连续函数的延拓定理
解的延拓-PPT精品
y(x),在定义区间向 一右 段 . 延长了
即方 (3.1)满 程 (2足 )的y 解 *(x)为y 解 (x)在定
区x 间 x0h0的向右 , 方延拓 即将解延拓到 x0较 h0大 x区 x0h间 0h1上,
注 如果函数 f ( x, y )在整个 xy 平面上有定义 , 连续和有界 , 同时存在关于 y的一阶连续 偏导数 , 则方程 (3.1)的解可 以延拓到区间 ( , ).
作业
1
研究方程
dy1y2满足y条 (0)件 1, dx
的解存在区间 .
对定义2也可如下定义
对定义在G上 平函 面 f(x,数 区 y)若 , 域 对 (x1,y1)G, 矩R 形 1{x(,y)| xx1a1,yy1b1}G及常 L1(与 x1,y1,a1,b1有)关 使 , 对 (x,y')(,x,y'')R1有
f(x,y')f(x,y")L 1y'y" 恒,则 成 f(x 称 ,立 y )在 G 内y 关 满于 足 Li局 p条 s.c 部
§3.2 解的延拓
问题提出
对于初值问题
dy dx
f (x, y),
R:xx0a,yy0b,
y ( x0 ) y0
上节解存在唯一 告性 诉定 我,在 理 们一定条, 件下
它的解在 x这 区 x0 h 间 h 里 上 m存 a i,b n 在 )M (,,唯 M 一fa (x,y x )
此时把不可 义延 区 (1,拓 间 1)称 解为 的一 定个 .
2 局部李普希茨(Lipschitz)条件
复分析中的留数定理和解析延拓理论
复分析中的留数定理和解析延拓理论复分析是数学领域中研究解析函数和复积分的分支，留数定理和解析延拓理论是复分析中的重要概念和工具。
本文将介绍留数定理和解析延拓理论的定义、基本原理以及应用。
一、留数定理1. 定义在复平面上，假设f(z)是一个解析函数，除去有限个点处存在极点（即函数在这些点处的值趋近于无穷大），留数定理给出了通过计算这些极点的留数（即在每个极点处的系数）来计算函数的复积分的方法。
2. 留数的计算留数的计算方法有多种，其中一种常用的方法是利用洛朗展开式。
假设f(z)在某个包含极点a的圆环区域内解析，则f(z)可以表示为洛朗级数的形式:f(z) = ∑[n=0到∞]Cn(z-a)^n + ∑[n=1到∞]Dn(z-a)^(-n)其中，Cn为f(z)在a处的留数。
通过计算Cn即可得到留数的值。
3. 应用留数定理在数学和物理学等领域有广泛的应用，例如在计算复积分、计算曲线围成的区域面积、计算无穷级数等方面都能够得到应用。
此外，留数定理还与复积分的辐角原理、复数的幅角原理等概念紧密相关，为复分析中的其他定理提供了基础。
二、解析延拓理论1. 定义解析延拓理论是复分析中研究解析函数定义域的扩展的理论。
在复平面上，解析延拓理论可以通过研究解析函数在定义域边界处的性质来对解析函数进行定义域的扩展，从而得到更广泛的函数定义域。
2. 边界函数和解析延拓在解析延拓理论中，边界函数是指解析函数在定义域边界处的性质的函数表示。
通过研究边界函数的性质，可以将解析函数的定义域延拓到更广的范围内。
3. 应用解析延拓理论在数学研究中有重要的应用，例如在数论中的黎曼函数，通过对黎曼函数的解析延拓研究可以得到黎曼猜想的一些结论。
此外，解析延拓理论还在物理学领域例如量子力学中的应用中发挥着重要的作用。
综上所述，复分析中的留数定理和解析延拓理论是该领域的重要概念和工具。
留数定理通过计算解析函数在极点处的留数来计算复积分，解析延拓理论通过研究解析函数定义域的边界函数来对函数进行定义域的扩展。
常微分方程第三章基本定理
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线性化定理
总结词
线性化定理是将非线性常微分方程转化为线性常微分方程的方法，从而可以利用线性方程的解法来求解。
详细描述
线性化定理提供了一种将非线性常微分方程转化为线性常微分方程的方法。通过适当的变换，可以将非线性问题 转化为线性问题，从而可以利用线性方程的解法来求解。这个定理在解决复杂的非线性问题时非常有用，因为它 简化了问题的求解过程。
02
CATALOGUE
常微分方程的稳定性
稳定性定义
稳定性的定义
01
如果一个常微分方程的解在初始条件的小扰动下变化不大，那
么这个解就是稳定的。
稳定性的分类
02
根据稳定性的不同表现，可以分为渐近稳定、指数稳定、一致
稳定等。
稳定性判别方法
03
可以通过观察法、线性化法、比较法等方法来判断常微分方程
的解是否稳定。
龙格-库塔方法
总结词
龙格-库塔方法是常微分方程数值解法中一种更精确的 方法，它通过多步线性近似来逼近微分方程的解。
详细描述
龙格-库塔方法的基本思想是利用已知的初值和微分方 程，通过多步线性插值来逼近微分方程的解。具体来 说，龙格-库塔方法通过递推公式来计算微分方程的近 似解，公式如下：(y_{n+1} = y_n + h f(t_n, y_n) + frac{h^2}{2} f(t_{n-1}, y_{n-1}) - frac{h^2}{2} f(t_{n-2}, y_{n-2})) 其中 (h) 是步长，(t_n) 和 (y_n) 是已知的初值，(f) 是微分方程的右端函数。
存在唯一性定理表明，对于任意给定的初值问题，存在一个唯一的解，该解在某个区间内存在并连续 。这个定理是常微分方程理论的基础，为后续定理的证明提供了重要的依据。
3-21 3-26 -解的延拓、解对初值和参数连续性定理、可微性定理
3.2 一阶微分方程解的延拓和解对初值和参数的连续依赖性定理(Extension of solution and continuous dependence of solution with respect toinitial value or parameter of ODE )[教学内容] 1. 介绍Picard 定理的证明过程; 2.介绍微分方程初值问题解的延拓定理; 3. 介绍微分方程解对初值和参数的连续依赖性定理.[教学重难点] 重点是知道并会运用微分方程初值问题的解的存在唯一性定理、知道解最大存在区间的特点以及解对初值和参数连续性定理条件和结论，难点是如何引入了解定理的证明思路和过程[教学方法] 自学1、2、3；讲授4、5课堂练习 [考核目标]1. 知道Picard 定理的证明思路;2. 知道初值问题解的最大存在区间的特点;3. 知道微分方程初值问题解对初值和参数连续依赖性和可微性定理..1. Picard 定理的表述（见上次课讲义）与证明：（1）将初值问题转化为积分方程解的问题：⎪⎩⎪⎨⎧==00y )y(x y)f(x,dx dy ，⎰+=x x 00y(x ))dx f(x ,y y(x )并说明两方程为等解方程.（2）构造函数集合}上连h]x h,-[x 在{E 00续φ(x)+=，其中0}Mbmin{a,h >=. 构造映射⎰+=→xx 00y(x ))dx f(x ,y F( E,E :F φ(x))，验证h]x h,C[x ))((F 00+-∈x φ且]b y b,[y ))((F 00+-∈x φ.（3）构造函数列)}({x n φ，其中 )),((F )()),((F )(,)(120100x x x x y x φφφφφ===，验证)}({x n φ在h]x h,[x 00+-连续且一致收敛，记)(x φ表示)}({x n φ的极限函数.（4）验证函数列(x ))}{f(x ,n φ一致收敛，由求积分和极限交换次序定理知，)(x φ为积分方程的一个连续解.（5）运用Gronwall 定理证明积分方程的解是唯一的. 2. 注解：（1）两个函数之间的距离如何刻画？y=f(x)y=g (x )2.0 1.5 1.00.50.5 1.00.51.01.52.0定义|g(x)f(x)|max g(x)f(x)h]x h,[x x 00-=-+-∈，从图像来看这样刻画是合理的！（2）Picard 函数列与精确解的误差估计：h]x h,[x x ,h 1)!(n ML )()(001n n +-∈+≤-+x x n φφ.（3）柯西定理及其特殊情形，线性方程解的存在唯一性的条件. （4）一阶隐方程解的存在唯一性定理（参见教材P86定理2） 3. 微分方程初值问题的Picard 近似解计算和误差估计 例42. 方程22y x dxdy+=定义在矩形域1] 1,[1] 1,[D -⨯-=，试利用解的存在唯一性定理确定经过(0, 0)的解的存在区间，并求出在此区间上与精确解误差不超过0.05的近似解的表达式.（参见教材P87例题1）作业35. 教材P88，习题3，习题10.3. 解的延拓定理（1）问题表述： 由解的存在性定理知，⎪⎩⎪⎨⎧==00y )y (x y)f(x,dx dy的解为φ(x )y =至少在h]x h,[x 00+-上存在，那么上述解函数最大的存在区间是什么呢？（2）理解教材P90，图(3.2)，知道饱和解. （3）解的延拓定理及其参见教材P91和P92.考察初值问题⎪⎩⎪⎨⎧==00y )y(x y)f(x,dx dy，其中y)f(x ,在开区域内连续，且在G 内对y 满足局部的Lipschitz 条件，设位于G 内一点)y ,(x 00出发的解φ(x )y =的最大存在区间为),(βα，则),(βα具有如下特征：当+→αx ，))(,(x x ϕ趋于G 的边界；当-→βx ，))(,(x x ϕ趋于G 的边界. 特别地，若G=2R ，且方程的任一解都有界，则方程任一解的最大存在区间为),(∞+-∞.例43. （1）讨论方程21y dx dy 2-=分别通过点3)2,(ln (0,0),-的解的最大存在区间. （2）讨论方程1t 2dt dx 2-=分别通过点1) (2, 1), (0,的解的最大存在区间.（3）讨论方程y 2dxdy-=过点1) (0,的解最大存在区间. 解：（1）参见教材P92例题1. (2) 两个解分别为1t 1-1,|1t 1t |ln x <<++-=和1t 3,ln 1|1t 1t |ln x >+++-=. (3) 右端函数y 2y)f(x,-=的存在域为0}y |y){(x ,≥. 方程的通解为0y ,x )(c y 2=-=过点1) (0,的解为2x)(1y -=，该解向左可以延伸到∞-，向右延伸到0y 1,x →→；但注意到∞<<∞-=x 0,y ，因此，该解向右可以延伸到∞+.作业36. （1）考察⎪⎩⎪⎨⎧==00x )x(t x)f(t,dt dx，若x )f(t,在整个Otx 平面上有定义，连续且有界，同时对变量x 存在一阶连续偏导数，则方程的任一解的最大存在区间为) ,(∞+-∞.（2）讨论方程22y x 1dx dy +=和方程2y 1dxdy +=解的最大存在区间.4. 微分方程解对初值的连续性和可微性定理（1）问题表述：由解的存在性定理知，⎪⎩⎪⎨⎧==00y )y(x λ)y,f(x,dx dy的解为φ(x )y =至少在h]x h,[x 00+-上存在，为了表示解与初值和参数λ相关，将上述解函数记为),y ,x φ(x ,y 00λ=. 问解函数),y ,x φ(x ,00λ是否对变量λ ,y ,x 00连续，是否可导，以及导函数例如y ∂∂ϕ的表达式？ 考察一个具体的例子：⎪⎩⎪⎨⎧==00y )y(x y λdx dy 的解为)x λ(x 00e y y -=，这就是一个关于变量λ) ,y , x (x ,00的多元函数λ),y ,x (x ,y 00ϕ=. （2）回答：教材P95 定理，P99定理，P100定理. （3）形式推导出0x ∂∂ϕ，0y ∂∂ϕ，λ∂∂ϕ满足的方程和表达式.（一）、⎪⎩⎪⎨⎧==00y )(x )f(x,dx d ϕϕϕ，对上面两式两边关于0y 求导得到，⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=∂∂∂∂⋅∂∂=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂1)(x y y )f(x,y dx d 0000y ϕϕϕϕ，求解上述方程初值问题得到，⎰=∂∂∂∂x0x dx y)f(x,0e y ϕϕ.（二）、⎪⎩⎪⎨⎧==00y )(x )f(x,dx d ϕϕϕ，对上面两式两边关于0x 求导得到，⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=∂∂∂∂⋅∂∂=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂=)y ,f(x x x y )f(x,x dx d 00000x x ϕϕϕϕ，说明第二式：0000y λ),y ,x ,(x =ϕ， 关于0x 求导得到)y ,f(x xx 0,x x00x x 00x x 0-=∂∂-=∂∂=∂∂+∂∂==ϕϕϕϕ.求解上述方程初值问题得到，⎰-=∂∂∂∂x0x dx y)f(x,000e )y ,f(x x ϕϕ.例44. 假设函数Q(x ) P(x ),为区间b] [a,上连续函数，)y ,x (x ,y 00ϕ=为线性方程Q(x )y P(x )dxdy +=的解，)y ,x ,(x y 0000ϕ=. 试求(1)00y ,x ,x ∂∂∂∂∂∂ϕϕϕ; (2) 用常数变易公式求出方程的解函数再通过直接求导法来求出00y ,x ,x ∂∂∂∂∂∂ϕϕϕ. 解：（1）由公式有 ,))eQ(x )y P(x ())eQ(x )P(x (xx0x xx 0P(x)dx000P(x)dx0x x 00⎰+-=⎰+-=∂∂=ϕϕ,e y x0x P(x)dx 0⎰=∂∂ϕQ(x )y P(x )x+=∂∂ϕ. （2）由常数变易公式得到，C)Q(t)dt e(e(x)x x P(s)dsP(t)dtt0x x0x +⎰⎰=⎰-ϕ.再由初值条件确定出0y C =. 因此，)y Q(t)dt e(e)y ,x (x,0xx P(s)dsP(t)dt000t0x x0x +⎰⎰=⎰-ϕ.Q(t)dt )P(x e )Q(x e y Q(t)dt e )P(x (e x x x 0P(s)ds0P(t)dt 0x x P(s)ds 0P(t)dt0tx x 0x 0t 0x xx ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎰+-⎰+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎰-⎰=∂∂⎰⎰--ϕ⎰+-=∂∂x0x P(x)dx0000))e Q(x y )P(x (x ϕ； ⎰=∂∂x0x P(x)dxe y ϕ ； Q(x)e e y Q(t)dt e P(x) e x x0x x0x 0t0x x0x P(s)ds P(t)dt 0x x P(s)ds P(t)dt⎰⎰+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎰⎰=∂∂--⎰ϕ；Q(x ) P(x )x+=∂∂ϕϕ.作业37. 给定方程⎪⎭⎫⎝⎛=x y sin dx dy ，试求00000),,(,),,(y y x x y x y x x y ∂∂∂∂在0,100==y x 时的表达式.附录：。
第二章基本定理第二讲解的延拓
第⼆章基本定理第⼆讲解的延拓第⼆讲解的延拓（3学时）教学⽬的：讨论解的延拓定理。
教学要求：理解解的延拓定理，并⽤解的延拓定理研究⽅程的解教学重点：解的延拓定理条件及其证明教学难点：应⽤解的延拓定理讨论解的存在区间。
教学⽅法：讲练结合教学法、启发式相结合教学法。
教学⼿段：传统板书与多媒体课件辅助教学相结合。
教学过程：解的存在唯⼀性定理的优点是:在相当⼴泛的条件下,给定⽅程:),(y x f dxdy =有满⾜初值条件00)(y x y =的唯⼀解存在,但也有缺点,即它是局部的,它只能肯定这种解在0x x =附近的⼀个区间),min(,||0mb a h h x x =≤-上存在,有时所得的区间很⼩,因⽽相应的微分曲线也只是很短的⼀段,如初值问题 22(3.1)(0)0dy x y dx y ?=+ =?当定义域为R:11≤≤-x 时,解存在的唯⼀区间.21}21,1min{||==≤h x 当定义域为R:21≤≤-x 时,解的顾在唯⼀区间.41}41,1min{||==≤h x 这样随着),(y x f 的定义域的增⼤,解存在的唯⼀区间反⽽缩⼩,这显然是我们不想看到的,⽽且实际要求解存在下载向尽量⼤,这就促使我们引进解的延拓概念.扩⼤解存在不在此区间.1．局部利普希茨(Lipschitz )条件. 若函数),(y x f 在区域G 内连续且对G 内的每⼀点P,有以P 为中⼼完全含于G 内的闭矩形Rp 存在,在Rp 上),(y x f 在G 内关于y 满⾜Lipschitz 条件,(对不同的点,域Rp 的⼤⼩和常数L 尽可能不同),则称 ),(y x f 在G 内对y 满⾜局部Lipschitz 条件.2. 解的延拓定理. 如果⽅程(3.1)在奇函数),(y x f 在有界区域G 中连续,且在G 内关于y 满⾜局部Lipschitz 条件,那么⽅程(3.1)的通解过G 内任何⼀点(00,y x )的解)(x e y =可以延拓.直到点))(,,(x x ?任意接近G 的边界.以向X 增⼤的⼀⽅延拓来说,如果)(x y ?=它的延拓到区间m x x ≤≤0时.则当m x →时,))`(,(x x ?趋于区间G 的边界.上节我们给出了初值问题(2.2)解的存在唯⼀性定理.应该注意到，这个定理的结果是局部的，也就是说解的存在区间是“很⼩”的.通常⽅程(2.1)的右端函数f (x ,y )存在区域D 可能是很⼤的，这样，我们⾃然要讨论，此时初值问题(2.2)的解的存在区间是否可以扩⼤.2.3.1 延展解、不可延展解的定义定义2.1 设1()y x ?=是初值问题（2，2）在区间 1I R ?上的⼀个解，如果（2.2）有⼀个在区间 2I R ?上的解 2()y x ?=，且满⾜(1) 12,I I ?(2)当 1x I ∈时， 12()(),x x ??≡则称解 1()y x ?=，1x I ∈是可延展的，并称 2()x ?是 1()x ?在2I 上的⼀个延展解. 否则，如果不存在满⾜上述条件的解 2()x ?，则称 1x I ∈，1()x ?是初值问题(2.2)的⼀个不可延展解(亦称饱和解)。
Cantor集、连续延拓定理
Cantor集、连续延拓定理Cantor集对[0,1]区间三等分, 去掉中间⼀个开区间, 然后对留下的两个闭区间继续三等分,去掉中间的开区间, 不断做下去, 最后留下来的点集称为Cantor 三分集, 记为C.它的性质(1) 分割点⼀定在Cantor集中,(2) C的"长度"为0，去掉的区间长度和$$\sum{\infty}_{n=1}\frac{1}{3n}\cdot 2^{n-1}=\frac{\frac{1}{3}}{1-\frac{2}{3}}=1.$$(3) C没有内点证明：对任意x∈C, x必被含于在第n次时留下的2n个长为1/3n的互不相交的某个闭区间I(n)i中,∀ε>0,1/3n<ε,I(n)i⊂B(x,ε),但由Cantor集的做法，要继续三等分去掉中间的⼀个开区间, 从⽽B(x,ε)内⾄少有⼀点不属于C, 所以x不可能是C的内点.(4) C中的点都是聚点, 从⽽没有孤⽴点.数的进制⼗进制⼩数：相应于对[0,1]⼗等分⼆进制⼩数：相应于对[0,1]⼆等分说明：对应于[0,1]⼗等分的端点有两种表⽰，如0.2000000..., 0.1999999...(⼗进制⼩数)(5) C的基数为ℵ,(利⽤三进制证明)证明思路：把[0,1]区间中的点都写成三进制⼩数, 则Cantor集的做法中去掉的点为⼩数位出现1的数的全体, 从⽽Cantor集为⼩数位只是0，2的点的全体，做对应X∈P→x=∞∑k=1a k3k(ak=0,2).说明：三等分的端点有必要特殊考虑, 因为它有两种表⽰,0.100000...=0.022222..., 0.200000...=0.122222...对x∈C, 令A={k|a k=0},则A⊂N+.对应关系x→A构成了C到P(N+)的⼀⼀映射.第⼀章集合与点集第六节点集间的距离定义1.16 设E⊂R n, f是定义在E上的实值函数, x0∈E, 若∀ε>0,∃δ>0,使得x∈E∩B(x0,δ)时候，|f(x)−f(x0)|<ε.称为f在x0点处连续.注：若f在E上连续, ⽽E0⊂E, 则f在E0连续.定理1.22 若E1,E2是闭集, f定义于E1∪E2上, 且分别在E1,E2上连续, 则f相对于E1∪E2也⼀定连续.证明：若x∈E1∪E2. 不妨设它为聚点, 因为E1,E2为闭集, 则E1∪E2内任⼀以x0为极限的点列{y k}只能有两种情况:其⼀, 从某⼀项起, 全部y k属于E1或E2(相应x0∈E1或x0∈E2.)容易证明.其⼆, {y k}由两个分别属于E1,E2的⽆穷⼦列组成, 此时, x0∈E1∪E2, 因为lim因此\lim\limits_{k\to\infty} f(y_k)=f(x_0).定理1.23 设f是\mathbb{R}^n中有界闭集E上的连续函数, 则(1) f在E上有界(2) f在E上取得最⼤值和最⼩值(3) f在E上⼀致连续定理1.24 设E\subset\mathbb{R}^n, f_1,f_2,\cdots是E上的连续函数列, 且k\to\infty时, \{f_k\}在E上⼀致收敛到函数f, 则f在E上连续.例20 对于任意的x_0\in\mathbb{R}^n, E\subset\mathbb{R}^n, 定义x_0到E的距离为d(x_0,E)=\inf\{d(x_0,y)|y\in E\}.证明：(1)若E是闭集, 则存在y_0\in E, 使得d(x_0,y_0)=d(x_0,E).对于任意点集A, B, 定义A, B之间的距离为d(A,B)=\inf\{d(x,y)|x\in A,y\in B\}.证明：(2)若A和B都是闭集, 其中⾄少有⼀个有界, 则存在x_0\in A, y_0\in B, 使得d(x_0,y_0)=d(A,B).集合的简单写法：{x\in E|f(x)>a}:=E(f>a).定理1.25 若函数f在E上连续, 则对任意的实数a, 存在开集G_a\subset\mathbb{R}^n, 使得E(f>a)=G_a\cap E.也存在开集H_a\subset\mathbb{R}^n, 使得E(f<a)=H_a\cap E.证明：对任意x\in E(f>a), 由于f在E上的点x连续, 必存在\delta=\delta(x,a)>0,使得y\in E\cap B(x,\delta)时, f(y)>a.因此若令G_a=\bigcup_{x\in E(f>a)} B(x,\delta), 则G_a是开集, 并且E(f>a)=G_a\cap E.同理可证, H_a.推论1 若函数f在E上连续, 则对任意的实数a, 存在闭集F_a\subset\mathbb{R}^n, 使得E(f\geq a)=F_a\cap E.也存在开集K_a\subset\mathbb{R}^n, 使得E(f\leq a)=K_a\cap E.推论2 若f在开集E连续, 则对于任意实数a, E(f>a)和E(f<a)是开集, 若函数f在闭集E上连续, 则对于任意实数a, E(f\geq a), E(f\leq a)是闭集.定理1.26 若f是\mathbb{R}^n的函数, 则对于任意实数a, E(f>a), E(f<a)总是开集, 则f在\mathbb{R}^n上连续. (开集与开集的交是开集，闭集与闭集的交为闭集）连续延拓定理引理：若F_1,F_2是\mathbb{R}^n中的两个不交的⾮空闭集, 则有连续函数f(x), 使得(1) 0\leq f(x)\leq 1(x\in\mathbb{R}^n);(2) F_1=\{x: f(x)=1\}, F_2=\{x: f(x)=0\}.证明：构造函数f(x)=\frac{d(x,F_2)}{d(x,F_1)+d(x,F_2)}, x\in\mathbb{R}^n.定理1.27 连续延拓定理：若F是\mathbb{R}^n中的闭集, f(x)是F上的连续函数, 且|f(x)|\leq M(x\in F),则存在\mathbb{R}^n上的连续函数g(x)满⾜|g(x)|\leq M, g(x)=f(x), x\in F.证明：把F分成三个点集：A=\{x\in F:M/3\leq f(x)\leq M\},B=\{x\in F:-M\leq f(x)\leq -M/3\},C=\{x\in F:其他\}.并作函数g_1(x)=\frac{M}{3}\cdot\frac{d(x,B)-d(x,A)}{d(x,B)+d(x,A)},x\in\mathbb{R}^n.Loading [MathJax]/jax/element/mml/optable/BasicLatin.js。
解的延拓,饱和解
P’2
R1
定理3.3（解的延拓定理）如果f(x,y)是定义域 D上的连续函数，并 满足局部李氏条件，则过D内任意点的饱和解存在，令饱和解为 (x) x a 0或x b 0 时，点 ( x, ( x)) 无限接近于D的边界。 注. 饱和区间可以是有界区域，也可以是无界区域。 如果D是无界区域，在延拓定理的条件下 (x) 向x 增大的方向 的延拓有两种可能： （1）可以延拓到区间 [ x0, ) （2）只能延拓到区间 [ x0, d ] ，其中d 是有限数，
（1）经过(0, 0) 的饱和解和饱和区间。 （2）经过 （ln2, -3）的饱和解和饱和区间。
解: (1)定义域为全平面，关于y的偏导数连续，因此经过(0,0) 的 x 解 1 e 存在且唯一。 y x
1 e 解的存在区间为（-∞，+∞）
饱和区间为（-∞，+∞）
（2）经过 （ln2, -3）的解为
1 ( x) 2 ( x)Βιβλιοθήκη 2 ( x)是解
1 ( x) 一个延拓。
P2 P1(x0,y0)
R2
今后设f(x,y)是定义域 D上的连续函数，并满足局部李氏条件。
R’2 如果f(x,y)是定义域 D上的连续函数，并满足局部李氏条件，则过 D内任意点的唯一解必可延拓至 D 的边界，这种延拓到了“尽头 ”的解称为饱和解，饱和解对应的区间称为饱和区间。饱和区间 是开集
向左可以无限延拓，因此饱和区间为 当 x0 时向左只能延拓到 x 向右可以无限延拓，因此饱和区间为
当y0=0时：唯一解为y=0,它是饱和解，饱和区间为 (,)
(, )
x
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第12讲HahnBanach延拓定理
1第12讲 Hahn －Banach 延拓定理教学目的掌握线性泛函延拓定理的证明思想及其推论。
授课要点1、 实空间线性泛函的控制延拓定理。
2、 复空间线性泛函的控制延拓定理。
3、保范延拓定理。
4、 延拓定理的推论及其意义。
对于一个线性赋范空间来说，对它上面的线性泛函知道得越多，对这个空间本身就了解得越多（参见第9讲思考题1）. 有时候为了某种目的，要求有满足一定条件的线性泛函存在，Hahn －Banach 定理为这样的线性泛函的存在提供了保证.定义1 设()D T 与()1D T 分别是算子T 与1T 的定义域，若()()1D T D T ⊂，并且1,T x Tx =()x D T ∀∈，则称算子1T 是T 的延拓.定义2 线性空间X 上的实泛函()p x 称为是次可加的，若()()()p x y p x p y +≤+，,x y X ∀∈称为是正齐性的，若()()p x p x αα=，x X ∀∈，0α≥.显然线性空间上的每个半范数都是次可加正齐性泛函.定理1（Hahn －Banach ） 设X 是实线性空间，:p X R →是X 上的正齐性次可加泛函，M X ⊂是线性子空间，则（1）对于M 上定义的每个线性泛函0f ，存在0f 从M 到X 的延2拓f ：X R →，()()0f x f x =，x M ∀∈ （2）若()()0f x p x ≤，x M ∀∈，可选取f 满足()()f x p x ≤，x X ∀∈ ()1 证 明 1设M X ≠，取0\x X M ∈，记'M =span {}0,x M ，则x M ′′∀∈，0x x tx ′=+，其中x M ∈，t R ∈. 此分解式是唯一的，否则另有110x x t x ′=+，1x M ∈，则()110x x t t x −=−−，若1t t ≠，则101x x x t t −=−M ∈，与0x 的取法矛盾，于是1t t =，并且1x x =. 对于任何常数c ，令()()0f x f x tc ′=+，0x x tx ′∀=+.则容易验证f 是M ′上的线性泛函. 实际上f 是0f 从M 到M ′的延拓，因为当x M ′∈时，0t =，从而()()0f x f x ′=.2 我们将证明当x M ∀∈，()()0f x p x ≤时，适当选择c ，可使()()f x p x ′′≤，x M ′′∀∈.实际上,x y M ∀∈，由于()()()()000f x f y f x y p x y +=+≤+()()00p x x p x y ≤−++，即()()()()0000f x p x x p x y f y −−≤+−，故存在c 满足()()00sup x Mf x p x x c ∈−−≤()()00inf y M p x y f y ∈≤+−， ()23我们将取这样的c 作成所要的线性泛函.此时若0x x tx ′=+，0t ＞，由()()00p x y f y c +−≥对于每个y M ∈成立，用1t x −代替y ，则()()1100p x t x f t x c −−+−≥，从而()()()()00f x f x tc p x tx p x ′′=+≤+=.若0x x tx ′=+，0t <，由()()00f x p x x c −−≤对于每个x M ∈成立，用1t x −−代替x ，则()()1100f t x p t x x c −−−−−−≤，即()()00f x p x tx tc −++≥. 从而()()()()00f x f x tc p x tx p x ′′=+≤+=.当0t =时，显然()()()()0f x f x p x p x ′′==＜. 故f 是0f 从M 到M ′上满足()1的延拓。
关于解的延拓定理之注解
关于解的延拓定理之注解韩茂安;李继彬【摘要】在数学专业的常微分方程课程里有关解的存在唯一性、解的延拓和解对初值与参数的连续性构成了微分方程最基本的理论,这部分内容既是常微分方程的重点,又是该课程的难点.本文的目的是对解的延拓定理所涉及的概念和论证进行系统的梳理和完善,并希望能够弥补微分方程教材中的有关不足.【期刊名称】《大学数学》【年(卷),期】2015(031)002【总页数】6页(P33-38)【关键词】延拓;李卜希兹条件;饱和解【作者】韩茂安;李继彬【作者单位】上海师范大学数学系,上海200234;浙江师范大学数学系,金华321004【正文语种】中文【中图分类】O175.1考虑标量微分方程定理1 在上述假设下微分方程(1)存在唯一的定义于区间[x0-h,x0+h]且满足初值条件y(x0)的解, 其中上述定理是解的存在唯一性最经典的结果，在许多常微分方程教材中都有证明，见[1]-[16].下面，我们讨论定义域更一般的标量方程. 首先给出区域的概念. 按照数学分析教材所定义的，如果一平面点集G可以写成一个非空连通开集和该开集的部分边界点的并，就说集合G是一个区域. 按照这个定义，区域可以开的(如果它是连通开集)，也可以是闭的(如果它是某一连通开集和该开集所有边界点的并) 也可以是非开非闭的. 例如，式(2)所定义的矩形R就是一个闭区域，而集合{(x,y)|x≥0,y>0}是一个区域，但它既不是开的，也不是闭的. 又如，集合{(x,y)|x≥0}∪{(x,y)|x≤0,y=0}就不是一个区域.现在，我们可以叙述比定理1更为一般的存在唯一性定理了.定理2 设方程(1)中的函数f为定义于某平面区域G上的连续函数，且在G上关于y满足局部李卜希兹条件，即对G的任意内点(x0,y0), 都存在以该点为心且含于G的矩形区域，使得函数f在该区域上关于y满足李卜希兹条件，则微分方程(1)存在唯一的定义于以x0为心的某区间上且满足初值条件y(x0)=y0的解.上述定理很容易利用定理1的结论推出.上述两个定理都称为解的存在唯一性定理，并且都在许多常微分方程教材中出现，它们的共同点是解的存在区间都是局部的. 其实，在微分方程定性理论中起基石作用的解的存在唯一性定理不是上面的局部结果，而是解的大范围存在唯一性定理，这个定理是上面定理和解的延拓定理的直接推论. 下面一节我们就来详细讨论解的延拓定理.本段将假设方程(1)中的函数f为定义于某平面区域G上的连续函数，且在G上关于y满足局部李卜希兹条件. 首先，我们引入延拓与限制的概念.定义1 设φ(x)(x∈I)与φ1(x)(x∈I1)均为方程(1)的解，其中I1与I2为两个区间，如果(i) I⊂I1, I≠I1;(ii) ∀x∈I,φ(x)=φ1(x),这里注意，说定义在区间I上的函数φ为方程(1)的解，意味着函数φ在区间I上可导，且当x∈I时成立(x,φ(x))∈G.易见，延拓具有传递性，即如果方程(1)有三个解φ,φ1与φ2,且φ2为φ1的延拓，φ1为φ的延拓, 则φ2为φ的延拓.有了延拓的概念，就自然出现下面三个问题：问题1 给定一个解，它什么时候存在延拓呢？问题2 一个解能够延拓到什么程度呢？换句话说，一个解是否存在最大范围的延拓解？问题3 这个最大范围的延拓解具有什么性质？对于问题1与3，许多常微分方程教材中都有研究，后面将指出在这些研究中存在的不足，而对问题2，国内教材中则没有引起注意，而忽视了证明，本文的主要目的就是深入研究这一问题. 考虑到系统性和完整性，下面对这三个问题逐一详细研究，并得到比现有常微分方程教材中更为细致周密的结论. 关于第一个问题，有命题1 设y=φ(x)是方程(1) 的解，定义于区间I. 又设c是区间I的一个端点，则(i) 若c∈I时，且点(c,φ(c))是G的内点，则该解必存在延拓；(ii) 若c∉I时，且函数φ(x)在点c存在有限的单侧极限，记为d, 使得(c,d)∈G,则该解必存在延拓.证不失一般性，可设点c为I的右端点. 如果c∈I且点(c,φ(c))是G的内点，则令(x0,y0)=(c,φ(c)),就有以(x0,y0)为心的形如(2)且含于G的矩形区域R, 使得函数f在R上满足李卜希兹条件，于是由定理1，存在适当小的h>0, 使得方程(1)有定义于区间|x-x0|≤h的唯一解. 令那么，函数φ1就是φ的一个延拓. 这样的延拓称为φ的右向延拓. 类似地，可定义左向延拓.如果c∉I，且函数φ(x)在点c有有限的单侧极限d，并使得(c,d)∈G,那么导函数φ′(x)在点c也有有限的单侧极限，于是下列函数由命题1易见，如果G是一个开区域，且y=φ(x)的定义在一个闭区间上，那么这个解一定有延拓, 而且有很多个延拓. 这就是众多常微分方程教材中都讲到的结论. 但如果区域G是闭的，则方程(1) 定义于闭区间上的解未必存在延拓. 例如，线性方程在回答第二个问题之前，需要引入饱和解与饱和区间的概念.定义2 设φ为(1)定义于区间I上的一个解，如果这个解不存在延拓，则称它是(1)的饱和解(又称不可延拓解)，同时称区间I为饱和区间.上述定义见[14] 等. 文献[12] 给出了饱和解定义的另一种说法，即定义3 设φ为(1)定义于区间I上的一个解，取x0∈I,并令y0=φ(x0).如果方程(1)的过点(x0,y0)的任何其他解都是φ的限制，则称它是(1)的饱和解(又称不可延拓解)，同时称区间I为饱和区间.上述两个定义有没有区别呢？下述命题给出了肯定的回答.命题2 设方程(1)有解y=φ(x),x∈I.如果这个解按照定义3是饱和解，则它按照定义2也是饱和解. 进一步，如果定义于区域G上的连续函数f在G上关于y满足局部李卜希兹条件，则定义2与定义3是等价的.证命题的前半部分的结论是显然的，现证后半部分. 只需证，在对f所做的假设下，如果方程(1)有解用反证法. 若I∩J中有点使函数φ与ψ取不同值, 不妨设该点大于x0, 于是必存在x1>x0 (事实上，和ε>0,使得对一切x∈[x0,x1]有φ(x)=ψ(x)，而对x∈(x1,x1+ε]有φ(x)≠ψ(x).然而，上述结论与方程过点(x1,φ(x1))之解的唯一性矛盾. 于是，在区间I∩J上必成立φ=ψ.进一步由假设知解φ是不可延拓的，因此，必有J⊂I. 即为所证.我们指出, 如果不假设f在G上关于y满足局部李卜希兹条件, 则方程(1)可能有这样的解，它按照定义2是饱和解，而按照定义3它就不是饱和解.例如，方程上述命题和例子说明定义2适用范围更大一些，而定义3只适用于解的存在唯一性处处成立的情形.利用饱和解的概念，前面的第二个问题就是说，一个非饱和解能不能延拓成饱和解?下面的命题3给出了明确的答案.命题3 设方程(1)中的函数f在平面区域G上连续，且在G上关于y满足局部李卜希兹条件. 则该方程的任一非饱和解都能够延拓成唯一的饱和解.证这里提供三种证明方法.证法1 现设y=φ(x),x∈I为方程(1)的一给定非饱和解，那么由命题2这个解就一定存在延拓，每个延拓都有一个定义区间. 我们把所有延拓的定义区间的左端集中在一起构成一点集E-，右端点集中在一起构成集合E+. 令显然有I⊂，又可能有α=-∞或β=+∞.下面我们来构造(1)的定义于上的饱和解(x). 对任一，若=α(或β)，则存在φ的延拓ψ，定义于区间J, 使得α∈J(或β∈J),此时定义(或). 若≠α，β,则是的内点,于是，必存,以及定义在以α′，β′为端点的区间J上的解ψ,满足，I⊂J⊂∈J.此时,定义以及.由解的存在唯一性定理, 易见φ的任何两个延拓, 在他们定义域的交集上是相等的, 因此,函数在区间中各点都有定义,并且是φ的延拓.按照上述方法所构造的就是(1)的饱和解, 而就是其饱和区间. 此外, 由构造过程易见, 这样得到的饱和解是唯一存在的. 进一步, 若G 为开区域, 则α，β∉.否则,例如, 则(α))为G的内点，于是又可以延拓，这与它是饱和解矛盾. 因此, 如果G为开区域, 则饱和解的饱和区间为开区间. 但若G不是开区域,则饱和区间未必为开区间(例如,定义区域x≥0上的线性方程解的饱和区间就是x≥0).证法2 同前，设y=φ(x)，x∈I为方程(1)的一给定非饱和解, 其延拓ψ的定义区间记为Iψ,令可证这样定义的集合是一个区间.为此，只需证，任取就必有[x1,x2]⊂事实上, 由的定义，存在φ的延拓ψ1与ψ2,使xj∈Iψj,j=1,2.注意到Iψ1与Iψ2都是包含区间I的区间，从而Iψ1∪Iψ2是包含I的区间，且[x1,x2]⊂Iψ1∪Iψ2.利用解的存在唯一性定理，可构造解φ的定义于区间Iψ=Iψ1∪Iψ2上的延拓ψ如下证法3 先设区域G是开集. 又设y=φ(x),x∈I为方程(1)的非饱和解, 则该解在区间的左端或右端可以延拓, 因此, 下列情况之一成立：(a) 解φ(x)左向不能延拓, 而右向能够延拓, 此时不妨设;(b) 解φ(x)左向能够延拓, 而右向不能延拓, 此时不妨设;(c) 解φ(x)左右两向都能够延拓, 此时不妨设.今以情况(a)为例证之. 因为G是开区域, 必存在无穷个严格递增的紧集的序列Kj⊂G，j≥1,使得令现在从点(b,φ(b))开始对φ向右延拓. 注意到数h1与A1中点无关, 或者说它对A1中所有点是一致有效的，因此函数φ必能够经过有限次的延拓而右向达到A1的边界, 于是存在φ右向延拓φ1,定义于区间, 使得点(b1,φ(b1))是A1的边界点. 再从点继续向右延拓, 同上道理经过有限步可以到达A2的边界, 即有φ右向延φ2,定义于区间, 使得点(b2,φ2(b2))是A2的边界点. 依此类推, 可得一系列延拓φk,定义于区间Ik=(a,bk], 使得点是Ak的边界点, 并且b<b1<b2<….现在引入区间以及定义于该区间上的函数如下：往证是开区间，而函数是方程(1)的的饱和解. 事实上，如果bk→+∞，则显然=(a,+∞)，此时结论成立. 设<+∞，则由bk的单调性知).要证是饱和解，就是要证这个解不能延拓到点 . 用反证法. 若不然，则左极限存在，且使)∈G.由于，必存在适当大的正整数i, 使对一切充分大的k恒有，即(bk,φk(bk))∈Ki，但由点bk 的构造，这是不可能的. 故知解不能延拓到点，换句话说，如果左极限存在，那么必有∉G, 也就是说一定是区域G的边界点.再考虑区域G不是开集的情况. 令G0表示G的内部，对给定的非饱和解y=φ(x)，x∈I令φ0表示φ在I的内部I0的限制，由上面证明，将(1)视为定义于区域G0上的方程，函数φ0可延拓成唯一的饱和解0, 其饱和区间是开区间0=(α,β),如果0(α+)存在，且使(α+))∈G,则0又可延拓到α.同理，如果0(β-)存在，且使(β-))∈G,则0就可延拓到β.这样延拓后的函数记为, 那么该函数就是φ的延拓，且它所对应曲线的两个端点(如果有限)是G的边界点，故不能再延拓了，即它是饱和解. 即为所证.上述证明中，证法1 在[12]与[15]中给出，这里补充了一些证明细节，并且不要求区域G是开集. 证法2中的饱和区间在[14]与[10]中曾给出，而这里包含了详细的论证，例如，[14,10]均没有证明确实是一个区间. 证法3 的主要思路取自[16]，但这里的细节又不同于[16]，例如，文献[16]只考虑了开区域的情况.如果不要求方程(1) 中的函数f在G上关于y满足局部李卜希兹条件，则可证其任一非饱和解都能够延拓成饱和解. 详见[13]与[14].在进一步讨论饱和解的性质之前，我们先引入下列定义.定义4 设(1)有定义于区间I的解y=φ(x)，I的端点为a与b, 其中-∞≤a<b≤+∞.如果a∈I且(a,φ(a))是G的边界点，就说解y=φ(x)在端点a 达到G的边界；如果a∉I，且对G内任意紧集V，都存在任意接近a的点x∈I,使(x,φ(x))∉V, 则说解y=φ(x)在端点a逼近G的边界. 同理可定义解y=φ(x)在端点b达到或逼近G的边界(又说成右端达到或逼近G的边界).在上述定义中，当a=-∞时，“任意接近a的点x∈I”理解为“存在负数x∈I，且|x|可以任意大”，解y=φ(x)在端点a达到或逼近G的边界又可以说成这个解左端达到或逼近G的边界.有了上述概念，我们就可以给出饱和解的性质如下.命题4 设方程(1)中的函数f在平面区域G上连续，且在G上关于y满足局部李卜希兹条件. 如果y=φ(x)(x∈I)是(1)的饱和解，则它在区间I的左右两端都能够达到或逼近区域G边界.证设饱和区间I分别以a与b为左右端点. 要证解y=φ(x)在点a与b都能够达到或逼近区域G边界. 由于类似性，今以端点a为例证之. 如果a∈I，则由命题1知(a,φ(a))一定是G的边界点，从而φ(x)在端点a达到边界. 事实上，因为a∈I，则∈G,因为G是区域，如果不是G的边界点，它就是G的内点，因此φ(x)在端点a必可以向左进一步延拓，这与I是饱和区间矛盾. 如果a∉I，要证明对位于G内部的任一紧集V, 必存在任意接近a的点x∈I,使(x,φ(x))∉V. 若不然, 则存在位于G内部的紧集V, 使对任意小的ε>0有(a+ε,φ(a+ε))∈V,则存在充分小的ε0>0使对一切x∈(a,a+ε0]有(x,φ(x))∈V.考虑到V为紧集, 必有a>-∞.令由微分中值定理知φ在(a,a+ε0]上是一致连续的, 从而由命题3和命题4，即得下述解的延拓定理.延拓定理设方程(1)中的函数f在平面区域G上连续，且在G上关于y满足局部李卜希兹条件. 则该方程的任一非饱和解都能够延拓成唯一的饱和解, 并且该饱和解在左右两端都达到或逼近区域G的边界.通过对比可知，上述延拓定理的叙述不同于国内外所有现有教材，这里的叙述更加准确. 由这一延拓定理即得下述解的大范围存在唯一性定理.大范围存在唯一性定理设方程(1)中的函数f在平面区域G上连续，且在G上关于y满足局部李卜希兹条件. 则该方程过G内任一点都存在唯一的饱和解.最后指出，有关解的延拓的内容，国内许多教材[1-14]都存在下列一种或多种不足：(i)没有明确给出饱和解的概念或延拓的概念不准确.(ii)没有列出也没有证明命题3. 我们认为要完整证明解的延拓定理，证明命题3是必不可少的一步.(iii)没有证明命题4, 只列出解的延拓定理，却述而不证.(iv)在证明命题4 时，把区域G视为了开集，从而导致解的延拓定理的叙述不够完美或不够准确，其证明不够严密.作者感谢Valery Romanovsky教授提供文献[16]，以及有益的讨论.。
解析延拓法-概述说明以及解释
解析延拓法-概述说明以及解释1.引言1.1 概述解析延拓法是一种常用的数学工具，它在不同领域都有广泛的应用。
通过对问题进行解析建模，该方法能够将问题转化成解析函数的延拓，从而更好地理解和解决问题。
在解析延拓法中，解析函数是指在复数域上定义的函数。
而延拓则是指将函数从定义域延拓到更广泛的域，通常是将函数在实轴或复平面上的一部分延拓到整个实轴或者复平面上。
通过对延拓之后的函数进行分析和计算，我们可以得到更全面和深入的信息，解决原问题中的困难或疑惑。
这种方法的优势在于它不仅能够处理具体问题，还能够揭示问题的本质和内在规律。
通过解析延拓法，我们能够理解函数的性质和行为，从而更好地研究和解决与之相关的问题。
因此，无论是在物理、工程、经济学还是其他各个领域，解析延拓法都是一种非常重要的工具和方法。
在接下来的文章中，我们将对解析延拓法进行详细的探讨。
首先，我们将介绍解析延拓法的定义，阐述其基本原理和思想。
然后，我们将进一步探讨解析延拓法的应用，以及它在不同领域中的具体应用案例。
最后，我们将总结解析延拓法的优势，并展望未来对该方法的发展和应用。
通过对解析延拓法的深入研究和理解，我们可以更好地应用它来解决实际问题，并推动相关领域的发展。
希望本文能够为读者提供有益的信息和观点，引起大家对解析延拓法的兴趣和思考。
接下来，我们将开始探索解析延拓法的定义和基本原理。
1.2文章结构文章结构部分的内容应该包括以下内容：文章的结构是指文章的整体组织框架，它决定了文章的逻辑顺序和层次结构。
对于本文来说，其结构主要分为引言、正文和结论三个部分。
引言部分主要用于引导读者进入文章的主题，并对解析延拓法进行概述。
首先，需要对解析延拓法进行简单介绍，包括其定义、原理和应用。
然后，介绍文章的结构和目的，以及大致的内容安排。
最后，对整篇文章进行总结，提供一个概览。
正文部分是文章的核心部分，用于详细解析解析延拓法。
首先，给出解析延拓法的定义，解释它是一种什么方法，并说明其在科学研究中的重要性。
第四章基本定理-42解的延拓定理
x0 -h0 x0 x0 +h0 x1 +h1
解 y x 和解 y x 都有定义，在区间
x1 h1 x x1上，解 x x 。但在区间 x1 x x1 h1 上，y x 仍有定义，我们把
它看成是原来定义在区间 x x0 h上的解
y x 向右方的延拓，这样我们就在区间
2 和2
2
3
也不会发生，因此解的存在区间只能是[x0 ,+).
同理可证左行解的存在区间是 (+,x0 ].
例4.2.1 试讨论微分方程
dy y2 dx 通过点（1，1）的解和通过（3，-1）的解的存在 区间。 解 此时区域G是整个平面。方程的通解为
y 1 c x
其中C是积分常数。则通过点（1，1）的积分曲线
yx
y0
x
+ x0
f ,y d
y0 +M x-x0
y0 +M -x0
=M1 即y=y(x)在 [x0 , ) 上有界，从而
-------
lim y x <+
x -0
说明推论4.4.1的情形
2
1
不会发生；又因
为方程右端函数在全平面上满足延拓定理的条
件且有界，从而推论4.2.1的情形
一方面可以向平面的无穷远无限延拓，另一方
面这个解y(x)
上不能穿过 y=+1, 下不能穿过 y= 1。
否则与解的唯一性矛盾，故存在区间为 ，+。
例3 在方程
dy =f y
dx
中，若 f y在，+ 上连续可微，且满
足
yf y<0, y 0
求证对平面上任一点 x0,y0 ,方程满足y x0 =y0
frégier定理证明及推广
frégier定理证明及推广摘要：一、引言二、Fregier 定理的证明1.Fregier 定理的背景和基本概念2.Fregier 定理的证明过程三、Fregier 定理的推广1.推广的背景和意义2.推广的证明过程四、结论正文：一、引言Fregier 定理是复分析领域中一个非常重要的定理，它涉及到解析延拓和调和级数等概念。
本文旨在介绍Fregier 定理的证明及其推广。
二、Fregier 定理的证明1.Fregier 定理的背景和基本概念Fregier 定理的背景可以追溯到解析延拓和调和级数的研究。
解析延拓是指将一个函数从一个边界区域扩展到另一个边界区域的过程。
在这个过程中，通常需要考虑函数在边界上的连续性、可微性等性质。
2.Fregier 定理的证明过程Fregier 定理的证明过程相对复杂，涉及到了复分析中的许多概念和方法。
在这里，我们简要介绍Fregier 定理的证明思路：首先，通过对函数进行适当的变量替换和参数化，将问题转化为研究一个与原函数相关的函数序列。
接着，利用复分析中的级数理论和积分公式，对函数序列进行分析，得到一系列关于函数的性质。
最后，结合解析延拓的基本思想，将这些性质综合起来，证明Fregier 定理。
三、Fregier 定理的推广1.推广的背景和意义Fregier 定理的推广主要是在原有定理的基础上，对函数的性质和条件进行放宽，使得更多的函数满足Fregier 定理的要求。
这样做的意义在于，我们可以用Fregier 定理分析和解决更广泛的问题。
2.推广的证明过程Fregier 定理的推广可以通过以下几个步骤进行证明：首先，根据推广的需求，对函数的性质和条件进行适当的放宽。
接着，利用已有的Fregier 定理的证明方法，对放宽条件后的函数进行分析，得到一系列关于函数的新性质。
最后，结合解析延拓的基本思想，将这些性质综合起来，证明推广的Fregier 定理。
四、结论本文介绍了Fregier 定理的证明及其推广，通过分析复分析中的许多概念和方法，展示了Fregier 定理在解析延拓和调和级数研究中的重要作用。
解的延拓
若存在方程(3.1)的另一解y (x),它在区间(2, 2 )上
有定义,且满足
(1) (2, 2 ) (1, 1)但(2, 2 ) (1, 1), (2) 当x (1, 1)时, (x) (x); 则称解y (x), x (1, 1)是可延拓的,并且称解 y (x)是解y (x)在(2, 2 )的一个延拓.
存在唯一解y (x),解的存在唯一区间为 x x1 h1 0
因(x1) (x1),由唯一性定理,在两区间的重叠部分 应有(x) (x), 即当x1 h1 x x1时(x) (x),
定义函数
*
(
x)
(x), (x),
x0 h0 x x0 h0 , x0 h0 x x1 h1
那么, y *(x)为方程(3.1)满足(2)(或(3)),在[x0 h0, x1 h1]
上有定义的唯一解. 这样我们已把方程(3.1)满足(2)的解
y (x),在定义区间向右延长了一段.
即方程(3.1)满足(2)的解y *(x)为解y (x)在定义
区间x x0 h0的向右方延拓,
对定义2也可如下定义
对定义在平面区域 G上函数f (x, y), 若对(x1, y1) G, 矩形R1 {( x, y) | x x1 a1, y y1 b1} G及常数 L1(与x1, y1, a1, b1有关), 使对(x, y' ), (x, y'' ) R1有
推论1 对定义在平面区域G上的初值问题
dy dx
f (x, y),
第2节 解的延拓定理(解的整体存在唯一性定理)
的延拓，并称解 y = ϕ ( x ) ( x ∈ I )是可延拓的.
2. 饱和解、解的最大存在区间 定义2 若y = ϕ ( x ) ( x ∈ I ) 是初值问题 (1)的解， 且其存在区间I 不能再延拓，则称
y = ϕ ( x) ( x ∈ I )
为初值问题(1)的饱和解(或不可延拓解)，并称 饱和解的存在区间I为解的最大存在区间.
y
•
( x0 , y0 )
G
o α
β x
例2 在区域 G = {( x , y ) x < 4, y < 2}内,
dy 讨论方程 = y 2 分别通过点 ( 0,0 ), dx (1,1) 和 ( 3, − 1)的解的最大存在区间 .
解 Q f ( x , y ) = y 2 , f y ( x , y ) = 2 y 均在G内连续
解的延拓定理 1. G为有界开区域
⎧ dy ⎪ = f ( x, y) (1) ⎨ dx ⎪ y( x0 ) = y0 ⎩
定理1 设 f ( x , y )在有界开区域 G内满足： 1) 连续 ; 2) 关于y 满足局部 Lip 条件，则对于
∀ ( x0 , y0 ) ∈ G , 初值问题 (1)存在唯一
在 D1上， M 1 = max
= max ( x 2 + y 2 ) = 2
( x , y )∈ D1
( x , y )∈ D1
f ( x, y)
a = b = 1，
b 1 1 ∴ h1 = min{ a , } = min{1, } = . M1 2 2
∴ 当 f ( x , y ) = x 2 + y 2 , ( x , y ) ∈ D1时，
该初值问题的解的存在区间为：
连续延拓定理
连续延拓定理
连续延拓定理是函数分析中的一个重要定理，它指出如果一个函数在某个闭集上连续，那么可以将这个函数连续地延拓到整个定义域上。
具体来说，设函数$f$在闭集$E$上连续，闭集$E$是某个开集$U$中的一个子集。
则存在一种方式，我们可以将$U$中不属
于$E$的点$x$与$E$中的点$x_0$的函数值$f(x_0)$联系起来，
定义一个新的函数$g:U\rightarrow\mathbb{R}$，使得$g$在
$U$上连续，并且在$E$上与原函数$f$相等。
这样的函数
$g$称为函数$f$在$U$上的连续延拓。
连续延拓定理的一个重要应用是刻画拓扑空间中的连续函数。
对于拓扑空间$X$上的一个函数$f:X\rightarrow\mathbb{R}$，
如果$f$在$X$上连续，那么对于$X$的任意开子集$U$，函数$f$在$U$上必然有一个连续延拓。
换句话说，拓扑空间$X$上
的连续函数可以通过它在开集上的局部性质完全确定。
这是因为开集构成了一个拓扑基，它可以用来刻画拓扑空间的性质。
在实际应用中，连续延拓定理常常用于处理函数的边界值问题、非连续点的补充以及函数空间的性质分析等方面。
关于连续函数延拓问题的推广
( x) 由< 7> , < 8> 推知:
infg ( x) = inf( x) ,
xI x
xI F
同理可证明: supg ( x) = supf ( x )
xI X
xI F
其次, 将延拓定理推广到拓扑空间上。
定义 4 设( X, S) 为拓扑空间, 如果对 X 中任意 不同两点 x, y, 存在开集 V 和 Vc使得 x I V , y I Vc 及 V HVc= <
)
=
-
ixnI fXfn( x ) =
(
2 3
)
~
nM
#2#
n= 1, 2, , ,。 于是, 对于 Pn I N, 有
< 5>
gn( x )
F
1 3
@
(
2 3
)
~
nM
,
Px I
X
< 6>
fn( x)
F(
2 3
)
~
nM,
Px I
F
]
由<
5>
式
可知
,
函
数项
级数
6
n=
g
0
n(
x
)
在
X
上一
~
致收敛, 设其和函数为 g ( x) , 即
关键词: 延拓; 度量空间; 拓扑空间 中图分类号: O174. 4 文献标识码: A 文 章编号: 1008- 8008( 2003) 03- 0001- 03
一、连续函数的延拓 引理 1 设 F1, F 2 < Rn 为两个互不相交的非空闭 集, 则在 Rn 中存在连续映射: f : Rn yR 使得:
函数的连续拓展
函数的连续拓展全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：函数的连续拓展是数学中一个十分重要且广泛应用的概念，它在各个领域都有着重要的作用。
从初等数学到高等数学，函数的连续拓展一直都是研究的重点之一。
在这篇文章中，我们将介绍函数的连续拓展的定义、性质以及应用。
希望可以帮助读者更加深入地了解这个概念。
首先，我们先来回顾一下函数的连续性。
在数学中，一个函数在某一点上连续，意味着当自变量在这一点附近变化时，函数值也会在一个可控的范围内变化。
如果一个函数在其定义域的每一点上都连续，那么我们称这个函数是一个连续函数。
连续函数在数学中有着重要的地位，它广泛应用于解析几何、微积分、实分析等领域。
然而，在实际问题中，我们常常会遇到非连续的函数，这时就需要用函数的连续拓展来处理。
函数的连续拓展可以通过一些方法来实现，比如在非连续点处做单侧极限，或者在非连续点处加一些额外的条件等。
通过这些方法，我们可以将原本的非连续函数拓展为一个连续函数，从而更方便地进行分析和计算。
在函数的连续拓展中，常见的方法包括分段定义函数、傅里叶级数、泰勒级数等。
分段定义函数是一种将函数分段表示的方法，通常在每个分段上函数是连续的，但在分段之间可能存在间断点。
通过适当选择分段的函数形式和系数，我们可以将原本的非连续函数拓展为一个连续函数。
傅里叶级数则是一种将周期函数拓展为无穷级数的方法，通过将周期函数表示为正弦函数和余弦函数的线性组合，我们可以得到一个收敛的傅里叶级数。
泰勒级数是一种将光滑函数拓展为无穷级数的方法，通过在某一点处展开函数为无穷级数的形式，我们可以将原函数近似地表示为一个级数。
除了这些方法以外，还有许多其他的函数拓展方法，比如拉普拉斯变换、离散傅里叶变换、离散余弦变换等。
这些方法在不同的领域有着不同的应用，比如在信号处理中，我们常常会用到傅里叶变换来将信号表示为频率分量的线性组合，从而实现信号的分析和处理。
在控制论中，拉普拉斯变换则常用于求解微分方程的解，从而实现对系统的控制和优化。
解的延拓
对I [, )时,同样讨论 即x (或 )时, (x,(x)) G.
推论3 如果G是无界区域,在上面延拓定理条件下,
方程(3.1)的通过点(x0, y0 )的解y (x)可以延拓,以
向x增大(减少)一方的延拓来说, 有下面的两种情况
(1) 解y (x)可以延拓到区间 [x0,)((, x0 ], (2) 解y (x)可以延拓到区间[x0, m)((m, x0 ], 其中m为有限数,当x m时,或者y (m)无界, 或者(x,(x)) G
解的存在唯一区间x h min{2, 2} 1 . 84
1 饱和解及饱和区间
定义1 对定义在平面区域G上的微分方程 dy f (x, y), (3.1) dx
设y (x)为方程(3.1)定义在区间(1, 1)的连续解,
若存在方程(3.1)的另一解y (x),它在区间(2, 2 )上
有定义,且满足
注 若f (x, y)及f y (x, y)在G内连续,则f (x, y)在G内关于 y满足局部Lipschitz条件.
3 解的延拓定理
定理 如果方程(3.1)右侧函数f (x, y)在有界区域G 中连续,且在在G内f (x, y)关于y满足局部Lipschitz条
件.那么方程(3.1)通过G内任一点(x0, y0 )的解y (x) 可以延拓, 直到点( x, ( x))任意接近G的边界.
(1)x (1, 1)时, (x) (x); 则称解y (x), x (1, 1)是可延拓的,并且称解 y (x)是解y (x)在(2, 2 )的一个延拓.
若不存在满足上述条件的解y (x),则称解y (x), x (1, 1)为方程的一个不可延拓解,或饱和解.
§3.2 解的延拓
向上延拓
7.3.1 重磁异常的空间换算重、磁异常的空间换算是根据某观测平面上的实测异常，换算场源以外其它空间位置的异常,也称为重、磁异常的解析延拓。
换算平面位于实测平面之上，就称为向上延拓。
换算平面位于实测平面之下，就称为向下延拓。
1．向上延拓从位场理论来说，向上延拓就是要求找出函数u ，它在上半空间是调和的，在无穷远处是正则的，并在边界0=z 的平面上取已知值()0,x u 。
这正是半空间狄里希莱问题，即()()⎩⎨⎧=<==0,|000x u u z u z ∆ （7.3-1）它的解为()()()⎰∞∞-<+--=00,,22z d z x u zz x u ξξξπ（7.3-2）这就是半平面的泊松积分。
由于引力位V 、磁位u 及其在各个方向的偏导数Δg 、xz V 、zz V 、zzz V 、a Z 、a H 、T ∆（一级近似值）都是调和函数，因此它们都满足（7.3-2）式，以T ∆为例，有()()()()00,,22<+--=⎰∞∞-z d z x T zz x T ξξξ∆π∆（7.3-3）式中(),0ξ∆T 为剖面上各点的实测值。
若坐标原点位于计算点下方实测剖面上，延拓高度为一倍点距，设为h 。
即（7.3-3）式中0=x ，h z -=。
则（7.3-3）式成为()⎰∞∞-+-=-ξξ∆ξπ∆d T h hh T )0,(1,022 （7.3-4）现在向上延拓的问题就成为如何计算上述积分的问题。
采用不同的积分方法可以得出不同的向上延拓的方法。
例如，可以按点距把上述积分区间划分为许多长度为h 的小区间：h n h n ⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛-21~21，则（7.3-4）式可写成()⎰∑+--∞-∞=+=-hn h n n d T h hh T )21()21(22)0,(1,0ξξ∆ξπ∆ 利用积分中值定理有()()()()()()[]()()[]()()][]+-++-++-++=+=+=-∑∑⎰∞-∞=∞-∞=+-0,30,30325.00,20,20660.00,0,1652.00,02952.0344arctg 10,0,,02)21()21(22h T h T h T h T h T h T T nnh T d h hnh T h T n n hn h n ∆∆∆∆∆∆∆π∆ξξπ∆∆0.0190【 】+0.0124【 】+0.0087【 】+0.0064【 】+0.0049【 】+0.0039【 】+0.0032【 】表7-1 二度异常向上延拓系数表。