[五年级数学]五年级数学提高讲义——数论综合

第四讲数论综合

基础班

1.桌子上放着6只杯子，其中3只杯口朝上，3只杯口朝下。如果每次翻转5只杯子，那

么至少翻转多少次，才能使6只杯子都杯口朝上？

2.五（2）班部分学生参加学校举办的数学竞赛，每张试卷有50道试题。评分标准是：答

对一道给3分，不答的题，每道给1分，答错一道扣1分。试问：这部分学生得分的总和能不能确定是奇数还是偶数？

3.把下图中的圆圈任意涂上红色或蓝色。是否有可能使得在同一条直线上的红圈数都是奇

数？试讲出理由。

4.在黑板上写出三个整数，然后擦去一个换成所剩两数之和，这样继续操作下去，最后得

到88，66，99。问：原来写的三个整数能否是1，3，5？

5.70个数排成一行，除了两头的两个数以外，每个数的3倍都恰好等于它两边的两个数的

和，这一行数的最左边的几个数是这样的：0，1，3，8，21，…问：最右边的一个数是奇数还是偶数？

6.如下图所示，将1～12顺次排成一圈。如果报出一个数a（在1～12之间），那么就从数

a的位置顺时针走a个数的位置。例如a=3，就从3的位置顺时针走3个数的位置到达6的位置；a=11，就从11的位置顺时针走11个数的位置到达10的位置。问：a是多少时，可以走到7的位置？

7.一个正方形果园里种有48棵果树，加上右下角的一间小屋，整齐地排列成七行七列（见

下图）。守园人从小屋出发经过每一棵树，不重复也不遗漏（不许斜走），最后又回到小屋。可以做到吗？

答案

1.解析：

至少3次。例如：

↑↑↑↓↓↓

↑↓↓↑↑↑

↓↓↑↓↓↓

↑↑↑↑↑↑

2.解析：

本题要求出这部分学生的总成绩是不可能的，所以应从每个人得分的情况入手分析。

因为每道题无论答对、不答或答错，得分或扣分都是奇数，共有50道题，50个奇数相加减，结果是偶数，所以每个人的得分都是偶数。因为任意个偶数之和是偶数，所以这部分学生的总分必是偶数。

3.解析：

假设在同一条直线上的红圈数都是奇数，5条直线上的红圈总数就会是奇数（奇数乘以奇数仍是奇数）。因为每个红圈均在两条直线上，所以按各条直线上的红圈数计算和时，每个红圈都被算了两次，所以红圈总数应是偶数。这就出现了矛盾。所以假设在同一条直线上的红圈数都是奇数是不可能的。

4.解析：

如果原来写的是1，3，5，那么从第一次改变后，三个数永远是两个奇数一个偶数。

5.解析：

这行数的前面若干个数是：0，1，3，8，21，55，144，377，987，2584，…这些数的奇偶状况是：偶，奇，奇，偶，奇，奇，偶，奇，奇，……从前到后按一偶二奇的顺序循环出现。70÷3=23……1，第70个数是第24组数的第一个数，是偶数。

6.解析：

当1≤a≤6时，从a的位置顺时针走a个数的位置，应到达2a的位置；当7≤a≤12时，从a的位置顺时针走a个数的位置，应到达2a-12的位置。由上面的分析知，不论a是什么数，结果总是走到偶数的位置，不会走到7的位置。

7.解析：

不可能。

如上图所示，△表示小木屋。守园人只能黑白相间地走，走过的第奇数棵树是白的，第偶数棵树是黑的，走过第48棵树应是黑的，而黑树与小木屋不相邻，无法直接回到小木屋。

提高班

1.桌子上放着6只杯子，其中3只杯口朝上，3只杯口朝下。如果每次翻转5只杯子，那

么至少翻转多少次，才能使6只杯子都杯口朝上？

2.五（2）班部分学生参加学校举办的数学竞赛，每张试卷有50道试题。评分标准是：答

对一道给3分，不答的题，每道给1分，答错一道扣1分。试问：这部分学生得分的总

和能不能确定是奇数还是偶数？

3.把下图中的圆圈任意涂上红色或蓝色。是否有可能使得在同一条直线上的红圈数都是奇

数？试讲出理由。

4.在黑板上写出三个整数，然后擦去一个换成所剩两数之和，这样继续操作下去，最后得

到88，66，99。问：原来写的三个整数能否是1，3，5？

5.70个数排成一行，除了两头的两个数以外，每个数的3倍都恰好等于它两边的两个数的

和，这一行数的最左边的几个数是这样的：0，1，3，8，21，…问：最右边的一个数是奇数还是偶数？

6.如下图所示，将1～12顺次排成一圈。如果报出一个数a（在1～12之间），那么就从数

a的位置顺时针走a个数的位置。例如a=3，就从3的位置顺时针走3个数的位置到达6的位置；a=11，就从11的位置顺时针走11个数的位置到达10的位置。问：a是多少时，可以走到7的位置？

7.一个正方形果园里种有48棵果树，加上右下角的一间小屋，整齐地排列成七行七列（见

下图）。守园人从小屋出发经过每一棵树，不重复也不遗漏（不许斜走），最后又回到小屋。可以做到吗？

答案

1.解析：

↑↑↑↓↓↓

↑↓↓↑↑↑

↓↓↑↓↓↓

↑↑↑↑↑↑

2.解析：

本题要求出这部分学生的总成绩是不可能的，所以应从每个人得分的情况入手分析。

因为每道题无论答对、不答或答错，得分或扣分都是奇数，共有50道题，50个奇数相加减，结果是偶数，所以每个人的得分都是偶数。因为任意个偶数之和是偶数，所以这部分学生的总分必是偶数。

3.解析：

假设在同一条直线上的红圈数都是奇数，5条直线上的红圈总数就会是奇数（奇数乘以奇数仍是奇数）。因为每个红圈均在两条直线上，所以按各条直线上的红圈数计算和时，每个红圈都被算了两次，所以红圈总数应是偶数。这就出现了矛盾。所以假设在同一条直线上的红圈数都是奇数是不可能的。

4.解析：

如果原来写的是1，3，5，那么从第一次改变后，三个数永远是两个奇数一个偶数。

5.解析：

这行数的前面若干个数是：0，1，3，8，21，55，144，377，987，2584，…这些数的奇偶状况是：偶，奇，奇，偶，奇，奇，偶，奇，奇，……从前到后按一偶二奇的顺序循环出现。70÷3=23……1，第70个数是第24组数的第一个数，是偶数。

6.解析：

当1≤a≤6时，从a的位置顺时针走a个数的位置，应到达2a的位置；当7≤a≤12时，从a的位置顺时针走a个数的位置，应到达2a-12的位置。由上面的分析知，不论a是什么数，结果总是走到偶数的位置，不会走到7的位置。

7.解析：

不可能。

如上图所示，△表示小木屋。守园人只能黑白相间地走，走过的第奇数棵树是白的，第偶数棵树是黑的，走过第48棵树应是黑的，而黑树与小木屋不相邻，无法直接回到小木屋。

精英班

1.桌子上放着6只杯子，其中3只杯口朝上，3只杯口朝下。如果每次翻转5只杯子，那

么至少翻转多少次，才能使6只杯子都杯口朝上？

2.五（2）班部分学生参加学校举办的数学竞赛，每张试卷有50道试题。评分标准是：答

对一道给3分，不答的题，每道给1分，答错一道扣1分。试问：这部分学生得分的总和能不能确定是奇数还是偶数？

3.把下图中的圆圈任意涂上红色或蓝色。是否有可能使得在同一条直线上的红圈数都是奇

数？试讲出理由。