多层线性模型简介

多层线性模型——发展模型

“确定发展变异”的第二层：
线性发展斜率 的总体平均值
0j
00

u0 j
1 j 10
var(0 j ) 00
cov(0 j , 1 j ) 10
指个体j与平均 截据的离差
u1 j
var(1 j ) 11
指个体j与平 均发展斜率 的离差
var(1 j ) 11
cov(0 j , 1 j ) 10
多层线性模型——三层模型

三层模型是二层模型的直接扩展，我们也可以根据 需要选择零模型与完整模型之间的任何模型。 模型1：零模型 第一层： 2
Yijk 0 j k eijk var(eijk )
00
eij指第j个二层单位Y的变异
指所有二层单位的Y的总体平均数 0 j 指第二层方程的残差（随机项） 跨级相关：指Y的总体变异中有多大比例是由 第二层的变异引起的。

00 / 00
2

多层线性模型——完整模型


完整模型（The Full Model） 既包含了第一层的预测变量，又包含了第二层的 预测变量，可通过理论建构来说明解释Y的总体 变异是怎样受第一层和第二层因素的影响。 第一层： Y X e
0 j 00 01W j 0 j 1 j 10 11W j 1 j
多层线性模型简介


4、多层线性模型的优点 （1）使用收缩估计的参数估计方法，使得估计结 果更为稳定、精确 收缩估计：使用两个估计的加权综合作为最后的估 计。其一是来自第一层数据的OLS估计，另一个是 来自第二层数据的加权最小二乘法估计，最后的估 计是对以上两个估计的加权。 （2）可以处理样本不等的数据 eg:当某些第二层单位在第一层的取样甚少时，可以 借助于其他二层单位和二层预测变量，对取样较少 的一层单位进行回归分析。第一层单位3个及以上。
多层线性模型简介

3、多层线性模型分析方法 回归的回归方法 Eg:学生成绩（X） 学习动机（Y） 班级教师教学水平（W） （1）求各个班级学生成绩对学习动机的回归

Yij 0 j 1j X i j rij
多层线性模型简介

（2）求教师教学水平对β 0j和 β
1j
的回归方程

多层线性模型简介
（1）只关注个体效应，而忽视组效应 只在个体这一层数据上考虑变量间的关系， 那么导致所观测到的效应既包含个体效应， 又包含组效应，从而增大了犯一类错误的概 率，夸大了变量间的关系。 （2）在组水平上进行分析 把数据集中起来， 使其仅在第二层的组间发 挥作用，从而丢失了重要的个体信息。
多层线性模型简介
5、多层线性模型的应用范围 （1）组织和管理研究 （2）对个体进行追踪、多次观测的发展研究 （3）教育研究 （4）元分析研究

多层线性模型基本原理

1、多层线性模型的基本形式
水平1（如：学生）
Yij 0 j 1 j X ij eij
水平2（如：学校）
指固定成分
Yij---第j个 学校的第i 个学生
0j
00

u0 j
随机成分
1 j 10
u1 j
多层线性模型基本原理
00和 01
为固定成分，指第二层单位间β 0j 和 β 1j 的平均值 0 j 和1 j 为随机成分，指第二层单位β 0j 和 β 1j 的变异

多层线性模型——零模型

ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
第一层：
Yij 0 j eij
var(eij )
2

第二层：
0 j 00 u0 j
00 uoj eij
var(0 j ) 00

合并模型： Yij
多层线性模型——零模型
0 j指第j个二层单位Y的平均值

ij 0j 1j

ij

ij

第二层： 0 j 00 u 0 j 1 j 10
多层线性模型——协方差模型


第一层方程中，预测变量采用总体平均数为参 照的离差，与传统协方差分析的区别是β 0j被 进一步分解为 00和 0 j β 1j没有随机项，反映了协方差分析的一个重 要前提，协变量对因变量的回归系数的组间一 致性。检验这种假设的方法是把 1 j 纳入到方 程中，并检验 11 0 是否成立。
多层线性模型——发展模型
发展模型 发展模型是把多次观测结果作为时间的某种 数学函数来建构模型。它多用于发展研究、 纵向研究或者追踪研究。 在这种模型中，第一层数据为不同时间的观 察结果，第二层数据为个体的特征。

多层线性模型——发展模型

第一层：线性发展模型
Yij 0 j 1 j TIME eij

1 2 / 2 00 00 第一层的方差和总方差之比： 2 第二层的方差和总方差之比： 2 00 / 00 00

第三层的方差和总方差之比： 3 00 / 2 00 00
var(0 jk ) 00
cov(0 jk , 1 jk ) 10
var(1 jk ) 11
多层线性模型——三层模型
模型2：完整模型 第一层： Y ijk 0 j k 1 j k x jk eijk

var(eijk ) 2

第二层： 0 j k 00k 01k w1 jk 0 jk
1 j k 10 k 11k w1 jk 1 jk

多层线性模型基本原理

因此，多层数据并不满足传统OLS回归分析 关于残差项的诸多假设。而多层线性模型将 残差项进行了分解，更符合实际情况，所以 对于多层数据使用多层线性模型进行分析更 为合理。
多层线性模型基本模型
2、多层线性模型的基本模型 零模型（The Null Model） 第一层和第二层均没有预测变量，只是将方 程分解为由个体差异造成的部分及由组差异 造成的部分，这种方法为方差成分分析。

第二层： 第三层：
0 j k 00k 0 jk
00 k 000 e00 k
var(0 jk ) 00

var(e00k ) 00
多层线性模型——三层模型
第一个下标表示第一层方程中的参数；第二 个下标表示第二层方程中的参数；第三个下 标表示第三层方程中的参数。 表示第二层单位之间的变异， 表示第 三层单位之间的变异 跨级相关：
多层线性模型简介
王 鹏


在许多研究中，取样往往来自不同层级和单位，这 种数据带来了很多跨级（多层）的研究问题，解决 这些问题的一种新的数据分析方法——多层模型分 析技术。 这一方法的开创及发展的主要贡献者之一是英国伦 敦大学的Harvey Goldstein教授及研究者把这种方 法称作“多层分析”。另一主要开拓者美国密歇根 大学的StephenW.Raudenbush教授和同行把它称 为“分层线性模型结构”。在此，我们按照张雷等 人的叫法称其为“多层线性模型”或“多层模型”。
var(0 j ) 00
var(1 j ) 11
cov(0 j , 1 j ) 10
多层线性模型基本原理

把第一层和第二层方程整合如下：
Yij 00 10 xij 0 j 1 j xij eij
残差项
误差项间是相关的：同一第二层单位的个体 有相同的 0 j 和1 j 误差项间方差不等：相同第二层单位内的个 体间相似性比不同单位内个体相似性高 误差项与自变量有关：残差项包含 xij
多层线性模型——发展模型

“预测发展变异”的第二层：
代表第二层的变量W 对第一层截据的效应
0j
00

W 01
j
u0 j
考虑第二层的预测 变量W后第一层的 截据和第一层的斜 率在第二层单位间 的残差方差
1 j 10 11W j u1 j
var(0 j ) 00
多层线性模型简介
2、多层数据的传统分析方法 多层数据一直困扰着研究者大概半个世纪之 久。由于个体的行为既受个体自身特征的影 响，也受到其所处环境的影响，所以研究者 一直试图将个体效应与组效应（背景效应或 环境效应）区分开来。 个体效应：由个体自身特征所造成的变异。 组效应：由个体所处环境所造成的变异。
多层线性模型——完整模型
在第一层方程中，0代表截据，1代表斜率 在第二层方程中，第一个下标代表第一层参 数的类型；第二个下标代表第二层参数的类 型。 β 0j和β 1j的预测变量可以相同，也可以不同。

多层线性模型——协方差模型
在零模型与完整模型之间，可通过向各层方 程中增加不同的变量，设定不同的随机成分 与固定成分来建构各种分析模型。 协方差模型（ANCOVA Model） _ 第一层： Y x x e
主要内容

一、多层线性模型简介

二、多层线性模型基本原理
三、多层线性模型HLM软件的应用

多层线性模型简介


1、多层数据结构的普遍性 多层（多水平）数据指的是观测数据在单位上具有 嵌套的关系。 （1）教育研究领域 EG：学生镶嵌于班级，班级镶嵌于学校，或者学生 简单地镶嵌于学校，这时学生代表了数据结构的第 一层，而班级或学校代表的是数据结构的第二层； 如果数据是学生镶嵌于班级，而班级又是镶嵌于学 校，那么就是三层数据结构。

多层线性模型简介



（3）组内分析组间分析 对相同的数据进行三次计算： 一是在组内的个体层上进行的分析，称为组内效应 二是通过平均或整合第一层中的个体数据，得到第二层的组 间数据，称为组间效应 三是忽视组的特性而对所有的数据进行分析，称为总效应。 在此基础上，计算组内效应和组间效应在总效应的比例，从 而确定变异来自于组间还是组内。 组内分析组间分析的方法较前两种方法更多的考虑到了第一 层数据及第二层数据对变异产生的影响，但并无法对组内效 应和组间效应做出具体的解释，也就无法解释为什么在不同 的组变量间的关系存在差异。
ij 0j 1j ij ij
var(eij )
2
多层线性模型——完整模型

第二层：
0j
00

W 01
j
u0 j
1 j 10 11W j u1 j
var(0 j ) 00
var(1 j ) 11
cov(0 j , 1 j ) 10
多层线性模型简介



（2）组织心理学研究领域 Eg:雇员镶嵌于不同的组织、工厂 （3）发展心理学领域 Eg:纵向研究、重复研究 在一段时间内对儿童进行多次观察，那么不同时间 的观测数据形成了数据结构的第一层，而儿童之间 的个体差异则形成了数据结构的第二层。这样，就 可以探索个体在其发展趋势或发展曲线上的差异。
多层线性模型——随机效应回归模型
随机效应回归模型（Radom Eeffect Regression Model） 第一层： Y X e

ij 0j 1j ij ij

第二层：
0j
00

u0 j
1 j 10
u1 j
多层线性模型——随机效应回归模型

此模型与完整模型的区别在于第二层没有预 测变量；与传统OLS回归区别在于第一层的 β 0j和β 1j是随机的而非固定的，其目的是寻 找第一层的截据、斜率在第二层单位上的变 异。


Time:一般用编码的形式来反映增量 Eg: 0、1、2、3、4、5 －5、－4、－3、－2、－1、0 线性发展模型的第一层方程并不一定为线性方程，也可以 为非线性方程。 Eg:
Yij 0 j 1 j TIME 2 j TIME eij
2
时间变量编码为0 时Y的总体平均数