向量的等和线
向量中的等和线定理
向量中的等和线定理
向量等和线定理是相等的向量一定平行，但是平行的向量并不一定相等。
两个向量相等并不一定这两个向量一定要重合，只用这两个向量长度相等且方向相同即可。
由于任何一组平行向量都可移到同一直线上，故平行向量也叫做共线向量。
它可以形象化地表示为带箭头的线段。
箭头所指：代表向量的方向；线段长度：代表向量的大小。
与向量对应的量叫做数量（物理学中称标量），数量（或标量）只有大小，没有方向。
向量基本知识点：
1．平面向量：是在二维平面内既有方向又有大小的量，物理学中也称作矢量，与之相对的是只有大小、没有方向的数量（标量）。
2．向量的模：有向线段（AB）的长度叫做向量的模，记作|（AB）|。
3．零向量：长度等于0的向量叫做零向量，记作0。
平行于任何向量。
4．相等向量：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量。
5．平行向量（共线向量）：两个方向相同或相反的非零向量叫做平行向量6．或共线向量；零向量与任何向量平行。
7．单位向量：模等于1个单位长度的向量叫做单位向量，通常用e表示。
8．相反向量：与a 长度相等，方向相反的向量，叫做a 的相反向量，零向量的相反向量仍然是零向量。
专题三 平面向量的等和线(含解析)
专题七 平面向量的等和线根据平面向量基本定理，如果P A →，PB →为同一平面内两个不共线的向量，那么这个平面内的任意向量PC →都可以由P A →，PB →唯一线性表示：PC →＝xP A →＋yPB →．特殊地，如果点C 正好在直线AB 上，那么x ＋y ＝1，反之如果x ＋y ＝1，那么点C 一定在直线AB 上．于是有三点共线结论：已知P A →，PB →为平面内两个不共线的向量，设PC →＝xP A →＋yPB →，则A ，B ，C 三点共线的充要条件为x ＋y ＝1．以上讨论了点C 在直线AB 上的特殊情况，得到了平面向量中的三点共线结论．下面讨论点C 不在直线AB 上的情况．如图所示，直线DE ∥AB ，C 为直线DE 上任一点，设PC →＝xP A →＋yPB →(x ，y ∈R )．1．平面向量等和线定义(1)当直线DE 经过点P 时，容易得到x ＋y ＝0．(2)当直线DE 不过点P 时，直线PC 与直线AB 的交点记为F ，因为点F 在直线AB 上，所以由三点共线结论可知，若PF →＝λP A →＋μPB →(λ，μ∈R )，则λ＋μ＝1．由△P AB 与△PED 相似，知必存在一个常数k ∈R ，使得PC →＝kPF →(其中k ＝|PC ||PF |＝|PE ||P A |＝|PD ||PB |)，则PC →＝kPF →＝kλP A →＋kμPB →．又PC →＝xP A →＋yPB → (x ，y ∈R )，所以x ＋y ＝kλ＋kμ＝k ．以上过程可逆．在向量起点相同的前提下，所有以与两向量终点所在的直线平行的直线上的点为终点的向量，其基底的系数和为定值，这样的线，我们称之为“等和线”．2．平面向量等和线定理平面内一组基底PA →，PB →及任一向量PF →满足：PF →＝λPA →＋μPB →(λ，μ∈R )，若点F 在直线AB 上或在平行于AB 的直线上，则λ＋μ＝k （定值），反之也成立，我们把直线AB 以及与直线AB 平行的直线称为等和线．3．平面向量等和线性质(1)当等和线恰为直线AB 时，k ＝1；(2)当等和线在点P 和直线AB 之间时，k ∈(0，1)； (3)当直线AB 在点P 和等和线之间时，k ∈(1，＋∞)； (4)当等和线过点P 时，k ＝0；(5)若两等和线关于点P 对称，则定值k 互为相反数． 考点一 根据等和线求基底系数和的值 【方法总结】根据等和线求基底系数和的步骤(1)确定值为1的等和线；(2)平移(旋转或伸缩)该线，作出满足条件的等和线；(3)从长度比或点的位置两个角度，计算满足条件的等和线的值．已知点P 是△ABC 所在平面内一点，且AP →＝xAB →＋yAC →，则有点P 在直线BC 上⇔x ＋y ＝1；点P 与点A 在直线BC 异侧⇔x ＋y >1，且x ＋y 的值随点P 到直线BC 的距离越远而越大；点P 与点A 在直线BC 同侧⇔x ＋y < 1，且x ＋y 的值随点P 到直线BC 的距离越远而越小．平面向量共线定理的表达式中的三个向量的起点务必一致，若不一致，本着少数服从多数的原则，优先平移固定的向量；若需要研究两系数的线性关系，则需要通过变换基底向量，使得需要研究的代数式为基底的系数和．考虑到向量可以通过数乘继而将向量进行拉伸压缩反向等操作，那么理论上来说，所有的系数之间的线性关系，我们都可以通过调节基底，使得要求的表达式是两个新基底的系数和．【例题选讲】[例1](1)如图，A ，B 分别是射线OM ，ON 上的点，给出下列以O 为起点的向量：①OA →＋2OB →；②12OA→＋13OB →；③34OA →＋13OB →；④34OA →＋15OB →；⑤34OA →＋BA →＋23OB →．其中终点落在阴影区域(不包括边界)内的向量的序号是________(写出满足条件的所有向量的序号)．答案 ①③ 解析 由向量共线的充要条件可得，当点P 在直线AB 上时，存在唯一的一对有序实数u ，v ，使得OP →＝uOA →＋vOB →成立，且u ＋v ＝1，所以点P 位于阴影区域内的充要条件是“满足OP →＝uOA →＋vOB →，且u ＞0，v ＞0，u ＋v ＞1”．①因为1＋2＞1，所以点P 位于阴影区域内，故正确；同理③正确，②④不正确；⑤原式＝34OA →＋(OA →－OB →)＋23OB →＝74OA →－13OB →，而－13<0，故不符合条件．综上可知，只有①③正确．(2)设向量OA →，OB →不共线(O 为坐标原点)，若OC →＝λOA →＋μOB →，且0≤λ≤μ≤1，则点C 所有可能的位置区域用阴影表示正确的是( )答案 A 解析 当λ＝0时，OC →＝μOB →，故点C 所有可能的位置区域应该包括边界OB →或OB →的一部分，故排除B ，C ，D 项．故选A 项．(3)在△ABC 中，M 为边BC 上任意一点，N 为AM 的中点，AN →＝λAB →＋μAC →，则λ＋μ的值为( ) A ．12 B ．13 C ．14D ．1答案 A 解析 通法 设BM →＝tBC →，则AN →＝12AM →＝12(AB →＋BM →)＝12AB →＋12BM →＝12AB →＋t 2BC →＝12AB →＋t 2(AC →－AB →)＝⎝⎛⎭⎫12－t 2AB →＋t 2AC →，∴λ＝12－t 2，μ＝t 2，∴λ＋μ＝12，故选A ． 等和线法 如图，BC 为值是1的等和线，过N 作BC 的平行线，设λ＋μ＝k ，则k ＝|AN ||AM |．由图易知，|AN ||AM |＝12，故选A ．(4)在平行四边形ABCD 中，点E 和F 分别是边CD 和BC 的中点．若AC →＝λAE →＋μAF →，其中λ，μ∈R ，则λ＋μ＝__________．答案 43 解析 通法 选择AB →，AD →作为平面向量的一组基底，则AC →＝AB →＋AD →，AE →＝12AB →＋AD →，AF→＝AB →＋12AD →，又AC →＝λAE →＋μAF →＝⎝⎛⎭⎫12λ＋μAB →＋⎝⎛⎭⎫λ＋12μAD →，于是得⎩⎨⎧ 12λ＋μ＝1，λ＋12μ＝1，即⎩⎨⎧λ＝23，μ＝23，故λ＋μ＝43． 等和线法 如图，EF 为值是1的等和线，过C 作EF 的平行线，设λ＋μ＝k ，则k ＝|AC ||AM |．由图易知，|AC ||AM |＝43，故选B ． A(5)如图所示，在△ABC 中，D ，F 分别是AB ，AC 的中点，BF 与CD 交于点O ，设AB →＝a ，AC →＝b ，向量AO →＝λa ＋μb ，则λ＋μ的值为_______．答案 23 解析 等和线法 如图，BC 为值是1的等和线，过O 作BC 的平行线，设λ＋μ＝k ，则k＝|AO ||AM |．由图易知，|AO ||AM |＝23． B(6)如图，在平行四边形ABCD 中，AC ，BD 相交于点O ，E 为线段AO 的中点．若BE →＝λBA →＋μBD →(λ，μ∈R )，则λ＋μ等于()BA ．1B ．34C ．23D ．12答案 B 解析 通法 ∵为线段AO 的中点，∴BE →＝12BA →＋12BO →＝12BA →＋12×12BD →＝12BA →＋14BD →＝λBA →＋μBD →，∴λ＋μ＝12＋14＝34．等和线法 如图，AD 为值是1的等和线，过E 作AD 的平行线，设λ＋μ＝k ，则k ＝|BE ||BF |．由图易知，|BE ||BF |＝34，故选B ．(7)在梯形ABCD 中，已知AB ∥CD ，AB ＝2CD ，M ，N 分别为CD ，BC 的中点．若AB →＝λAM →＋μAN →，则λ＋μ的值为( )A ．14B ．15C ．45D ．54答案 C 解析 法一：连接AC (图略)，由AB →＝λAM →＋μAN →，得AB →＝λ·12(AD →＋AC →)＋μ·12(AC →＋AB →)，则⎝⎛⎭⎫μ2－1AB →＋λ2AD →＋⎣⎡⎭⎫λ2＋μ2AC →＝0，得⎝⎛⎭⎫μ2－1AB →＋λ2AD →＋⎣⎡⎭⎫λ2＋μ2 [AD →＋12AB →]＝0，得⎝⎛⎭⎫14λ＋34μ－1AB →＋⎝⎛⎭⎫λ＋μ2AD →＝0．又AB →，AD →不共线，所以由平面向量基本定理得⎩⎨⎧14λ＋34μ－1＝0，λ＋μ2＝0，解得⎩⎨⎧λ＝－45，μ＝85.所以λ＋μ＝45．法二：因为AB →＝AN →＋NB →＝AN →＋CN →＝AN →＋(CA →＋AN →)＝2AN →＋CM →＋MA →＝2AN →－14AB →－AM →，所以AB →＝85AN →－45AM →，所以λ＋μ＝45．法三：根据题意作出图形如图所示，连接MN 并延长，交AB 的延长线于点T ，由已知易得AB ＝45AT ，所以45AT →＝AB →＝λAM →＋μAN →，因为T ，M ，N 三点共线，所以λ＋μ＝45．等和线法 如图，连接MN 并延长，交AB 的延长线于点T ，则MT 为值是1的等和线，设λ＋μ＝k ，则k ＝|AB ||AT |．由图易知，|AB ||AT |＝45，故选C ．(8) (2013江苏)设D ，E 分别是△ABC 的边AB ，BC 上的点，AD ＝12AB ，BE ＝23BC ，若DE →＝λ1AB →＋λ2AC→答案 12 解析 如图，过点A 作AF →＝DE →，设AF 与BC 的延长线交于点H ，易知AF ＝FH ，∴DF ＝12BH ，因此λ1＋λ2＝12．(9)在平行四边形ABCD 中，AC 与BD 相交于点O ，点E 是线段OD 的中点，AE 的延长线与CD 交于点F ，若AC →＝a ，BD →＝b ，且AF →＝λa ＋μb ，则λ＋μ等于( )A ．1B ．34C ．23D ．12答案 A 解析 等和线法 如图，作AG →＝BD →，延长CD 与AG 相交于G ，因为C ，F ，G 三点共线，所以λ＋μ＝1．故选A ．C考点二 根据等和线求基底的系数和的最值(范围) 【方法总结】根据等和线求基底的系数和的最值(范围)的步骤(1)确定值为1的等和线；(2)平移(旋转或伸缩)该线，结合动点的可行域，分析何处取得最大值和最小值； (3)从长度比或点的位置两个角度，计算最大值和最小值．当点P 是某个平面区域内的动点时，首先作与基底两端点连线平行的直线l ，因点P 无论在l 何处，对应α＋β的值恒为定值，我们不妨称之为“等和线”(或“等值线”)，然后将“等和线”l 在动点P 的“可行域”内平行移动，于是问题便转化为求两个线段长度的比值范围，称之为“平移法”．已知点P 是△ABC 所在平面内一点，且AP →＝xAB →＋yAC →，则有点P 在直线BC 上⇔x ＋y ＝1；点P 与点A 在直线BC 异侧⇔x ＋y >1，且x ＋y 的值随点P 到直线BC 的距离越远而越大；点P 与点A 在直线BC 同侧⇔x ＋y < 1，且x ＋y 的值随点P 到直线BC 的距离越远而越小．平面向量共线定理的表达式中的三个向量的起点务必一致，若不一致，本着少数服从多数的原则，优先平移固定的向量；若需要研究两系数的线性关系，则需要通过变换基底向量，使得需要研究的代数式为基底的系数和．考虑到向量可以通过数乘继而将向量进行拉伸压缩反向等操作，那么理论上来说，所有的系数之间的线性关系，我们都可以通过调节基底，使得要求的表达式是两个新基底的系数和．【例题选讲】[例1](1)如图，在正六边形ABCDEF 中，P 是△CDE 内(包括边界)的动点，设AP →＝αAB →＋βAF →(α，β∈答案 [3，4] 解析 等和线法 直线BF 为k ＝1的等和线，当P 在△CDE 内时，直线EC 是最近的等和线，过D 点的等和线是最远的，所以α＋β∈[AN AM ，ADAM]＝[3，4]．(2)(2009安徽)给定两个长度为1的平面向量OA →和OB →，它们的夹角为2π3，如图所示，点C 在以O 为圆心的弧AB 上运动，若OC →＝xOA →＋yOB →(x ，y ∈R )，则x ＋y 的最大值是________．答案 2 解析 通法 以O 为坐标原点，OA →所在的直线为x 轴建立平面直角坐标系，如图所示，则A (1，0)，B (－12，32)，设∠AOC ＝α(α∈[0，2π3])，则C (cos α，sin α)，由OC →＝xOA →＋yOB →，得1cos 2sin x y y αα⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以x ＝cos α＋33sin α，y ＝233sin α，所以x ＋y ＝cos α＋3sin α＝2sin(α＋π6)，又α∈[0，2π3]，所以当α＝π3时，x ＋y 取得最大值2．等和线法 令x ＋y ＝k ，所有与直线AB 角度，不难得到k ＝|DO ||OE |＝2．(3) (2017·全国Ⅲ)在矩形ABCD 中，AB ＝1，AD ＝2AP →＝λAB →＋μAD →，则λ＋μ的最大值为( )A ．3B ．22C ．5D ．2答案 A 解析 建立如图所示的直角坐标系，则C 点坐标为(2，1)．设BD 与圆C 切于点E ，连接CE ，则CE ⊥BD ．因为CD ＝1，BC ＝2，所以BD ＝12＋22＝5，EC ＝BC ·CD BD ＝25＝255，所以P 点的轨迹方程为(x －2)2＋(y －1)2＝45．设P (x 0，y 0)，则⎩⎨⎧x 0＝2＋255cos θ，y 0＝1＋255sin θ(θ为参数)，而AP →＝(x 0，y 0)，AB →＝(0，1)，AD →＝(2，0)．因为AP →＝λAB →＋μAD →＝λ(0，1)＋μ(2，0)＝(2μ，λ)，所以μ＝12x 0＝1＋55cos θ，λ＝y 0＝1＋255sin θ．两式相加，得λ＋μ＝1＋255sin θ＋1＋55cos θ＝2＋sin(θ＋φ)≤3⎝⎛⎭⎫其中sin φ＝55，cos φ＝255，当且仅当θ＝π2＋2k π－φ，k ∈Z 时，λ＋μ取得最大值3．故选A ．等和线法 过动点P 作等和线，设x ＋y ＝k ，则k ＝|AM ||AB |．由图易知，当等和线与EF 重合时，k 取最大值，由EF ∥BD ，可求得|AE ||AB |＝3，∴λ＋μ取得最大值3．故选A ．(4)在直角梯形ABCD 中，AB ⊥AD ，AD ＝DC ＝1，AB ＝3，动点P 在以点C 为圆心，且与直线BD 相切的圆内运动，设AP →＝xAB →＋yAD →(x ，y ∈R )，则x ＋y 的取值范围是________．答案 ⎝⎛⎭⎫1，53 解析 等和线法 如图，作CE ⊥BD 于E ，由△CDE ∽△DBA 知CE DA ＝CD BD ，即CE 1＝110，所以CE ＝1010，设与BD 平行且与圆C 相切的直线交AD 延长线于点F ，作DH 垂直该线于点H ，显然DH ＝2CE ＝105，由△DFH ∽△BDA 得DF BD ＝DH BA ，即DF10＝105 3，所以DF ＝23，过点P 作直线l ∥BD ，交AD 的延长线于点M ，设t ＝AMAD，则x ＋y ＝t ，由图形知“等值线”l 可从直线BD 的位置平移至直线FH 的位置(不包括BD 和FH )，由平面几何知识可得1＝AD AD <AM AD <AF AD ＝53，即1<t <53，故x ＋y 的取值范围是⎝⎛⎭⎫1，53.(5)如图，在平行四边形ABCD 中，M ，N 为CD 的三等分点，S 为AM 与BN 的交点，P 为边AB 上一动点，Q 为三角形SMN 内一点(含边界),若PQ →＝xAM →＋yBN →(x ，y ∈R )，则x ＋y 的取值范围是________．答案 [34，1] 解析如图，作PE →＝BN →，PF →＝AM →，过S 直线MN 的平行线，由等和线定理知，(x ＋Ay )max ＝1，(x ＋y )min ＝34．(6)如图，圆O 是边长为23的等边三角形ABC 的内切圆，其与BC 边相切于点D ，点M 为圆上任意一点，BM →＝xBA →＋yBD →(x ，y ∈R )，则2x ＋y 的最大值为( )A ．2B ．3C ．2D ．22答案 C 解析 方法一 如图，连接DA ，以D 点为原点，BC 所在直线为x 轴，DA 所在直线为y 轴，建立如图所示的平面直角坐标系．设内切圆的半径为r ，则圆心为坐标(0，r )，根据三角形面积公式，得12×l △ABC ×r ＝12×AB ×AC ×sin 60°(l △ABC 为△ABC 的周长)，解得r ＝1．易得B (－3，0)，C (3，0)，A (0，3)，D (0，0)，设M (cos θ，1＋sin θ)，θ∈[0，2π)，则BM →＝(cos θ＋3，1＋sin θ)，BA→＝(3，3)，BD →＝(3，0)，故BM →＝(cos θ＋3，1＋sin θ)＝(3x ＋3y ,3x )，故⎩⎨⎧cos θ＝3x ＋3y －3，sin θ＝3x －1，则⎩⎨⎧x ＝1＋sin θ3，y ＝3cos θ3－sin θ3＋23，所以2x ＋y ＝3cos θ3＋sin θ3＋43＝23sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π3＋43≤2．当θ＝π6时等号成立．故2x ＋y 的最大值为2．方法二 因为BM →＝xBA →＋yBD →，所以|BM →|2＝3(4x 2＋2xy ＋y 2)＝3[(2x ＋y )2－2xy ]．由题意知，x ≥0，y ≥0，|BM →|的最大值为(23)2－(3)2＝3，又(2x ＋y )24≥2xy ，即－(2x ＋y )24≤－2xy ，所以3×34(2x ＋y )2≤9，得2x ＋y ≤2，当且仅当2x ＝y ＝1时取等号．等和线法 BM →＝xBA →＋yBD →＝2x (12BA →)＋yBD →＝2xBE →＋yBD →，作出值1为的等和线DE ，AC 是过圆上的点最远的等和线，设2x ＋y ＝k ，则k ＝|NB ||PB |＝2．∴2x ＋y 取得最大值2．故选C ．(7) 如图所示，A ，B ，C 是圆O 上的三点，线段CO 的延长线与BA 的延长线交于圆O 外的一点D ，若OC →＝mOA →＋nOB →，则m ＋n 的取值范围是________．答案 (－1，0) 解析 通法 由题意得，OC →＝kOD →(k ＜0)，又|k |＝|OC →||OD →|＜1，∴－1＜k ＜0．又∵B ，A ，D 三点共线，∴OD →＝λOA →＋(1－λ)OB →，∴mOA →＋nOB →＝kλOA →＋k (1－λ)OB →，∴m ＝kλ，n ＝k (1－λ)，∴m ＋n ＝k ，从而m ＋n ∈(－1，0)．等和线法 如图，作OA →，OB →的相反向量OA 1→，OB 1→，则AB ∥A 1B 1，过O 作直线l ∥AB ，则直线l ，A 1B 1分别为以OA →，OB →为基底的值为0，－1的等和线，由题意线段CO 的延长线与BA 的延长线交于圆O 外的一点D ，所以点C 在直线l 与直线A 1B 1之间，所以m ＋n ∈(－1，0)．(8)已知点O 为△ABC 的边AB 的中点，D 为边BC 的三等分点，DC ＝2DB ，P 为△ADC 内(包括边界)任一点，若OP →＝xOB →＋yOD →，则x －2y 的取值范围为________．答案 [－8，－1] 解析 等和线法 如图，延长DO 至点E ，使DO ＝2OE ，则OE →＝－12OD →，则OP →＝xOB →＋yOD →＝xOB →＋(－2y ) OE →，令z ＝－2y ，则x －2y ＝x ＋z ，OP →＝xOB →＋zOE →，设过点A ，C ，P 与BE 平行的直线分别为为l 1，l 2，l ，设l ，l 2交线段OD 延长线于点M ，H ，l 1交线段OD 于点K ，令x ＋z ＝t ，由图形知，t ＝－OMOE ，“等和线”l 可从l 1的位置平移至l 2的位置，由平面几何知识可知△OBE ≌△OAK ，△DBE∽△DCH ，所以OE OK ＝OB OA ＝1，BD CD ＝DE DH ＝3OE DH ＝12，所以1＝OK OE ≤OM OE ≤OH OE ＝OD ＋DH OE ＝2OE ＋6OEOE ＝8，则－8≤t ≤－1，故x －2y 的取值范围为[－8，－1]．(9)如图，在边长为1的正方形ABCD 中，E 为AB 的中点，P 为以A 为圆心，AB 为半径的圆弧(在正方形内，包括边界点)上的任意一点，若向量AC →＝λDE →＋μAP →，则λ＋μ的最小值为________．答案 12 解析 通法 以A 为原点，以AB 所在的直线为x 轴，AD 所在的直线为y 轴建立如图所示的平面直角坐标系，则A (0，0)，B (1，0)，E ⎝⎛⎭⎫12，0，C (1，1)，D (0，1)．设P (cos θ，sin θ)，∴AC →＝(1，1)，AP →＝(cos θ，sin θ)，DE →＝⎝⎛⎭⎫12，－1，∵AC →＝λ⎝⎛⎭⎫12，－1＋μ(cos θ，sin θ)＝⎝⎛⎭⎫λ2＋μcos θ，－λ＋μsin θ＝(1，1)，∴⎩⎪⎨⎪⎧λ2＋μcos θ＝1，－λ＋μsin θ＝1，∴⎩⎪⎨⎪⎧λ＝2sin θ－2cos θ2cos θ＋sin θ，μ＝32cos θ＋sin θ，∴λ＋μ＝3＋2sin θ－2cos θ2cos θ＋sin θ＝－1＋3sin θ＋32cos θ＋sin θ．∴(λ＋μ)′＝6＋6sin θ－3cos θ(2cos θ＋sin θ)2>0，故λ＋μ在⎣⎡⎦⎤0，π2上是增函数，∴当θ＝0，即cos θ＝1时，λ＋μ取最小值为3＋0－22＋0＝12．等和线法 由题意，作AK →＝DE →，设AD →＝λAC →，直线AC 与PK 直线相交于点D ，则有AD →＝λxAK →＋λyAP →，由等和线定理，λx ＋λy ＝1，从而x ＋y ＝1λ，当点P 与B 点重合时，如图，λmax ＝2，此时，(x ＋y ) max ＝12．(10) (2013·安徽)在平面直角坐标系中，O 是坐标原点，两定点A ，B 满足|OA →|＝|OB →|＝OA →·OB →＝2，则点集{P |OP →＝λOA →＋μOB →，|λ|＋|μ|≤1，λ，μ∈R }所表示的区域的面积是( )A ．22B ．23C ．42D ．43答案 D 解析 等和线法 如图，分别作OC →＝－OA →，OD →＝－OB →．当λ≥0，μ≥0时，{P |OP →＝λOA →＋μOB →，|λ|＋|μ|≤1，λ，μ∈R }＝{P |OP →＝|λ|OA →＋|μ|OB →，|λ|＋|μ|≤1，λ，μ∈R }，对应区域1；当λ≥0，μ<0时，{P |OP →＝λOA →＋μOB →，|λ|＋|μ|≤1，λ，μ∈R }＝{P |OP →＝|λ|OA →＋|μ|OD →，|λ|＋|μ|≤1，λ，μ∈R }，对应区域2；当λ<0，μ≥0时，{P |OP →＝λOA →＋μOB →，|λ|＋|μ|≤1，λ，μ∈R }＝{P |OP →＝|λ|OC →＋|μ|OB →，|λ|＋|μ|≤1，λ，μ∈R }，对应区域3；当λ<0，μ<0时，{P |OP →＝λOA →＋μOB →，|λ|＋|μ|≤1，λ，μ∈R }＝{P |OP →＝|λ|OC →＋|μ|OD →，|λ|＋|μ|≤1，λ，μ∈R }，对应区域4．综上所述可得，点集{P |OP →＝λOA →＋μOB →，|λ|＋|μ|≤1，λ，μ∈R }所表示的区域即图中的矩形区域，其面积S ＝2×23＝43．故选D ．【对点训练】1．如图，△BCD 与△ABC 的面积之比为2，点P 是区域ABCD 内任意一点(含边界)，且AP →＝λAB →＋μAC →， 则λ＋μ的取值范围为( )A ．[0，1]B ．[0，2]C ．[0，3]D ．[0，4]ABCDO 1342A1．答案 解析 等和线法 如图，(λ＋μ)min ＝0，(λ＋μ)max ＝3．故选C ．2．在直角梯形ABCD 中，∠A ＝90°，∠B ＝30°，AB ＝23，BC ＝2，点E 在线段CD 上，若AE →＝AD →＋μAB →， 则μ的取值范围是________．2．答案 ⎣⎡⎦⎤0，12 解析 通法 由题意可求得AD ＝1，CD＝3，所以AB →＝2DC →．∵点E 在线段CD 上， ∴DE →＝λDC → (0≤λ≤1)．∵AE →＝AD →＋DE →，又AE →＝AD →＋μAB →＝AD →＋2μDC →＝AD →＋2μλDE →，∴2μλ＝1，即μ＝λ2．∵0≤λ≤1，∴0≤μ≤12，即μ的取值范围是⎣⎡⎦⎤0，12． 等和线法 如图，(1＋μ)min ＝1，μmin ＝0．(1＋μ)max ＝32，μmax ＝12．3．如图，四边形OABC 是边长为1的正方形，点D 在OA 的延长线上，且OD ＝2，点P 是△BCD 内任意 一点(含边界)，设OP →＝λOC →＋μOD →，则λ＋μ的取值范围为________．3．答案 [1，32] 解析 等和线法 如图，(λ＋μ)min ＝1，(λ＋μ)max ＝32．4．给定两个长度为1的平面向量OA →和OB →，它们的夹角为90°，如图所示，点C 在以O 为圆心的圆弧AB ︵上 运动，若OC →＝xOA →＋yOB →，其中x ，y ∈R ，则x ＋y 的最大值是( )A ．1B ．2C ．3D ．24．答案 B 解析 通法 因为点C 在以O 为圆心的圆弧AB ︵上，所以|OC →|2＝|xOA →＋yOB →|2＝x 2＋y 2＋ 2xyOA →·OB →＝x 2＋y 2，∴x 2＋y 2＝1，则2xy ≤x 2＋y 2＝1．又(x ＋y )2＝x 2＋y 2＋2xy ≤2，故x ＋y 的最大值为2．等和线法 确定值为1的等和线AB ，过动点C 作等和线，设x ＋y ＝k ，则k ＝|CO ||PO |．由图易知，当等和线与圆相切时，k 取最大值，此时|MO ||NO |＝2，∴x ＋y 取得最大值2．故选B ．5．如图，在边长为2的正六边形ABCDEF 中，动圆Q 半径为1，圆心在线段CD (含端点)上运动，P 是圆 上及其内部的动点，设AP →＝mAB →＋nAF →(m ，n ∈R )，则m ＋n 的取值范围是________．5．答案 [2，5] 解析 等和线法 如图1时，m ＋n 的值最小且m ＋n ＝ANAB ＝2，如图2时，m ＋n 的值最大且m ＋n ＝AMAB＝5，6．如图，已知点P 为等边三角形ABC 外接圆上一点，点Q 是该三角形内切圆上的一点，若AP →＝x 1AB →＋y 1AC →，AQ →＝x 2AB →＋y 2AC →，则|(2x 1－x 2)＋(2y 1－y 2)|的最大值为______．F6．答案 73 解析 等和线法 由等和线定理知当点P ，Q 分别在如图所示的位置时x 1＋y 1取最大值，x 2＋y 2取最小值，且x 1＋y 1的最大值为|AP ||AM |＝43，x 2＋y 2的最小值为|AQ ||AM |＝13．故|(2x 1－x 2)＋(2y 1－y 2)|＝|(2(x 1＋y 1)－(x 2＋y 2)| ≤43＋13＝73．7．如图，在扇形OAB 中，∠AOB ＝π3，C 为弧AB 上的动点，若OC →＝xOA →＋yOB →，则x ＋3y 的取值范围是________．7．答案 [1，3] 解析 等和线法 依题意，OC →＝xOA →＋3y (OB →3)，如图，作OB ′→＝OB →3，重新调整基底为OA →，OB →′，设k ＝x ＋3y ，显然，当C 在A 点时，经过k ＝1的等和线，当C 在B 点时，经过k ＝3的等和线，这两条线分别是最近与最远的等和线，所以x ＋3y 的取值范围是[1，3]．8．如图，G 为△ADE 的重心，P 为△GDE 内任一点(包括边界)，B ，C 均为AD ，AE 上的三等分点(靠近 点A )，AP →＝αAB →＋βAC →，则α＋12β的取值范围是________．P8．答案 ⎣⎡⎦⎤32，3 解析 等和线法 如图，在线段AE 上取点F ，使AC ＝CF ，则AP →＝αAB →＋12βAF →，设12β ＝γ，则AP →＝αAB →＋γAF →，连接BF ，延长EG 交AD 于点H ，因为G 为△ADE 的重心，所以H 为AD 的中点，又B ，C 均为AD ，AE 上靠近点A 的三等分点，所以AF FE ＝ABBH ＝2，所以BF ∥HE ，过点P 作直线l ∥HE 交AD 于点M ，设α＋γ＝t ，则t ＝AMAB ，由图形知，“等值线”l 可从直线HE 的位置平移到过点D 的位置，由平面几何知识可知32＝AH AB ≤AM AB ≤AD AB ＝3，故32≤t ≤3，即α＋γ∈⎣⎡⎦⎤32，3，故α＋12β的取值范围是⎣⎡⎦⎤32，3． 9．给定两个长度为1的平面向量OA 和OB ，它们的夹角为90︒，如图所示，点C 在以O 为圆心的圆弧AB 上运动．若OC xOA yOB =+．其中x ，y ∈R ，则23x y +的最大值是( )AB ．3 CD ．5 9．答案 A 解析 通法点C 在以O 为圆心的圆弧AB 上运动，∴可以设圆的参数方程cos x θ=，sin y θ=，[0θ∈︒，90]︒，232cos 3sin )x y θθθϕ∴+=+=+，其中cos ϕ=，sin ϕ=，3513x y∴+，当且仅当sin()1θϕ+=时取等号．x y ∴+当三角函数取到1时成立．故选A ．等和线法 OC →＝xOA →＋yOB →＝2x (12OA →)＋3y (13OB →)＝2xOE →＋3yOF →，2x ＋3y ＝k ，则k ＝|OD ||OM |＝13．10．平行四边形ABCD 中，AB ＝3，AD ＝2，∠BAD ＝120°，P 是平行四边形ABCD 内一点，且AP ＝1，若AP →＝xAB →＋yAD →，则3x ＋2y的最大值为________．10．答案 2 解析 通法 |AP →|2＝(xAB →＋yAD →)2＝9x 2＋4y 2＋2xy ×3×2×⎝⎛⎭⎫－12＝(3x ＋2y )2－3(3x )·(2y )≥(3x ＋ 2y )2－34(3x ＋2y )2＝14(3x ＋2y )2．又|AP →|2＝1，因此14(3x ＋2y )2≤1，故3x ＋2y ≤2，当且仅当3x ＝2y ，即x＝13，y ＝12时，3x ＋2y 取得最大值2． 等和线法 可转化为例2(2)．11．在矩形ABCD 中，AB ＝5，BC ＝3，P 为矩形内一点，且AP ＝52，若AP →＝λAB →＋μAD →(λ，μ∈R )， 则5λ＋3μ的最大值为______． 11．答案102解析 通法 建立如图所示的平面直角坐标系，设P (x ，y )，B (5，0)，C (5，3)，D (0， 3)．∵AP ＝52，∴x 2＋y 2＝54．点P 满足的约束条件为⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤5，0≤y ≤3，x 2＋y 2＝54，∵AP →＝λAB →＋μAD →(λ，μ∈R )，∴(x ，y )＝λ(5，0)＋μ(0，3)，∴⎩⎨⎧x ＝5λ，y ＝3μ，∴x ＋y ＝5λ＋3μ．∵x ＋y ≤2(x 2＋y 2)＝2×54＝102，当且仅当x ＝y 时取等号，∴5λ＋3μ的最大值为102．等和线法 AP →＝λAB →＋μAD →＝5λ→)＋3μAD →)＝5λAM →＋3μAN →，5λ＋3μ＝k ，则k＝102．12．如图，在扇形OAB 中，∠AOB ＝π3，C 为弧AB 上的一个动点，若OC →＝xOA →＋yOB →，则x －y 的取值范围是________．BAN12．答案[1-，1]解析通法设半径为1，由已知可设OB为x轴的正半轴，O为坐标原点，建立直角坐标系，其中1(2A；(1,0)B；(cos,sin)Cθθ（其中(0)3BOCπθθ∠=，有若OC→＝xOA→＋yOB→＝(cosθ，1sin)(2xθ=(1y+，0)；整理得：1cos2x yθ+=sinxθ=，解得xcosyθ=，则cos cos2sin()6x yπθθθθ-=-+-=-，其中(0)3πθ；易知cos cos2sin()6x yπθθθθ-==-=-，为增函数，由单调性易得其值域为[1-，1]，故答案为[1-，1]．等和线法13．如图，在直角梯形ABCD中，AB AD⊥，//AB DC，2AB=，1AD DC==，图中圆弧所在圆的圆心为点C，半径为12，且点P在图中阴影部分（包括边界）运动．若AP xAB yBC=+，其中x，y∈R，则4x y-的最大值为()A．34-B．3+C．2D．3+ 13．答案B解析以A为坐标原点，AB为x轴，AD为y轴建立平面直角坐标系，则(0,0)A，(0,1)D，(1,1)C，(2,0)B，直线BD的方程为220x y+-=，C到BD的距离d，∴圆弧以点C为圆心的圆方程为221(1)(1)4x y-+-=，设(,)P m n则(,)AP m n=，(0,1)AD=，(2,0)AB=，(1,1)BC=-，若AP xAB yBC=+，(m∴，)(2n x y=-，)y，2m x y∴=-，n y=，P在圆内或圆上，221(21)(1)4x y y∴--+-，设4x y t-=，则4y x t=-，代入上式整理得2280(4816)870x t x t-+++，A设22()80(4816)870f x x t x t =-+++，1[2x ∈，3]2，则1()023()02f f ⎧<⎪⎪⎨⎪<⎪⎩，解得5232t +，故4x y -的最大值为3，故选B ．等和线法14．如图，在扇形OAB 中，∠AOB＝π3，C 为弧AB 上，且与A ，B 不重合的一个动点，OC→＝xOA →＋yOB →，若u ＝x ＋λy (λ>0)存在最大值，则λ的取值范围为( )A ．1(, 1)2B ．(1, 3)C ．1(, 2)2D ．1(, 3)314．答案 C 解析 通法 以O 为原点，OB 为x 轴，建立如图所示的直角坐标系，设(0)3COB πθθ∠=<<， 1OB =，则(cos ,sin )C θθ，(1,0)B ，1(2A ，由OC xOA yOB =+，得1cos 2sin y x θθ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∴cos x y θθ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，cos (0)3u x y πλθλθθ∴=+=+<<，(0)u x y λλ=+>存在最大值，()u θ∴存在极值点，sin u θλθ'∴=-在(0,)3πθ∈上有零点．令0u '=，则tan θ，(0,)3πθ∈，∴tan θ，∴122λ<<，λ∴的取值范围为1(,2)2．故选C ．等和线法15．在平面直角坐标系中，O 是坐标原点，若两定点A ，B 满足||||2OA OB ==，1OA OB =，则点集{}|, ||||2, , P OP OA OB λμλμλμ=++∈R 所表示的区域的面积是( )A ．B ．C ．D ．15．答案 D 解析2cos 1OA OB AOB =⨯∠=，1cos 2AOB ∴∠=，即60AOB ∠=︒．（1）若0λ>， 0μ>，设2OE OA =，2OF OB =，则22OP OE OF λμ=+，||||2λμλμ+=+，故当2λμ+=时，E ，F ，P 三点共线，故点P 表示的区域为OEF ∆，此时1sin602OEF S ∆=⨯︒=．(2)若0λ<，0μ>，设2OE OA =-，2OF OB =，则22OP OE OF λμ=-+，||||2λμλμ+=-+，故当2λμ-+=时，P ，E ，F 三点共线，故点P表示的区域为OEF ∆，此时1sin1202OEF S ∆=⨯︒=同理可得：当0λ>，0μ<时，P 点表示的区域面积为当0λ<，0μ<时，P点表示的区域面积为，综上，P 点表示的区域面积为4=．故选D ．等和线法。
向量中的“奔驰定理”与“等和线定理”
（一）向量中的“奔驰定理” 引例1、设O 在ABC ∆内，3,0==++∆ABC S OC OB OA ，则_______=∆AOB S . 引例2、设O 在ABC ∆内，,032=++OC OB OA 则ABC ∆与AOC ∆的面积之比为（ ） A.2:1 B.3:2 C.3:1 D.5:3“奔驰定理“：在ABC ∆中，任取一点O ，如图，则：O OC S OB S OA S C B A =++.例1:设P 是ABC ∆内一点，且AC AB AP 5152+=, 则ABP ∆与ABC ∆的面积之比为_____________。
结论：三角形的“四心”的向量表达式：（1）重心G ：0=++GC GB GA ；（2）外心O ：02sin 2sin 2sin =++OC C OB B OA A ；（3）内心I ：0=++IC c IB b IA a 或0sin sin sin =++IC C IB B IA A ；（4）垂心H ：0tan tan tan =++IC C IB B IA A 。
练习1:设G 是ABC ∆的重心，且0sin sin sin =++GC C GB B GA A ，则_______=∠B 。
练习2:已知P 是ABC ∆的外心，且 120,0=∠=++C PC PB PA λ,则实数λ的值为____。
（二）平面向量中的“等和线定理”一、等和线：平面内一组基底OB OA ,及任意一向量OP ，),(R OB OA OP ∈+=μλμλ，若点P 在直线AB 上或在平行于AB 的直线上，则k =+μλ（定值）；反之也成立，我们把直线AB 以及直线AB 平行的直线叫等和线。
性质：（1）当等和线恰为直线AB 时，1=k ；（2）当等和线在O 点和直线AB 之间时，)1,0(∈k ； （3）当直线AB 在O 点和等和线之间时，),1(+∞∈k ； （4）当等和线过点O 时，0=k ；(5)当两等和线关于O 对称，则定值k 互为相反数；（6）定值k 的变化与等和线到O 的距离成正比。
向量技巧：等和线
等和线定理一、等和线定理 （1）平面向量共线定理已知，若，则三点共线；反之亦。
OC OB μλ+=OA 1=+μλC B A 、、（2）等和线平面内一组基底及任一向量，，若点p 在直线AB 上或在平OB OA ,OP OB OA OP μλ+=行于AB 的直线上，则（定值），反之也成立，我们把直线AB 以及与直线AB 平k =+μλ行的直线称为等和线。
1.当等和线恰为直线AB 时，k 等于12.当等和线在O 点和直线AB 之间时，)1,0(∈k 3.当直线AB 在O 点和等和线之间时， ),1(+∞∈k 4.当等和线经过O 点时k 等于0，5.若两等和线关于O 点对称，则定值k 互为相反数6. 定值k 的变化与等和线到O 点的距离成正比二、适用题型在平面向量基本定理的表达式中，若需研究两系数的和差积商、线性表达 式及平方和时，可以用等值线法。
三、解题步骤1、确定等值线为1 的线；2、平移（旋转或伸缩）该线，结合动点的可行域，分析何处取得最大值和最小值；3、从长度比或者点的位置两个角度，计算最大值和最小值；四、几点补充1、平面向量共线定理的表达式中的三个向量的起点务必一致，若不一致，本着少数服从多数的原则，优先平移固定的向量；2、若需要研究的是两系数的线性关系，则需要通过变换基底向量，使得需要研究的代数式为基底的系数和或差；利用等和线求向量积例题精讲例1设M 为平行四边形ABCD 对角线的交点，O 为平行四边形ABCD 所在平面内任意一点，则OA →＋OB →＋OC →＋OD →等于()A.OM→B ．2OM→C ．3OM→D ．4OM→例2如图,在平行四边形ABCD 中,AC ,BD 相交于点O ,E 为线段AO 的中点.若BE →＝λBA →＋μBD →(λ,μ∈R),则λ＋μ＝．例3如图所示,在平行四边形ABCD 中，13AE AB = ,14AF AD =,CE 与BF 相交于G 点，记AB a = ,AD b = ,则AG =_______例4在△ABC 中，D 是△ABC 所在平面内一点,且AD →＝13AB →＋12AC →,延长AD 交BC 于点E ,若AE →＝λAB →＋μAC →,则λ－μ的值是．练习1．如图,在三角形ABC 中,BE 是边AC 的中线,O 是BE 边的中点,若AB →＝a ,AC →＝b ,则AO →＝()A.12a ＋12b B.12a ＋13b C.14a ＋12b D.12a ＋14b 2．(2019·济南调研)在△ABC 中,AN →＝14NC →,若P 是直线BN 上的一点,且满足AP →＝mAB →＋25AC →,则实数m 的值为()A ．-4B ．-1C ．1D ．43．在△ABC 中,13AN NC =,点P 是BC 上的一点,若211AP mAB AC =+,则实数m 的值为()A ．911B ．511C ．311D ．2114．如图所示,在△ABC 中,点O 是BC 的中点,过点O 的直线分别交直线AB ,AC 于不同的两点M ,N ,若AB →＝mAM →,AC →＝nAN →,则m ＋n 的值为()A ．1B ．2C ．3D ．45．已知点M 是△ABC 的边BC 的中点，点E 在边AC 上，且EC →＝2AE →，则向量EM →＝()A ．12AC →＋13AB→B ．12AC →＋16AB→C ．16AC →＋12AB →D ．16AC →＋32AB→6．(2019·衡水中学调研)一直线l 与平行四边形ABCD 中的两边AB ，AD 分别交于点E ，F ，且交其对角线AC 于点M ，若AB →＝2AE →，AD →＝3AF →，AM →＝λAB →－μAC →(λ,μ∈R),则52μ－λ＝()A ．－12B ．1C.32D ．－37．在平行四边形ABCD 中,E 和F 分别是CD 和BC 的中点,若AC →＝λAE →＋μAF →,其中λ,μ∈R,则λ＋μ＝________．8．在平行四边形ABCD 中,E 和F 分别是CD 和BC 的中点,若AC →＝λAE →＋μAF →,其中λ,μ∈R,则λ＋μ＝________．9．(2019·中原名校联考)如图，在△ABC 中，点M 是BC 的中点，N 在边AC 上，且AN ＝2NC ，AM 与BN 相交于点P ，则APPM＝________．10．点G 是△OAB 的重心,P 、Q 分别是边OA 、OB 上的动点,且P 、G 、Q 三点共线．设OA x OP =,OB y OQ =,证明：yx 11+是定值；11．在三角形ABC 中,AM ﹕AB =1﹕3,AN ﹕AC =1﹕4,BN 与CM 相交于点P ,且a AB =,b AC =,试用a 、b表示AP .12．已知P 是ABC ∆的边BC 上的任一点,且满足R y x AC y AB x AP ∈+=.,,求yx 41+的最小值.PABCMN微信公众号：高中数学学习资料第5页答案例1答案：D 解析：OA →＋OB →＋OC →＋OD →＝(OA →＋OC →)＋(OB →＋OD →)＝2OM →＋2OM →＝4OM →例2解：因为E 为线段AO 的中点，所以BE →＝12BA →＋12BO →＝12BA →＋1221(⨯BD →)=12BA →＋14BD →＝λBA →＋μBD →，所以λ＋μ＝12＋14＝34.例3解：,,E G C 三点共线，∴由平面内三点共线定理可得：存在唯一的一对实数x 使得(1)AG xAE x AC∴=+- , 1133AE AB a == ,AC a b=+ 12(1)()(1)(1)33x AG x a x a b a x b ∴=⨯+-+=-+-…………………①又,,F G B 三点共线，∴由平面内三点共线定理可得：存在唯一的一对实数λ使得(1)AG AB AFλλ∴=+-1144AF AD b ==，，1(1)4AG a b λλ∴=+-……………………………②由①②两式可得：213114x x λλ⎧=-⎪⎪⎨-⎪=-⎪⎩6737x λ⎧=⎪⎪∴⎨⎪=⎪⎩3177AG a b ∴=+ 例4解：设AE →＝xAD →，因为AD →＝13AB →＋12AC →，所以AE →＝x 3AB →＋x2AC →.由于E ，B ，C 三点共线，所以x 3＋x 2＝1，解得x ＝65.又AE →＝λAB →＋μAC →.所以λ＝x 3＝25，μ＝x 2＝35，因此λ－μ＝－15.练习1、答案：D 解析：因为在三角形ABC 中，BE 是AC 边上的中线，所以AE →＝12AC →.因为O 是BE 边的中点，所以AO →＝12(AB →＋AE →)＝12AB →＋14AC →＝12a ＋14b .2、答案：B解析：根据题意设BP →＝nBN →(n ∈R)，则AP →＝AB →＋BP →＝AB →＋nBN →＝AB →＋n (AN →－AB →)＝AB →＋－(1－n )AB →＋n5AC →，又AP →＝mAB →＋25AC →，n ＝m ，＝25，＝2，＝－1.3、答案：C 解析：,,B P N 三点共线，又2284111111AP m AB AC m AB AN m AB AN=+=+⨯=+8111m ∴+=311m ∴=4、答案：B 解析：因为O 为BC 的中点，所以AO →＝12(AB →＋AC →)＝12(mAM →＋nAN →)＝m 2AM →＋n 2AN →，因为M ，O ，N 三点共线，所以m 2＋n2＝1，所以m ＋n ＝2.5、答案：C 解析：如图，因为EC →＝2AE →，所以EM →＝EC →＋CM →＝23AC →＋12CB →＝23AC →＋12(AB →－AC →)＝12AB →＋16AC →.6、答案：A 解析：AM →＝λAB →－μAC →＝λAB →－μ(AB →＋AD →)＝(λ－μ)AB →－μAD →＝2(λ－μ)AE →－3μAF →，因此E ，M ，F 三点共线．所以2(λ－μ)＋(－3μ)＝1，则2λ－5μ＝1.因此52μ－λ＝－12.7、答案：43解析：选择AB →，AD →作为平面向量的一组基底，则AC →＝AB →＋AD →，AE →＝12AB →＋AD →，AF →＝AB →＋12AD →，又AC →＝λAE →＋μAF →＋→＋12μ→，＋μ＝1，＋12μ＝1，＝23，＝23，所以λ＋μ＝43.8、答案：43解析：选择AB →，AD →作为平面向量的一组基底，则AC →＝AB →＋AD →，AE →＝12AB →＋AD →，AF →＝AB →＋12AD →，又AC →＝λAE →＋μAF →＋→＋12μ→，＋μ＝1，＋12μ＝1，＝23，＝23，所以λ＋μ＝43.9、答案：4解析：设AB →＝a ，AC →＝b ，因为A 、P 、M 三点共线，所以存在唯一实数λ，使得AP →＝λAM →.又知M 为BC 的中点，所以AP →＝12λ(a ＋b )．因为B 、P 、N 三点共线，所以存在唯一实数μ，使得BP →＝μBN →，又AP →＝AB →＋BP →＝AB →＋μBN →＝AB →＋μ(AN →－AB →)＝AB →＋－(1－μ)a ＋23μb ，所以12λ(a ＋b )＝(1－μ)a ＋23μb ，μ＝12λ，＝12λ，解得λ＝45，μ＝35.所以AP →＝45AM →，PM →＝15AM →.所以|AP →|∶|PM →|＝4∶1，即AP PM＝4.10、证明： 因为G 是OAB 的重心，分析：211()()323OG OA OB OA OB ∴=⨯+=+ 1OP xOA OA OP x =∴= 1OQ yOB OB y=∴= 111111()()3333OG OA OB OQ OG OP OQ x y x y∴=+=+∴=+ 又,,P G Q 三点共线，11133x y∴+=113x y ∴+=11x y ∴+为定值311、解：,,N P B 三点共线，∴由平面内三点共线定理可得：存在唯一的一对实数x,y 使得,1AP xAB y AN x y =++= ,AN ﹕AC=1﹕4,b AC AN 4141==1444y y x AP xAB AC xa xa b -∴=+=+=+ ……①又,,C P M 三点共线，∴由平面内三点共线定理可得：存在唯一的一对实数μ,λ使得,1AP AM AC μλμλ∴=++= ∵AM ﹕AB=1﹕3∴a AB AM 3131==，，133AP a b a b μλλλ-∴=+=+ ……………………………②由①②两式可得：1314x x λλ-⎧=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩311211x λ⎧=⎪⎪∴⎨⎪=⎪⎩81,11x y y +=∴= 321111AP a b ∴=+ 12. 点P 落在ABC 的边BC 上∴B，P,C 三点共线AP xAB y AC =+ 1x y ∴+= 且x>0,y>014141444()1()()145y x y x x y x y x y x y x y x y ∴+=+⨯=+⨯+=++=++ x>0,y>040,0y x x y ∴>>由基本不等式可知：44y x x y +≥=，取等号时4y x x y=224y x ∴=2y x ∴=±0,0x y >> 2y x ∴=1x y += 12,33x y ∴==，符合所以yx 41+的最小值为9。
平面向量基本定理系数的等和线
平面向量基本定理系数的等和线
【适用题型】平面向量基本定理的表达式中，研究两系数的和差及线性表达式的范围与最值。
【基本定理】
（一）平面向量共线定理
已知OA OB OC λμ=+ ，若1λμ+=，则,,A B C 三点共线；反之亦然
（二）等和线
平面内一组基底,OA OB 及任一向量OP ，(,)OP OA OB R λμλμ=+∈ ，若点P 在直线
AB 上或者在平行于AB 的直线上，则k λμ+=（定值）
，反之也成立，我们把直线AB 以及与直线AB 平行的直线称为等和线。
（1）当等和线恰为直线AB 时，1k =；
（2）当等和线在O 点和直线AB 之间时，(0,1)k ∈；
（3）当直线AB 在点O 和等和线之间时，(1,)k ∈+∞；
（4）当等和线过O 点时，0k =；
（5）若两等和线关于O 点对称，则定值k 互为相反数；
【解题步骤及说明】
1、确定等值线为1的线；
2、平移（旋转或伸缩）该线，结合动点的可行域，分析何处取得最大值和最小值；
3、从长度比或者点的位置两个角度，计算最大值和最小值；
说明：平面向量共线定理的表达式中的三个向量的起点务必一致，若不一致，本着少数服从多数的原则，优先平移固定的向量；若需要研究的两系数的线性关系，则需要通过变换基底向量，使得需要研究的代数式为基底的系数和。
【典型例题】
例1、给定两个长度为1的平面向量OA 和OB ，它们的夹角为0120，如图所示，点C 在以
O 为圆心的圆弧 AB 上变动。
若OC xOA yOB =+ ，其中,x y R ∈，则x y +的最大值
是__________。
第1讲 等和线
第1讲等和线———————————————————1、确定等值线为1的线；2、平移（旋转或伸缩）该线，结合动点的可行域，分析何处取得最大值和最小值；3、从长度比或者点的位置两个角度，计算最大值和最小值；说明：平面向量共线定理的表达式中的三个向量的起点务必一致，若不一致，本着少数服从多数的原则，优先平移固定的向量；若需要研究的两系数的线性关系，则需要通过变换基底向量，使得需要研究的代数式为基底的系数和。
等和线定理是专门解决向量中系数之和的秒杀方法，对于系数之和以及系数类有关问题，均可以尝试使用向量等系数和线原理。
适用题型：解决共起点向量系数和取值范围。
（一）,,A B C 平面向量共线定理已知OA OB OC λμ=+，若1λμ+=，则三点共线；反之亦然（二）等和线性质已知OQ OB OA λμ=+(1λμ+=),若OB y OA x OP ''+=且k y x =+''，则OP k OQ=uu ruu r .证明：设OQ m OP =，则()OP m OB OCm OB m OC l m l m =+=+uu ruu r uu ruu r uu r=OBy OA x ''+所以()m y x =+=+μλm ''所以k y x =+''=OPmOQ=uu ruu r （三）等和线性质推广平面内一组基底,OA OB 及任一向量OP ，(,)OP OA OB R λμλμ=+∈，若点P 在直线AB 上或者在平行于AB 的直线上，则k λμ+=（定值），反之也成立，我们把直线AB 以及与直线AB 平行的直线称为等和线。
（1）当等和线恰为直线AB 时，1k =；（2）当等和线在O 点和直线AB 之间时，(0,1)k ∈；（3）当直线AB 在点O 和等和线之间时，(1,)k ∈+∞；（4）当等和线过O 点时，0k =；（5）若两等和线关于O 点对称，则定值k 互为相反数；典型例题【例题1】．（2017全国三卷12题）在矩形ABCD 中，1AB =，2AD =，动点P 在以点C 为圆心且与BD 相切的圆上．若AP AB AD λμ=+，则λμ+的最大值为()A ．3B ．22C 5D ．2【解答】方法一（坐标法）：如图：以A 为原点，以AB ，AD 所在的直线为x ，y 轴建立如图所示的坐标系，则(0,0)A ，(1,0)B ，(0,2)D ，(1,2)C ，动点P 在以点C 为圆心且与BD 相切的圆上，设圆的半径为r ，2BC = ，1CD =，22215BD ∴=+=1122BC CD BD r = ，25r ∴=∴圆的方程为224(1)(2)5x y -+-=，设点P 的坐标为25(cos 15θ+，25sin 2)5θ+，AP AB AD λμ=+，25(cos 15θ∴+，25sin 2)(15θλ+=，0)(0μ+，2)(λ=，2)μ，∴25cos 15θλ+=，25sin 225θμ+=，255cos sin 2sin()255λμθθθϕ∴+=++=++，其中tan 2ϕ=，1sin()1θϕ-+ ，13λμ∴+ ，故λμ+的最大值为3，故选：A ．方法二（等和线）根据上图，可得p 点在圆上运动距离A 最远的时候，λ+μ=3最大。
平面向量基本定理系数的等和线
l AQBOA 1B 1PlOABCC 1平面向量基本定理系数的等和线【适用题型】在平面向量基本定理的表达式中，研究两系数的和差及线性表达式的范围与最值。
【基本定理】（一） 平面向量共线定理已知OA OB OC λμ=+，若1λμ+=，则,,A B C 三点共线；反之亦然 （二） 等和线平面内一组基底,OA OB 及任一向量OP ，(,)OP OA OB R λμλμ=+∈，若点P 在直线AB 上或者在平行于AB 的直线上，则k λμ+=（定值），反之也成立，我们把直线AB 以及与直线AB 平行的直线称为等和线。
（1） 当等和线恰为直线AB 时，1k =；（2） 当等和线在O 点和直线AB 之间时，(0,1)k ∈； （3） 当直线AB 在点O 和等和线之间时，(1,)k ∈+∞； （4） 当等和线过O 点时，0k =；（5） 若两等和线关于O 点对称，则定值k 互为相反数；【解题步骤及说明】1、 确定等值线为1的线；22、 平移（旋转或伸缩）该线，结合动点的可行域，分析何处取得最大值和最小值；3、 从长度比或者点的位置两个角度，计算最大值和最小值；说明：平面向量共线定理的表达式中的三个向量的起点务必一致，若不一致，本着少数服从多数的原则，优先平移固定的向量；若需要研究的两系数的线性关系，则需要通过变换基底向量，使得需要研究的代数式为基底的系数和。
【典型例题】例1、 给定两个长度为1的平面向量OA 和OB ，它们的夹角为0120，如图所示，点C 在以O 为圆心的圆弧AB 上变动。
若OC xOA yOB =+，其中,x y R ∈，则x y +的最大值 是__________。
（1）跟踪练习：已知O 为ABC ∆的外心，若1cos 3ABC ∠=，AO AB AC λμ=+，则λμ+的最大值为_______(2)如图，在平行四边形ABCD 中，AC ，BD 相交于点O ，E 为线段AO 的中点.若BE →＝λBA →＋μBD →(λ，μ∈R )，则λ＋μ＝________.(3)在矩形ABCD 中，AB ＝1，AD ＝2，动点P 在以点C 为圆心且与BD 相切的圆上．若AP →＝λ AB →＋μ AD →，则λ＋μ的最大值为( )A ．3B ．2 2 C. 5D ．2(4)A ，B ，C 是圆O 上不同的三点，线段CO 与线段AB 交于点D (点O 与点D 不重合)，若OC →＝λOA →＋μOB →(λ，μ∈R )，则λ＋μ的取值范围是( )A ．(0,1)B ．(1，＋∞)C ．(1，2]D ．(－1,0)例2、在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，两定点,A B 满足||||2OA OB OA OB ==⋅=，则点集{|,||||1,,}P OP OA OB R λμλμλμ=++≤∈所表示的区域面积为__________________.例3、如图，在扇形OAB 中，060AOB ∠=，C 为弧AB 上不与,A B 重合的一个动点，OC xOA yOB =+，若u x y λ=+ (0)λ>存在最大值，则λ的取值范围为__________.跟踪练习：在正方形ABCD 中，E 为BC 中点，P 为以AB 为直径的半圆弧上任意一点，设AE xAD y AP =+，则2x y +的最小值为_____________.AAC【强化训练】1、在正六边形ABCDEF 中，P 是三角形CDE 内（包括边界）的动点，设AP xAB y AF =+，则x y + 的取值范围__________.2、如图，在平行四边形ABCD 中，,M N 为CD 边的三等份点，S 为,AM BN 的交点，P 为边AB 上的一动点，Q 为SMN ∆内一点（含边界），若PQ xAM yBN =+，则x y +的取值范围__________.3、设,D E 分别是ABC ∆的边AB ，BC 上的点，12AD AB =，23BE BC =，若12DE AB AC λλ=+ （12,λλ为实数），则12λλ+的值为_____________.4、梯形ABCD 中，AD AB ⊥，1AD DC ==，3AB =，P 为三角形BCD 内一点（包括边界），AP xAB y AD =+，则x y +的取值范围__________.5、已知||1,||3OA OB ==，0OA OB ⋅=，点C 在AOB ∠内，且030AOC ∠=，设OC mOA nOB =+，则mn的值为____________. 6、在正方形ABCD 中，E 为AB 中点，P 为以A 为圆心，AB 为半径的圆弧上的任意一点，设AC xDE y AP =+，则x y +的最小值为_____________.7、已知||||1OM ON ==，(,OP xOM yON x y =+为实数）。
平面向量等和线定理
平面向量等和线定理
平面向量等和线定理是数学中的一个基本定理，它为我们解决平面向量的基本问题提供了重要的指导意义。
在我们解决平面向量的加减问题时，如果知道了一个向量等于若干向量的和，那么我们就可以轻松地计算出这个向量的分量。
平面向量等和线定理是什么呢？它的定义其实很简单：在平面上，如果有若干个向量，它们的和等于零向量，那么它们可以排成一个封闭的“环”，这个“环”就叫做向量等和线。
那么，向量等和线有哪些性质呢？首先，向量等和线必须是封闭的，也就是说，起始点和终止点必须相同。
其次，向量等和线的所有向量之和为零向量。
最后，向量等和线必须是不自交的，也就是说，没有任何向量既在向量等和线内又在向量等和线外。
那么，向量等和线有什么应用呢？首先，向量等和线可以帮助我们求解向量的和以及向量的分解。
其次，向量等和线还可以用来求解几何问题，比如通过向量等和线来判断一个图形是否为平行四边形或者是否成立三角形的条件等。
总之，平面向量等和线定理是我们解决平面向量问题的基础，它不仅具有理论价值，而且对于我们的实际运用也有非常重要的指导意义。
在理解了这个定理之后，我们可以更加灵活地运用向量，解决更加复杂的数学问题。
平面向量的等和线、等差线、等积线、等商线等
平面向量基本定理系数的等值线法一、适用题型在平而向量搖本崖理的表达式中.若需研究两系数的和差积商、线性表达式及平方和时.可以用等值线法・二基本理论（一）平面向*共线定理已知鬲=久西+“況.若久十“ = I, UIUB.C三点共线：反之亦然（二）等和线平面内一俎慕底oNoS及任一向量亦.亦二人花+ 〃亦（人若 0 P在直线朋上或在平行于肋的直线上，则2+“ =尿定值）仮Z也成孙我们把直线*〃以及与宜线.4B 平行的直线成为等和线。
（1）当等和线恰为直线时.A=l：⑵ 当等和线在O点和直线朋之间时.仁（0,1）；（3）当住线M在O点和等和线之间时"＜仏+00）；（4＞当等和线过O点时.^ = 0；（5）若两等和线关于O点对称.则左值《互为相反数：（6）泄值人-的变化与等和线到O点的師离成正比：（三）等差仪平面内一组慕底OA,OB及任一向量帀・帀“鬲+ “亦亿C为线段的中点.若点P在直线0C上或在平行于CC的買线上.则八戸=灿上值八反Z也成匕我们把fL线"以及线OC半行的直线称为等差线.（1）当等荃线恰为直线OC时，A=0：（2）斗等差线过X点时.A=l：（4）当等差线与阳延长线相交时.2（1卄8）；⑶ 当等差线在直线0C与点/之何时.JtG（0,l）:（5＞若两等差线关于直线OC对称.则两足为相反数:（四）等积线平面内一组基底OA.OBJ^任一向&OP ・ 丽=几刃+ “亦（入“wR ）・若 点P 在以苴线OA.OB 为渐近线的女曲线上.则“为足值I 反Z 也成必 我们 把以直线OA.OB 为渐近线的双曲线称为%积线（1） 当双曲线有一支金厶103内时，k>0t（2） 当双曲线的两支都不在乙4OB 内时.X <0：（3） 特别的.若tU=（a 上讥加= （“,"），点P 住双曲线（五）等商线点P 在过O 点（不与0/1重合〉的直线上，则虫=川定值），反之也成立。
向量的等和线
向量的等和线【牛刀小试】1、已知1||=OA ，3||=OB ，0=⋅OB OA ，点C 在∠AOB 的内部且∠AOC =30°，设OB n OA m OC +=，则nm 的值为 ． 解答：如图，由n m +=的两边分别乘以，得： ⎪⎩⎪⎨⎧+⋅=⋅⋅+=⋅22n m OB OA n OA m OA OC ∴⎪⎩⎪⎨⎧==nOC m OC 32||332||，3=n m ． 2、 如图，在扇形OAB 中，∠AOB =60∘，C 为弧AB 上且与A ，B 不重合的一个动点，y x +=，若)0(>+=λλy x u 存在最大值，则λ的取值范围为 ．解答：设射线OB 上存在为B ′，使OB OB λ1'=，AB ′交OC 于C ′， 由于OB y OA x OB y OA x OB y OA x OC '1'λλλ+=⋅+=+= 设t =，''y x +=，由A ，B ′，C ′三点共线可知1''=+y x λ，所以t tx y x u +=+='λ，t y ='λ， 则u =存在最大值，即在弧AB (不包括端点)上存在与AB ′平行的切线，所以)2,21(∈λ． 【庖丁解牛】平面内一组基底OA ，OB ，及任一向量(,)OC OA OB R λμλμ=+∈，若点C 在直线AB 上或在平行于AB 的直线上，则k λμ+=(定值)，反之也成立， 我们把直线 AB 以及直线AB 平行的直线称为“等和线”．（1）当等和线恰为直线AB 时，1k =；（2）当等和线在O 点和直线 AB 之间时，01k <<；（3）当直线AB 在O 点和等和线之间时，1k >；（4）当等和线过O 点时， 0k =；（5）若两等和线关于O 点对称，则定值k 互为相反数；（6）定值k 的变化与等和线到O 点的距离成正比；简证，如图，若OC OD λ=，那么()yx OC xOA yOB OA OB OD λλλλ=+=+=，从而有1y x λλ+=，即x y λ+=．另一方面，过C 点作直线 AB ∥l ，在l 上任作一点C ’，连接OC '交AB 于点D ，同理可得，以OA ，OB 为基底时， OC'对应的系数和依然为x y λ+=．（一）基底起点相同【例1】在矩形 ABCD 中，AB ＝1，AD ＝2，动点P 在以C 为圆心且与BD 相切的圆上，若AP AB AD λμ=+，则λμ+的最大值是 ．【分析】 如图，由平面向量基底等和线定理可知，当等和线l 与圆相切时，λμ+最大，此时 λμ+ 33AB AF AB BE EF AB AB AB++====． （二）基底起点不同【例 2】设D ，E 分别是△ABC 的边AB ，BC 上的点，且有12AD AB =，23BE BC =，若1212(,)DE AB AC R λλλλ=+∈，则12λλ+的值为 ．【分析】过点A 作AF DE =，设AF ，BC 的延长线交于点H ，易知AF ＝FH ，即AF ＝FH ，即DF 为BC 的中位线，因此1212λλ+=． （三）基底一方可变【例3】在正方形ABCD 中，如图，E 为AB 中点，P 以A 为圆心，AB 为半径的圆弧上的任意一点，设AC xDE yAP =+，则x y +的最小值为 ．【分析】由题意，作AK DE =，设AD AC λ=，直线AC 与直线PK 相交与点D ，则有 AD xAK yAP λλ=+，由等和线定理，1x y λλ+=，从而1x y λ+=，当点P 与点B 重合时，max 2λ=，此时min 1()2x y +=．（四）基底合理调节【例题4】在平面直角坐标系中，O 是坐标原点，两定点AB ，满足||||2OA OB OA OB ==⋅=，则点集{|,||||1,,}P OP OA OB R λμλμλμ=++≤∈，所表示的区域面积是 ．【分析】由||||2OA OB OA OB ==⋅=可知，,3OA OB π<>=，如图所示，当0λ≥，0μ≥时，若1λμ+=，则点P 位于线段AB 上；当0λ≥，0μ≤时，若1λμ-=，则点P 位于线段A'B 上；当0λ≤，0μ≤时，若1λμ--=，则点P 位于线段A'B 上；当0λ≤，0μ≤时，若1λμ--=，则点P 位于线段A'B'上；又因为||||1λμ+≤，由等和线定理可知，点P 位于矩形ABA'B'内（含边界）， 其面积443AOB S S ==（五）“基底＋”高度融合 例5：已知△ABC 中，BC ＝6，AC ＝2AB ，点D 满足22()y x AD AB AC x yx y =+++，设(,)||f x y AD =， 00(,)(,)f x y f x y ≥恒成立，则00(,)f x y 的最大值为 ．【分析】本题为“基底+阿氏圆”交汇命题.思路1：如图所示，以BC 为x 轴，中垂线为y 轴建立直角坐标系，易知点B 的轨迹方程是22(5)16x y -+=．取AC 中点F ，延长 AB 到E ，且AB ＝BE ．于是，∵ 22()y x AD AB AC x y x y =+++， ∴ 1(2)()()2y x AD AB AC x y x y =+++，即y x A D A E A F x y x y=+++，从而D E F ∈，进一步得到00(,)(,)||f x y f x y AK ≥=，且有||2||AK BG =，因为EF 恒过△ACE 重心H ，所以||2||2||4AK BG BH =≤=，即00max (,)4f x y =．思路2：如图所示，同上分析，D EF ∈．当AD ⊥EF 时，(,)||f x y AD =，取得最小值，此时00(,)||f x y AD =，△ABC ≌△AEF ，则||||4AD AH r =≤=．【变式拓展】1、如图所示， AB ∥OM ，点P 在由射线OM 、射线段O B 及AB 的延长线围成的阴影区域内（不含边界）运动，且OP xOA yOB =+．（1）则x 的取值范围是 ；（2）当12x =-时，y 的取值范围是 ．【分析】（1）如图，OM ∥AB ，点P 在由射线OM ，线段OB 及AB 的延长线围成的区域内(不含边界)运动，且OP xOA yOB =+，由向量加法的平行四边形法则，OP 为平行四边形的对角线，该四边形应是以OB 和OA 的反向延长线为两邻边，∴x 的取值范围是(,0)-∞； （2）当12x =-时，要使P 点落在指定区域内，即P 点应落在DE 上，CD =12OB ，CE =32OB ，∴ y 的取值范围是31(,)22． 2、如图，在平行四边形ABCD 中，M ，N 为CD 的三等分点，S 为AM 与BN 的交点，P 为边AB 上一动点，Q 为△SMN 内一点（含边界），若PQ xAM yBN =+，则x y +的取值范围是 ．【分析】如图所示，作PS AM =，PT BN =，过l 作直线MN 的平行线，由等和线定理可知，3[,1]4x y +∈．3、在平面直角坐标系xOy 中，已知点P 在曲线T ：0)y x =≥上，曲线T 与x 轴相交于点B ， 与y 轴相交于点C ，点(2,1)D 和(1,0)E 满足(,)OD CE OP R λμλμ=+∈，则λμ+的最小值为 ．【分析】作CE ⊥OA ，令1OD xOD =，有1OD x OA x OP λμ=+，由等和线定理，1x y λλ+=，所以1x λμ+=，如图，再由等和线定理，得min 1()2λμ+=．4、如图，A ，B ，C 是圆O 上的三点，CO 的延长线与线段BA 的延长线交于圆O 外的点D ，若OC mOA nOB =+，则m n +的取值范围是 ．【分析】作OA ，OB 的相反向量1OA ，1OB ，如图，则AB ∥A 1B 1，过O 作直线l ∥AB ，则直线l ，A 1B 1是以OA ，OB 为基底的平面向量基本定理系数等和线，且定值分别为0，1，由题意CO 的延长线与线段BA 的延长线交于圆O 外的点D ，所以点C 在直线l 与直线A 1B 1之间，所以(1,0)m n +∈-．【实战演练】1、（衡水一中2018年二模）如图，边长为2 的正六边形 ABCDEF 中，动圆Q 的半径为 1，圆心在线段CD （含短点）上运动， P 是圆Q 上及其内部的动点，设向量AP mAB nAF =+，,m n R ∈，则m n +的取值范围是 ．【分析】如图，设1AP mAB nAF =+，由等和线结论，22AG AB m n AB AB+===，此为m n +取的最小值；同理，设2AP mAB nAF =+，由等和线结论，5AH m n +==，此为m n +取的最大值.综上可知，[2,5]m n +∈．2、（2013杭州一模）如图，在扇形OAB 中，∠AOB ＝3π，C 为弧AB 上的一个动点，若OC xOA yOB =+，则3x y +的取值范围是 ． 【分析】依题意，13()3OC xOA yOB xOA y OB =+=+，令1'3OB OB =，重新调整基底OA ，'OB ．显然，当C 在A 点时，经过1k =的等和线，C 在B 点时经过3k =的等和线，这两个分别是最近跟最远的等和线，所以系数和3[1,3]x y +∈．3、（2019年3月扬州月考）如图，在△ABC 中，AD ＝DB ，F 在线段CD 上，设AB →＝a ，AC→＝b ，AF →＝x a ＋y b ，则1x ＋4y的最小值为________．【分析】(2)AF xa yb x AD yAC =+=+，C 、F 、。
高考数学等和线定理及其应用 [完美打印版]
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高考数学等和线定理及其应用 [完美打印版]平面向量基本定理系数“等和线”的应用一、问题的提出本文讨论平面向量的基本定理系数“等和线”的应用。
二、等和线定理平面向量共线定理：已知OA、OB为平面内一组基，若存在实数λ，μ使得OC=λOA+μOB(λ，μ∈R)，则A。
B。
C三点共线；反之亦然。
等和线定理：平面内一组基底OA、OB以及直线AB以及直线AB平行的直线称为“等和线”。
若点C在直线AB上或在平行于AB的直线上，则λ+μ=1，反之也成立。
当等和线恰为直线AB时，k=1；当等和线在O点和直线AB之间时，k∈(0,1)；当直线AB在O点和等和线之间时，k∈(1,+∞)；当等和线过O点时，k=0；若两等和线关于O点对称，则定值k 互为相反数；定值k的变化与等和线到O点的距离成正比。
三、定理运用一）基底起点相同例1：在矩形ABCD中，AB=1，AD=2，动点P在以点C 为圆心且与BD相切的圆上。
若AP=λAB+μAD，则λ+μ的最大值为( )。
二）基底起点不同例2：设D，E分别是△ABC的边AB，BC上的点，AD=AB，BE=BC，若DE=λ1AB+λ2AC(λ1，λ2为实数），则λ1+λ2的值为。
练1：在△ABC中，AB=6，BC=8，AB⊥BC，M是△ABC外接圆上一动点，若AM=λAB+μAC，则λ+μ的最大值是（）。
练2：在边长为2的正六边形ABCDEF中，动圆Q的半径为1，圆心在线段CD（含端点）上运动，则m+n的取值范围是()。
P是圆Q上及内部的动点，设向量AP=mAB+nAF(m，n为实数）。
练3：在平行四边形ABCD中，M,N为CD的三等分点，S为AM与BN的交点，P为边AD上的一点，连接CP、DP，交线段AB于点E、F，若PE=2PF，则.PQ=xAM+yBN，其中AB上的动点为Q，Q为三角形SMN内的一个点（包括边界）。
当基底中的x+y取值范围是（三）时，P为可变点。
例3.在边长为2的正方形ABCD中，E是边AB的中点，P为以A为圆心、AB为半径的圆弧上的任意一点，向量AP=xDE+yAC。
向量压轴专题之等和线的应用(mathtype WORD精编版)
向量压轴专题之等和线的应用一. 等和线知识介绍如图所示，,OA OB 不共线，由平面向量基本定理，OP OA OB λμ=+，当点P 在直线AB 上时，1λμ+=；当点P 不在直线AB 上时，可以过点P 作直线AB 的平行线，且与OA ，OB 所在的直线分别交于M ，N 两点，则由三点P ，M ，N 共线，不难得出：OP xOM yON =+，且x ＋y ＝1，又由平行线分线段成比例定理，得：,OM kOA ON kOB ==，其中OMk OA=则OP xOM yON kxOA kyOB =+=+，即λ＝kx ，μ＝ky ，故λ＋μ＝k (x ＋y )＝k . 把过点P 作直线AB 的平行线MN 称为等和线．等和线的相关结论(1)当等和线恰为直线AB 时，k ＝1；(2)当等和线在点O 和直线AB 之间时，k ∈(0,1)； (3)当直线AB 在点O 和等和线之间时，k ∈(1，＋∞)； (4)当等和线过点O 时，k ＝0；(5)如图所示的情况下，当MN 向右上角平移的过程中，k 值在逐渐变大二. 标准的等和线问题对于标准的等和线问题，题目中一般涉及到这样的条件和问题，OP OA OB λμ=+(三个向量共起点)，求λμ+(后面两个向量的系数和)的值或者范围.解题流程如下：(1)连接AB (后面两个共起点向量的终点)与OP 交于点Q ；(2)判断动点在什么位置时取最大或者最小值(利用等和线相关结论的第5个)(3)求出OPOQ的值(通常根据平行线构造“A ”字型或“8”字型相似求解)首先我们来看看标准的等和线求值问题：(2020 成都期末统考 15)在矩形ABCD 中，已知,E F 分别是,BC CD 上的点，且满足BE EC =，2CF FD =. 若(),AC AE AF R λμλμ=+∈，则λμ+的值为________.【答案】75【解析】法一：向量转化(非边长转边长)12AE AB BE AB AD =+=+，13AF AD DF AB AD =+=+ 故132AC AE AF AB AD μλμλλμ⎛⎫⎛⎫=+=++++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭又AC AB AD =+故13112μλλμ⎧+=⎪⎨⎪+=⎩，解得4535λμ⎧=⎪⎨⎪=⎩故75λμ+=法二：等和线如图所示，根据等和线解题流程首先连接EF 交AC 于点H ，则ACAHλμ+=接下来重点思考如何求出该比例，从利用平行线构造相似入手，我们发现利用//CF AB 可以构造一个“8”字型相似，故延长FE 交AB 于点GHFE DCBA利用CE EB =易得CF BG =，故25CF AG = 故75AC AH =，故75λμ+= 【点评】方法一利用传统的向量转化思想，一般是将非边长向量转成边长向量，然后建立方程求解；方法二是利用等和线进行求解，难点在于利用平行线构造相似求解比例接下来我们看看标准等和线的求范围问题：(2017 全国3卷 12)在矩形ABCD 中，AB ＝1，AD ＝2，动点P 在以点C 为圆心且与BD 相切的圆上．若AP AB AD λμ=+，则λμ+的最大值为( )A ．3B ．22C ．5D ．2 【答案】A【解析】 如图，由等和线定理可知， 当等和线l 与圆相切时，λ＋μ最大，此时λ＋μ＝AF AB ＝AB ＋BE ＋EF AB ＝3AB AB＝3，故选A ．【点评】本题是2017年全国卷3的第12题，如果用常规方法可以考虑建系，求出圆的方程，然后利用圆的参数方程设出P 的坐标，然后通过向量的坐标运算反解出λ和μ，最后将λμ+用三角函数表示出来，利用辅助角求出其最值，有一定的分析难度和计算量；如果用等和线可以快速判断出取得最值的位置，然后通过平行线截线段成比例求出最值，显得尤为简单如图，在边长为2的正六边形ABCDEF 中，动圆Q 的半径为1，圆心在线段CD (含端点)上运动，P 是圆Q 上及其内部的动点，设向量AP mAB nAF =+(m ，n 为实数)，则m ＋nGHAB CDEF的取值范围是( )A ．(1,2]B ．[5,6]C ．[2,5]D ．[3,5]【答案】C【解析】随着动点圆心Q 在线段CD (含端点)上运动，点P 的运动区域为阴影部分所示，如图所示．作直线BF 的平行线l ，使得l 与阴影区域有公共点，离BF 最近的直线l 记为P 1G (P 1为l 与圆C 的切点，G 为l 与直线AB 的交点)，离BF 最远的直线l 记为P 2H (P 2为l 与圆D 的切点，H 为l 与直线AB 的交点)．设AP 1→＝mAB →＋nAF →，由等和线结论，m ＋n ＝AG AB ＝2AB AB ＝2.此为m ＋n 的最小值．设AP 2→＝mAB →＋nAF →，由等和线结论，m ＋n ＝AH AB ＝5.此为m ＋n 的最大值． 综上可知，m ＋n ∈[2,5]．【点评】利用等和线性质5找到最大值和最小值的位置，然后利用平行线截线段成比例求出最值(2021 绵阳三诊 12)已知点F 为抛物线2:4E x y =的焦点，()0,2C -，过点F 且斜率为1的直线交抛物线于,A B 两点，点P 为抛物线上任意一点，若CP mCA nCB =+，则m n +的最小值为( ) A.13B. 12C. 23D. 34【答案】A【解析】根据等和线的几何意义， 连接CP 与AB 交于点Q ，则CP m n CQ +=，需要判断CPCQ何时最小 可以过点P 作直线AB 的平行线， 过C 点作AB 的平行线， 根据平行线截线段成比例，当过P 点的平行线越往右下角移动时，比例越小，极端位置为相切 求导易得此时的切线方程为1y x =- 根据平行线截线段成比例易求出最小值为13三. 等和线的常见变形问题(三向量不共起点)如果所给的平面向量基本定理的三个向量不共起点，则需要将其中不共起点的向量平移至共起点，然后再用等和线去解答，我们来看一个例题：如图，在正方形ABCD 中，M ，N 分别是BC ，CD 的中点，若AC AM BN λμ=+，则______.λμ+=【答案】85【解析】将向量BN 平移至AE ，则AC AM AE λμ=+ 根据等和线解题步骤，连接EM 与AC 交于点F ，则ACAFλμ+=考虑利用平行线截线段成比例，故延长EM 交AB 于点G ，则3BG EC ==GFEDC MBA故35CF EC FA AG ==，则85AC AF λμ+== (2018 成都高二期末零诊理 16)在平面直角坐标系xOy 中，已知点P在曲线):0y x Γ=≥上，曲线Γ与x 轴的相交于点B ，与y 轴相交于点C ，点()2,1D 和点()1,0E 满足(),OD CE OP R λμλμ=+∈，则λμ+的最小值为________.【答案】12【解析】将CE 平移到起点为O ，利用等和线直接判断当P 点与B 点重合时，λμ+最小，计算可得最小值为12在正方形ABCD 中，E 为AB 中点，P 以A 为圆心，AB 为半径的圆弧上的任意一点，设AC xDE y AP =+，则x y +的范围是_______.【答案】1,52⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】如图所示AC xDE y AP xAF y AP =+=+ 由等和线的几何意义可知， 当P 与D 重合时，x y +最大，为51AC AG =(根据相似计算) 当P 与B 重合时，x y +最小，为21AE AB= (2019 成都期末统考 10)如图，在正方形ABCD 中，F 是边CD 上靠近D 点的三等分点，连接BF 交AC 于点E ，若BE mAB nAC =+，则m n +的值是( )A. 15- B. 15 C. 25- D. 25【答案】C【解析】在下侧补一个正方形，则BE mAB nAC mBG nBH =+=+EFD CBAFDA连接GH 与BE 交于点I ，则BE m n BI+=-根据相似可得35BG FH =，32BE EF =，给322535BE BI ⨯==，故25m n +=-四. 等和线的常见变形问题(系数不匹配)如果所给的平面向量基本定理的向量的系数与所求系数和不匹配，则需要将所给向量的系数按照所求系数进行转化，使之相等，然后再按照等和线进行求解，我们来看一个例题：如图，在扇形OAB 中，3AOB π∠=，C 为弧AB 上的动点，若OC xOA yOB =+，则3x y+的取值范围是 ．【答案】[]1,3【解析】33'3OBOC xOA y xOA y OB =+⋅=+⋅， 其中'B 点为OB 的三等分点，如图所示 显然，当C 在A 点时，3x y +有最小值为1； 当C 在B 点时，，3x y +有最大值为3 故取值范围为[]1,3在平行四边形ABCD 中，E ，F 分别为边BC ，CD 的中点，若AB x AE y AF =+，则_____.x y -=【答案】2【解析】AB xAE y AF xAE y AH =+=-连接EH 交AB 于点G ，则ABx y AG-=延长HI 交EB 的延长线与J ，则13BG BE HJ EJ ==故12BG IJ =，故G 为AB 中点，故2AB x y AG -==五.小结从以上例题可以看出，等和线用于求值时，和常规方法难度差不了太多，熟悉等和线之后关键在于利用平行线截线段成比例去求值，如果初中平面几何学的不错的同学，用此方法还是要更快一些，但是等和线用于求范围问题，通常会显得很简单，而此类题目又往往出现在压轴位置，因此掌握好等和线还是非常有必要的。
等和线定理
第1招：等和线定理【知识点】1.等和线定理：（1）平面向量共线定理已知OA OB OC λμ=+ ,若1λμ+=，则,,A B C 三点共线；反之亦然.（2）等和线平面内一组基底,OA OB 及任一向量(),,OP OP OA OB R λμλμ=+∈ ，若点P在直线AB 上或在平行于AB 的直线上，则k λμ+=(定值),反之也成立，我们把直线AB 以及与直线AB 平行的直线成为等和线.①当等和线恰为直线AB 时，1k =；②当等和线在O 点和直线AB 之间时，()0,1k ∈；③当直线AB 在O 点和等和线之间时，()1,k ∈+∞；④当等和线过O 点时，0k =；⑤若两等和线关于O 点对称，则定值k 互为相反数；⑥定值k 的变化与等和线到O 点的距离成正比；2.等和线定理应用背景:在平面向量基本定理的表达式中，若需研究两系数的和时，可以用等值线法.【典例剖析】例1.如图，CD B ∆与ABC ∆的面积之比为2，点P 是区域ABCD 内的任一点（含边界），且AC AB AP μλ+=，则μλ+的取值范围是()A．[]1,0B．[]2,0C．[]3,0D．[]4,0解析：过点P 作GH//BC ，交AB AC ,的延长线于H G ,则AH y AG x AP +=，且1=+y x ，当点P 位于D 点时，H G ,分别位于','B C ，CD B ∆ 与ABC ∆的面积之比为2，AB AB AC AC 3',3'==∴，ACAB AB y AC x AB y AC x AH y AG x OP μλ+=⋅⋅+⋅⋅=+=+=∴33''所以，3333,3=+=+⇒==y x x y μλμλ当点P 位于A 点时，显然有：0=+μλ，所以，选C答案：C .总结：通过等和线定理绘制出一系列等和线，找出其中的临界值，即为系数和的最值.【变式训练】变式1：如图，四边形OABC 是边长为1的正方形，点D 在OA 的延长线上，且2=AD ，点P 是BCD ∆（含边界）的动点，设OB OC OP μλ+=，则μλ+的最大值为__________．变式2：设长方形ABCD 的边长分别是2,1==AB AD ，点P 是BCD ∆（含边界）的动点设AD y AB x AP +=，则y x 2+的取值范围为()A．[]2,1B．[]3,1C．[]3,2D．[]2,0【真题链接】（2017高考全国Ⅲ理科第12题）在矩形ABCD 中，1=AB ，2=AD ，动点P 在以C 为圆心且与BD 相切的圆上，若AD AB AP μλ+=，则μλ+的最大值为()A．3B．22C．5D．2【答案】变式1:答案：23解析：当点P 位于B 点时，过点B 作BC GH //，交OD OC ,的延长线于HG ,则AH y AG x OP +=，且1=+y x ，OD OC OD y OC x OH y OG x OB OP μλ+=+=+==∴2323所以，23232323,23=+=+⇒==y x y x μλμλ故答案为23变式2:答案：B解析：AE y AB x AD y AB x AD y AB x AP 2212+=⋅+=+=∴如图，连BE ，当点P 位于B 点时，三点P E B ,,共线，且AB AP =，即1012=+=+y x ，当点P 位于C 点时，AE y AB x AE AB AC AP 22+=+==∴，即3212=+=+y x 故选B高考真题链接：答案：A。
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