f x 的周期。
二、函数周期性的主要结论：1．如果()()f x a f x b +=+（a b ≠），那么()f x 是周期函数，其中一个周期 2．如果()()f x a f x b +=-+（a b ≠），那么()f x 是周期函数，其中一个周期 3. 偶函数()f x 的图像关于直线x a =（0a ≠）对称，那么()f x 是周期函数，其中一个周期 4. 函数()f x 有两条不同的对称轴x a =、x b =)0,0(≠≠b a 对称，那么()f x 是周期函数， 其中一个周期5.奇函数()f x 的图像关于直线x a =（0a ≠）对称，那么()f x 是周期函数，其中一个周期6. 奇函数()f x 关于点()0,a （0a ≠）成中心对称，那么()f x 是周期函数，其中一个周期7. 函数()f x 同时关于两点()0,a 、()0,b （a b ≠，0,0≠≠b a ）成中心对称，那么()f x 是周期函数，其中一个周期8.函数()f x 的图像关于点()0,a （0a ≠）成中心对称，且关于直线x b =（a b ≠）成轴对称，那么()f x 是周期函数，其中一个周期 9.如果1()()f x p f x +=或1()()f x p f x +=-，那么()f x 是周期函数，其中一个周期 10.如果()()f x p f x +=-，那么()f x 是周期函数，其中一个周期11.y =f (x)对R x ∈时，若)()1()2(x f x f x f -+=+，则)(x f 是周期为 的周期函数。
函数的周期性
S=4S△OAB=4×(2 ×2×1)=4.
(3)f(0)=0,f(2)=0,f(1)=1,f(3)=-1. 又f(x)是周期为4的周期函数, ∴f(0)+f(1)+f(2)+f(3)=f(4)+f(5)+f(6)+f(7) =…=f(2 008)+f(2 009)+f(2 010)+f(2 011)=0. ∴f(0)+f(1)+f(2)+…+f(2 013)=f(0)+f(1)=0+1=1.
业 ， 多 么 刺 眼的一 个词儿 。 8.努 力 吧 ！ 为 了以后 好日子 必须幸 苦一阵 子。 9.各 奔 东 西 后 才知 ，一别 也许就 是一世 、 10.据 说 这 是 最 早的呻 吟体： …… 密 ……封 ……线 ……内 ……不 ……要 ……答 ……题 …… 11.可 不 可 以 不 要让毕
雪 白 的 花 象 心一样 纯洁也 许你酷 爱太阳 的火力 开一朵 火红的 花象梦 一样美 丽！ 2.我 们 都 曾 在 人生 的海洋 中相遇 ，岁月 飘忽， 必然会 改变许 多东西 。也许 ，时间
会 使 许 多 绚 烂归于 平淡。 但是， 对你的 怀念却 是永久 的。不 变的， 只有这 份真挚 的 情 谊 。 3.水 不 因 石 而阻友 谊不因 远而疏 愿友谊 长存， 以最真 诚的心 祝福你 年 年 平 安 。 4.有 一 首 歌 曾轻 声地唱 过，在 年轻的 岁月中 ，或许 时间带 走一切 拥 有 过 的 季 节…… 5.我 笑 那 些 想毕 业却又 在将来 后悔的 青年 6.真 的有那么 一 个 女 孩 ， 和我一 起上课 偷吃零 食，迟 到一起 罚站， 戴一副 耳机听 歌。 7.毕
函数的周期性
函数的周期性文山县一中 王忠全函数的周期性作为函数的重要性质之一，在函数学习中占有重要地位，但在教材中所占篇幅较小，学生难以领会，为此，有必要对该性质进行拓展，有助于学生备考复习。
一、对函数周期性的理解1、 当自变量增大某一个值时，函数值有规律的重复出现，这里，“增大的这个值就是函数的一个周期，说简单了就是函数图象在定义域内有规律地一段一段地重复出现，如正弦函数等；2、 函数具有周期性，其周期往往不止一个，如果T 是函数y=f （x ）的一个周期，则T 的整数倍也是。
如果在周期中出现一个最小正数，这个正数就叫做函数的最小正周期。
如函数y=sinx 中，2π就是它的最小正周期。
在没特殊说明的情况下，一般所说的周期，指最小正周期。
3、 是不是所有的周期函数都有最小正周期？不一定，如常数函数f （x ）=a 。
4、 给周期函数下定义：对于函数y=f(x),如果存在一个不为零的常数T,使得当x 取定义域内的每一个值时,f(x+T)=f(x)。
对定义的理解可从两个方面入手：一是必须“存在非0常数T ”，否则就不谈及周期，如f （x ）=x ，f （x+T ）=x+T ≠f （x ）；二是“x 取定义域内的每一个数”，不能特殊，如sin （424πππsin )=+，不能说2π就是其周期，因为4π不具一般性。
二、 常见的周期函数1、 f （x+a ）=f （x ），T=a ；2、 f （x+a ）=-f （x ），T=2a ；3、 f （x+a ）=)(x f 1，T=2a ； 4、 f （x+a ）= -)(x f 1，T=2a ； 5、 f （x+a ）=f （x-a ），T=2a ；三、 例题分析1、 对任意x ，都有f （x+2）=-)(x f 1，且f （1）=1，求f （2011）； 2、 定义在R 上的奇函数f （x ）满足f （x+2）=-f （x ），且当0<x<1时,f(x)=x,求f(7.5) 解：1、函数f （x ）的周期为4，f （2011）=f （3+4×402）=f （3）=-f （1+2）=-1；3、 f （7.5）=f(4×2-0.5)=f(-0.5)=-f(0.5)=-0.5.一般说来,要求f(a),当a 较大时,用函数的周期性转化较为方便,而当a 较小时,可逐个转化.。
函数周期性的判断及应用
函数周期性的判断及应用函数的周期性是指函数在某一范围内呈现出重复的规律性。
周期性的判断主要通过函数的图像或者函数的表达式进行分析。
在数学中，周期性函数是一类非常重要的函数，它们在各个领域有着广泛的应用。
首先我们来讨论如何判断一个函数是否是周期性函数。
一个函数f(x)的周期性可以由以下两种方法进行判断：1. 通过观察函数图像：根据函数图像的规律来判断函数是否具有周期性。
如果函数图像在某一范围内呈现出重复的规律性，则说明函数是周期性函数。
例如，正弦函数sin(x)和余弦函数cos(x)具有周期性，它们的图像在任意区间长度为2π的范围内都重复。
同样的道理，周期为T的函数可以通过观察函数图像在T范围内是否重复来判断。
2. 通过函数表达式：根据函数的表达式来推测函数的周期性。
一些特定的函数在函数表达式中就包含周期性的特征，如三角函数、指数函数和对数函数等。
这些函数具有明确的周期性。
例如，sin(x)和cos(x)的周期都是2π，可以在函数表达式中直接看出。
对数函数ln(x)的周期为e，指数函数e^x的周期为ln(a)，其中a是正实数。
除了以上两种方法之外，还可以通过计算周期性函数的周期来判断。
周期性函数的周期可以通过函数图像上两个相邻波峰或者波谷的横坐标差得出。
接下来我们来讨论周期性函数的应用。
周期性函数在各个领域都有广泛的应用，其中包括：1. 信号处理：在电信号处理中，周期性函数被广泛用于信号的表示和分析。
例如，正弦函数和余弦函数可以用来表示周期性电信号的波形。
傅里叶变换是一种常用的信号处理方法，它可以将任意信号分解成不同频率的正弦波的叠加。
周期性函数在傅里叶变换中发挥着重要的作用。
2. 振动和波动现象：周期性函数在物理学中的振动和波动现象的描述中发挥着重要的作用。
例如，弹簧振子的运动可以通过正弦函数来描述。
波动现象如水波、光波以及声波等，也可以通过周期性函数进行描述和分析。
3. 经济学和金融学：周期性函数在经济学和金融学中有很多应用。
函数的周期性
函数的周期性
一、正弦函数的周期
三角函数，以正弦函数 y = sin x 为代表，是典型的周期函数. 幂函数 y = xα 无周期性，指数函数 y = ax 无周期性，对数函数 y =logax 无周期，一次函数 y = kx+b、二次函数 y = ax2+bx+c、三次函数 y = ax3+bx2 + cx+d 也无周期性. 周期性是三角函数独有的特性. 1、正弦函数 y=sin x 的最小正周期 在单位圆中，设任意角α的正弦线为有向线段 MP. 正弦函数的周期性 动点 P 每旋转一周，正弦线 MP 的即时位置和变化方向重现一次. 同时还看到，当 P 的旋转量不到一周时，正弦线的即时位置包括变化 方向不会重现. 因此，正弦函数 y=sinx 的最小正周期 2π. 2、y=sin（ωx）的最小正周期 设ω>0，y =sin（ωx）的最小正周期设为 L . 按定义 y = sin ω（x+L） = sin（ωx+ ωL） = sinωx . 令ωx = x' 则有 sin （x' + ωL） = sin x' 因为 sinx 最小正周期是 2π，所以有
sin 2
x 1 2 cos x 2
【解答】 （1）y = 2cos2x + 1 的最小正周期由 cos2x 决定 2、求正弦函数的周期 【例 2】 （1）y =2cos2x+1 的最小正周期为 . （2）y =|sinx + cosx|的最小正周期为 . 2 2 【解答】 （1）y = 2cos x + 1 的最小正周期由 cos x 决定，故答案为π. （2） | sin x cos x |
sin 4 x cos 4 x sin 2 x cos 2 x 1 . 2 sin 2 x 4
函数的周期性
若函数y f ( x)既关于点A(a, c)对称，
又关于点B(b, c)对称，
求证：函数y f ( x)为周期函数.
解析：
设M ( x, y)为函数图象上任意一点，点M关于点A(a, c)的对
函数的周期性：
对于函数y=f(x),如果存在一个不为零的常数T， 使得当x取定义域内的每一个值时，f(x+T)=f(x) 都成立，那么就把函数y=f(x)叫做周期函数，T 叫做函数的周期.
如果T为函数的一个周期，那么T的整数倍
nT也是函数的周期；如果在所有的பைடு நூலகம்期中存在 着一个最小的正数，就把这个最小的正数叫做 最小正周期.
4)
1 1
f(x f(x
2) 2)
1
1 1
f (x) f (x)
1 f (x)
1 f (x)
f ( x 8) 1 f ( x) f ( x 4)
f (2006) f (6) f (2 4) 1 1 3 2 f (2) 2 3
已知函数y f ( x)为R上的偶函数，且关于 直线x 2对称，当x [2, 2]时，f ( x) 1 x2， 求x [6, 2]时，f ( x)的解析式.
结论：若函数y f ( x)既关于直线x a对称，又关于 直线x b对称，那么函数y f ( x)为周期函数，周期 为2 | b a | .
解：(1)由
f f
(2 (7
-
x) x)
f (2 f (7
x) x)
函数的周期性与奇偶性的判定
函数的周期性与奇偶性的判定函数是数学中的一个基本概念，它描述了一种数值之间的关系。
函数的周期性与奇偶性是函数的重要特征之一，对于函数的分析和应用具有重要的意义。
本文将介绍函数的周期性和奇偶性的概念，并讨论判定函数周期性和奇偶性的方法。
一、函数的周期性周期函数在数学中起到了重要的作用，它们具有重复出现的性质。
一个函数f(x)被称为周期函数，如果存在一个正数T，使得对于任意的x，都有f(x+T) = f(x)成立。
这个正数T被称为函数f(x)的周期。
周期函数具有重复出现的形式，可以描述各种重复现象，如正弦函数、余弦函数等。
判定函数周期性的方法：1. 观察函数图像：通过观察函数的图像，可以发现函数是否重复出现。
如果函数的图像在一个特定的间隔内重复出现，并且没有其他额外的变化，那么函数很可能是周期函数。
2. 分析函数公式：有些函数的周期性可以通过函数的公式来判断。
例如，正弦函数和余弦函数的周期为2π，而指数函数和对数函数则没有周期性。
二、函数的奇偶性函数的奇偶性是函数的对称性质，反映了函数的特定规律。
一个函数f(x)被称为奇函数，如果对于任意的x，都有f(-x) = -f(x)成立；一个函数f(x)被称为偶函数，如果对于任意的x，都有f(-x) = f(x)成立。
奇函数和偶函数是两类特殊的函数，它们具有对称性的特征。
判定函数奇偶性的方法：1. 观察函数图像：通过观察函数的图像，可以发现函数是否具有对称性。
奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y轴对称。
因此，通过观察函数的图像可以初步判定函数的奇偶性。
2. 分析函数公式：有些函数的奇偶性可以通过函数的公式来判断。
例如，幂函数的指数为奇数时，函数是奇函数；指数为偶数时，函数是偶函数。
综上所述，函数的周期性和奇偶性是函数的重要特征。
通过观察函数的图像和分析函数的公式，我们可以判定函数的周期性和奇偶性。
这些特征在函数的分析和应用中起着重要的作用，帮助我们理解和描述各种数值之间的关系。
函数的周期性
函数的周期性基本知识方法1.周期函数的定义：对于()f x 定义域内的每一个x ，都存在非零常数T ，使得 ()()f x T f x +=恒成立，则称函数()f x 具有周期性，T 叫做()f x 的一个周期，则kT （,0k Z k ∈≠）也是()f x 的周期，所有周期中的最小正数叫()f x 的最小正周期. 2.几种特殊的抽象函数：具有周期性的抽象函数：函数()y f x =满足对定义域内任一实数x （其中a 为常数）,① ()()f x f x a =+，则()y f x =是以T a =为周期的周期函数； ②()()f x a f x +=-，则()x f 是以2T a =为周期的周期函数；③()()1f x a f x +=±，则()x f 是以2T a =为周期的周期函数； ④()()f x a f x a +=-，则()x f 是以2T a =为周期的周期函数；⑤1()()1()f x f x a f x -+=+，则()x f 是以2T a =为周期的周期函数.⑥1()()1()f x f x a f x -+=-+，则()x f 是以4T a =为周期的周期函数.⑦1()()1()f x f x a f x ++=-，则()x f 是以4T a =为周期的周期函数.1．已知定义在R 上的奇函数()f x 满足(2)()f x f x +=-，则(6)f 的值为.A 1- .B 0 .C 1 .D 22．（1）设()f x 的最小正周期2T =且()f x 为偶函数，它在区间[]0,1上的图象如右图所示的线段AB ,则在区间[]1,2上,()f x =()2已知函数()f x 是周期为2的函数，当11x -<<时，2()1f x x =+，当1921x << 时，()f x 的解析式是()3 ()x f 是定义在R 上的以2为周期的函数，对k Z ∈，用k I 表示区间(]21,21k k -+，已知当0x I ∈时，()2f x x =，求()x f 在k I 上的解析式。
函数的周期性
函数的周期性
1．函数的周期性
【知识点的认识】
函数的周期性定义为若T为非零常数，对于定义域内的任一x，使f（x）＝f（x+T）恒成立，则f（x）叫做周期函数，T叫做这个函数的一个周期．常函数为周期函数，但无最小正周期，其周期为任意实数．
【解题方法点拨】
周期函数一般和偶函数，函数的对称性以及它的图象相结合，考查的内容比较丰富．
①求最小正周期的解法，尽量重复的按照所给的式子多写几个，
例：求f（x）=
1
f(x−2)的最小正周期．
解：由题意可知，f（x+2）=
1
f(x)
=f（x﹣2）⇒T＝4
②与对称函数或者偶函数相结合求函数与x轴的交点个数．如已知函数在某个小区间与x轴有n个交点，求函数在更大的区间与x轴的交点个数．
思路：第一，这一般是个周期函数，所以先求出周期T；第二，结合函数图象判断交点个数；第三，注意端点的值．
【命题方向】
周期函数、奇偶函数都是高考的常考点，学习是要善于总结并进行归类，灵活运用解题的基本方法，为了高考将仍然以小题为主．
1 / 1。
函数的周期性
练习：设偶函数 f(x)对任意 x∈R,都有 f（x+3）=-
1 且当 x∈.[-3，-2] f（x）
时，f(x)=2x，则 f(113.5)的值为（ ） 2 2 1 1 A. B. C. D. 7 7 5 5 例 2. 函 数 f(x) 的 定 义 域 为 R, 对 任 意 的 实 数 x 均 满 足 f(x-1)=f(3-x) 且 2 f(x-1)=f(x-3)，当 1≤x≤2 时，f(x)=x ，则 f(x)的单调递减区间是（ ） （以 下 k∈Z ） A.[2k，2k+1] B. [2k-1，2k] C.[2k，2k+2] D. [2k-2，2k]
1
例 3.定义域在 R 上的函数 f(x)的图象关于（ 实数 x 都有 f（x）=-f（x+
3 ）且 f(-1)=1，f(0)=-2 则 f(1)+ f(2)+ f(3)+…… 23Biblioteka ，0 4）成中心对称，对任意的
+ f(2008)的值为（ ） A.-2 B.-1 C.0 D.1 （周期性） 1.f(x)是定义在 R 上的以 3 为周期的偶函数，且 f(1)=0，则方程 f(x)=0 在 区间（0，6）内解的个数的最小值是 （ ） A．5 B．4 C．3 D．2 2.若函数 y=f(x)是周期为 2 的奇函数， 且当 x∈(0,1)时 f(x)=x+1， 则 f(π) 的值为 （ ） A．π-5 B.5-π C.4-π D. π-4 3. f ( x) 是偶函数，且 f (0) 993, 又 g ( x) f ( x 1) 为奇函数，则 f(1992)=
8.对任意 x∈R，f(x)=f(x-1)+f(x+1)且 f(0)=6,f(4)=3,则 f(69)= 9.设 f(x)定义在 R 上的偶函数，且 f ( x 3)
数学函数6个周期性公式推导
数学函数6个周期性公式推导数学函数的周期性是指函数在一定区间内以其中一种规律重复出现的性质。
下面将推导出六个常见的周期性函数公式，即正弦函数、余弦函数、正切函数、指数函数、对数函数和常函数的周期性公式：1.正弦函数的周期性公式推导：正弦函数的定义为f(x) = sin(x)，其中x为实数。
根据正弦函数的属性，它的最小正周期为2π，即sin(x) = sin(x + 2π)。
进一步推导，可以得到sin(x) = sin(x + 2πk)，其中k为任意整数。
因此，正弦函数的周期性公式为sin(x) = sin(x + 2πk)，k为整数。
2.余弦函数的周期性公式推导：余弦函数的定义为f(x) = cos(x)，其中x为实数。
根据余弦函数的属性，它的最小正周期也为2π，即cos(x) = cos(x + 2π)。
进一步推导，可以得到cos(x) = cos(x + 2πk)，其中k为任意整数。
因此，余弦函数的周期性公式为cos(x) = cos(x + 2πk)，k为整数。
3.正切函数的周期性公式推导：正切函数的定义为f(x) = tan(x)，其中x为实数。
根据正切函数的属性，它的最小正周期为π，即tan(x) = tan(x + π)。
进一步推导，可以得到tan(x) = tan(x + πk)，其中k为任意整数。
因此，正切函数的周期性公式为tan(x) = tan(x + πk)，k为整数。
4.指数函数的周期性公式推导：指数函数的定义为f(x)=a^x，其中a为正实数、且a≠1，x为实数。
指数函数并没有严格的周期性，但它满足更一般的周期性性质，即f(x+T)=f(x)，其中T为任意正数。
因此，指数函数的周期性公式为f(x+T)=f(x)，其中T为正数。
5.对数函数的周期性公式推导：对数函数的定义为f(x) = logₐ(x)，其中a为正实数、且a≠1，x为正实数。
对数函数并没有严格的周期性，但它满足更一般的周期性性质，即f(x + T) = f(x)，其中T为任意正数。
函数周期性
周期性(1)周期函数：对于函数y ＝f (x )，如果存在一个非零常数T ，使得当x 取定义域内的任何值时，都有f (x ＋T )＝f (x )，那么就称函数y ＝f (x )为周期函数，称T 为这个函数的周期．(2)最小正周期：如果在周期函数f (x )的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f (x )的最小正周期．2．周期性常用的结论（1）类比“三角函数图像”得：①若()y f x =图像有两条对称轴,()x a x b a b ==≠，则()y f x =必是周期函数，且一周期为2||T a b =-；②若()y f x =图像有两个对称中心(,0),(,0)()A a B b a b ≠，则()y f x =是周期函数，且一周期为2||T a b =-；③如果函数()y f x =的图像有一个对称中心(,0)A a 和一条对称轴()x b a b =≠，则函数()y f x =必是周期函数，且一周期为4||T a b =-；如已知定义在R 上的函数()f x 是以2为周期的奇函数，则方程()0f x =在[2,2]-上至少有__________个实数根（答：5）（2）由周期函数的定义“函数()f x 满足()()x a f x f +=(0)a >，则()f x 是周期为a 的周期函数”得：①函数()f x 满足()()x a f x f +=-，则()f x 是周期为2a 的周期函数； ②若1()(0)()f x a a f x +=≠恒成立，则2T a =； ③若1()(0)()f x a a f x +=-≠恒成立，则2T a =. 考点一 判断函数的周期性判定:判断函数的周期性只需证明f(x ±T)=f(x)(T ≠0)便可证明函数是周期函数,且周期为T.一般用逐步代换法注意．函数f (x )满足的关系f (a ＋x )＝f (b －x )表明的是函数图象的对称性，函数f (x )满足的关系f (a ＋x )＝f (b ＋x )(a ≠b )表明的是函数的周期性，（同周期异对称）在使用这两个关系时不要混淆.典例1-1】已知f(x)是定义在R 上的函数,并且f(x+2)= -)(1x f ,证明：f(x)是周期函数，并指出其最小正周期解：整体代换x 用(x+2)代换，得f(x+2+2)=-1/f(x+2)=-1/[-1/f(x)]=(fx),即f(x+4)=f(x) 故f(x)是周期函数， 最小正周期是4.训练1-1-1】已知定义在R 上的函数f (x )满足f (x )＝－f ⎝⎛⎭⎫x ＋32，证明f (x )是周期函数． 解析：∵f (x )＝－f ⎝⎛⎭⎫x ＋32， ∴f (x ＋3)＝f ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫x ＋32＋32＝－f ⎝⎛⎭⎫x ＋32＝f (x )． ∴f (x )是以3为周期的周期函数．训练1-1-2】已知)(x f 是定义在实数集上的函数，且[])(1)(1)2(x f x f x f +=-+，判断：f(x)是周期函数，并指出其最小正周期解：由已知得(f x +2）=[1+(f x ）]/[1+(f x ）]故(f x +4）==[1+(f x +2）]/[1-(f x +2）]上式代入化简得(f x +4）=-（1/(f x ））故得(f x +8）=-（1/(f x +4）=-（1/[-(f x ）]）=(f x ）故f(x)是周期函数，函数周期为8。
函数的周期性.doc
函数的周期性.doc
函数的周期性是指函数的值在特定一段时间里具有相同的模式重复出现。
这种重复可
能是一次性的，也可能是多次性的，但总之它们不会同时出现。
广泛用于数学、物理和化
学等学科，函数的周期性可帮助我们更多地理解自然界中所发生的现象和概念。
说明函数周期性有三个关键步骤：第一步从特定步锥开始，推导出函数的一组表达式；第二步确定函数的最小非零有限值，即最小的重复次数；第三步研究归纳出的重复值的连
续变化趋势，通过图形表示出来。
因此，不同的函数具有不同的周期性，而且每个函数都
有一定的差异。
函数周期性是函数表达式在特定时间段内重复表现的性质，因此，函数的周期度可以
定义为在一个完整周期内表达式的重复次数，也可以定义为每一组传统的表达式的相对周期。
对于周期性的描述来说，常用的形式有正弦和余弦函数，它们可以表示函数的周期性。
根据正弦曲线的定义，一个完整的正弦曲线的周期性就是360度，这也就意味着360度内
表达式的重复次数有多少，曲线的周期性便是多少。
虽然函数的周期性表现出来的规律和差异很大，但对于函数处理算法来说其可适用性
是非常强大的，就像一些信号处理，声音处理等应用领域，再加上函数编程技术，就能很
好地拓展函数的周期性，使它更加实用、实用性更强。
总结起来，函数的周期性是函数处理的一种重要性质，它能够帮助人们更好地理解自
然界的现象和现实世界的运行规律，也有助于模式识别、数据挖掘等一系列领域的研究工作。
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函数的周期性
将日历中“星期”随日期变化的周期性的出现和正弦函数值随角的变化周期性
的出现进行对比，寻求出两者实质：当“自变量”增大某一个值时，“函数值”有规律的重复出现。
基本简介：
函数周期性的关键的几个字“有规律地重复出现”。
当自变量增大任意实数时（自变量有意义），函数值有规律的重复出现假如函数f(x)=f(x +T)(或f(x
+a)=f(x-b)其中|a-b|=T),则说T是函数的一个周期.T的整数倍也是函数的一
个周期.
主要说明：
1.概念的提出：将日历中“星期”随日期变化的周期性的出现和正弦函数值随
角的变化周期性的出现进行对比，寻求出两者实质：当“自变量”增大某一个
值时，“函数值”有规律的重复出现。
出示函数周期性的定义：对于函数y=f（x），假如存在一个不为零的常数T，
使得当x取定义域内的每一个值时，f（x T）=f（x）都成立，那么就把函数
y=f（x）叫做周期函数，不为零的常数T叫做这个函数
函数周期性
函数周期性的周期。
“当自变量增大某一个值时，函数值有规律的重复出现”这句话用数学语言的
表达.
2.定义:对于函数y=f(x),如果存在一个不为零的常数T,使得当x取定义域内的每一个值时,f(x T)=f(x)
概念的具体化：
当定义中的f(x)=sinx或cosx时，思考T的取值。
T=2kπ(k∈Z且k≠0)
所以正弦函数和余弦函数均为周期函数，且周期为 T=2kπ(k∈Z且k≠0)
展示正、余弦函数的图象。
周期函数的图象的形状随x的变化周期性的变化。
（用课件加以说明。
）
强调定义中的“当x取定义域内的每一个值”
令(x T)2=x2,则x2 2xT T2=x2
所以2xT T2=0, 即T(2x T)=0
所以T=0或T=-2x
强调定义中的“非零”和“常数”。
例:三角函数sin(x T)=sinx
cos(x T)=cosx中的T取2π
3. 最小正周期的概念：
对于一个函数f(x)，如果它所有的周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数叫f(x)的最小正周期。
对于正弦函数y=sinx, 自变量x只要并且至少增加到x 2π时，函数值才能重
复取得。
所以正弦函数和余弦函数的最小正周期是2π。
（说明：如果以后无
特殊说明，周期指的就是最小正周期。
）
在函数图象上，最小正周期是函数图象重复出现需要的最短距离。
4.例：求下列函数的周期：
（1）y=3cosx
分析：cosx中的自变量只要且至少增加到x 2π时，函数cosx的值才重复出现，因而函数3cosx的值也才重复出现，因此y=3cosx的周期是2π．（说明cosx
前面的系数和周期无关。
）
（2）y=sin(x π/4)
分析略，说明在x后面的角也不影响周期。
（3）y=sin2x
分析：因为sin2(x π)=sin(2x 2π)=sin2x, 所以自变量x只要且至少增加到
x π时,函数值就重复出现。
所以原函数的周期为π。
（说明x的系数对函数的周期有影响。
）
（4） y=cos(x/2 π/4) （分析略）
（5）y=sin(ωx φ) （分析略）
结论：形如y=Asin(ωx φ) 或y=Acos(ωx φ)。