4-3静电场习题课

o
r dE
x
解：1)
dq = λRdθ dq dE = ;沿 向 径 2 4 0R πε
y
dq
λ
dθ R dq′
θ
r dE′
用分量叠加，由对称性： 用分量叠加，由对称性：
x
o
r dE
Ey = ∫ dEy = 0
Ex = ∫ dEx = ∫ dE ⋅ sinθ π λsinθdθ λ =∫ = 0 4 0R πε 2 0R πε
r r (2) 作高斯面 S1 , S2 求 E , E2 1
R 1
.
ρ
s1
r o a R o2 1 2
r r 1
r E2
r 1 4 3 2 π1 E1 E ⋅ 4 r = ρ ⋅ πr 1 1
P
r r2
ε0
3
s2
2 2
r r ρr E = 1 1 3 0 ε
4 3 E2 ⋅ 4 r = ρ ⋅ πr π ε0 3 2 r
1 E 2 • 2 S = ρ • Sd / ε 0可得 E2 = ρ • d /( 2ε 0 )( x > d ) 2 1 1 则E 2 = ρd /( 2ε 0 )( x > d ) ⇔ E2 = − ρd /( 2ε 0 )( x < − d ) 2 2
1
R 1
ρ
r E
r o a R o2 1 2
r ρr E2 = 2 30 ε r r r r ρ r r ρa EP = E1 − E2 = (r − r2 ) = 1 30 ε 3ε0
腔内为平行于 的均匀电场！ 的均匀电场！
r oo2 = a 1
(15-14)例 一半径为R (15-14)例、一半径为R的带有一缺口的细圆环
r r λi ∴ E = o 2 0R πε
dq
y
解：2)
λ
dθ
θ
o
r dE
x
R
−λ dq′
r dE ′
dq = λRdθ dq dE = ;沿 向 径 2 4 0R πε
有何不同？ 对称性分析与 1) 有何不同？
Ex = ∫ dEx = 0
π2 π /2
0 y
λcosθdθ λ E = ∫ dE = 2 ∫ dE ⋅ cosθ = 2 ∫ = 4πε R 2πε R r r −λ j ∴ E = o 2 0R πε
(15-15)例 (15-15)例、图中曲线表示一种轴对称静电场的场强
大小E的分布， 表示离对称轴的距离，这是由： 大小E的分布，r表示离对称轴的距离，这是由： 的无限长均匀带电圆柱面】 【半径为R的无限长均匀带电圆柱面】 产生的电场 半径为 的无限长均匀带电圆柱面
☻场强公式、高斯定律 场强公式、
练习1 练习 求半径 R 的带电半圆环环心处的电场强度 1. 均匀带电，线密度为 λ 均匀带电， 2. 上半部带正电，下半部带负电，线密度为 λ 上半部带正电，下半部带负电， 3. 非均匀带电，线密度为 λ = λ sinθ
λ
dθ R
θ
r r dq →dE →E
0
r E= (r ≤ R) (r ≥ R)
0
λ 2πε r
(15-23)例 图示一厚度为d 无限大” (15-23)例、图示一厚度为d的“无限大”均匀带电
平板，电荷体密度为ρ 试求板内外的场强分布， 平板，电荷体密度为ρ。试求板内外的场强分布，并 画出场强随坐标x变化的曲线， 图线（ 画出场强随坐标x变化的曲线，即E-x图线（设原点在 带电平板的中央平面上。Ox轴垂直与平板） 带电平板的中央平面上。Ox轴垂直与平板）ε。 轴垂直与平板
环上均匀带有正电， ，缺口长度为d（d《R）环上均匀带有正电，电荷 缺口长度为d 如图所示。则圆心O 为q，如图所示。则圆心O处的场强大小 E＝：
qd 8π
2
ε 0R
3
场强方向： 场强方向： 【从O指向缺口中心】 指向缺口中心
☻点电荷场强、叠加原理 点电荷场强、
d 1 qd q• • ≈ 2 2πR − d 4πε 0 R 8π 2ε 0 R 3
r E=
r r 1 qxi E= 2 2 32 πε 4 0 (R + x )
r qr 4 0r3 πε
λ E= 2 0r πε
r E =0 , 内
(⊥带 直 ） 电 线
均匀带电球面： 均匀带电球面： 无限大均匀带电平面： 无限大均匀带电平面：
σ E= 2ε0
r r qr E外 = 3 4πε0r
(⊥带 平 ） 电 面
☻高斯定律
解：由电荷分布的对称性可知在 由电荷分布的对称性可知在 中心平面两侧离中心平面相同距 离处场强均沿X轴 离处场强均沿 轴，大小相等而 方向相反。 方向相反。
在板内作底面为S的高斯柱面S1（左 图中厚度放大了），两底面距离中 心平面均为IxI,由高斯定律得：
E1 • 2 S = ρ • 2 x S / ε 0 可得 E1 = ρ • x / ε 0 1 1 则 E1 = ρ • x / ε 0 ( − d ≤ x ≤ d ) 2 2
y 0 0 0
dq
y
解：3)
r dE ′
λ
dθ
θ
o
r dE
x
R dq′
λ = λ sinθ dq = λRdθ
0
dq dE = ;沿 向 径 2 4 0R πε
有无对称性？ 有无对称性？
sinθ = sin( π -θ)
∴ Ey = ∫ dEy = 0 r 2 r r rπ λ 0sin θdθ λi = E = i ∫ dEx = i ∫ 0 4 0R πε 8 0R ε
在板外作底面为S的高斯柱面S2， 两底面距离中心平面均为IxI,由 高斯定律得：
E1 • 2 S = ρ • 2 x S / ε 0 可得 E1 = ρ • x / ε 0 1 1 则 E1 = ρ • x / ε 0 ( − d ≤ x ≤ d ) 2 2
在板外作底面为S的高斯柱面S2， 两底面距离中心平面均为IxI,由 高斯定律得：
r 均匀带电实心球体在P点的场强 点的场强： 1 半径 R 1均匀带电实心球体在 点的场强：E r 均匀带电实心球体在P点的场强 点的场强： 半径 R 2均匀带电实心球体在 点的场强：E2 r r r r r 均可由高斯定理求出。 所求场强 EP = E − E2 而 E 、E2均可由高斯定理求出。 1 1
例2. （15－24）体电荷密度ρ 的均匀带电球体内挖去一 － ） 个半径R 的球形空腔。空腔中心o 与带电球体中心o 个半径 2的球形空腔。空腔中心 2与带电球体中心 1 相距为a 相距为 [(R2+ a )< R1], r r 求空腔内任一点电场 。 R E 1 E1 2 r P 思考： 选用何种方法求解？ 思考：(1) 选用何种方法求解？ r r 1 ρ o r r22 o 1a R 2 失去球对称性, 挖去空腔 —— 失去球对称性, 能否恢复对称性？补偿法！ 能否恢复对称性？补偿法！
同学们好！ 同学们好！
r E 的计算
(1) 由定义求
r (2) 由点电荷 或典型电荷分布 E 公式和叠加原理求 由点电荷(或典型电荷分布 或典型电荷分布)
(3) 由高斯定理求
r (4) 由 E 与 U 的关系求
典型静电场： 典型静电场： 点电荷： 点电荷： 均匀带电圆环轴线上： 均匀带电圆环轴线上： 无限长均匀带电直线： 无限长均匀带电直线：