离散数学命题公式与赋值PPT课件
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离散数学1.2PPT课件
2021/4/8
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命题公式的复杂度
定义（公式的层次 ）
（1）若A是单个的命题变项，则称A为0层公式。
（2）若A是n（n≥0）层公式，则┐A为n+1层公式。
（3）若A、B分别是n层和m层公式，则A∧B、A∨B、A→B及
AB是max（n，m）+1层公式。
例： 讨论公式
（1）┐p∨q （2）p∨q∧r
（3）(┐p∧q)→r
注意：所有赋值按二进制从低到高的顺序排列。
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（2）按从低到高的顺序写出公式(┐p∧q)→┐r的各个层次。
┐p
┐r
┐p ∧q (┐p ∧q) →┐r
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（3）对应各个赋值计算出各层次的真值，直到最后计算 出公式的真值。
由真值表可见，(┐p∧q)→┐r的成假赋值为011，其 余7个赋值都是成真赋值。
（2）按从低到高的顺序从1层公式依次写出公式的各 个层次。
（3）对应各个赋值计算出各层次的真值，直到最后计 算出公式的真值。
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
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例：求(┐p∧q) → ┐r的真值表，并求所有 的成真赋值和成假赋值。
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（1）找出公式(┐p∧q)→┐r中所有的命题变项p，q，r， 并列出8个赋值。
（2）对命题公式中的命题变项用指定的命题常项代替后， 命题公式就有了唯一确定的真值，从而命题公式就变成了命 题。
例如：对于命题变项p、q、r，公式A=(p∨q)→r的真值 不确定。
如果指定p为“2是素数”，q为“3是偶数”，r为“4能 被2整除”，则A就变成了一个真命题。
如果指定p为“2是素数”，q为“3是偶数”，r为“3能 被2整除”，则A就变成了一个假命题。
离散数学第一章命题逻辑PPT课件
P
Q
0
0
0
1
1
0
1
1
P→Q 1 1 0 1
如： P:雪是黑的。
Q:太阳从东方升起 。
P → Q:如果雪是黑的，则太阳从东方升起 。
命题P→Q是假, 当且仅当P是真而Q是假。
11/20/2020
chapter1
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1.2 联结词
条件与汉语中“如果…，就…”相类似，但有所区别: (1)自然语言中，“如果P则Q”，往往P和Q有一定的因果 关系，而条件复合命题P→Q中 P和Q 可以完全不相关。 (2)自然语言中，“如果P则Q”，当P为0、Q为1时，整个 句子真值难以确定；而条件复合命题P→Q中，当P为0时， 复合命题的真值为1。 P则Q的逻辑含义:P是Q的充分条件,的表示 命题变元——常用P、Q、R、S等大写字母或加下标的大 写字母P1, Q2, R10, ……表示来表示一个命题，称为命题 变元。 如： P:巴黎在法国。
Q:煤是白色的。
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chapter1
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1.1 命题及其表示法
3、命题相关概念 简单命题（原子命题）——不能再分解的命题。 复合命题——由若干个简单命题复合而成的命题。 真值表——把组成复合命题的各命题变元的真值的所有 组合及其相对应的复合命题的真值列成表，称为真值表。
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1.1 命题及其表示法
【例3 】求公式 (P→R)∨(Q→R)的真值表。 解：∵公式含有３个命题变元P、Q、R,
∴真值表有２3=8行。其真值表如下表 所示：
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chapter1
7
1.2 联结词
命题和原子命题常可通过一些联结词构成新命题, 这
命题公式及分类(离散数学)PPT
练习
P32： 1.6：（3）（4） 1.7：（7-10）
19
说 公式A与B具有相同的或不同的真值表，是指真值表的最后 明 一列是否对应相同，而8 不考虑构造真值表的中间过程。
例1 求下列公式的真值表，并求成真赋值和成假赋值。
(1) ┐ (p∧q)→┐r
(2)(p∧┐p)(q∧┐q)
(3)┐(p→q)∧q∧r
9
三、命题公式的分类 定义1.9（重言式、永真式、可满足式）
(5) ┐q∨p
(3) ┐(p∧┐q)
12
例3 下列公式中,哪些具有相同的真值表? (1)p→q (2)┐q∨r (3)(┐p∨q)∧((p∧r)→p) (4)(q→r)∧(p→p)
13
习题：求公式┐(p→(q∧r))的真值表。
p q r q∧r p→(q∧r) ┐(p→(q∧r))
00 0 0
例如 F:{0,1}2{0,1}，且F(00)=F(01)=F(11)=0，
F(01)=1，则F为一个确定的2元真值函数.
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命题公式与真值函数
对于任何一个含n个命题变项的命题公式A，都 存在惟一的一个n元真值函数F与A的真值表相同.
下表给出所有2元真值函数对应的真值表, 每一个 含2个命题变项的公式的真值表都可以在下表中找 到.
(A→B)，(AB)也是合式公式。 (4)只有有限次地应用(1)～(3)形式的符号串才
是合式公式。 合式公式也称为命题公式或命题形式，并简称 为公式。
2
关于合式公式的说明
合式公式的定义方式称为归纳定义或递归定义方式。
定义中引进了A,B等符号，用它们表示任意的合式公式，而不 是某个具体的公式，这与p, p∧q, (p∧q)→r等具体的公式是有 所不同的。
(完整版)离散数学课堂PPT(左孝凌版)
例4将下列命题符号化。
(1)只要不下雨，我就骑自行车上班。
(2)只有不下雨，我才骑自行车上班。
(3)若 2+2＝4，则太阳从东方升起。
(3)若 2+2≠4，则太阳从东方升起。
(4)若 2+2＝4，则太阳从西方升起。
(5)若 2+2≠4，则太阳从西方升起。
解：在（1）、（2）中，设P：天下雨；Q：我骑自行车上
∧表示自然语言中的“既……又……”， “不仅……而且……”， “虽然……但是”
P Q P ∧Q
TT
T
TF
F
FT
F
FF
F
例3将下列命题符号化。 （1）李平既聪明又用功。 （2）李平虽然聪明，但不用功。 （3）李平不但聪明，而且用功。 （3）李平不是不聪明，而是不用功。
解：设P：李平聪明；Q：李平用功。 （1）P∧Q （2）P∧ᄀQ （3）P∧Q （4）ᄀ（ᄀP）∧ᄀQ
自然语言中的“或”具有二义性，有时表示
不相容的或。
例：“派小王或小李中的一人去开会” 。为排斥
性的或。
P：派小王去开会；Q：派小李去开会。 （P∧ᄀQ）∨（ᄀP∧Q） ， （P∨Q）∧ᄀ（P∧Q）
定义1－2.4 设P、Q为两命题，复合命题“如果P， 则Q”称作 P与Q的蕴涵式，记作P→Q，→为蕴涵联 结词。
1.命题公式 命题公式：由命题常量、命题变元、联结词、括号 等组成的符号串。
命题公式中的命题变元称作命题公式的分量。
定义1－3.1 （1）单个命题常量或命题变 元,Q,R,…,Pi,Qi,Ri,… ，F，T是合式公式。 （2）如果A是合式公式，则（ᄀA）也是合式公式。 （3）如果A、B是合式公式，则（A∧B）、（A
离散数学教程PPT课件
A＝B C或A＝B C或A＝B C，则公式A是n＋1层公式， n max( i, j)。
例（1）p q r (2)r q p q p
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1.2 命题公式及其赋值
( p q) r
p：2是素数，q：3是偶数，r：2是有理数 p：2是素数，q：3是偶数，r：2是无理数
例2.等值等价式p q p q q p
等值演算的应用： 1.验证等值式 ( p q) ( p r) p (q r) 2.判定公式的类型 ( p q) p q,( p ( p q)) r, p ((( p q) p) q) 3.解决工作生活中的判断问题
甲、已、丙3人根据口音对王教授是哪人进行了判断： 甲说：王教授不是苏州人，是上海人 已说：王教授不是上海人，是苏州人 丙说：王教授既不是上海人，也不是杭州人
例：1.如果3＋3＝6，那么雪是白的。 2.除非我能工作完成了，我才去看电影。 3.只要天下雨，我就回家。 4.我回家仅当天下雨。 p→q的逻辑关系为q是p的必要条件或p是q的充分条件。
第15页/共292页
1.1 命题和命题联结词
5).等价词 由命题p、q和 组成的复合命题记作p q,读作“p当且仅当q”。 是自然语言中的“充要条件”，“当且仅当”的逻辑抽象。
1.3 命题公式的等值式
定义1.设A和B是两个命题公式，若A B为重言式， 则称公式A, B是等值的公式，记作A B。
例1.证明（p q) (q p); p p p.
注意： 和 的区别 是公式间的关系符号，如：p q 是命题联结词.p q
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1.3 命题公式的等值式
1.1 命题和命题联结词
例：1）海洋的面积比陆地的面积大。 例 q2:）： 22p6:6海 9洋 9。 。的面积比陆地的面积大。 r3:）火火星星上上有有生生命命。。 s4:）三三角角形形的的内内角角和和等等于 于118800。 。 55））你你喜 喜欢 欢数学吗吗？？ 66））我我们 们要 要努 努力力学学习习。。 77））啊啊， ，我 我的 的天天哪哪！！ 88））我我正 正在 在说 说谎 谎。。
例（1）p q r (2)r q p q p
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1.2 命题公式及其赋值
( p q) r
p：2是素数，q：3是偶数，r：2是有理数 p：2是素数，q：3是偶数，r：2是无理数
例2.等值等价式p q p q q p
等值演算的应用： 1.验证等值式 ( p q) ( p r) p (q r) 2.判定公式的类型 ( p q) p q,( p ( p q)) r, p ((( p q) p) q) 3.解决工作生活中的判断问题
甲、已、丙3人根据口音对王教授是哪人进行了判断： 甲说：王教授不是苏州人，是上海人 已说：王教授不是上海人，是苏州人 丙说：王教授既不是上海人，也不是杭州人
例：1.如果3＋3＝6，那么雪是白的。 2.除非我能工作完成了，我才去看电影。 3.只要天下雨，我就回家。 4.我回家仅当天下雨。 p→q的逻辑关系为q是p的必要条件或p是q的充分条件。
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1.1 命题和命题联结词
5).等价词 由命题p、q和 组成的复合命题记作p q,读作“p当且仅当q”。 是自然语言中的“充要条件”，“当且仅当”的逻辑抽象。
1.3 命题公式的等值式
定义1.设A和B是两个命题公式，若A B为重言式， 则称公式A, B是等值的公式，记作A B。
例1.证明（p q) (q p); p p p.
注意： 和 的区别 是公式间的关系符号，如：p q 是命题联结词.p q
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1.3 命题公式的等值式
1.1 命题和命题联结词
例：1）海洋的面积比陆地的面积大。 例 q2:）： 22p6:6海 9洋 9。 。的面积比陆地的面积大。 r3:）火火星星上上有有生生命命。。 s4:）三三角角形形的的内内角角和和等等于 于118800。 。 55））你你喜 喜欢 欢数学吗吗？？ 66））我我们 们要 要努 努力力学学习习。。 77））啊啊， ，我 我的 的天天哪哪！！ 88））我我正 正在 在说 说谎 谎。。
离散数学PowerPoint 演示文稿12
练习与作业
１.求下列命题公式的真值表 (1) l (q→p) (2) lp∨q (3) l q→lp 思考：比较上述三题与 p→q 真值表 ２.将下列命题符号化 (1)王威是100米冠军,又是200米冠军. (2)虽然天气很冷，老王还是来了． (3)他一边吃饭,一边看电视. (4) 如果天下大雨,他就乘公共汽车上班 (5) 只有天下大雨,他才乘公共汽车上班 (6)除非天下大雨,否则他不乘公共汽车上班 (7)不经一事,不长一智.
, ,
： ：
：
：
定义１.1.5
令P与Q是两个命
题，由命题联结词把P和Q连接
成P Q，称P Q为命题P和Q 的双条件式复合命题， 简称双 条件命题， P Q读做“P当 且仅当Q”，称为双条件联结词。
表 1.1.5 P Q 0 0 0 1 1 0 1 1
的定义 PQ 1 0 0 1
例1.3 将下列命题符号化. (1)张路即聪明又用功. (2)张路不仅聪明,而且用功. (3)张路虽然不太聪明,但他很用功. (4)张路不是不聪明,而是不用功, 解 设 P:张路聪明,Q:张路用功. 则(1)到(4)分别符号化P∧Q， P∧Q lP∧Q ， l（lP）∧lQ
定义.1.3
设P和Q
为两个命题，由命题
区别：
是逻辑联结词，
属于目标语言中的符号，它出现在
命题公式中；不是逻辑联结词，
表示两个命题公式的一种关系，不
属于这两个公式的任何一个公式中 的符号。
2.
序号 1
基本等价式——命题定律
定律名称 基本定律 双从否定律 AA
2
3 4 5
等幂律
交换律 结合律 分配律
A∧AA
,
离散数学课件ppt课件
联结词可以嵌套使用，在嵌套使用时，规定如下优先顺序： ( )，┐，∧，∨，→， ，对于同一优先级的联结词，先出现 者先运算。
例1.7 令 P : 北京比天津人口多 Q:22 4 R : 乌鸦是白色的
求下列复合命题的真值：
1P Q P Q R 2Q R P R 3P R P R
解 P，Q，R的真值分别为1，1，0。容易算出 (1)、(2)、(3)的真值分别为1，1，0。
2．在自然语言中，“如果P，则Q”中的前件P与后件Q往 往具有某种内在联系。而在数理逻辑中，P与Q可以无任何内 在联系。
3．在数学或其它自然科学中，“如果P，则Q”往往表达 的是前件P为真，后件Q也为真的推理关系。但在数理逻辑中， 作为一种规定，当P为假时，无论Q是真是假，P→Q均为真。 也就是说，只有P为真Q为假这一种情况使得复合命题P→Q为 假。
PQ 的真值定义为 PQ为真当且仅当P, Q同真值 因此, P, Q一真一假时, P Q为假。
复合命题P Q的真值表： P
0 0 1 1
Q
P Q
0
1
1
0
0
0
1
1
例1.6 将下列命题符号化，并指出它们的真值：
3如 两 圆O1 , O2的面积相等，则它们的半径相等；反之亦然. 4当王小红心情愉快时，她就唱歌；反之当她唱歌时，
真值为真的命题称为真命题；真值为假的命题为假命题。
说明：
1. 命题必须是陈述性语句，而不能是疑问句、命令句、 感叹句等；
2. 命题语句或者为真或者为假，二者必取其一，即命 题的真值是唯一的
判断句子是否为命题的标准： (1)陈述句 (2)有唯一的真值
例1 判断下列句子是不是命题: (1) 4是素数。
第一部分 数理逻辑
例1.7 令 P : 北京比天津人口多 Q:22 4 R : 乌鸦是白色的
求下列复合命题的真值：
1P Q P Q R 2Q R P R 3P R P R
解 P，Q，R的真值分别为1，1，0。容易算出 (1)、(2)、(3)的真值分别为1，1，0。
2．在自然语言中，“如果P，则Q”中的前件P与后件Q往 往具有某种内在联系。而在数理逻辑中，P与Q可以无任何内 在联系。
3．在数学或其它自然科学中，“如果P，则Q”往往表达 的是前件P为真，后件Q也为真的推理关系。但在数理逻辑中， 作为一种规定，当P为假时，无论Q是真是假，P→Q均为真。 也就是说，只有P为真Q为假这一种情况使得复合命题P→Q为 假。
PQ 的真值定义为 PQ为真当且仅当P, Q同真值 因此, P, Q一真一假时, P Q为假。
复合命题P Q的真值表： P
0 0 1 1
Q
P Q
0
1
1
0
0
0
1
1
例1.6 将下列命题符号化，并指出它们的真值：
3如 两 圆O1 , O2的面积相等，则它们的半径相等；反之亦然. 4当王小红心情愉快时，她就唱歌；反之当她唱歌时，
真值为真的命题称为真命题；真值为假的命题为假命题。
说明：
1. 命题必须是陈述性语句，而不能是疑问句、命令句、 感叹句等；
2. 命题语句或者为真或者为假，二者必取其一，即命 题的真值是唯一的
判断句子是否为命题的标准： (1)陈述句 (2)有唯一的真值
例1 判断下列句子是不是命题: (1) 4是素数。
第一部分 数理逻辑
离散数学PPT课件 15命题公式及命题符号(ppt文档)
• 注意：命题变元本身不是命题，只有给它一个 解释，才变成命题。
二.合式公式 ( wff ) (well formed formulas)
• 1.定义：
⑴ 单个命题变元是个合式公式。
⑵ 若A是合式公式，则A是合式公式。
⑶ 若A和B是合式公式，则(A∧B)， (A∨B)，(AB)和(AB)都是合式公式.
• 若写成(PQ) (P R)时，当P为F，Q为F时，即天没 下雨而我没上街，此时我说的是假话，但是表达式
(PQ) (P R) 的真值却是“T” ，因为此时(P R)的
真值是“T”。所以这个表达式也不对。
作业： P33 – 1.2, 1.4 , 1.5
1-3 命题公式及命题符号化
一.常值命题与命题变元
• 常值命题：即是我们前面所说的命题。它是有 具体含义 (真值)的。例如：“3是素数。”就 是常值命题。
• 命题变元：用大写的英字母如P、Q等表示任何 命题。称这些字母为命题变元。
• 对命题变元作指派(给命题变元一个解释)：将 一个常值命题赋予命题变元的过程，或者是直 接赋给命题变元真值“T”或“F”的过程。
11
100
十进制数 0 1 2 3 4 5 6 7 8
9
二进制数 0 1 10 11 100 101 110 111 1000 1001
注:有效数字前加0不影响数值，如000=0，001=1，010=10，011=11
• 为了有序地列出A(P1,P2,…,Pn)的真值表， 可以将F看成0，将T看成1，按照二进制 数00…0, 00…01, 00…010, …, 11…10, 11…1(即十进制的0,1,2,…. ,2n -1)的次序 进行指派列真值表。
• 例5.人不犯我，我不犯人；人若犯写成：(PQ)∧(PQ)
二.合式公式 ( wff ) (well formed formulas)
• 1.定义：
⑴ 单个命题变元是个合式公式。
⑵ 若A是合式公式，则A是合式公式。
⑶ 若A和B是合式公式，则(A∧B)， (A∨B)，(AB)和(AB)都是合式公式.
• 若写成(PQ) (P R)时，当P为F，Q为F时，即天没 下雨而我没上街，此时我说的是假话，但是表达式
(PQ) (P R) 的真值却是“T” ，因为此时(P R)的
真值是“T”。所以这个表达式也不对。
作业： P33 – 1.2, 1.4 , 1.5
1-3 命题公式及命题符号化
一.常值命题与命题变元
• 常值命题：即是我们前面所说的命题。它是有 具体含义 (真值)的。例如：“3是素数。”就 是常值命题。
• 命题变元：用大写的英字母如P、Q等表示任何 命题。称这些字母为命题变元。
• 对命题变元作指派(给命题变元一个解释)：将 一个常值命题赋予命题变元的过程，或者是直 接赋给命题变元真值“T”或“F”的过程。
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十进制数 0 1 2 3 4 5 6 7 8
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二进制数 0 1 10 11 100 101 110 111 1000 1001
注:有效数字前加0不影响数值，如000=0，001=1，010=10，011=11
• 为了有序地列出A(P1,P2,…,Pn)的真值表， 可以将F看成0，将T看成1，按照二进制 数00…0, 00…01, 00…010, …, 11…10, 11…1(即十进制的0,1,2,…. ,2n -1)的次序 进行指派列真值表。
• 例5.人不犯我，我不犯人；人若犯写成：(PQ)∧(PQ)
离散数学第一章PPT课件
R 0 1 0 1 0 1 0 1
Assignments（作业）
第30页: 4
1.3 公式分类与等价式
1.3.1 公式分类 1.3.2 等价公式（等值演算） 1.3.3 基本等价式----命题定律 1.3.4 代入规则和替换规则 1.3.5 证明命题公式等价的方法
1.3.1 公式分类
定义1.13 设A是一个命题公式，对A所有可能的解释： (1)若A都为真，称A为永真式或重言式。
(2)若A都为假，称A为永假式或矛盾式。
(3)若至少存在一个解释使得A为真，称A为可满足式。
例1 从上一节真值表可知，命题公式(PQ)(P∨Q)为 重言式，(PQ)∧Q为矛盾式，PQ)∧R为可满足式。
注： 1、 永真式必为可满足式，反之则不然；永真式的否定是永 假式，反之亦然； 2、 决定一个公式是否是一个永真式、永假式或可满足式有 三种方法：真值表法（适用于变元少而简单的公式）、求主范
1.否定词(negation connective )﹁
定义1.4 复合命题“非P”称为命题P的否定，记作
P，读作非P。 P为真当且仅当P为假。
例3 设 P：离散数学是计算机专业的核心课程， 则 P:离散数学不是计算机专业的核心课 程。
2.合取词(conjunction connective )∧
命题符号化的目的在于用五个联结词将日 常语言中的命题转化为数理逻辑中的形式命题， 其关键在于对自然语言中语句之间的逻辑关系 以及命题联结词的含义要有正确的理解，使用 适当的联结词： （1）确定语句是否是一个命题；
（2）找出句中连词，用适当的命题联结词表
示。
Assignments（作业）
第30页: 3（偶数小题）
定义1.12 设A是含有n个命题变元的命题 公式，将命题公式A在所有赋值之下取值的情 况汇列成表，称为A的真值表( truth table )。 为列出一个公式的真值表，我们约定： ①命题变元按字典序排列；②对公式的每个 解释，以二进制从小到大列出；③当公式较 复杂时，可先列出子公式的真值，最后列出 所给公式的真值。
离散数学讲义 第二章命题逻辑PPT课件
解 令P：我得到这本小说；Q：我今夜就读完它。
于是上述命题可表示为P→Q。
7
5．等值“”
定义2.2.5 设P和Q是两个命题，则它们的等值命
题是一个复合命题，称为等值式复合命题，记作“P Q” （读作“P当且仅当Q”）。
当P和Q的真值相同时,PQ取真,否则取假。
例10
P
Q
P Q
0
0
1
0
1
0
1
0
0
德.摩根定律
E11
PQP∨Q
E12
P Q (P∧Q)∨(P∧Q)
E13
P (QR) (P∧Q) R
E14
P Q (PQ)∧(QP)
E15
PQQP
23
三、等价式的判别
有两种方法：真值表方法，命题演算方法
1、真值表方法
例1 用真值表方法证明 E10： (PQ) PQ
解 令：A= (PQ)，B= PQ，构造A，B
一个复合命题，记作“P→Q”（读作“如果P，则Q”）。
当P为真，Q为假时，P→Q为假，否则 P→Q为真。
P
Q
P→Q
0
0
1
0
1
1
1
0
0
1
1
1
例8 若P：雪是黑色的；Q：太阳从西边升起；
R：太阳从东边升起。则P→Q和P→R所表示的命题都是真的.
例9 将命题“如果我得到这本小说，那么我今夜
就读完它。”符号化。
对于上述五种联结词，应注意到： 复合命题的真值只取决于构成它的各原子命题的真 值，而与这些原子命题的内容含义无关。
9
命题符号化
利用联结词可以把许多日常语句符号化。基本步骤如下：
离散数学课件 第一章
离 散 数 学
主讲教师 李红军 北京林业大学 理学院
BEIJING FOREST UNIVERSITY
教材及参考资料
教材：
1耿素云，屈婉玲，张立昂编著，离散数学，清华大学出版 社, 2008年3月（第4版） 2耿素云,屈婉玲编著.离散数学(修订版).高等教育出版社, 2004年
参考资料：
1 左孝凌编著，离散数学，上海科学技术出版社
1.1 命题与联结词 命题：能判断真假而不是可真可假的陈述句。 命题的真值：命题为真或者假的判断。 真命题：真值为真的命题。 假命题：真值为假的命题。 注：任何命题的真值都是惟一的；
用“1”表示真，用“0”表示假。
例 1.1 ：判断下列句子哪些是命题.
(1)
3 是有理数。
(2) 2是素数。 (3) X＋Y>10。
1 3
m z 1 r m 1
z m 1
1 2
1
3
比赛结束，三位观众各猜对了一半，并且没有并列名次.问：中 国、美国、日本的各排名第几？ 设z1:中国第一;z2 :中国第三；r1:日本第一； m1:美国第一；m2:美国第二； m3:美国第三.
例1的参考答案 m1 z3 1 r1 m3 1 z1 m2 1
对偶原理
A和A*是互为对偶式，P1， P2 ，……Pn是出现在A和A*的原子变元，则 A（P1，…，Pn） A*（ P1，…， Pn） A（ P1，…， Pn） A*（P1，…，Pn）
即公式的否定等值于其变元否定的对偶式。 例：A为PQ，则A*为PQ， 则（PQ） PQ
真值表
将命题公式A在所有赋值下取值情况列成表
试考虑求公式A的真值表的步骤？ 例1 求下列公式的真值表，并求出成真赋值和成假赋值. 1) p(¬ r∧q) 2) (p∨q)(¬ p q)
主讲教师 李红军 北京林业大学 理学院
BEIJING FOREST UNIVERSITY
教材及参考资料
教材：
1耿素云，屈婉玲，张立昂编著，离散数学，清华大学出版 社, 2008年3月（第4版） 2耿素云,屈婉玲编著.离散数学(修订版).高等教育出版社, 2004年
参考资料：
1 左孝凌编著，离散数学，上海科学技术出版社
1.1 命题与联结词 命题：能判断真假而不是可真可假的陈述句。 命题的真值：命题为真或者假的判断。 真命题：真值为真的命题。 假命题：真值为假的命题。 注：任何命题的真值都是惟一的；
用“1”表示真，用“0”表示假。
例 1.1 ：判断下列句子哪些是命题.
(1)
3 是有理数。
(2) 2是素数。 (3) X＋Y>10。
1 3
m z 1 r m 1
z m 1
1 2
1
3
比赛结束，三位观众各猜对了一半，并且没有并列名次.问：中 国、美国、日本的各排名第几？ 设z1:中国第一;z2 :中国第三；r1:日本第一； m1:美国第一；m2:美国第二； m3:美国第三.
例1的参考答案 m1 z3 1 r1 m3 1 z1 m2 1
对偶原理
A和A*是互为对偶式，P1， P2 ，……Pn是出现在A和A*的原子变元，则 A（P1，…，Pn） A*（ P1，…， Pn） A（ P1，…， Pn） A*（P1，…，Pn）
即公式的否定等值于其变元否定的对偶式。 例：A为PQ，则A*为PQ， 则（PQ） PQ
真值表
将命题公式A在所有赋值下取值情况列成表
试考虑求公式A的真值表的步骤？ 例1 求下列公式的真值表，并求出成真赋值和成假赋值. 1) p(¬ r∧q) 2) (p∨q)(¬ p q)
精品课程《离散数学》PPT课件(全)
言1
为什么学习离散数学？
离散数学是现代数学的一个重要分支，是计算机科学与技术 的理论基础，所以又称为计算机数学，是计算机科学与技术 专业的核心、骨干课程。
它以研究离散量的结构和相互间的关系为主要目标，其研 究对象一般是有限个或可数个元素，因此它充分描述了计算 机科学离散性的特点。
离散数学是什么课？
真值为1
25
1.1 命题符号化及联结词
以下命题中出现的a是给定的一个正整数： (3) 只有 a能被2整除， a才能被4整除。
(4) 只有 a能被4整除， a才能被2整除。
解： 令r： a能被4整除， s： a能被2整除。 真值不确定 (3)符号化为 s r (4)符号化为 r s
真值为1
26
19
1.1 命题符号化及联结词
3.析取词 设p,q为二命题，复合命题“p或q” 称为p与q的析取式，记作p ∨ q，符号∨称 为析取联结词。 运算规则：
p 0 0 1 1 q 0 1 0 1 p∨q 0 1 1 1
20
1.1 命题符号化及联结词
析取运算特点：只有参与运算的二命题全为假时，运算结果才 为假，否则为真。 相容或：二者至少有一个发生，也可二者都发生 排斥或：二者只有一个发生，即非此即彼 例如： （1）小王爱打球或爱跑步。 设p：小王爱打球。 q：小王爱跑步。 则上述命题可符号化为：p ∨ q （2）张晓静是江西人或湖南人。 设p：江西人。 q：湖南人。 则上述命题就不可简单符号化为：p ∨ q 而应描述为(p∧ q) ∨( p∧q)(也可用异或联接词∨)
（1）星期天天气好，带儿子去了动物园； （2）星期天天气好，却没带儿子去动物园； （3）星期天天气不好，却带儿子去了动物园； （4）星期天天气不好，没带儿子去动物园。
离散数学2课件 第2章 命题逻辑等值演算
个命题变项和它的否定式。
23/56
范式的性质
定理2.2 (1) 一个析取范式是矛盾式当且仅当它每个简单合取
式都是矛盾式。 (2) 一个合取范式是重言式当且仅当它的每个简单析
取式都是重言式。
定理2.3（范式存在定理） 任何命题公式都存在与之等值的析取范式与合
取范式。
24/56
命题公式的范式
求公式A的范式的步骤： (1) 消去A中的, （若存在） ABAB AB(AB)(AB) (2) 否定联结词的内移或消去 A A (AB)AB (AB)AB (3) 使用分配律
的十进制表示. 用Mi表示第i个极大项，其中i是该极大项成假赋值
的十进制表示. mi（Mi）称为极小项（极大项）的名称。
29/56
实例
由两个命题变项 p, q 形成的极小项与极大项
极小项
公式 成真赋 值
pq 0 0
pq
01
pq
10
pq
11
名称
m0 m1 m2 m3
极大项
公式 成假赋 值
pq 0 0 pq 0 1 pq 1 0 pq 1 1
(2) 简单析取式——仅由有限个文字构成的析取式
p, q, pq, pqr, …
(3) 简单合取式——仅由有限个文字构成的合取式
p, q, pq, pqr, …
(4) 析取范式——由有限个简单合取式组成的析取式
p, pq, pq, (pq)(pqr)(qr)
(5) 合取范式——由有限个简单析取式组成的合取式
14/56
等值演算的应用举例
判断公式类型: A为矛盾式当且仅当A 0 A为重言式当且仅当A 1
例4 用等值演算法判断下列公式的类型 (1) q(pq) (2) (pq)(qp) (3) ((pq)(pq))r)
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范式的性质
定理2.2 (1) 一个析取范式是矛盾式当且仅当它每个简单合取
式都是矛盾式。 (2) 一个合取范式是重言式当且仅当它的每个简单析
取式都是重言式。
定理2.3（范式存在定理） 任何命题公式都存在与之等值的析取范式与合
取范式。
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命题公式的范式
求公式A的范式的步骤： (1) 消去A中的, （若存在） ABAB AB(AB)(AB) (2) 否定联结词的内移或消去 A A (AB)AB (AB)AB (3) 使用分配律
的十进制表示. 用Mi表示第i个极大项，其中i是该极大项成假赋值
的十进制表示. mi（Mi）称为极小项（极大项）的名称。
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实例
由两个命题变项 p, q 形成的极小项与极大项
极小项
公式 成真赋 值
pq 0 0
pq
01
pq
10
pq
11
名称
m0 m1 m2 m3
极大项
公式 成假赋 值
pq 0 0 pq 0 1 pq 1 0 pq 1 1
(2) 简单析取式——仅由有限个文字构成的析取式
p, q, pq, pqr, …
(3) 简单合取式——仅由有限个文字构成的合取式
p, q, pq, pqr, …
(4) 析取范式——由有限个简单合取式组成的析取式
p, pq, pq, (pq)(pqr)(qr)
(5) 合取范式——由有限个简单析取式组成的合取式
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等值演算的应用举例
判断公式类型: A为矛盾式当且仅当A 0 A为重言式当且仅当A 1
例4 用等值演算法判断下列公式的类型 (1) q(pq) (2) (pq)(qp) (3) ((pq)(pq))r)
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.
2
定义 合式公式(命题公式, 公式)递归定义如下： (1) 单个命题常项或变项p, q, r, …, pi , qi , ri , …, 0,
1是合式公式；
(2) 若A是合式公式，则(A)也是合式公式； (3) 若A,B是合式公式，则(AB), (AB), (AB),
(AB)也是合式公式； (4) 只有有限次地应用(1)—(3)形成的符号串才
1.2 命题公式与赋值
▪ 命题变项与合式公式 ▪ 公式的赋值 ▪ 真值表 ▪ 命题的分类
重言式 矛盾式 可满足式
.
1
命题变项与合式公式
命题常项：真值确定的简单命题. 命题变项：真值不确定的陈述句.
注意: 命题变项不是命题！
合式公式：将命题常项和命题变项用联结词和 圆括号按一定的逻辑关系联接起来的符号串.
是合式公式。
说明: 最外层括号可以省去.
.
3
合式公式的层次
定义 (1) 若A是单个的命题变项或常项, 则称A为0层公式. (2) 称A是n+1(n≥0)层公式是指下面情况之一：
(a) A=B, B是n层公式； (b) A=BC, 其中B,C分别为i层和j层公式，且
n=max(i, j)； (c) A=BC, 其中B,C的层次及n同(b)； (d) A=BC, 其中B,C的层次及n同(b)； (e) A=BC, 其中B,C的层次及n同(b).
上例中 A= (qp)qp，B = (pq)q，
C= (pq)r A为重言式，B为矛盾式，C为可满足式
.
12
作业: P35：6
.
13
111
pq
r
0
1
0
0
1
1
1
0
1
1
1
0
1
1
1
0
.
(pq)r 1 1 1 0 1 0 1 0
11
公式的类型
定义 设A为一个命题公式 (1)若A无成假赋值，则称A为重言式(也称永真式) (2)若A无成真赋值，则称A为矛盾式(也称永假式) (3)若A不是矛盾式，则称A为可满足式。
注意:
重言式是可满足式，但反之不真.
.
7
真值表
真值表:公式A在所有赋值下的取值情况列成的表
构造真值表的步骤： 1)找出公式中所含的全部命题变项，列出所有可
能的赋值； 2)按从低到高的顺序写出各层次； 3)对应各赋值，计算公式各层次的值，直到最后
算出公式的值。
.
8
例1.8 求下列公式的真值表. (1) A= (qp) qp
pq
00 01 10
.
6
说明：
赋值=12…n之间不加标点符号，i=0或1. A中仅出现 p1, p2, …, pn，给A赋值12…n是 指 p1=1, p2=2, …, pn=n A中仅出现 p, q, r, …, 给A赋值123…是指 p=1, q=2 , r=3 … —— 字典顺序
含n个变项的公式有 ？2n个赋值.
.
4
合式公式的层次 (续)
例如 公式
p
0层
p
1层
pq
2层
(pq)r
3层
((pq) r)(rs)
4层
又如： ((p q) r)s
4层
((p q r )s(p q r) 5层
.
5
公式的赋值
定义 给公式A中的命题变项 p1, p2, … , pn 指定一组真值称为对A的一个赋值或解释。 成真赋值: 使公式为真的赋值. 成假赋值: 使公式为假的赋值.
11
qp
1 0 1
1
(qp) q
0 0 0 1
(qp)qp
1 1 1 1
.
9
(2) B = (pq) q
p q p pq (pq) (pq) q
00 1 1
0
0
01 1 1
0
0
10 0 0
1
0
11 0 1
0
0
10
(3) C = (pq) r
pqr 000 001 010 011 100
101 110