HLM多层线性模型简介
hlm模型的概念和原理
hlm模型的概念和原理
HLM模型（Hierarchical Linear Model，分层线性模型）是一种用于分析多层数据结构的统计方法，可以用于研究个体差异、群体差异以及群体与个体相互作用等方面的问题。
在社会科学、心理学、医学等领域得到广泛应用。
HLM的原理是基于线性模型的，但它将数据分为多个层次，并对每个层次的变量进行单独分析和建模。
HLM可以解决一些传统线性模型无法解决的问题，例如在研究个体差异时，传统线性模型只能考虑个体内差异，而HLM可以同时考虑个体内和个体间的差异。
在具体实现上，HLM模型涉及到两个重要的专业术语，分别是‘固定效应’和‘随机效应’。
固定效应是指做HLM模型时，不涉及group 干扰时的影响关系研究；随机效应可指在group层面时的影响关系情况。
如果完全不考虑group，即不考虑‘聚集性’问题，那么直接使用线性回归即可，并不需要使用HLM模型；而HLM模型就是处理‘聚集性’问题的一种进阶方法。
如果说使用HLM模型，并且在分析时只考虑个体效应不需要考虑group层面的效应，即只有固定效应项并无随机效应项；如果说使用HLM模型，并且在分析时考虑个体效应的同时还考虑group层面的效应，即包括固定效应项和随机效应项。
多层线性模型与HLM软件应用概述
多层线性模型与HLM软件应用概述
多层线性模型（Hierarchical Linear Model, HLM）是一种多层次的
数据分析方法，可以用于处理分层结构的数据，如学生嵌套在班级中，班
级嵌套在学校中等。
HLM软件是用于实施多层线性模型分析的统计软件，
其中常用的有HLM7、HLM6和MLwiN等。
HLM软件是专门用于多层线性模型分析的工具，主要有以下几个常见
的应用：
1.教育研究：HLM软件可以用于教育研究中的学校和班级层次的分析。
例如，可以通过学生嵌套在班级和学校中，分析学校和班级对学生成绩的
影响，从而得出不同层次间的差异。
2.医学研究：HLM软件可以用于医学研究中的多层次数据分析。
例如，可以分析患者嵌套在医院和地区中，探究医院和地区对患者健康指标的影响。
3.组织行为研究：HLM软件可以应用于组织行为研究中的多层次数据
分析。
例如，可以分析员工嵌套在团队和组织中，探究团队和组织特征对
员工绩效的影响。
4.社会科学研究：HLM软件可以用于社会科学研究中的多层次数据分析，如家庭、社区和城市等不同层次的分析。
例如，可以分析个体嵌套在
家庭和社区中，研究家庭和社区对个体幸福感的影响。
总之，多层线性模型和HLM软件可以用于处理分层结构的数据，帮助
研究者深入分析不同层次间的差异。
在教育、医学、组织行为和社会科学
等领域具有广泛的应用前景，能够提供更准确和全面的研究结果。
多层线性模型简介
多层线性模型——零模型
第一层：
Yij 0 j eij
var(eij )
2
第二层：
0 j 00 u0 j
00 uoj eij
var(0 j ) 00
合并模型： Yij
多层线性模型——零模型
0 j指第j个二层单位Y的平均值
多层线性模型简介
（2）组织心理学研究领域 Eg:雇员镶嵌于不同的组织、工厂 （3）发展心理学领域 Eg:纵向研究、重复研究 在一段时间内对儿童进行多次观察，那么不同时间 的观测数据形成了数据结构的第一层，而儿童之间 的个体差异则形成了数据结构的第二层。这样，就 可以探索个体在其发展趋势或发展曲线上的差异。
ij 0j 1j ij ij
var(eij )
2
多层线性模型——完整模型
第二层：
0j
00
W 01
j
u0 j
1 j 10 11W j u1 j
var(0 j ) 00
var(1 j ) 11
cov(0 j , 1 j ) 10
多层线性模型简介
3、多层线性模型分析方法 回归的回归方法 Eg:学生成绩（X） 学习动机（Y） 班级教师教学水平（W） （1）求各个班级学生成绩对学习动机的回归
Yij 0 j 1j X i j rij
多层线性模型简介
（2）求教师教学水平对β 0j和 β
1j
的回归方程
00
eij指第j个二层单位Y的变异
指所有二层单位的Y的总体平均数 0 j 指第二层方程的残差（随机项） 跨级相关：指Y的总体变异中有多大比例是由 第二层的变异引起的。
(完整版)多层线性模型介绍
多层线性模型：HLM（hierarchical linear model）计量模型，为解决传统统计方法如回归分析在处理多层嵌套数据时的局限而产生的，是目前国际上较前沿的一套社会科学数据分析的理论和方法，优势体现两个方面：一是解决了数据嵌套问题；二是为追踪研究或重复测量研究引入了新方法。
传统的线性模型，例如，ANOV A或者回归分析，只能对涉及某一层数据的问题进行分析，而不能将涉及两层或多层数据的问题进行综合分析，而多层线性模型对解决这些问题提供了有效的统计方法。
多层线性模型的参数估计方法与进行两次回归的方法在概念上是相似的, 但二者的统计估计和验证方法却是不同的, 并且多层线性模型的参数估计方法更为稳定。
因此多层模型的应用范围也相当广泛，与传统的用于处理多元重复测量数据的方法相比，该模型具有对数据资料要求低、能够明确表示个体在第一层次的变化情况、可以通过定义第一层次和第二层次的随机变异解释个体随时间的复杂变化情况、可以考虑更高一层次的变量对于个体增长的影响等特点。
多层线性模型( multilevel model ) 由Lindley 等于1972 年提出，是用于分析具有嵌套结构数据的一种统计分析技术。
作为传统方差分析模型的有效扩展Korendijk 等和Duncan 等众多的研究者对多层线性模型进行了广泛研究。
20 多年来，该方法在社会科学领域获得了广泛应用。
近年来，有研究者提出使用多层线性模型进行面板研究，并且已在社会科学领域取得较大进展。
面板研究中多层线性模型的应用优势：由上述分析可知，在面板研究中，传统的数据分析方法会遇到很多难以克服的困难，而多层线性模型可以很好地处理上述问题。
近年来，越来越多的面板研究开始采用多层线性模型的分析方法，显示出多层线性模型在面板研究中的独特优势。
首先，多层线性模型通过考察个体水平在不同时间点的差异，明确表达出个体在层次一的变化情况，因而对于数据的解释（个体随时间的增长趋势）是在个体与重复观测交互作用基础上的解释，即不仅包含不同观测时点的差异，也包含个体之间存在的差异。
（完整版）多层线性模型介绍
（完整版）多层线性模型介绍多层线性模型：HLM（hierarchical linear model）计量模型，为解决传统统计方法如回归分析在处理多层嵌套数据时的局限而产生的，是目前国际上较前沿的一套社会科学数据分析的理论和方法，优势体现两个方面：一是解决了数据嵌套问题；二是为追踪研究或重复测量研究引入了新方法。
传统的线性模型，例如，ANOV A或者回归分析，只能对涉及某一层数据的问题进行分析，而不能将涉及两层或多层数据的问题进行综合分析，而多层线性模型对解决这些问题提供了有效的统计方法。
多层线性模型的参数估计方法与进行两次回归的方法在概念上是相似的, 但二者的统计估计和验证方法却是不同的, 并且多层线性模型的参数估计方法更为稳定。
因此多层模型的应用范围也相当广泛，与传统的用于处理多元重复测量数据的方法相比，该模型具有对数据资料要求低、能够明确表示个体在第一层次的变化情况、可以通过定义第一层次和第二层次的随机变异解释个体随时间的复杂变化情况、可以考虑更高一层次的变量对于个体增长的影响等特点。
多层线性模型( multilevel model ) 由Lindley 等于1972 年提出，是用于分析具有嵌套结构数据的一种统计分析技术。
作为传统方差分析模型的有效扩展Korendijk 等和Duncan 等众多的研究者对多层线性模型进行了广泛研究。
20 多年来，该方法在社会科学领域获得了广泛应用。
近年来，有研究者提出使用多层线性模型进行面板研究，并且已在社会科学领域取得较大进展。
面板研究中多层线性模型的应用优势：由上述分析可知，在面板研究中，传统的数据分析方法会遇到很多难以克服的困难，而多层线性模型可以很好地处理上述问题。
近年来，越来越多的面板研究开始采用多层线性模型的分析方法，显示出多层线性模型在面板研究中的独特优势。
首先，多层线性模型通过考察个体水平在不同时间点的差异，明确表达出个体在层次一的变化情况，因而对于数据的解释（个体随时间的增长趋势）是在个体与重复观测交互作用基础上的解释，即不仅包含不同观测时点的差异，也包含个体之间存在的差异。
多层线性模型讲议[1]
![多层线性模型讲议[1]](https://img.taocdn.com/s3/m/3d5c561910a6f524ccbf85b2.png)
基于HLM的多层线性模型 ——原理与操作
多层线性模型的发展 多层线性模型分析数据的特点 多层线性模型分析例子——两水平分析模型 用HLM软件分析两水平线性模型
多层线性模型的发展
1、多层线性模型的多学科应用性 2、多层线性模型的产生背景 3、多层线性模型产生所经历的三个阶段 （1）模型的理论构想阶段 （2）问题的解决阶段——计算方法的突破 （3）快速发展阶段
多层线性模型分析数据的特点
1、层次结构（嵌套结构）特点数据在社会 研 究中的普遍性 2 2、传统回归对多层数据的处理
（1）将所有更高一层的变量都看作是第一水平的变量， 直接在第一水平上对数据进行分析（缺点是什么？） （2）将第一水平的观测直接合并为第二水平的观测， 然后直接对第二水平进行分析（缺点是什么？）
3、多层线性模型在教育与心理研究中应用 时的普遍性
多层线性模型的分析例子 ——两水平线性模型
1、两水平线性分析的数学模型
水平1（ 水平 （如：学生）：Yij= β0j+ β1jXij+eij 学生）： 水平2（如：学校）：β0j=r00+r01Wj+u0j 水平 （ 学校）：
β1j=r10+r11Wj+u1j
的中心化——为了解释的需要 4、预测变量Xij和Wj的中心化 、预测变量 为了解释的需要
用HLM软件分析两水平多层线性模型 ——操作与结果解释
1、HLM对数据库的要求——基于SPSS 2 2、生成SSM数据文件 SSM 3、模型设定 4、程序运行 5、结果解释与模型评价
合并模型表示为： 合并模型表示为：
Yij=r00+r10Xij+r01Wj+r11XijWj+u0jXij+u0j+eij
HLM多层线性模型教程
HLM多层线性模型教程HLM（Hierarchical Linear Modeling）是一种多层线性模型，常用于分析层级结构的数据。
相比于传统的线性模型，HLM能够更好地处理多层数据的结构，并考虑到不同层级之间的相关性。
HLM模型由两个部分组成：固定效应和随机效应。
固定效应表示不同的自变量对因变量的影响，而随机效应则表示不同层级之间的方差和协方差。
通过区分这两种效应，HLM能够更准确地估计模型参数。
首先，我们来看一下HLM的基本模型。
假设我们有一个层级结构的数据集，其中个体（比如学生）位于组（比如班级）之中。
我们可以建立以下的多层线性模型：Level 1: Y = β0 + β1*X + rLevel 2: β0 = γ00 + u0β1=γ10+u1在Level 1中，Y表示因变量（比如学生成绩），X表示一个或多个自变量（比如学生的背景信息），β0和β1表示固定效应，r表示误差项。
在Level 2中，β0和β1被分解为γ00和γ10（固定效应）以及u0和u1（随机效应）。
通过HLM模型，我们可以估计出固定效应和随机效应的值。
HLM模型的建模过程主要包括以下几个步骤：1.数据准备：将多层数据按照层级结构整理，确保每个样本都有相应的层级信息。
2.模型设定：根据研究问题和数据特点，确定模型的层级结构、因变量、自变量以及需要考虑的随机效应。
3. 模型估计：使用统计软件（如HLM软件）进行模型估计。
HLM模型的估计通常使用迭代加权最小二乘（Iterative Weighted Least Squares, IWLS）方法。
4.参数解释和效应分析：根据估计结果，解释固定效应和随机效应的含义，并进行效应分析。
在解释HLM模型的结果时，需要特别注意几点。
首先，固定效应代表在不同层级上，自变量对因变量的影响。
例如，在学生的层级上，自变量X对学生成绩Y的影响是β1、其次，随机效应代表不同层级之间的方差和协方差。
HLM多层线性模型简介
Introduiu@
主要内容
为什么要用多层线性模型?
回归分析模型回顾 多层（多水平）数据特点
什么是多层线性模型？
HLM发展 HLM数学模型 HLM常见简化模型
两水平模型应用举例 应该注意的问题
回归分析模型
Yi 01Xii
i ~N0,2
回归分析模型的假设
线性（Linearity） 误差正态分布（ normally
distributed） 误差方差齐性（homoskedastic） 误差或观测个体之间相互独立
（independent）
什么是多层（多水平）数据?
多层（多水平）数据指的是观测数据在单位上 具有嵌套的关系。如学生嵌套于班级，班级嵌 套于学校等。
同一单位内的观测，具有更大的相似性。同一 个班级的学生由于受相同的班级环境等因素的 影响有更大的相似性。
嵌套于背景（contextual）特征 的多层数据举例
学生水平特征的观测，嵌套于班级或学校 兄弟姊妹特征的观测，嵌套于家庭 个体之间的观测嵌套于社区 个体不同时间点的重复测量嵌套于个体 病人嵌套于医院 参数的估计嵌套于不同的研究 (元分析，meta-analysis)
（如学生特征）之间的关系 常用来估计组内（如班级内）和组间（如班级间）变
量间的关系 以及跨水平的交互作用。
例如, 学校内和学校间自我概念和学业成绩之间的关系。
多层线性模型简介
多层线性模型－－一种处理嵌套数据的 统计方法。通过定义不同水平（层）的 模型，将随机变异分解为两个部分，其 一是第一水平个体间差异带来的误差， 另一个是第二水平班级的差异带来的误 差。可以假设第一水平个体间的测量误 差相互独立，第二水平班级带来的误差 在不同班级之间相互独立。多水平分析 法同时考虑到不同水平的变异 。
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多层线性模型
模型的假设条件为：
eij 间相互独立； （1） eij ～ N (0, 2 ) ，
u0 j u 0 j 00 01 ～ N (0, ) ， Var （2） u u 1j 1 j 10 11 （3） Cov (u 0 j , eij ) Cov (u1 j , eij ) 0 ， Cov (u ij1 , u ij2 ) 0, j 1 j 2
多层线性模型
截距与斜率之间的相关系数：
r ( 0 j , 1 j )
01
( 00 11 )
1 2
截距与斜率之间的相关系数大小表示了不同学
校平均高考成绩与入学成绩对高考成绩影响强 度之间的关系，如果相关系数大于零，表示平 均成绩越高，入学成绩对期末成绩的影响越大。
HLM常用模型类型
（如学生特征）之间的关系 常用来估计组内（如班级内）和组间（如班级间）变 量间的关系 以及跨水平的交互作用。
例如, 学校内和学校间自我概念和学业成绩之间的关系。
多层线性模型简介
多层线性模型－－一种处理嵌套数据的
统计方法。通过定义不同水平（层）的 模型，将随机变异分解为两个部分，其 一是第一水平个体间差异带来的误差， 另一个是第二水平班级的差异带来的误 差。可以假设第一水平个体间的测量误 差相互独立，第二水平班级带来的误差 在不同班级之间相互独立。多水平分析 法同时考虑到不同水平的变异 。
Intercept
uj表示什么?
残差项 定义第 j 组（第二水平） 对于第 j组的所有观测都相同
只有下标 j, 没有下标 i
解释: 总截距和第 j组的截距之间的差异
rij表示什么?
残差项 定义第 j 组第i 个观测 均值为0
模型的特征
注意到: 我们有:
ij = uj + rij
图1：不考虑学校之间差异的回归直线
HLM数学模型
（2）如果将数据进行简单合并，用每个学校
学生的平均成绩代替这个学校的成绩，直接在 学校水平上估计入学成绩对高考成绩的影响， 得到一条回归直线，如图2所示，这种方法忽 略了不同学生之间的差异；
图2：只考虑学校差异忽略学生差异回归直线
HLM数学模型
多层线性模型
多层分析方法提供了解决嵌套数据关系
的合理的正确的统计方法。下面结合上 面提到的例子，介绍两水平模型的一般 数学表示：
多层线性模型
水平1（如：学生）
Yij 0 j 1 j X ij eij
水平2（如：学校）
Yij---第j个 学校的第i 个学生
0j g
水平2（如：学校）
Yij---第j个 学校的第i 个学生
0j g
00
u0 j
1 j g 10
u1 j
何谓多层线性模型?
多层线性模型又称为：
多水平分析（ Multilevel Analysis ）
混合模型（Mixed Models）
随机系数模型（Random Coefficient Models）
什么是多层（多水平）数据?
多层（多水平）数据指的是观测数据在单位上
具有嵌套的关系。如学生嵌套于班级，班级嵌 套于学校等。
同一单位内的观测，具有更大的相似性。同一
个班级的学生由于受相同的班级环境等因素的 影响有更大的相似性。
嵌套于背景（contextual）特征 的多层数据举例
学生水平特征的观测，嵌套于班级或学校 兄弟姊妹特征的观测，嵌套于家庭
模型的另一种表达
Yij 0 1 X ij u j rij 0 j 1 X ij rij
这里
0 u j 1 X ij rij
0 j 0 u j
多层线性模型
水平1（如：学生）
Yij 0 j 1 j X ij eij
HLM的发展
快速发展与应用 HLM（Bryk，Randenbush，Seltzer＆ Congdon，1988）； Mlwin（Rabash，Prosser＆Goldstein， 1989）； VARCL（Longford，1988）； MPLUS（Muthen，1992）。
多层线性模型
回归模型的一种 常用来回答背景变量（如班级环境等）与个体变量
HLM数学模型
例如：对73个学校1905名学生进行调查，
目的是考虑其刚上高中时的入学成绩与 三年后高考成绩之间的关系。 考虑方法： （1）如果用传统的线性回归分析，直接在 学生水平上进行分析，得出入学学业成 绩对高考成绩之间的一条回归直线，如 下图1所示，从图1的结果可以看出，传 统回归分析没有区分不同的学校之间的 差异。
Var(ij)
= Var(uj + rij) = Var(uj) + Var(rij) + 2*Cov(uj,rij) = Var(uj) + Var(rij)
模型的特征
Yij 的值可能存在第二水平（组间）的差异 对于 uj和 rij没有定义其分布. X 和 Y 之间的关系不依赖于 j (1 不依赖于 j)
HLM的发展
2问题解决阶段 Dempster、Laird 和Rubin(1977)提出EM算 法; Dempster（1981）将EM算法应用于 解决多层线性模型的参数估计 ; 1983年， Strenio、Weisberg和Bryk等相继将这一方 法应用于社会学的研究；1986年 Goldstein应用IRGLS估计参数，1987年， Longford应用费歇得分算法对模型参数进 行了估计。
统回归不可能做到这一点）,那么同一组内的观测之间 的误差可能相关；
这就违背了传统回归（OLS）中关于残差相互独立的
假设；
至少，传统回归分析得到的标准误的估计不正确（太
小）。
HLM数据特点
对于嵌套数据，传统回归模型的做法：
（1）个体（如学生）水平上分析 问题：同一班级的学生间相互独立的假 设是不合理的，同样对不同班级的学生 和相同班级的学生作同一假设也是不合 理的。 （2）组（如学校）水平上分析 问题：丢失了班级内学生个体间的差异 的信息。
随机效应一元方差分析模型（one-way Anova
with Random Effect） 第一水平： Y
图4：考虑不同学校平均成绩差异 和入学对毕业成绩影 响程度差异的回归直线
回归模型中，如何解决残差相关 的问题?
希望定义一个模型，可以明确地允
许因变量水平在组内和组间存在差 异 例如，允许学生的学业成绩存在学 校之间的差异
告别 OLS: 一个简单的多层线性模 型
将
Yij 0 1 X ij ij
多层线性模型简介
Introduction to HLM
北京师范大学心理学院 刘红云 hyliu@
主要内容
为什么要用多层线性模型?
回归分析模型回顾 多层（多水平）数据特点 HLM发展 HLM数学模型 HLM常见简化模型
什么是多层线性模型？
两水平模型应用举例 应该注意的问题
一个简单的多层线性模型
Yij 0 1 X ij u j rij
Outcome for observation i in unit j
Intercept
一个简单的多层线性模型
Yij 0 1 X ij u j rij
Outcome for observation i in unit j Value of X for observation i in unit j Coefficient
重写为:
Yij 0 1 X ij u j rij
一个简单的多层线性模型
Yij 0 1 X ij u j rij
一个简单的多层线性模型
Yij 0 1 X ij u j rij
Outcome for observation i in unit j
Intercept
一个简单的多层线性模型
Yij 0 1 X ij u j rij
Outcome for observation i in unit j Residual term specific to observation i in unit j
Residual term specific to unit j Value of X for observation i in unit j Coefficient
（3）如果假设不同学校入学成绩对
高考成绩的回归直线截距不同，斜 率相同（平均学习成绩之间存在差 异），得到如图3的结果，从图中结 果可以看出，不同学校学生平均高 考成绩之间存在差异。
图3：考虑不同学校平均成绩差异的回归直线
HLM数学模型
（4）对73所学校分别做回归分析，
得到如图4的结果，如图4所示，从 图中结果可以看出，不同学校回归 直线的截距和斜率均不同，即：不 同学校学生平均高考成绩之间存在 差异，入学学业成绩对高考成绩的 影响强度不同。
个体之间的观测嵌套于社区
个体不同时间点的重复测量嵌套于个体 病人嵌套于医院 参数的估计嵌套于不同的研究 (元分析，meta-analysis)
对多层数据，我们了解什么...
随机选取两个观测，同一组内的观测之间的相似性要
比不同组观测之间的相似性大；
如果回归模型不能解释所有的组间的差异（事实上传
HLM数据特点
对于嵌套数据，传统回归分析的假设往
往无法满足。 传统的线性回归模型假设变量间存在直 线关系，因变量总体上服从正态分布， 方差齐性，个体间相互独立。前两个假 设较易保证，但方差齐性，尤其是个体 间相互独立的假设却很难满足。