等积变形讲义
一元一次方程的等积变形问题PPT课件
5dm 1. 5m
3dm 0. 5m
分析： 根据以上演示我们知道了它们的等量关系： 水位上升部分的体积=小圆柱形铁块的体积 圆柱形体积公式是______r_2h, 水升高后的体积 小铁块的体积 （_____0_._5_2 __x） （_____0_._3_2_×)0.5
解：设水面将升高x米, 根据题意得 方程为：_____0_._5_2__x_=__0_.3_2_×__0._5 解这个方程：_____x__=_0_.1_8 答：____容__器__内__水__面__将__升__高_0__.1_8m。
V r 2h
V 1 r 2h
3
延伸 等 积 变 形
相等 体（面）积
周长
等长变形
1、用一根长为100米的铁丝围成一个 长比宽长10米的长方形，问这个长方形的
长和宽各是多少米？
示图分析
100米
(X+10)
米ห้องสมุดไป่ตู้
x米
有什么等量关系呢？
长方形的周长=原铁丝的长度.
等长变形：
2、有100米长的篱笆材料，想围成一长 方形仓库，在场地的北面有一堵足够长的 旧墙，其它三面用篱笆围成，若与墙平行 的一面为长，且长比宽长10米，求这个仓
演讲人：XXXXXX 时 间：XX年XX月XX日
所以仓库的长为:x+10=30+10=40米 答：该仓库的长为40米，宽为30米。
等面积的变形
把一块梯形空地（如图）改成宽为30m的长 方形运动场地，要求面积不变，则应将原梯 形的上下底边作怎样的调整？
解：将下底缩短Xm,则长方形的长
30m
是（60 －X),
由题意得：
30m
（30+60） ×30 ÷2=1350
六年级奥数 第34讲 等积变形
30×20×24÷(40×30+30×20)＝8（厘米）。
7. 175.84米
把圆筒展开后，横截面（圆环）变成一个长方形（长是纸的长度，宽是纸的厚度），圆筒横截面（圆环）的面积就是长方形的面积，所以长方形的长（纸的长度）等于圆环的面积除以纸的厚度。3.14×[(38÷2)2-(18÷2)2]÷(0.5÷10)÷100=175.84(米)。
6. 7.25厘米
×π×（ ）2×3÷[π×（ ）2]+7=7.25（厘米）
【池中戏水】
1.答案不唯一
2. 6.4厘米
(第2题)
连接AG，在正方形ABCD中，△ABG的底和高分别为正方形边AB与BC，所以，它的面积是正方形ABCD面积的一半。同样，在长方形EBGF中，三角形ABG的底为长方形的长BG，高为长方形的宽EB，所以它的面积也是长方形EBGF面积的一半。由此得出长方形EBGF的面积与正方形的面积相等，即长方形EBGF的面积也为64平方厘米。所以，长方形EBGF的宽为64÷10＝6.4（厘米）。
8. 5倍
设正方体的棱长为 ，切开后两个长方体的表面积之和是 ×8.长方体 的表面积是 ×8× ，底面积是 ；长方体 的表面积是 ×8× ，底面积是 ，所以长方体 的体积是长方体 的5倍。
9.
【海上冲浪】
(第1题)
1. 3平方厘米
连结CF。S△BDF=1，则S△CDF=2，S△CBF=3。由于S△ABE= S△CBE，S△AFE= S△CFE，可得S△ABF= S△CBF=3，设S△AFE=S△CFE=a，则有S△ABD:S△ADC=1:2，即（1+2）:（2+a+a）=1:2，求得a=2，所以S△CDFE=1+2=3（平方厘米）。
一元一次方程经典讲义之等积变形
第四讲等积变形数字问题【基本数量关系】原料体积=成品体积数的表示方法：一个三位数的百位数字为a，十位数字是b，个位数字为c（其中a、b、c 均为整数，且1≤a≤9， 0≤b≤9， 0≤c≤9）则这个三位数表示为：100a+10b+c。
【典型例题】1.用直径为4厘米的圆钢，铸造三个直径为2厘米，高为16厘米的圆柱形零件，问需要截取多长的圆钢？2.某工厂锻造直径为60毫米，高20毫米的圆柱形瓶内装满水，再将瓶内的水倒入一个底面直径6厘米、高10厘米的圆柱形玻璃杯中，能否完全装下？若装不下，那么瓶内水面还有多高？若未能装满，求杯内水面离杯口的距离。
3.一个长、宽、高分别是9厘米、7厘米、3厘米的长方体铁块和一个棱长为5厘米的正方体铁块，熔化成一个圆柱体，其底面直径为20厘米，请求圆柱体的高（π不需化成3.14）4.一个两位数，十位上的数字比个位上的数字大1，十位与个位上的数字和是这个两位数的1/6，这两个数是多少？5.有一个三位数，其各数位的数字之和是16，十位数字是个位数字与百位数字的和，若把百位数字与个位数字对调，那么新数比原数大594，求原数。
【课堂精练】1.要锻造一个半径为5厘米，高为8厘米的圆柱形毛胚，应截取半径为4厘米的圆钢多长？2.某机器加工厂要锻造一个毛胚，上面是一个直径为20毫米，高为40毫米的圆柱，下面也是一个圆柱，直径为60毫米，高为20毫米，问需要直径为40毫米的圆钢多长？3.将一罐满水的直径为40厘米，高为60厘米的圆柱形水桶里的水全部灌于另一半径为30厘米的圆柱形水桶里，问这时水的高度是多少？4.一个直径为1.2米高为1.5米的圆柱形水桶，已装满水，向一个底面边长为1米的正方形铁盒倒水，当铁盒装满水时，水桶中的水高度下降了多少米？5.有一块棱长为4厘米的正方体铜块，要将它熔化后铸成长2厘米、宽4厘米的长方体铜块，铸成后的铜块的高是多少厘米（不计损耗）？6.有一个圆柱形铁块，底面直径为20厘米，高为26厘米，把它锻造成长方体毛胚，若使长方体的长为10π厘米，宽为13厘米，求长方体的高。
第十讲 等积变换
◆ 孩子的未来 ◆第十讲 等积变换知识要点1．等积形：面积相等的两个图形称为等积形。
2．三角形的等积变形：三角形的等积变形指的是使三角形面积相等的变换。
3．三角形面积计算公式： S △=底×高÷24．三角形等积变形中常用到的几个重要性质： ⑴ 平行线间的距离处处相等。
⑵等底等高的两个三角形面积相等。
⑶底在同一条直线上并且相等，它们所对的角的度数是同一个，这样的两个三角形面积相等。
⑷若两个三角形的高（或底）相等，其中一个三角形的底（或高）是另一个三角形的几倍，那么这个三角形的面积也是另一个三角形面积的几倍。
⑸若几个三角形的底边相等，并在两条平行线中的同一直线上，而且相等的底边所对的顶点在两条平行线中的另一条上，则这几个三角形面积相等。
5．解答三角形面积变形题目时常用到以下两条重要结论。
⑴等底等高的三角形面积相等。
⑵如果甲、乙两个三角形的高（底）相等，而甲的底（高）是乙的底（高）的几倍，则甲的面积一定是乙的面积的几倍。
典型例题例1 在三角形ABC 中（如图），3BD=DC ，阴影部分的面积是220dm 。
求三角形ABC 的面积。
ABC◆ 孩子的未来 我们的一切例2 在三角形ABC 中（如图），DC=2BD ，CE=3AE ，阴影部分的面积是20平方厘米。
求三角形ABC 的面积。
例3 △ABC 中，D 、E 为BC 边的三等分点，M 、N 分别为AE 、AC 的中点。
若22cm S MNC =∆，求=∆ABC S ？例4 下图长方形ABCD 的面积是32平方厘米，DE=3AE ，F 是CD 中点，求△BEF 的面积。
例5 已知三角形ABC 面积为8，2BD=AB ，BE=CE ，求三角形DBE 的面积。
图10-2D E C图10-3CFD 图10-4◆ 孩子的未来 我们的一切 ◆例6 右图中的三角形A ＇B ＇C ＇是把三角形ABC 的AB 延长1倍到B ＇，把BC 延长2倍到C ＇，把CA 延长3倍到A ＇，三角形A ＇B ＇C ＇的面积是三角形ABC 的多少倍？随堂小测1．求下列各图中阴影部分的面积。
小学奥数-直线型面积讲义图文版
1. 熟练运用直线型面积的最基本性质——等积变形；2. 熟练掌握直线型面积的两个模型： （1）等积变形 （2）鸟头模型直线型面积求解是在以三角形、长方形、正方形、梯形等一些规则图形为基础上进行的。
最基本的思想是等积变形。
一、等积变形①等底等高的两个三角形面积相等；②两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比； 两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比； 如左图12::S S a b =baS 2S 1 DC BA③夹在一组平行线之间的等积变形，如右上图ACD BCD S S =△△；反之，如果ACD BCD S S =△△，则可知直线AB 平行于CD ．④等底等高的两个平行四边形面积相等(长方形和正方形可以看作特殊的平行四边形)； ⑤三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半；⑥两个平行四边形高相等，面积比等于它们的底之比；两个平行四边形底相等，面积比等于它们的高之比．二、鸟头定理两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形． 共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比．如图在ABC △中，,D E 分别是,AB AC 上的点如图 ⑴(或D 在BA 的延长线上，E 在AC 上)， 则:():()ABC ADE S S AB AC AD AE =⨯⨯△△EDCBAEDA知识精讲教学目标第一讲 直线型面积（一）板块一、等积变形【例 1】 如图，长方形ABCD 的面积是56平方厘米，点E 、F 、G 分别是长方形ABCD 边上的中点，H 为AD 边上的任意一点，求阴影部分的面积．FE CBAFE C【解析】 本题是等底等高的两个三角形面积相等的应用．连接BH 、CH ． ∵AE EB =，∴AEH BEH S S =△△．同理，BFH CFH S S =△△，S =S CGH DGH ，∴11562822ABCD S S ==⨯=阴影长方形(平方厘米)．【巩固】图中的E 、F 、G 分别是正方形ABCD 三条边的三等分点，如果正方形的边长是12，那么阴影部分的面积是 ．E GCB654321HBCG E【例 2】 如图，有三个正方形的顶点D 、G 、K 恰好在同一条直线上，其中正方形GFEB 的边长为10厘米，求阴影部分的面积．KO QH G F EB A K O QH GF EBA【解析】 对于这种几个正方形并排放在一起的图形，一般可以连接正方形同方向的对角线，连得的这些对角线互相都是平行的，从而可以利用面积比例模型进行面积的转化．如右图所示，连接FK 、GE 、BD ，则////BD GE FK ，根据几何五大模型中的面积比例模型，可得DGE BGE S S ∆∆=，KGE FGE S S ∆∆=，所以阴影部分的面积就等于正方形GFEB 的面积，即为210100=平方厘米．【巩固】右图是由大、小两个正方形组成的，小正方形的边长是4厘米，求三角形ABC 的面积．GAB CDGAB CDF【巩固】(2008年西城实验考题)如图，ABCD 与AEFG 均为正方形，三角形ABH 的面积为6平方厘米，图中阴影部分的面积为 ．BE FHBCEFH【巩固】正方形ABCD 和正方形CEFG ，且正方形ABCD 边长为10厘米，则图中阴影面积为多少平方厘米？D G HE CCEHG D【例 3】 长方形ABCD 的面积为362cm ，E 、F 、G 为各边中点，H 为AD 边上任意一点，问阴影部分面积是多少？HGE【解析】 解法一：寻找可利用的条件，连接BH 、HC ，如下图：H E可得：12EHB AHB S S ∆∆=、12FHB CHB S S ∆∆=、12DHG DHC S S ∆∆=，而36ABCD AHB CHB CHD S S S S ∆∆∆=++= 即11()361822EHB BHF DHG AHB CHB CHD S S S S S S ∆∆∆∆∆∆++=++=⨯=；而EHB BHF DHG EBF S S S S S ∆∆∆∆++=+阴影，11111()()36 4.522228EBF S BE BF AB BC ∆=⨯⨯=⨯⨯⨯⨯=⨯=．所以阴影部分的面积是：1818 4.513.5EBF S S ∆=-=-=阴影 解法二：特殊点法．找H 的特殊点，把H 点与D 点重合，那么图形就可变成右图：GE (H )这样阴影部分的面积就是DEF ∆的面积，根据鸟头定理，则有：11111113636363613.52222222ABCD AED BEF CFD S S S S S ∆∆∆=---=-⨯⨯-⨯⨯⨯-⨯⨯=阴影．【巩固】在边长为6厘米的正方形ABCD 内任取一点P ，将正方形的一组对边二等分，另一组对边三等分，分别与P 点连接,求阴影部分面积．P CAA CPCA【例 4】 (2007首届全国资优生思维能力测试)ABCD 是边长为12的正方形，如图所示，P 是内部任意一点，4BL DM ==、5BK DN ==，那么阴影部分的面积是 ．PKK P【解析】 （法1）特殊点法．由于P 是内部任意一点，不妨设P 点与A 点重合(如上中图)，那么阴影部分就是AMN ∆和ALK ∆．而AMN ∆的面积为(125)4214-⨯÷=，ALK ∆的面积为(124)5220-⨯÷=，所以阴影部分的面积为142034+=．（法2）寻找可以利用的条件，连接AP 、BP 、CP 、DP 可得右上图所示：则有:211127222PDC PAB ABCD S S S ∆∆+==⨯=同理可得：72PAD PBC S S ∆∆+=;而::4:121:3PDM PDC S S DM DC ∆∆===,即13PDM PDC S S ∆∆=；同理：13PBL PAB S S ∆∆=,512PND PDA S S ∆∆=,512PBK PBC S S ∆∆=;所以：15()()()()312PDM PBL PND PBK PDC PAB PDA PBC S S S S S S S S ∆∆∆∆∆∆∆∆+++=+++而()()()()PDM PBL PND PBK PNM PLK DNM BLK S S S S S S S S ∆∆∆∆∆∆∆∆+++=+++阴影面积；145102DNM BLK S S ∆∆==⨯⨯=；所以阴影部分的面积是：15()()()312PNM PLK PDC PAB PDA PBC DNM BLK S S S S S S S S ∆∆∆∆∆∆∆∆+=+++-+即为：15727210224302034312⨯+⨯-⨯=+-=．【例 5】 (2008年四中考题)如右图，AD DB =，AE EF FC ==，已知阴影部分面积为5平方厘米，ABC∆的面积是 平方厘米．DADA【解析】 连接CD ．根据题意可知，DEF ∆的面积为DAC ∆面积的13，DAC ∆的面积为ABC ∆面积的12，所以DEF ∆的面积为ABC ∆面积的111236⨯=．而DEF ∆的面积为5平方厘米，所以ABC ∆的面积为15306÷=(平方厘米)．【巩固】图中三角形ABC 的面积是180平方厘米，D 是BC 的中点，AD 的长是AE 长的3倍，EF 的长是BF长的3倍．那么三角形AEF 的面积是多少平方厘米？F ECBA【例 6】 如图，大长方形由面积是12平方厘米、24平方厘米、36平方厘米、48平方厘米的四个小长方形组合而成．求阴影部分的面积．48cm 224cm 236cm 212cm 2MNB A12cm 236cm 224cm 248cm 2【解析】 如图，将大长方形的长的长度设为1，则12112364AB ==+，24124483CD ==+，所以1113412MN =-=，阴影部分面积为211(12243648)5(cm )212+++⨯⨯=．【例 7】 (2009年第七届”希望杯”二试六年级)如图，在三角形ABC 中，已知三角形ADE 、三角形DCE 、三角形BCD 的面积分别是89，28，26．那么三角形DBE 的面积是 ．D【解析】 根据题意可知，8928117ADCADE DCE S S S ∆∆∆=+=+=，所以::26:1172:9BDC ADC BD AD S S ∆∆===， 那么::2:9DBE ADE S S BD AD ∆∆==，故222789(901)2019S =⨯=-⨯=-=．【例 8】 O 是长方形ABCD 内一点，已知OBC ∆的面积是25cm ，OAB ∆的面积是22cm ，求OBD ∆的面积是多少？POD C B【解析】 由于ABCD 是长方形，所以12AOD BOC ABCD S S S ∆∆+=，而12ABD ABCD S S ∆=，所以AOD BOC ABD S S S ∆∆∆+=，则BOC OAB OBD S S S ∆∆∆=+，所以2523cm OBD BOC OAB S S S ∆∆∆=-=-=．【例 9】 如右图，过平行四边形ABCD 内的一点P 作边的平行线EF 、GH ，若PBD ∆的面积为8平方分米，求平行四边形PHCF 的面积比平行四边形PGAE 的面积大多少平方分米？CEFHPCEFH P【解析】 根据差不变原理，要求平行四边形PHCF 的面积与平行四边形PGAE 的面积差，相当于求平行四边形BCFE 的面积与平行四边形ABHG 的面积差． 如右上图，连接CP 、AP ．由于12BCP ADP ABP BDP ADP ABCD S S S S S S ∆∆∆∆∆+=++=，所以BCP ABP BDP S S S ∆∆∆-=．而12BCP BCFE S S ∆=，12ABP ABHG S S ∆=，所以()2216BCFE ABHG BCP ABP BDP S S S S S ∆∆∆-=-==(平方分米)．【例 10】 如右图，正方形ABCD 的面积是20，正三角形BPC ∆的面积是15，求阴影BPD ∆的面积．PBAOAB P【解析】 连接AC 交BD 于O 点，并连接PO ．如下图所示，可得//PO DC ，所以DPO ∆与CPO ∆面积相等(同底等高)，所以有：BPO CPO BPO PDO BPD S S S S S ∆∆∆∆∆+=+=，因为1120544BOC ABCD S S ∆==⨯=，所以15510BPD S ∆=-=．【巩固】如右图，正方形ABCD 的面积是12，正三角形BPC ∆的面积是5，求阴影BPD ∆的面积．PBAOAB DP【例 11】 (2008年”华杯赛”决赛)右图中，ABCD 和CGEF 是两个正方形，AG 和CF 相交于H ，已知CH等于CF 的三分之一，三角形CHG 的面积等于6平方厘米，求五边形ABGEF 的面积．HG F E D C B AHGF ED CB A【解析】 连接AC 、GF ，由于AC 与GF 平行，可知四边形ACGF 构成一个梯形．由于HCG ∆面积为6平方厘米，且CH 等于CF 的三分之一，所以CH 等于FH 的12，根据梯形蝴蝶定理或相似三角形性质，可知FHG ∆的面积为12平方厘米，AHF ∆的面积为6平方厘米，AHC ∆的面积为3平方厘米．那么正方形CGEF 的面积为()612236+⨯=平方厘米，所以其边长为6厘米．又AFC ∆的面积为639+=平方厘米，所以9263AD =⨯÷=(厘米)，即正方形ABCD 的边长为3厘米．那么，五边形ABGEF 的面积为：21369349.52++⨯=(平方厘米)．【例 12】 如图，已知长方形ADEF 的面积16，三角形ADB 的面积是3，三角形ACF 的面积是4，那么三角形ABC 的面积是多少？F ED CB AF ED CB A F ED CB A【解析】 方法一：连接对角线AE ． ∵ADEF 是长方形∴12ADE AEF ADEF S S S ∆∆==∴38ADB ADE S DB DE S ∆∆==， 12ACF AEF S FC EF S ∆∆== 5BE DE DB -1CE FE CF -∴1515162822BEC S ∆=⨯⨯⨯=∴132ABC ADEFADB ACF CBE S SS S S ∆∆∆∆=---=． 方法二：连接BF ，由图知1628ABF S =÷=△，所以16835BEF S =--=△，又由4ACF S =△，恰好是AEF △面积的一半，所以C 是EF 的中点，因此52 2.5BCE BCF S S ==÷=△△，所以1634 2.5 6.5ABC S =---=△【例 13】 (第七届”小机灵杯”数学竞赛五年级复赛)如图所示，三角形ABC 中，D 是AB 边的中点，E 是AC边上的一点，且3AE EC =，O 为DC 与BE 的交点．若CEO ∆的面积为a 平方厘米，BDO ∆的面积为b 平方厘米．且b a -是2.5平方厘米，那么三角形ABC 的面积是 平方厘米．E baOD CBA【解析】 12ABC BCD BCO S S b S ∆∆∆==+，14ABC BCE BCO S S a S ∆∆∆==+，所以112.524ABC ABC S S b a ∆∆-=-=(平方厘米)．所以 2.5410ABC S ∆=⨯=(平方厘米)．【例 14】 如图，长方形ABCD 的面积是2平方厘米，2EC DE =，F 是DG 的中点．阴影部分的面积是多少平方厘米？G FD C【解析】 如下图，连接FC ，DBF 、BFG 的面积相等，设为x 平方厘米;FGC 、DFC 的面积相等，设为y 平方厘米，那么DEF 的面积为13y 平方厘米．xyy x GFE DCBA221BCD S x y =+=，BDE 111S =x+y=l 333⨯=．所以有0.531x y x y +=⎧⎨+=⎩①②．比较②、①式，②式左边比①式左边多2x ，②式右边比①式右边大0.5，有20.5x =，即0.25x =,0.25y =．而阴影部分面积为2550.253312y y +=⨯=平方厘米．【例 15】 (2008年第一届”学而思杯”综合素质测评六年级2试)如图，45BC =，21AC =，ABC ∆被分成9个面积相等的小三角形，那么DI FK += ．KJIH GFE DC B A【解析】 由题意可知，::2:9BAD ABC BD BC S S ∆∆==，所以2109BD BC ==，35CD BC BD =-=；又::2:5DIF DFC DI DC S S ∆∆==，所以2145DI DC ==，同样分析可得10FK =，所以141024DI FK +=+=．【巩固】（2009年清华附中入学测试题）如图，在角MON 的两边上分别有A 、C 、E 及B 、D 、F 六个点，并且OAB ∆、ABC ∆、BCD ∆、CDE ∆、DEF ∆的面积都等于1，则DCF ∆的面积等于 ．OBD FN【例 16】 (2009年四中入学测试题)如图，已知5CD =，7DE =，15EF =，6FG =，线段AB 将图形分成两部分，左边部分面积是38，右边部分面积是65，那么三角形ADG 的面积是 ．GFE DC BAABC DE FG【解析】 连接AF ，BD ．根据题意可知，571527CF =++=；715628DG =++=；所以，1527BE CBF F S S ∆∆=，1227BE CBF C S S ∆∆=，2128AEG ADG S S ∆∆=，728AED ADG S S ∆∆=，于是：2115652827ADG CBF S S ∆∆+=；712382827ADG CBF S S ∆∆+=；可得40ADG S ∆=．故三角形ADG 的面积是40．【例 17】 (2008年走美六年级初赛)如图所示，长方形ABCD 内的阴影部分的面积之和为70，8AB =，15AD =，四边形EFGO 的面积为 ．O GFEDBA【解析】 利用图形中的包含关系可以先求出三角形AOE 、DOG 和四边形EFGO 的面积之和，以及三角形AOE 和DOG 的面积之和，进而求出四边形EFGO 的面积．由于长方形ABCD 的面积为158120⨯=，所以三角形BOC 的面积为1120304⨯=，所以三角形AOE 和DOG 的面积之和为312070204⨯-=；又三角形AOE 、DOG 和四边形EFGO 的面积之和为111203024⎛⎫⨯-= ⎪⎝⎭，所以四边形EFGO 的面积为302010-=． 另解：从整体上来看，四边形EFGO 的面积=三角形AFC 面积+三角形BFD 面积-白色部分的面积，而三角形AFC 面积+三角形BFD 面积为长方形面积的一半，即60，白色部分的面积等于长方形面积减去阴影部分的面积，即1207050-=，所以四边形的面积为605010-=．【巩固】(2008年”华杯赛”初赛)如图所示，矩形ABCD 的面积为24平方厘米．三角形ADM 与三角形BCN的面积之和为7.8平方厘米，则四边形PMON 的面积是 平方厘米．NOMPDCBA【例 18】 (清华附中分班考试题)如图，如果长方形ABCD 的面积是56平方厘米，那么四边形MNPQ 的面积是多少平方厘米？3PD C B333D CB【解析】 如图，过M 、N 、P 、Q 分别作长方形ABCD 的各边的平行线．易知交成中间的阴影正方形的边长为3厘米，面积等于9平方厘米．设MQD ∆、NAM ∆、PBN ∆、QCP ∆的面积之和为S ，四边形MNPQ的面积等于x ，则569x S x S +=⎧⎨-=⎩，解得32.5x =(平方厘米)．板块二 鸟头模型【例 19】 如图在ABC △中，,D E 分别是,AB AC 上的点，且:2:5AD AB =，:4:7AE AC =，16ADE S =△平方厘米，求ABC △的面积．EDCBAEDCBA【解析】 连接BE ，::2:5(24):(54)ADE ABE S S AD AB ===⨯⨯△△，::4:7(45):(75)ABE ABC S S AE AC ===⨯⨯△△，所以:(24):(75)ADE ABC S S =⨯⨯△△，设8ADE S =△份，则35ABC S =△份，16ADE S =△平方厘米，所以1份是2平方厘米，35份就是70平方厘米，ABC △的面积是70平方厘米．由此我们得到一个重要的定理，共角定理：共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比 ．【巩固】如图，三角形ABC 被分成了甲(阴影部分)、乙两部分，4BD DC ==，3BE =，6AE =，乙部分面积是甲部分面积的几倍？乙甲E DCBAA BCDE甲乙【解析】 连接AD ．∵3BE =，6AE =∴3AB BE =，3ABD BDE S S = 又∵4BD DC ==，∴2ABC ABD S S =，∴6ABC BDE S S =，5S S =乙甲．【例 20】 如图在ABC △中，D 在BA 的延长线上，E 在AC 上，且:5:2AB AD =，:3:2AE EC =，12ADE S =△平方厘米，求ABC △的面积．EDCBA EDCBA【解析】 连接BE ，::2:5(23):(53)ADE ABE S S AD AB ===⨯⨯△△[]::3:(32)(35):(32)5ABE ABC S S AE AC ==+=⨯+⨯△△，所以[]:(32):5(32)6:25ADE ABC S S =⨯⨯+=△△，设6ADE S =△份，则25ABC S =△份，12ADE S =△平方厘米，所以1份是2平方厘米，25份就是50平方厘米，ABC △的面积是50平方厘米．由此我们得到一个重要的定理，共角定理：共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比【例 21】 如图，三角形ABC 的面积为3平方厘米，其中:2:5AB BE =，:3:2BC CD =，三角形BDE 的面积是多少？AB EC DDC EB A【解析】 由于180ABC DBE ︒∠+∠=，所以可以用共角定理，设2AB =份，3BC =份，则5BE =份，325BD =+=份，由共角定理:():()(23):(55)6:25ABC BDE S S AB BC BE BD =⨯⨯=⨯⨯=△△，设6ABC S =△份，恰好是3平方厘米，所以1份是0.5平方厘米，25份就是250.512.5⨯=平方厘米，三角形BDE 的面积是12.5平方厘米【例 22】 已知DEF △的面积为7平方厘米，,2,3BE CE AD BD CF AF ===，求ABC △的面积．FED CBA【解析】 :():()(11):(23)1:6BDE ABC S S BD BE BA BC =⨯⨯=⨯⨯=△△，:():()(13):(24)3:8CEF ABC S S CE CF CB CA =⨯⨯=⨯⨯=△△:():()(21):(34)1:6ADF ABC S S AD AF AB AC =⨯⨯=⨯⨯=△△设24ABC S =△份，则4BDE S =△份，4ADF S =△份，9CEF S =△份，244497DEF S =---=△份，恰好是7平方厘米，所以24ABC S =△平方厘米【例 23】 如图，已知三角形ABC 面积为1，延长AB 至D ，使BD AB =；延长BC 至E ，使2CE BC =；延长CA 至F ，使3AF AC =，求三角形DEF 的面积．F EDCB AABCDEF【解析】 (法1)本题是性质的反复使用．连接AE 、CD ． ∵11ABC DBC S S =，1ABC S =， ∴S 1DBC =．同理可得其它，最后三角形DEF 的面积18=．(法2)用共角定理∵在ABC 和CFE 中，ACB ∠与FCE ∠互补， ∴111428ABC FCE S AC BC S FC CE ⋅⨯===⋅⨯． 又1ABCS=，所以8FCES=．同理可得6ADFS =，3BDES=．所以186318DEFABCFCEADFBDESS SS S=+++=+++=．【例 24】 如图，平行四边形ABCD ，BE AB =，2CF CB =，3GD DC =，4HA AD =，平行四边形ABCD 的面积是2， 求平行四边形ABCD 与四边形EFGH 的面积比．HGAB CD EFHGA B CD EF【解析】 连接AC 、BD ．根据共角定理∵在ABC △和BFE △中，ABC ∠与FBE ∠互补，∴111133ABC FBE S AB BC S BE BF ⋅⨯===⋅⨯△△． 又1ABC S =△，所以3FBE S =△．同理可得8GCF S =△，15DHG S =△，8AEH S =△．所以8815+3+236EFGH AEH CFG DHG BEF ABCD S S S S S S =++++=++=△△△△．所以213618ABCD EFGH S S ==．【例 25】 如图，将四边形ABCD 的四条边AB 、CB 、CD 、AD 分别延长两倍至点E 、F 、G 、H ，若四边形ABCD 的面积为5，则四边形EFGH 的面积是 ．A B CD E F GHA B CD EF GH【解析】 连接AC 、BD ．由于2BE AB =，2BF BC =，于是4BEF ABC S S ∆∆=，同理4HDG ADC S S ∆∆=．于是444BEF HDG ABC ADC ABCD S S S S S ∆∆∆∆+=+=．再由于3AE AB =，3AH AD =，于是9AEH ABD S S ∆∆=，同理9CFG CBD S S ∆∆=． 于是999AEH CFG ABD CBD ABCD S S S S S ∆∆∆∆+=+=．那么491260EFGH BEF HDG AEH CFG ABCD ABCD ABCD ABCD ABCD S S S S S S S S S S ∆∆∆∆=+++-=+-==．【例 26】 如图，1ABC S =△，5BC BD =，4AC EC =，DG GS SE ==，AF FG =．求FGSS．SGF E DCBA【解析】 本题题目本身很简单，但它把本讲的两个重要知识点融合到一起，既可以看作是”当两个三角形有一个角相等或互补时，这两个三角形的面积比等于夹这个角的两边长度的乘积比”的反复运用，也可以看作是找点，最妙的是其中包含了找点的3种情况．最后求得FGS S △的面积为4321115432210FGS S =⨯⨯⨯⨯=△．练习1. (第三届“华杯赛”初赛试题）一个长方形分成4个不同的三角形，绿色三角形面积占长方形面积的15%，黄色三角形面积是221cm ．问：长方形的面积是多少平方厘米？红绿黄红练习2. 如图，在平行四边形ABCD 中，EF 平行AC ，连结BE 、AE 、CF 、BF 那么与BEC 等积的三角形一共有哪几个三角形？F DECBA练习3. (97迎春杯决赛)如图，长方形ABCD 的面积是1，M 是AD 边的中点，N 在AB 边上，且2AN BN =.那么，阴影部分的面积是多少？课后练习练习4. 如图，三角形ABC 的面积是24，D 、E 和F 分别是BC 、AC 和AD 的中点．求三角形DEF 的面积．FE DCBA练习5. 如图，三角形ABC 中，AB 是AD 的5倍，AC 是AE 的3倍，如果三角形ADE 的面积等于1，那么三角形ABC 的面积是多少？E D CBA AB CD E练习6. 如图，在ABC △中，延长AB 至D ，使BD AB =，延长BC 至E ，使12CE BC =，F 是AC 的中点，若ABC △的面积是2，则DEF △的面积是多少？A BCDEF。
六年级上册数学讲义-小升初培优：第08讲 等积变形(解析版)全国通用
第八讲等积变形1、理解并掌握等积变形的思想方法；2、能正确运用等积变形的思想方法解决一些实际问题；3、让学员在操作、观察、讨论、归纳等数学活动过程中，体会等积变形、转化等数学思想方法。
我们已经知道三角形面积的计算公式：三角形面积＝底×高÷2从这个公式可以发现：一个三角形的面积变化与否取决于它的高和底的乘积，而不仅仅取决于高或底的变化。
同时也告诉我们：面积相同三角形有无数多个不同的形状。
在实际问题的研究中，我们还会常常用到以下结论：（1）等底等高的两个三角形面积相等。
（2）夹在一组平行线之间的等积变形，如下图，△ACD和△BCD夹在一组平行线之间，且有公共底边CD，那么ACD BCDS S∆∆=；反之，如果ACD BCDS S∆∆=，则可知直线AB平行于CD。
（备注：长方形和正方形的对边就是一组平行线。
）讲演者：得分：如图，正方形ABCD的边长为8厘米，长方形EBGF的长BG为10厘米。
求长方形的宽。
【解析】连接AG，则可以依据题目条件求出三角形AGB的面积，因为DG已知，进而可以求三角形AGD的高，也就是长方形的宽，问题得解。
解答：长方形的宽的长是6.4厘米。
讲演者：得分：如图已知正方形ABCD和正方形DEFM，且正方形ABCD的边长为8分米。
请问图中阴影部分的面积是多少平方分米？【解析】连结FD。
根据等底等高的三角形面积相等可得S△AFD＝S△FDC，而△FHD是它们的公共部分，因此，△AHD与△HCD的面积相等，从而得到△AFC＝S△AHC＋S△HCD＝S△ADC＝0。
正方形ABCD面积依此即可求。
解答：图中阴影部分的面积是32平方分米。
如图，已知梯形ABCD的面积为5，DA与EB平行，ED与CA平行，求四边形EDAC的面积。
【解析】连接EA、DB，根据平行线间的距离处处相等，和等底等高的三角形的面积相等，可得△EDC的面积＝△EDA的面积、△EDA的面积＝△DAB的面积、△DAB的面积＝△CAB的面积；据此可得△EDC的面积＝△CAB的面积；据此可得四边形EDAC的面积＝△EDC的面积＋△CDA的面积＝△CAB的面积＋△CDA的面积＝梯形ABCD的面积＝5。
第四讲三角形的等积变形
第四讲三角形的等积变形一个三角形的面积变化与否取决于它的高和底的乘积,而不仅仅取决于高或底的变化。
一个三角形在面积不改变的情况下,可以有无数多个不同的形状。
本讲即研究面积相同的三角形的各种形状以及它们之间的关系。
例1.用四种不同的方法,把任意一个三角形分成四个面积相等的三角形。
例2.用三种不同的方法将任意一个三角形分成三个小三角形,使它们的面积比为1:3:4。
例3.如图所示,在梯形ABCD中,AC与BD是对角线,其交点O,求证:△AOB与△COD面积相等。
例4.如图所示,把四边形ABCD改成一个等积的三角形。
同步训练1.如图所示,在梯形ABCD中,共有八个三角形其中面积相等的三角形共有（）对。
2.如图所示,是一个长方形花坛,阴影部分是草地,空地是四块同样的菱形,那么草地与空地面积之比是( )。
3.如图所示,A、B两点是长方形长和宽的中点,那么阴影部分面积占长方形面积的（）。
4. 如图所示,平行四边形ABCD的面积是40平方厘米,图中阴影部分的面积是（）。
5.如图所示,D、E、F分别是BC、AD、BE的三等分点,已知ABCS∆=27平方厘米。
求DEF∆S。
6. 如下图,E是长方形ABCD的BC上一点,使21=∆ABEs S梯形AECD, BC=9厘米,求BE是多少厘米。
课后作业与检测1.如图所示,在△ABC中,D是BC中点,E是AD中点,连结BE、CE,那么与△ABE等积的三角形一个共有（）个。
2.如图所示,在平行四边形ABCD中,EF平行AC,连结BE、AE、CF、BF,那么与△BEC等积的三角形一共有（）个。
六年级下册数学讲义-小升初培优：第02讲 三角形面积——等积变形(上)(解析版)全国通用
第02讲三角形面积——等积变形（上）教学目标：1、让学员理解并掌握等积变形的思想方法；2、把等积变形的知识点与生活实际问题结合起来；3、让学员在操作、观察、填表、讨论、归纳等数学活动过程中，体会等积变形、转化等数学思想方法，发展空间观念，发展初步的推理能力。
教学重点：掌握等积变形的思想方法。
教学难点：等积变形在实际问题中的应用。
教学过程：【环节一：预习讨论，案例分析】【知识回顾——温故知新】（参考时间-2分钟）1.两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形，可以用符号“□”表示。
从□ABCD的一边AD上一点向对边BC画垂线，这点和垂足之间的线段叫做平行四边形BC边上的高，边BC叫做平行四边形的底；2.平行四边形的对边相等、对角相等；平行四边形四条边确定了，它的形状、大小还不能完全确定；3.如果用字母S表示平行四边形的面积，用a和h分别表示平行四边形的底和高，那么平行四边形的面积公式为：S=ah。
（其中h是底a上的高）。
【知识回顾——上期巩固】（参考时间-3分钟）如图，在一个平行四边形中，两对平行于边的直线将这个平行四边分为9个小平行四边形，如果原来这个平行四边形的面积为99cm2，而中间那个小平行四边形（阴影部分）的面积为19 cm2，求四边形ABCD的面积。
解析部分：把四边形ABCD的面积分为阴影部分和周围空白的4个三角形来看。
仔细观察，可以发现：周围空白的4个三角形分别占所在平行四边形（由2个小平行四边形组成）的一半，则4个三角形的面积等于周围8个小平行四边形面积的一半。
给予新学员的建议：对于图形进行纸上的多多操作并有所思考，画图尽可能的精确。
哈佛案例教学法：鼓励学员积极参与小组内的讨论，并积极发言进行回答，带动起课堂氛围。
参考答案：S=（99-19）÷2+19=59（cm2）【预习题分析——本期预习】（参考时间-7分钟）如图，在△ABC中，D是BC中点，E是AD中点，连结BE、CE，那么与△ABE等积的三角形一共有哪几个三角形？解析部分：求三角形的面积一般需要知道三角形的底和高，而本题这些条件都未知。
长方体与正方体等积变形及涂色问题 讲义
中小学1对1课外辅导专家武汉龙文教育学科辅导讲义授课对象授课教师授课时间2013-03-23 授课题目有关长方体、正方体的等积变形和涂色问题课型新授课使用教具教学目标1.熟练掌握三种情形下的等积变形问题的解法；2.会画图分析，并会解决有关正方体涂色的问题；3. 培养学生空间和空间想象能力。
教学重点和难点区分各种情形的等积变形，并能通过相应的方法解决问题。
参考教材教学流程及授课详案一、课本知识复习：1、长方体、正方体的表面积和体积公式；长方体的表面积及体积公式：方法1、设长方体的长、宽、高分别为a,b,c,那么长方体的表面积为：S=（a*b+a*c+b*c）*2长方体的体积为：V=abc方法2、假设长方体的底面积为s,高为h，那么长方体的体积为：V=sh正方体的表面积及体积公式：设正方体的边长为a,那么正方体的表面积为：S=6*a*a 正方体的体积为：V=a*a*a2、如何求不规则物体的体积。
求不规则物体的体积一般用：排水法。
即将物体放入盛有水的规则容器中，那么升高的那部分水所占的体积就是所求物体的体积。
二、新课引入：1、等积变形例题1：有一只长方体水槽，它的底面是边长为20厘米的正方形，有一时间分配及备注段横截面是80平方厘米的长方体钢材浸没在其中，当钢材从水槽中取出后，水桶内的水下降了3厘米，求这段钢材厂。
分析：根据题意可知钢材的体积相当于水槽内下降部分水的体积，即20*20*3=1200立方厘米，再根据横截面面积*长=体积求出这段钢材的长，即1200/80=15厘米。
解：20*20*3/80=15厘米答：这段钢材的长是15厘米。
练习1：有一个小金鱼缸，长4分米，宽2分米，水深2分米。
把一块石头浸没在水中，水面上升了1分米。
这块石头的体积是多少立方分米？4*2*1=8（立方分米）练习2：有一块棱长是4厘米的正方体铁块，浸没在一个长方体容器里的水中。
取出铁后，水面下降了0.5厘米。
这长方体容器的底面积是多少平方厘米？4*4*4/0.5=128（平方厘米）例题2：有一只装有水的长方体水槽，底面积为80平方厘米，水深8厘米。
等积变形PPT教学课件
加彩壶（清代）
壶盖呈扁圆形，壶身 呈扁圆柱形，口及底渐收， 有圈足，短流，把手上圆 下方。周身以深浅蓝珐琅 彩满绘花纹带。盖上绘花 卉、如意纹，壶口下部一 周是回纹，回纹外一周是 如意纹，腹中部一周绘花 卉卷草纹，近底部绘变形 莲瓣纹。花纹的颜色和紫 砂胎本色既对比又和谐， 在加彩装饰的紫砂器中堪 称佳作。
金银彩绘山水茶壶 （清代）
通体呈方形，直口，口以 下渐广，方圈足。曲形柄，流、 柄均凸起四棱，与壶体相呼应。 口上附盖与壶体相吻合。用紫 色砂泥制作，形体古朴大方。 腹部一面用金银彩绘山水、楼 阁和松柏。另一面为金彩篆书 御制诗：“御制 花港观鱼， 锦梭不籍。天孙掷练，影中堆 万。族云设兴，水仙作春。服 天边风，月傲清华。”共三十 四字。盖面用金彩彩描绘卷枝 纹作边饰，壶口边、足边刻络 绎纤细的回纹。底阳印“乾隆 年制”四字篆款。彩绘技法娴 熟，书意清逸典雅，篆书用笔 流畅，是紫砂器中的珍品。
4×3×2＝ 1.5 2πx
解得 x 3.4
经检验，符合题意。
答：圆柱的高为 3.4 厘米。
2.分析：
圆柱形瓶内装满水，则水的体积为:
( 5)2 18 112.5 (立方厘米)
2
圆柱形玻璃杯的容积为:
(6)2 10 90 (立方厘米)
2 因此：水的体积大于杯的容积。
可见：圆柱形玻璃杯装不下，圆柱 形瓶内仍剩余部分的水。
注壶 （清代）
壶为梅花形， 并有梅花形盖，盖 上塑二桃形钮。壶 流朝天，为半圆形。 梅花形矮圈足。底 心有一圆形戳记， 字模糊不清。整体 造型俊秀，小巧玲 珑。
彩绘山水注壶 （清代）
壶身似杯，有短平 流，无把。盖身、圈足 均作四瓣瓜棱形。盖顶 堆塑双桃，瓜棱腹两侧 用胭脂红、蓝、青、黄、 黑等多种色料绘山水画。 器形规整，制作讲究。 盖内及壶底均刻草书 “王伦”二字，底又印 有椭圆形款记，惜字迹 模糊，难以辨认。1959 年浙江杭州半山清乾隆 年间墓葬出土。
小学数学思维训练：等积变形模型,方法讲解
小学数学思维训练：等积变形模型，方法讲解一、等积变形模型与集合的关系1。
已知两个元素相乘的积与另外一个元素相乘的积相等，这两个元素组成一个集合(1)如果被乘数等于积，则为集合A; (2)如果被乘数小于积，则为集合B; (3)如果被乘数大于积，则为集合C。
二、等积变形模型与图形的关系1。
平移变形：只改变了图形的位置，不改变原来图形的形状和面积，所以是等积变形。
在这种变形中，对应点到坐标原点的距离都相等，相当于增加的都是相同的数值。
(1)画图像，确定运动后的新图像;(2)标出对应点，将所有对应点连接起来;对于相同的数值，记住它们的位置即可。
(3)根据对应点的距离和平移的角度，判断出新图像是否能完全覆盖旧图像。
如果能，说明平移得到的图像比旧图像扩大了相同的倍数，且图像上每条线段的长度都相等;如果不能，则可以猜测出是平移了几条线段。
(4)做集合B中点的平移。
三、等积变形模型与图形的转化关系1。
将几个图形按规律进行平移，构造出新的几何体，需要保证的是图形间的位置和大小关系不变，也就是位置和大小关系不变。
2。
如果图形的大小和位置改变了，那么它们的关系也发生了变化。
也就是说，平移之后的图形已经不再是原来的图形了，而是一个新的几何体。
3。
如果要将平移后的几何体按原来的样子恢复，也必须保证图形的大小和位置不变。
四、练习1。
下面是三个几何体的等积变形，请将其恢复原来的样子。
(1)(2)(3)2。
请设计一个图形的等积变形。
(在几何体中取出一个图形并进行等积变形)(1)(2)(3)3。
用20的平方减去7的平方的结果得4，求这个数是多少？2。
已知集合A=(a、 b、 c);若以a为圆心作圆，交ac的延长线于p、 q两点，连接p，则p、 q之间的部分是什么？。
2011年学而思春季第二讲(等积变形)
第二讲 等积变形一、复习基本面积公式二、三角形如何找高 1、找底边对边的顶点 2、过顶点作底边的垂线锐角三角形 直角三角形 钝角三角形 （以一直角边为底时， （以一钝角边为底时， 高是另一条直角边） 高在三角形外面）由三角形面积的计算公式：三角形面积=底×高÷2我们得到：三角形面积的大小，取决于三角形底和高的乘积。
（1）三角形的面积变化时，它的底和高之中至少有一个要发生变化。
（2）当三角形的底和高同时发生变化时，三角形的面积不一定变化。
（3）一个三角形在面积不改变的情况下，可以有无数多个不同的形状．三、常用结论1、等底等高的三角形面积相等。
2、平行线所夹的等底三角形面积相等。
如右图，ACD Δ和BCD Δ夹在一组平行线之间， 且有公共底边CD，那么BCD ACD S S ΔΔ=；反之，如果BCD ACD S S ΔΔ=，且A,B 在CD 的同侧，则可知直线AB 平行于CD。
S=ab3、梯形的两条对角线及两腰所夹的两个三角形面积相等。
由上一条结论，△ACD 与△BCD 的面积相等，同时减去 △OCD 的面积，余下的面积也应该相等，即BOD AOC S S ΔΔ=4、等高看底：若两个三角形的高相等，其中一个三角形的底是另一个三角形的几倍，那么这个三角形的面积也是另一个三角形面积的几倍．等底看高：若两个三角形的底相等，其中一个三角形的高是另一个三角形的几倍，那么这个三角形的面积也是另一个三角形面积的几倍．四、例题讲解 例1 如图，BD 长12厘米，DC 长4厘米，B，C，D 在同一条直线上。
（1）求三角形ABC 的面积是三角形ADC 面积的多少倍？ （2）求三角形ABD 的面积是三角形ADC 面积的多少倍？ 解析：（1）观察三角形ABC 与三角形ADC 有什么联系——同高！注意：怎样判断同高 ①有1个公共顶点②该顶点所对边共线根据“等高看底”，它俩的面积比其实就是底边的比，只是要注意底边的数据： 三角形ABC 的底边是BC=12+4=16(厘米)三角形ADC 的底边是DC=4厘米16÷4=4，三角形ABC 的面积是三角形ADC 面积的4倍（2）同理，三角形ABD 与三角形ADC 也是同高的，其面积比等于12÷4=3例2 如图，E 在AD 上，AD 垂直于BC,AD=12厘米，DE=3厘米，求三角形ABC 的面积是三角形EBC 面积的多少倍？解析：显然，三角形ABC 与三角形EBC 有相同的底边BC。
七年级数学课件等积变形
1.基本公式 （1）长方体体积= 长×宽×高 （2）正方体体积= 棱长×棱长×棱长
（3）圆柱体体积= 底面积×高
解决此类问题时，常用几何图形的面积、 周长、体积计算公式进行相关运算。
常用的相等关系是：
（1）形变积不变；
（2）形变积也变，但质量不变。
ห้องสมุดไป่ตู้
练习1：一个长、宽、高分别为20cm、10cm、 5cm长方体 ，容器装满水，把容器中的水注 入到长40cm、宽20cm的长方体容器中，问 这个长方体的高至少为多少？
练习2 某工厂锻造直径为60毫米，高20毫米的
圆柱形瓶内装水，再将瓶内的水倒入一个底 面直径6厘米、高厘米的圆柱形玻璃杯中， 能否完全装下？若装不下，那么瓶内水面还 有多高？若未能装满，求杯内水面离杯口的 距离。
练习3： 用一个底面半径为40mm，高为120mm
的圆柱形小玻璃杯向一个底面半径为100mm 的圆柱形大玻璃杯中倒水，倒了满满10小杯 水后，大玻璃杯的液面离杯口还有10mm,则 大玻璃杯的高度是多少？