多层线性模型

个体的某事件既受到其自身特征的影响，也受 到其生活环境的影响，即既有个体效应，也有环 境或背景效应(context effect)。 例如，学生（个体）的学习成绩与学生的勤 奋程度有关，还与学校的师资配备有关。 企业的创新能力与企业自身的创新投入、学 习能力有关，还与企业所属产业的 R&D 强度有关。
0 j 00 01W j 0 j 1 j 10 11W j 1 j
多层线性模型简介



4、多层线性模型的优点 （1）使用收缩估计的参数估计方法，使得估计结 果更为稳定、精确 收缩估计：使用两个估计的加权综合作为最后的估 计。其一是来自第一层数据的OLS估计，另一个是 来自第二层数据的加权最小二乘法估计，最后的估 计是对以上两个估计的加权。 （2）可以处理样本不等的数据 eg:当某些第二层单位在第一层的取样甚少时，可以 借助于其他二层单位和二层预测变量，对取样较少 的一层单位进行回归分析。第一层单位3个及以上。

HLM数学模型
例如：对73个学校1905名学生进行调查，目 的是考虑其刚上高中时的入学成绩与三年后 高考成绩之间的关系。 考虑方法： （1）如果用传统的线性回归分析，直接在学生 水平上进行分析，得出入学学业成绩对高考 成绩之间的一条回归直线，如下图1所示，从 图1的结果可以看出，传统回归分析没有区分 不同的学校之间的差异。


Time:一般用编码的形式来反映增量 Eg: 0、1、2、3、4、5 －5、－4、－3、－2、－1、0 线性发展模型的第一层方程并不一定为线性方程，也可以 为非线性方程。 Eg:
多层线性模型——发展模型
发展模型 发展模型是把多次观测结果作为时间的某种 数学函数来建构模型。它多用于发展研究、 纵向研究或者追踪研究。 在这种模型中，第一层数据为不同时间的观 察结果，第二层数据为个体的特征。

多层线性模型——发展模型

第一层：线性发展模型
Yij 0 j 1 j TIME eij
图4：考虑不同学校平均成绩差异 和入学对毕业成绩影响程 度差异的回归直线


在许多研究中，取样往往来自不同层级和单位，这 种数据带来了很多跨级（多层）的研究问题，解决 这些问题的一种新的数据分析方法——多层模型分 析技术。 这一方法的开创及发展的主要贡献者之一是英国伦 敦大学的Harvey Goldstein教授及研究者把这种方 法称作“多层分析”。另一主要开拓者美国密歇根 大学的Stephen W.Raudenbush教授和同行把它称为 “分层线性模型结构”。在此，我们按照张雷等人 的叫法称其为“多层线性模型”或“多层模型”。
多层线性模型简介
5、多层线性模型的应用范围 （1）组织和管理研究 （2）对个体进行追踪、多次观测的发展研究 （3）教育研究 （4）元分析研究

多层线性模型基本原理

1、多层线性模型的基本形式
水平1（如：学生）
Yij 0 j 1 j X ij eij
水平2（如：学校）
00
eij指第j个二层单位Y的变异
指所有二层单位的Y的总体平均数 0 j 指第二层方程的残差（随机项） 跨级相关：指Y的总体变异中有多大比例是由 第二层的变异引起的。

00 / 00
2

多层线性模型——完整模型


完整模型（The Full Model） 既包含了第一层的预测变量，又包含了第二层的 预测变量，可通过理论建构来说明解释Y的总体 变异是怎样受第一层和第二层因素的影响。 第一层： Y X e

图1：不考虑学校之间差异的回归直线
HLM数学模型

（2）如果将数据进行简单合并，用每个学校 学生的平均成绩代替这个学校的成绩，直接 在学校水平上估计入学成绩对高考成绩的影 响，得到一条回归直线，如图2所示，这种方 法忽略了不同学生（个体）之间的差异；
图2：只考虑学校差异忽略学生差异回归直线
HLM数学模型
（3）如果假设不同学校入学成绩对高考
成绩的回归直线截距不同，斜率相同 （平均学习成绩之间存在差异），得到 如图3的结果，从图中结果可以看出，不 同学校学生平均高考成绩之间存在差异。
图3：考虑不同学校平均成绩差异的回归直线
HLM数学模型
（4）对73所学校分别做回归分析，得到
如图4的结果，如图4所示，从图中结果 可以看出，不同学校回归直线的截距和 斜率均不同，即：不同学校学生平均高 考成绩之间存在差异，入学学业成绩对 高考成绩的影响强度不同。

多层线性模型简介



（3）组内分析组间分析
对相同的数据进行三次计算： 一是在组内的个体层上进行的分析，称为组内效应 二是通过平均或整合第一层中的个体数据，得到第二层的组 间数据，称为组间效应 三是忽视组的特性而对所有的数据进行分析，称为总效应。 在此基础上，计算组内效应和组间效应在总效应的比例，从 而确定变异来自于组间还是组内。 组内分析组间分析的方法较前两种方法更多地考虑到了第一 层数据及第二层数据对变异产生的影响，但无法对组内效应 和组间效应做出具体的解释，也就无法解释为什么在不同的 组变量间的关系存在差异。

ij 0j 1j

ij

ij

第二层： 0 j 00 u 0 j 1 j 10
多层线性模型——协方差模型


第一层方程中，预测变量采用总体平均数为参 照的离差，与传统协方差分析的区别是β 0j被 进一步分解为 00和 0 j β 1j没有随机项，反映了协方差分析的一个重 要前提，协变量对因变量的回归系数的组间一 致性。检验这种假设的方法是把 1 j 纳入到方 程中，并检验 11 0 是否成立。
违背了传统回归（ OLS）中关于残差相互 独立的假设 采用经典方法可能失去参数估计的有效性 并导致不合理的推断结论。
经典方法框架下的分析策略
经典的线性模型只对某一层数据的问题进行 分析，而不能将涉及两层或多层数据的问题进行 综合分析。 但有时某个现象既受到水平 1变量的影响， 又受到水平 2 变量的影响，还受到两个水平变量 的交互影响(cross-level interaction)。
ij 0j 1j ij ij
var(eij )
2
多层线性模型——完整模型

第二层：
0j
00

W 01
j
u0 j
1 j 10 11W j u1 j
var(0 j ) 00
var(1 j ) 11
cov(0 j , 1 j ) 10
层次结构数据的普遍性
水平2
水平1
两水平层次结构数据
层次结构数据为一种非独立数据，即某观察值 在观察单位间（或同一观察单位的各次观察间） 不独立或不完全独立，其大小常用组内相关(intraclass correlation，ICC)度量。 例如，来自同一家庭的子女，其生理和心理 特征较从一般总体中随机抽取的个体趋向于更为 相似，即子女特征在家庭中具有相似性，数据是 非独立的。
多层线性模型简介
Hierarchical Linear Model (HLM)
主要内容

一、多层线性模型简介

二、多层线性模型基本原理
三、多层线性模型HLM软件的应用

多层线性模型简介


1、多层数据结构的普遍性 多层（多水平）数据指的是观测数据在单位上具有 嵌套的关系。 （1）教育研究领域 EG：学生镶嵌于班级，班级镶嵌于学校，或者学生 简单地镶嵌于学校，这时学生代表了数据结构的第 一层，而班级或学校代表的是数据结构的第二层； 如果数据是学生镶嵌于班级，而班级又是镶嵌于学 校，那么就是三层数据结构。
多层线性模型简介
2、多层数据的传统分析方法 个体的行为既受个体自身特征的影响，也受 到其所处环境的影响，所以研究者一直试图 将个体效应与组效应（背景效应或环境效应） 区分开来。 个体效应：由个体自身特征所造成的变异。 组效应：由个体所处环境所造成的变异。

多层线性模型简介
（1）只关注个体效应，而忽视组效应 只在个体这一层数据上考虑变量间的关系， 那么导致所观测到的效应既包含个体效应， 又包含组效应，从而增大了犯一类错误的概 率，夸大了变量间的关系。 （2）在组水平上进行分析 把数据集中起来， 使其仅在第二层的组间发 挥作用，从而丢失了重要的个体信息。
指固定成分
Yij---第j个 学校的第i 个学生
0j
00

u0 j
随机成分
1 j 10
u1 j
多层线性模型基本原理
00和 10
为固定成分，指第二层单位间β 0j 和 β 1j 的平均值 0 j 和1 j 为随机成分，指第二层单位β 0j 和 β 1j 的变异
多层线性模型——完整模型
在第一层方程中，0代表截距，1代表斜率 在第二层方程中，第一个下标代表第一层参 数的类型；第二个下标代表第二层参数的类 型。 β 0j和β 1j的预测变量可以相同，也可以不同。

多层线性模型——协方差模型
在零模型与完整模型之间，可通过向各层方 程中增加不同的变量，设定不同的随机成分 与固定成分来建构各种分析模型。 协方差模型（ANCOVA Model） _ 第一层： Y x x e
var(0 j ) 00
var(1 j ) 11
cov(0 j , 1 j ) 10
多层线性模型基本原理

把第一层和第二层方程整合如下：
Yij 00 10 xij 0 j 1 j xij eij
残差项
误差项间是相关的：同一第二层单位的个体 有相同的 0 j 和1 j 误差项间方差不等：相同第二层单位内的个 体间相似性比不同单位内个体相似性高 误差项与自变量有关：残差项包含 xij