轴向拉压习题答案2

第2章 轴向拉伸和压缩
主要知识点：（1）轴向拉伸（压缩）时杆的内力和应力；
（2）轴向拉伸（压缩）时杆的变形；
（3）材料在轴向拉伸和压缩时的力学性能；
（4）轴向拉压杆的强度计算；
（5）简单拉压超静定问题。

轴向拉伸（压缩）时杆的变形
4. 一钢制阶梯杆如图所示。

已知沿轴线方向外力F 1=50kN ，F 2=20kN ，各段杆长l 1=100mm ，l 2=l 3=80mm ，横截面面积A 1=A 2=400mm 2，A 3=250mm 2，钢的弹性模量E=200GP a ，试求各段杆的纵向变形、杆的总变形量及各段杆的线应变。

解：（1）首先作出轴力图如图4-11所示，
由图知kN F N 301-=，kN F F N N 2032==。

（2）计算各段杆的纵向变形
m m EA l F l N 5693
311111075.31040010200101001030---⨯-=⨯⨯⨯⨯⨯⨯-==∆ m m EA l F l N 5693
32222100.210
4001020010801020---⨯=⨯⨯⨯⨯⨯⨯==∆
(3)杆的总变形量m l l l l 53211045.1-⨯=∆+∆+∆=∆。

(4)计算各段杆的线应变 45
1111075.310
.01075.3--⨯-=⨯-=∆=l l ε 45
222105.208
.0100.2--⨯=⨯=∆=l l ε 45
333100.408
.0102.3--⨯=⨯=∆=l l ε
材料在轴向拉伸和压缩时的力学性能
5. 试述低碳钢拉伸试验中的四个阶段，其应力—应变图上四个特征点的物理意义是什么？
答：低碳钢拉伸试验中的四个阶段为弹性阶段、屈服阶段、强化阶段和颈缩阶段。

在弹性阶段，当应力小于比例极限σp 时，材料服从虎克定律；当应力小于弹性极限σe 时，材料的变形仍是弹性变形。

屈服阶段的最低点对应的应力称为屈服极限，以σs 表示。

强化阶段最高点所对应的应力称为材料的强度极限，以σb 表示，它是材料所能承受的最大应力。

m m EA l F l N 56
93
33333102.3102501020010801020---⨯=⨯⨯⨯⨯⨯⨯==∆
轴向拉压杆的强度计算
6. 如图所示三角架，杆AB 及BC 均为圆截面钢制杆，杆AB 的直径为d 1=20mm ，杆BC 的直径为d 2=40mm ，设重物的重量为G=20k N ，钢材料的[σ]=160MPa ，问此三角架是否安全？
解：（1）求各杆的轴力
假定AB 、CB 两杆均受拉力，对B 点作用力分别为F 1、F 2。

取节点B 为研究对象，作出其受力图如右图所示，
由平衡方程 030cos ,
0211
=︒--=∑=F F F n i ix （a ） 030sin ,021
=︒--=∑=F G F n i iy
（b ） G=20kN 为已知，由(b)式可解得kN F 402-=，代入(a)式解得kN F 6.341=。

故圆截面钢制杆AB 受到kN F N 6.341=的拉力，BC 杆受到kN F N 402=的压力。

（2）两杆横截面上的应力分别为 a N N d F A F MP =⨯⨯=⨯==1104
020.0106.34423
211111ππσ（拉应力） a N N d F F MP =⨯⨯=⨯==8.314
040.01040423
222222ππσ（压应力） 由于][],[21σσσσ<<，故此三角架结构的强度足够。

7. 如图所示三角形构架ABC ，由等长的两杆AC 及BC 组成，在点C 受到载荷G=350kN 的作用。

已知杆AC 由两根槽钢构成，[σ]AC =160MPa ，杆BC 由一根工字钢构成[σ]BC =100MPa ，试选择两杆的截面。

解：由于已知[σ]AC =160MPa 、[σ]BC =100MPa ，故只要求出AC 杆
和BC 杆的轴力F AC 和F BC ，即可由AC C AC F ][σA ≥
A ，BC BC BC F ][σ≥A 求解,确定两杆的截面。

（1） 求两杆的轴力
取节点C 研究，受力分析如图4-13b ，
由030cos 30cos ,
01
=︒-︒-=∑=BC AC n i ix F F F 得：BC AC F F -= （a ） 由030sin 30sin ,
01
=-︒-︒=∑=G F F F BC AC n i iy 得：G F F BC AC 2=- （b ） 联立(a)、（b ）二式得到F AC =G=350kN(拉)、F BC = -F AC = -350kN(压)。

故AC 杆受拉、BC 杆受压，轴力大小为kN F F NBC NAC 350==。

（2） 设计截面，确定槽钢、工字钢号数。

分别求得两杆的横截面面积为
22426
39.21109.211016010350][cm m m F AC NAC AC =⨯=⨯⨯=≥A -σ 2242633510351010010350][cm m m F BC NBC BC
=⨯=⨯⨯=≥A -σ （3） AC 由两根槽钢构成，故每根槽钢横截面面积为
2112
1cm AC ≥A ，查表后确定选用10号热轧槽钢。

杆BC 由一根工字钢构成，故横截面面积为235cm BC ≥A ，查表后确定选用20a 号工字钢。

8. 刚性杆AB 由圆截面钢杆CD 拉住，如图所示，设CD 杆直径为d=20mm ，许用应力[σ]=160MP a ，求作用于点B 处的许用载荷F 。

解：（1）先求出DC 杆的轴力F N 与许用载荷F 的关系，
设DC 杆对刚性杆AB 拉力为F DC ，如右图所示，
将研究刚性杆AB 对A 点列平衡方程
05.21sin =⨯-⨯F F DC α， 75.0tan =α 故F F F DC 17.4sin /5.2==α。

DC 杆对刚性杆AB 的拉力为F DC ，在数值上等于DC 杆的轴力F N ，
即 F F N 17.4= （a ）
（2）求许可的最大载荷F 将kN N A F D C N 2.5010160020.014.3][62=⨯⨯⨯=≤σ，代入(a)式得到许可的最大载荷kN F F N 1217.4/==。

9. 如图所示结构中，梁AB 可视为刚体，其弯曲变形可忽略不计。

杆1为钢质圆杆，直径d 1=20mm ，其弹性模量E 1=200GPa ，杆2为铜杆，其直径d 2=25mm ，弹性模量E 2=100GPa ，不计刚梁AB 的自重，试求：
（1） 载荷F 加在何处，才能使刚梁AB 受力后保持水平？
（2） 若此时F =30kN ，求两杆内横截面上的正应力。

图5-10
解：（1）为了使刚梁AB 受力后保持水平，要求杆1的变形1
1111A E l F l N =∆等于杆2的变形2
2222A E l F l N =∆，即： =⨯⨯⨯⨯291020.0414.3102005.1N F 2
92025.04
14.3101001⨯⨯⨯⨯N F 整理得到杆1、2轴力之间的关系为： 21853.0N N F F = (a)
设杆1、2对刚梁AB 的拉力为21F F 、，如图5-9所示。

21F F 、、F 构成平行力系，有独立的平衡方程：
⎩⎨⎧⨯==+)(2)(221c F Fx b F F F
拉力21F F 、分别与21N N F F 、在数值上相等，由式（a ）、（b ）、（c ）得到：
m x 08.1=,F F F F F F N N 540.0461.02211====，
(2) 当kN F 30=时，两杆内横截面上的正应力。

a a N MP P d F d F 9.43020.04
14.31030461.04461.042
321211
1=⨯⨯⨯===ππ
σ a a N MP P d F d F 0.33025.01030540.0540.02
3
222222=⨯⨯⨯==⨯=πσ
简单拉压超静定问题
10．横截面面积为A =10cm 2的钢杆，其两端固定，杆件轴向所受外力如图所示。

试求钢杆各段内的应力。

解：假设A 、B 处的约束反力如图5-10所示，
据此列出平衡方程：
0150100=+--B A F kN kN F （a ）
由于上式中含有两个未知量，不能解出，还需列
一个补充方程。

由于约束的限制，杆件各段变形后总长度保持不变，
故变形谐调条件为0=∆+∆+∆DB CD AC l l l ，
由此，根据胡克定律，得到变形的几何方程为
04.0)150100(3.0)100(5.0=⨯--+⨯-+⨯EA
kN kN F EA kN F EA F A A A 整理后得01302.1=-kN F A ，即kN F A 3.108=，代入（a ）式得到kN F B 7.141=。

钢杆各段内的应力
a a A NAC AC MP P A F A F 3.1081010103.1084
3=⨯⨯===-σ a a A NCD CD MP P A F A F 38101010100103108101004
333..=⨯⨯-⨯=⨯-==-σ a a A NDB DB
MP P A F A F 7141101010150101001031081015010100433333..-=⨯⨯-⨯-⨯=⨯-⨯-==-σ。