电动力学静电场-习题课
静电场习题优秀课件
设经过S1、S2旳电场强度通量分别为1、2，经过整个
球面旳电场强度通量为3，则
[]
（A）1>2，3=q/0 （B）1<2，3=2q/0 （C）1=2，3=q/0； （D）1<2，3=q/0；
q
o
S2
图1-4
2q
o
X
S12a
答：[ D ]
1-14(a) 点电荷q位于边长为a旳正立方体旳中心，经 过此立方体旳每一面旳电通量各是多少？
(b) 若电荷移至正方体旳一种顶点上，则经过每个面 旳电通量又各是多少？
解: (a) 因为6个全等旳正方形构成一种封闭
面, 所以 q 6 0
(b) 该顶点可视为边长等于2a 旳大立方 q
体旳中心, 经过每个大面旳电通量为 每个小立方体中不经过该顶点旳
6 0
三个小面上旳电通量为
q
24 0
而经过该顶点旳另三个 小面旳电通量为0.
s
E
dS
4r
2E
q内
0
(1) E1 = 0
（2）E2
q1
4 0r22
9
109
1.0 108 (0.2)2
q1 q2
2.25 103 v / m
(3)
E3
q1 q2
4 0r32
9
109
(1.0
1.5) (0.5)2
108
9 102 v / m
E不是r旳连续函数, 在两个球面处有跃变.
1-16 (1)设地球表面附近旳场强约为200v·m-1,方向指向 地球中心，试求地球所带旳总电量。 (2) 在离地面 1400m高处，场强降为20v·m-1，方向仍指向地球中心, 试计算在1400m下大气层里旳平均电荷密度.
静电场习题课讲稿PPT课件
L
第10页/共114页
例 求一均匀带电圆环轴线上任一点 x处的电场。
已知： q 、R 、 x。
dq
y
R
d Ey p
d Ex
x
d Ey
x
dE
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课堂练习：
1.求均匀带电半圆环圆心处的 E，已知 R、
电荷元dq产生的场
dE
dq
4 0 R2
Y
根据对称性 dEy 0
dq
dEx
r dS E
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dS
E
r
第42页/共114页
r>R
电通量
e E dS E4r 2
电量
qi q
r
高斯定理
E4r 2 q 0
场强
q
E 4 0r 2
第43页/共114页
E
R
高斯面
均匀带电球体电场强度分布曲线
E
E
R
qr E 40R3
q
ε 40r 2
O
r
O
R
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E
E
均匀带电球面
E
E
E
dS
R
r
E
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E
高斯面
E
E
E
E
E
dS
rE
E
高斯面
E
R
E
E
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rR
e
qi
E2 q
dS E2 dS E2 4r 2
s2
E2 4r 2 q 0
+
+ +
+ R
10静电场习题课II
εr 的介质板插入电容器
S
εr
d
U
1 1 2 1 2 2 解 ： 1）∆W = ∆( CU ) = U ∆C = U (ε C − C ) （ r 0 0 2 2 2 2 1 ε0SU 1 2 (εr −1) = U C0 (εr −1) = 2 2 d ε0SU2 （2）A 源 = U∆Q = U∆(CU) = U 2∆C = (εr −1) 电
r F+ r E
r r = − qEl cosθ = − PEcosθ = − P ⋅ E
r r 讨论（ 讨论（1） P// E r r
r E
r P r P
稳定平衡
F = 0 ，M = 0 W = −PE r r （2） P⊥E r
F = 0 ，M = PE W = 0r r （3） P //( −E) r r F = 0， M = 0 W = PE
R2 R 1
U1 U2
U12 = ∫ E ⋅ dl = ∫ E cosθdl R1 R1 R2 λ λ R2 =∫ dr = ln = U1 −U2 = 2U0 −U0 = U0 R1 2 πε0r 2πε0 R 1 U0 1 2πε0U0 E= λ= ， ln( R2 / R ) r ln( R2 / R ) 1 1 r r r r r U0 1 dr U1 −U(r) = ∫ E ⋅ dl = ∫ E cosθdl = ∫ R ln( R R ) r R R 2 1 U0 r U0 r = ln U ln ， U(r) = 2 0 − ln( R2 / R ) R ln( R2 / R ) R 1 1 1 1
1 2 1 2 1 > A 力 = − U ∆C = U C（ − ） 0 1 外 2 2 n
14静电场习题课
X
由于左右半圆环电荷分布的对称性，合场强的ｙ分量抵消 由于左右半圆环电荷分布的对称性，合场强的ｙ
λ ｄｌ ＋ ）＝－ ｄEｘ＝ｄEｃｏｓ（ π φ 2ｃｏｓ φ 4ππR 0 λR 0 2 ＝－ ｄ 2ｃｏｓφ φ 4ππR 0
λ0 2π 2 Eｘ＝－ ∫ ｃｏｓ φｄ φ 4πε R 0 0 λ0 2π 1－ｃｏｓ 2φ ＝－ ｄφ ∫ 0 4πε R 2 0 λ0 ＝－ 4ε0 R
2
d
•
⇒ E = 0 试指出其错误。 试指出其错误。
答：所选球面上场强的大小不处处相等，不能用： 所选球面上场强的大小不处处相等，不能用：
E • dS = E • 4πr ∫∫
S
2
〔例5〕已知空间电场强度分布为 〕 求（1）通过图示立方体的电通量， ）通过图示立方体的电通量， （2）该立方体内的总电荷是多少？ ）该立方体内的总电荷是多少？ 解：（1） ：（ ）
ｑ ∴U 0＝ ＝U球 4πε ｒ 0
〔例14〕正电荷均匀分布在半径为R的球形体积内，电荷体 〕正电荷均匀分布在半径为R的球形体积内， 密度为ρ,求球内ａ点与球外ｂ点的电势差时， ρ,求球内 密度为ρ,求球内ａ点与球外ｂ点的电势差时，得出结果
R O
σ
x
X
σ －σ ｘ E＝ ｉ ＋ 〔1－ ｉ〕 2 2 2ε 2ε R ＋ｘ 0 0 σ ｘ ＝ ｉ 2 2 2ε R ＋ｘ 0
U＝ E •ｄ ｌ ∫Eｃｏｓ π ＝ －E（－ｄｘ） ＝ ｄｌ ∫ ∫
0 ｘ 0 ｘ 0 ｘ
σ 0 ｘ 注意符号变换！ 注意符号变换！ ｄｘ ＝ ∫ 2 ｘ 2 2ε R ＋ｘ 0 －1 σ 01 2 2 ＝ ∫（R ＋ｘ ） 2ｄ（R 2＋ｘ2） ｘ 2ε 2 0 σ 1 （R ＋ｘ ）2 0 σ ＝ 〔 • 〕 ＝ 〔R－ R 2＋ｘ2〕 ｘ 1 2ε 2 2ε 0 0 2
静电场习题课一
(1)若将放在电场中某点的电荷q改为－q，则该点的电场强度 大小不变，方向与原来相反。 (2)若取走放在电场中某点的电荷，则该点的电场强度变为零。 (3)沿电场线方向，场强一定越来越小。 (4)若电荷q在A处受到的电场力比B点时大，则A点电场强度比 B点的大。 (5)电场中某点电场线的方向，就是放在该点的电荷所受电场 力的方向。 (6)在电场中，电场强度越大的地方电势越高。 (7)原静止的点电荷在只受电场力时，一定从电势高处向电势 低处运动。 (8)电荷沿电场线方向移动时，其电势能一定减小。 (9)检验电荷在电场中某点所受的电场力很大时，它在该点具 有的电势能也一定大。 (10)把两个异号电荷靠近时，电荷电势能增电场中相邻的四个 等势面，一个电子垂直经过等势面D时动能为 20eV，经过等势面C时的电势能为-10eV，到达等 势面B时速度恰好为零，已知相邻等势面间距离为 5cm，则下列说法正确的是( )
A.A等势面的电势为-10V
B.匀强电场的场强为200V/m
选ABD
C.电子再次经过D等势面时， 动能为l0eV
D.电子的运动是匀变速直线 运动
• 练习：A、B是一条电场线上的两个点，一带 负电的微粒仅在电场力作用下以一定初速度 从A点沿电场线运动到B点，其速度—时间图 象如图1－15所示.则这一电场可能是
A
例1：如图，倾角 的光滑绝缘斜面处于水平向右的匀强 场中，电场强度 ，有一个质量为 的带电小球，以速度 沿斜面匀速下滑，求： （1）小球带何种电荷？电荷量为多少？ （2）在小球匀速下滑的某一时刻突然撤去斜面，此后经 内小球的位移是多大？（ 取 ）
小球必带正电，
重力场、电场叠加而成的复合场
等效重力场 等效重力 等效重力加速度
重力、电场力的合力
习题课第1章 静电场的基本规律
第1章 静电场的基本规律（习题课）一、 本章内容提要要求：理解和掌握各种物理量（概念）的定义和物理含义，掌握各种物理定理（律）的成立条件和运用方法。
1. 两种电荷、电荷守恒和电荷量子化2. 库仑定律 rr q q F ˆ412210⋅=πε 3. 电场强度 0q FE=4. 场强叠加原理 ∑=i E E5. 点电荷电场 r rqE ˆ4120⋅=πε 6. 电荷连续分布的带电体 三种电荷分布 ⎪⎩⎪⎨⎧===dl dq dS dq dVdq λσρ r r dq E d E 2041⋅==⎰⎰πε 计算电场分布的第一种方法（如何计算矢量积分？）7. 电场线及其性质发自正电荷（无穷远），终止于负电荷（无穷远），不在没有电荷处中断。
在静电场中，电场线不构成闭合曲线。
两条电场线不相交。
8. 高斯定理 电场的通量ε∑⎰⎰=⋅isqS d E（积分形式）ερ=⋅∇E （微分形式）电场的散度 E⋅∇=Ed i v ， 有源场和无源场 高斯定理的意义——反映一般电场性质的规律。
哈密顿算符 z k y j x i ∂∂+∂∂+∂∂=∇ˆˆˆ，θϕθθϕ∂∂+∂∂⋅+∂∂=∇r e r e r er 1ˆsin 1ˆˆ计算电场分布的第二种方法（有条件的）9. 静电场的环路定理 电场的环量0l d =⋅⎰E L（积分形式）0=⨯∇E（微分形式）电场的旋度 E⨯∇=Er o t ，有旋场和无旋场 反映静电场性质的规律。
静电力是保守力，静电场是有势场。
10. 静电势能 l d 0⋅==-⎰QPPQ Q P E q A W W代表0q 与场源电荷之间的相互作用能 11. 电势差和电势l d 0⋅==-=-=⎰QPPQ QP Q P PQ E q A q W W U U Ul d ⋅=-=⎰o Po P p E U U U电势U 和静电势能W 参考零点的选择：（A ）场源电荷分布于有限空间内，无穷远；（B ）地面、金属外壳。
大学物理-静电场习题课PPT课件
★场强E是高斯面上任一点的电场强度。当高斯面内无电荷时，高斯面上的场
强并不一定处处为零;当高斯面上的场强处处为零时,高斯面内一定无电荷或代 数和为零。
★高斯面可任意选取，但解题中应充分利用对称性。
★适用于任何静电场，也适用于变化的电场，是电磁场的基本定理之一。
4
第10章 恒定磁场
常见应用高斯定理求解的问题
补偿法：均匀带点球+小面元（视为点电荷）
点 电 荷u q 4πε0r
带 电 球 面u(R) Q 4πε0 R
Q 4πR 2
q S Q S
4πR2
1
Q
S
E 4πε0R (Q q) 4πε0R (1 4R2 )
13
第10章 恒定磁场
个人观点供参考，欢迎讨论
高斯定理：
1
s
E
• ds
0
qi
静电场是有源场
3
第10章 恒定磁场
高斯定理：通过任意闭合曲面的电通量等于这个闭合曲面(高斯面）所包围的电
荷的代数和除以 0 ,而与闭合曲面外的电荷无关。
真空中
1
e s E • ds 0
qi
q1 S
注意:
q3
q2
★过曲面的通量由曲面内的电荷决定
★高斯面上的场强 E 是由全部电荷（面内外电荷）共同产生
5 如图所示，在边长为的正方形平面的中垂线上， 距中心O点a/2处，
有一电量为q的正电荷，则通过 该平面的电场强度通量为______________
a
a/2 q
a/2q
a
由高斯定理 q 0
a
q 60
9
第10章 恒定磁场
P30 计算题1.一半径为R的带电球体，其电荷体密度分布为 ρ =A r (r≤R) ， ρ =0 (r＞R) A为一常量．试求球体内外的场强分布．
静电场的基础知识课后习题(仅供参考)
4.4解：如图所示建立坐标系，在半圆 环上取一小段圆弧，其长度为θRd则其带电量为θλ=Rd q d此段圆弧在环心O 点产生的电场强度为R4d R 4dq dE 020πεθλ=πε=由半圆环的对称性可知0点的场强E沿y 轴负向，所以有R4d sin sin dE dE 0y πεθθλ=θ=故环心处的电场强度大小R2R 4d sin dE E E 000y y πελ=πεθθλ===⎰⎰π所以 j R2E 0πελ-=4.5解：（1）两电荷同号时，在其连线外侧电场强度方向相同，内侧电场强度方向相反，故电场强度为零的点在两电荷连线内侧，设该点与q 1距离为r 1 ,(r 1>0)，由场强叠加原理有0)(4421022101=--r d q rq πεπε 可得2111q q d q r +=（2）两电荷异号时，在其连线内侧电场强度方向相同，外侧电场强度方向相反。
故电场强度为零的点在两电荷连线外侧，又由于q 2>q 1 ,所以电场强度为零的点在q 1的外侧，设该点与q 1的距离为2r ，由场强叠加原理得0)r d (4q r 4q 22022201=+πε-πε可得 1212q q d q r -=4.7 解：建立如图所示的坐标系。
将带电 线分成两部分半圆环和两条半无 限长直线进行考虑。
设带电线线电荷密度为λ，分析半圆环部分：在半圆环上取一小段圆弧，其长度为dl ，则其带电量为 θλ=λ=d R dl dq 此段圆弧在环心0点产生的电场强度为： 20Rd R 41E d θλπε=电场分布关于x 轴对称：0=y E ,θθλπε=θ=sin R d R 41sin dE dE 20x所以R2d sin R 4sin R rd 41sin E E 000020πελ=θθπελ=θθλπε=θ=⎰⎰⎰ππ 方向沿x 轴正方向 分析两个半无限长直线：建立如图所示的坐标系，在带电直线上取电荷元dx dq λ=，它在O 点产生的电场强度大小为O ′)(4422020R x dxr dq dE +==πελπε 由带电线的对称性可知O 点的电场强度E沿x 轴负方向，所以有2/322022220)(4)(4cos R x xdxRx x R x dxdE dE x +=++==πελπελθ所以剩下部分在O 点产生的场强大小RR x xdxdE E E x x 002/32202)(4πελπελ=+===⎰⎰∞方向水平向左。
静电场1、2库仑定律习题课
【点评】
此题关键是对称思想，既可用填补法(
等效法)解答，又可用割除法求解．如果题中不是 带电球壳，而是带电圆环，处理方法类似．
3．两个完全相同的金属球，带电荷量之比
为1∶7，两球相距为r，两者接触后再放回原
位置，则它们之间的库仑力可能是原来的
A.
C.
4/7
9/7
B.3/7
D.16/7
6．(原创题)如图所示，光滑水平面上固定金 属小球A，用原长为L0的绝缘弹簧将A与另一 个金属小球B连接，让它们带上等量同种电 荷，弹簧伸长量为x1，若两球电荷量各漏掉 一半，弹簧伸长量变为x2，则有( ) A．x2＝1/2x1 B．x2＝1/4x1
[经典案例] 如图所示，一半径为R的绝
缘球壳上均匀地带有电荷量为＋Q的电荷，另一
电荷量为＋q的点电荷放在球心O上，由于对称
性，点电荷所受的电场力为零，现在球壳上挖去
半径为r(r≪R)的一个小圆孔，则此时置于球心的
点电荷所受力的大小为________，
方向为________．
【解题样板】 填补法：把挖去的一小部分补 上，则球心处的点电荷将受力平衡，即剩余部 分电荷对点电荷产生的力 F2 与挖去部分电荷 产生的力 F1 等大反向．将挖去的一部分 πr2 r2Q 看成点电荷．其电荷量 q′＝ Q＝ 2，所 4πR2 4R 以剩余部分对球心处的点电荷的力的大小为 r2Q q· 2 qq′ 4R kr2qQ F2＝k 2 ＝k 2 ＝ ， 方向指向缺口处． R R 4R4
11.一带电荷量为＋Q、半径为R的球，电 荷在其内部能均匀分布且保持不变，现在 其内部挖去一半径为R/2的小球后，如图所 示，求剩余部分对放在两球心连线上一点P 处电荷量为＋q的电荷的静电力．已知P距 大球球心距离为4R.
第6章 静电场习题课
1 ∴ ρ = ε 0 (E 2 − E1 h
)
h
∆S
S
＝4.43×10-13 C/m3
(1)
E2
(2) 设地面面电荷密度为σ．由于电荷只分布在地表面， 由于电荷只分布在地表面， 所以电力线终止于地面，取高斯面如图 所以电力线终止于地面，取高斯面如图(2) 1 v 1 v ∆ 由高斯定理 ∫∫ E · dS = ∑ qi -E∆S= ε σ ∆S ε0 0 ＝－8.9 ∴σ =－ε 0 E＝－ ×10-10 C/m3 ＝－
1-2 题图
以正电荷为中心作一边长为a/2的立方体形的高斯面 以正电荷为中心作一边长为 的立方体形的高斯面 由高斯定理， 由高斯定理，总通量为 φ =
q
ε0 q 则通过一面的电通量为 φ = 6ε 0
5. 一半径为 的带电球体，其电荷体密度分布为 一半径为R的带电球体 的带电球体， ρ = 0 (r＞R) ρ = Ar (r≤R) ， A为一常量．试求球体内外的场强分布． 为一常量．试求球体内外的场强分布． 为一常量
S2
ε0
2
⋅d
ρd ⇒ Ex = 2ε 0
φ
1. 带电细线弯成半径为 的半圆形 电荷线密度为 λ = λ0 sin φ 带电细线弯成半径为R的半圆形 的半圆形,电荷线密度为 式中λ 为一常数， 为半径R与 轴所成的夹角 如图所示． 轴所成的夹角， 式中 0为一常数，Φ为半径 与x轴所成的夹角，如图所示． 试求环心O处的电场强度 处的电场强度． 试求环心 处的电场强度． 处取电荷元， 解：在 φ 处取电荷元，其电荷为
v v v r1 − r2 = a
3ε 0
v ρ v ∴E = a 3ε 0
点在空腔中位置无关。 与P点在空腔中位置无关。 点在空腔中位置无关
电动力学静电场练习题
电动力学静电场练习题一、基本概念与公式1. 静电场的基本方程是什么？2. 电势差的定义是什么？如何用积分形式表示电势差？3. 电场强度与电势之间的关系是什么？4. 高斯定理的内容是什么？如何用高斯定理计算均匀带电球体的电场强度？5. 电容率的物理意义是什么？真空中的电容率是多少？二、静电场问题1. 计算点电荷在空间某一点的电场强度。
2. 两个等量同种电荷放置在直线上，求中点的电场强度。
3. 一个均匀带电的无限大平面，求平面两侧的电场强度。
4. 计算一个均匀带电球壳在其内部和外部的电场强度。
5. 一个半径为R的均匀带电球体，求球体内部任意一点的电场强度。
三、电势问题1. 计算点电荷在空间某一点的电势。
2. 一个均匀带电的无限长直导线，求导线附近某点的电势。
3. 一个均匀带电的圆环，求圆环中心轴上某点的电势。
4. 一个半径为R的均匀带电球体，求球体外任意一点的电势。
5. 两个等量异种电荷放置在直线上，求中点的电势。
四、电场力与能量问题1. 计算点电荷之间的相互作用力。
2. 一个带电粒子在电场中的运动轨迹是什么？3. 一个带电粒子在电场中从静止开始运动，求其经过某点时的速度。
4. 计算一个均匀带电球体的静电势能。
5. 一个平行板电容器，求其储能密度。
五、综合应用题1. 一个带电球体放置在一个同心球壳内，求球壳内外的电场强度和电势。
2. 两个同心的均匀带电球壳，求球壳之间的电场强度和电势。
3. 一个带电的无限长直导线和一个带电的无限大平面，求导线与平面之间的电场强度和电势。
4. 一个带电的圆环和一个带电的直线，求圆环中心轴上某点的电场强度和电势。
5. 一个由两个平行板电容器组成的系统，求系统的总电容。
六、电场分布与边界条件1. 一个半无限大的带电平面，求其电场分布。
2. 一个有限长度的带电直导线，求其电场分布。
3. 一个带电的无限长圆柱体，求其内外电场分布。
4. 一个带电的球壳与一个点电荷相切，求球壳内外电场分布。
最新静电场习题课(北邮版08级用[1].)
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A.导体是个等势体，导体表面是个等势面。
B. 导体内部各点(宏观点)净余电荷为零；电荷只 能分布在表面。
C. 导体表面附近一点的总电场强度方向
D. 与导体表面垂直;场强大小与导体 E. 表面对应点的电荷面密度成正比。
E
0
1 2 3 4
例：设静电平衡后E，va金lu属ati板on各on面ly.所带
ea电•te当荷d w两面it板密hCA带度ospp等之yors量i间ge.h异S的tl2i号关d0e0电s系4f-荷o2r0 时.11 N1 :EA T4 s1p3 ,o.5 s4＝ e2 C0 P l,it ey n2L3 ttP dr.o3file 5.2.0
23. 接地线的存在意味着: A.导体的电势为零;
B.接地线只提供导体与地交换电荷的通道，并不 保证导体腔外壁上的电荷在任何情况下都为零。
例：如图，两导体板分别带qa和
2 3
qb当一导体接地时，求两板之间
的场强。E 2 qa
S
ea222t564e．..d电w有D i孤位t介h C立移A质o0 s导矢ppｒ 时yＥ o体量r si的ge＝ 0的.hD S高tl的电2EiＥ 斯d 0v引容e0a0s定4sl入uf-o理2art0i.1CoN1n EAoe Tqns pl3yo..5sS Ｄ eCPlditS eyn Lqt atPidr.q oq0 fiible 5.2.0
(当电荷分布具有一定的对称性时,用高斯定理很容易求
出场强分布,这种情况下用该式求电势较方便） 外
例: 半径为R，带电量为 q 的均
内
匀带电球面的电场中的电势分布。
Ｒ
eateUd外 with4CAoｑ spp外 yorrsige.hStl2Eid0ve0Uas4l内uf-o＝2art0i.1o4N1nｑEAoT外nsRpl3yo..5seCPliteynLt tPdr.ofile 5.2.0
静电场习题课
O
原电荷
P点E 1
2 0
R
圆孔
P点
E220(1
x) x2R2
x EE1E22 x2R2
E
PX
三.“无限”带电体零电势点的选取
1.求无限长均匀带电直线的电势分布
场强分布 E
2 0r
由定义
uPEdr r 20rdr
PQ
r
发散
R
选有限远为电势零点( Q )
uPR rEd 2 r0rd r20ln R r
2
二.补偿法求场强
d
1.带电圆弧 已知: R50 cm
Eo
d2cm q3.12109C
求: Eo
o
R
解:圆弧
q 2 R
带电园环
园弧上电荷
空隙
o处的 E1 0
o 点电荷
处的 E24q0 R240 d R2
d Eo E2 40R2
2. 球体内挖一空腔
已知: R r d
求: Eo
Eo
❖证明空腔内为均匀电场
解:
0处
原电荷
E1 0
R Eo r
0
0
d
空腔
0 处
dq 4r3
sE2dsE24d2s0
3
0
E2
4r3
3
40d2
r3 30d2
r3 Eo E2 30d2
O 点场强的计算
0 处
空腔
原电荷
dq 4d3
sE1dsE14d2s0
3
0
0 处
E2 0
E1
4d3
3
4 0d2
d 30
R
0
Eo
dy
静电场习题课2
例：平行板电容器极板间距为 d , 极板面积为 S，面电
荷密度为 0 , 其间插有厚度为 d’ 、电容率为 r 的电介 质。求 ： ①. P1 、P2点的场强E；②.电容器的电容。
解： D1 D2 0
E1
0 0
E2
0 0 r
0
电容可视为两电容串联
d' 0
后，该点外侧附近场强是否变化？该点附近电荷面
密度是否变化？E / 0 是否还成立？
答：在Q产生的外电场作用下，导体上的电荷将 重新分布；电荷面密度发生变化，则E也发生变
化，但 E / 0 的形式依然成立。
2. B为不带电的绝缘导体，将带正电的导体A置于B 的附近，问AB导体哪个电势高？
2、高斯定理： D dS s
q0int
i
3、电容器： 4、电场能量
C Q
U
we
1 2
ED
W wed v （电场空间）
1. 半径为R，介电常数为 的均匀介质球中心放有
点电荷Q，球外是空气。求：
（1）球内外的电场强度；
（2）球内外的电势.
解（1）
D dS
3 2 0
4 2 0
0
1 2 3 4
Sa d
S
b
1 2 3 4 0
2 0 2 0 2 0 2 0
AB
解出：
1
4
q1 q2 2S
2
3
q1 q2 2S
两板间的合场强 E 1 2 3 4 q1 q2 2 0 2 0 2 0 2 0 2 0 S
第十七讲§5.6静电场的能量—习题课
第十七讲 §5.6静电场的能量—习题课 一、电容和电容器1、电容：UqC =是描述孤立导体带电而引起自身电势变化的物理量。
即孤立导体的电容。
2、电容器：BA U U qC -=是描述两个导体组成电容器的电容，二者是相互关联的，即将一个导体放在无限远处就为孤立导体的电容。
二、电容器的储能（电容器的能量）：静电场是一个物理场。
此物是否是物质的？其中的一个重要特性就是是否具有能量的特性，即在静电场中移动电荷是需要静电场力做功，这说明静电场是具有能量的。
下面通过对静电场形成能量的过程来说明静电场是具有能量的。
1、带电体的能量：外力做功就等于带电体的能量（电势能）P E W = ①把dq 从∞转移到带电体上，需外力做的微功：()Udq dqU dW U U dq dW A U B B A B ==−−−→−-==∞→0, q Q②把Q 从∞源源不断的转移到带电体上，需外力做的总功：⎰⎰==QUdq dW W 02、电容器的能量：通过电容器储能的过程来推导电容器能量的公式。
①把dq 从A B →上，需外力做的微功：Udq dW = −−→−=UqC dq CqdW =②把Q 从A B →上，需外力做的总功：QU CU C Q dq C q dW W Q21212220=====⎰⎰③电容器的能量：外力所做的总功就等于电容器的能量。
QU CU C Q dq C q dW W Qe 21212220=====⎰⎰可见，外力克服静电力所做的功，就是电容器的带电过程，即非静电能转化为静电能的过程，满足能量守恒定律。
上述三个表达式都非常有用，希望能熟记。
3、静电场的能量 能量密度①电场的能量密度（能量的体密度）：单位体积内电场的能量。
()2020221V 2121E Ed d SV CU V W w e e εε==== Sd V = 可见，电能存在于电场之中，电场是电能的携带者，电场的能量是电场物质性的一个重要标志！静电场是物质的，是不以人们的意志为转移，是非精神的。
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(0)
( x)
q 40 R
1 (~ ) R
q
V
( x)dV
单极项(0)有球对称性，相当于系统的净电荷量 q集中于坐标原点产生的电势。
p R (1) ( x) 40 R3
偶极项 p V ( x) xdV 1 3( p R) p [ 3] 5 40 R R
(0 ) V0 边界条件为 (b, ) ( 2 ) V0
n 1
b
=V0
z
=V0
(b, ) ( A0 ln B0 )(C0 D0 ) ( An n Bn n )(Cn cosn Dn sin n )
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习题课
n
第二章 静电 场
(0 ) V0 在=b处有 (b, ) B0 D0 Bn Dnb sinn ( 2 ) n 1 V0
B0 D0 0
Bn Dn b n
0 4V0 n
4、静电场边值问题的求解方法 （1）分离变量法 ①自由电荷全聚集在边界上，方程是齐次的。
②边界应该是简单的几何面。 2 2 2 2 (a)在直角坐标系中 2 2 2 0 x y z ( x , y, z ) ( A1 cos k x x A2 sink x x ) ( B1 cos k y y B2 sink y y )
4V0 n n ( b ) sinn n 奇 数
在圆管外部(>b)，为使时，电位保持有限值， 通解中不能有n因子和ln 因子，即
A0 0, An 0
(n 1,2,)
(b, ) B0 D0 Bn Dn n sinn
n 1
B0D0和BnDn可以由边界条件确定。
习题课
n
第二章 静电 场
(0 ) V0 在=b处有 (b, ) B0 D0 Anb Dn sinn ( 2 ) n 1 V0
B0 D0 0
0 An Dn b n 4V0 n
圆管内部的电位为 ( , )
n
(Γ为伽马函数 )
cos(m )J m ( kr) J m ( kr) N m ( kr) sin( m )
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习题课
第二章 静电 场
如果考虑与z轴无关（k=0）情况，并讨论的区
域是02，故通解为
(r , ) Ao B0 ln r ( An r Bn r ) cos(n ) (C n r n Dn r n ) sin( n )
(C1 cos k z z C2 sink z z )
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第二章 静电 场 2 2 1 1 2 (b)在柱坐标系中 (r ) 2 2 0 2 r r r r z (r , , z ) R(r )( ) Z ( z ) 习题课
(b, ) 是的奇函数，通解式中不应该有余弦项。
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第二章 静电 场
Cn 0
又电位分布的周期性 ( , ) ( , 2n )
C0 0
(b, ) ( A0 ln B0 ) D0 ( An n Bn n )Dn sinn
(r ) A
B r
（2）镜像法 ①场区域的电荷是点电荷，无限长带电直线。 ②导体或介质的边界面必是简单的规则的几何面 （球面、柱面、平面）。
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第二章 静电 场
5、静电能、外电场对电荷系的作用能
（1）电荷体系的静电能
1 1 We E DdV f dV 2 V 2
D ji Dij 对称张量
Dxx Dyy Dzz 0
电荷分布偏离球对称的系统必定出现多极矩，而 各级矩的电势按距离R的负幂次衰减，高级矩的电势 比低级矩的电势衰减更迅速。因此任何电荷系统在其
外部的场，均以其最低级的场为主。
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习题课 3、静电场边值问题
第二章 静电 场
Wi p e p Ee F Wi p Ee
L p Ee
习题课 二、典型例题
第二章 静电 场
例1 一无限长，半径为b的薄导体圆管，被分成两半， 且相互绝缘，上半圆柱面的电位=V0，下半圆柱面的 电位=V0。试求管内外的电位分布。 解：由于假设圆管无限长，故电位 为和的函数，与z无关。
其中无穷远处为电势零点，积分遍及电荷分布区域 V。 2、电势多极展开 任何一个电荷系统在其外部的电场，原则上均 可表示成一系列多极矩场的叠加。
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习题课 对于电荷系统在远处的场
第二章 静电 场
1 q p R 1 3 2 1 ( x) [ 3 Dij ] 40 R R 6 i , j 1 xi x j R
两个体积分的积分区域不同！
（2）外电场对电荷体系的作用能
1 Wi ( x ) e ( x )dV V 2 1 Wi q e (0) p e (0) D : e (0) 6
当电荷分布在小区域
电偶极子
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( R R0 )
(5 )
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第二章 静电 场 习题课 p f 的电势P是泊松方程（1）的一个特解。 p
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1 d 0 E en 0 E e 0 | r d
0V0
习题课
第二章 静电 场
例3 均匀介质球（电容率为1）中心置一自由电偶极子 ， 球外充满了另一种电容率为 2的介质，求空间各点的电势 pf z 和极化电荷分布。
1 (~ 2 ) R
E (1)
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Dij
V V
第二章 静电 场
2 3 xi x j ( x )dV (3 xi x j r ij ) ( x)dV
x 2 y 2 z 2
r
习题课 一、内容小结 1、静电场与静电势
E
第二章 静电 场
x ( x ) ( x0 ) E dl x0
当电荷分布于有限区域时，通常以无穷远为势能零点。 泊松方程 2 / 0
泊松方程在无界空间中的解为 ( x ) V ( x ) dV 40 r
2
)
锥面上的电荷面密度
r sin ln(tan ) 2 2 r0 0V0 20 r0V0 r sinddr 锥面上的总电荷 Q r 0 0 sin ln(tan ) ln(tan ) 2 2 20 r0 Q C V0 ln(tan ) 2
n n n 1 n 1
(c)在球坐标系中
2 1 1 1 2 2 2 (r ) 2 (sin ) 2 2 0 2 r r r r sin r sin
(r , , ) R(r )Y ( , )
Bnm m Dnm m n (r , , ) ( Anm r n1 ) Pn (cos ) cos(m ) (Cnm r n1 ) Pn (cos ) sin( m ) r r n,m n,m
n
Pnm (cos ) 为缔合勒让德（Legendre)函数
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第二章 静电 场
对于具有轴对称的问题，m=0 (取此轴为极轴），则
( r , ) ( An r n
n0
Bn ) Pn (cos ) n1 r
Pn (cos ) 为勒让德函数
对于球对称的问题，m=0 , n=0，则
唯一性定理定解条件
（1）满足各求解区域内电势（或电场）的微分方程 （2）满足相邻区域的边值关系及给定的边界条件
静电势方程和边值关系
f 2 i
j i f j i n n (线性均匀介质界面) j i
的电势，或给定每个导体所带的净电量。 ds Q n S
解 从导体的形状可推知，给出导体上的总 电荷后，不可能由此求导体间的电位差及电 容。 先指定导体上的电位，解2=0，求出 导体间的电位分布，再确定导体上的总电 荷，从而求得电容。 以锥轴线为z轴，则令锥面(=)上的电位为V0，平 面(=/2)上的电位为零。当忽略边缘效应时，电位与 坐标r和无关，仅与有关。
4V0 b n 圆管外部的电位为 ( , ) ( ) sinn n 奇 数 n
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第二章 静电 场
例2 圆锥形导体电极尖端无限接近一导体平面（两者相互 绝缘），锥轴线与平面垂直，轮廓线与轴线夹角为。忽 略边缘效应及锥底电容，求圆锥与平面间的电容。
(r , , z ) [ A1J m (kr) A2 N m (kr)] [ B1 cos(n ) B2 sin( n )]
[C1 cosh( kz) C2 sinh( kz)]
Jm为m阶第一类贝塞尔函数，Nm为m阶第二类贝塞尔函数。
kr m 2 n ) ( 1) ( 2 J m ( kr ) n 0 n! ( m n 1)
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r0
习题课
2
第二章 静电 场
1 d d 2 (sin ) 0 由边界条件 , 0 B 0 r sin d d 2